CARACTERIZACIONES Y ALGORITMOS DE

RESOLUCIÓN

Palacin Palacios Daniel www.palacinp.es.tl

ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES

•Caracterización

Si la condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial ordinaria de primer orden sea de variables separables es que la función verifique la relación.

(1.1)

GUÍA PARA EL ALUMNO

1.

2.

3.

4.

5. 6. 7. 8. 9.

EjerciciosComprobar que el programa anterior resuelva correctamente las siguientes ecuaciones:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

No es de variables separables

No es de variables separables

2.2. Guión para el alumno

Clear["Global`*"]; f[x_,y_] = Input["Introduce la función f(x,y) que aparece en la ecuación y' = f(x,y)"];

ux_, y_ FullSimplifyxfx, yyfx, y;h[w]=FullSimplify[f[x,w-u[x,y]x]];

2.3. Ejercicios

Comprobar que el programa anterior resuelva correctamente las siguientes ecuaciones:

3. Ecuaciones homogéneas

3.1. Caracterización

La condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial ordinaria de primer orden y´ = f(x, y) sea homogénea es que la función f verifique la relación.

(3.1)

Vamos a demostrar que, en defecto, la condición (3.1) caracteriza las ecuaciones homogéneas.

3.2. Guión para el alumno

Clear["Global`*"]; f[x_,y_] = Input["Introduce la función f(x,y) que aparece en la ecuación y'= f(x,y)"];

g[u_]=FullSimplify[f[1,u]];

3.3 EjerciciosComprobar que el programa anterior resuelve correctamente las siguientes ecuaciones.

4 Ecuaciones lineales4.1 Caracterización la condición necesaria y suficiente para que la

ecuación diferencial ordinaria de primer orden sea lineal es que la función verifique la relación.

(4.1)

Vamos a demostrar que, en efecto la condición (4.1) caracteriza las ecuaciones lineales.

4.2 Guion para el alumno

1º

2º

3º

4º

4.3 EjerciciosComprobar que el programa anterior resuelve correctamente las siguientes

ecuaciones.

5 Ecuaciones de Bernoulli

5.1 Caracterización

La condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial ordinaria de primer orden sea de Bernoulli es que la función verifique la relación

(5.1)

Donde hemos designado

Teniendo en cuenta que la condición (5.1) implica, por un lado, que y, por otro lado, que , vamos a demostrar que, en efecto dicha condición caracteriza las ecuaciones de Bernoulli.

5.2 Guion para el alumno

1º

2º

PASO :1 RECONOCIENDO NUESTRA ALFA

PASO :2

PASO :3

En el programa quedaría de la siguiente manera

Ejercicios

(6( (6.1)

6. ECUACIONES DE RICCATI

6.1. CaracterizaciónLa condición necesaria y suficiente para

que la ecuación diferencial ordinaria de primer orden = f(x, y) sea de Riccati es que la función f verifique la relación

Vamos a demostrar que ,en efecto, la relación (6.1) caracteriza las ecuaciones de Riccati.

3fx, yy3

0.

En primer lugar debemos introducir la ecuacion que deseamos resolver

6.3. Ejercicios Comprobar que el programa anterior resuelve correctamente las siguientes ecuaciones, teniendo en cuenta las soluciones particulares que se proponen en cada apartado:

))(2(' yxyxy

xxc

y

1

1

Con

1)

solución:

)1)(1(' yxy xxy )(1

3)

2)

xxy 1)(1

Con

solución: Es de Riccati , pero y1(x) =x no es una solución particular

23 )(' yxxx

yy Con xxy )(1

solución:

5

51

xcxy

22' 2 xyyy4)

)(

22

2

xErfic

exy

x

Con

solución:

Xxy 2)(1

42 3' yyxy 5)

Con

solución: No es de Riccati

6)

7)

8)

9)

10)

Con

Con

Con

Con

solución: Es de Riccati , pero y1(x)=cosx no es una solución particular

solución:

solución:

solución:

solución:

2

2

4' y

x

y

xy

5

4

4

)4(2

xcx

xcy

xxy

2)(1

21' xyyxy 1)(1 xy

14

1

)2))2/1(((412

xErficey

xx

22 )21(' yyeey xx xexy )(1

1)1( xx ceey

ytgxxyy 22 sec' tgxxy )(1

)))2/()2/cos(

)2/()2/cos(ln((sec

xsenx

xsenxcxtgxy

ytgxxy cos' xxy cos)(1

7. Ecuaciones exactas 7.1. Caracterización

La condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial ordinaria de primer

orden sea exacta es que las funciones P y Q sean de

clase sobre una región elemental , y que verifique la relación

0),(),( dyyxQdxyxP

1c 2RD

X

Q

Y

P

(7.1)

Sobre la región D

2RDRba ],[:1 Rba ],[:2 2c

Recordamos que una región se denomina de tipo 1 si existen dos funciones

y , ambas de clase a trozos sobre [a, b],

tales que la región D puede describirse mediante

]},[)()(:),{( 21 baxxyxRyxD

Una región se denomina de tipo 2 si existen dos funciones y

, ambas de clase a trozos sobre [a, b], tales que la región D puede describirse mediante :

2RD Rba ],[:1

Rba ],[:2 2c

]},[)()(:),{( 21 bayyxyRyxD

7.2 Guión para el alumno : En primer lugar debemos introducir la ecuación que deseamos resolver:

Clear ["Global '*"];P [x_, y_]=Input ["introduce la función P(x, y) que aparece en la ecuación P(x, y) dx+Q(x, y) dy=0"];Q [x_,y_]=Input["Introduce la función Q(x ,y) que aparece en la ecuación P(x, y) dx+Q(x, y) dy=0"];

Ejercicios:Comprobar que el programa anterior resuelve correctamente las siguientes ecuaciones:

0)35()52( 2 dyyxdxyx solución: cyxyx 32 5

0)2()sec2( 22 dyyxdxxxy ctgxyxy )( 2

0)2()1( dyxedxxyeye xxx cxyeyx x 2

solución:

solución:

1)

2)

3)

a=FullSimplify [ ];dxyxp ],[

b=FullSimplify [ ] ;

c=FullSimplify [ ] ;

d=FullSimplify [ a+c ] ;

ayxQ y],[

bdy

Print[“La solución de (“,P[x,y],”)dx+(“,Q[x,y],”)dy=0 es “,d,”=c”]]

0)()( 2332 dyyxdxyx cyx 3/)( 33

0)1()3( 2 dyxdxyx cyxxy )( 3

0)2()3( dyxdxyx

0)ln()/( 23 dyxydxxyx cxyyx ln3/4/( 34

0)1()2( 2 dyxdxxy cyx )1( 2

0)()( 22 dytgyxdxxy

0))1(()cos( 22 dyyxdxxsenxxy cxyx 222 cos)1(

solución:

solución: No es exacta

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

solución:

solución:

solución:

solución:

solución: No es exacta

8. Ecuaciones con factores integrantes 8.1 caracterización En general la ecuación diferencial P(x, y) dx+Q(x, y) dy=0 no es exacta, pero multiplicando la ecuación por un factor adecuado , de modo que quede

, se puede transformar en una ecuación exacta.

),( yx

odyyxQyxdxyxPyx ),(),(),(),(

)(1 Dc

),( yx )(1 Dc

Dada la ecuación P(x, y) dx+Q(x, y) dy=0, con P y Q de clase (D es una región

elemental del plano), se dice que la función , también de clase , es

un factor integrante de la ecuación si

Es exacta

0 QdyPdx

La condición necesaria y suficiente para que la función sea un factor

integrante de la ecuación P(x, y) dx+Q(x, y) dy=0 es que se verifique la relación

),( yx

)(x

Q

y

P

yP

xQ

(8.1)

0// yzPxzQ

Por otro lado, si es un factor integrante de Pdx+Qdy=0 , depende de cierta

función , y además se verifica que

Entonces :

),( yxzz

dzzf

ez)(

)(

Guion para el alumno1º

2º

3º

4º