Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LIC. MAT.JUAN CARLOS CURI GAMARRA

UNIDAD II ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

I. SEPARACION DE VARIABLES

1. 3' 1 , (0) 3y x y y

2. 21 tan , (0) 3dy

y x ydx

3. 2 1cos , ( ) 0dy

y x ydx

4. 2 2 0, (0) 2x dx ydy y

5. 2

3(1 )

dy x

dx y x

6. 3 2 21dy

x x y xdx

7. 2

1 cosdy x

dx sen y

8. 2 2 2

3

3 6, (3) 1

dy x x yy

dx y x y

9. 2

, 03 cos 2

r

r r

dr sen e senr

d e e

10. 24 , (4) 1dy ydx x dy y

11. ' ln ,2

y senx y y y e

12. 2

' 1, (2) 0yye y x y

13. , (0) 11

dy x xy

dx y y

14. ' 0 , (2) 4y xLnx y y Ln

15. 1 ' , 0 0x ye y y e y

II. ECUACIONES LINEALES

1. xxx

y

dx

dy

xcos

212

2. xyy2cos1' 4)1( y

3. xeydx

dy 3

4. 12 xx

y

dx

dy

5. yexdx

dy x 442

6. 32 xydx

dyx

7.

sectan rd

dr

8. 01 dydtyt

9. 352 yxdy

dxy

10. xxydx

dyx 12

11. xxxydx

dyx 423 32

12. xyxxdx

dyx 4121 22

En los problemas 13 a 19 resuelva el problema de valor inicial indicado.

13. xxex

y

dx

dy 1)1( ey

14. 04 xeydx

dy

3

4)0( y

15. xsenxxydx

dysenx cos 2

2

y

16. xx

y

dx

dy32

3 1)1( y

17. xyxdx

dyx 23 3 0)2( y

18. xxysenxdx

dyx 2cos2cos

32

215

4

2

y


19.xedx

dyy 2

14

(1) 0y

III. Ecuacin de Bernoulli

1. 2 2 1 0x y dy xy dx

2. 3 21 1

1 2

dy yx y

dx x

3. 2

5

4dy sen y

dx x x tgy

4. 2

3

3

1

dy x

dx x y

5. 3

23 8( 1) 0 , (0) 01

dy yy x y

dx x

6. 2. ( )dy

x y y Ln xdx

7. 2 212 , (0) 1xe y y dx dx y 8. 2 24 4 0 , (2) 1x y dx ydy y

IV. Ecuaciones homogneas

1. 4

6

dy x y

dx x y

2. 2

1

dy x y

dx x y

3. 2 2

3

3; (1) 2

2 3

dy x y yy

dx x xy

4. 2(2 3 ) 2 0y x dx xydy

5. 2 2(1 ) 2 0dy

x y xydx

6. 21 1

2 2

dy x y

dx x

7. x y x ydy

dx x y x y

8. 2

33

3

xy

dy y

dx y x


9. 2 4 1 2 0y y x y dx xdy

10. 6 12

6 12

dy x y

dx x y

MODELOS POBLACIONALES: 1. Suponga que la poblacin P de bacterias en un cultivo al tiempo t cambia a una

razn proporcional a P2 - P. Asuma que P2- P > 0. a) Sea k la constante de proporcionalidad. Escriba una ecuacin diferencial para P(t) y obtenga la solucin general. b) Encuentre la solucin si hay 1000 bacterias al tiempo t = 0 horas. c) Determine la constante k suponiendo adems que hay 100 bacterias en t = 5 horas. d) Determine 2. Si el alimento y el espacio vital son ilimitados, algunas poblaciones aumentan a

una razn proporcional a la poblacin. Se calcula que la poblacin del mundo en 1900 era de 1600 millones de personas y que para 1950 haba aumentado a 2510 millones. Cul ser la poblacin del mundo en el ao 2020, suponiendo que hay alimento y espacio vital ilimitados?

3. Un cultivo bacteriano tiene una densidad de poblacin de 100 mil organismos por pulgada cuadrada. Se observ que un cultivo que abarcaba un rea de una pulgada cuadrada a las 10:00 A.M. del martes a aumentado a 3 pulgadas cuadradas para el medio da del jueves siguiente. Cuntas bacterias habr en el cultivo a las 3:00 P.M. del domingo siguiente, suponiendo que la densidad de poblacin cambia a una tasa proporcional a s misma?, Cuntas bacterias habr el lunes a las 4:00 P.M.?

4. La poblacin de una comunidad crece con una tasa proporcional a la poblacin en cualquier momento. Su poblacin inicial es 500 y aumenta el 15% en 10 aos. Cul ser la poblacin pasados 30 aos?

5. En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especmenes. Cul era la cantidad inicial de bacterias?

6. En un modelo demogrfico de la poblacin P(t) de una comunidad, se supone

que:

en donde dB/dt y dD/dt son las tasas de natalidad y

mortalidad, respectivamente:

a) Determine P(t) si :

b) Analice los casos

7. La ecuacin diferencial:

en que k es una constante positiva,

se usa con frecuencia para modelar una poblacin que sufre fluctuaciones estacionales anuales. Determine P(t) y grafique la solucin. Suponga que

. . 8. El modelo demogrfico P(t) de un suburbio en una gran ciudad esta descrito

por el problema de valor inicial:

, P(0) = 5000, en donde


t se expresa en meses. Cul es el valor lmite de la poblacin? Cundo igualar la poblacin la mitad de ese valor lmite?

9. Determine una solucin de la ecuacin logstica modificada

a, b, c > 0.

10. Un modelo de poblaciones utilizado en las predicciones actuariales se basa en

la ecuacin de Gompertz:

donde a y b son constantes.

a) Halle P(t) en la ecuacin de Gompertz.

b) Si P(0)=P0>0, de una frmula para P(t) cuando t+ . Sugerencia:

Considere los casos para b>0 y b


Estime la edad del crneo, si la vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 aos.

18. Los nicos istopos de los elementos desconocidos hohio e inercio (smbolos Hh e It) son radiactivos. El hohio decae en el inercio con una constante de decaimiento de 2/ao y el inercio decae con el isotopo radiactivo de bunkio (smbolo Bu) con una constante de decaimiento de 1/ao. Una masa inicial de 1 kg de hohio se coloca en un recipiente no radiactivo sin otras fuentes de hohio, inercio ni bunkio. Qu cantidad de cada elemento habr en el recipiente despus de t aos? (La constante de decaimiento es la constante de proporcionalidad en el enunciado de que la razn de prdida de masa del elemento en cualquier instante es proporcional a la masa del elemento en ese instante.)

TEMPERATURA 19. La ley de enfriamiento de Newton seala que la tasa a la cual se enfra un

cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio que lo rodea. Se coloca un objeto con una temperatura de 90 grados Fahrenheit en un medio con una temperatura de 60 grados. Diez minutos despus, el objeto se ha enfriado a 80 grados Fahrenheit. Cul ser la temperatura del cuerpo despus de estar en este ambiente durante 20 minutos? En cunto tiempo llegar a 65 grados Fahrenheit la temperatura del cuerpo?

20. Un termmetro se lleva al exterior de una casa la cual tiene una temperatura ambiente es de 70 grados Fahrenheit. Al cabo de 5 minutos, el termmetro registra 60 grados Fahrenheit y, 5 minutos despus, registra 54 grados Fahrenheit. Cul es la temperatura del exterior?

21. Una cerveza fra, inicialmente a 35F, se calienta hasta 40F en 3 minutos, estando en un cuarto con temperatura 70F. Qu tan caliente estar la cerveza si se deja ah durante 20 minutos?

22. Supongamos una maana de sbado caluroso en una tienda, mientras las personas estn trabajando el aire acondicionado mantiene la temperatura de la tienda a 20C. A medioda se apaga el aparato de aire acondicionado y la gente se va a sus casas. La temperatura exterior permanece constante a 35C. Si la constante de tiempo del edificio es de 4 horas (reemplazar la constante del edificio se usa como el inverso de la constante de proporcionalidad en la ecuacin diferencial es decir : multiplicarla por la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio), cul ser la temperatura del edificio a las 2 de la tarde?, en qu momento la temperatura en el interior ser de 27C?

23. Era el medioda de un fro da de diciembre en Lima: 16C. Un detective lleg a la escena del crimen para hallar al sargento sobre el cadver. El sargento dijo que haba varios sospechosos. Si supieran el momento exacto de la muerte, podran reducir la lista de sospechosos. El detective sac un termmetro y midi la temperatura del cuerpo: 34.5C. Luego sali a comer. Al regresar, a la 1.00 p.m, Hall que la temperatura del cuerpo era de 33.7C. En qu momento ocurri el asesinato? Sugerencia: La temperatura normal del cuerpo es de 37C.

RUSBEL AIMERResaltado


24. Un taller mecnico sin calefaccin ni aire acondicionado tiene una constante

de tiempo de 2 horas. Si la temperatura exterior vara segn la funcin: , determinar la temperatura del taller a lo largo del

da. 25. En un da caluroso con una temperatura exterior de 40C, se enciende dentro

de un edificio un aparato aire acondicionado que disipa 24000 kilocaloras por hora. El aprovechamiento es de medio grado por cada 1000 kilocaloras y la constante de tiempo del edificio es de 3 horas. Si inicialmente la temperatura del edificio era de 35C, determinar la temperatura al cabo de 3 horas. Cul es el valor mximo de temperatura que puede tener el edificio en estas condiciones? Sugerencia: Adicionar a la ecuacin diferencial del enfriamiento el aprovechamiento efectivo por cada grado.

26. La ley del enfriamiento de Newton tambin es vlida cuando un objeto absorbe calor del medio que le rodea. Si una barra metlica pequea, cuya temperatura inicial es 20C se deja caer en un recipiente con agua hirviente, cunto tiempo tardara en alcanzar 90C si se sabe que su temperatura aument 2C en un segundo? Cunto tiempo tardar en llegar a 98C?

MEZCLAS 27.Un tanque de 500 galones contiene inicialmente 100 galones de solucin

salina en la que se ha disuelto 5 libras de sal. Se agrega solucin salina que contiene 2 libras/galn a razn de 5 galones/minuto, y la mezcla sale del tanque a razn de 3 galones/minuto. Determine cuanta sal hay en el tanque al momento que se desborda.

28. Un tanque de 400 galones se llena con una solucin salina que contiene 45 libras de sal. En cierto momento, la solucin salina comienza a salir de una vlvula abierta en la base del tanque a razn de 5 galones/minuto. En forma simultnea, se agrega al tanque una mezcla de solucin salina que contiene 1/8 libra/galn a razn de 3 galones/minuto. Tres horas despus se abre una vlvula de agua dulce, la cual suministra 2 galones/minuto al tanque adems de la mezcla salina que ya se agrega al tanque. Calcule la cantidad de sal que hay

en el tanque en cualquier tiempo . Cul es la cantidad de sal estacionaria en el tanque?

29.Un recipiente de 30 litros de capacidad contiene inicialmente 10 litros de solucin salina en la que se ha disuelto 100 gramos de sal. Se agrega solucin salina con concentracin de 20 gramos/litro a razn de 5 litros/minuto, y simultneamente la mezcla sale del recipiente a razn de 1 litro/minuto. a) Determine la cantidad de sal que hay en el recipiente para cualquier tiempo

b) Determine la concentracin de sal en el recipiente al momento que este se

desborda. 30. Dos tanques se colocan en posicin de cascada. El tanque 1 contiene

inicialmente 20 libras de sal disuelta en 100 galones de salmuera y el tanque 2 contiene en un principio 150 galones de solucin salina en la que se han




disuelto 90 libras de sal. Al tiempo cero, se agrega al tanque 1 una solucin salina que contiene 1/2 libra de sal por galn a razn de 5 galones/minuto. El tanque 1 tiene una salida que descarga solucin salina en el tanque 2 a razn de 5 galones/minuto y el tanque 2 tiene asimismo una salida de 5 galones/minuto. Determine la cantidad de sal que hay en cada tanque para

cualquier tiempo . Asimismo, determine cuando ser mnima la concentracin de sal en el tanque 2 y cuanta sal hay en el tanque en ese momento.

31. En una galera subterrnea de 15 15 1.2m hay un 0.2% de CO2, mientras que el aire del exterior tiene un 0.055% de CO2. Se instalan ventiladores que introducen en la galera 9 metros cbicos de aire del exterior por minuto, de forma que por el otro extremo de la galera sale la misma cantidad de aire. Qu concentracin de CO2 habr al cabo de 20 minutos en la galera?

32. Dos grandes tanques, cada uno de 50 litros se encuentran interconectados por un tubo. El lquido fluye del tanque A hacia el B a razn de 5 litros por minuto. El lquido contenido en el interior de cada tanque se mantiene bien agitado. Una salmuera con concentracin de 3 kilos por litro fluye del exterior hacia el tanque A a razn de 5 litros por minuto, saliendo hacia el exterior a la misma velocidad por un tubo situado en el tanque B. Si el tanque A contiene inicialmente 50 kilos de sal y el tanque B contiene 100 kilos, determinar la cantidad de sal en cada instante.

33.Una piscina cuyo volumen es de 10000 galones contiene agua con cloro al 0.01%. A partir del instante t=0, se bombea agua al servicio pblico con cloro al 0.001% hacia la alberca, a razn de 5 galones /minuto. El agua sale de la alberca con la misma razn. Cul es el porcentaje de cloro en la alberca despus de 1 hora? En qu momento el agua de la alberca tendr 0.002% de cloro?.

34. La sangre conduce un medicamento a un rgano a razn de 3 cm3/s y sale con la misma razn. El rgano tiene un volumen lquido de 125 cm3. Si la concentracin del medicamento en la sangre que entra al rgano es de 0.2 g/cm3, Cul es la concentracin del medicamento en el rgano en el instante t, si inicialmente no haba rastros de dicho medicamento? En qu momento llegar la concentracin del medicamento en el rgano a 0.1g/cm3?

35. Un tanque tiene 500 gal de agua pura y le entra salmuera con 2 Ib de sal por galn a un flujo de 5 gal/min. El tanque est bien mezclado, y sale de l el mismo flujo de solucin. Calcule la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el tanque en cualquier momento t.

36. Resuelva el problema anterior suponiendo que la solucin sale a un flujo de 10 gal/min, permaneciendo igual lo dems. Cuando se vaca el tanque?

CIRCUITOS ELECTRICOS 37. Para cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre las corrientes i1 y i2 en

funcin del tiempo t si inicialmente las cargas y las corrientes son nulas


MISCELANEA 38. Por consideraciones tericas, se sabe que la luz de cierta estrella debe llegar

a la tierra con una intensidad I0. Sin embargo la trayectoria de la luz desde la estrella hasta la Tierra pasa por una nube de polvo, con un coeficiente de absorcin de 0.1/ao luz. La luz que llega a la tierra tiene una intensidad I0. Cul es el espesor de la nube de polvo? (la razn de cambio de intensidad de la luz con respecto del espesor es proporcional a la intensidad. Un ao luz es la distancia recorrida por la luz un ao).

39. Una bola de nieve se funde de modo que la razn de cambio en su volumen es proporcional al rea de su superficie. Si la bola de nieve tena inicialmente 4 pulgadas de dimetro y 30 minutos despus tena 3 pulgadas de dimetro, en qu momento tendr un dimetro de 2 pulgadas?. Desde el punto de vista matemtico, en qu momento desaparecer la bola de nieve?.

40. Cuando se combinan dos sustancias, A y B, se forma un compuesto C. La reaccin entre ambas es tal que, por cada gramo de A se usan 4 gramos de B. Se observa que a los 10 minutos se han formado 30 gramos del producto C. Calcule la cantidad de C en funcin del tiempo si la velocidad de la reaccin es proporcional a las cantidades de A y B que quedan y al principio hay 50 gramos de A y 32 gramos de B. Qu cantidad de compuesto C hay a los 15

minutos? Interprete la solucin cuando . 41. Dos sustancias, A y B, se combinan para formar la sustancia C. La rapidez de

reaccin es proporcional al producto de las cantidades instantneas de A y B que no se han convertido en C. Al principio hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, y por cada gramo de B se consumen 2 de A. Se observa que a los cinco minutos se han formado 10 gramos de C. Cunto de C se forma en 20 minutos?, Cul es la cantidad lmite de C al cabo de mucho tiempo?, Cunto de las sustancias A y B queda despus de mucho tiempo?

42. Resuelva el problema anterior si hay al principio 1OO gramos del reactivo A. Cundo se formar la mitad de la cantidad lmite de C?


43. Obtenga una solucin de la ecuacin:

que describe las

reacciones de segundo orden. Describa los casos . 44. En una reaccin qumica de tercer orden, los gramos X de un compuesto que

se forma cuando se combinan tres sustancias se apegan a:

Resuelva la ecuacin suponiendo que 45. En el caso de un proceso adiabtico en que interviene un gas perfecto, la

presin p est relacionada con el volumen V a travs de la ecuacin:

en la que es el calor especfico del gas a presin constante y es el calor especfico a volumen constante. Resuelva la ecuacin para obtener la presin en funcin del volumen, suponiendo que la presin es de 4 libras por pulgada cbica cuando el volumen es de 1 pulgada cbica.

46. Experimentos han demostrado que si u es la densidad de energa de un cuerpo negro y T es su temperatura absoluta, entonces

Obtenga una expresin general par la dependencia de u con respecto a T. 47. Obtenga una expresin general para el volumen V de un gas como funcin de

la presin p si la velocidad de variacin del volumen con respecto a la presin es proporcional a :

48. Una pelota de 6 onzas se arroja hacia arriba desde una altura de 7 pies con una velocidad inicial de 84 pies/segundo. Si la bola est sujeta a una

resistencia del aire igual (en libras) a

de la velocidad de la bola (en

pies/segundo) .Que altura alcanzar antes de regresar a tierra? 49. Un barco que pesa 86,400 toneladas parte del reposo con un empuje

constante de la hlice de 66,000 libras. Si la resistencia debida al agua es de 4500v libras, donde v es la velocidad en pies/segundo, calcule la velocidad del barco como funcin del tiempo, su velocidad terminal o final en millas por hora y la distancia que habr recorrido para cuando alcance el 85% de su velocidad terminal o final.

50. Un paracaidista y su equipo pesan juntos 192 libras. Antes de abrir su paracadas, existe una resistencia al avance del aire igual a seis veces su velocidad. Cuatro segundos despus de saltar del avin abre el paracadas, produciendo una resistencia al avance igual a tres veces el cuadrado de la velocidad. Determine la velocidad del paracaidista y su posicin para cualquier tiempo t > 0. Cul es su velocidad terminal?

51. Se deja caer una bolsa de lastre de 10 libras desde un globo de aire caliente que se encuentra a una altura de 342 pies y una velocidad asciende a una velocidad de 4 pies/segundo. Suponiendo que no hay resistencia del aire, determine la altura mxima que alcanza la bolsa, el tiempo que se mantiene en el aire y la velocidad con que choca con el suelo.


52. Un vehculo lunar est cayendo libremente a la superficie de la luna a una velocidad e 1.000 millas/hora. Sus cohetes retropropulsores proporcionan una desaceleracin de 33 millas/hora2 cuando son encendidos en el espacio libre. a) Se sabe que la aceleracin gravitacional es inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia medida desde el centro de la luna. Si el radio de la luna es 1.08 Kilo millas y la aceleracin gravitacional es de 13 Kilo millas/hora2, calcule la constante de proporcionalidad.

b) A qu altura sobre la superficie lunar deben ser activados los cohetes retropropulsores para asegurar un descenso suave" (es decir, v = 0 en el impacto)?

53. Cuando pasa un rayo vertical de luz por una sustancia transparente, la razn con que decrece su intensidad Z es proporcional a Z(t), donde t representa el espesor, en pies, del medio. En agua de mar clara, la intensidad a 3 ft bajo la superficie, es el 25% de la intensidad inicial le del rayo incidente. Cul es la intensidad del rayo a 15 ft bajo la superficie?

54. Cuando el inters se capitaliza (o compone) continuamente, en cualquier momento la cantidad de dinero, S, aumenta a una tasa proporcional a la cantidad presente: dS/dt = rS, donde r es la tasa de inters anual a) Calcule la cantidad reunida al trmino de cinco aos, cuando se depositan

$5000 en una cuenta de ahorro que rinde el 5$% de inters anual compuesto continuamente.

b) En cuntos aos se habr duplicado el capital inicial? c) Con una calculadora compare la cantidad obtenida en la parte a) con el

valor de:

,este valor representa la cantidad reunida

cuando el inters se capitaliza cada trimestre. 55. Una ecuacin diferencial que describe la velocidad v de una masa m en cada

sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantnea es

en que k es una constante de proporcionalidad positiva. a) Resuelva la ecuacin, sujeta a la condicin inicial . b) Calcule la velocidad lmite (o terminal) de la masa. c) Si la distancia s se relaciona con la velocidad por medio de ds/dt = v,

deduzca una ecuacin explcita para s, si tambin se sabe que . 56. La razn con que se disemina una medicina en el torrente sanguneo se

describe con la ecuacin diferencial:

, r y k son constantes

positivas. La funcin x(t) describe la concentracin del frmaco en sangre en

el momento t. Determine el valor lmite de x(t) cuando . En cunto tiempo la concentracin es la mitad del valor lmite? Suponga que x(0) = 0

57. Cuando se tiene en cuenta lo olvidadizo de un individuo, la rapidez con que

memoriza est definida por:

, en que , A(t)

es la cantidad de material memorizado en el tiempo t, M es la cantidad total por memorizar y M-A es la cantidad que resta por memorizar. Halle A(t) y grafique

la solucin. Suponga que A(0) = 0. Determine el valor lmite de A cuando e interprete el resultado.


58. La cantidad C(r) de supermercados que emplean cajas computarizadas en un pas esta definida por el problema de valor inicial:

, C(0) = 1,en donde t>0. Cuntos supermercados

utilizan el mtodo computarizado cuando t = 10?, Cuntos lo adoptaran despus de un tiempo muy largo?

59. La profundidad h del agua al vaciarse un tanque cilndrico vertical por un

agujero en su fondo est descrita por:

,

en donde , y son las reas transversales del tanque y del agujero, respectivamente. Resuelva la ecuacin con una profundidad inicial del agua de

20 ft, y

En qu momento queda vaco el tanque?

60. Cunto tarda en vaciarse el tanque del problema anterior si el factor por friccin y contraccin en el agujero es c = 0.6?

61. Resuelva la ecuacin diferencial de la tractriz :

. Suponga que el

punto inicial en el eje y es (0,10) y que la longitud de la cuerda es S=10 pies. 62. Si se supone que una bola de nieve se funde de tal modo que su forma

siempre es esfrica, un modelo matemtico de su volumen es :

, donde

S es el rea superficial de una esfera de radio r, y k < 0 es una constante de proporcionalidad . a) Replantee la ecuacin diferencial en trminos de V(t). b) Resuelva la ecuacin en la parte a), sujeta a la condicin inicial V(0) = Vo. c) Si r(0) = ro, determine el radio de la bola de nieve en funcin del tiempo t.

Cundo desaparece la bola de nieve?

63. La ecuacin diferencial:

describe la forma de una curva

plana, C, que refleja todos los rayos de luz que le llegan y los concentra en el mismo punto. Hay varias formas de resolver esta ecuacin.

a) Primero, compruebe que la ecuacin diferencial sea homognea.

Demuestre que la sustitucin da como resultado:

Use un software adecuado o alguna sustitucin adecuada para integrar el lado izquierdo de la ecuacin. Demuestre que la curva C debe ser una parbola con foco en el origen, simtrica con respecto al eje X.

b) Por ltimo, demuestre que la primera ecuacin diferencial tambin se puede

resolver con la sustitucin . 64. Segn la ley de Stefan de la radiacin, la rapidez de cambio de la

temperatura de un objeto cuya temperatura absoluta es T, es:

en donde es la temperatura absoluta del medio que lo rodea. Determine una solucin de esta ecuacin diferencial. Se puede demostrar que, cuando

, es pequea en comparacin con Tm esta ecuacin se apega mucho a la ley de Newton del enfriamiento

65. Una ecuacin diferencial que describe la velocidad v de una masa m que cae cuando la resistencia que le opone el aire es proporcional al cuadrado de la

velocidad instantnea, es :

en la que k es una constante de

proporcionalidad positiva.


a) Resuelva esta ecuacin sujeta a la condicin inicial v(0) = v0. b) Determine la velocidad lmite, o terminal, de la masa. c) Si la distancias se relaciona con la velocidad de cada mediante ds/dt = v,

deduzca una ecuacin explcita de s, sabiendo que s(0) = s0. 66. a) Deduzca una ecuacin diferencial para describir la velocidad v(t) de una

masa m que se sumerge en agua, cuando la resistencia del agua es proporcional al cuadrado de la velocidad instantnea y, al mismo tiempo, el agua ejerce una fuerza de flotacin hacia arriba, cuya magnitud la define el principio de Arqumedes (empuje=densidad . gravedad . volumen desplazado). Suponga que la direccin positiva es hacia abajo. b) Resuelva la ecuacin diferencial que obtuvo en la parte a). c) Calcule la velocidad lmite, o terminal, de la masa que se hunde.

67. a) Si se sacan o cosechan h animales por unidad de tiempo (h constante), el modelo demogrfico P(t) de los animales en cualquier momento t es

en donde a, b, h y son constantes positivas.

Resuelva el problema cuando a = 5, b = 1 y h=4. b) determinar el comportamiento a largo plazo de la poblacin en la parte

a),cuando , y c) Si la poblacin se extingue en un tiempo finito, determine ese tiempo. 68. El ritmo al que cierto medicamento se absorbe en el sistema circulatorio est

dado por sxr

dt

dx

, donde x(t) es la concentracin del medicamento en el flujo sanguneo en el tiempo t; r y s son constantes positivas. Supngase que al comienzo no haba indicios del medicamento en la sangre:

a) Halle x(t) b) Qu le sucede a x(t) a largo plazo (a medida que t crece sin lmite)? 69. Sea P(t) la poblacin de cierto pas en el tiempo t. Supngase que la tasa de

natalidad r y la de mortalidad s del pas son constantes y que hay una tasa constante de inmigracin m.

a) Explique por qu la poblacin de cierto pas en el tiempo t. Suponga que la tasa de natalidad r y la de mortalidad s del pas son constantes y que hay una tasa constante de inmigracin m.

mtPsr

dt

dP )()(

b) Halle P(t) c) Si la poblacin del pas era 100 millones en 1990, con una tasa de

crecimiento (tasa de natalidad menos tasa de mortalidad) del 2%, y si se permite la inmigracin a la tasa de 300.000 personas por ao. Cul ser la poblacin en el ao 2000?

70. El valor de reventa de cierta maquinaria industrial decrece a un ritmo proporcional a la diferencia entre su valor actual y su valor residual de $ 40.000 y vala $ 30.000 despus de 4 aos. Cunto valdr la maquinaria cuando tenga 8 aos?.

71. Cierto pozo petrolfero que produce 600 barriles de petrleo crudo al mes se secar en 3 aos. En la actualidad, el precio del petrleo crudo es $ 24 por



barril y se espera que aumente a una razn constante de 8 centavos mensuales por barril. Si el petrleo se vende tan pronto como se extrae del suelo. Cul ser el ingreso futuro total obtenido del pozo?

72. Un pas tiene $ 5.000 millones en moneda corriente. Todos los das cerca de $us. 18 millones ingresan a los bancos y se desembolsa la misma cantidad. Suponga que el pas decide que cada vez que llega al banco un billete de dlar, ste es destruido y reemplazado por un nuevo tipo de moneda. Cunto tiempo se necesitar para que el 90% de la moneda en circulacin sea del nuevo estilo?

73. El jefe de personal de una empresa da como dato que 30 es el nmero mximo de unidades que puede producir un trabajador diariamente. El ritmo de crecimiento del nmero de unidades n producidas respecto del tiempo en das por un empleado nuevo es proporcional a 30-n. a) Determine la ecuacin diferencial que describe el ritmo de cambio.

kNkN 30 b) Resolver la EDO

ktceN 30

c) Calcular la solucin particular para un empleado nuevo que produce 10 unidades el primer da y 19 unidades el da 12.

20c 05.0k 74. La secrecin de hormonas que ingresan a la sangre suele ser una actividad

peridica. Si una hormona es segregada en un ciclo de 24hrs. Entonces la razn de cambio del nivel de la hormona en la sangre se puede representar por

medio del problema de valor inicial cos

12

tdxkx

dt

10)0( x x=cantidad de hormonas contenidas en la sangre en el instante t = velocidad de secrecin media = cantidad de variacin en la secrecin K= velocidad de eliminacin de la hormona de la sangre

Si 2

1

k

Encuentre la cantidad de hormonas en la sangre. 75. La temperatura T (en unidades de 100F) de un saln de clases de un

universidad en un da frio de invierno varia con el tiempo t (en horas) de acuerdo con:

1-T, si elcalefactor esta encendido

-T, si elcalefactor esta apagado

dT

dt

Suponga que T=0 a las 9:00am, que el calefactor esta encendido de 9 a 10 am, apagado de las 10 a las 11 am, encendido de 11 a 12 del medioda y as sucesivamente por el resto del da. A qu temperatura estar el saln al medioda?, y a las 5pm?.

76. La masa inicial de cierta especie de pez es de 7 millones de toneladas. Dicha masa, de dejarse sola, aumentara a una razn proporcional a la masa, con un constante de proporcionalidad de 2/ao. Sin embargo, la pesca comercial elimina una masa de peces a una razn constante de 15 millones de toneladas


por ao. En qu momento se terminarn los peces? Si la razn de pesca se modifica, de modo que la masa de peces permanezca constante, Cul debera ser la razn?.

77. Por consideraciones tericas, se sabe que la luz de cierta estrella debe llegar a la Tierra con una intensidad Io . Sin embargo, la trayectoria de la luz desde la estrella hasta la Tierra pasa por una nube de polvo, con un coeficiente de absorcin de 0.1/ao luz. La luz que llega a la Tierra tiene una intensidad de Io . Cul es el espesor de la nube de polvo? (la razn de cambio de la intensidad de la luz respecto del espesor es proporcional a la intensidad. Un ao luz es la distancia recorrida por la luz en un ao).

78. Una bola de nieve se funde de modo que la razn de cambio en su volumen es proporcional al rea de su superficie. Si la bola de nieve tenia inicialmente 4 pulgadas de dimetro , en qu momento tendr un dimetro de 2 pulgadas?. Desde el punto de vista matemtico, en qu momento desaparecer la bola de nieve?

79. Los nicos isotopos de los elementos desconocidos hohio e inercio (smbolos Hh e It) son radioactivos. El hohio decae en el inercio con una constante de decaimiento de 2/ao, y el inercio decae en el istopo radiactivo del bunkio (smbolo Bu) con una constante de decaimiento de 1/ao. Una masa inicial de 1kg de hohio se coloca en un recipiente no radiactivo, sin otras fuentes de hohio, inercio ni bunkio. Qu cantidad habr en el recipiente despus de t aos? (La constante de decaimiento es la constante de proporcionalidad en el enunciado de que la razn de prdida de masa del elemento en cualquier tiempo es proporcional a la masa del elemento en ese instante.)

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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