Luis M. Sánchez Ruiz Matilde P. Legua Fernández

ECUACIONES DIFERENCIALES Y TRANSFORMADAS DE LAPLACE

CON APLICACIONES

EDITORIAL UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA

Para referenciar esta publicación utilice la siguiente cita: Sánchez Ruiz, Luis M; Legua Fernández, Matilde P. ( ). Ecuaciones diferenciales y transformadas de Laplace con aplicaciones. alencia: Editorial Universitat Politècnica de València

© Luis M. Sánchez Ruiz Matilde P. Legua Fernández

© 2017, Editorial Universitat Politècnica de València distribución: www.lalibreria.upv.es / Ref.: 0798_01_05_01

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Índice General

1 Ecuaciones diferenciales 11.1 Introducción y de�niciones básicas . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 De�nición y resolución . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas . . . . . . . 7

1.3.3 Ecuaciones diferenciales reducibles . . . . . . . . 9

1.4 Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 De�nición y resolución . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.2 Factores integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1 De�nición y resolución . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.2 Ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.3 Ecuación de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Aplicación: Problemas de mezclas . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Ecuaciones no lineales en y0 . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.1 Ecuaciones resolubles en y0 . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.2 Aplicación: Cálculo de la envolvente . . . . . . . 19

1.7.3 Ecuaciones resolubles en y . . . . . . . . . . . . . 21

1.7.4 Ecuaciones resolubles en x . . . . . . . . . . . . . 24

1.8 Aplicación: Trayectorias isogonales . . . . . . . . . . . . 26

1.9 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.10 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

i

ii

2 Ecuaciones de orden superior 392.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Ecuaciones diferenciales incompletas . . . . . . . . . . . 40

2.2.1 Ecuaciones donde falta la y . . . . . . . . . . . . 40

2.2.2 Ecuaciones donde falta la x . . . . . . . . . . . . 42

2.3 Ecuaciones lineales de orden n . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.1 De�nición. El operador derivada . . . . . . . . . . 43

2.3.2 Ecuación lineal homogénea . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.3 Ecuación lineal no homogénea . . . . . . . . . . . 49

2.3.4 Método de Lagrange o variación de parámetros . 54

2.3.5 Ecuación de Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . 56

2.3.6 Reducción del orden . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4 Aplicación: Circuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.6 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3 Sistemas de ecuaciones 673.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2 Método matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2.1 Sistema lineal homogéneo . . . . . . . . . . . . . 69

3.2.2 Sistema lineal no homogéneo . . . . . . . . . . . . 77

3.3 Método de eliminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.4 Aplicación: Transformadores y redes . . . . . . . . . . . 82

3.5 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.6 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4 Métodos numéricos 954.1 Interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2 Resolución numérica de PVI . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3 Métodos de un paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3.1 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3.2 Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4 Métodos multipaso lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

iii

4.4.1 Métodos explícitos e implícitos . . . . . . . . . . . 103

4.4.2 Generación de métodos lineales . . . . . . . . . . 104

4.4.3 Métodos predictor-corrector . . . . . . . . . . . . 106

4.5 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.6 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5 Transformadas de Laplace 1115.1 Definición y conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2 Propiedades y transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3 Aplicación: Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . 130

5.4 Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . 130

5.4.1 Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 130

5.4.2 Cálculo de algunas transformadas inversas . . . . 135

5.4.3 Método de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.5 Aplicaciones de las transformadas . . . . . . . . . . . . . 142

5.5.1 Resolución de PVI. Función de transferencia . . . 142

5.5.2 Ecuaciones con coeficientes variables . . . . . . . 147

5.5.3 Ecuaciones integro-diferenciales . . . . . . . . . . 148

5.5.4 Sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . 148

5.5.5 Estabilidad de sistemas dinámicos . . . . . . . . . 149

5.6 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.7 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

PrólogoLas ecuaciones diferenciales modelan casi todos los procesos que aparecenen la técnica en los cuales hay una relación de cambio entre las variablesinvolucradas. En dichos procesos es habitual contar con unas condicionesiniciales de partida y, en la mayoría de ocasiones, se pueden emplearentonces dos herramientas especí�cas para la búsqueda de solución: pormétodos numéricos cuya utilización aconseja conocer algunas nociones deinterpolación y mediante la transformada de Laplace que permite obtenersoluciones exactas en los casos más usuales como son por ejemplo losmodelados por ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales.

Con esta publicación se pretende satisfacer las necesidades básicasque puedan tener los alumnos de ingeniería en técnicas de resolución deecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial. Se han incluido losresultados teóricos que dan el soporte matemático necesario para abordarlos problemas que aparecen, pero se ha evitado dar demostraciones quesean excesivamente tediosas o complicadas de desarrollar; solo se han in-cluido aquellas que pueden ayudar a conseguir una formació n adecuadapara abordar tipos de ecuaciones o aplicaciones no tratadas en este texto.A lo largo del mismo hay una amplia exposición de ejemplos que facilitanla comprensión de los diferentes temas presentados, �nalizando cada ca-pítulo con una selección de ejercicios cuya resolución se recomienda paraveri�car que se ha entendido la materia desarrollada.

Los autores expresan su reconocimiento al profesor Manuel Legua(1924—99), catedrático desde 1964 a 1989 de la Escuela Universitariade Ingeniería Técnica Industrial de Valencia —transformada en EscuelaTécnica Superior de Ingeniería del Diseño en 2002—, que les transmitióla forma de enfocar la didáctica de las Matemáticas destinadas a cubrirlas necesidades de los ingenieros.

Asimismo desean expresar su agradecimiento a Isabel Morales porsu ayuda en la elaboración de la primera versión de este texto, a loscompañeros de profesión que han hecho sugerencias respecto de dicha yposteriores versiones, y a los alumnos que, con sus dudas y querer saber,les han hecho ver los temas en los cuales tenían una mayor di�cultad.Esperamos que estas notas faciliten la labor de nuestros futuros alumnos.

Los autores

Capítulo 1

Ecuaciones diferenciales

1.1 Introducción y de�niciones básicas

Existen situaciones en que se desea determinar una función desconocidaa partir de una ecuación, denominada diferencial, (ED) que contiene porlo menos una de sus derivadas respecto de una variable independiente.

Ejemplo 1.1.1 Se lanza verticalmente una partícula P de masa m des-de la super�cie de un planeta sin atmósfera cuya forma es una esferade radio R. Conociendo el valor de la gravedad g sobre su super�cie,establecer la velocidad v de P en función de su distancia x al centro delplaneta. Hallar la velocidad que debemos imprimir a P para que escapedel campo gravitacional si g = 9.81 m/s2, R = 6500 km.

Sol.: La fuerza gravitacional es F (x) = kmx2. Como F (R) = km

R2= mg

resulta que k = gR2. Como es habitual denotamos a = dvdt, entonces

ma = gR2mx2

= m dvdt= m dv

dxdxdt= mv dv

dx= v dv = gR2

x2dx.

Integrando, 12v2 = gR2

x+ C. Si dotamos a P con una velocidad inicial

v (R) = v0, entonces C = 12v20 gR por lo que

v2 = 2gR2

x+ v20 2gR v =

q2gR2

x+ v20 2gR.

Si v20 2gR, P escapa ya que v no se anula. Para g = 9.81 m/s2 yR = 6500 km, la velocidad de escape es v0 11.293 km/s.

1

2 Capítulo 1

Una ecuación diferencial es ordinaria (EDO) si la incógnita esfunción de una sola variable, y en derivadas parciales (EDP) si esfunción de dos o más. En lo que sigue nos ocuparemos únicamente de lasprimeras.

Una ecuación diferencial ordinaria es de orden n si involucra hasta laderivada n-sima de la función desconocida, diciéndose que está expresadaen forma normal si viene dada por

y(n) = f(x, y, y0, . . . , y(n 1)).

Una función de�nida en un intervalo I R es solución o integralde la ecuación diferencial si al sustituirla en ella se obtiene una identi-dad. Si la solución contiene n constantes arbitrarias se llama integralgeneral (IG). Cada solución obtenida dando valores a las constantesarbitrarias se llama integral particular (IP). Y las soluciones que nopueden obtenerse a partir de una integral general se llaman integralessingulares (IS). Las grá�cas de las soluciones se denominan curvasintegrales. Se resuelve un problema de valor inicial (PVI) si, da-dos x0, y0, y00, . . . , y

(n 1)0 R, se busca una solución y(x) que satisfaga

y(x0) = y0, y0(x0) = y00, . . . , y

(n 1)(x0) = y(n 1)0 .

1.2 Ecuaciones de primer orden

Las EDO de primer orden se generan si entre la ecuación que representauna familia F de curvas F (x, y, C) = 0 y su derivada total respecto de x,Fx(x, y, C)+Fy(x, y, C) y

0 = 0, eliminamos el parámetro C. El resultadose denomina ecuación diferencial de F .

Ejemplo 1.2.1 Hallar la ecuación diferencial de (x c)2 + y2 = 1.

Sol.: Eliminando c entre la ecuación de esta familia de circunferenciasy su derivada respecto de x, 2 (x c) + 2yy0 = 0, obtenemos su ecuación

diferencial y2³y0

2+ 1´= 1. Aquí (x c)2+ y2 = 1 es la integral general

y cada una de las circunferencias es una integral particular. Es fácil verque y = ±1 son soluciones singulares.

Hay ecuaciones diferenciales, como 2 + y02 = 0, que carecen de solu-ción. Enunciaremos dos resultados que garantizan la existencia de solu-ciones, única en el primero de ellos con ayuda del siguiente concepto.

Ecuaciones diferenciales 3

De�nición 1.2.2 Una función f : A R2 R veri�ca una condiciónde Lipschitz con respecto a y en A si hay una constante L, denominadade Lipschitz, tal que |f(x, y1) f(x, y2)| L |y1 y2| en A.

Si fy es continua en A = [a, b] × [c, d], f satisface una condiciónde Lipschitz ya que entonces |fy(x, y)| K (x, y) A, por lo que|f(x, y1) f(x, y2)|

R y1y2|fy(x, y)| dy K |y1 y2| , (x, y1), (x, y2) A.

Teorema 1.2.3 (de Picard) Sea f una función continua en el rectán-gulo A = [a, b] × [c, d] donde satisface una condición de Lipschitz conrespecto a y. Dado (x0, y0) del interior de A, existe un h > 0 tal quey0 = f(x, y), y(x0) = y0, tiene una única solución en [x0 h, x0 + h].

Teorema 1.2.4 (de Peano) Sea f una función continua en el rectán-gulo A = [a, b]× [c, d]. Si (x0, y0) está en el interior de A, entonces existeun h > 0 tal que y0 = f(x, y), y(x0) = y0, tiene al menos una soluciónen [x0 h, x0 + h].

Ejemplo 1.2.5 Analizar si f (x, y) = 2y12 satisface una condición de

Lipschitz en el rectángulo A = {(x, y) R2 : |x| 2, |y| 1}. Estudiarla unicidad de solución del PVI y0 = 2y

12 , y(0) = 0.

Sol.: Como f(0,y) f(0,0)y 0

= 2y12 no está acotado en las cercanías del

origen, f no satisface una condición de Lipschitz en A. Por tanto no esde extrañar que, a pesar de ser f continua en A, el PVI dado presentemás de una solución como lo son y1(x) = x2, y2(x) = 0.

Resolución grá�ca. Isoclinas

Una ecuación diferencial y0 = f(x, y), donde f es una función continua enD R2, asocia a cada P (x, y) D una dirección de coe�ciente angularm = f(x, y), que es la dirección en P de cualquier solución que pasepor P . Los puntos de D con su dirección se llama campo de direcciones,pudiéndose visualizar con ayuda de pequeños segmentos con punto medioen ciertos P D y su correspondiente dirección.

Si distribuimos los puntos P sobre curvas de ecuación m = f(x, y),m R, se obtienen las curvas isoclinas que contienen a los puntos alos que corresponde la misma dirección.

4 Capítulo 1

Ejemplo 1.2.6 Emplear el método de las isoclinas para hallar:

a) La curva que pasa por ( 1, 2) y en cada punto (x, y) la pendiente dela tangente es el cuadrado de la abscisa x.

b) Las curvas tales que en cada punto (x, y) la pendiente sea el cocienteentre ordenada y abscisa.

c) La curva que pasa por el punto (0, 1) y veri�ca que la pendiente de latangente en cada punto (x, y) es igual al producto de ordenada y abscisa.

Sol.: a) La propiedad enunciada es y0 = x2. Las isoclinas son

m = x2 x = m, x = m, m 0.

El campo de direcciones en un entorno de ( 1, 2), por ejemplo en elcuadrado [ 2, 0]× [ 3, 1] , es el siguiente.

Este método no proporciona la expresión analítica de la curva integralque pasa por ( 1, 2) pero sugiere su grá�ca.

b) La propiedad enunciada es y0 = yx. Las isoclinas sonm = y

xconm R,

y representan los puntos de curvas integrales en los que la pendiente esm. En este caso coinciden con las curvas integrales.

c) La propiedad enunciada es y0 = xy por lo que las isoclinas son lashipérbolas m = xy. Dando a m valores negativos, positivos y 0, notamosque las curvas integrales son decrecientes en el segundo y cuarto cua-drantes, crecientes en el primero y tercero, tienen pendiente nula sobreOY (recta x = 0) y la recta y = 0 también es solución de la ecuación

Ecuaciones diferenciales 5

diferencial. La grá�ca de la curva integral que pasa por (0, 1) es

x 210-1-2

y

5

4

3

2

1

.

1.3 Ecuaciones de variables separables

1.3.1 De�nición y resolución

Una EDO y0 = f(x, y) se dice que es de variables separables si existendos funciones continuas P y Q tales que, operando, puede escribirse comoP (x) dx = Q(y) dy. Entonces se dice que tiene las variables separadasy una integral general esZ

P (x) dx =

ZQ(y) dy + C, C constante arbitraria.

Ejemplo 1.3.1 Resolver

a) (1 y2) 3xy y0 = 0.

b) (1 y2) 3xy y0 = 0, y(4) = 32.

c) (1 y2) 3xy y0 = 0, y( 33) = 2.

d) (1 y2) 3xy y0 = 0, y(4) = 1.

e) (1 y2) 3xy y0 = 0, y(0) = 2.

Sol.: a) Separando las variables x e y,

dx

x=3y dy

1 y2.

Integrando en ambos miembros,

ln |x| = 32ln |1 y2|+ lnC |x| |1 y2| 32 = C, C > 0. (IG)

6 Capítulo 1

Las soluciones de una EDO son funciones de�nidas en un intervalo dondela satisfacen. En este caso podemos expresar las soluciones en formaexplícita

y = ±q1 3

p(C/x)2, x > C, y = ±

q1 3

p(C/x)2, x < C,

correspondientes a soluciones en las que 1 y2 > 0, e

y = ±q1 + 3

p(C/x)2, x > 0, y = ±

q1 + 3

p(C/x)2, x < 0,

correspondientes a soluciones en las que 1 y2 < 0. Por otra parte siem-pre que separamos variables hemos de esudiar si hemos perdido algunasolución. En este caso hemos dividido por 1 y2 por lo que hemos des-cartado que dicha expresión sea nula, Y efectivamente en este caso a)también admite las soluciones singulares

y = ±1. (IS)

b) Para que y(4) = 32

4

¯¯1 ³

32

´2 ¯¯32

= 12= C. Por tanto la

solución del PVI viene incluida en

2 |x| ¯1 y2¯ 32 = 1.

Analizando la condición inicial, que buscamos una solución en 4 > 0donde y(4) < 0 y además 1 y2 = 1 3

4> 0, observamos que la función

que la satisface es

y =

q1 3

p(1/2x)2, x >

1

2.

c) Para que y( 33) = 2 3

3|1 22| 32 = 3 = C. Por tanto la solución

del PVI viene incluida en

|x| ¯1 y2¯ 32 = 3.

Analizando la condición inicial, que buscamos una solución en 33< 0

donde y( 33) > 0 y además 1 y2 = 1 4 < 0, observamos que la

función que la satisface es

y =

q1 + 3

p(3/x)2, x < 0.

Ecuaciones diferenciales 7

d) Si en la IG se plantea y(4) = 1 4 (1 1)32 = 0 = C conduce a

x¡1 y2

¢ 32 = 0

que no debe considerarse como solución ya que el proceso de obtenciónde la IG es válido para C > 0.

La función y = 1 es la solución de este PVI y corresponde a una delas IS de a).

e) Si en la IG se plantea y(0) = 2 0 (1 4)32 = 0 = C conduce a dar

la solución falsa (C 0)

x¡1 y2

¢ 32 = 0.

Este PVI no tiene solución.

Nota 1.3.2 Si (x0, y0) está en el interior de un rectángulo donde P y Qson continuas, la solución de P (x) dx = Q(y) dy, y(x0) = y0 esZ x

x0

P (x) dx =

Z y

y0

Q(y) dy.

Así, en Ejemplo 1.3.1 b) y c), las soluciones explícitas con las condicionesiniciales dadas podrían haberse obtenido respectivamente mediante

b)Z x

4

dx

x=

Z y

32

3y dy

1 y2, c)

Z x

33

dx

x=

Z y

2

3y dy

1 y2.

1.3.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas

Una función f : A R2 R se dice que f es homogénea de grado k, si

f(tx, ty) = tkf(x, y) para (x, y), (tx, ty) A.

Una ecuación diferencial es homogénea si puede expresarse como

y0 = f(x, y) donde f es una funcion homogenea de grado 0.

Si f es homogénea de grado 0 el cambio y = xz la transforma en

z + xz0 = f(x, xz) = f(1, z) dzf(1,z) z

= dxx,

que tiene las variables separadas. Si su solución es F (x, z, C) = 0, lasolución de la ecuación original es F

¡x, y

x, C¢= 0.

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