ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDOS)1.- Introduccin

Consideremos los siguientes problemas.Problema 1

Cules sern las curvas que verifican que la pendiente en cada uno de sus puntos es igual al doble de la suma de las coordenadas del punto?

Planteo:

Una ecuacin de este tipo se llama ecuacin diferencial ordinaria.Problema 2

Cul ser el camino recorrido por un cuerpo durante el tiempo t, si su velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 segundos el cuerpo recorre 100 metros y en 15 segundos 200 metros?

Planteo:

En esta ecuacin k es la constante de proporcionalidad y la variable independiente es t (tiempo). Adems debe verificarse que , Este problema tambin se modeliza mediante una ecuacin diferencial ordinaria y ciertas restricciones.Para dar respuesta a estos problemas tendremos que aprender a resolver este tipo de ecuaciones.2.- Definicin y conceptos generales

1.1 Definicin: una ecuacin diferencial ordinaria (EDO) es una ecuacin que relaciona una variable independiente , una funcin incgnita y sus derivadas , es decir, una ecuacin de la forma:

(forma implcita) (1)

(forma explcita)Ejemplos:

La ecuacin diferencial se llama ordinaria porque la funcin incgnita depende de una sola variable independiente. Si la funcin incgnita depende de dos o ms variables independientes, la ecuacin diferencial contendra derivadas parciales por lo que a estas ecuaciones se las llama ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

El orden de una ecuacin diferencial es el de la derivada de mayor orden que figura en la ecuacin.

Ejemplos:

EDO de segundo orden

EDO de tercer orden

Una solucin de la ecuacin diferencial (1) en un intervalo es una funcin que admite derivadas sucesivas hasta el orden n inclusive en I, tal que al sustituir y por en la ecuacin diferencial la convierte en una identidad, es decir

es solucin de la ecuacin (1)

Ejemplo: la funcin y = e x (1+ x) es una solucin de la ecuacin diferencial

En efecto, si derivamos dos veces la funcin dada tenemos:

sustituyendo y, y e y en la ecuacin diferencial dada resulta la identidad

Resolver o integrar una ecuacin diferencial ordinaria es hallar todas sus soluciones. 3.- Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Son de la forma:

(forma implcita)

(forma explcita)

donde es la funcin incgnita.Un ejemplo sencillo de ecuacin diferencial ordinaria de primer orden es

Si la funcin es continua en algn intervalo , se tiene que

C: constante real arbitrariaDe donde resulta que la ecuacin diferencial dada tiene una familia infinita de soluciones. La solucin contiene una constante arbitraria que puede determinarse, si se conoce que .La condicin se llama condicin inicial.

El problema de resolver la ecuacin diferencial sujeta a la condicin inicial en algn intervalo I que contenga a , se llama problema con valor inicial o problema de Cauchy. Este tipo de problema puede ser expresado de la siguiente manera:

Las infinitas soluciones de la ecuacin diferencial y = F (x, y) constituyen la solucin general de la ecuacin, la cual contiene una constante arbitraria.Se llama solucin particular de la ecuacin diferencial y = F(x, y) a la que se obtiene de la solucin general para un valor determinado de la constante arbitraria. Entonces dada la ecuacin diferencial y = F (x, y), la solucin general puede expresarse como

(forma implcita)

(forma explcita)

Teorema de Existencia y unicidad local de solucin. Teorema de Picard.Sea el problema de valor inicial

siendo un punto interior de la regin rectangular del plano x y ,

Si las funciones y son continuas en el rectngulo R entonces existe un intervalo abierto I con centro en , contenido en el intervalo , y una nica funcin : I R que satisface el PVI.ObservacinEs claro que la funcin es derivable en el intervalo I (es solucin del PVI). Adems es continua en I, ya que (es continua por hiptesis) entonces la grfica de la solucin del PVI es una curva suave.ComentariosLas condiciones del Teorema de Picard son suficientes pero no necesarias. Esto significa que cuando y son continuas en una regin rectangular R, podremos asegurar que el PVI tiene una nica solucin, siempre que sea un punto interior de R. Sin embargo si las condiciones establecidas en las hiptesis del teorema no son vlidas podra suceder que, el PVI tenga nica solucin o que tenga varias soluciones o que no tenga solucin.2.1.- Interpretacin geomtrica de las soluciones de la ecuacin diferencial y= F (x, y) Sabemos que la ecuacin diferencial tiene una familia infinita de soluciones que constituye la solucin general. Esta solucin general, que poda ser expresada como:

(forma implcita)

(forma explcita)

representa geomtricamente a una familia de curvas planas, llamadas curvas soluciones o curvas integrales (una curva para cada valor de la constante C).

Una solucin particular que satisface la condicin inicial , geomtricamente ser la curva (o las curvas) de la familia que contiene al punto .

2.2.- Ecuaciones diferenciales ordinarias a variables separables.Son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de la forma:

(1)es decir, es el producto de una funcin que depende nicamente de x por otra funcin que depende nicamente de y.

Para resolverla tenemos en cuenta que y= dy/dx entonces la ecuacin (1) puede escribirse

De donde para todo tal que se tiene que

Si y son continuas, integramos ambos miembros, entonces

Si es una antiderivada de y es una antiderivada de , resulta

que es la solucin general de la ecuacin (1).

En general, esta ltima igualdad, define implcitamente a y como funcin de x; si es posible, obtendremos a y en trminos de x, es decir y = (x, C).Ejemplo 1: Resolver el siguiente problema con valor inicial

Solucin:

, de donde : solucin general en forma explcita.Aplicamos ahora la condicin inicial

Luego la solucin particular del PVI dado es

Nota: El PVI dado tiene nica, observar que se cumplen las hiptesis del teorema de Picard.Ejemplo 2: el siguiente PVI tiene solucin?

Solucin:

de donde con .Es fcil verificar que y = 0 tambin es solucin de la ecuacin diferencial dada, entonces la solucin general ser con .

Aplicando la condicin inicial tenemos que , esta igualdad se verifica independientemente del valor de C, es decir para todo C, por lo que el PVI dado tiene infinitas soluciones.Ejemplo 3: De los dos problemas introductorios, en el problema 2 la ecuacin diferencial es a variables separables. Resolveremos dicho problema.Vimos que la ecuacin diferencial que modeliza dicho problema es: entonces

Es fcil ver que la funcin x = 0 tambin es solucin de la ecuacin diferencial dada, luego la solucin general ser con .

Apliquemos ahora las condiciones que se deben satisfacer en este problema.

Dividiendo miembro a miembro las igualdades anteriores resulta , de donde , reemplazando este valor de k en cualquiera de las dos igualdades anteriores y trabajando algebraicamente se obtiene que . Luego el camino recorrido por un cuerpo durante el tiempo t viene descrito por .2.3.- Ecuaciones diferenciales ordinarias homogneas

Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden es homognea si y solo si , es decir si es de la forma:

(1)Se resuelven efectuando la sustitucin (notar que como entonces ), y la ecuacin (1) se reduce a una ecuacin diferencial a variables separables. En efecto:

entonces , de donde

reemplazando en la ecuacin (1) se tiene

que es una ecuacin a variables separables, con funcin incgnita z = z (x).

Ejemplo: Resolver la ecuacin diferencial .

lo que demuestra que la ecuacin diferencial dada es homognea. Efectuamos la sustitucin entonces , de donde , reempazando obtenemos la ecuacin diferencial : ecuacin a variables separables. Resolvemos esta ecuacin

, de donde la solucin general de la ecuacin diferencial dada es .2.4.- Ecuaciones diferenciales lineales de primer ordenSon ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que pueden expresarse en la forma:

donde y son funciones continuas en un intervalo I.

Si no es idnticamente nula en I, la ecuacin (1) se llama lineal no homognea.Si en I se dice que la ecuacin (1) es lineal homognea y resulta una ecuacin a variables separables.Una de las formas de resolver la ecuacin (1) es mediante la sustitucin

Para ello calculamos y = u. v + u. v, reemplazamos y e y en (1) y obtenemos

hallamos una funcin u tal que u + p .u = 0 (esta es una ecuacin diferencial a variables separables con funcin incgnita u = u (x)). Luego calculamos la funcin v resolviendo la ecuacin u. v = q, ecuacin diferencial a variables separables con funcin incgnita v = v (x).

Finalmente y (x) = u (x).v (x) es la solucin general de la ecuacin diferencial lineal no homognea.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuacin diferencial Esta ecuacin puede escribirse como con

Realizamos la sustitucin de donde y reemplazando en la ecuacin diferencial dada tenemos:

Hallamos una funcin u tal que . Esta es una ecuacin diferencial a variables separables, resolvindola obtenemos , como interesa una funcin u elegimos C = 1, entonces , con esta funcin hallamos v de manera que , se trata tambin de una ecuacin diferencial a variables separables, cuya solucin general es con . Luego la solucin general de la ecuacin diferencial dada es con .Ejercicio: la ecuacin diferencial que modeliza el problema 1 de la introduccin es una ecuacin diferencial lineal de primer orden , resolver dicho problema.2.5.- Ecuaciones diferenciales exactas Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden de la forma

(1)

donde y son funciones continuas en una regin plana D y no es idnticamente nula en D, es una ecuacin diferencial exacta en D, si existe una funcin diferenciable en D tal que y en D.Veremos ahora como se puede obtener la solucin general de una ecuacin diferencial exacta.Sea (1) una ecuacin diferencial exacta en D entonces existe una funcin diferenciable en D tal que y en D.Sea una solucin de la ecuacin (1) en un intervalo , entonces , por ser exacta se verifica que , de donde resulta que , y por lo tanto , lo que significa que la ecuacin define implcitamente a la solucin en I.Recprocamente, supongamos que la ecuacin define implcitamente a una funcin en un intervalo I, entonces , derivando por medio de la regla de la cadena tenemos qu , pero por ser la ecuacin (1) exacta podemos escribir , lo que significa que la funcin es solucin de la ecuacin (1) en I.Luego queda probado que toda solucin de una ecuacin diferencial exacta est definida implcitamente por la ecuacinEl siguiente teorema nos proporciona un mtodo para determinar si una ecuacin diferencial de la forma (1) es o no exacta.

Teorema: Si y tienen derivadas parciales continuas en una regin del plano entonces la ecuacin diferencial es exacta si y solo si en D.Ejemplo: Resolver la siguiente ecuacin diferencial

de donde , adems la funciones P y Q tienen derivadas parciales continuas en entonces por teorema anterior la ecuacin dada es exacta en y por definicin existe una funcin diferenciable tal que y Veamos ahora como hallar la funcin f, para ello partimos de

al integrar con respecto a x, la y se mantiene constante, por lo que la constante de integracin se puede considerar como una funcin de y.

tomando K = 0 pues interesa una funcin f , obtenemos

Luego la solucin general est definida implcitamente por la ecuacin x 2 y ( y = C.

3.- Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo ordenSon de la forma

(forma implcita)

(forma explcita)Un problema con valores iniciales o problema de Cauchy es de la forma

La solucin general de una ecuacin diferencial de segundo orden es una funcin que depende de dos constantes arbitrarias y que satisface la ecuacin para cualquier valor de dichas constantes, es decir, la solucin general ser

(forma implcita) (forma explcita)

La solucin particular es la que se obtiene de la solucin general par valores determinados a las constantes arbitrarias y .Ejercicio: verificar que la funcin es la solucin general de la ecuacin diferencial y hallar la solucin particular que satisface las condiciones iniciales .3.1 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

Son ecuaciones diferenciales de la forma

(1) donde y son funciones continuas en un intervalo I y no es idnticamente nula en I.

Si en I, la ecuacin (1) se llama lineal homognea. Si no es idnticamente nula en I, se dice que la ecuacin (1) es lineal no homognea.Si las funciones son constantes la ecuacin diferencial lineal es a coeficientes constantes, si son variables se tiene una ecuacin diferencial a coeficientes variables.

Supongamos que

, entonces dividimos la ecuacin (1) por la funcin

llamando

se tiene

donde ,y son funciones continuas en el intervalo J.La ecuacin (2) se llama ecuacin lineal normalizada y al intervalo J, intervalo de normalidad.Dada la ecuacin (2), se llama ecuacin lineal homognea asociada a (2) a la ecuacin

Definicin: Llamaremos operador diferencial lineal a:

Este operador posee las siguientes propiedades (propiedades de linealidad)

Como consecuencia de estas propiedades resulta

Utilizando el operador diferencial lineal la ecuacin diferencial lineal no homognea puede escribirse y la ecuacin diferencial lineal homognea como .3.1.1 Ecuaciones diferenciales lineales homogneas de segundo orden

Teorema I:

Si las funciones e son soluciones de la ecuacin diferencial lineal homognea y son constantes arbitrarias entonces tambin es solucin de dicha ecuacin diferencial.

Demost: ejercicio

Teorema II: Caracterizacin de la solucin general de la ecuacin diferencial Si e son dos soluciones linealmente independientes de la ecuacin en I entonces la solucin general de dicha ecuacin diferencial es con constantes arbitrarias.Resolucin de la ecuacin diferencial lineal homognea a coeficientes constantesSea la ecuacin diferencial

Para hallar la solucin general de esta ecuacin, debemos encontrar, segn el teorema anterior, dos soluciones linealmente independientes. Dichas soluciones pueden ser halladas en la forma donde r es una constante real o compleja.En efecto:

A la ecuacin se la llama ecuacin caracterstica, es una ecuacin de segundo grado que determina los valores de r para los cuales la funcin es solucin de la ecuacin diferencial . Esta ecuacin tiene dos races y .1) Las races y son reales y distintas

Entonces e son dos soluciones de la ecuacin , puede probarse que son linealmente independientes, luego la solucin general ser:

con constantes arbitrarias.Ejemplo: resolver la ecuacin diferencial La ecuacin caracterstica es y sus races son ,, entonces e son dos soluciones linealmente independientes, luego la solucin general ser con constantes arbitrarias.2) Las races y son reales e iguales:

Entonces es solucin de la ecuacin diferencial .

Veremos que es otra solucin de dicha ecuacin diferencial

Se puede probar que el conjunto { e r x , x e r x } es linealmente independiente, luego la solucin general es:

con constantes arbitrarias.Ejemplo: resolver la ecuacin diferencial

La ecuacin caracterstica es que tiene dos races reales e iguales , entonces las funciones e son dos soluciones linealmente independientes, luego la solucin general ser con constantes arbitrarias.3) Las races y son complejas Puesto que los coeficientes de la ecuacin caracterstica se presuponen reales, las races y son nmeros complejos conjugados, es decir , si ,, entonces las funciones e son dos soluciones complejas de la ecuacin diferencial . Estas dos soluciones complejas pueden ser sustituidas por dos soluciones reales. Veamos esto:

Como e son soluciones, por teorema I, tambin es solucin de la ecuacin diferencial . Tambin

es solucin de la misma ecuacin diferencial.De esta manera, al par de races complejas conjugadas le corresponden dos soluciones reales , . Se puede probar que el conjunto es linealmente independiente, luego la solucin general es:

, con constantes arbitrarias.Ejemplo: resolver la ecuacin diferencial

La ecuacin caracterstica es , cuyas races son , , entonces por lo visto anteriormente la solucin general es:

, con constantes arbitrarias3.1.2.-Ecuaciones diferenciales lineales no homogneas de segundo orden

Teorema: Caracterizacin de la solucin general de la ecuacin diferencial Sea la ecuacin diferencial (1) con funcin continua en un intervalo I, si es una solucin particular de esta ecuacin en I, entonces es solucin general de la ecuacin (1) en I si y solo si donde es la solucin general de la ecuacin diferencial homognea asociada . Ecuaciones diferenciales lineales no homogneas a coeficientes constantes Sea la ecuacin diferencial

con y constantes y una funcin continua en un intervalo I.

Por teorema anterior para hallar la solucin general de esta ecuacin diferencial debemos encontrar , solucin general de la ecuacin homognea asociada, e solucin particular de la ecuacin diferencial no homognea.Ya vimos como hallar . Para hallar la solucin particular podemos utilizar dos mtodos: el mtodo de variacin de los parmetros (de Lagrange) o el mtodo de los coeficientes indeterminados.I) Mtodo de variacin de los parmetros o mtodo de LagrangeSea la ecuacin diferencial lineal no homognea a coeficientes constantes

La ecuacin diferencial homognea asociada es y su solucin general es . El mtodo consiste en reemplazar las constantes y por funciones y y buscar una solucin particular de la ecuacin diferencial no homognea de la forma

Para ello calculamos

Imponemos la condicin de que

Calculamos teniendo en cuenta la condicin impuesta

Reemplazando en la ecuacin diferencial no homognea, resulta

o sea

de donde

Consideramos el siguiente sistema:

Resolvindolo obtenemos , luego , y con ellas podemos escribir la solucin particular.Ejemplo: Resolver la ecuacin diferencial La ecuacin lineal homognea asociada a la no homognea dada es

Ecuacin caracterstica:

Proponemos

Planteamos el sistema

Resolvindolo obtenemos , De donde

Las constantes y se consideran nulas porque buscamos una solucin particular.

Luego una solucin particular de la ecuacin lineal no homognea es:

y la solucin general de la ecuacin dada es:

II) Mtodo de los coeficientes indeterminados

Se propone una posible solucin particular con coeficientes a determinar. El tipo de solucin que proponemos depende de la expresin de . Para poder aplicar este mtodo debe ser de la forma:

e k x un polinomio

sen kx cos k x

suma o producto de las funciones anteriores

En la siguiente tabla se muestra la solucin particular que se propone, segn la expresin de

e k x

A e k x

Pn(x) (polinomio de gr n)Qn(x) (polinomio de gr n completo)

senkx coskx

A senkx + B coskxLo anterior es vlido si la solucin particular propuesta no es solucin de la ecuacin diferencial homognea asociada. Caso contrario, se debe multiplicar la solucin propuesta por donde t es el menor entero positivo tal que no sea solucin de la ecuacin homognea asociada (en nuestro caso tendremos que multiplicar por por ).Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

1)

2)

3)

4)

4.- Ecuacin diferencial de una familia de curvas

Nos planteamos el problema recproco al hasta ahora estudiado, es decir, dada la ecuacin de una familia de curvas buscar una ecuacin diferencial que la admita como solucin general. Si la familia de curvas contiene una constante arbitraria, podemos encontrar una ecuacin diferencial de primer orden que la tenga como solucin general. Si la familia de curvas contiene dos constantes arbitrarias, la ecuacin diferencial de la cual es solucin general ser de segundo orden.Ejemplos: 1) Sea la familia de curvas , C: constante arbitraria. Para hallar la ecuacin diferencial que la admite como solucin general, derivamos con respecto a x entonces , eliminando la constante C entre ambas igualdades obtenemos:

esta es una ecuacin diferencial de primer orden cuya solucin general es la familia de curvas dada.2) Sea la familia de curvas , ,: constantes arbitrarias. Como esta familia contiene dos constantes arbitrarias ser solucin de una ecuacin diferencial de segundo orden, entonces derivamos dos veces con respecto a x y consideramos el siguiente sistema

eliminando las constantes , entre estas tres igualdades obtenemos:

que es la ecuacin diferencial que admite como solucin general es la familia de curvas dada.

P(x,y)

yx

y

x

x

y = y(x) ?

derivada de la funcin y

variable

independiente

funcin incgnita

derivada de la funcin incgnita x

funcin incgnita

Anlisis Matemtico II Anglica Arnulfo 3

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