Ecuaciones Diferenciales Presentacion

7/31/2019 Ecuaciones Diferenciales Presentacion

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ECUACIONES

DIFERENCIALES

PROF. ENRIQUE ANTONIANO

07 DE MAYO DE 2012

Pedro

Luis

Bernardo

Rafael

Victor


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El paracaidismo es uno de los deportes extremos que da a da cuenta con mayornmero de adeptos.

Los que practican este deporte se tiran desde un avin en movimiento y caen alinicio en cada libre, luego extienden su cuerpo perpendicularmente a la trayectoriade cada y finalmente abren su paracadas para aterrizar suavemente.

Es notorio el cambio de la velocidad de cada del paracaidista de una etapa a lasiguiente.

Observamos dos tipos de movimiento:

1. Una cada libre, que es el tipo de movimiento donde la resistencia del aire o delmedio es despreciable, por lo que se considera nula.

2. Una cada no libre o con friccin, que es el tipo de movimiento donde la

resistencia del aire o del medio no es despreciable. En este caso el medio seopone al movimiento del paracaidista


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Ahora veamos de forma prctica un ejemplo donde primero plantearemos elmodelo matemtico con fundamentos en la Segunda Ley de Newton deMecnica.

Esta ley establece una proporcionalidad directa entre la fuerza resultante Fque acta sobre el cuerpo y la aceleracin instantnea a de ste. Esto es, F =ma, donde la masa m del cuerpo juega el papel de la constante deproporcionalidad.

Tengamos presente tambin que: a(t) = d /dt v(t); donde v(t) es la velocidadinstantnea.v(t) = d /dt x(t); donde x(t) es la posicin

instantnea.w = mg es el peso del cuerpo de masa m.


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Modelando:

k= constante de resistencia del aire

g= Constante de gravitacin universalw= peso

Para la aplicacin de esta ecuacin diferencial planteamos el siguienteproblema:

Un paracaidista que pesa 180 libras incluyendo el equipo cae verticalmente desde una altura de5000 pies y abre su paracadas despus de 10 segundos de cada libre. Suponga que la fuerzade resistencia del aire es de 0.7 v cuando el paracadas est cerrado y 12 v cuando elparacadas est abierto, en donde v se da en pies/segundo.

a) Encuentre la velocidad del paracaidista al abrirse el paracadas.b) Halle la distancia que cae antes de que se abra al paracadas.c) Cul es la velocidad limite despus de que se abre el paracadas.d) Cuanto tiempo permanece el paracaidista en el aire despus de que el paracadas se abre.


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Sustituimos los valores dados por el problema:

Hallaremos la velocidad v(t), resolviendo la ecuacin diferencial:

Despejamos v(t):


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Como es cada libre:

Entonces:

Con esta ecuacin para resolver nuestro inciso a) solamente hacemos t=10segundosLa respuesta es:


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Ahora para encontrar la distancia:

Sustituimos la ecuacin de la velocidad:

Haciendo los clculos:

La condicin inicial h(0)=0 ya que en t=0 no ha recorrido distancia alguna


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Por lo tanto, el inciso b) queda respondido tomando t=10:

Ahora para la ecuacin despus de abrirse el paracadas utilizamos nuestromismo modelo y simplemente sustituimos:

Y resolvemos la E.D.:


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Nuestra velocidad inicial en este caso, ser la velocidad final de cuando anno habra el paracadas.

Nuestra respuesta para el inciso c) es realizar el lmite cuando el tiempotiende al infinito:


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Para saber cunto tiempo estuvo en el aire despus de que se abri elparacadas, necesitamos saber cunto se demora en recorrer los:

Obtenemos las ecuaciones:

La altura inicial ahora ser la altura a la que se encontraba cuando abri elparacadas:

Por tanto:


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Ahora necesitamos saber el tiempo que tarda en los 3899.6 ft restantes:

Le diremos t(x)

Despreciamos el valor de e al ser aproximadamente igual a cero y queda:


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MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIN

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