Ecuaciones Diferenciales Ordinarias -...

132 – Fundamentos de Matematicas

Unidad III

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Prof: Jose Antonio Abia Vian Grado de Ing. en Diseno Industrial y Desarrollo del producto : Curso 2013–2014

133 – Fundamentos de Matematicas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Capıtulo 12

EDO de primer orden

12.1 Introduccion, conceptos e ideas basicas

Las ecuaciones diferenciales surgen en muchas aplicaciones de la ingenierıa como modelos matematicos dediversos sistemas fısicos y de otros tipos, y muchas de las leyes y relaciones se modelan matematicamente comoecuaciones diferenciales. Siempre que intervenga la razon de cambio de una funcion, como la velocidad, laaceleracion, la desintegracion, etc., se llegara a una ecuacion diferencial.

Definicion 239.- Una ecuacion diferencial ordinaria (EDO) es aquella que contiene una o varias derivadasde una funcion desconocida de una variable, y se quiere determinar a partir de la ecuacion

Suele denominarse por y = y(x) a esa funcion buscada y por x la variable sobre la que se deriva. Ası, porejemplo, (se usan indistintamente las notaciones y′ e dy

dx ):

? y′ = cosx

? d2ydx2 + 4y = dy

dx

? x2y′′′y′ + 2exy′′ = (x2 + 2)y2

El termino ordinarias las distinque de las ecuaciones diferenciales parciales en las que la solucion depende dedos o mas variables. El orden de una ecuacion diferencial es el orden de la derivada mas alta.

Definicion 240.- Una ecuacion diferencial ordinaria de orden n generica suele representarse mediante la ex-presion

F(x; y,

dy

dx, . . . ,

dny

dxn

)= F

(x; y, y′, . . . , yn)

)= 0

y se dice que una funcion y = f(x), definida en un intervalo I ⊆ R y con derivada n -esima en el inter-valo, es una solucion explıcita de la ecuacion diferencial si la verifica en cada punto de I . Es decir, siF (x; f(x), f ′(x), . . . , fn)(x)) = 0 para cada x ∈ I .

Se dice que g(x, y) = 0 es una solucion implıcita de la ecuacion diferencial si define implıcitamente a unafuncion f(x) que es una solucion explıcita de la ecuacion diferencial.

Ejemplo La ecuacion diferencial x + y y′ = 0 tiene a x2 + y2 − 25 = 0 como solucion implıcita en elintervalo (−5, 5), que define implıcitamente la solucion explıcita y = f(x) =

√25− x2 .

En efecto, si y = y(x), derivando respecto a x la ecuacion implıcita x2+y2−25 = 0 se tiene 2x+2y(x) y′(x) = 0(derivacion en implıcitas) de donde se obtiene la ecuacion de partida x+ y y′ = 0.Igualmente, para f(x) =

√25− x2 es f ′(x) = −x√

25−x2 , y se cumple que es una solucion explıcita

x+ f(x) f ′(x) = x+√

25− x2 · −x√25− x2

= x− x = 0

Algunas ecuaciones resolubles Disponemos de algunas ecuaciones diferenciales que podemos resolver y yahemos resuelto, por ejemplo y′ = cos(x). Es evidente que la podemos resolver, pues

y′ = cos(x) =⇒ y =∫

cos(x)dx = sen(x) + C

No solo hemos encontrado una solucion sino que hemos encontrado todas las soluciones posibles. Para cadavalor concreto de la contante C tendremos una solucion particular de la ecuacion diferencial, y a la expresionparametrica que las define se le denomina solucion general.

Si lo que buscamos es una solucion concreta, que por ejemplo en x = 0 valga 5 (y(0) = 5), la solucionpedida sera la que cumpla ambas condiciones: en este caso, y = sen(x) + 5. Como la solucion general dependede un unico parametro, un unica condicion anadida determina su valor; incluir mas condiciones a cumplir queparametros a fijar supone que o bien hay condiciones superfluas o no hay solucion.


134 – Fundamentos de Matematicas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 12.2 Metodos de resolucion

Definicion 241.- Este tipo de ecuaciones diferenciales con condiciones adicionales que se refieren todas almismo punto, se denominan problemas de valores iniciales o problemas de Cauchy y se expresan en laforma {

y′ = f(x, y)y(x0) = y0

;

y′′ = f(x; y, y′)y(x0) = y0

y′(x0) = y1

; · · · · · · · · ·

Cuando las condiciones se refieren a mas de un punto se dicen Problemas de contorno (y que no trataremos).

Nota: En general, una ecuacion diferencial de orden n tiene soluciones dependientes de n parametros.

y′′ = cos(x) =⇒ y′ = sen(x) + C1 =⇒ y =∫

(senx+C1)dx = − cos(x) + C1x+ C2

12.1.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Antes de seguir buscando nuevos metodos de resolucion, fijemos notaciones, condiciones y recursos que nosaseguren soluciones y resultados. Para ello comencemos por las ¿mas sencillas?, las de primer orden:

Definicion 242.- Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden escribirse mediante las expresiones:

F (x; y, y′) = 0 y′ = f(x, y) M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

que suelen denominarse la forma general o implıcita, la forma normal y la forma diferencial, todas ellasvalidas y puede usarse una u otra segun interese en cada caso (ver nota siguiente)

Nota: La manipulacion de los terminos de la ecuacion diferencial para cambiar de una forma a otra que puedafacilitarnos la resolucion, no cambia el grueso de las soluciones, aunque sı puede eliminar alguna solucionconcreta o anadirla

Ejemplo Las exprersiones, y′ − xy 12 = 0, y′ = xy

12 y xdx− 1

y12dy = 0 son formas distintas de la misma

ecuacion diferencial, pero la funcion y(x) = 0 no puede ser una solucion en la forma diferencial y sı lo es de lasotras formas (ver el 2o ejemplo de la subseccion 12.2.1 de Ecuaciones diferenciales separables)

Teorema de existencia y unicidad 243.- Sea la ecuacion diferencial y′(x) = f(x, y). Si f es una funcioncontinua en un abierto y conexo D de R2 y si ∂f

∂y es tambien continua en D y (x0, y0) ∈ D , entonces existeuna unica funcion y = ϕ(x) definida en un entorno de x0 que es solucion del problema de Cauchy{

y′ = f(x, y)y(x0) = y0

(Muy burdamente, conexo significa un conjunto en un solo trozo). Es evidente que si no se cumplen las hipotesis,ni existencia ni unicidad esta garantizada (aunque puedan ocurrir) como en el siguiente ejemplo:

Ejemplo Para la ecuacion diferencial y′ = xy12 , se tiene que f(x, y) = xy

12 es continua en y ≥ 0 y ∂f

∂y

lo es en y > 0. Luego en (0, 0) no se cumplen las hipotesis del teorema, sin embargo tanto y1(x) = 0 como

y2(x) = x4

16 son soluciones del problema de Cauchy{

y′ = xy12

y(0) = 0

Ambas verifican la condicion en el punto y como y121 = 0 e y′1 = 0 se tiene que 0 = y′1 = xy

121 = 0.

Identicamente, y122 = x2

4 e y′2 = x3

4 , luego x3

4 = xx2

4 tambien cumple la ecuacion.

12.2 Metodos de resolucion

La resolucion de estas ecuaciones diferenciales se basa en la busqueda de “primitivas” (en un sentido amplio),de funciones de una variable y de funciones de dos variables. Los dos primeros metodos que veremos marcanestas dos pautas de resolucion (y todos los demas han de reducirse a alguno de ellos)



12.2.1 Ecuaciones diferenciales separables

Definicion 244.- Si la ecuacion diferencial y′ = f(x, y) puede escribirse en la forma

g(y) y′ = f(x)(

o mejor g(y) dy = f(x) dx)

se denomina ecuacion diferencial separable o de variables separables

Y como parece indicar la segunda opcion, se resuelven mediante integraciones independientes en cada una delas ”variables” x e y :

Una solucion y(x) debe cumplir la ecuacion g(y(x)) y′(x) = f(x), luego ambos terminos seran funciones de x ,por lo que integrando en x ambos lados de la igualdad (y un sencillo cambio de variable)∫

g(y(x)) y′(x) dx =∫f(x) dx−→

{y(x) = t

y′(x)dx = dt

}−→

∫g(t) dt =

∫f(x) dx

(que en el fondo es)−→{

y(x) = y

y′(x)dx = dy

}−→

∫g(y) dy =

∫f(x) dx

Luego, si denotamos por las mayusculas a sendas primitivas, se tiene que G(y) = F (x) + C . Por lo que lafuncion G(y)− F (x) = C es la solucion general implıcita de la ecuacion diferencial

Ejemplo La ecuacion diferencial x+ y dydx = 0 es separable pues y y′ = −x o

y dy = −x dx =⇒∫y dy =

∫−x dx =⇒ y2

2= −x

2

2+ C =⇒ x2 + y2 = 2C = K

que es la solucion general, con K ≥ 0.

Ejemplo La ecuacion diferencial y′ = xy12 (1) es separable, pues puede escribirse como y−

12dydx = x (2)∫

y−12 dy =

∫x dx =⇒ y

12

12

=x2

2+ C =⇒ y

12 =

x2

4+ 2C =⇒ y =

(x2

4+K

)2

y la solucion general de (2) es y(x) =(x2

4 +K)2

para todo K ∈ R .

Ahora bien, para obtener (2) hemos dividido (1) por y12 y, puesto que buscamos una solucion de la forma

y = y(x), la funcion constantemente 0 no puede ser solucion de (2), pero sı resulta ser una solucion de (1). Es

decir, todas las soluciones de la ecuacion inicial (1) son y(x) = 0 e y(x) =(x2

4 +K)2

, para cada K ∈ R .

Las soluciones, como esta y(x) = 0, que no aparecen incluidas en la expresion con parametros de la solucionsuelen denominarse soluciones singulares.

12.2.2 Ecuaciones diferenciales exactas

La existencia de una solucion implıcita, que es una funcion real de dos variables y cuya derivacion debe reconstruirla ecuacion diferencial, nos indica el metodo para la resolucion: buscar esa “primitiva” cuya derivada es laecuacion.

Una funcion ϕ(x, y) = C que define implıcitamente una funcion y(x), es tambien una solucion implıcitade la ecuacion diferencial. Derivando respecto a x , se tiene

∂ϕ

∂y· ∂y∂x

+∂ϕ

∂x· ∂x∂x

= 0 ⇐⇒ ∂ϕ

∂y· dydx

+∂ϕ

∂x= 0,

con expresiones mas comunes: f2(x, y) · y′ + f1(x, y) = 0 ⇐⇒ f1(x, y) dx+ f2(x, y) dy = 0



Definicion 245.- Una ecuacion de primer orden dada en la forma diferencial por

M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0

se dice que es exacta en un abierto y conexo D si existe ϕ tal que

∂ϕ

∂x(x, y) = M(x, y)

∂ϕ

∂y(x, y) = N(x, y)

para cada (x, y) ∈ D . Entonces, ϕ(x, y) = C es la solucion general de la ecuacion diferencial.

Teorema 246.- Si se cumple que ∂M∂y (x, y) = ∂N

∂x (x, y) en cada punto de un abierto y convexo D , existe ϕ

tal que ∂ϕ∂x (x, y) = M(x, y) y ∂ϕ

∂y (x, y) = N(x, y) en cada punto de D .

Calculo de ϕ : Si sabemos que ϕ existe, podemos hacerlo sencillamente obligando a que cumpla lo que tieneque cumplir. Para ilustrar el metodo, consideremos el siguiente ejemplo de ecuacion diferencial exacta:

(y2+y cosx)dx+ (2xy+3y2+senx)dy = 0 ya que ∂∂y (y2+y cosx) = 2y+cosx = ∂

∂x (2xy+3y2+senx)

? ϕ debe verificar que ∂ϕ∂x (x, y) = M(x, y) = y2 +y cosx , luego considerando y como constante, ϕ debe

ser una primitiva de M , es decir,

ϕ(x, y) =∫M(x, y) dx =

∫y2 + y cosx dx = xy2 + y senx+K(y)

siendo K(y) la constante de integracion, que sera constante respecto a x pero que podrıa contener algunaconstante y (recordad, en este punto consideramos y como constante)

? ϕ tambien debe verificar que ∂ϕ∂y (x, y) = N(x, y) = 2xy+3y2+senx , luego debe verificarse que

2xy+3y2+senx = ∂∂yϕ(x, y) = ∂

∂y (xy2 + y senx+K(y)) = 2xy + senx+K ′(y)

De donde, K ′(y) = 3y2 y por consiguiente

K(y) =∫K ′(y)dy =

∫3y2dy = y3 + C

con C la constante de integracion. Luego hemos construido

ϕ(x, y) = xy2 + y senx+K(y) = xy2 + y senx+ y3 + C

y se tiene entonces que xy2 + y senx+ y3 + C = 0 es la solucion general implıcita de la ecuacion diferencial

Observaciones Unas consideraciones interesantes sobre este calculo y el metodo

1.- En el segundo paso, K ′(y) es una funcion de y , luego constante o con la variable y , pero en ningun casodebe tener la variable x . Si esto sucede, o bien hemos errado en los calculos o bien la ecuacion diferencialno es exacta

2.- Antes de intertar calcular la funcion ϕ , debe comprobarse que la ecuacion diferencial es exacta

3.- La construccion de ϕ puede hacerse tambien intercambiando las variables x e y en los dos pasos, es decir,comenzando por considerar ϕ una primitiva de N respecto a y . De hecho, conviene comenzar por la quetenga el calculo de la primitiva mas sencillo.

4.- Es evidente del planteamiento de este metodo, que se estan usando las variables x e y como independientes,y tambien es independiente el calculo de la funcion “primitiva”. El resultado es independiente de sibuscamos una solucion y = y(x) o una x = x(y); nosotros decidiremos de que tipo buscamos y nosaseguraremos entonces de que todas esas soluciones se encuentren.

Nota: La ecuaciones separables tambien son ecuaciones exactas, pues si g(y) y′ = f(x), entonces en la formadiferencial f(x) dx− g(y) dy = 0 se cumple obviamente la condicion anterior.



12.2.3 Factores integrales

Desgraciadamente, las ecuaciones diferenciales no son habitualmente exactas, pero en ocasiones lo son si semultiplican por una funcion adecuada.

Definicion 247.- Se dice que la funcion µ(x, y) no nula en un abierto, es un factor integrante de la ecuacionM(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 si la ecuacion diferencial

µ(x, y)(M(x, y) dx+N(x, y) dy

)= 0 ⇐⇒ µ(x, y)M(x, y) dx+ µ(x, y)N(x, y) dy = 0

es exacta.

Observar que si µ(x, y) es no nula, las soluciones de la nueva ecuacion solo pueden ser soluciones de la ecuacioninicial. En caso de no ser ası, deben comprobarse aquellas soluciones que provengan de µ(x, y) = 0.

Buscar factores integrantes cualesquiera no es tarea facil, pero no es excesivamente complejo si el factordepende de una sola variable:

12.2.3.1 Factores integrales de la forma µ(x) o µ(y)

Veamos las condiciones para admitir un factor integrante dependiente unicamente de la variable x . La funcionµ(x) es un factor integrante si cumple que

∂

∂y

(µ(x)M(x, y)

)=

∂

∂x

(µ(x)N(x, y)

)µ(x)

∂M(x, y)∂y

=N(x, y)∂µ(x)∂x

+ µ(x)∂N(x, y)

∂x

µ(x)(∂M(x, y)

∂y− ∂N(x, y)

∂x

)=N(x, y)µ′(x)

∂M(x,y)∂y − ∂N(x,y)

∂x

N(x, y)=µ′(x)µ(x)

= f(x) =⇒∫ ∂M(x,y)

∂y − ∂N(x,y)∂x

N(x, y)dx =

∫µ′(x)µ(x)

dx = ln(µ(x)

)de donde µ(x) = exp

(∫∂M(x,y)

∂y − ∂N(x,y)∂x

N(x,y) dx

).

Analogamente, para un factor integrante de la forma µ(y) debe ser µ′(y)µ(y) =

∂M∂y −

∂N∂x

−M = f(y).

Ejemplo La ecuacion 2 sen(y2)dx+ xy cos(y2)dy = 0 admite un factor integrante µ(x).En efecto,

∂M

∂y− ∂N

∂x= 2 cos(y2)2y − y cos(y2) = 3y cos(y2)

y se eliminan todas las y si dividimos por N ,

∂M∂y −

∂N∂x

N=

2 cos(y2)2y − y cos(y2)xy cos(y2)

=3y cos(y2)xy cos(y2)

=3x

=µ′(x)µ(x)

de donde ln(µ(x)

)=∫

3x dx = lnx3 =⇒ µ(x) = x3 . Luego es exacta la ecuacion:

2x3 sen(y2)dx+ x4y cos(y2)dy = 0 ←− ∂M

∂y− ∂N

∂x= 2x2 cos(y2)2y − 4x3y cos(y2) = 0

Resolviendo, ϕ(x, y) =∫M(x, y)dx =

∫2x3 sen(y2)dx =

x4

2sen(y2) +K(y)

y como x4y cos(y2) = N(x, y) = ∂ϕ∂y = x4

2 cos(y2)2y +K ′(y) =⇒ K ′(y) = 0 =⇒ K(y) = C

de donde, x4

2 sen(y2) = C o x4 sen(y2) = C es la solucion general.Comprobar que tambien admite un factor integral de la forma µ(y) y resolverla.



12.2.3.2 Factores integrales mas generales

En este mismo sentido de la busqueda de factores faciles, nos podemos encontrar algunos como los del tipoµ(x, y) = xayb , que no requieren una comprobacion muy difıcil.

Mas genericos resultan los factores de la forma µ(z), con z = f(x, y), de manera que el problema puedetratarse casi como de una sola variable z . Pero solo tiene sentido plantearse esto cuando sabemos que tipo defactor debemos buscar; sin indicios es como buscar una aguja en un pajar (y con menor probabilidad de exito).

Por ejemplo, la ecuacion diferencial (y − 2x− 4y2)dx+ (4xy − 2x)dy = 0 tiene un factor integrante que esfuncion de z = 2x+ y . Por la regla de la cadena se tiene ∂µ(z)

∂x = µ′(z) ∂z∂x = 2µ′(z) y ∂µ(z)∂y = µ′(z) ∂z∂y =

µ′(z), luego

∂

∂y

((y − 2x− 4y2) · µ(z)

)=

∂

∂x

((4xy − 2x) · µ(z)

)(y − 2x− 4y2)µ′(z) + (1− 8y)µ(z) = (4xy − 2x)2µ′(z) + (4y − 2)µ(z)((y − 2x− 4y2)− (8xy − 4x)

)µ′(z) =

((4y − 2)− (1− 8y)

)µ(z)

(y + 2x− 4y2 − 8xy)µ′(z) = (12y − 3)µ(z)µ′(z)µ(z)

=12y − 3

(y + 2x)− 4y(y + 2x)=

12y − 3(y + 2x)(1− 4y)

=−3

y + 2x=−3z

12.2.4 Ecuaciones lineales

Un caso de factor integrante son las ecuaciones lineales, que admiten siempre un factor µ(x). Pero que sonreconocibles por:

Definicion 248.- Se dice que una ecuacion diferencial de orden uno es lineal, si puede escribirse en la forma

dy

dx+ P (x) y = Q(x)

y su factor integral es, µ(x) = exp(∫

P (x)dx)

= e(∫P (x)dx) .

En efecto, si(P (x)y −Q(x)

)dx + dy = 0 se tiene

∂M∂y −

∂N∂x

N=P (x)− 0

1= P (x) =

µ′(x)µ(x)

de donde

se llega al resultado ln(µ(x)) =∫P (x)dx =⇒ µ(x) = e(

∫P (x)dx) . Entonces, como µ(x)P (x) = µ′(x), se tiene

µ(x)(y′ + P (x) y) = µ(x) y′ + µ(x)P (x) y = µ(x)Q(x)µ(x) y′ + µ′(x) y = µ(x)Q(x)

(µ(x) y)′ = µ(x)Q(x)

µ(x)y =∫µ(x)Q(x) dx =⇒ y =

1µ(x)

∫µ(x)Q(x) dx

Luego no solo estas ecuaciones lineales ofrecen una solucion alcanzable con un metodo sencillo, sino que ademasla solucion viene directamente dada de forma explıcita (algo no excesivamente habitual como hemos visto).

Las ecuaciones diferenciales lineales aparecen con mucha frecuencia en las aplicaciones practicas y, al igualque aquı, su generalizacion a ordenes superiores ofrece uno de los pocos tipos de ecuaciones resolubles pormetodos generales (siempre y cuando podamos encontrar las primitivas, ¡claro!).

Ejemplo La ecuacion x2y′ + x(x+ 2)y = ex es lineal, si la escribimos en la forma y′ + x+2x y = ex

x2 .

Ademas,∫

(1 + 2x )dx = x + 2 ln |x| = x + ln(x2) y su factor integrante es µ(x) = ex+ln(x2) = exx2 . De

donde

x2exy′ + xex(x+ 2)y = e2x ⇐⇒ (x2exy)′ = e2x ⇐⇒ x2exy =∫e2xdx =

e2x

2+ C

y =ex

2x2+ C

e−x

x2⇐⇒ y =

ex +Ke−x

2x2


139 – Fundamentos de Matematicas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 12.3 Aplicaciones

12.2.5 Ecuaciones un poco especiales

12.2.5.1 Ecuaciones de Bernoulli

Es una especie de generalizacion de la lineal, por lo que puede remitirse a una de ellas, pero tambien admite unfactor integrante que genariza el de la lineal

Definicion 249.- Se dice que una ecuacion diferencial de orden uno es de Bernoulli, si puede escribirse en laforma

dy

dx+ P (x) y = Q(x)yα (α ∈ R)

y que se convierte en lineal con el cambio ν = y1−α .

Ademas, directamente admite el factor integral µ(x, y) =1yα

exp(∫

(1−α)P (x)dx)

=e(1−α)(

∫P (x)dx)

yα

Ejercicio Comprobar que la ecuacion diferencial y′ = yx + xy3 es de Bernoulli, y obtener su solucion

x2

y2 (2 + x2y2) = C mediante el cambio a una lineal y tambien directamente con el factor de integracion.

12.2.5.2 Ecuaciones reducibles a separables

Proposicion 250.- Si una ecuacion diferencial y′ = f(x, y) puede expresarse en la forma

y′ = f(x, y) = g(yx

)el cambio y = x ν la convierte en una ecuacion de variables separables en x y ν

Nota: Una caracterizacion sencilla para este tipo es comprobar si se cumple que −N(1, yx )

M(1, yx ) = −N(x,y)M(x,y) , pues

entonces obtenemos g( yx ) directamente. En particular, se obtiene rapidamente este resultado si M y N sonpolinomios cuyos monomios son todos del mismo grado (ver ejemplo siguiente).

Ejemplo La ecuacion (x2 − 3y2)dx+ 2xy dy = 0 es reducible a separables, pues

−N(x, y)M(x, y)

=−2xy

x2 − 3y2=− 2xy

x2

x2−3y2

x2

=−2 yx

1− 3 y2

x2

Entonces haciendo el cambio y = νx , con dy = ν dx+ x dν , se tiene

(x2 − 3y2)dx+ 2xy dy = 0⇐⇒ (x2 − 3(νx)2)dx+ 2x(νx)(ν dx+ x dν) = 0⇐⇒ x2(1− 3ν2)dx+ 2x2ν2dx+ 2x3ν dν = 0⇐⇒ x2(1− ν2)dx+ 2x3ν dν = 0 ⇐⇒ 2x3ν dν = −x2(1− ν2)dx

=⇒ 2ν1− ν2

dν = −x2

x3dx =⇒

∫−2ν

1− ν2dν =

∫1xdx

Luego ln∣∣1− ν2

∣∣ = ln |x| + C (C ∈ R) =⇒ ln∣∣∣ 1−ν2

x

∣∣∣ = lnK (K > 0) =⇒ x2−y2

x3 = C (C ∈ R) =⇒x2 − y2 = x3C con C ∈ R .

Las soluciones ν = ±1 (dividimos por 1 − ν2 ), es decir y = ±x han sido eliminadas, sin embargo estanincluidas en la solucion general con C = 0.

Ejercicio Comprobar que, en el ejemplo, las soluciones y(x) = x e y(x) = −x lo son de la ecuaciondiferencial inicial y no contradicen el Teorema de existencia y unicidad para un problema de valores iniciales en(1, 1), ni en (1,−1) y tampoco en (0, 0).

12.3 Aplicaciones

Como ya hemos comentado que muchas de las leyes y relaciones cientıficas obtienen su expresion mediante estetipo de ecuaciones y, en particular, casi todas las expresiones de los sucesos con variaciones de magnitudesrelacionadas (variacion de la velocidad en funcion del tiempo, crecimiento de cultivos segun la temperatura, ...)



12.3.1 Trayectorias ortogonales

Un facil ejemplo del uso de las ecuaciones diferenciales lo encontramos en la busqueda de trayectorias ortogonales(curvas que intersecan a otras con angulos rectos), cuya dualidad aparece con frecuencia: meridianos y paralelosterraqueos, curvas de fuerza y lıneas equipotenciales de los campos electricos, ...

Dada una familia uniparametrica de curvas F (x, y, c) = 0 (para cada valor de c la ecuacion representauna curva en R2 ), puede representarse mediante una ecuacion diferencial de la forma

y′ = f(x, y)

derivando implıcitamente F (x, y, c) = 0 y eliminando el parametro entre ambas ecuaciones

Definicion 251.- Si una familia de curvas viene representada por y′ = f(x, y), entonces las trayectoriasortogonales de la familia deben cumplir la ecuacion diferencial

y′ =−1

f(x, y)

Nota: : Baste recordar que en una curva y = g(x), la pendiente en un punto x0 viene dada por m = g′(x0) y

la recta ortogonal tiene que tener de pendiente −1m

12.3.1.1 Trayectorias de angulo β

Estas trayectorias se puede generalizar a cualquier angulo, aunque no sea un angulo recto. Si buscamos lastrayectorias que formen un angulo β con la familia y′ = f(x, y), como esto significa que y′ = f(x, y) = tgα ,para que las curvas buscadas formen con ellas un angulo β deben cumplir la condicion y′ = tg(α+ β). Luego,al ser α = arctg(f(x, y)), se tiene que

y′ = tg(α+ β) =tgα+ tg β

1− tgα · tg β=

f(x, y) + tg β1− f(x, y) · tg β

es la ecuacion a resolver.

12.3.2 Modelado de problemas

Hay muchos problemas que pueden modelarse como ecuaciones diferencuiales: velocidad de caida de un para-caidista, desintegracion radiactiva, variaciones de temperatura, . . . o por ejemplo variaciones de las mezclas, quees el ejemplo que vamos a usar. Quiza sea la manera mas sencilla de verlo.

Ejemplo Un tanque contiene 200 l de agua en los que hay disueltos 40 kg de sal. Al tanque, le entran10 l/min cada uno de los cuales contiene 2 kg de sal disuelta y, la mezcla homogenea sale a razon de 5 l/min .Encontrar la cantidad de sal y(t) que hay en el tanque en cualquier tiempo t .

La variacion de sal en la unidad de tiempo, y′ = dydt , es por supuesto la cantidad entrante menos la saliente:

entran 10 l/min a 2Kg/l que suponen 10( lmin ) × 2(kgl ) = 20 Kg

min y salen 5 l/min de una salmuera formadapor los y(t) kilos de sal que hay en este momento disueltos en los 200 + 10t− 5t litros actuales (en cada unidadde tiempo anadimos 10 litros y quitamos 5, por lo que aumentamos a razon de 5 litros por unidad de tiempo).Luego tenemos el problema de valores iniciales

y′(t) = 20− y(t)200 + 5t

y(0) = 40

puesto que incialmente (t = 0) existıan 40 kilos de sal en el agua.

12.3.3 Ejercicios

12.202 Usar el teorema de existencia y unicidad para probar que el problema de valor inicial dydx = y2

x−2 cony(1) = 0, tiene una solucion unica definida en algun intervalo de 1.

12.203 Encontrar la curva solucion de la ecuacion xyy′ = (x+ 1)(y + 1) que pasa por el punto (1,0)



12.204 Probar que y(x) = ex2∫ x

0

e−t2dt es una solucion de la ecuacion y′ = 2xy + 1

12.205 Para que valores de la constante m sera y = emx solucion de la ecuacion 2y′′′ + y′′ − 5y′ + 2y = 0

12.206 Comprobar que las siguientes ecuaciones son exactas y resolverlas:

a) (3x2y + ey)dx+ (x3 + xey − 2y)dy = 0

b) (x2y3 − 11+9x2

dxdy + x3y2 = 0

c) y dx+x dy1−x2y2 + x dx = 0

d) (ey2 − cosec y cosec2 x)dx+ (2xyey

2 − cosec y cotg y cotg x)dy = 0

12.207 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) dydx = y−1xex+y2

b) y′ = xy+3x−y−3(x+4)(y−2)

c) exyy′ = e−y + e−2x−y d) x dydx − y =√x2 + y2

e) (y2 + yx)dx− x2dy = 0 f) dydx = 1−x−y

x+y

g) x2y′ = y2 + 2xy h) y′ = y−xx+y

i) (2x+ 3y − 1)dx− 4(x+ 1)dy = 0 j) dydx = y−x+4

y+x−6

k) x2y′ − 3xy − 2y2 = 0 l) (x2 + y2)dx+ (x2 − xy)dy = 0m) x sen( yx )y′ = y sen( yx ) + x n) (2x− 2y)dx+ (y − 1)dy = 0o) (x2 + 2xy − y2)dx+ (y2 + 2xy − x2)dy = 0

12.208 Resolver la ecuacion diferencial de orden dos y′′ + (y′)2 = 0

12.209 Resolver la ecuacion∫ x

0

y(t)dt =x(y − x)

2

12.210 Resolver la ecuacion (x4 + y4)dx− xy3dy = 0 buscando un factor integrante adecuado.

Detectar que la ecuacion es tambien de dos de los tipos conocidos (reducible a separable y Bernoulli) yresolverla para cada uno de ellos. ¿Hay diferencias en el calculo de las soluciones? ¿Hay alguna diferenciaen las soluciones?

12.211 Se sabe que la ecuacion P (x, y)dx + (x2 + yx )dy = 0 admite como factor integrante a µ(x) = x , que

∂P∂x = 3y y que P (0, 1) = 0.

a) Hallar P (x, y)

b) Hallar la solucion de la ecuacion que pasa por el punto (1, 1).

12.212 La ecuacion (y3 + y)dx + (2xy2 + x)dy = 0 admite un factor integrante µ(z) donde z = xy . Calculardicho factor integrante y resolverla.

12.213 Resolver la ecuacion y′ = y−xx+y buscando un factor integrante que dependa de la variable z = x2 + y2 .

12.214 Resolver (3y2 + 10xy)dx + (5xy + 12x2)dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante de la formaµ(x, y) = xayb .

12.215 Encontrar la solucion general de la ecuacion (2xy2 + y)dx+ (2y3 − x)dy = 0.

12.216 Resolver las siguientes ecuaciones:

a) x2y′ + x(x+ 2)y = ex b) y′ + y = 11+e2x c) y′ + y cosx = sen 2x

d) (y − 2xy − x2)dx+ x2dy = 0 e) xy′ + y = x4y3 f) y′ + yx + xy3 = 0

g) (1 + x4)y′ + 8x3y = x h) 2xy′ = y + 10x3y5

12.217 Demostrar que el cambio de variable z = g(y) convierte a la ecuacion g′(y)y′ + g(y)p(x) = f(x) en unaecuacion lineal en z .

Utilizar esto para resolver la ecuacion ey2(2yy′ + 2

x ) = 1x2



12.218 Hallar una solucion de la forma ϕ(x) = ax+ b de la ecuacion diferencial:

(1 + x3)y′ + 2xy2 + x2y + 1 = 0

Determinar el resto de las soluciones de la ecuacion diferencial anterior, utilizando el cambio de variabledependiente: y = ϕ(x) + 1

ν que transforma la ecuacion de partida en una ecuacion lineal.

12.219 Sean P (x, y) y Q(x, y) dos funciones de clase 1 en R2 , verificando ∂P∂x = ∂Q

∂y y ∂P∂y = −∂Q∂x .

a) Probar que P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 admite a µ(x, y) = 1P 2+Q2 como factor integrante.

b) Usar el apartado anterior para resolver la ecuacion (1 + ex cos y)dx+ ex sen y dy = 0

12.220 Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas: y2 = cex + x+ 1.

12.221 Hallar la familia ortogonal de curvas a la familia de curvas dadas por la ecuacion y = ln(tg x+ c), con cuna constante arbitraria.

12.222 Encontrar la curva de la familia de trayectorias ortogonales a y(x3 + c) = 3 que pasa por el punto (3, 1).

12.223 Una familia de curvas es autoortogonal si su familia de curvas ortogonales coincide con la propia familia.Demostrar que la familia de curvas y2 = 2cx+ c2 lo es.

12.224 Demostrar que las trayectorias ortogonales de la familia de curvas x2 + y2 = kx , satisfacen la ecuacion

2 yxdx+(y2

x2 − 1)dy = 0.

Encontrar las trayectorias ortogonales resolviendo la ecuacion anterior, sabiendo que admite un factor deintegracion de la forma xmyn .

12.225 Obtener las curvas que cumplen que la recta tangente a su grafica en cualquier punto, T (x, y), es perpen-dicular al segmento que une el punto (0, 0) con ese punto (x, y).

12.226 Un estudiante se pone a trabajar sobre una materia de la que inicialmente no sabe nada. A medida queprofundiza en ella se siente motivado por lo que ya sabe y porque cada vez le queda menos por aprender.Supondremos que entonces su ritmo de aprendizaje es inversamente proporcional a la materia que le quedapor estudiar. Si en una semana ha conseguido aprender el 50% de la materia, ¿cuanto tiempo tardara endominarla toda?

12.227 Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El area bajo el arco de la curva entre (0, 0)y (x, y) es un tercio del area del rectangulo que tiene a esos puntos como vertices opuestos. Hallar laecuacion de las curvas que cumplen dicha condicion. Hallar la familia de curvas ortogonales a dichascurvas.

12.228 Un gran deposito contiene 1000 litros de salmuera en la que estan disueltos 200 Kgs. de sal. A partir delinstante t = 0 se introduce agua pura a razon de 3 l/min y la mezcla (que se supone que se mantienehomogenea) sale del deposito a razon de 2 l/min . ¿Cuanto tiempo se necesitara para reducir la cantidadde sal a la mitad?

12.229 Un vino tinto se saca de la bodega, que es un lugar frıo a 10 grados centigrados, y se deja reposar en uncuarto con temperatura de 23 grados. Calcular la formula que proporciona la temperatura en funcion deltiempo, si transcurren 10 minutos para alcanzar la temperatura de 13 grados. (Se supone que se verificala ley de Newton: “la velocidad de enfriamiento de un cuerpo es directamente proporcional a la diferenciade temperaturas entre el y el medio que le rodea”).

12.230 Un estudiante ha llegado al examen de una asignatura sin haber dado ni golpe, asi que debe partir decero para intentar dominar los 150 folios de que consta. Limitaciones de tiempo y de capacidad hacenque estudie a razon de 15 folios por dıa pero debido al estres y otras causas se le va olvidando un 10%de lo que va aprendiendo. Probar que necesitara mas de 10 dıas para dominar 2

3 de la asignatura. ¿Ladominara completamente alguna vez?

12.231 Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenıa originalmente un radio de 1/4 de pulgada, tieneun radio de 1/8 de pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapora a un ındice proporcionala su superficie, encontrar el radio en funcion del tiempo. ¿Despues de cuantos meses desaparecera porcompleto?



12.232 La velocidad de disolucion de un solido es proporcional a la cantidad de solido sin disolver y a la diferenciaentre las concentraciones de saturacion de la sustancia y a la que tiene en un instante t cualquiera. Enun deposito que contiene 60 Kgs. de disolvente se introducen 10 Kgs. de soluto y al cabo de 12 minutosse observa que la concentracion es de 1 parte de soluto por 30 de disolvente. Determinar la cantidad desoluto que existe en la solucion en un instante cualquiera t , si la concentracion de saturacion es de 1parte de soluto en 3 de disolvente. (Tomaremos como concentracion la cantidad de kilogramos de solutodividida por los kilogramos de disolvente).

12.233 Demostrar que las curvas planas y = y(x) de clase 1 que verifican que la distancia del origen a la tangenteen cualquier punto de la curva sea igual a la abscisa de dicho punto satisfacen la ecuacion diferencial(y2 − x2)dx− 2xydy = 0. Hallar dichas curvas.

Nota: Se recuerda que la distancia de un punto P = (x0, y0) a una recta r de ecuacion Ax+By+C = 0,viene dada por: d(P, r) = |Ax0+By0+C|√

a2+b2y que el problema es equivalente a trabajar con la distancia al

cuadrado.

12.234 Se sabe que cierta poblacion de bacterias se reproduce a una velocidad proporcional a la diferencia entreuna cantidad limite P0 = 4 millones y el cuadrado de la cantidad de las mismas en cada instante (enmillones).

a) Plantear la ecuacion diferencial del numero de bacterias en cada instante.

b) Se sabe que inicialmente habia medio millon de bacterias y que al cabo de una hora se habıa duplicadosu numero. Obtener la expresion del numero de bacterias (en millones) en funcion del tiempo.

12.235 Un tanque contiene 800 litros de salmuera en la que se han disuelto 8 kgs. de sal. A partir del instantet=0 comienza a entrar salmuera, con una concentracion de 250 grs. de sal por litro, a razon de 4 litrospor minuto. La mezcla se mantiene homogenea y abandona el tanque a razon de 8 litros por minuto.

a) Hallar la cantidad de sal en el tanque al cabo de una hora.

b) Hallar la cantidad de sal en el tanque cuando solo quedan 200 litros de salmuera.


144 – Fundamentos de Matematicas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Capıtulo 13

Ecuaciones diferenciales lineales

Definicion 252.- Una ecuacion diferencial lineal de orden n es una ecuacion de la forma

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a2(x)

d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = F (x)

donde an(x) no es identicamente nulo. Supondremos que a0 , a1 , an y F son funciones de x , continuas enun cierto intervalo I de R , con an(x) 6= 0 para todo x ∈ I .

Si el segundo miembro F (x), el termino independiente o no homogeneo, lo hacemos identicamente nulo enI , la ecuacion diferencial resultante

an(x)dny

dxn+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = 0

se denomina ecuacion lineal homogenea asociada a la ecuacion anterior.

Nota: Generalmente se usa en la forma normal; basta dividir por an(x) para tener

yn) + an−1(x)yn−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = F (x)

Proposicion 253.- Si y1(x) e y2(x) son dos soluciones de la ecuacion lineal

yn) + an−1(x)yn−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = F (x) 〈L〉

entonces h(x) = y1(x)− y2(x) es solucion de la ecuacion lineal homogenea

yn) + an−1(x)yn−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = 0 〈H〉

Demostracion:En efecto, por la linealidad de la derivacion, yk)

1 − yk)2 = (y1 − y2)k) , luego se tiene que

(y1−y2)n) + · · ·+ a1(x)(y1−y2)′ + a0(x)(y1−y2) =

=(yn)1 +· · ·+a1(x)y′1+a0(x)y1

)−(yn)2 +· · ·+a1(x)y′2+a0(x)y2

)=F (x)− F (x)= 0

Teorema de existencia y unicidad 254.- Si las funciones a0 , a1 , . . . , an−1 y F son continuas en un intervaloI ⊆ R , para cada x0 y cualesquiera constantes arbitrarias c0 , c1 , . . . , cn−1 , el problema de Cauchy{

yn) + an−1(x)yn−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = F (x)y(x0) = c0; y′(x0) = c1; · · · ; yn−1)(x0) = cn−1

tiene solucion unica en el intervalo.

Corolario 255.- La unica solucion y(x) de la ecuacion lineal homogenea de orden n 〈H〉 tal que

y(x0) = y′(x0) = · · · = yn−1)(x0) = 0

en algun punto de I , es la funcion identicamente nula en I .

Corolario 256.- Si y1 e y2 son dos soluciones en I de una ecuacion lineal de orden n 〈L〉 , tales que

y1(x0) = y2(x0); y′1(x0) = y′2(x0); · · · yn−1)1 (x0) = y

n−1)2 (x0)

en algun punto x0 ∈ I , entonces y1(x) = y2(x) en I


145 – Fundamentos de Matematicas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias13.1 Espacio de soluciones de la ecuacion lineal de orden n

13.1 Espacio de soluciones de la ecuacion lineal de orden n

La proposicion 253 anterior nos insinua claramente la importancia de las soluciones de la ecuacion homogeneaen la solucion de la no homogenea. Conozcamoslas un poco mas.

Proposicion 257.- Si f1(x) y f2(x) son soluciones de la ecuacion diferencial lineal homogenea 〈H〉 , entoncescualquier combinacion lineal c1f1(x) + c2f2(x) es tambien solucion de 〈H〉 .

Basta sustituir en la ecuacion 〈H〉 para comprobarlo. Pero como consecuencia de ello hemos dotado al espaciode soluciones de esta ecuacion de una estructura:

Corolario 258.- El conjunto de soluciones de la ecuacion lineal homogenea 〈H〉 , es un espacio vectorial

Entonces todas las soluciones de 〈H〉 se generaran como combinaciones lineales de una base y, recordando laproposicion 253, es evidente el siguiente resultado para las soluciones de 〈L〉 :

Teorema 259.- Sean las funciones a0 , a1 , . . . , an−1 y F continuas en un intervalo I ⊆ R , y sea yp(x) unasolucion particular de 〈L〉 ,

yn) + an−1(x)yn−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = F (x)

entonces, la solucion general de la ecuacion lineal es Yg = yp + YH donde YH es la solucion general de laecuacion lineal homogenea 〈H〉 .

Encaminemos nuestros esfuerzos en conseguir esa base con una definicion imprescindible:

Definicion 260.- Las funciones f1 , f2 , . . . , fk son linealmente dependientes en I si existen constantesc1 ,. . . ,ck no todas nulas, tal que c1f1(x) + c2f2(x) + · · ·+ ckfk(x) = 0 en cada x de I .Se dicen linealmente independientes, si no son linealmente dependientes.

Nota: Las funciones son o no linealmente independientes en un intervalo. Ası, f1(x) = − senx y f2(x) = 2 senxson dependientes en R , pues 2 ·f1(x)+1 ·f2(x) = 0 en R ; mientras que g1(x) = x y g2(x) = |x| son linealmenteindependientes en R , pero dependientes en (0,+∞) y dependientes en (−∞, 0).

Cuando le anadimos la condicion de derivabilidad hasta el orden n (evidente si queremos que sea solucionde una ecuacion diferencial de orden n), situaciones como la anterior no se dan y tenemos un buen criterio:

Definicion 261.- Sean f1 , f2 , . . . , fn de clase n− 1 en un intervalo I . Se denomina wronskiano de f1 , f2 ,. . . , fn a la funcion definida en I por el determinante

W [f1, f2, . . . , fn](x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣f1(x) f2(x) · · · fn(x)f ′1(x) f ′2(x) · · · f ′n(x)

......

. . ....

fn−1)1 (x) f

n−1)2 (x) · · · fn−1)

n (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Proposicion 262.- Sean y1 , y2 , . . . , yn soluciones de la ecuacion diferencial homogenea 〈H〉 , en un entornoI. Entonces, o bien

a) W [y1, y2, . . . , yn](x) = 0, para todo x ∈ I , o bien

b) W [y1, y2, . . . , yn](x) 6= 0, para todo x ∈ I

En efecto, las soluciones o son linealmente dependientes en I o son linealmente independientes.

Si son dependientes, c1y1(x) + c2y2(x) + · · · + cnyn(x) = 0 en I con algun ci 6= 0. Derivando hasta el ordenn− 1, se tiene que para cada x ∈ I el sistema

c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x) = 0c1y′1(x) + c2y

′2(x) + · · ·+ cny

′n(x) = 0

......

...

c1yn−1)1 (x) + c2y

n−1)2 (x) + · · ·+ cny

n−1)n (x) = 0

−→

y1(x) y2(x) · · · yn(x)y′1(x) y′2(x) · · · y′n(x)

......

. . ....

yn−1)1 (x) y

n−1)2 (x) · · · yn−1)

n (x)

c1c2...cn

=

00...0

tiene solucion no trivial, luego para cada x ∈ I , se cumple que W [y1, y2, . . . , yn](x) = 0.


146 – Fundamentos de Matematicas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 13.2 Metodos generales de resolucion parcial

Si son independientes, y se diera que W [y1, y2, . . . , yn](x0) = 0 en algun x0 de I , el sistemay1(x0) y2(x0) · · · yn(x0)y′1(x0) y′2(x0) · · · y′n(x0)

......

. . ....

yn−1)1 (x0) y

n−1)2 (x0) · · · yn−1)

n (x0)

c1c2...cn

=

00...0

tendrıa alguna solucion no trivial: c∗1 , c∗2 , . . . , c∗n y la funcion Y (x) = c∗1y1(x) + c∗2y2(x) + · · · + c∗nyn(x) essolucion de 〈H〉 y cumple las condiciones iniciales Y (x0) = Y ′(x0) = · · · = Y n−1)(x0) = 0. En consecuenciaY (x) tiene que ser la solucion nula, por lo que las funciones yi serıan linealmente dependientes (absurdo).Luego debe ser W [y1, y2, . . . , yn](x0) 6= 0 para todo x de I .

Teorema 263.- La ecuacion diferencial lineal homogenea de orden n 〈H〉 , verifica que:

a) Tiene n soluciones linealmente independientes y1 , y2 , . . . , yn

b) La dimension del espacio de soluciones es n

c) La solucion general es YH(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x)

En un punto cualquiera x0 ∈ I , los n problemas de valores iniciales siguientes tienen solucion unica

y(x0) = 1 y′(x0) = 0 y′′(x0) = 0 · · · yn−1)(x0) = 0 =⇒ y1

y(x0) = 0 y′(x0) = 1 y′′(x0) = 0 · · · yn−1)(x0) = 0 =⇒ y2

y(x0) = 0 y′(x0) = 0 y′′(x0) = 1 · · · yn−1)(x0) = 0 =⇒ y3

· · · · · · · · · · · · · · ·y(x0) = 0 y′(x0) = 0 y′′(x0) = 0 · · · yn−1)(x0) = 1 =⇒ yn

y, por construccion esas n soluciones tienen su wronskiano en x0 no nulo (la matriz identidad), luego son nsoluciones independientes. Ademas, toda solucion f(x) de 〈H〉 es una combinacion lineal de esas n , puestoque la solucion

f(x0)y1(x) + f ′(x0)y2(x) + f ′′(x0)y3(x) + · · ·+ fn−1)(x0)yn(x)

es tambien f ya que coinciden en las n− 1 derivadas en x0 . En consecuencia, forman una base del espacio desoluciones y la solucion general ha de ser YH(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x)

13.2 Metodos generales de resolucion parcial

Bajo este tıtulo encuentran acomodo dos metodos de resolucion, que no suponen una resolucion completa, si noque complementan otras maneras de resolver. La mejor manera de entenderlo, es seguramente entrar en ellos.

13.2.1 Metodo de reduccion de orden

La idea del metodo es ir reduciendo el orden de la ecuacion lineal, hasta resolverlo completamente; la practicaes mucho mas limitada, pero aun ası es util en diversas circunstancias.

El metodo 264.- Dada una ecuacion lineal 〈L〉 de orden n , de la que conocemos una solucion particulary0 = f(x) de la ecuacion lineal homogenea 〈H〉 .

Entonces, haciendo en 〈L〉 el cambio de variable y = vy0 , se transforma en una ecuacion lineal en v′ deorden n− 1 (es decir, lineal de orden n en v , pero solo aparecen v′ , v′′ ,. . . vn) y no aparece v ).

Luego haciendo w = v′ es lineal de orden n− 1 en w .

Nota: Este metodo es usado, sobre todo en orden 2, pues encontrando una solucion particular del homogeneo,

se resuelve completamente la ecuacion.

Ejemplo Para la ecuacion lineal xy′′ − (2x+ 1)y′ + (x+ 1)y = (x2 + x− 1)e2x , x > 0Podemos comprobar que y0(x) = ex es solucion de la ecuacion homogenea, con y′0 = y′′0 = ex ,

xex − (2x+ 1)ex + (x+ 1)ex =(x− (2x+ 1) + x+ 1

)ex = 0ex = 0

Haciendo y = exv en la ecuacion, con y′ = exv + exv′ = ex(v + v′) e y′′ = ex(v + 2v′ + v′′) se tiene que

xex(v + 2v′ + v′′)− (2x+ 1)ex(v + v′) + (x+ 1)exv = (x2 + x− 1)e2x


147 – Fundamentos de Matematicas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias13.2 Metodos generales de resolucion parcial

agrupando las terminos en v , v′ y v′′ , se tiene

xexv′′ − exv′ +(xex − (2x+ 1)ex + (x+ 1)ex

)v = (x2 + x− 1)e2x

xexv′′ − exv′ = (x2 + x− 1)e2x

v′′ − 1xv′ =

x2 + x− 1x

ex

w′ − 1xw=

(x+ 1− 1

x

)ex

Lineal en w de primer orden y solucion w = (x+1)ex+Cx = v′ , de donde v = xex+ C2 x

2+K y en consecuencia,la solucion general de la ecuacion sera

y(x) = exv(x) = xe2x + c1x2ex + c2e

x

13.2.2 Metodo de variacion de los parametros

En el segundo metodo se trata de buscar la solucion particular de la ecuacion 〈L〉 que hay que sumar a lasolucion general de la 〈H〉 para obtener la solucion general.

Aunque el metodo es valido en cualquier orden, vamos a ilustrarlo en orden 3, esperando que ası se veantodos los matices.

El metodo Sea y′′′ + a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = F (x) 〈L〉 y supongamos que

Y0(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + c3y3(x)

es la solucion general de la ecuacion homogenea asociada. Entonces, convertimos en variables los parametrosde Y0 y obligamos a que sean una solucion particular de 〈L〉 imponiendo algunas condiciones:

yp(x) = v1(x)y1(x) + v2(x)y2(x) + v3(x)y3(x) −→ yp = v1y1 + v2y2 + v3y3

derivando

y′p = v1y′1 + v′1y1 + v2y

′2 + v′2y2 + v3y

′3 + v′3y3 = v1y

′1 + v2y

′2 + v3y

′3 + (v′1y1 + v′2y2 + v′3y3)

e imponemos la primera condicion (1) → v′1y1 + v′2y2 + v′3y3 = 0. La derivada segunda sera

y′′p = v1y′′1 + v′1y

′1 + v2y

′′2 + v′2y

′2 + v3y

′′3 + v′3y

′3 = v1y

′′1 + v2y

′′2 + v3y

′′3 + (v′1y

′1 + v′2y

′2 + v′3y

′3)

e imponemos la segunda condicion (2) → v′1y′1 + v′2y

′2 + v′3y

′3 = 0. Y la derivada tercera

y′′′p = v1y′′′1 + v′1y

′′1 + v2y

′′′2 + v′2y

′′2 + v3y

′′′3 + v′3y

′′3 = v1y

′′′1 + v2y

′′′2 + v3y

′′′3 + (v′1y

′′1 + v′2y

′′2 + v′3y

′′3 )

e imponemos la tercera y ultima condicion (3) → v′1y′1 + v′2y

′2 + v′3y

′3 = F . Con esas tres condiciones, yp es

solucion de 〈L〉 , pues

y′′′p + a2y′′p + a1y

′p + a0(x)yp = (v1y

′′′1 + v2y

′′′2 + v3y

′′′3 + F ) + a2(v1y

′′1 + v2y

′′2 + v3y

′′3 )

+a1(v1y′1 + v2y

′2 + v3y

′3) + a0(v1y1 + v2y2 + v3y3)

agrupando los terminos de cada vi, y sacandolo factor comun, se tiene= (v1y

′′′1 + a2v1y

′′1 + a1v1y

′1 + a0v1y1) + (v2y

′′′2 + a2v2y

′′2 + a1v2y

′2 + a0v2y2)

+(v3y′′′3 + a2v3y

′′3 + a1v3y

′3 + a0v3y3) + F

= (y′′′1 + a2y′′1 + a1y

′1 + a0y1)v1 + (y′′′2 + a2y

′′2 + a1y

′2 + a0y2)v2

+(y′′′3 + a2y′′3 + a1y

′3 + a0y3)v3 + F

= 0v1 + 0v2 + 0v3 + F = F

Luego es solucion y es la que cumple las condiciones (1), (2) y (3) v′1y1 + v′2y2 + v′3y3 = 0v′1y′1 + v′2y

′2 + v′3y

′3 = 0

v′1y′′1 + v′2y

′′2 + v′3y

′′3 = F

=⇒

y1 y2 y3

y′1 y′2 y′3y′′1 y′′2 y′′3

v′1v′2v′3

=

00F


148 – Fundamentos de Matematicas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias13.3 Ecuaciones lineales de coeficientes constantes

cuya matriz tiene por determinante el wronskiano de y1 , y2 e y3 . Luego, usando Cramer,

v′1 =

∣∣∣∣∣∣0 y2 y3

0 y′2 y′3F y′′2 y′′3

∣∣∣∣∣∣W [y1, y2, y3]

v′2 =

∣∣∣∣∣∣y1 0 y3

y′1 0 y′3y′′1 F y′′3

∣∣∣∣∣∣W [y1, y2, y3]

v′3 =

∣∣∣∣∣∣y1 y2 0y′1 y′2 0y′′1 y′′2 F

∣∣∣∣∣∣W [y1, y2, y3]

Basta ahora obtener v1 , v2 y v3 como primitivas de estas y sustituir en yp .

Nota: Las condiciones se imponen de manera que por una parte se obtenga la ecuacion lineal con las solucio-nes homogeneas que la anularan, y por la otra un sistema de ecuaciones con el wronskiano de las solucionesindependientes (luego de rango maximo) que garantizara la existencia y calculo de la solucion unica.

Ejemplo La ecuacion y′′ − 2x+1x y′ + x+1

x y = 2xex tiene a y0 = c1ex + c2x

2ex por solucion general de lahomogenea. Entonces yp = v1e

x + v2x2ex es una solucion particular, si cumple las condiciones{

v′1ex + v′2x

2ex = 0v′1e

x + v′2(2x+ x2)ex = 2xex

y se tiene

v′1 =

∣∣∣∣ 0 x2ex

2xex (2x+ x2)ex

∣∣∣∣∣∣∣∣ ex x2ex

ex (2x+ x2)ex

∣∣∣∣ =−2xexx2ex

2xe2x= −x2 v′2 =

∣∣∣∣ ex 0ex 2xex

∣∣∣∣∣∣∣∣ ex x2ex

ex (2x+ x2)ex

∣∣∣∣ =2xexex

2xe2x= 1

de donde v1 = −x3

3 y v2 = x , por lo que yp(x) = −x3

3 ex + xx2e3 = 2

3x3ex es la solucion buscada.

13.3 Ecuaciones lineales de coeficientes constantes

La ecuaciones lineales para las que si hay solucion generica son aquellas cuyos coeficientes son contantes. Per-miten usar un metodo para obtener todas las soluciones de la ecuacion homogenea, con lo que ya solo quedaobtener la solucion particular.

13.3.1 Soluciones de la ecuacion lineal homogenea

La idea se basa en usar polinomios de derivaciones. Ejemplifiquemos: supongamos que la ecuacion linealhomogenea de orden tres siguiente la escribimos en base a las derivaciones efectuadas sobre y , es decir

y′′′ + 2y′′ − y′ − 2y = 0 −→ (D3 + 2D2 −D − 2)[y] = 0

hemos descrito la ecuacion “derivamos 3 veces la y mas 2 veces la derivada segunda ...” mediante ese polinomiode derivaciones, que suele denominarse polinomio caracterıstico de la ecuacion lineal.

Si la ecuacion es de coeficientes contantes, el orden en que se hagan las derivaciones no cambia el resultado,por lo que hacer (D3 + 2D2 −D − 2)[y] es lo mismo que hacer (D + 2)[(D2 − 1)[y]]

En consecuencia, (D + 2)(D − 1)(D + 1)[y] produce la misma ecuacion que antes, y si queremos que(D + 2)(D − 1)(D + 1)[y] = 0 lo sera si (D + 1)[y] = 0 o si (D − 1)[y] = 0 o si (D + 2)[y] = 0, resolviendo

estas 3 ecuaciones de orden uno tenemos las soluciones del homogeneo. Entonces

? Si a es un raız del polinomio, (D − a)[y] = 0 −→ y′ = ay =⇒ y = eax

? Si es raız multiple, (D − a)m[y] = 0 =⇒ y1 = eax , y2 = xeax , . . . , ym = xm−1eax son las m soluciones.(Si a = 0, son los polinomios y1 = 1, y2 = x ,. . . ,ym = xm−1 )

? Si tiene raices complejas (D2 + b2)[y] = 0 −→ y′′ = −b2y =⇒ y1 = sen(bx) e y2 = cos(bx) son las dossoluciones.

Y mas general, para ((D−a)2 +b2)[y] = 0 −→ (D−a)2y = −b2y =⇒ y1 = eax sen(bx) e y2 = eax cos(bx)son las dos soluciones.

? Si las raıces complejas son multiples, como ((D−a)2 +b2)3[y] = 0 =⇒ y1 = eax sen(bx), y2 = eax cos(bx),y3 = xeax sen(bx), y4 = xeax cos(bx), y5 = x2eax sen(bx) e y6 = x2eax cos(bx), son las seis soluciones.


149 – Fundamentos de Matematicas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias13.3 Ecuaciones lineales de coeficientes constantes

Pueden usarse los metodos anteriores para comprobar que se obtienen esas soluciones indicadas aquı, y elwronskiano para comprobar que ademas son, como decimos, soluciones linealmente independientes.

Ejemplo En la ecuacion de arriba, D3 + 2D2 −D − 2 = (D − 1)(D + 1)(D + 2), luego y1 = ex , y2 = e−x ey3 = e−2x son las tres soluciones que se obtienen de la raıces.

Son linealmente independientes, pues

∣∣∣∣∣∣ex e−x e−2x

ex (−1)e−x (−2)e−2x

ex (−1)2e−x (−2)2e−2x

∣∣∣∣∣∣x=0

=

∣∣∣∣∣∣1 1 11 −1 −21 1 4

∣∣∣∣∣∣ = −6, y son tantos

como la dimension del espacio, por lo que forman una base. Luego la solucion general es

Y0 = c1ex + c2e

−x + c3e−2x

13.3.2 Soluciones particulares de la ecuacion no homogenea

Cuando el termino independiente de la ecuacion lineal es una funcion del tipo de las soluciones de las ecuacioneshomogeneas (polinomios, senos, cosenos y exponenciales), hay un metodo sencillo para obtener la solucionparticular, conocido generalmente como Metodo de los coeficientes indeterminados. Este metodo se basa en quese conoce como va a ser la solucion salvo los coeficientes concretos y solo falta encontrar los coeficientes que laforman (de ahı el nombre).

Pero a mi me gusta mas otra version de este metodo en la que nosotros construimos la solucion indeterminadaque necesitamos y en la que luego hemos de fijar los parametros. Ademas, usa la misma tecnica que para laobtencion de la soluciones de la homogenea y suele denominarse con un nombre sugerente: polinomio aniquiladoro polinomio anulador.

13.3.2.1 Metodo del polinomio aniquilador

El polinomio caracterıstico asociado a la ecuacion lineal homogenea aplicado sobre y , la anula, la hace cero.Cojamos la ecuacion del ejemplo anterior con un termino independiente como

y′′′ + 2y′′ − y′ − 2y = xex + 2x2

y sabemos que los factores del polinomio anulan y , cuando y es una de las soluciones (D − 1)[ex] = 0 o(D+2)[e−2x] = 0. Entonces lo que hacemos con este metodo es seguir aplicando factores para eliminar (anular)el termino independiente, de manera que ahora alguna de las soluciones de la ecuacion resultante sera la solucionparticular buscada. Como D3[2x2] = 0 y (D − 1)2[xex] = 0, tenemos que

(D−1)(D+1)(D+2)[y] = xex + 2x2 −→ (D−1)(D+1)(D+2)D3[y] = D3[xex + 2x2] = D3[xex]−→ (D−1)(D+1)(D+2)D3(D − 1)2[y] = D3(D − 1)2[xex] = 0

y sera una de las soluciones de esta nueva ecuacion homogenea: (D − 1)3(D + 1)(D + 2)D3[y] = 0

yp = c1ex + c2xe

x + c3x2ex + c4e

−x + c5e−2x + c6 + c7x+ c8x

2

como las soluciones de la homogenea inicial no son solucion de la no homogenea, las eliminamos

yp = c2xex + c3x

2ex + c6 + c7x+ c8x2

y buscamos los valores de los coeficientes c2 , c3 , c6 , c7 y c8 que la hacen solucion particular, obligando a quecumpla la ecuacion, con y′p = c2(1 + x)ex + c3(2x+ x2)ex + c7 + 2c8x

y′′p = c2(2 + x)ex + c3(2 + 4x+ x2)ex + 2c8y′′′p = c2(3 + x)ex + c3(6 + 6x+ x2)ex

de donde

xex + 2x2 = y′′′p + 2y′′p − y′p − 2yp

=(c2(3 + x)ex + c3(6 + 6x+ x2)ex

)+ 2(c2(2 + x)ex + c3(2 + 4x+ x2)ex + 2c8

)−(c2(1 + x)ex + c3(2x+ x2)ex + c7 + 2c8x

)− 2(c2xe

x + c3x2ex + c6 + c7x+ c8x

2)

=(

6c2 + 10c3 + (6c2 + 12c3)x)ex + 4c8 − c7 − 2c6 − 2(c8 + c7)x− 2c8x2


150 – Fundamentos de Matematicas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 13.4 Ejercicios

obtenemos los sistemas{

0 = 6c2 + 10c31 = 6c2 + 12c3

y

0 = 4c8 − c7 − 2c60 = −2(c8 + c7)2 = −2c8

(los separamos en dos porque apa-

recen las incognitas separadas) y de solucion c2 = −56 , c3 = 1

2 , c6 = −52 , c7 = 1 y c8 = −1. Luego es

yp = − 56xe

x + 12x

2ex − 52 + x− x2 la solucion particular buscada.

Proposicion 265.- Si y1 es solucion de la ecuacion lineal

yn) + an−1(x)yn−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = F1(x)

e y2 es solucion deyn) + an−1(x)yn−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = F2(x)

entonces, y1 + y2 es solucion de

yn) + an−1(x)yn−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = F1(x) + F2(x)

Cuando el termino independiente genera un polinomio aniquilador de grado muy alto, puede resultar mas ma-nejable “trocear” el problema usando este resultado.

13.3.2.2 Metodo de los coeficientes indeterminados

Esta version del metodo suele ser la mas habitual en los libros, al menos en los mas clasicos, pero como ya hecomentado, es en el fondo el mismo que el anterior, se llega a la misma funcion (o una similar) de coeficientesindeterminados que hay que determinar, solo que en lugar de construirla, como hemos hecho nosotros, se eligede una lista de posibilidades segun sea el termino independiente.

De hecho, los razonamientos y pruebas que se hacen para llegar a esa lista, estan basados en la mismafilosofıa que el polinomio anulador.

13.3.3 Metodo de variacion de los parametros

Incuımos este apartado aquı para recordar que este metodo existe y funciona con caracter general en las lineales,luego en particular tambien para ecuaciones con coeficientes constantes.

De hecho, cuando el termino independiente no esta formado por soluciones de ecuaciones homogeneas, nopuede aplicarse el polinomio aniquilador y debe aplicarse otro metodo. Como por ejemplo este de variacion delos parametros, que no tiene esas limitaciones.

No obstante, es farragoso de usar e involucra integracion anadida por lo que no suele merecer la pena usarlocuando puede usarse el otro.

Ejemplo Resolver la ecuaciob diferencial lineal y′′ + y = 1cos x

Como 1cos x no es una solucion posible de homogenea, debemos usar variacion de los parametros: el polinomio

caracterıstico de la homogenea es D2 + 1 = (D−0)2 + 12 , luego Y0 = c1 cosx+ c2 senx es la solucion generaldel homogeneo e yp = v1 cosx+ v2 senx la solucion particular buscada.

Como W [cosx, senx] =∣∣∣∣ cosx senx− senx cosx

∣∣∣∣ = 1, con{

v′1 cosx+ v′2 senx = 0−v′1 senx+ v′2 cosx = 1

cos x

, se tiene

v′1 =

∣∣∣∣ 0 senx1

cos x cosx

∣∣∣∣W [cosx, senx]

= − senxcosx

=⇒ v1 = ln |cosx| v′2 =

∣∣∣∣ cosx 0− senx 1

cos x

∣∣∣∣W [cosx, senx]

=cosxcosx

=⇒ v2 = x

de donde yp = cosx ln |cosx|+ x senx .

13.4 Ejercicios

13.236 Comprobar que y(x) = ex es solucion de la ecuacion xy′′ − (2x+ 1)y′ + (x+ 1)y = 0 y hallar la soluciongeneral (metodo de reduccion de grado).

13.237 Comprobar que f(x) = 1x es solucion de la ecuacion x2y′′ + 4xy′ + 2y = 0 y hallar la solucion general de

la ecuacion: x2y′′ + 4xy′ + 2y = 1x

13.238 Dada la ecuacion diferencial lineal: xy′′ + 2(1 + x))y′ + (2 + x)y = 0



a) Buscar un a para que y = eax sea solucion de la ecuacion.

b) Resolver la ecuacion.

13.239 Comprobar que el wronskiano, W (x), asociado a la ecuacion diferencial y′′+ p(x)y′+ q(x)y = 0 satisfacela ecuacion diferencial w′ + p(x)w = 0.

13.240 De la EDO lineal y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = 11+x2 , se sabe que u1(x) = x y u2(x) = x2 son dos soluciones

de la ecuacion homogenea asociada. Hallar las funciones a1(x) y a0(x), y calcular la solucion general dela ecuacion direrencial dada

13.241 Sabiendo que y(x) = x sen(lnx) es una solucion de la ecuacion x2y′′ − xy′ + 2y = 0 encontrar la soluciongeneral.

13.242 Dada la ecuacion diferencial lineal homogenea: y′′ + xf(x)y′ − f(x)y = 0, se pide:

a) Demostrar que y = x es solucion de dicha ecuacion, para cualquier funcion f(x)

b) Hallar la funcion f(x) sabiendo que la ecuacion tiene otra solucion u(x) tal que el wronskiano dey = x y u(x) es x2ex y u(1) = e .

13.243 Probar que si y1 = eax es solucion de y′′ − 2ay′ + a2y = 0, cualquier otra solucion es de la formay2(x) = (c+ dx)eax . Ademas, y1 e y2 son linealmente independientes en R si y solo si d 6= 0.

13.244 Usar la proposicion 262 para comprobar que las funciones de los conjuntos siguientes son linealmenteindependientes en R

a){x2ex, xe−x, e2x

}b){x2, xe−x, sen(x)

}c){eax cos(bx), eax sen(bx), xeax cos(bx), xeax sen(bx)

}13.245 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogeneas:

a) y′′ − 2y′ = 3y b) y′′ + y = −2y′ c) y′′ + y′ + y = 0d) y(iv) − 5y′′ = 36y e) y(v) = y′ f) y(iv) + 8y′′ = −16yg) y(vi) + 2yiv) + y′′ = 0 h) y(vi) − 2y(v) + 3y(iv) + 3y′′ − 2y′ + y = 4y′′′

13.246 Dados los conjuntos de funciones siguientes:

(i){xe3x, e3x, e3x(−3x)

}(ii)

{x7, x2ex, 0

}(iii)

{x2e3x, e−x, −xex cos(−2x)

}(iv)

{2ex, −e−x, cosx, − senx

}(v)

{x3, ex cos(−2x), xex sen 2x

}(vi)

{x2 cos 2x, x2ex senx

}a) ¿Cual es el orden mınimo de una ecuacion diferencial lineal homogenea con coeficientes constantes

que tenga entre otras soluciones particulares los conjuntos anteriores?

b) Construir dichas ecuaciones diferenciales de orden mınimo

c) Resolver las ecuaciones diferenciales resultantes

13.247 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el metodo que se crea mas conveniente para elcalculo de la solucion particular:

a) y′′′ + y′ = x3 b) y′′ + y′ = 1cos x c) y′′ + 4y′ + 4y = e−2x ln(x)

d) y′′′ − y = sen(x) e) y′′ + 4y = tg(2x) f) y(vi) − y′′ = cos(3x) + ex − e2x

g) y − 6y + 9y = e3x

x2 h) y′′ + 3y′ + 2y = 1ex+1 i) y(iv) − y = cos(x)− ex

13.248 Resolver, segun los valores de a ∈ R , la ecuacion diferencial y′′ − y′ + a(a− 1)y = x

13.249 a) Obtener la solucion general de la ecuacion y′′ + y = 2t+ 1



b) Resolver el problema de valores iniciales{

y′′′ + y′ = 2t+ 1,y(0) = 2; y′(0) = 1; y′′(0) = 2

13.250 Sabiendo que y0(x) = ex+e−x

2 es la solucion del problema de valores iniciales (1) siguiente, encontrar lasolucion del problema (2); siendo a , b , λ0 y λ1 ∈ R :

(1){

y′′ + ay′ + by = 0y(0) = λ0; y′(0) = λ1

(2){

y′′ + ay′ + by = sen 2xy(0) = λ0; y′(0) = λ1


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