FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZFACULTAD DE MATEMÁTICAS E INGENIERÍAS

MÉTODOS NUMÉRICOS

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Por favor revise también el enlace donde se encuentra el archivo de Excel con las Hojas de cálculo correspondientes, este archivo puede ser consultado a través del siguiente enlaceEJERCICIOS RESUELTOS EN EXCEL

METODO DE TAYLOR DE TRES TÉRMINOS

El desarrollo en series de Taylor de tres términos alrededor del punto x=a es

donde la función y(x) es dos veces derivable. Si en particular se hace a=xn y x= xn+h, entonces se transforma en

o, en forma abreviada

Esta última expresión se conoce como método de Taylor de orden tres para aproximar soluciones de la ecuación diferencialy’=f(x,y), y(xo)=yo

Los métodos que se presentarán a continuación tiene la estructura general:Nuevo valor= valor anterior + pendiente x tamaño del paso, o en términos matemáticos,yn+1= yi + h.En la cual la pendiente se usa para extrapolar, desde un valor anterior yi , un nuevo valor yi+1 en una distancia h. Esta fórmula se puede aplicar paso a paso para calcular el valor en el futuro, y, por lo tanto, trazar la trayectoria de la solución.

METODO DE EULER O MÉTODO DE LAS TANGENTES

Se desea aproximar la solución de la ecuación diferencia:y’=f(x,y), y(xo)=yo

Si h>0, entonces sobre la recta tangente en el punto (xo,yo) a la curva solución desconocida, se encuentra el punto (x1,y1)=(xo+h, y1). Pues bien, la recta que pasa por los punto (xo,yo) y (x1, y1) será

o, despejando

donde

Si se considera que h toma un valor constante, se puede obtener una sucesión de puntos (x1,y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) que sería aproximaciones de los puntos (x1, y(x1)), (x2, y(x2)), ..., (xn, y(xn)).

Utilizando (x1,y1) se puede obtener el valor de y2 sobre la nueva recta tangente. Así,

, y despejando

y, en general., siendo xn=xo+nh o xn=xn-1+h

Si hacemos comparación con la fórmula yn+1= yi+h., entonces se puede ver que la pendiente estimada para extrapolar el valor de yn+1

a partir del valor anterior yn ,es =f(xn, yn)La expresión: , es conocida como el método de Euler o método de las tangentes.

METODO DE EULER MODIFICADO O MÉTODO DE HEUN

Una fuente fundamental del error en el método de Euler es que la derivada al inicio del intervalo supuestamente se aplica a todo el intervalo. Para mejorar la estimación de la pendiente se involucra la determinación de dos derivadas para el intervalo( una en el punto de inicio y otra en el punto final). Las dos derivadas se promedian con el fin de obtener una estimación mejorada de la pendiente para todo el intervalo.Recuerde que para el método de Euler, la pendiente al inicio de un intervalo

se utiliza para interpolar linealmente a yn+1

Esta sería la estimación de yn+1 en el caso del método de Euler estándar. Sin embargo, en el método de Euler modificado( o método de Heun), la , calculada anteriormente no es la repuesta final, sino una predicción intermedia. Es por esto que se la distingue con un asterisco como superíndice. A la ecuación , se le denomina ecuación predictor.

Ahora, con y xn+1=xn+h, se estima la pendiente al final del intervalo ( xn, xn+1), como

Así las dos pendientes se pueden combinar para obtener la pendiente promedio en el intervalo.

Esta pendiente promedio es la que se utiliza para extrapolar linealmente desde yn hasta yn+1

usando el método de Euler:

La cual se conoce como ecuación corrector.Por lo tanto, el método de Euler modificado o Método de Heun es un procedimiento predictor–corrector. Este método se podría resumir este método como la expresión:

en donde .

METODOS DE RUNGE KUTTA

Los métodos de Runge-Kutta(RK) logran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones , pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación.

donde se conoce como función incremento, la cual puede interpretarse como una pendiente representativa del intervalo. La función incremento se escribe por lo general como:

donde las “a” son constantes y las k conk1=f(xi,yi)k2=f(xi+p1h. yi+q11k1h)k3=f(xi+p2h, yi+q21k1h+q22k2h)...kn=f(xi+pn-1h, yi+qn-12k2h+…+qn-1 n-1kn-1h)

En las cuales se puede apreciar que las k son relaciones de recurrencia. Esto es, cada k es función del k anterior.Es posible concebir varios tipos de Métodos de Runge Kutta al emplear diferente número de términos en la función incremento, especificados por n. Obsérvese que el método de Runge-Kutta de orden 1 es el método de Euler. Una vez que se elige n, se evalúan las a, p y q al igualr la ecuación a los términos de un expansión en series de Taylor. De esta manera, al menos para las versiones de orden inferior, el número de términos n, representa el orden de la aproximación.

METODOS DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN

El más popular de todos los métodos de Runge Kutta es el de cuarto orden, de los cuales hay infinitas versiones. Sin embargo hay una forma en la que convencionalmente se usa que se conoce como METODO DE RUNGE KUTTA CLASICO DE CUARTO ORDEN, cuya ecuación de aproximación es:

en donde

Nota: en algunos textos, estas ecuaciones aparecen en la forma equivalente:

Si se compara la expresión del método de Runge Kutta de cuarto orden :

, con la fórmula:

yn+1= yi+h.Se puede observar que el método de Runge Kutta de cuarto orden utiliza la pendiente

, para extrapolar linealmente yn+1, desde yn, un tamaño de paso h.

Pero si se observa más detenidamente expresión para esta pendiente, se nota claramente que cada k es una pendiente, que se ponderan para hallar la pendiente promedio en el intervalo.

EJEMPLO No. 1

1) Utilizar el método de Euler para obtener una aproximación de y(0.5) en la ecuación diferencial.

y’=(x-y)2 , y(0)=0.5

Siendo h=0.1 y realizando los cálculo con cuatro decimales redondeados

SoluciónLa fórmula de iteración para el método de Euler es:

Para este ejemplo: Reemplazando, resulta:

Comenzando el proceso iterativo con la condición inicialxo=0, yo=0.5x1=xo+h=0+0.1=0.1y1=y(x1)=y(0.1)=yo+(xo -yo)2*0.1 =0.5+(0-0.5)2*0.1=0.525Resultado: x1=0.1, y(0.1)=0.525x2=x1+h=0.1+0.1=0.2 y2=y(x2)=y(0.2)= y1+(x1-y1)2*0.1 =0.525+(0.1-0.525)2*0.1=0.5431

Resultado: x2=0.2, y(0.2)=0.5431x3=x2+h=0.2+0.1=0.3y3=y(x3)=y(0.3)= y2+(x2-y2)2*0.1 =0.5431+(0.2-0.5431)2*0.1=0.5548Resultado: x3=0.3, y(0.3)=0.5548x4=x3+h=0.3+0.1=0.4y4=y(x4)=y(0.4)= y3+(x3-y3)2*0.1 =0.5548+(0.3-0.5548)2*0.1=0.5613Resultado: x4=0.4, y(0.4)=0.5613x5=x4+h=0.4+0.1=0.5y5=y(x5)=y(0.5)= y4+(x4-y4)2*0.1 =0.5613+(0.4-0.5613)2*0.1=0.5639Resultado x5=0.5, y(0.5)=0.5639.

Por lo tanto, la aproximación de la solución de la ecuación diferencial en x=0.5 será y(0.5)=0.5639Se podría construir una tabla en EXCEL, con el fin de facilitar estos cálculos:

h: 0.1

n xn yn=y(xn) f(xn,yn)

0 0 0.5 0.25

1 0.1 0.525 0.180625

2 0.2 0.5430625 0.11769188

3 0.3 0.55483169 0.064939194 0.4 0.56132561 0.02602595

5 0.5 0.5639282 0.00408682

Se podría graficar la aproximación a la función solución de esta ecuación en el intervalo [0,0.5], graficando los valores obtenidos

x y0 0.50.1 0.5250.2 0.54310.3 0.55480.4 0.56130.5 0.5639

Solución de la ecuación diferencial y'=(x-y)^2, en el intervalo [0,0.5] utilizando en método de Euler

0.49

0.5

0.51

0.52

0.53

0.54

0.55

0.56

0.57

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5X

Apr

oxim

acio

nes

EJEMPLO No. 2

Dada la ecuación diferencial

con la condición inicial y(1)=1.0. Encontrar una aproximación de la solución en x=1.5 con cuatro cifras decimales mediante el método de Euler y haciendo h=0.05

Solución:La expresión para el método de Euler es:

Para este ejemplo: . Reemplazando, resulta

Comenzando el proceso iterativo con la condición inicial xo=1, yo=1Se obtienex1=xo+h=1.0+0.05=1.05

y1=1.0000Resultado: x1=1.05, y(1.05)=1.0000x2=x1+h=1.05+0.05=1.10

y

2=1.0049.Resultado: x2=1.1, y(1.1)=1.0049

x3=x2+h=1.10+0.05=1.15

y3=1.0147Resultado: x3=1.15, y(1.15)=1.0147x4=x3+h=1.15+0.05=1.20

y4=1.0298.Resultado: x4=1.20, y(1.20)=1.0298.x5=x4+h=1.20+0.05=1.25

y5=1.0506Resultado: x5=1.25, y(1.25)=1.0506x6=x5+h=1.25+0.05=1.30

y6=1.0775Resultado:x6=1.30, y(1.30)=1.0775x7=x6+h=1.30+0.05=1.35

y7=1.1115Resultado: x7=1.35, y(1.35)=1.1115x8=x7+h=1.35+0.05=1.40.

y8=1.1538Resultado: x8 =1.40, y(1.40)=1.1538x9=x8+h=1.40+0.05=1.45

y9=1.2057

Resultado: x9=1.45, y(1.45)=1.2057x10=x9+h=1.45+0.05=1.50

y10=1.2696RESULTADO: x10=1.50, Y(1.50)=1.2696.Por lo tanto, la aproximación de la solución de la ecuación diferencial dad, en x=1.5 es y(1.5)=1.2696.

Igual que para el ejemplo anterior se podría construir una tabla en EXCEL, con el fin de facilitar estos cálculos:

h: 0.05

n xn yn=y(xn) f(xn,yn)

0 1 1 01 1.05 1 0.097619052 1.1 1.00488095 0.197236163 1.15 1.01474276 0.301773294 1.2 1.02983143 0.414470465 1.25 1.05055495 0.539138176 1.3 1.07751186 0.680486077 1.35 1.11153616 0.844581948 1.4 1.15376526 1.039525939 1.45 1.20574155 1.27648251

10 1.5 1.26956568 1.5713184

Se podría graficar la aproximación a la función solución de esta ecuación en el intervalo [0,0.5], graficando los valores obtenidos

x y1.0 1.00001.05 1.00001.10 1.00491.15 1.01471.20 1.02981.25 1.05061.30 1.07751.35 1.11151.40 1.15381.45 1.20571.50 1.2696

Gráfica de la aproximación de la solución a la

ecuación diferencial y'=xy2+y/x, en el intervalo [1,1.5], utilizando el método de Euler

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5X

Ap

roxi

mac

ión

EJEMPLO No. 3

Aplicar el método de Euler para obtener una aproximación con cuatro cifras decimales de redondeo de y(2.0), en la solución de la ecuación diferencial

, y(1.0)=1.0utilizando h=0.25

Solución:La expresión del método de Euler esSolución:La expresión para el método de Euler es:

Para este ejemplo: . Reemplazando, resulta

Comenzando el proceso iterativo con la condición inicialxo=1.0, yo=1.0x1=x0+h=1.0+0.25=1.25y1=y(x1)=y(1.25)= =1.0+(|1.0|-2*1.0)*0.05=0.75Resultado: x1=1.25, y(1.25)=0.75x2=x1+h=1.25+0.25=1.5y2=y(x2)=y(1.5)= =0.75 +(|0.75|-2*1.25)*0.05=0.3125Resultado: x2=1.5, y(1.5)=0.3125x3=x2+h=1.5+0.25=1.75y3=y(x3)=y(1.75)= =0.3125 +(|0.3125 |-2*1.5)*0.05= -0.3594Resultado: x3=1.75, y(1.75)=-0.3594y4=x3+h=1.75+0.25=2.0y4=y(x4)=y(2.0)= =-0.3594 +(|-0.3594|-2*1.75)*0.05= -1.1446Resultado: x4=1.25, y(2.0)=-1.1446

Por lo tanto, la aproximación para y(0.2) en la ecuación diferencial , con condición inicial y(1.0)=1.0, utilizando el método de Euler con un tamaño de paso de h=0.25 es, y(2.0)= -1.1446.

La tabla en Excel sería:

h: 0.25

n xn yn=y(xn) f(xn,yn)

0 1 1 -11 1.25 0.75 -1.752 1.5 0.3125 -2.68753 1.75 -0.359375 -3.1406254 2 -1.14453125 -2.85546875

La gráfica de la aproximación será

Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=|y|-2x, en el intervalo [1,2], mediante el método de Euler, con h=0.25

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

X

Apr

oxim

ació

n

EJEMPLO No. 4

Mediante el método de Euler modificado encontrar una aproximación de y(1.3) en la solución de la ecuación diferencialy’=2x-3y+1, y(1.0)=5.0

Utilizando 4 decimales redondeados en los cálculos y h=01.

Solución.

La fórmula iterativa del método de Euler modificado está dada por:

en donde .

Para este ejemplo: Por lo tanto, reemplazando se encuentran las siguientes fórmulas de iteración:Predictor:

Corrector:

xo=1, yo=5x1=xo+h=1.0+0.1=1.1Predictor:

=3.8Corrector:

y1=3.99Resultado: x1=1.1, y(1.1)=3.99X2=x1+h=1.1+0.1=1.2

Predictor:=3.113

Corrector:

y2=3.2546Resultado: x2=1.2, y(1.2)=3.2546X3=x2+h=1.2+0.1=1.3Predictor:

=3.113Corrector:

y3=2.7237

Por lo tanto la aproximación de la solución de la ecuación diferencial: y’=2x-3y+1, y(1.0)=5.0, en x=1.3, utilizando el método de Euler modificado con un tamaño de paso h=0.1 es y(1.3)=2.7237

Al igual que para los casos anteriores se puede elaborar una tabla en Excel con le fin de facilitar los cálculos. En la siguiente tabla se muestran los resultados hasta x=2.0

h 0.1

n xn yn f(xn, yn) xn+1 yn+1 f(xn+1,yn+1)0 1 5.0000 -12.0000 1.1000 3.8000 -8.20001 1.1 3.9900 -8.7700 1.2000 3.1130 -5.93902 1.2 3.2546 -6.3637 1.3000 2.6182 -4.25463 1.3 2.7236 -4.5709 1.4000 2.2665 -2.99964 1.4 2.3451 -3.2353 1.5000 2.0216 -2.06475 1.5 2.0801 -2.2403 1.6000 1.8561 -1.36826 1.6 1.8997 -1.4990 1.7000 1.7498 -0.84937 1.7 1.7823 -0.9468 1.8000 1.6876 -0.46288 1.8 1.7118 -0.5354 1.9000 1.6582 -0.17479 1.9 1.6763 -0.2288 2.0000 1.6534 0.0398

10 2 1.6668 -0.0005 2.1000 1.6668 0.1997

La gráfica de la aproximación en el intervalo [1.0, 2.0], se muestra a continuación:

Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=2x-3y+1, y(1.0)=5.0, en el intervalo[1.0,2.0], mediante el método

de Euler Modificado, con h=0.1

0.0000

1.0000

2.0000

3.0000

4.0000

5.0000

6.0000

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2X

Apr

oxim

ació

n

EJEMPLO No. 5

Aplicar El método de Euler Modificado para encontrar un aproximación de y(0.5) en la solución de la ecuación diferencial

, y(0)=2.0

Utilícense dos decimales redondeados en los cálculos y h=0.1

Solución:La fórmula iterativa del método de Euler modificado está dada por:

en donde .

Para este ejemplo: Por lo tanto, reemplazando se encuentran las siguientes fórmulas de iteración:

Predictor:

Corrector:

Se inicia el proceso de aproximación desde la condición inicial: xo=0, y0=2.0x1=x0+h=0+0.1=0.1Predictor

=2.0+(sen(0)+2.0)*0.1=2.2Corrector:

Resultado: x1=0.1, y(0.1)=2.21x2=x1+h=0.1+0.1=0.2Predictor

=2.21+(sen(0.1)+2.21)*0.1=2.44Corrector:

Resultado: x2=0.2, y(0.2)=2.46x3=x2+h=0.2+0.1=0.3Predictor

=2.46+(sen(0.2)+2.46)*0.1=3.04Corrector:

Resultado: x3=0.3, y(0.3)=3.06x4=x3+h=0.3+0.1=0.4Predictor

=3.06+(sen(0.3)+3.06)*0.1=3.40Corrector:

Por lo tanto la aproximación de la solución de la ecuación diferencial: , y(1.0)=5.0, en x=0.3, utilizando el método de Euler modificado con un tamaño de paso h=0.1 es y(0.3)=3.43

Al igual que para los casos anteriores se puede elaborar una tabla en Excel con el fin de facilitar los cálculos. En la siguiente tabla se muestran los resultados hasta x=1.0

h 0.1

n xn yn f(xn, yn) xn+1 yn+1 f(xn+1,yn+1)0 0 2.0000 2.0000 0.1000 2.2000 2.29981 0.1 2.2150 2.3148 0.2000 2.4465 2.64512 0.2 2.4630 2.6617 0.3000 2.7292 3.02473 0.3 2.7473 3.0428 0.4000 3.0516 3.44104 0.4 3.0715 3.4609 0.5000 3.4176 3.89705 0.5 3.4394 3.9188 0.6000 3.8313 4.39596 0.6 3.8551 4.4198 0.7000 4.2971 4.94137 0.7 4.3232 4.9674 0.8000 4.8199 5.53738 0.8 4.8484 5.5658 0.9000 5.4050 6.18839 0.9 5.4361 6.2195 1.0000 6.0581 6.8995

10 1 6.0921 6.9335 1.1000 6.7854 7.6766

La gráfica de la aproximación en el intervalo [0.0, 1.0], se muestra a continuación:

Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=sen(x)+y, y(0)=2.0, mediante el método de Euler

Modificado, con h=0.1

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

X

Apr

oxim

ació

n

EJEMPLO No. 6

Se considera la ecuación diferencial y’=x+y-1, y(1.0)=5.0Con h=0.1 y trabajando con cuatro cifras decimales, halle una estimación de y(1.5), utilizando:

a) El método de Eulerb) El método de Euler Modificadoc) El método de Taylor de tres términos.d) Resolver la ecuación diferencial para obtener el valor exacto de y(0.5)e) Compárense los resultados.

La expresión para el método de Euler es:

Para este ejemplo: . Reemplazando, resulta

Comenzando con la condición inicial: x0=1.0, yo=5.0x1=xo+h=1.0+0.1=1.1

Resultado: x1=1.1, y(1.1)=5.5x2=x1+h=1.1+0.1=1.2

Resultado: x2=1.2, y(1.2)=6.06x3=x2+h=1.2+0.1=1.3

Resultado: x3=1.3, y(1.3)=6.686x4=x3+h=1.3+0.1=1.4

Resultado: x4=1.4, y(1.4)=7.3846x5=x4+h=1.14+0.1=1.5

Resultado: x5=1.5, y(1.5)=8.1631

h 0.1

n xn yn f(xn, yn)0 1 5.0000 5.00001 1.1 5.5000 5.60002 1.2 6.0600 6.26003 1.3 6.6860 6.98604 1.4 7.3846 7.78465 1.5 8.1631 8.66316 1.6 9.0294 9.62947 1.7 9.9923 10.69238 1.8 11.0615 11.86159 1.9 12.2477 13.1477

10 2 13.5625 14.5625

Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0, en el intervalo [1.0,2.0], mediante el método de Euler con

h=0.1

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

b) La fórmula de iteración de Euler Modificado

en donde .

Para este ejemplo: Por lo tanto, reemplazando se encuentran las siguientes fórmulas de iteración:Predictor:

Corrector:

Iniciando el proceso de iteración desde xo=1.0, yo=5.0x1=xo+h=1.0+0.1=1.1

Predictor=5.0+(1.0+5.0-1)*0.1=5.5

Corrector:

Resultado: x1=1.1, y(1.1)=5.53x2=x1+h=1.1+0.1=1.2Predictor

=5.53+(1.1+5.53-1)*0.1=6.0930Corrector:

Resultado: x2=1.2, y(1.2)=6.1262x3=x2+h=1.2+0.1=1.3Predictor

=6.1262+(1.2+6.1262-1)*0.1=6.7588Corrector:

Resultado: x3=1.3, y(1.3)=6.7954x4=x3+h=1.3+0.1=1.4Predictor

=6.7954+(1.3+6.7954-1)*0.1=7.5049Corrector:

Resultado: x4=1.4, y(1.4)=7.5454x5=x4+h=1.4+0.1=1.5Predictor

=7.5454+(1.2+6.1262-1)*0.1=8.3400Corrector:

Resultado: x5=1.5, y(1.5)=8.3847

h 0.1

n xn yn f(xn, yn) xn+1 yn+1 f(xn+1,yn+1)0 1 5.0000 5.0000 1.1000 5.5000 5.60001 1.1 5.5300 5.6300 1.2000 6.0930 6.29302 1.2 6.1262 6.3262 1.3000 6.7588 7.05883 1.3 6.7954 7.0954 1.4000 7.5049 7.90494 1.4 7.5454 7.9454 1.5000 8.3400 8.84005 1.5 8.3847 8.8847 1.6000 9.2731 9.87316 1.6 9.3226 9.9226 1.7000 10.3148 11.01487 1.7 10.3694 11.0694 1.8000 11.4764 12.27648 1.8 11.5367 12.3367 1.9000 12.7704 13.67049 1.9 12.8371 13.7371 2.0000 14.2108 15.2108

10 2 14.2845 15.2845 2.1000 15.8129 16.9129

Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), en el intervalo [1,2], utilizando el método de Euler Modificado, con h=0.1

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2x

Ap

roxi

ma

ció

n

c) La expresión del método de Taylor de tres términos, es:

Para este caso: Derivando esta expresión implícitamente con respecto a xn, se obtiene

Reemplazando en , se obtiene

Comenzando en xo=1.0, yo=5.0

x1=xo+h=1.0+0.1=1.1

Resultado: x1=1.1, y(1.1)=5.53x2=x1+h=1.1+0.1=1.2

Resultado: x2=1.2, y(1.2)=6.1262

x3=x2+h=1.2+0.1=1.3

Resultado: x3=1.3, y(1.3)=6.7954x4=x3+h=1.3+0.1=1.4

Resultado: x4=1.4, y(1.4)=7.5454

x5=x4+h=1.4+0.1=1.5

Resultado: x5=1.5, y(1.5)=8.3847

h 0.1

n xn yn0.0000 1.0000 5.00001.0000 1.1000 5.53002.0000 1.2000 6.12623.0000 1.3000 6.79544.0000 1.4000 7.54545.0000 1.5000 8.38476.0000 1.6000 9.32267.0000 1.7000 10.36948.0000 1.8000 11.53679.0000 1.9000 12.8371

10.0000 2.0000 14.2845

Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0, mediante el método de Taylor de tres términos con

h=0.1

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0xn

yn

d) Reordenando la ecuación inicial resulta:y’-y=x-1que se trata de una ecuación diferencial lineal( es decir, de la forma y’+P(x)y=Q(x)) conP(x)=-1, yQ(x)=x-1Cuya solución general es: y=-x+Cex

Reemplazando la condición inicial y(1.0)=5.0, resulta: 5.0=-1.0+Ce1.0, de dondeC=6e-1.0

Con lo que la solución particular, queda como: y=-x+6e-1.0ex = -x+6ex-1.0

Así, y(1.5)= -1.5+6*e1.5-1.0=-1.5+6e0.5=8.3923

Solución exacta de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0, en el intervalo{1.0,2.0]

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2x

y

COMPARACIÓN

n xn Euler Euler Mod Taylor 3 term. Sol. Exacta Error Euler2 Error E. Mod2 Error Taylor2

0 1 5.0000 5.0000 5.0000 5.0000 0.0000 0.0000 0.00001 1.1 5.5000 5.5300 5.5300 5.5310 0.0010 0.0000 0.00002 1.2 6.0600 6.1262 6.1262 6.1284 0.0047 0.0000 0.00003 1.3 6.6860 6.7954 6.7954 6.7992 0.0128 0.0000 0.00004 1.4 7.3846 7.5454 7.5454 7.5509 0.0277 0.0000 0.00005 1.5 8.1631 8.3847 8.3847 8.3923 0.0526 0.0001 0.00016 1.6 9.0294 9.3226 9.3226 9.3327 0.0920 0.0001 0.00017 1.7 9.9923 10.3694 10.3694 10.3825 0.1523 0.0002 0.00028 1.8 11.0615 11.5367 11.5367 11.5532 0.2418 0.0003 0.00039 1.9 12.2477 12.8371 12.8371 12.8576 0.3720 0.0004 0.0004

10 2 13.5625 14.2845 14.2845 14.3097 0.5584 0.0006 0.00061.5151 0.0017 0.0017SUMATORIA DE LOS ERRORES ELEVADOS AL CUADRADO

GRAFICO COMPARATIVO ENTRE LOS DIFERENTES MÉTODOS PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

xn

yn

Euler

Euler Mod

Taylor 3 term.

Sol. Exacta

Como se puede apreciar en la tabla, el orden de aproximación del método de Euler modificado y el de Taylor de tres términos es muy similar y para este ejemplo su error es muy pequeño, aunque va creciendo a medida que se aleja de la condición inicial, loc aul es de esperarse, ya que lo que se está realizando es un proceso de extrapolación desde la condición inicial, por lo cual, a medida que se aleja de esta condición, la incertidumbre crece, y se va acumulando los errores de los pasos anteriores. El método de Euler presenta un comportamiento desfavorable, con respecto a los dos métodos anteriores, lo cual también era de esperarse dado el orden de aproximación del método de Euler( orden 1). Todo esto se puede apreciar tanto en la tabla como en las gráficas.

EJEMPLOS MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN

EJEMPLO No. 7

Use el método de Runge-Kutta de cuarto orden para estimar y(0.5) en la ecuación diferencialy’=-2x3+12x2-20x+8.5, y(0.0)=1.0. Utilice un h=0.1Obsérvese que para este caso f(x,y)= -2x3+12x2-20x+8.5Las fórmulas de iteración del método de Runge-Kutta son las siguientes:

en donde

Inciando el proceso iterativo con la condición inicial xo=0.0, yo=1.0x1=xo+h=0.0+0.1=0.1

luego se aplica la fórmula de recursión:

Resultado: x1=0.1, y(0.1)=1.75395x1=x1+h=0.1+0.1=0.2

luego se aplica la formula de recursión:

Resultado: x2=0.2, y(0.2)=2.3312x3=x2+h=0.2+0.1=0.3

luego se aplica la fórmula de recursión:

Resultado: x3=0.3, y(0.3)= 2.75395x4=x3+h=0.3+0.1=0.4

luego se aplica la fórmula de recursión:

Resultado: x4=0.4, y(0.4)= 3.0432x5=x4+h=0.4+0.1=0.5

luego se aplica la formula de recursión:

Resultado: x5=0.5, y(0.5)=3.21875

Por lo tanto la estimación de y(0.5) en la ecuación diferencial: y’=-2x3+12x2-20x+8.5, y(0.0)=1.0, con h=0.1, utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden estándar, es:y(0.5)= 3.21875

Esta integral es de variables separables, luego realizando el despeje correspondiente se obtiene

, es la solución exacta de la ecuación diferencial.

Así, como la solución verdadera es de orden cuatro, el método de Runge Kutta de cuarto orden también da una solución exacta.La tabla de EXCEL correspondiente se muestra a continuación

h 0.1

n xn yn k1n k2n k3n k4n solución exacta0 0 1 8.5 7.52975 7.52975 6.618 11 0.1 1.75395 6.618 5.76325 5.76325 4.964 1.753952 0.2 2.3312 4.964 4.21875 4.21875 3.526 2.33123 0.3 2.75395 3.526 2.88425 2.88425 2.292 2.753954 0.4 3.0432 2.292 1.74775 1.74775 1.25 3.04325 0.5 3.21875 1.25 0.79725 0.79725 0.388 3.218756 0.6 3.2992 0.388 0.02075 0.02075 -0.306 3.29927 0.7 3.30195 -0.306 -0.59375 -0.59375 -0.844 3.301958 0.8 3.2432 -0.844 -1.05825 -1.05825 -1.238 3.24329 0.9 3.13795 -1.238 -1.38475 -1.38475 -1.5 3.13795

10 1 3 -1.5 -1.58525 -1.58525 -1.642 3

La gráfica de la aproximación en el intervalo [0.0, 1.0], se presenta aquí

Aproximación de la solución de la ecuación diferencial: y'=-2x3+12x2-20x+8.5, y(0)=1.0, utilizando el método de Runge

Kutta de cuarto orden con h=0.1, en el intervalo [0.0,1.0]

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2x

y

EJEMPLO No. 8

Use el método de Runge-Kutta de cuarto orden para estimar y(0.5) en la ecuación diferencialy’= 4e0.8x -0.5y, y(0.0)=2.0. Utilize un h=0.1Obsérvese que para este caso f(x,y)= 4e0.8x -0.5yInciando el proceso iterativo con la condición inicial xo=0.0, yo=2.0x1=xo+h=0.0+0.1=0.1

luego se aplica la formula de recursión:

Resultado: x1=0.1, y(0.1)= 2.30879011x2=x1+h=0.1+0.1=0.2

luego se aplica la formula de recursión:

Resultado: x2=0.2, y(0.2)= 2.63636249

x3=x2+h=0.2+0.1=0.3

luego se aplica la formula de recursión:

Resultado: x3=0.3, y(0.3)= 2.98461973

x4=x3+h=0.3+0.1=0.4

luego se aplica la formula de recursión:

Resultado: x4=0.4, y(0.4)= 3.35560638x5=x4+h=0.4+0.1=0.5

luego se aplica la formula de recursión:

Resultado: x5=0.5, y(0.5)= 3.75152159

Solución exacta:

La ecuación diferencialy’= 4e0.8x -0.5y, y(0.0)=2.0. Utilice un h=0.1puede reordenarse como:y’+0.5y=4e0.8x

La cual es una ecuación diferencial con lineal, es decir de la forma

La cual se resuelve multiplicando toda la ecuación por un factor integrante

En este caso el factor integrante sería . Multiplicando la ecuación diferencial por e0.5x, resulta:e0.5x y’+ e0.5x 0.5y=4e1.3x. La expresión del miembro de la izquierda es la derivada del producto e0.5xy

, integrando, resulta:

Reemplazando la condición inicial(y(0.0)=2.0, para hallar la solución particular, queda

Reemplazando, se obtiene la solución exacta de la ecuación diferencial, como:

Ahora, se reemplaza x=0.5, para obtener el valor exacto de y(0.5):

Entonces el error cometido en la estimación es:e= -3.75152159=-2.84925E-07, lo que indica la gran exactitud de la aproximación dad por el método de Runge-Kutta.

A continuación se muestra la Tabla de EXCEL correspondiente, utilizada para facilitar los cálculos:

h 0.1

n xn yn k1n k2n k3n k4n solución exacta0 0 2 3 3.088243097 3.08603702 3.17884642 21 0.1 2.30879011 3.17875322 3.276123521 3.27368926 3.37596397 2.3087900592 0.2 2.63636249 3.37586224 3.483033232 3.48035396 3.59279766 2.6363623843 0.3 2.98461973 3.59268674 3.710392217 3.70744958 3.83082871 2.9846195654 0.4 3.35560638 3.83070787 3.959746772 3.9565208 4.09166956 3.3556061565 0.5 3.75152159 4.091538 4.23277963 4.22924859 4.37707439 3.7515213036 0.6 4.17473274 4.37693124 4.53132095 4.52746121 4.68895057 4.1747323847 0.7 4.62779017 4.68879492 4.857360243 4.85314611 5.02937113 4.627789758 0.8 5.11344315 5.02920194 5.213059305 5.20846287 5.40058812 5.1134426569 0.9 5.63465706 5.40040431 5.600766246 5.5957572 5.80504733 5.634656485

10 1 6.19463203 5.8048477 6.023030699 6.01757612 6.245404 6.194631377

Como se observa en la tabla, la solución aproximada por medio del método de Runge-Kutta, es bastante exacta(compárese con la columna: solución exacta).A continuación se muestra la gráfica de la aproximación en el intervalo [0.0,1.0]

Gráfica de la aproximación de la ecuación diferencial: y'=4e0.8x-0.5y, y(0.0)=2.0, en el intervalo [0.0,1.0], mediante e método de Runge

Kutta de cuarto orden, con h=0.1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

y