ECUACIONES DIFERO-DIFERENCIALES EN UN PROBLEMA ELEMENTAL DE FlSlCA

Oscar Chavoya Aceves

DIVISION DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA Departamento de Ciencias Básicas

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA Unid ad Azca potza Ico

México 16, D.F.

R e s uniE n S e considera un sistema de dos masas puntuales ml y m 2 unidas

por una barra elSstica. Se obtienen ecuaciones diferodifercnciales

que describen el comportamiento de las masas, se encuentran las so-

lusiones exponenciales y se muestra el procedimiento para resolver

en base a ellas el problema con condiciones iniciales.

Generalidades

Es bien conocida la lntima relación uue existe entre las teo--

rfas físicas sobre el movimiento de los cuerpos y la teorla matemá-

tica de las ecuaciones diferenciales. A s l , existen exposiciones de

la dinámica según las cuales la frase: "Las ecuaciones diferencia--

les que rigen el movimiento de las partlculas materiales son ecua-

ciones diferenciales de 2 O orden resueltas respecto a la segunda de

rivada" encierra todo el contenido positivo de la segunda ley de -- Newton. Hay sin embargo problemas clásicos que no se pueden plan--

tear directamente desde esos puntos de vista, 10 cual se presenta - al considerar que las partlculas interactúan por medio de los dife-

rentes campos de fuerza que existen en la naturaleza de manera que,

para estudiar el movimiento de las partlculas, o se recurre a la so -

lucidn autoconsistente del problema del novimiento de las partlcu--

las y el campo, o bien, se recurre a las ecuaciones funcionales di-

fero-diferenciales. Estos tratamientos encierran algunas dificulta

des conceptuales, por ejemplo, al tener que considerar interaccio--

ncs avanzadas en la descripción clásica del movimiento de partlcu--

las cargadas. En el presente trabajo se considera un ejemplo muy - sencillo pero que ya presenta ese t i p o de complicaciones con 10 cual

se espera aclarar algunas de las dificultades que surge.

3

Planteamiento del problema

y m2 dos masas puntuales restringidas a moverse a lo - largo dc? una llnea recta paralela a l eje de las x , unidas por una - barra elástica de longitud R (cuando no esta deformada), secci6n -- transversal S y módulo de Young Y. Supondremos además que el siste -

ma está libre de fuerzas externas. Seqún las leyes de la mecánica,

el sistema del centro de masas (de partfculas más barra), es un c i s -

tema inercia1 y con respecto a el se hard la descripción del movi--

miento.

1 Sean m

Supondremos que la coordenada. de la partlcula 1 cuando la ba--

rra no está deformada es U1 = O, mientras que la posición de m2 en

l a s mismas condiciones es R. El desplazamiento de los elementos de

la barra se puede describir por una sola componente: U(x,t) que sa-

tisface a la ecuación diferencial parcial:

donde X es la masa de l a barra por unidad de longitud y -( = YS es - una constante. U(x,t) satisface también a las condiciones de fron-

tera :

(2-a)

Sean ül(t) = U(0,t) y ü2(t) = U(%,t) los desplazamientos de l a s par -

tículas para todo t. La solución general de 1), s i n condiciones --

adicionales de frontera es:

R U(x,t) = f(t + -1 C + g(t - A) C ( 3 )

5

Donde f y g s o n f u n c i o n e s a rb i t rar ias c o n 2 a . d e r i v a d a c o n t i - -

nua y c = J x . --

qix s a t i s f a g a a l a s c o n d i c i o n c s d c f r o n t e r a 2 ) , se c u m p l i r á e l s i - -

g u i e n t e sistema de i g u a l d a d es

'y D e m a n e r a q u e ; dada u n a s o l u c i ó n p a r t r c u l a r de 1 )

f u n c i o n a l e s :

R R U 2 ( t ) = f ( t + c) t- c J ( t - -) C

.ml u l " ( t) = 5 i f ' ( t ) - g ' ( t ) 1 (4 -c )

Veamos como se pueden e l i m i n a r de estas i g u a l d a d e s l a s f u n c i o n e s f

y g . I n t e g r a n d o l a s e c u a c i o n e s ( 4 - c ) y (4-d) e l sistema se t r a n s - -

fornia e n :

( 5 - C )

( 5 4 )

donde K 1 y K 2 s o n c o n s t a n t e s d e i n t e g r a c i 6 n . A p a r t i r de estas - - e c u a c i o n e s se e n c u e n t r a a h o r a q u e :

y U l ( t ) + n1 c U l ' ( t ) + y K f ( t ) = - 2r (6-a)

6

I--

~ .*-

y u (t) + m2 c U,'(t) + Y K2 2Y 2 í 6 4 )

R g(t - -1 = C

Utilizando (6-a), (6-b) y (4-b) se demuestra que:

y {ul(t + R + ul(t - - 1 1 R + ml c {ull(t + R) - u p - L ) } C C C u ( t ) = -

2 2Y

Similarmente

Las ecuaciones (7-a) y (7-b), constituyen un sistema de dos ecuacio

nes difero-diferenciales que se d.ebe resolver para describir el cog

portamiento de las masas sin tener en consideración, explfcitamente,

la existencia del campo elástico a través del cual interactban.

-

Análisis del problema

En conexión con el sistema de ecuaciones 7, surgen dos pregun-

tas:

a) ¿.Qué condiciones adicionales se deben imponer a las funcio-

1 2 b) ¿Qué métodos se pueden ut:ilizar para obtener soluciones del

nes U y U para que el sistema 7 las determine unlvocamente?

sistema 7 ) ?

Empezaremos contestanto la segunda pregunta, el análisis que - haremos nos conducirá a contestar la primera. El sistema 7 es un - sistema lineal, por lo que podemos ocuparnos de la obtencidn de una

familia de soluciones sin condiciones adicionales que, en última -- instancia, se pueden utilizar para desarrollar soluciones que cum--

plan con requisitos preestablecidos. Como en la t e o r l a de ecuacio-

7

nes diferenciales ordinarias, existe una familia de soluciones expo

nencialcs de la forma

zt U,(t) = al e

zt U2(t) = a e 2

Sustituyendo estas formas funcionales en las ecuaciones 7,

ne un sistema de ecuaciones trascendentes:

donde z es un número complejo y a a son constantes complejas. - se obtie -

1' 2

Obsérvese que a y a2 no son independientes. La reso,ución del

sistema 9 no es trivial, pero, como veremos, la introducción del -- sistema de ecuacioncs funcionales 7 únicamente complica l a solución

del problema y solamente se justifica por el análisis que permite - hacer. Partamos pues de la ecuación diferencial parcial 1 y de las

condiciones (2-a) y (2-b). Utilicemos el método de separación de - variables para obtener soluciones de 1. Calcularemos los modos nor -

males de oscilación, por lo cual proponemos:

iwt U(x,t) = $(x) e

Al sustituir en l), se encuentra que + satisface a la ecuación dife rencial ordinaria:

2 2 4'' + - * $ = O

C

Lo que nos dice que deberá ser:

8

de manera que:

Para imponer l a s condiciones de f r o n t e r a , notamos que:

de manera que l a s condiciones 2 toman l a forma:

- i w R - i w R - C C

bl + (m2uc: + i y ) e ( n i 2 wc - i y ) e b2 = O

Este sistema t i e n e soluciones no t r i v i a l e s si y solo s i su de-

terminante va le cero: - i w R i ¿ i > R -

= o C (ni (i)c + ir) ( m 2 w c + iy) e - ( m l w c - i y ) ( m 2 w c - i y ) e 1

Aunque hay aquf dos ecuaciones para w, l a primera, que corres-

ponde a l a parte r e a l se cumple idénticamente. Para l a parte imaga -

naris tendremos:

2 G w R ( m l m 2 w 2 c 2 - y s i n (u;) - ywc mlm2 cos (-1 C = O

o b i e n :

ywcm m w 1 2 tan(cR) = (m m ei, 2 2 c - y 2 ) 1 2

9

que tiene una infinidad de soluciones. las solucio-

nes positivas de (12), se encuentra para cada un un par de modos --

Sean wl, ...

normales: iw x l W * X

+ b21 e iw t n

n --

) e C C 'ni (x,t) = (bli e

U*2(X,t) = (b12 e

iw x n -. n -hnt -iw x

) e C C

+ b22 e

donde debemos de tener

(rnlwc + iy) bll + ( m l w c - iy) b12 = O

O sea

Asimismo:

Estas relaciones hacen ver que las partes espaciales de Unl 1

Un2 son proporcionales, de manera que se obtiene una expresión más

sencilla para los modos nornales:

Hemos encontrado as€ una infinidad de soluciones de 7

10

para cada (on. Haremos ver que esta familia de soluciones es Sufi--

ciente para nuestros fines. Escribimos los modos normales 13 en la

forma abreviada:

Donde, evidentemente se supone que:

io x -iw x n n m w c + i y I n C l e (m w c - iy I n -_ I_ e $,(XI =

Estudiemos las propiedades que tienen estos modos normales.

a) Primero que todo observemos q u e r en los modos normales el siste-

ma oscila de manera que su centro de masas permanece en reposo.

b) los modos normales no son ortogonales en el sentido usual, pero

se puede definir un producto interno que los haga ortogonales.

Partamos de la ecuación diferencial, de ios modos normales:

Multiplicamos esta ecuación por @ *, para obtener: m 9

2 n Y @m* dx

Asimismo:

2 * 2

= o ni @In + xw 2

CiX Y@n

Restando la segunda igualdad de la primera e integrando:

11

l.>ero, a partir de las condiciones de frontera:

los qiie nos lleva a definir el producto interno

O

que hace ortogonales a los modos normales.

As1 que, dadas U y at a tiempo cero,. podemos escribir:

de manera q u e :

(17-a)

(17-b)

lo cual resuelve el problema con condiciones iniciales sobre la de-

formación de la barra. Pero, que pasa si lo que se da son sendos - "tramos" de las trayectorias de ml y m2?. Para contestar esta pre-

gunta, veremos que bajo determinadas condiciones se pueden determi-

nar U ( x , t ) y at (x ,O) a partir de las ecuaciones funcionales ( 6 ) . au

x En efecto, sabemos que si U(X,t) = f(t + g(t - c) enton- ces

12

_I__

Supongamos dado la trayectoria. de ml en el intervalo .Q. R

t i --I, se tendr5:

X X X y U 1 (-E) - ml c: u I 1 (-E)

2 Y q(-c) =

con lo que se obtiene:

Asímisino:

Una vez determinadas estas funciones, y utilizando las fórmulas

17, se obtiene una solucidn única. Evidentemente, también se deter

mina la solucibn si se especifica Pa trayectoria de m2 en el mismo - intervalo de tiempo.

-

Supongamos ahora que se especifican las trayectsrias de ml y m2 R en el intervalo t E [ - c,O), tendremos entonces:

X X i x y U 1 ( - ~ ) - m I. C U1 (y) - Y Kl

€(E) C + g(---) = 2Y

- -- m2 c u ~ I ( ~ C - Y K 2 + Y U 2 ( c 2 Y

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X X y u l ( - ; ) - m c U l l (-;I

-- 1 2v u ( x , O ) = ----- +

+ K 2 - m x - R )

+ i'u2( c 2Y

donde la constante K se determina a partir de la condición:

R U ( x , O ) dx + m l Ul(0) + m2 U2(0) = O )I O

(20-b)

Entonces, el uso de las ecuaciones 17 permite determinar la solucibn.

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Conclusiones y observaciones

Según lo que acabamos de ver, la teorla de espacios de Hilbert

está intimamente relacionada con la soluci6n del problema original,

pues la familia de soluciones exponenciaies constituye un sistema - ortogonal completo de un espacio de Hilbert que se obtiene con una

definiciGn singular del producto interior. La generalización de -- esto queda para un estudio posterior. Es preciso observar que las

soluciones obtenidas constituyen ~ 6 1 0 un subespacio del conjunto de

soluciones, pues, como es notorio se exigen ciertas condiciones más

o menos fuertes sobre las condiciones iniciales: la existencia y -- continuidad de la 2a. derivada (que es un requirimiento flsicamente

aceptable). La segunda pregunta que se plantea es, que tanto se -- pueden relajar estas condiciones manteniendo el formalismo. Las -- cuestiones relacionadas con esto quedan pendientes también para un

posterior estudio.

Referencias:

1. Ecuaciones de la Flsica Matemlstica. A.N. Tijonov,

A.A. Samarsky. Edit. Mir. Pags. 168 - 174.

2. Classical Mechanics. Herbert Goldstein. Addison - Wesley Publishing Company. Second Edition. Chap. 12.

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