ECUACIONES EN DIFERENCIAS · MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO 423 En este capítulo...

Capítulo VI

ECUACIONES EN DIFERENCIAS

VI.1 Introducción

En el capítulo anterior estudiamos las ecuaciones diferenciales ordinarias

(EDOs) que involucraban a una variable tx y a sus derivadas tx,,tx,tx n('''

que proporcionaban tasas de cambio continuas. En el presente capítulo,

estudiaremos las denominadas ecuaciones en diferencias que involucran a una

variable “x” evaluada en “t”, ,x t y a sus diferencias .x,,x,x tn

t2

t Aquí, la

variable tx varía discretamente, o de forma más correcta, aún cuando dicha

variable cambie continuamente en el tiempo, las observaciones de esos cambios

son realizadas y registradas únicamente en intervalos de tiempo discretos. Por

ejemplo, muchas de las variables que suelen estudiar los economistas, tal es el

caso de la renta, el consumo, el ahorro, etc., son registradas en periodos de

tiempo fijos (a diario, semanalmente, quincenalmente, trimestralmente,

anualmente, etc.). A toda ecuación que relaciona dichas variables en diferentes

periodos de tiempo discretos se le denomina ecuación en diferencias. Estas

ecuaciones son denominadas ecuaciones en diferencias ya que involucran

diferencias en funciones. Por ejemplo, si tfxt la primera diferencia1 de “x”

evaluada en “t” es:

tf1tfxxx t1tt (I)

La primera diferencia de “x” evaluada en “ 1t ” es:

1tf2tfxxx 1t2t1t (II)

La segunda diferencia de “x” evaluada en “t” se puede calcular como la

diferencia entre dos primeras diferencias sucesivas, esto es:

t1t2t

t1t1t2tt1tt1ttt2

xx2x

xxxxxxxxxx

(III)

1 Se debe resaltar que la primera diferencia de “x” evaluada en “t” también podría definirse de la siguiente

manera: .1tftfxxx 1ttt

CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS

422

La segunda diferencia de “x” evaluada en “ 1t ” se puede calcular como la

diferencia entre dos primeras diferencias sucesivas, esto es:

1t2t3t1t2t1t2t1t1t2 xx2xxxxxxx (IV)

La tercera diferencia de “x” evaluada en “t” se puede calcular como la diferencia

entre dos segundas diferencias sucesivas, esto es:

t1t2t3tt2

1t2

t1tt2

t3 xx3x3xxxxxxx (V)

La tercera diferencia de “x” evaluada en “ 1t ” se puede calcular como la

diferencia entre dos segundas diferencias sucesivas, esto es:

1t2t3t4t

1t2

2t2

1t2t1t2

1t3

xx3x3x

xxxxxx

(VI)

En general, la diferencia de orden “n” de “x” evaluada en “t” se define como:

int

n

0i

itt

1nt

n x!in!i

!n1xxx

(VII)

Para cualquier entero “n”, con .1n

De manera análoga, la diferencia de orden “n” de “x” evaluada en “ 1t ” se

define como:

i1nt

n

0i

i1t1t

1n1t

n x!in!i

!n1xxx

(VIII)

Para cualquier entero “n”, con .1n

Note que el superíndice “n” significa que la operación de calcular la diferencia

se ha repetido “n” veces, es decir que el operador diferencia “ ” ha sido

aplicado “n” veces.

VI.2 Ecuaciones en diferencias ordinarias

Las ecuaciones en diferencias ordinarias2 son ecuaciones que involucran una

variable tx medida discretamente en diferentes periodos de tiempo. De forma

equivalente, podemos decir que una ecuación en diferencias ordinaria es una

ecuación funcional que involucra una o más diferencias tn

t2

t x,,x,x de una

función desconocida del tiempo. Debido a que “t” varía de forma discontinua,

para periodos de tiempo igualmente espaciados, la función desconocida tx será

definida únicamente para los valores discretos de “t”, en consecuencia, el gráfico

de la función desconocida será una sucesión discontinua de puntos separados.

2 De ahora en adelante nos referiremos de manera abreviada a las ecuaciones en diferencias ordinarias

simplemente como ecuaciones en diferencias.

MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO

423

En este capítulo únicamente estudiaremos las denominadas ecuaciones en

diferencias ordinarias, es decir, nos concentraremos en el estudio de aquellas

ecuaciones en diferencias en las que la función desconocida únicamente depende

de una sola variable independiente discreta (por lo general “t”). Las ecuaciones

en diferencias parciales, aquellas en las que las diferencias parciales de la

función desconocida dependen de más de una variable dependiente discreta, no

son objeto de estudio del presente capítulo.

Sea tx una variable discreta3 (la función desconocida), se denomina ecuación en

diferencias ordinaria no autónoma a una relación cuya forma general es:

Forma Implícita: 0t,x,x,x,,x,,x,xF ttt2

t3

t1n

tn (IX)

Forma Explícita: t,x,x,x,,x,,xfx ttt2

t3

t1n

tn (X)

Reemplazando las diversas diferencias en las expresiones anteriores se obtienen

las siguientes relaciones:

Forma Implícita: 0t,x,x,x,x,,x,xG t1t2t3t1ntnt (XI)

Forma Explícita: t,x,x,x,x,,xgx t1t2t3t1ntnt (XII)

En caso la variable “t” no aparezca de manera explícita en el argumento de las

cuatro expresiones anteriores, entonces se dice que la ecuación en diferencias

ordinaria es autónoma. El orden de una ecuación en diferencias coincide con la

diferencia de mayor orden que aparece en dicha ecuación. Para las cuatro

ecuaciones anteriores, el número natural “n” representa el orden de las

ecuaciones en diferencias. Si la ecuación en diferencias es expresada tal como la

ecuación XI o como la ecuación XII, entonces el orden de la ecuación en

diferencias estará dado por la mayor diferencia entre los subíndices de tiempo:

.ntnt En caso las formas funcionales que aparecen en las cuatro

ecuaciones anteriores sean lineales, entonces las ecuaciones en diferencias

ordinarias de orden “n” serán lineales.

Ejemplos:

a) La ecuación 0x3x t1t es lineal, de primer orden, está expresada en

forma implícita y es autónoma.

b) La ecuación 0x3x5x t1t2t es lineal, de segundo orden, está

expresada en forma implícita y es autónoma.

c) La ecuación 2t1t2t x4x2x es no lineal, de segundo orden, está

expresada en forma explícita y es autónoma.

d) La ecuación 3t

41t2t3t txx5x2x es no lineal, de tercer orden, está

expresada en forma explícita y es no autónoma.

3 Una variable discreta es una sucesión infinita de números reales ,x,,x,xx t10tt

que

denotaremos como .x t


424

e) La ecuación 2xxx5x2

tttt2 es no lineal, de segundo orden, está

expresada en forma explícita, y es autónoma. Esta ecuación se puede escribir

de forma equivalente tal como: .2x4xx5xx2x2

t1ttt1t2t

La solución de una ecuación en diferencias (tal como IX, X, XI o XII) viene

dada por todos los valores de tx que no involucran diferencias y que satisfacen

dicha ecuación. Es decir, la solución de una ecuación en diferencias es una

sucesión de números que verifican dicha ecuación.

Puede probarse que si ctx es solución de una ecuación en diferencias, también lo

es ctkx para cualquier constante arbitraria “k”; y también si c

tx y ptx son

soluciones de dicha ecuación, también lo será su combinación lineal pt2

ct1 xkxk

para cualquier constantes .kyk 21 Asimismo, podría comprobarse que la

solución existe y es única.

Por último, es importante resaltar que la solución de una ecuación en diferencias

de orden “n” requiere de “n” condiciones iniciales para determinar las “n”

constantes arbitrarias que aparecerán en la solución.

VI.3. Ecuaciones en diferencias de primer orden

Sea t,xf t una función definida para ,2,1,0t y para todos los números

reales .x t Una ecuación en diferencias de primer orden no autónoma en tx

viene dada por:

t,xhxt,xfxxt,xfxxt,xfx t1ttt1ttt1ttt (XIII)

Para un valor dado de 0x es posible determinar la solución de (XIII) a través del

método de iteración o de inserción. Este método consiste en reiterativamente

aplicar la ecuación (XIII) para diversos valores de “t” partiendo del hecho que

conocemos el valor de .x0 En concreto, dados (XIII) y 0x podemos determinar

el valor de tx para cualquier valor de “t” tal como sigue:

3,2,1,0,xhhhh3,xhx

2,1,0,xhhh2,xhx

1,0,xhh1,xhx

0,xhx

034

023

012

01

(XIV)

Aún cuando en algunas ocasiones se puede encontrar una fórmula relativamente

sencilla para ,x t esto no suele ser usual. Una solución general de (XIII) es una

función cuya forma general viene dada por:

C;tgxt (XV)


425

La ecuación (XV) satisface (XIII) para cada valor de la constante arbitraria “C”.

Además, para cada valor de 0x usualmente existe un valor de “C” que satisface:

C;0gx0 (XVI)

En caso la ecuación dada por (XIII) no dependa explícitamente de “t”, se dice

que ésta es una ecuación en diferencias autónoma, y su forma general vendría

dada por:

t1ttt1ttt1ttt xhxxfxxxfxxxfx (XVII)

Para un valor dado de 0x es posible determinar la solución de (XVII) a través

del método de iteración o de inserción tal como sigue:

0t

0t

03

023

02

012

01

xhxhhhx

xhxhhhxhx

xhxhhxhx

xhx

(XVIII)

Donde 0t xh representa la t-ésima iteración de 0x bajo “h”, siendo 0xh la

primera iteración de 0x bajo “h”. En consecuencia, la ecuación (XVII) podría

expresarse en función de la 1t -ésima iteración de 0x bajo “h” tal como sigue:

01t

0t

t1t xhxhhxhx (XIX)

Al conjunto de todas las posibles iteraciones (positivas):

0txh 0t (XX)

Donde 00t xxh se le denomina la órbita (positiva) de 0x y la denotaremos

por .xO 0

Dada una ecuación en diferencias como la descrita en (XVII), se dice que *x es

un punto fijo o punto de equilibrio si se verifica que:

txxh *1t (XXI)

Una útil consecuencia de (XXI) es que *x será un punto de equilibrio de (XVII)

si y sólo si se verifica que:

txxh ** (XXII)


426

Como ocurrió con el estudio de los puntos de equilibrio en ecuaciones

diferenciales (tiempo continuo), una importante cuestión a tener en

consideración en ecuaciones en diferencias (tiempo discreto) es la

estabilidad/inestabilidad de un punto de equilibrio.

Definición 1: Sea *x un punto de equilibrio de (XVII). Entonces,

1. *x es (localmente) estable si dado un número real “ 0 ” existe otro

número real “ 0 ” tal que si:

.1txxxxhxx *t

*0

t*0 (XXIII)

Donde 0x es el valor inicial. Si *x no es estable, entonces es un punto

de equilibrio inestable. Un punto de equilibrio inestable es denominado

repulsor o fuente.

2. El punto de equilibrio *x es un punto de equilibrio inestable si existe

un “ 0 ” y un número natural “T” tal que si:

*T

*0

T*0 xxxxhxx (XXIV)

3. El punto de equilibrio *x es un punto de equilibrio atractor si es

(localmente) estable y existe un 0 tal que:

*

tt

*0 xxlímxx

(XXV)

Si , entonces *x es denominado globalmente atractor. El punto

*x es un punto de equilibrio asintóticamente estable o sumidero si es

estable y es atractor. Si , entonces se dice que *x es un punto de

equilibrio globalmente asintóticamente estable.

Es importante resaltar que la medida *t xx significa que tx permanece

“cercano” a .x* Es decir que si tx se “acerca” a *x conforme transcurre el

tiempo, entonces *x es un atractor; si, por otra parte, tx se aleja de *x

conforme transcurre el tiempo, entonces *x es un repulsor. Asimismo, es

importante resaltar que estabilidad significa que una vez que hallamos escogido

cuan cerca queremos permanecer a *x en el futuro, nosotros podamos encontrar

cuan cerca debemos empezar en el inicio.

En la figura 1 se pueden apreciar los diferentes tipos de puntos de equilibrio de

una ecuación en diferencias dada por (XVII).


427

0 2 4 6 8 10

t 0 2 4 6 8 10

t

0 2 4 6 8 10

t 0 2 4 6 8 10

t

0 2 4 6 8 10

t

(e) Globalmente asintóticamente estable

(c) Repulsor (d) Asintóticamente estable

(b) Inestable (a) Estable

x* + δ

x* - δ

x* + ε

x* - ε

x* x0

x* + δ

x* - δ

x* + ε

x* - ε

x* x0

x* + γ

x* - γ

x* + δ

x* - δ

x*

x*

x*

x0

xt xt

xt

xt

xt

b0x

a0x

b0x

a0x

Figura 1

La figura 1 (a) nos muestra que *x es (localmente) estable. Es decir, en esta

figura podemos apreciar que encontrándose 0x dentro de una distancia “ ”

respecto de ,x* entonces tx se encuentra dentro de una distancia “ ” respecto

de *x para todo .0t En la figura 1 (b) tenemos que *x es inestable. En este

caso, existe un “ 0 ” tal que sin importar cuán cerca esté 0x de ,x* existirá un

“T” tal que Tx diste al menos “ ” respecto de .x* Por su parte, en la figura 1

(c) se aprecia que *x es repulsor. En este caso, se aprecia que tx se aleja de *x

conforme transcurre el tiempo (obviamente *x es inestable). En la figura 1 (d) se

aprecia que *x es asintóticamente estable. Se observa que *x es (localmente)


428

estable ya que 0x (“a” y “b”) se encuentra dentro de una distancia “ ” respecto

de ,x* y además, se aprecia que conforme .xxt *t Finalmente, en la

figura 1 (e) se aprecia que *x es globalmente asintóticamente estable. Aquí se

verifica que *x es (localmente) estable y que conforme *t xxt para

todo 0x (“a” y “b”).

Teorema 1: Sea *x un punto de equilibrio de (XVII) donde “h” es

continuamente diferenciable en *x entonces:

1. Si

1dx

xdh

t

*

entonces *x es un punto de equilibrio asintóticamente

estable (atractor o sumidero).

2. Si

1dx

xdh

t

*

*x es inestable y es un punto de equilibrio repulsor.

3. Si

1dx

xdh

t

*

y:

a) Si

,0dx

xhd

2t

*2

entonces *x es inestable.

b) Si

,0dx

xhd0

dx

xhd

3t

*3

2t

*2


c) Si

,0dx

xhd0

dx

xhd

3t

*3

2t

*2

entonces *x es asintóticamente

estable.

4. Si

1dx

xdh

t

*

y:

a) Si

,0dx

xhd3

dx

xhd2

2

2t

*2

3t

*3

entonces *x es asintóticamente

estable.

b) Si

,0dx

xhd3

dx

xhd2

2

2t

*2

3t

*3


1.- Ecuaciones en diferencias lineales de primer orden

Una típica ecuación en diferencias de primer orden lineal no homogénea

está dada por:

0tb,0t,x,tcxtbx 0t1t (XXVI)


429

La solución de (XXVI) la podemos obtener mediante el método de iteración

tal como sigue:

2c1c2b0c1b2bx0b1b2b

2c1c0c1bx0b1b2b2cx2bx

1c0c1bx0b1b

1c0cx0b1b1cx1bx

0cx0bx

0

023

0

012

01

Inductivamente, puede comprobarse que la solución de (XXVI) es:

1t

0j

1t

1ji

0

1t

0i

t jcibxibx (XXVII)

En donde el producto de todos los términos no existentes, como por ejemplo

los términos que van desde “ 1t ” hasta “t”, es igual a uno.

Un caso especial de la ecuación (XXVI) surge cuando tb es independiente

del tiempo, en cuyo caso (XXVI) se transforma en:

0b,0t,x,tcbxx 0t1t (XXVIII)

De acuerdo a (XXVII), la solución de (XXVIII) viene dada por:

1t

0j

1jt0

tt jcbxbx (XXIX)

En el caso que ,0tc se tendrá la versión homogénea de las ecuaciones

(XXVI) y (XXVIII). La solución de las versiones homogéneas de (XXVI) y

(XXVIII) se obtendrá eliminando el segundo sumando en las ecuaciones

(XXVII) y (XXIX) respectivamente.

Otro caso especial de la ecuación (XXVI) es que tanto tb y tc sean

constantes. Esto es:

0t,x,xhcbxx 0tt1t (XXX)

Empleando la ecuación dada por (XXVII), la solución de (XXX) vendrá

dada por:

1bsi;ctx11cxc1x1

1bsi;xxxbcbxb

x

0

veces"t"

0

1t

0j

1jt0

t

**0

t1t

0j

1jt0

t

t

(XXXI)


430

Teorema 2: La ecuación en diferencias lineal de primer orden dada por

(XXX) (con 0x dado y “b” y “c” constantes) tiene solución dada por

(XXXI). Donde .b1

cx*

El comportamiento de la solución de (XXXI)

está dado en la tabla 1 (y está graficado en las figuras 2a y 2b) para todos

los posibles valores de “b” y “c”, y .x0 En particular, si

,1b11b entonces la solución de (XXXI) converge hacia *x

(asintóticamente estable), y si 1b1b,1b la solución de (XXXI)

es divergente (inestable) a menos que .xx *0

Hipótesis Conclusiones

Caso b c 0x Para

,2,1t

La solución es:

(a) 1b *0 xx

*t xx Constante (= *x ). Estable.

(b) 1b *0 xx

*t xx

Monótona creciente,

diverge a . Inestable.

( c) 1b *0 xx

*t xx

Monótona decreciente,

diverge a . Inestable.

(d) 1b0 *0 xx

*t xx

Monótona decreciente,

converge a *x .

Asintóticamente estable.

( e) 1b0 *0 xx

*t xx

Monótona creciente,

converge a *x .


(f) 0b1 *0 xx

Oscilatoria amortiguada,

converge a *x .


(g) 1b *0 xx

Marginalmente estable.

Presenta oscilaciones no

amortiguadas (de amplitud

constante) alrededor de *x .

No presenta estabilidad

asintótica.

(h) 1b *0 xx

Divergente, oscila

infinitamente alrededor

de *x .

(i) 1b 0c 0t xx Constante (= 0x ).

(j) 1b 0c 0t xx Monótona creciente,

diverge a .

(k) 1b 0c 0t xx Monótona decreciente,

diverge a .

Tabla 1: Comportamiento de la solución de cbxx t1t


431

0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10

0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10

(c) (d)

(b) (a)

x* = x0 x*

x0

x* x* x0

xt xt

xt xt

0 2 4 6 8 10

x*

xt

(e)

x0

x0

t t

t

t

t

0 2 4 6 8 10

x*

xt

(f)

x0

t

Figura 2a: Comportamiento de la solución de cbxx t1t


432

0 2 4 6 8 10

(i)

x0

t

0 2 4 6 8 10

(k)

x0

xt

t

0 2 4 6 8 10

x*

xt

(g)

x0

t

0 2 4 6 8 10

(j)

x0

xt

t

xt

0 2 4 6 8 10

x*

xt

(h)

x0

t

Figura 2b: Comportamiento de la solución de cbxx t1t

Ejemplos:

1.- Resolver la siguiente ecuación en diferencias y graficar su solución.

0t,1x,!2t3x2tx 0t

t1t

Comparando la ecuación anterior con (XVII), resulta que:

!2j3jc!2t3tc

2iib2ttb

jt (1)


433

Reemplazando (1) y 1x0 en (XXVII) la solución será:

1t

0j

j1t

1ji

1t

0i

t !2j32i2ix

!1t32i!432i

!332i!232i1tt432x

1t

1

1t

ti

21t

3i

11t

2i

01t

1i

t

!1t3432131tt65

32131tt654

2131tt65431tt654321x

1t2

1

0t

!1t3

31tt65432131tt654321

31tt6543211tt654321x

1t

21

0t

!1t33!1t3!1t3!1t!1tx 1t210t

1t

0i

i1t210t 3!1t!1t3333!1t!1tx

,3,2,1t,2

13!1t

2

13!1t!1tx

tt

t

Reemplazando en la expresión anterior ,3,2,1t se tiene:

t 0 1 2 3 4 5 6

tx 1 4 30 336 4920 87840 1839600

El gráfico de la solución de la ecuación en diferencias se muestra a

continuación.


434

0

500000

1000000

1500000

2000000

0 1 2 3 4 5 6

t

Xt

Figura 3

2.- Resolver la siguiente ecuación en diferencias y graficar su solución.

1x,3x3x 0t

t1t

Comparando la ecuación anterior con (XXVIII), resulta que:

jt 3jc3tc

3b (2)

Reemplazando (2) y 1x0 en (XXIX) la solución será:

1t

0j

1tt1t

0j

j1jttt 33333x

3t33t3x 1t1ttt

Reemplazando en la expresión anterior ,3,2,1t se tiene:

t 0 1 2 3 4 5 6

tx 1 4 15 54 189 648 2187

El gráfico de la solución de la ecuación en diferencias se muestra a

continuación.


435

0

500

1000

1500

2000

2500

0 1 2 3 4 5 6

t

Xt

Figura 4

3.- Amortización (Zhang, 2006): es el proceso por el cuál un préstamo es

liquidado a través de una secuencia de pagos, cada uno de los cuales es

parte del pago de intereses y parte del pago para reducir la deuda

principal. Sea tD la deuda principal después del t-ésimo pago .pt

Supóngase que los intereses se cobran de manera compuesta a una tasa

“r” por periodo de pago. La deuda principal 1tD después de 1t

pagos es igual a la deuda principal tD después de “t” pagos más los

intereses trD incurridos durante el 1t -ésimo periodo menos el

t-ésimo pago ,pt esto es:

ttttt1t pDr1prDDD

Sea 0D la deuda inicial. Se pide determinar la solución de la ecuación

en diferencias anterior, es decir, determinar la deuda principal después

del t-ésimo pago. Además, si suponemos que el pago es constante e

igual a “M” y que el préstamo es saldado en “t” pagos, determine la

solución de la ecuación en diferencias anterior y el monto “M”

correspondiente al pago mensual.

Comparando la ecuación anterior con (XXVIII), resulta que:

jpjctptc

r1b (3)

Reemplazando (3) y 0D en (XXIX) la solución será:

1t

0j

1jt0

tt jpr1Dr1D

1t

0j

1jt0

tt jpr1Dr1D (4)


436

Ahora si suponemos que ,Mjp entonces la solución (4) se

transforma en:

1t

0j

1jt0

tt Mr1Dr1D

1r1r

MDr1D

t0

tt (5)

Cuando el préstamo es completamente saldado en “t” pagos, resulta que

,0Dt por tanto, el pago mensual “M” vendrá dado por:

0t

tt

0t

t rD1r1

r1M01r1

r

MDr1D

(6)

4.- Dinámica de precios con expectativas adaptativas4 (Zhang, 2006): Hay

dos activos financieros disponibles para invertir; un depósito bancario

libre de riesgo que devenga (produce) una tasa de interés constante “r” a

perpetuidad, y una acción ordinaria, esto es, un crédito de capital en

alguna empresa, que paga una corriente conocida de dividendos por

acción, .dtss

Sea sp el precio real de mercado de una acción ordinaria

al comienzo del periodo “s”, antes que el dividendo 0ds sea pagado.

Supóngase también que los precios futuros de las acciones son

desconocidos pero que todos los inversores tienen la creencia común en

st que el precio será e1sp al comienzo del siguiente periodo.

Además, para que los dos activos financieros coexistan, sus

rentabilidades deben ser iguales, de lo contrario el menos rentable no

tendría compradores, es por eso que se considerará la siguiente

condición de arbitraje:

e1ttt pdpr1 (7)

La ecuación (7) significa que si una suma de tp unidades monetarias

fuese invertida en la bolsa de valores en el periodo “t”, ésta debería

producir en el periodo “ 1t ” una cantidad cuyo valor esperado e

1tt pd sería igual al principal más los intereses sobre una igual suma

invertida en depósitos bancarios.

4 En economía se dice que los individuos tienen expectativas adaptativas cuando basan sus expectativas de

lo que sucederá en el futuro teniendo en cuenta lo que ha ocurrido en el pasado. Es decir, en este tipo de

expectativas se supone que los individuos adoptan el valor pasado de las variables y lo corrigen de alguna

manera para obtener su valor presente. Por ejemplo, si en el pasado la inflación ha sido alta, los agentes

económicos podrían esperar que ésta sea alta en el futuro. Dado que en este tipo de expectativas se asume

que los individuos no actualizan sus conocimientos empleando toda la información de la que disponen, para

corregir este supuesto bastante restrictivo, surge la teoría de las expectativas racionales, en la cual se

supone que los individuos emplean toda la información que está a su alcance y actualizan sus

conocimientos utilizando el valor esperado condicionado a la información existente. Un caso particular

surge cuando los individuos tienen previsión perfecta, en este caso debido a que los individuos cuentan con

toda la información necesaria, el valor esperado de las variables coincide con su valor real.

http://es.wikipedia.org/wiki/Inflaci%C3%B3n


437

La hipótesis de expectativas adaptativas fue introducida por Nervole en

1958 en su estudio del modelo de la “telaraña”. De acuerdo a esta

formulación, las expectativas son revisadas o “adaptadas” en cada

periodo sobre la base de la diferencia entre el valor observado y el valor

previamente esperado, es decir:

ett

e1t

ett

et

e1t pa1appppapp (8)

Donde el parámetro, ,1,0a describe la velocidad de aprendizaje. La

ecuación (8) nos dice que, si el valor observado del periodo anterior

“ tp ” ha sido mayor (igual ó menor) que el valor esperado para el mismo

periodo “ etp ”, es decir si ,0pp e

tt

entonces el nuevo valor esperado

“ e1tp ” es revisado hacia arriba, dejado constante, o revisado hacia

abajo.

Utilizando la condición de arbitraje para eliminar los precios esperados

de la ecuación de expectativas adaptativas, ecuación (8), demuestre que

se obtiene la siguiente ecuación en diferencias, luego de adelantar la

ecuación en un periodo:

tt1t bpp (9)

Donde:

ar1

da1db

1a00r10;ar1

a1r1

t1tt

(10)

Luego determine la solución de (9). Además, si suponemos que la

acción ordinaria de la empresa paga un dividendo constante “d”,

encuentre la solución de (9). Finalmente, determine el punto de

equilibrio y analice la estabilidad.

De (7) se tiene que:

tte

1t dpr1p (11)

Retardando en un periodo la ecuación (11) obtenemos:

1t1tet dpr1p (12)

Reemplazando (11) y (12) en (8) resulta:

1t1tttt dpr1a1apdpr1

t1t1tt dda1pr1a1par1


438

ar1

da1dp

ar1

r1a1p

1tt1tt

(13)

Adelantando en un periodo la ecuación (13) obtenemos.

ar1

da1dp

ar1

r1a1p

t1tt1t

(14)

Finalmente, teniendo en cuenta (10), podemos escribir la ecuación (14)

tal como sigue:

tt1t bpp l.q.q.d

Por (XXVIII) y (XXIX), la solución de (9) vendrá dada por:

1t

0j

j1jt

0t

t bpp (15)

Por otra parte, si .ctedddctedd 1ttt Reemplazando esta

última condición en (10) se tiene que:

ctear1

adbbcte

ar1

adbb

1a00r10;ar1

a1r1

jt

(16)

Sustituyendo “ bbt ” en (9) resulta:

tt1t phbpp (17)

Teniendo en cuenta (XXX) y (XXXI), y el hecho que ,1 resulta que

la solución de (17) viene dada por:

1

b

1

bpp 0

tt (18)

Teniendo en cuenta la ecuación (XXII) y la ecuación (17), el punto de

equilibrio de (17) lo determinaremos a través de:

txph **

01

bpphbpp ****


439

Por tanto, la ecuación (18) puede escribirse tal como sigue:

**0

tt pppp (19)

Derivando (17) respecto de tp se tiene:

10si

dp

pdh

dp

pdh

dp

pdh

t

*

t

*

t

t (20)

Por tanto, de acuerdo al teorema 1, dado que

1dp

pdh0

t

*

entonces

*p es un punto de equilibrio asintóticamente estable (atractor o sumidero).

Además, de acuerdo a tabla 1, si 10 y ,pp *0 entonces tp es

monótona decreciente y converge a *p . Asimismo, si 10 y ,pp *0

entonces tp es monótona creciente y converge a *p .

0 2 4 6 8 10

(a)

p*

xt

0 2 4 6 8 10

p*

xt

(b)

p0

p0

t t

Figura 5: Dinámica de precios con expectativas

adaptativas

5.- El modelo lineal de la telaraña (Mavron, 2007): Este modelo es

utilizado en economía para analizar fluctuaciones periódicas en el

precio, en la oferta, y en la demanda que oscilan alrededor de un

equilibrio. Este modelo relaciona a bienes cuya producción no es

instantánea ni continua, sino que requieren un periodo de tiempo fijo

(en este modelo se toma a dicho periodo como la unidad de medida

temporal). Se asume que las cantidades involucradas cambian

únicamente en intervalos de tiempo discretos y que existe un rezago de

tiempo en la respuesta de los productores ante cambios en los precios.

Por ejemplo, este año la oferta de un particular producto agrícola

depende del precio obtenido en la cosecha del año anterior. Por

supuesto que la demanda del producto dependerá del precio de este

año. Otro ejemplo es el de los paquetes de vacaciones. La oferta de

vacaciones de la empresa de vacaciones para esta estación dependerá

de los precios obtenidos en la última estación.


440

En general, se asume que la función de oferta en el periodo “t” para un

único bien viene dada por:

0b,0a;bappOQ 1t1tOt (21)

Donde OtQ es la oferta en el periodo “t” que depende de ,p 1t el precio

en el periodo “ 1t ” (precio del periodo previo). La ecuación de la

demanda, que depende del precio vigente en cada periodo “t”, viene

dada por:

0d,0c;dcppDQ ttDt (22)

Aquí a, b, c, y d son parámetros reales. Inicialmente ,0t y luego “t”

se incrementa en una unidad en cada periodo. Se supondrá que en el

periodo inicial partimos de un precio 0p diferente al precio de

equilibrio intertemporal, ,p* debido a un disturbio exógeno (por

ejemplo una sequía). Al precio 0p le corresponde una cantidad inicial

.q0 Asimismo, supondremos que la producción total de cada periodo

será vendida en el mercado (no existen inventarios). Asumiendo que el

mercado se vacía (el mercado está en equilibrio en el sentido que en

cada periodo ningún productor se queda con alguna cantidad de su

producción sin vender y ningún consumidor se queda sin satisfacer su

demanda) en cada periodo „t”, se tiene que:

Dt

Ot QQ (23)

Reemplazando (21) y (22) en (23) resulta que:

c

dbp

c

apdcpbap 1ttt1t (24)

Adelantando (24) en un periodo, se tiene que:

tt1t phc

dbp

c

ap

(25)

En este punto es importante resaltar que el precio de mercado “ tp ” es

de equilibrio en cada periodo, esto es, el mercado se vacía en cada

periodo. Sin embargo, este precio fluctuará con el tiempo.

Teniendo en cuenta (XXXI) y que ,0ca1ca la solución de (25)

está dada por:

**0

t

t pppc

ap

(26)

Donde se tiene que el precio de equilibrio intertemporal “ *p ” viene

dado por:

ac

dbp* (27)


441

De acuerdo al teorema 1, las condiciones de estabilidad requieren

,1

c

a

dp

pdh

t

*

que siempre se satisface si la oferta “O” es menos

inclinada que la demanda “D”. Por otro lado, si

,1

c

a

dp

pdh

t

*

entonces el precio será divergente del precio de

equilibrio intertemporal (la oferta “O” es más inclinada que la

demanda “D”). En particular, si ,0c

a10

c

a1

el precio de

equilibrio del mercado “ tp ”, dado por (26), tenderá, con el tiempo,

hacia el precio de equilibrio intertemporal de forma oscilatoria.

Además, si ,1c

a1

c

a

el precio de equilibrio del mercado “ tp ”,

se alejará, con el tiempo, del precio de equilibrio intertemporal de

forma oscilatoria. Finalmente, si ,1c

a1

c

a

el precio de

equilibrio del mercado “ tp ”, oscilará indefinidamente y con amplitud

uniforme alrededor del precio de equilibrio intertemporal.

Este modelo es representado en la figura 6. Las funciones de oferta y

de demanda son indicadas por “O” y “D” respectivamente. En las

figuras 6 (a), 6 (b) y 6 (c) se observa que partiendo de un precio inicial

,pp *0 este precio 0p da una cantidad ofertada en el siguiente periodo

de ,Q1 leída de la curva de oferta e indicada por el punto “a”. Pero, ya

que la demanda iguala a la oferta en cada periodo, esto también da una

cantidad demandada de ,Q1 mientras esta cantidad demandada implica

un precio 1p en el periodo 1. Esto a su vez significa que la cantidad

ofertada en el periodo 2 es .Q2 Y así la secuencia continua.

Tal como se aprecia en las figuras 6 (a), 6 (b) y 6 (c), se obtienen

trayectorias con la forma de una “telaraña”, que dan nombre al modelo.

En la figura 6 (a) se aprecia una telaraña explosiva (la oferta es más

empinada que la demanda), en la figura 6 (b) se observa una telaraña

convergente (la demanda más empinada que la oferta), mientras que en

la figura 6 (c) se aprecia una telaraña de oscilación uniforme (la

demanda y la oferta tienen igual inclinación). Asimismo, en la figura 7

(a) se observa la evolución en el tiempo del precio de mercado “ tp ”

para el caso en que la oferta es más empinada que la demanda, en la

figura 7 (b) se aprecia el caso en que la demanda más empinada que la

oferta, mientras que en la figura 7 (c) se observa el caso en que la

oferta y la demanda tienen la misma inclinación.


442

1t

t

p

p

D

O tQ

3p 1p 2p 4p 0p *p

1Q 3Q

4Q 2Q

(a)

a b

c d

e

ca

D

O

1p 3p 2p 0p 4p *p

3Q 1Q

2Q 4Q

(b)

1t

t

p

p

tQ

a b

c d

e

ca

D

O

1p 0p *p

1Q

0Q

(c)

1t

t

p

p

tQ

a b

c d

ca

0Q

0Q

Figura 6: Modelo lineal de la telaraña


443

0 2 4 6 8 10

pt

t

p* p1

p2

p3

p0

p4

(a)

ca

0 2 4 6 8 10

p*

pt

p0

t

p1

p2

p3

p4

(b)

ca

0 2 4 6 8 10

pt

(c)

p0

t

p*

ca

p1

Figura 7: Modelo lineal de la telaraña

Finalmente, de la ecuación (26) se desprende el hecho que si ,pp *0

en consecuencia ,pp *t es decir, el precio permanece fijo en *p si no

ocurre ningún disturbio exógeno y esto es lo que se entiende por

equilibrio estático.


444

6.- Modelo de crecimiento de la renta nacional en una economía en

expansión (Goldberg, 1958):

0r;rIYYY

,2,1,0t1m0y0c;mYcC

;ICY

tt1tt

tt

ttt

(28)

La primera ecuación de (28) nos dice que la renta nacional “ tY ” está

constituida por dos componentes: el consumo “ tC ” y la inversión

“ tI ”.

La segunda ecuación de (28) nos dice que los gastos de consumo

dependen linealmente de la renta nacional. Donde “c” es el consumo

autónomo y “m” representa la propensión marginal a consumir. La

inecuación 1m0 simplemente expresa el hecho que cualquier

incremento en la renta es en parte, pero no completamente, convertido

en un incremento en el consumo.

La tercera ecuación de (28) nos expresa que el incremento en

capacidad (o renta nacional total) “ tY ” causado por una unidad de

inversión “ tI ” es igual al factor de crecimiento “r”.

El objetivo del análisis dinámico de esta economía es obtener las

ecuaciones en diferencias que satisfacen las funciones “Y” e “I”, y sus

respectivas soluciones. Para ello, vamos a despejar “ tI ” de la primera

ecuación de (28):

ttt CYI (29)

Reemplazando (29) en la tercera ecuación de (28) resulta:

ttt1tt CYrYYY (30)

Reemplazando la segunda ecuación de (28) en (30) se tiene que:

rcYm1r1YmYcYrYY t1tttt1t (31)

La ecuación (31) es la ecuación en diferencias de primer orden que

satisface la renta nacional. Para encontrar la correspondiente ecuación

en diferencias para los gastos en inversión vamos a adelantar en un

periodo la ecuación (29):

1t1t1t CYI (32)

Restando (29) de (32) resulta:

t1tt1ttt1t1tt1t CCYYCYCYII (33)


445

Reemplazando la tercera ecuación de (28) en (33) se tiene:

t1ttt1t CCrIII (34)

Por otro lado, adelantando en un periodo la ecuación de (28) se

obtiene:

1t1t mYcC (35)

Restando a (35) la segunda ecuación de (28) obtenemos que:

tt1tt1tt YmYYmCCC (36)

Reemplazando (36) en (34) se desprende que:

t1ttt1t YYmrIII (37)

Sustituyendo la tercera ecuación de (28) en (37) se tiene:

t1tttt1t Im1r1ImrIrIII (38)

Note que de (38) se desprende que la tasa de crecimiento de la

inversión de esta economía, entre dos periodos consecutivos, viene

dada por:

m1rI

II

I

t1tII

I

tI

t

t1t

t

t1t

t

1t

(39)

Note que del sistema (28) ,0m1r por tanto “I” es una función

creciente de “t”. La inversión crece a una tasa constante ,m1r esta

proporción positiva de la inversión tI es añadida a tI para producir

,I 1t la inversión en un periodo posterior. Teniendo en cuenta (XXXI)

y que 1m1r1 , la solución de (38), para un valor 0I dado, viene

dada por:

,2,1,0t;Im1r1I 0t

t (40)

Dado que ,1m1r1 entonces conforme ,t entonces

.It (Modelos más realistas, con valores máximos y mínimos

para la inversión y la renta, han sido considerados posteriormente).

Finalmente, Teniendo en cuenta (XXXI) y que 1m1r1 , la

solución de (31), para un valor 0Y dado, viene dada por:

,2,1,0t;YYYm1r1Y **0

tt (41)

Donde .m1cY* En consecuencia, si ,YY *0 conforme

,t entonces .Yt


446

Harrod consideró el caso particular en el que .0c En este caso, como

puede apreciarse del hecho que las ecuaciones (31) y (38) asumen

precisamente la misma forma, la renta y la inversión deberían crecer a

la misma tasa garantizada de crecimiento5, dada por la constante

,m1r para mantener el pleno empleo.

VI.4. Ecuaciones en diferencias lineales de orden superior

La forma normal de una ecuación en diferencias lineal no homogénea de orden “n”

está dada por:

tcxtbxtbxtbx tn2nt21nt1nt (XXXII)

Donde tbi y tc son funciones de variable real definidas para 0t y 0tbn para

todo .0t Aquí la sucesión tc es denominada fuerza externa, control, o entrada del

sistema. Si tc es idénticamente nula, entonces la ecuación (XXXII) se dice que es

una ecuación homogénea:

0xtbxtbxtbx tn2nt21nt1nt (XXXIII)

Podemos evaluar ,xn haciendo 0t en (XXXII), con:

0n2n21n1n x0bx0bx0b0cx (XXXIV)

Similarmente, se puede evaluar ,x,x 2n1n etc., para .nt Una sucesión 0tx o

simplemente tx se dice que es una solución de (XXXII) si ésta satisface dicha

ecuación. Si junto a (XXXII) se especifican ,ax,,ax,ax 1n1n1100 donde

los ia son números reales, se tiene el problema de valores iniciales, cuya única

solución es .x t

Definición 2: Un conjunto de “n” funciones tf,,tf,tf n21 se dice que son

linealmente independientes si podemos encontrar un conjunto de “n” constantes

n21 a,,a,a no todas nulas tales que satisfacen la siguiente expresión como una

identidad:

0t,0tfatfatfatfan

1i

iinn2211

(XXXV)

5 Suponiendo que en esta economía (cerrada y sin sector público) en un periodo de pleno empleo, con renta

a un nivel tal que no todo se consume, sino que una cierta proporción queda para invertir. Cuando se

invierte, esta proporción causará un incremento en la capacidad (renta nacional total) del sistema y si se

mantiene el pleno empleo, los gastos de inversión también tendrán que crecer. Y este incremento en la

inversión nuevamente incrementará la capacidad que a su vez incrementará la inversión, etc. La tasa de

crecimiento de la inversión requerida para mantener pleno empleo es la denominada tasa garantizada de

Harrod.


447

Definición 3: Un conjunto de “n” soluciones linealmente independientes de

(XXXIII) es denominado un conjunto fundamental de soluciones.

Teorema 3: Un conjunto de “n” funciones tf,,tf,tf n21 son linealmente

independientes si y sólo si en ,0t el siguiente determinante, denominado

Casoratiano, es distinto de cero. Esto es:

1ntf1ntf1ntf

1tf1tf1tf

tftftf

tW

n21

n21

n21

(XXXVI)

0

1nf1nf1nf

1f1f1f

0f0f0f

0W

n21

n21

n21

(XXXVII)

Teorema 4: Principio de Superposición: Sean tf,,tf,tf n21 “n” soluciones

linealmente independientes de (XXXIII); esto es, un conjunto fundamental de

soluciones de (XXXIII). Entonces, la solución general de (XXXIII), denominada

solución complementaria, está dada por:

n

1i

iinn2211c tfctfctfctfctX (XXXVIII)

Donde ic son constantes arbitrarias.

Teorema 5: Si txc es la solución complementaria de (XXXIII), y txp es

cualquier solución particular de (XXXII), entonces la solución general de la ecuación

(XXXII) está dada por:

txtxx pct (XXXIX)

1. Ecuaciones en diferencias lineales de orden superior con

coeficientes constantes

La forma normal de una ecuación en diferencias lineal no homogénea de

orden “n” con coeficientes constantes está dada por:

tcxbxbxbx tn2nt21nt1nt (XL)

Donde n21 b,,b,b son constantes y tc son funciones de variable real

definidas para 0t y .0bn


448

Si tc es idénticamente nula, entonces la ecuación (XL) se dice que es una

ecuación homogénea:

0xbxbxbx tn2nt21nt1nt (XLI)

Suponiendo que ,rx tt con ,0r es una solución de (XLI), entonces

resulta que:

ntnt

2t2t

1t1t rx,,rx,rx

(XLII)

Reemplazando (XLII) en (XLI) resulta:

0rbrbrbr tn

2nt2

1nt1

nt

0rrbrbrr n2n

21n

1nt

Se sigue que tt rx es una solución de (XLI) si “r” es solución de la

siguiente ecuación, denominada ecuación característica o polinomio

característico:

0brbrbrrp n2n

21n

1n (XLIII)

La solución del polinomio (XLIII) implica la obtención de “n” raíces. Si “n1”

raíces son reales y distintas, “n2” son raíces reales e iguales entre sí y “n3”

raíces son pares de complejas conjugadas, tal que se verifica que

,nn2nn 321 la solución complementaria vendrá dada por:

321 n

1i

iiiiti

n

1i

t1ii

n

1i

tiic tsenGtcosCzrtBrAtx (XLIV)

Donde la primera sumatoria está vinculada a las raíces reales y distintas, la

segunda sumatoria se refiere a las raíces reales e iguales, y la tercera

sumatoria se asocia con las raíces complejo conjugadas de (XLIII). Las “n”

constantes arbitrarias (“n1” constantes Ai, “n2” constantes Bi, “n3” constantes

Ci y “n3” constantes Gi) se podrán determinar a partir de “n” condiciones

iniciales. Donde 2i2

ii qpz y .pqtg ii1

i Siendo “pi” y “qi”

la parte real y la parte imaginaria del i-ésimo par de raíces complejo

conjugadas.

Para poder encontrar la solución general de (XL), aplicando el teorema 5,

primero debemos determinar las soluciones particulares de (XL). Para ello,

vamos a presentar el método de los coeficientes indeterminados.

El método de los coeficientes indeterminados resulta útil en la búsqueda de

soluciones particulares de (XL) cuando la función tc está constituida por

términos que tienen ciertas formas especiales.


449

De acuerdo a cada término presente en tc consideramos una solución

tentativa que contiene un número de constantes desconocidas, las cuales

serán determinadas por sustitución en la ecuación en diferencias. Las

soluciones tentativas a ser utilizadas en cada caso se muestran en la siguiente

tabla, donde las letras que aparecen en dichas soluciones representan

constantes desconocidas a ser determinadas.

Etapa 1

Inicialmente plantear .tstxp

Términos en tc Solución tentativa inicial: ts

0c 0d

ta tA

tsen ó tcos tcosBtAsen

nn

2210 tatataa n

n2

210 tAtAtAA

nn

2210

t tatataa nn

2210

t tAtAtAA

tsent ó tcost tcosBtAsent

nat n

n2

210 tAtAtAA

nt ta nn

2210

t tAtAtAA

Etapa 2 Comprobar si tstxp o algún término de ts es solución de

la ecuación (XLI).

Etapa 3

Si tstxp no es solución de la ecuación (XLI), entonces la

solución planteada en la etapa 1, ,tstxp es la solución

particular de (XL).

Etapa 4

Si tstxp o algún término de ts es solución de la ecuación

(XLI), entonces multiplique ts por la menor potencia entera

positiva de “t” requerida para obtener una función que no sea

solución de (XLI). Es decir, si tstxp no funciona, entonces

intentamos con ;ttstxp si esto último no funciona, probamos

con tsttx 2p y así sucesivamente.

Tabla 2: Método de los coeficientes indeterminados

El único requerimiento que debe cumplirse para garantizar el éxito es que

ningún término de la solución tentativa debe aparecer en la solución

complementaria. Si algún término de la solución tentativa aparece en la

solución complementaria entonces toda la solución tentativa correspondiente

a este término debe ser multiplicada por una potencia entera positiva de “t”

que sea lo suficientemente grande de modo que ningún miembro de la

solución tentativa aparezca en la solución complementaria. El proceso será

ilustrado en los siguientes ejemplos.

Finalmente, la solución general de la ecuación (XL) está dada por (XXXIX).


450

Ejemplos:

1. Resolver la siguiente ecuación en diferencias y graficar su solución.

0t,2x,1x,5xx2x 10t1t2t

La ecuación homogénea de la ecuación en diferencias anterior viene

dada por:

0xx2x t1t2t (1)

El polinomio característico de (1) resulta:

2n1rrr01r1r2rrp 22122 (2)

Se puede verificar que las funciones ttfy1tf 21 son un

conjunto fundamental de soluciones de (1). Además, reemplazando (2)

en (XLIV), resulta que la solución complementaria viene dada por:

tBB1tB1BrtBtx 21t

2t

1

2

1i

t1iic

(3)

Asimismo, se puede comprobar el cumplimiento del teorema 3, ya que:

0111

01

1f1f

0f0f0W

21

21

Ahora vamos a determinar la solución particular. Dado que tc es una

constante, y dado que el primer término de (3) es una constante,

entonces como solución tentativa probaremos una constante

multiplicada por “ 2t ” [con esto evitamos también que la solución

tentativa adopte la forma del segundo sumando de la solución

complementaria dada por (3)], esto es:

22t2

1t2

tp 2tkx,1tkxktxtx (4)

Reemplazando (4) en la ecuación en diferencias original resulta:

2p

222t5,2tx5,2k5kt1tk22tk (5)

Por tanto, la solución general será:

221pct t5,2tBBtxtxx (6)


451

Reemplazando las condiciones iniciales en (6) tenemos que:

5,1B25,2B1x

1Bx

221

10 (7)

Sustituyendo (7) en (6) tenemos que:

2t t5,2t5,11x (8)

Figura 8


0t,24x,5x,45x4x4x 21t

t1t2t


dada por:

0x4x4x t1t2t (9)


2n2rrr02r4r4rrp 22122 (10)

Se puede verificar que las funciones t2

t1 2ttfy2tf son un

conjunto fundamental de soluciones de (9). Además, reemplazando (10)

en (XLIV), resulta que la solución complementaria viene dada por:

t2

t1

2

1i

t1iic 2tB2BrtBtx

(11)


452


0222

01

1f1f

0f0f0W

21

21

Ahora vamos a determinar la solución particular. Dado que t45tc

no forma parte de la ecuación (11), entonces como solución tentativa

probaremos .4k t En consecuencia, resulta que:

2t2t

1t1t

ttp 4kx,4kx4kxtx

(12)


tp

tt1t2t 425,1tx25,1k454k44k44k (13)


tt2

t1pct 425,12tB2Btxtxx (14)


1B

1B

2420B8B4x

55B2B2x

2

1

212

211 (15)


1tttttt 451t2425,12t2x (16)

Figura 9


453


0t,2x,1x,t2

cosxx 10t2t


dada por:

0xx t2t (17)


20

1tg

110z

1n

ir01rrp

11

221

3

12 (18)

Se puede verificar que las funciones

t

2sentfyt

2costf 21 son un conjunto fundamental de

soluciones de (17). Además, reemplazando (18) en (XLIV), resulta que

la solución complementaria viene dada por:

t

2senGt

2cosCtx 11c (19)


0110

01

1f1f

0f0f0W

21

21

Ahora vamos a determinar la solución particular. Dado que

t

2costc no forma parte de la ecuación (19), entonces como

solución tentativa probaremos .t2

coskt

En consecuencia, resulta

que:

2t

2cos2tkxt

2cosktxtx 2ttp (20)


454


2

1kt

2cost

2coskt2t

2cos2tk

t

2cost

2

1tx p (21)


t

2cost

2

1t

2senGt

2cosCtxtxx 11pct (22)


2Gx

1Cx

11

10 (23)


t

2sen2t

2cos

2

t1x t (24)

Figura 10


455


0t,5x,20x,10x,tsenexxxx 210t3

t1t2t3t


dada por:

0xxxx t1t2t3t (25)


20

1tg

110z

1n

1n

ir

1r01rrrrp

11

221

3

1

2

123 (26)

Se puede verificar que las funciones

t

2sentfyt

2costf,1tf 321 son un conjunto

fundamental de soluciones de (25). Además, Reemplazando (26) en

(XLIV), resulta que la solución complementaria viene dada por:

t

2senGt

2cosCAtx 111c (27)


02

011

101

011

2f2f2f

1f1f1f

0f0f0f

0W

321

321

321

Ahora vamos a determinar la solución particular. Dado que

t2senetc t3 no forma parte de la ecuación (27), entonces como

solución tentativa probaremos .tcosBtAsene t3 En

consecuencia, resulta que:

t93t3

3t

t62t3

2t

t31t3

1t

t3tp

xe3tcosB3tAsenex

xe2tcosB2tAsenex

xe1tcosB1tAsenex

tcosBtAsenextx

(28)


456


tsenex1eee t3t

369

tsene95,0xtx t3tp (29)


txtxx pct

tsene95,0t2

senGt2

cosCAx t3111t

(30)


5,2C

5,12G

5,7A

5CAx

20GAx

10CAx

1

1

1

112

111

110

(31)


tsene95,0t2

sen5,12t2

cos5,25,7x t3t

(33)

Figura 11

Capítulo VII

OPTIMIZACIÓN DINÁMICA

VII.1 Introducción

El problema fundamental de la economía consiste en la asignación eficiente de

recursos escasos entre distintos fines competitivos. La manera más sencilla de

resolver este problema es a través de la programción matemática considerando

que las variables económicas son invariantes en el horizonte temporal o que nos

encontramos en un determinado instante del tiempo. Bajo estas simplificaciones,

estaríamos frente a un problema de optimización estática que busca optimizar

una función (función objetivo) a través de la elección de ciertas variables

(variables de elección o de decisión) que pueden tomar valores dentro de un

conjunto de oportunidades (conjunto factible). La solución buscada en tales

problemas usualmente consta de una única magnitud óptima para cada variable

de elección, lo cuál no exige un programa de acción secuencial óptima.

Cuando permitimos que las variables de elección varíen con el tiempo, sujetas a

una determinada dinámica entre un instante inicial y un instante final, nos

encontramos frente a un problema de Optimización Dinámica u Optimización

Intertemporal. La optimización dinámica estudia la optimización de sistemas

dinámicos, esto es, la optimización de sistemas que evolucionan con el tiempo.

Dado un sistema que evoluciona en el tiempo, se busca conducir o controlar el

sistema de manera óptima a lo largo de un horizonte de tiempo determinado, de

acuerdo a un objetivo previamente establecido.

En contraste a los problemas de optimización estática, los problemas de

optimización dinámica plantean la interrogante de cuál es la magnitud óptima de

una variable de elección en cada periodo del tiempo dentro de un periodo de

planificación (caso de tiempo discreto) o en cada instante del tiempo en un

intervalo de tiempo dado, digamos 10 t,t (caso de tiempo continuo). Es incluso

posible considerar un horizonte de planificación infinito, de manera que el

intervalo relevante pordría ser .,t0 Es decir, desde el instante actual hasta la

“eternidad”. La solución de un problema de optimización dinámica por tanto,

adoptará la forma de una senda (trayectoria) de tiempo óptima para cada variable

de elección, detallando el mejor valor de dicha variable desde el inicio del

periodo de planificación hasta el final del mismo.

CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA

458

Por ejemplo, la economía de un país es un sistema que evoluciona a lo largo del

tiempo, por lo que rerpresenta un sistema dinámico. En determinado instante, el

estado de dicha economía es recogido en un cuadro macroeconómico, donde

figuran los valores de las siguientes variables (variables de estado1): consumo

privado y consumo público, variación de existencias, demanda interna,

importaciones y exportaciones, PBI, tasa de inflación, tasa de desempleo, etc. La

autoridad económica decide realizar una serie de medidas de política fiscal y de

política monetaria (variables de control2), que van a afectar el comportamiento

de los agentes económicos y que conducirán a nuevos valores de las variables de

estado, cuando éstas sean presentadas en el futuro. Los valores del cuadro

macroeconómico al final del año dependerán de los valores del mismo a

comienzos de año, de las medidas de política económica adoptadas durante el

transcurso del año, y de la respuesta de los agentes económicos a dichas

medidas. Las medidas de política económica dependerán de los objetivos que

tenga el gobierno en el instante que se adoptan.

Para poder resolver el ejemplo anterior con las técnicas de la optimización

dinámica, será necesario que el sistema dinámico en cuestión se pueda expresar

matemáticamente a través de un sistema de ecuaciones diferenciales (tiempo

continuo) o mediante ecuaciones en diferencias (horizonte temporal discreto),

que contengan las variables de estado y las de control. Además, las condiciones

iniciales del sistema, las restricciones de las variables, y la funcional3 objetivo

del problema tienen que poderse representar matemáticamente.

Existen tres métodos diferentes para resolver problemas de optimización

dinámica los cuales son equivalentes en muchos sentidos. El primer método es el

del Cálculo de Variaciones (1696) que resuelve el problema con las Ecuaciones

de Euler (1744). El segundo método es el del Control Óptimo o Teoría Moderna

de Control que resuelve el problema por medio del Principio del Máximo de

Pontryagin (1958). El tercer método se denomina Programación Dinámica que

se basa en el Principio de Optimalidad de Bellman (1957). Las tres

aproximaciones pueden formularse en tiempo discreto o en tiempo continuo.

El cálculo de variaciones se ha aplicado fundamentalmente, tras su

descubrimiento, en mecánica (campo de la física). El desarrollo sistemático del

control óptimo se inició en los EEUU alrededor de 1930 en el campo de las

ingenierías mecánica y eléctrica. Durante las décadas del cincuenta y del sesenta

del siglo pasado, en el campo de la economía, aparecen algunas aportaciones

aisladas sobre el control óptimo. En los años sesenta se utiliza de forma

sistemática las técnicas del conrol óptimo en la teoría de crecimiento, y desde

entonces se difunden trabajos sobre el tema, los cuales han sido el instrumento

básico para describir el comportamiento de individuos y empresas cuando la

actividad económica se desarrolla a lo largo del tiempo.

1 Una variable de estado es aquella que define la dinámica de un sistema. Es aquella que describe el estado

de un sistema 2 Una variable de control es un instrumento que permite al agente que se enfrenta a un problema de

optimización dinámica influir sobre una variable de estado. En general, una variable de control está sujeta a

la elección discrecional del agente planificador, y se caracteriza porque la elección de dicha variable afecta

a la variable de estado. Es decir, una variable de control es aquella que puede ser controlada por el

planificador u operador del sistema en todo instante del tiempo. 3 Ver apéndice al final del capítulo.


459

En la actualidad, los métodos de la teoría de control se utilizan en el análisis

macroeconómico, tanto bajo la perspectiva de la macroeconomía clásica como

de la nueva macroeconomía clásica. El término “Economía Dinámica”

frecuentemente puede encontrarse en la literatura económica actual, en la cual la

teoría de control juega un papel preponderante.

VII.2 El cálculo de variaciones

El cálculo de variaciones es una técnica empleada para resolver problemas de

optimización dinámica, la cual es predecesora de la teoría del control óptimo. El

cálculo de variaciones es la aproximación clásica al problema de la optimización

dinámica, data del siglo XVII, y desde entonces este tema se ha constituido

como una parte importante de las matemáticas aplicadas. Los primeros en

resolver problemas de optimización dinámica utilizando está técnica fueron

Isaac Newton (1687) y los hermanos Bernoulli (1696)4.

En la economía, esta técnica se empleó por primera vez a finales de los años

veinte y a comienzos de los treintas en los trabajos de Roos5, Evans6, Ramsey7 y

Hotelling8. Su finalidad fue resolver problemas relativos a encontrar la

trayectoria temporal óptima de una variable, con el propósito de optimizar

alguna funcional relacionada con los beneficios o la utilidad.

1. Formulación del problema fundamental del cálculo de

variaciones: punto terminal fijo

En esta sección vamos a formular el problema básico del cálculo de

variaciones. Este problema se caracteriza porque la funcional a optimizar

(funcional objetivo) depende de una sola variable de estado, ,tx de una sola

variable de control, ,tx' de las condiciones iniciales y finales que están

completamente especificadas (condiciones de borde), no hay restricciones

(que podrían ser ecuaciones diferenciales o simplemente funciones del

tiempo y de las variables de estado), y el horizonte temporal es continuo.

bordedescondicionextx

xtx:a.s

dtt,tx,txfxJoptI

11

00

objetivofuncional

t

t

intermediafunción

'

x

1

0

4 Para más detalle, ver Kline, M. (1962): “Mathematics: A Cultural Approach”, Mass.: Addison-Wesley. 5 Roos, C. (1925): “A Mathematical Theory of Competition”, American Journal of Mathematics, 46, pp.

163-175. 6 Evans, G. (1924): “The Dynamics of Monopoly”, American Mathematical Monthly, febrero, pp. 77-83.

7 Ramsey, F. (1928): “A Mathematical Theory of Savings”, Economic Journal, Oxford: Blackwell

Publishers, diciembre, pp. 543-559. 8 Hotelling, H. (1931): “The Economics of Exhaustible Resourses”, Journal of Political Economy,

Chicago: The University of Chicago Press, abril, pp. 137-175.


460

Donde t,tx,txf ' es una función de clase C2,

,dt

tdxtx' y los parámetros

1010 xyx,t,t son dados previamente. Siendo el conjunto de todas las

funciones “x” con derivadas primeras y segundas continuas en un intervalo

cerrado 10 t,t con ,tttyt 1010 y que viene dado por:

.t,tenCesxt,t:x 102

10

Donde el conjunto factible (denominado conjunto de sendas admisibles)

viene dado por:

II1,0ixtxx ii

Es decir, la tarea del cálculo de variaciones consiste en encontrar entre todas

las trayectorias “x”, mostradas en la figura 1, que parten de x0 en el instante

t0 y llegan a x1 en el instante t1, aquella trayectoria *x , de clase C2 en 10 t,t

tal que ,1,0ixtx ii* que hace máxima (o mínima) la integral xJ

(funcional).

*x

0t 1t

00 xtx

11 xtx

t

tx

Figura 1

Para que el problema (I) se pueda resolver es necesario que la funcional sea

integrable, es decir que la integral sea convergente. Además, las funciones

que aparecen en dicho problema deberán ser continuas y continuamente

diferenciables. Esto es necesario ya que la metodología sobre la cual se basa

el cálculo de variaciones es muy semejante a la utilizada en el clásico cálculo

diferencial. La diferencia fundamental radica en que en lugar de utilizar la

diferencial “dx” que cambia el valor de ,xfy se empleará la “variación”

de una trayectoria (curva) completa “x” que afectará al valor de la funcional .xJ

Este problema se diferencia de un problema de optimización estática en dos

aspectos. En primer lugar, tiene carácter dinámico (aparece la variable

temporal) y la solución del problema es una trayectoria *x que depende del

tiempo. En segundo lugar, lo que se optimiza es una funcional, no una

función.


461

Sin pérdida de generalidad, inicialmente supondremos que todos los

problemas de cálculo de variaciones consisten en maximizar la funcional

objetivo xJ . Más adelante, cuando se expliquen las condiciones de segundo

orden, se distinguirán entre problemas de maximización y de minimización.

Por tanto, el problema que resolveremos será:

11

00

t

t

'

x

xtx

xtx:a.s

dtt,tx,txfxJmax

1

0

)III(

2. Optimalidad local: punto terminal fijo

Condición necesaria de primer orden: Ecuación de Euler (1744)

A la condición que permite seleccionar, de un extenso conjunto factible de

curvas (sendas o trayectorias) “ x ”, aquella que maximice o minimice la

funcional objetivo xJ (trayectoria óptima: *x ) se le denomina ecuación de

Euler. Por tanto, si 2* Cx resuelve el problema (III), es decir:

IVtxdtt,tx,txfxJdtt,tx,txfxJ

1

0

1

0

t

t

*'**

t

t

'

Para cualquier senda admisible ,Cx 2 dicha función debe satisfacer la

siguiente ecuación (Ecuación de Euler):

Vt,tttx

t,tx,txf

dt

d

tx

t,tx,txf10'

''

Si por simplicidad obviamos los paréntesis en “f”, en “x” y en “ 'x ”

tendremos:

VIt,tt

dt

fdf

x

f

dt

d

x

f10

xx'

'

Teniendo en cuenta que:

'xf

x 'x

t

t

t


462

La diferencial total de 'xf es:

dtt

fdx

x

fdx

x

fdf

'''

'x'

'

xxx

Por tanto:

VIIfxfxf

t

f

dt

dx

x

f

dt

dx

x

f

t

f

tx''

xx'

xxx

'

'xxx

''''

''''

Reemplazando (VII) en (VI) tenemos:

VIIIt,ttfxfxff 10tx''

xx'

xxx ''''

La ecuación (VIII) es una ecuación diferencial de segundo orden. A las

soluciones de esta ecuación se les denomina extremales9 y su forma genérica

es la siguiente:

IXC,C,txx 21

Donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. Para obtener soluciones que

verifiquen la condición necesaria de máximo local del problema (III), hay

que resolver la ecuación de Euler (ecuación VIII) e imponer las condiciones

inicial y final dadas.

Condición necesaria de segundo orden: condición de

Legendre

Una condición necesaria de segundo orden de optimalidad local es la de

Legendre. Esta condición establece que si en el extremal tx* de (III) se

cumple que:

.tttpara,

IIIdelocalmínimo:tx0

IIIdelocalmáximo:tx0t,tx,txf 10

*

**'*

xx ''

3. Optimalidad global: punto terminal fijo

Condición suficiente de segundo orden:

Sea el problema de cálculo de variaciones (I). Donde t,tx,txf ' es una

función (función intermedia) dos veces diferenciable respecto a “x” y “ 'x ”,

entonces se verifica que:

9 Un extremal no tiene porque ser un óptimo, sólo es un candidato a óptimo.


463

a) Si f es cóncava respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación de Euler es

una condición suficiente de máximo global.

b) Si f es convexa respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación de Euler es

una condición suficiente de mínimo global.

Si t,tx,txf ' es una función de clase dos y es estrictamente cóncava

(convexa) en “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación de Euler es una condición

suficiente de máximo (mínimo) global estricto (único).

Ejemplos:

Modelo de competencia dinámica

Un productor en un mercado competitivo desea encontrar el camino óptimo

de producción ,tx donde ,Tt0 de manera tal que partiendo de un nivel

de producción x0 en ,0t alcance un nivel objetivo xT en el instante T, de

modo que se maximicen los beneficios.

Debido al carácter dinámico del problema, dichos beneficios dependerán del

tiempo, y los consideraremos como la diferencia entre los ingresos y los

costos:

t,x,xCpxt,x,x ''

El problema al que se enfrenta el productor será el de maximización

temporal de beneficios que se reduce al siguiente problema de cálculo de

variaciones10:

T

0

T

0

'T

0

'

tx

xTx

x0x:a.s

dtt,x,xCpxdtt,x,xxJmax

Siendo

.t,xCxCtpxt,x,xCtpxt,x,x '21

''

Se han considerado dos tipos de costos, por un lado se han incluido los

costos de producción:

0cyb,acbxaxxC 21

10 En este problema consideraremos que el productor valora los beneficios futuros en el mismo grado que

los beneficios presentes. Por tanto, en este problema el factor de descuento intertemporal es igual a uno

(tasa de descuento interporal es nula).


464

Por otra parte, se seleccionan otros costos t,xC '2 asociados a los

incrementos de la producción ,x' tales como construcción de capacidad extra

en previsión a los crecimientos de la producción, alquiler de mano de obra

extra y su formación, reclutamiento de directivos o inflación. Supondremos

que el agregado de este tipo de costo se puede representar como:

0CyB,ACtBxxAt,xC '2''2

La función de beneficios será:

.CtBxxAcbxaxpxt,x,x '2'2'

Por tanto el problema a resolver será:

T

0

T

0

'2'2

tx

xTx

x0x:a.s

dtCtBxxAcbxaxpxxJmax

La ecuación de Euler será:

1x

f

dt

d

x

f

'

Ahora calculamos las derivadas necesarias para conformar la ecuación de

Euler:

2bax2px

f

3BAx2x

f'

'

4Ax2BAx2dt

d

x

f

dt

d'''

'

Reemplazando (2) y (4) en (1) se tiene:

0bpax2Ax2Ax2bax2p ''''

5A2

pbx

A

ax ''


465

Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden dos con

coeficientes constantes, cuyo polinomio característico es:

A

ar

A

ar

0A

arrP

2

12

La solución complementaria es:

6eAeAtxtAa

2tAa

1c

Mediante el método de los coeficientes indeterminados podemos verificar

que la solución particular será una constante, digamos:

,0txtxktx p''

p'

p por lo que reemplazando estos valores en

(5) tenemos que:

a2

pbk

A2

pbk

A

a0

Por tanto, la solución particular será:

7a2

bp

a4

bp

a4

bptx p

Por tanto, la trayectoria óptima es:

8a2

bpeAeAtx

tAa2

tAa1

*

Donde A1 y A2 se determinan utilizando condiciones de borde, esto es:

021* x

a2

bpAA0x

9a2

bpxAA 021

TTAa

2TAa

1* x

a2

bpeAeATx

10a2

bpxeAeA T

TAa2

TAa1


466

Resolviendo (9) y (10) tenemos:

TAa2

TAaT0

1

e1

ea2

bpx

a2

bpx

A

TAa2

TAa0T

TAa

2

e1

ea2

bpx

a2

bpxe

A

Finalmente, tenemos que:

a2

bpe

e1

ea2

bpx

a2

bpxe

e

e1

ea2

bpx

a2

bpx

tx

tAa

TAa2

TAa0T

TAa

tAa

TAa2

TAaT0

*

Ahora comprobaremos las condiciones de segundo orden deoptimalidad

local (Legendre) y de optimalidad global. Para ello vamos a calcular la

matriz hessiana de la función intermedia:

CtBxxAcbxaxpxt,x,xt,x,xf '2'2''

Cuya matriz hessiana evaluada en cualquier t,x,x ' es:

A20

0a2H

'''

'

xxxx

xxxx

Esta matriz es definida negativa ya que tiene dos autovalores negativos

A2ya2 21 . Por tanto, t,x,x ' es estrictamente cóncava (por tanto

también estrictamente cóncava) respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación

de Euler es una condición necesaria y suficiente de máximo global estricto.

Es decir, tx* maximiza la funcional objetivo globalmente.


467

Además, se verifica la condición necesaria de segundo orden de óptimo local

dado que:

.T,0t0A2t,tx,tx '**xx ''

Por tanto, tx* es también un óptimo local.

Extracción óptima de recursos naturales: versión

simplificada del modelo de Hotelling

Una empresa es propietaria de una cantidad “Q” de un recurso agotable

(petróleo, cobre, oro, gas, etc). La función de beneficios de la empresa es

logarítmica de manera tal que por extraer “ q ” unidades del recurso agotable

obtiene beneficios:

11qlnq

El objetivo de la empresa es determinar el patrón de extracción de los

recursos de manera que se maximice el valor presente de los beneficios. Se

asume que la tasa de descuento11 es constante e igual a “ρ” y que el recurso

se agota en su totalidad en el periodo “T”.

Para resolver este problema, primero vamos a definir la variable a optimizar.

Para ello debemos distinguir entre variables de stock y variables de flujo. La

dotación de recursos “Q” constituye el stock total, y la cantidad “ q ” extraída

del recurso agotable en cada instante constituye un flujo. Una forma simple

de relacionar estas variables sería definiendo a las ventas acumuladas del

recurso natural como “ x ”. Las ventas acumuladas “x” constituyen una

variable de stock con un valor inicial igual a cero (en el periodo inicial no se

ha realizado ninguna venta previamente: 00x ) y un valor terminal igual a

“Q” (todo el stock del recurso ha sido vendido previamente en el último

periodo). Por tanto, podemos relacionar la variable de flujo “q” con la

variable de stock “x” integrando la siguiente ecuación, la cual nos dice que la

cantidad extraída del recurso “ q ” en cada instante equivale a la variación en

el tiempo de las ventas acumuladas:

12tqdt

tdxtx'

Por lo que, integrando (12) tenemos:

Tt0dttqdttxtx

t

0

t

0

'

11 Ver apéndice al final del capítulo.


468

Donde:

0dttqdttx)0(x

0

0

0

0

'

Qdttqdttx)T(x

T

0

T

0

'

De esta forma, reemplazando (11) en (12) obtenemos la función de

beneficios de la empresa para cualquier instante del tiempo:

13xlnqlnq '

Por tanto, el valor presente de los beneficios vendrá dado por:

14dttxlnedttqe

T

0

'tT

0

t

En consecuencia, el problema que debe resolver la empresa será:

QTx

00x:a.s

dttxlnexJmax

T

0

't

tx


15xdt

d

x '

Ahora calculamos las derivadas necesarias para conformar la ecuación de

Euler:

160x

17x

e

x '

t

'

Reemplazando (16) y (17) en (15) tenemos:


469

ctekx

e

dt

x

ed

0'

t'

t

18ek

1x t'

Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden uno con

coeficientes constantes. Integrando a ambos lados de la ecuación (18)

tenemos:

dteAdte

k

1dte

k

1dtx t

1tt'

Por tanto, la solución general es:

19eAAAeA

tx t322

t1

Utilizando las condiciones de borde tenemos:

200AA0x 32

21QeAATx T32

Resolviendo (20) y (21) tenemos:

22

1e

QAy

1e

QA

T3

T2

Sustituyendo (22) en (19) obtenemos la senda óptima de las ventas

acumuladas:

23

e1

Qe

1e

Qtx

T

t

T

*

Si derivamos (23) respecto de “t” obtendremos la trayectoria óptima de la

extracción del recurso:

24e

e1

Qtxtq t

T

*'*


470

Para 1T y ,0 Te1

Q

tomará un valor positivo (ya que

1e0 T ) y, por tanto, la trayectoria del patrón de extracción de recursos

disminuirá exponencialmente a lo largo del tiempo a la tasa “ρ” tal como se

aprecia en la figura 2.

t T

tq*

Te1

Q

T

T

e1

Qe

Figura 2

Ahora comprobaremos las condiciones de segundo orden deoptimalidad

local (Legendre) y de optimalidad global. Para ello vamos a calcular la

matriz Hessiana de la función intermedia:

txlnet,x,xf 't'

Cuya matriz hessiana evaluada en cualquier t,tx,tx ' es:

2'

t'

x

e0

00

t,tx,txHf

Esta matriz es semidefinida negativa ya que todos sus menores principales

son menores o iguales a cero:

Tiene dos menores principales de orden uno:

Eliminando la primera fila y la primera columna tenemos:

0

x

e

x

e

2'

t

2'

t


471

Eliminando la segunda fila y la segunda columna tenemos:

00

Tiene un menor principal de orden dos:

0

x

e0

00

2'

t

Por tanto, t,x,xf ' es cóncava respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación

de Euler es una condición necesaria y suficiente de máximo global. Es decir, *x maximiza globalmente la funcional objetivo.

Además, se verifica la condición necesaria de segundo orden de óptimo local

dado que:

.T,0t0Q

e1e

x

et,tx,txf

2

2Tt

2'*

t'**

xx ''

Por tanto, tx* es también un óptimo local.

4. Condición de transversalidad

Hasta este punto, el problema (III) se ha resuelto utilizando la ecuación de

Euler, y las condiciones de borde (condiciones que debían satisfacer las

trayectorias admisibles). No obstante, si no se conoce el valor inicial y/o el

valor terminal de la trayectoria óptima se perderá una condición de borde.

Por tanto, es indispensable contar con una condición adicional denominada

condición de transversalidad para poder resolver dicho problema. En

consecuencia, el nuevo problema que tendremos que resolver será:

libres:xót11

dado:x00

t

t

'

x

11

0

1

0

xtx

xtx:a.s

dtt,tx,txfxJmax

)X(

Por conveniencia, se ha supuesto que sólo la condición terminal es variable.

Sin embargo, una vez que aprendamos a trabajar con este caso, la técnica

será fácilmente aplicable al caso de punto inicial variable.


472

4.1 Condición de transversalidad

La función 2* Cx resuelve el problema (X) si satisface la ecuación de

Euler y la condición de transversalidad:

0ttx

t,tx,txf

dt

tdxt,tx,txftx

tx

t,tx,txf1

tt

'

''

1

tt

'

'

11

O de forma compacta:

XI0tfxftxf 1ttx

'1

ttx1

'

1

'

Donde 1tx y 1t son pequeñas variaciones de la condición final

“ 1tx ” y del instante final “ 1t ”.

4.2 Casos especiales de la condición de transversalidad

La ecuación (XI), a diferencia de la ecuación de Euler, es relevante sólo

en el instante final “ 1t ”. Su papel es tomar el lugar de la condición

terminal perdida en el presente problema. Dependiendo de la

especificación exacta de la línea o curva terminal, sin embargo, la

ecuación general (XI) puede ser escrita en varias formas especializadas.

A continuación, se presentan cuatro casos posibles de la condición de

transversalidad: línea terminal vertical u horizonte temporal fijo, línea

terminal horizontal o valor final fijo, curva terminal, y línea terminal

vertical truncada o estado terminal acotado inferiormente.

Línea terminal vertical (horizonte temporal fijo): libretx 1

En este caso se cumple que ,0t1 por lo que reemplazando en (XI)

tenemos:

XII0txf 1ttx1

'

Pero, dado que 1tx puede tomar cualquier valor, la única forma de

que (XII) se verifique es que se cumpla la siguiente condición:

XIII0f1

'ttx

Este caso se puede apreciar en la figura 3. Como en este caso sólo el

horizonte temporal 10 t,tT se encuentra fijo, mientras que existe un

amplio conjunto de valores terminales factibles. Al resolver el problema

debemos encontrar simultáneamente la trayectoria óptima y el valor

terminal .tx 1 En este sentido, la ecuación (XIII) permite seleccionar el

valor final óptimo del conjunto de valores factibles.


473

tx

t 1t

00 xtx

0t

Figura 3

Línea terminal horizontal (valor final fijo): libret1

Cuando el valor final de la trayectoria óptima 1tx se encuentra fijo,

0tx 1 por lo que (XI) se reduce a:

XIV0tfxf 1ttx

'

1

'

Pero, de modo que se verifique (XIV) independientemente del valor que

adopte 1t se tiene que satisfacer la siguiente condición:

XV0fxf1

'

ttx'

En la figura 4 se aprecia el problema a resolver. En este caso, debemos

determinar la trayectoria temporal óptima y el valor final “ *1t ” óptimo,

ya que para un valor final 1tx dado existen varios “ 1t ” factibles. La

condición (XV) permite determinar el “ *1t ” óptimo.

tx

t

11 xtx

00 xtx

0t

Figura 4


474

Curva terminal: libret1

En esta situación, supondremos que el instante final “ 1t ” es libre, y que

“ 1t ” y el estado final “ 1tx ” y están ligados mediante una función “ ”

de clase uno, donde:

XVIttx:ttpara 111

Con una curva cuya ecuación es (XVI), no se puede asignar valores

nulos a 1tx y 1t , por lo que no podemos eliminar ningún término de

(XI). No obstante, para un pequeño cambio arbitrario 1t , se producirá

un pequeño cambio en la curva terminal igual a:

XVIItttx 1tt

'1

1

Reemplazando (XVII) en (XI) y factorizando 1t se podrá eliminar

1tx de (XI), y obtendremos la siguiente ecuación:

XVIII0tfxf 1ttx

''

1

'

Por tanto, para cualquier valor arbitrario de 1t la condición de

transversalidad para este caso será:

XIX0fxf1

'

ttx''

En la figura 5 se aprecia el problema que debemos resolver en este

caso. Aquí, debemos determinar “ *x ” y “ *1t ”. Una vez encontrados

“ *x ” y “ *1t ” podremos determinar el estado final .tx *

1

tx

t 0t

00 xtx

Figura 5


475

Línea terminal vertical truncada (estado terminal

acotado inferiormente): mín1 xtx

Cuando la línea terminal vertical es truncada, restringida por la

condición terminal mín1 xtx donde mínx es el nivel mínimo

permitido de “x”, la solución óptima puede tener dos posibles tipos de

resultado: mín1* xtx o .xtx mín1

* Donde 1* tx es el valor

terminal de una trayectoria admisible tx* que satisface la ecuación de

Euler y la siguiente condición de transversalidad:

0fxtxxtx0f

CHC

ttxmín1*

mín1*

ttx1

'

1

'

XX

Para aplicar (XX), primero suponemos que 0f1

'ttx

y verificamos si el

valor resultante de 1* tx satisface la restricción terminal mín1

* xtx . Si

es así, el problema está resuelto. En caso contrario, se fija mín1* xtx

para satisfacer la condición de holgura complementaria (CHC), y tratamos

el problema como si fuera uno con punto final dado .tx,t 1*

1

tx

t 1t

00 xtx

0t

mín1 xtx

Figura 6

5. Condiciones necesarias de optimalidad local para punto

terminal variable

Línea terminal vertical (horizonte temporal fijo): libretx 1

tx* será un máximo local de (X) si se cumplen las siguientes condiciones:

1. La ecuación de Euler, la condición inicial 00 xtx y la condición de

transversalidad .0f1

'ttx

2. La condición de Legendre: .0t,tx,txf*'*

xx ''


476

Línea terminal horizontal (valor final fijo): libret1

tx* será un máximo local de (X), con el instante final óptimo dado por ,t*1

se cumplen las siguientes condiciones:

1. La ecuación de Euler, la condición inicial 00 xtx , la condición final

1*1 xtx y la condición de transversalidad .0fxf

*1

'

ttx'


xx ''

Curva terminal: libret1

tx* será un máximo local de (X), con el instante final óptimo dado por ,t*1

se cumplen las siguientes condiciones:


*1

*1 ttx y la condición de transversalidad

.0fxf*1

'

ttx''


xx ''

Línea terminal vertical truncada (estado terminal acotado

inferiormente): mín1 xtx

tx* será un máximo local de (X) si se cumplen las siguientes condiciones:


mín1* xtx y la condición de transversalidad

.0fxtxxtx0f

CHC

ttxmín1*

mín1*

ttx1

'

1

'


xx ''

6. Condiciones suficientes de optimalidad global de segundo

orden para punto terminal variable

Si t,tx,txf ' es de clase dos y es cóncava (convexa) en las variables 'x,x

para cada ,t,tt 10 si tx* satisface la ecuación de Euler, las condiciones

de frontera y (en caso la condición terminal sea 1tx “libre” o mín1 xtx )

las condiciones de transversalidad (XIII) o (XX), entonces tx* es un

máximo (mínimo) global de xJ .


477

Ejemplos:

1.- Una empresa tiene un pedido de “N” unidades que debe surtir en un

tiempo por determinar. Si tx denota el número de unidades producidas

en t,0 (que puede interpretarse como el inventario acumulado en “t”), el

costo en “t” está dado por .txtx2tx,txC2'' Resolver el

problema de minimización de costos de la empresa si se sabe que

,00x yNTx “T” libre. Compruebe si el extremal hallado minimiza

localmente la funcional objetivo. Calcule los costos mínimos totales.

2.- Modelo de Ramsey12 (1928): La cuestión central tratada por Ramsey es la

de la asignación intertemporal del recurso: ¿Qué cantidad del producto

nacional neto en cualquier instante del tiempo la autoridad planificadora

debería destinar al consumo presente para producir utilidad presente, y

cuánto debería destinar al ahorro (y a la inversión) para incrementar la

producción y el consumo futuros, y por tanto producir utilidad futura?

Considere una economía que evoluciona a lo largo del tiempo donde

tKK denota el stock de capital, tCC el consumo e tYY el

producto nacional neto en el instante “t”. Supóngase que:

tKFY con

0dK

tKFd,0

dK

tKdF

2

2

De manera que el producto nacional neto es una función cóncava

estrictamente creciente respecto al stock de capital. Además,

supondremos que la producción se divide en consumo e inversión, esto

es:

dt

tdKtCtItCtKFY

De donde:

dt

tdKtKFtC

Asimismo, permítase a 0K0K 0 ser el stock de capital existente en

la actualidad, y supóngase que estamos considerando un periodo de

planeamiento .T,0

12 Frank Ramsey no ha pasado a la historia como alguien especialmente recordado fuera del entorno

económico, en parte se ha debido a su temprana muerte a la edad de 27 años. A pesar de ello dejó

plasmadas varias ideas brillantes en sus trabajos, que serían desarrolladas posteriormente por varios

renombrados economistas: Solow y Swan (1956), Cass y Koopmans (1965).


478

Ahora, para cada elección de la función de inversión

dt

tdKtI en ,T,0

el capital es completamente determinado por la función

ddt

dKKtK

t

0

0 y a su vez determina .tC Además, se asume

que la sociedad tiene una función de utilidad “ tCU ”, donde tCU es la

utilidad (flujo) que el país disfruta cuando el consumo total es ,tC y

permítasenos requerir que:

0

tdC

tCUd,0

tdC

tCdU

2

2

De modo que tCU es estrictamente creciente y estrictamente cóncava

(este supuesto implica que la gente en un determinado nivel de consumo

deriva menos incremento en su satisfacción ante un incremento dado en

el consumo que el que deriva la gente a un nivel de consumo más bajo).

Finalmente, se asume que la tasa de descuento es “r” y que el criterio de

inversión es el siguiente: escoger

dt

tdKtI para T,0t de manera que

la utilidad total descontada para el país en el periodo T,0 sea la mayor

posible.

Se pide resolver el problema de asignación intertemporal eficiente del

recurso teniendo en cuenta que ,0btbKtKF

,101

tCtCU

1

y que la condición terminal es:

a) ,0KTK T

b) .libreTK

3.- Halle la senda, cuyo punto inicial es 1,0A y cuyo estado terminal está

determinado por ,t34t que minimice la distancia entre “A” y .tx

4.- Maximización de la utilidad a lo largo del tiempo: Un individuo tiene

una única fuente de ingresos que son los intereses obtenidos por sus

ahorros tSS a una tasa de interés “i” .1i0 Estos intereses son

distribuidos entre consumo tC y nuevo ahorro 0tStI '

(es decir, se

permite el desahorro). Inicialmente el individuo tiene unos ahorros de S0,

y elige su tasa de consumo para maximizar su flujo de utilidad

descontada sobre un horizonte finito:

dtetCUmax rt

T

0tC


479

La elección de la senda temporal para tC en la maximización es

restringida por la siguiente relación:

tStSitCtCtSitS ''

Y por las condiciones de borde:

libre)b

0S)aTS

S0S

T

0

Resuelva el problema si se sabe que:

0e

tCU

tc

5.- Una empresa ha recibido un pedido de “A” unidades de su producto, que

deben entregarse al cabo de un tiempo T, fijado. La empresa quiere saber

cuál debe ser la tasa de producción ,t0,tP para atender ese

pedido en la fecha estipulada, al costo mínimo. Se sabe que el costo

unitario de producción es proporcional a la tasa de producción (sea

“ 0K1 ” la constante de proporcionalidad), y que el costo unitario de

mantener el producto en inventario por unidad de tiempo es constante e

igual a “ 0K 2 ”. Sea tx el inventario acumulado en el instante “t”

igual a la producción acumulada pasada. Por lo que, bajo el supuesto

anterior, se verifica que .txtP ' Entonces, se tiene que ,00x y se

debe alcanzar .ATx Se pide:

a) Encontrar la tasa de producción y el inventario acumulado óptimos

(ignórese la restricción .0tP ¿Qué condición tiene que

cumplirse para que la solución óptima cumpla 0tP ?

b) Suponer ahora que “A” es una constante dada, pero “T” es libre.

Encontrar la solución óptima (ignorando la restricción .0tP

c) Verifique si se cumple la condición de optimalidad local de Legendre.

d) Verifique si la solución es globalmente óptima.

6.- Considere el problema macroeconómico de conducir el estado tx de la

economía sobre el curso del periodo de planificación T,0 hacia el nivel

deseado ,x independiente de “t”, por medio del control tu , donde

.tutx ' Ya que utilizar el control es costoso, el objetivo es minimizar la

integral dttucxtx

T

0

22

con ,xTx donde “c” es una

constante positiva.


480

Es más conveniente definir ty como la diferencia entre la variable de

estado original y el nivel objetivo ,x ,xtxty de manera que el valor

objetivo de ty sea nulo: .0xTxTy Entonces

.txtytu '' Esto conduce al siguiente problema de cálculo de

variaciones:

0Ty

y0y:a.s

dttyctymin

0

T

0

2'2

ty

Donde 0y es la desviación inicial del nivel objetivo. Se pide:

a) Encontrar la trayectoria óptima global.

b) Suponiendo ahora que Ty es libre, encuentre la trayectoria global

óptima de la variable de estado, y discuta qué le sucede al estado

terminal Ty cuando el horizonte T y también cuando .c

7.- De un stock de capital igual a tK en el instante “t” se puede producir

un bien a una tasa .tKF La función de producción “F” se asume que

es de clase dos, creciente y cóncava. Esta producción puede consumirse,

produciendo inmediata satisfacción, o puede invertirse para aumentar el

stock de capital y por tanto la capacidad productiva futura. La producción

tKF es por tanto la suma del consumo tC y la inversión tK ' (el

cambio en el stock de capital).

Es decir:

tKtKFtCtKtCtKF ''

El problema consiste en elegir la parte de la producción a ser invertida en

cada instante “t” para maximizar la utilidad derivada del consumo a lo

largo del periodo T,0 . Es decir:

0TK

k0K

tCtKFtK:a.s

dttCUmax

0

'

T

0tC

0TK

k0K:a.s

dttKtKFUmax

0

T

0

'

tK

Se supone que la función de utilidad es una función de clase dos,

estrictamente creciente y estrictamente cóncava.

Resuelva el problema suponiendo que la función de utilidad es la función

de utilidad exponencial o función con coeficiente de aversión absoluta al

riesgo constante (CAAR):


481

tcetcU para 0α

Donde el coeficiente de aversión absoluta al riesgo es:

tC

tC

e

e

tC'U

tC''UtC

Además asuma que la producción es:

tbKtKF para 0b

8.- Modelo de Crecimiento Económico de Kendrick y Taylor (Craven and

Islam, 2005): Este modelo es un modelo similar al modelo de Ramsey

(Ramsey 1928) que tiene la siguiente forma:

tctktket'k

kTk

00k:a.s

dttcaemax

t

T

T

0

t

tc

Donde tc denota consumo y tK denota capital (incluyendo capital

artificial, natural, ambiental y humano).

Solución:

1.- La formulación matemática de este problema es la siguiente:

libre:TyNTx

00x:a.s

dttxtx2maxdttxtx2min

T

0

tx,txC

2'

tx

T

0

tx,txC

2'

tx

''

La ecuación de Euler es:

25

x

C

dt

d

x

C

'

261xx2x2dt

d2 '''''

Integrando dos veces (26) se obtiene:


482

27BAt2

ttx

2

La condición de transversalidad es:

280

x

CxC

Tt

'

'

0TxTx2Tx2TxTxTx22'''2'

Tx2Tx2' 29

Por las condiciones iniciales tenemos que:

30At2

ttx0BB0A

2

00x

22

Derivando (30) respecto del tiempo tenemos:

31Attx'

Evaluando (30) y (31) en “T” tenemos:

32AT2

TTx

2

33ATTx'


0AAT2TAAT2TAT2

T2AT 222

22

Reemplazando “A” en (30):

342ttx 2*

Por las condiciones finales:

35N2TN2

TTx *

2


483

Dado que: ,02tx,txC '**xx '' en consecuencia, por la condición

de Legendre, tx* maximiza localmente a dttx,txC

T

0

'

y minimiza

localmente a .dttx,txC

T

0

'

N2T* 0

t

tx

2ttx 2*

N

Figura 7

Derivando (34):

36ttx '*

Reemplazando (34) y (36) en tx,txC ' obtenemos el valor máximo de la

funcional objetivo:

23N2

0

222

'** N23

2dtt2t

2

t2tx,txC


0

'

T

0

rt

tC

k0K

tCtKFtK:a.s

dtetCUmax

0

rtT

0

'

tK

k0K:a.s

dtetKtKFUmax

3710;e1

tKtbK

etCUt,tK,tKf rt

tCU

1tC

'

rt'


484

Las derivadas parciales de “f” de primer y segundo orden son:

38eKbKbebUf rt

U

'rt'K

'

39eKbKeUf rt'

Frt'

K '

40eKbKbeUbff rt1'rt''F

KKKK

'

''

41eKbKbeUbf rt1'2rt''2

KK

42eKbKeUf rt

U

1'rt''KK

''

''

43eKbKKbKKbKreCUrUf rt

C

'''1''rt''''tK

'

'


44fftKK '

Reemplazando (38) y (43) tenemos:

*UUbrCeCUrUebU ''''rt''''rt'

Teniendo en cuenta que el coeficiente de aversión relativa al riesgo de

Arrow-Pratt es

tCU

tCUtCt

'

''

r

, tenemos:

**

t

rtKF

tC

tC

r

b

'

'

Dado que se ha asumido que 0tCU '' y 0tCU ' , entonces

.0tr Por lo que que:

rtKF0

tC

tC ''


485

Por tanto, el consumo crece si y sólo si la productividad marginal del

capital “ tKF ' ” excede a la tasa de descuento intertemporal “r”. Por

otro lado, si rtKF ' , existe tanta impaciencia a consumir que el

consumo empieza alto, y luego decrece en el tiempo.

Reescribiendo (**) tenemos:

***tKFt

tC

tCr

b

'

TRC

r

'

La ecuación (***) se puede interpretar como una condición de equilibrio

intertemporal, en la que la tasa de retorno del consumo “TRC” debe ser

igual en todo instante a la tasa de retorno del ahorro (la productividad

marginal del capital o tasa de retorno real del capital).

Reemplazando 'U de (38), ''U de (42), y 'C de (43), en (*) tenemos:

1'

1'

'''' KbK

rbbr

KbK

KbKKbK

450KKK0Krb

bKbrb

K ''''''

El polinomio característico es:

.rb

yb0P 212

La solución es:

46eAeAtK

trb

2bt

1*

Por tanto, la inversión óptima será:

47erb

AbeAdt

tdKtI

trb

2bt

1

**

El producto nacional neto óptimo será:

48beAbeAtbKtY

trb

2bt

1**


486

El consumo óptimo será:

49erb

bAtItYtC

trb

2***

Considerando la condición inicial se tiene que:

50kAA0K 021*

a) Para la condicón final ,0KTK T tenemos:

51KeAeATK T

Trb

2bT

1*

De (50) y (51) se obtiene que:

bTT

rb

bT0T

2

bTT

rb

T

Trb

01

ee

eKKAy

ee

KeKA

Reemplazando “A1” y “A2” en (46), (47), (48) y (49) tenemos:

52e

ee

eKKe

ee

KeKtK

trb

bTT

rb

bT0Tbt

bTT

rb

T

Trb

0*

53erb

ee

eKKbe

ee

KeKtI

trb

bTT

rb

bT0Tbt

bTT

rb

T

Trb

0*

54be

ee

eKKbe

ee

KeKtY

trb

bTT

rb

bT0Tbt

bTT

rb

T

Trb

0*

55erb

b

ee

eKKtC

trb

bTT

rb

bT0T*


487

Ahora constataremos que la senda del stock de capital maximiza

globalmente la funcional objetivo.

La matriz hessiana de la función intermedia “f” en cualquier T,0t es:

1b

bbetKtbKt,t'K,tKHf

2rt

tCU

1tC

'

''

561b

bbetKtbKt,t'K,tKHf

2rt

1tC

'

Dado que por condición del problema se debe verificar que:

0tKtbK0tKtbK

1tC

'0tCU

tC

'0tCU

'''

Ambas condiciones se verificarán si y sólo si:

57T,0t0tKtbKtC '

Al ser 0tC

t,t'K,tKHf será semidefinido negativo ya que

tiene un autovalor nulo y el otro negativo e igual a .b1 2 Por tanto,

“F” es cóncava. En consecuencia, (52) maximiza globalmente la

funcional objetivo. Por ende, las trayectorias (53), (54) y (55) también

serán óptimas.

b) Para la condición final :libreTK

Junto con la ecuación de Euler y la condición inicial, deberemos utilizar

la siguiente condición de transversalidad:

580fTtK *'

590eTCeTKTbKf rT*rT*'*

TtK *'

Pero para:

101

tCtCU

1


488

Tenemos que:

0tC0

tC

1

tdC

tCdU

0tC0

tCtdC

tCUd

12

2

Por tanto, para que se verifiquen las hipótesis:

0

tdC

tCdU

0

tdC

tCUd

2

2

Se deberá verificar que:

T,0t0tC

Por tanto:

0TC*

Lo cual implica que:

600eTCf rT*

TtK *'

En consecuencia, para esta condición final, el problema no tendría

solución ya que (60) contradice a (59).

3.- Se consideran todas las curvas tx de clase C2 que parten de ,1,0A

que por tanto satisfacen la condición inicial, y que llegan a la recta

,t34t por lo que cumplen la condición final ,t34ttx 111 tal

como se aprecia en la figura 8. A cada una de dichas funciones se les

asigna como valor objetivo, la longitud total del arco de la curva tx , que

parte de 1,0A y llega a la recta .t34t

Ahora vamos a deducir una expresión que nos permita calcular la

longitud de arco de una curva tx que parta de 1,0A y llegue a la

recta .t34t Para ello nos vamos a apoyar en el hecho que para dos

puntos muy próximos de una curva, la longitud de arco entre dichos

puntos se puede expresar, gracias al teorema de Pitágoras, de la siguiente

forma (ver la porción de la curva tx encerrada en un círculo en la figura

8):

dt

dt

dx1dLdt

dt

dx1dLdxdtdL

2

22

2

22222


489

61dtx1dtdt

dx1dL

2'

2

dL

dt

dx

tx

t

1,0A

tx*

t34t

Figura 8

Por tanto, la longitud total del arco de la curva tx , que parte de

1,0A y llega a la recta t34t vendrá determinada por la

integral de “dL” desde 0t hasta el instante terminal 1tt :

62dtx1xL

1t

0

2'

En consecuencia, el problema a resolver consiste en determinar una

trayectoria que posea la longitud total de arco mínima, pero sujeta a la

condición terminal ,t34tx 11 esto es:

11

t

0

2'

tx

t34tx

10x:a.s

dtx1xLmin

1

11

t

0

txF

2'

tx

t34tx

10x:a.s

dtx1xLmax

1

'


tx

txF

dt

d

tx

txF

'

''


490

Sustituyendo las derivadas correspondientes tenemos:

B

A1

AxA

x1

x

x1

x

dt

d0

2

2'

2'

'

F

2'

'

'x

Integrando 'x tenemos:

63tt0,CBttx 1

Por la condición inicial tenemos:

641Bttx1C0x

65Btx'

Por la condición final tenemos:

663B

3tt341Bttx *1111

La condición de transversalidad es:

0FxF*1

'

ttx''

Calculando y reemplazando las expresiones correspondientes tenemos:

0

B1

BB3B1

2

2

Resolviendo la ecuación anterior se obtiene que .3

1B Reemplazando

“B” en (65) se tienen que: .3

1tx '* Por tanto, dado que

,03111txF232'*

xx '' entonces gracias a la condición de

Legendre, tx* será una trayectoria que reemplazada en la funcional

objetivo txL hará que ésta sea máximizada localmente, y por tanto,

al reemplazar tx* en la funcional objetivo txL hará que ésta sea

mínimizada localmente.

En consecuencia, el instante final, la trayectoria óptima, y el valor de la

trayectoria óptima en el instante final vienen dados por:

6710

9t*1 68109t01

3

ttx* 69

10

13tx *1

*


491

La distancia mínima es:

.1010

3t

9

10dt

9

10dt

3

11xL

109

0

109

0

109

0

2

*

Note que dicha distancia mínima también se puede calcular utilizando la

fórmula de distancia entre los puntos :1013,109y1,0

.1010

3101311090d

22*


0

'

T

0

rt

tC

S0S

tCtiStS:a.s

dtetCUmax

0

T

0

rt'

tS

S0S:a.s

dtetStiSUmax

,0ee

tCU

tStiStC '

70e1

t,tS,tSf rttStiS'

tC

'

Las derivadas parciales de “F” de primer y segundo orden son:

71;ief rttC

S 72;ef rttC

S '

73;ieff rttC

SSSS '' 74;eif rttC2

SS

75;ef rttCSS ''

76ertCf rttC'tS '


77ff

tSS '


rttC'rttC ertCie

78rtCi '


492

Pero:

79tStiStC ''''

Reemplazando (79) en (78) se obtiene:

80br

tiStSrtStbSb ''''''

El polinomio característico es:

i

00iP

2

12


81eAAtS it21

*c

Por tanto:

820tS1tS '11

83ietSetS it'2

it2

El determinante Wronsquiano es:

0ieie0

e1tW it

it

it

En consecuencia, tS1 y tS2 son linealmente independientes.

Entonces:

it

it

it

1 eri

ieir

e0

tW

ir

ir0

01

tW2

84t

i

ridt

i

ridt

tW

tWtStS

11p1

85

i

ridte

i

iredt

tW

tWtStS

2

itit22p2


493

Sumando (84) y (85) obtenemos la solución particular:

86i

rit

i

ritS

2p

Sumando (81) y (86) obtenemos la solución general:

87i

rit

i

rieAAtS

2

it21

*

Derivando (87) respecto de “t” tenemos:

88i

riieAtStI it

2'**

De (70) sabemos que:

89tri

iAtStiStC 1'***

Considerando la condición inicial se tiene que:

90Si

riAA0S 0221

*

a) Para la condicón final TSTS tenemos:

91Si

riT

i

rieAATS T2

iT21

*

De (90) y (91) tenemos:

92

1e

i

rieiT1SeS

AiT

2

iTT

iT0

1

931e

Ti

irSS

AiT

0T

2


494

Reemplazando (92) y (93) en (87), (88) y (89) tenemos:

94i

rit

i

rie

1e

Ti

irSS

1e

i

rieiT1SeS

tS

2

it

iT

0T

iT

2

iTT

iT0

*

95i

riie

1e

Ti

irSS

tStI it

iT

0T

'**

96t

rii

1e

i

rieiT1SeS

tCiT

2

iTT

iT0

*

Ahora constataremos que la trayectoria del ahorro (y por tanto la del

consumo) maximiza globalmente la funcional objetivo.

La matriz Hessiana de la función intermedia, para cualquier T,0t es:

971i

iiet,t'S,tSHf

2rttC

La matriz hessiana

t,t'S,tSHf será semidefinida negativa ya que

tiene un autovalor nulo y el otro negativo e igual a .i1 2 Por tanto, la

función intermedia “f” es cóncava.

En consecuencia, la ecuación (94) maximiza globalmente la funcional

objetivo. Por ende, las trayectorias dadas por (95) y por (96) también

serán óptimas.

b) Para la condición final :libreTS

Junto con la ecuación de Euler y la condición inicial, deberemos utilizar

la siguiente condición de transversalidad:

980fTtS *'


495

Reemplazando (72) en (98) y evaluando en “T” tenemos la siguiente

expresión:

990ef rTTC

TtS

*

*'

Por tanto, en este caso particular, el problema en cuestión no tendrá

solución ya que la ecuación (99) contradice a la ecuación (98).

5.- De acuerdo al enunciado del problema tenemos que la tasa de cambio

instantánea de los costos totales de la empresa en cualquier instante “t”

será:

dt

tdC

dt

tdC

dt

tdC InventprodTot (100)

Aplicando la regla de la cadena a la tasa de cambio instantánea de los

costos de producción, se tiene:

dt

tdC

dt

tdq

dq

tdC

dt

tdC Inventprod

prod

prodTot (101)

Definamos a “ tq prod ” como la cantidad producida en cada instante de

tiempo “t”. Por el enunciado del problema se tiene que en cada “t” dicha

cantidad deberá ser igual al inventario acumulado. Esto es:

txtqprod (102)

Derivando (102) respecto al tiempo, y teniendo en cuenta que por el

enunciado del problema y por (102) resulta que

,dt

tdqtP

prod

entonces tenemos que:

txdt

tdqtp 'prod

(103)

Por otro lado, de acuerdo al enunciado del problema:

tpKdq

tdC1

prod

prod (104)

txKdt

tdC2

Invent (105)


496

Reemplazando (103), (104) y (105) en (101) se tiene que:

txKtpKtxKtptpK

dt

tdC2

2121

Tot

txKtxK

dt

tdC2

2'1

Tot (106)

Por tanto, el costo total de la empresa en el periodo T,0 será:

T

0

2

2'1 dttxKtxK (107)

En consecuencia, el problema que deberá resolver la empresa será:

0tp

ATx

00x:a.s

dttxKtxKmin

T

0

2

2'1

tx

(108a)

Por lo que el problema equivalente será:

0tp

ATx

00x:a.s

dttxKtxKmax

T

0

2

2'1

tx

(108b)

a) La ecuación de Euler a resolver será:

dt

txdt

tdCd

tx

dt

tdC 'TotTot

K2

KtxtxK2K

dt

txK2dK

2''''12

'1

2

(109)

Integrando (109) tenemos:

32' Kt

K2

Ktx (110)


497

Integrando (110) tenemos:

432

1

2* KtKtK4

Ktx (111)

Aplicando las condiciones iniciales a (111) se tiene:

0K0x 4* (112)

Reemplazando (112) en (111) tenemos:

tKtK4

Ktx 3

2

1

2* (113)

Aplicando las condiciones finales a (113) se tiene:

TK4

K

T

AKATKT

K4

KTx

1

233

2

1

2* (114)

Reemplazando (114) en (113) resulta:

Tt0tTK4

K

T

At

K4

Ktx

1

22

1

2*

(115)

Para que 0tP debe verificarse:

0txtP '** (116)

Derivando (115) respecto al tiempo tenemos:

Tt0TK4

K

T

At

K2

Ktptx

1

2

1

2*'* (117)


0TK4

K

T

At

K2

K

1

2

1

2 (118)

Dado que K1 y K2 son constantes positivas y ,Tt0 entonces,

para que (118) se verifique en cualquier T,0t bastará con que:

TK4

K

T

A0T

K4

K

T

A

1

2

1

2 (119)


498

b) Para este nuevo caso, en el que “T” es libre, siguen siendo válidas la

ecuación de Euler, las condiciones iniciales y las condiciones finales

(pero “T” es desconocido) y las ecuaciones (115), (117) y (119). Pero

ahora hay que añadir la condición de transversalidad correspondiente

a “T” desconocido:

0x

xKxK

xxKxK

Tt

'

2

2'1

'2

2'1

(120)

0TxK2TxTxKTxK *'1

*'*2

2*'1

0TxK2TxKTxK2*'

1*

2

2*'1

0TxKTxK *2

2*'1 (121)

Reemplazando (115) y (117), evaluadas en “T”, en (121) tenemos:

0TTK4

K

T

AT

K4

KKT

K4

K

T

AT

K2

KK

1

22

1

22

2

1

2

1

21

0AKT

AT

K4

KK 2

2

1

21

(122)

Factorizando se tiene:

0TK4

K

T

AK

2

1

21

Entonces, como 0K1 tenemos:

0K

AK2T0T

K4

K

T

A

2

1*

1

2

En consecuencia, reemplazando “T*” en (115) y (117) tenemos:

*2

1

2* Tt00tK4

Ktx

*

1

2*'* Tt00tK2

Ktptx


499

c) La condición necesaria de Legendre:

0K2

tx

txKtxK

12'

*2

2'*1

2

Nos dice que tx* , tanto para el apartado a) como para el apartado

b), es un máximo local del problema (108b) y un mínimo local del

problema (108a).

d) Para verificar la globalidad de las soluciones debemos verificar si la

función intermedia es cóncava en 'x,x para cada T,0t en el

problema (108b). Para ello bastará con verificar que el Hessiano de la

función intermedia es semidefinido negativo en 'x,x para cada

T,0t . El Hessiano de la función intermedia para cada T,0t

viene dado por:

12

2'1

K20

00txKtxKH

Los autovalores del Hessiano son:

0K2y0 121

Por tanto, el Hessiano de la función intermedia es semidefinido

negativo, y tx* , únicamente para el apartado a) es un máximo

global del problema (108b) y un mínimo global del problema (108a).

6.- El problema original y el problema equivalente vienen dados por:

0Ty

y0y:a.s

dttyctymin

0

T

0

2'2

ty

(123a) ≡

0Ty

y0y:a.s

dttyctymax

0

T

0

2'2

ty

(123b)

a) La ecuación de Euler a resolver será:

dt

tytyctyd

ty

tycty'2'22'2

0tyc

1tytcy2ty2

dt

tcy2dty2 ''''

'

(124)


500

El polinomio característico de (124) es:

c

1r

c

1r

0c

1r

2

1

2 (125)

La solución complementaria (y también total) de (124) será:

tc1tc1*c

* BeAetyty

(126)

Ya que el Wronsquiano construido con:

tc1'1

tc11 ec1tyety

tc1'2

tc12 ec1tyety

Y que viene dado por:

0tW0c12

ec1ec1

eetW

tc1tc1

tc1tc1

Aplicando las condiciones iniciales a (126) se tiene:

0* yBA0y (127)

Aplicando las condiciones finales a (126) se tiene:

Tc12Tc1Tc1* AeB0BeAeTy

(128)


Tc12

0

Tc12

0

e1

yBy

e1

yA

(129)


tc1

Tc12

0tc1

Tc12

0* e

e1

ye

e1

yty

(130)


501

Para verificar la globalidad de ty* debemos verificar si la función

intermedia es cóncava en 'y,y para cada T,0t en el problema

(123b). Para ello bastará con verificar que el Hessiano de la función

intermedia es semidefinido negativo en 'y,y para cada T,0t . El

Hessiano de la función intermedia para cada T,0t viene dado por:

c20

02tyctyH

2'2

Los autovalores del Hessiano son:

0c2y2 21

Por tanto, el Hessiano de la función intermedia es definido negativo,

por lo que la función intermedia de (123b) será estrictamente cóncava.

Entonces, ty* es un máximo global del problema (123b) y un

mínimo global del problema (123a).

Finalmente, la trayectoria óptima global será:

xe

e1

ye

e1

ytx

tc1

Tc12

0tc1

Tc12

0*

b) Para este nuevo caso, en el que “ Ty ” es libre, siguen siendo válidas

la ecuación de Euler, la condición inicial y las ecuaciones (126) y

(127). Pero ahora hay que añadir la condición de transversalidad

correspondiente a “ Ty ” desconocido:

0

ty

tycty

Tt

'

2'2

0Ty0Tcy2 *''* (131)

Derivando (126) respecto al tiempo tenemos:

tc1tc1*' ec1Bec1Aty

(132)

Evaluando (132) en “T”, y teniendo en cuenta (131) se tiene:

0ec1Bec1ATyTc1Tc1*'

(133)


502

De (127) y (133) se obtiene:

Tc12

0

Tc12

0

e1

yBy

e1

yA

(134)


tc1

Tc12

0tc1

Tc12

0* e

e1

ye

e1

yty

(135)

De manera análoga al apartado a) podemos verificar que ty* es un

máximo global del problema (108b) y un mínimo global del problema

(108a) con “ Ty ” libre.

Evaluando (135) en “T” obtenemos:

Tc1

Tc12

0Tc1

Tc12

0* e

e1

ye

e1

yTy

Tc1Tc1

0*

ee

y2Ty

Por otro lado, cuando T Ty* tiende a:

0

ee

y2límTylím

Tc1Tc1

0

T

*

T

Asimismo, cuando 0c Ty* tiende a:

1e

ey2lím

ee

y2límTylím

Tc12

Tc10

0cTc1Tc1

0

0c

*

0c

Ya que si reemplazamos 0c en Ty* se obtiene la forma

indeterminada ,

podemos aplicar L’Hôpital:

0

e

ylím

ec12

ec1y2límTylím

Tc1

0

0cTc12

Tc10

0c

*

0c


503

Finalmente, podemos observar que si 0c entonces 0ty*

incluso cuando “T” es fijo. Esto se aprecia aplicando límites a (135)

cuando 0c :

tc1

Tc12

0tc1

Tc12

0

0c

*

0ce

e1

ye

e1

ylímtylím

0

e1

eelímytylím

Tc12

tT2c1tc1

0c0

*

0c

Lo anterior no es sorprendente, ya que según “c” se hace pequeño, es

decir, los costos se hacen insignificantes, entonces ty* se ajusta a

cero casi inmediatamente.

7.- El problema a resolver es:

0TK

k0K

tCtKFtK:a.s

dttCUmax

0

'

T

0tC

0TK

k0K:a.s

dttKtKFUmax

0

T

0

'

tK

(136)


dt

KUd

K

U '

dt

K

tCUd

K

tCU

'

'

'

'

'

'

'''''''

'''

C

F

U

UCUFU

dt

UdFU

(137)

Para la función de utilidad exponencial o función con coeficiente de

aversión absoluta al riesgo constante (CAAR):

tcetcU para 0α


504

Se tiene que el coeficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo

es:

tC

tC

e

e

tC'U

tC''UtC (138)


''

'

' FC

C

F (139)

Por otro lado, la producción es:

tbKtKF (140)

Entonces:

btKF' (141)


b

tC '

Por tanto, integrando obtenemos:

tb

tC* (142)

Reemplazando (140) y (1142) en (136) se tiene que:

tKtbKtb

tC '*

tb

tbKtK '

La ecuación diferencial homogénea es:

0tbKtK '

El polinomio característico de la ecuación diferencial homogénea es:

b0bP


505

Entonces, la solución complementaria será:

btc etK (143)

Por lo que tenemos:

bt1 etK

El Wronsquiano vendrá dado por:

0eetW btbt

Para hallar la solución particular necesitamos calcular tW1 :

tb

tb

tW1

Por tanto, la solución particular será:

t

b

1dt

e

tb

edttW

tWtKtK

bt

bt11p (144)

La trayectoria del capital será:

btpc

* et

b

1tKtKtK

(145)

En este caso utilizaremos la condición de transversalidad de “línea

terminal vertical truncada”, esto es:

0U0TK0TK0U

CHC

TtK**

TtK ''

(146)

En este caso tenemos que:

0eTCUU TC'

TtK '

Por tanto, por la (CHC) que aparece en (146) se tiene que:

0KTK mín* (147)


506

Evaluando (145) en “T”, y teniendo en cuenta (147) tenemos:

0eT

b

1TK bT*

(148)

Aplicando la condición inicial a (145) obtenemos:

b

1KK

b

10K 00

*

(149)


1e

1bT1Kbe

bT

0bT

(150)


bT

0

e1

TK

(151)

Reemplazando (150) y (151) en (145) resulta:

bt

bT

0

bT

bT0* e

e1

TKt

1e

TeKtK

(152)

Derivando respecto (152) del tiempo tenemos:

bt

bT

0'* e

e1

TKb1tK

(153)


1e

1bT1Kbet

btC

bT

0bT

*

(154)

Ahora constataremos que la trayectoria del capital, ecuación (152), y la

trayectoria de la inversión, ecuación (153), maximizan globalmente la

funcional objetivo.

La matriz Hessiana de la función intermedia, para cualquier T,0t es:

1b

bbet,t'K,tKHU

2tC


507

La matriz hessiana

t,t'K,tKHU será semidefinida negativa ya que

tiene un autovalor nulo y el otro negativo e igual a .b1 2 Por tanto,

la función intermedia “U” es cóncava.

En consecuencia, las ecuaciones (152) y (153) maximizan globalmente la

funcional objetivo. Por ende, la trayectoria dada por (154) también será

óptima.

7. Horizonte temporal infinito

Un supuesto común en economía es considerar horizonte temporal infinito.

Este supuesto es razonable cuando los agentes enfrentan decisiones de muy

largo plazo y cuando los agentes se preocupan por el bienestar de sus

descendientes. La forma general del problema de cálculo de variaciones a

resolver en este caso sería:

librefinalx

x0x:a.s

dtt,tx,txfxJmax

XXI

0

0

'

tx

Dado que ahora la funcional está dada por una integral impropia, para que

esta funcional esté definida, la integral debe ser convergente. A continuación

se presentan dos condiciones suficientes para que la funcional objetivo sea

convergente.

7.1 Condiciones para la convergencia de la funcional objetivo

Condición 1: Dada la integral impropia dtt,tx,txfxJ

0

'

, si la

función intermedia “f” posee un valor finito hasta el periodo “T”, y

luego toma un valor nulo y éste se mantiene constante a lo largo del

tiempo, entonces la integral converge.

Condición 2: Si la función intermedia es descontada mediante el

factor de descuento ,0re rt y durante todo el horizonte temporal

posee un valor mayor o igual a cero y menor o igual a “S”

,S0 entonces la integral converge. Más formalmente, ya que

el valor de t,tx,txf ' no puede nunca exceder el valor de su cota

superior “S”, podemos escribir:

r

SdtelímSdteSdtet,tx,txfxJ

b

0

rt

b

rt

0

rt

0

'


508

7.2 Condiciones de transversalidad

Cuando el horizonte temporal es infinito, la ecuación de Euler y la

condición suficiente de segundo orden siguen siendo válidas para la

resolución del problema de cálculo de variaciones. No obstante la

condición de transversalidad se modifica ligeramente. En lugar de

utilizar la condición (XI), ahora se emplea la siguiente condición:

XXII0tfxftxf 1tx

'1

tx ''

Donde cada uno de los dos términos deberá desaparecer

individualmente.

Considerando el segundo término de (XXII), como el horizonte

temporal es infinito, ,0t1 entonces deberá cumplirse la siguiente

condición:

XXIII0fxflím 'x'

t

Considerando el primer término de (XXII), existen dos posibilidades a

tener en cuenta:

a) Si un estado terminal asintótico (meta asintótica), se especifica en el

problema:

XXIVdaespecificaconstanteuna:xtxlím

t

Entonces el primer término de (XXII) será nulo, ya que ,0tx 1

por lo que la condición a utilizar será la ecuación (XXIV).

b) Si el valor terminal de la senda no está especificado (es libre), al

igual que en (XXI), deberá cumplirse la siguiente condición:

XXV0flím 'xt

Si el estado terminal está sujeto a la restricción del tipo mín1* xtx ,

entonces deberemos utilizar la condición (XX). No obstante, en la

práctica, siempre podremos utilizar (XXV) primero. Si la restricción

mín1* xtx es satisfecha por la solución, entonces el problema

termina. De lo contrario, tendremos que utilizar mínx como un estado

terminal dado.


509

7.3 Condición Suficiente

Si la función intermedia t,tx,txf ' es cóncava (convexa) en las

variables 'x,x en un problema con horizonte temporal infinito,

entonces la ecuación de Euler más la siguiente condición suplementaria:

0xxflím *xt

'*

Son suficientes para un máximo (mínimo) absoluto de xJ .

En esta condición, “ 'xf ” está evaluada en la trayectoria óptima, y

*xx representa la desviación de cualquier trayectoria admisible

“ tx ” de la trayectoria óptima “ tx* ”.

Ejemplo:

Modelo de Inversión13: Este modelo fue desarrollado por Eisner y

Strotz (1963). El modelo se centra en la inversión neta como un proceso

que amplía el tamaño de la planta de una empresa. Por tanto, no se

considera la depreciación del stock de capital. Se supondrá que una

empresa tiene como único insumo el capital K, que 2BKAKK

0ByA es su función de beneficios brutos, y que '2'' bKKaKC

0bya es su función de costos de inversión (expansión de la

planta). Además, ,0brA donde “r” es el factor de descuento.

El objetivo de la empresa es escoger la trayectoria tK* que maximiza

el valor presente de sus beneficios netos a lo largo del tiempo, esto es:

libre:finalK

0K0K:a.s

dtebKKaBKAKKJmax

0

0

t,K,Kf

rt'2'2

tK

'

Donde:

rt'2'2' ebKKaBKAKt,K,Kf

13 Basado en Eisner, R. y Strotz, R., “Determinants of Business Investment”, Impacts of Monetary Policy,

Prentice-Hall, Englrwood Cliffs, New Jersey 1963, pp. 60-233.


510

Con derivadas:

rtK eBK2Af rt'

KebaK2f ' rt

KK Be2f

0ffKKKK '' rt

KKae2f ''

rt'''tK

eaK2rbaK2f '


rt'''rttKK eaK2rbaK2eBK2Aff '

155a2

ArbK

a

BrKK '''

Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden

dos con coeficientes constantes, cuyo polinomio característico es:

2

aB4rr

2

aB4rr

0ar

BrP

2

2

2

12


156eAeAtK

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

1c

22

Dos soluciones de tKc son:

t

2

aB4rr

2'1

t2

aB4rr

1

22

e2

aB4rrtKetK

t

2

aB4rr

2'2

t2

aB4rr

2

22

e2

aB4rrtKetK


511

El Wronsquiano será:

t2

aB4rr

2t

2

aB4rr

2

t2

aB4rrt

2

aB4rr

22

22

e2

aB4rre

2

aB4rr

ee

tW

0eaB4rtW rt2

Dado que ,0tW las soluciones tKytK 21 son linealmente

independientes.

En consecuencia:

t

2

aB4rr

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

1

2

2

2

ea2

rbA

e2

aB4rr

a2

Arb

e0

tW

t

2

aB4rr

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

2

2

2

2

ea2

Arb

a2

Arbe

2

aB4rr

0e

tW

Por tanto:

dte

aB4ra2

eArbdt

tW

tWtK

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

11

2

2

aB4rraB4ra

rbAdt

tW

tWtK

22

11


512

dte

aB4ra2

eArbdt

tW

tWtK

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

22

2

2

aB4rraB4ra

Arbdt

tW

tWtK

22

22

La solución particular será:

aB4rraB4ra

Arb

aB4rraB4ra

rbAtK

2222p

Simplificando:

1570B2

rbAKp

Por tanto, la trayectoria óptima es:

158B2

rbAeAeAtK

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

1*

22

t2

aB4rr

2

2

t2

aB4rr

2

1'*

22

e2

aB4rrAe

2

aB4rrAtK

Obsérvese que 01 y 02 son reales y de signos opuestos y que el

supuesto 0brA implica que la solución particular .0Kp La

condición inicial es:

159KKAA0K 0p21

Las condiciones de transversalidad son:

0fKflím 'K'

t

0eKaBKAKlímCT rt2'2

t1


513

Reemplazando tK* y tK '* en el límite anterior obtenemos lo

siguiente:

0eKaKBAKlímCT rt2'*2**

t1

0eBKAKeBAAeBK2AA

BAAA2eBAAeBK2AAlímCT

rt2pp

tr222

22

trp2

2121tr22

121

trp1

t1

22

11

La única forma de que este límite sea convergente a cero es que .0A1

Por tanto, de (159) se tiene que:

160KKA p02

Entonces, reemplazando 0A1 y p02 KKA en (158) tenemos que:

161B2

rbAe

B2

rbAKtK

t2

aB4rr

0*

2

La segunda condición de transversalidad:

1620flímCT 'Kt2

No es necesaria en este problema. No obstante, si la utilizamos también

obtendremos que 1A debe ser nulo para evitar que (162) sea explosiva.

Ahora comprobaremos si la trayectoria del capital maximiza

globalmente la funcional objetivo. Para ello vamos a construir la matriz

Hessiana de la función intermedia, para cualquier ,0t :

rt

rt

ae20

0Be2t,t'K,tKHf

La matriz Hessiana es definida estrictamente negativa ya que posee sus

dos autovalores negativos 0ae2,0Be2 rt2

rt1 . Por

tanto, la función intermedia “f” es estrictamente cóncava en .'K,K

En este caso, la condición suplementaria a utilizar es:

0KKlímflím0KKflím *

tKt

*Kt

'*'*

(163)


514

Derivando (161) respecto del tiempo se tiene:

164eB2

rbAK

2

aB4rrtK

t2

aB4rr

0

2'*

2

Dado que ,ebaK2f rt'*K '*

entonces:

rt

t2

aB4rr

02

tKtbeeK

B2

rbAaB4rralímflím

2

'*

0flím '*Kt

En cuanto a *KK , la forma cuadrática en “K” de la función de

beneficios, representada en la figura 9, sugiere que según “t” tienda a

infinito, la diferencia entre el valor “K” de cualquier trayectoria vecina

admisible y el valor “K*” es limitada. Por tanto, el hecho que “ '*Kf ”

tienda a cero conforme “t” tiende a infinito, nos asegura que la

condición suplementaria (163) se satisfaga como igualdad. En

consecuencia, la concavidad estricta de la función intermedia hará que

la ecuación de Euler sea suficiente para un máximo global estricto en la

funcional objetivo.

2BKAK

K B2A 0

Figura 9

VII.3 Teoría de control óptimo

Las primeras investigaciones realizadas sobre control óptimo fueron efectuadas

por Valentine (1937), McShane (1939) y Hestenes (1949). Pero el verdadero

desarrollo de esta técnica fue realizado por los rusos Pontryagin, Boltyanskii,

Gamkrelidze y Mishchenko (1958). La teoría de control óptimo se ha aplicado

extensivamente a la solución de problemas económicos desde los tempranos

documentos de trabajo que aparecieron en Shell (1967) y los trabajos de Arrow

(1968) y Shell (1969). El campo es demasiado extenso para ser examinado

detalladamente aquí. Sin embargo, podemos citar algunos interesantes libros que

abordan este tópico: Seierstad y Sydsæter (1987), Kamien y Schwartz (1991),

Léonard y Long (1992), Takayama (1993) y (1997), Gandolfo (1997), Chiang,

A. (2000), De la Fuente, A. (2000).


515

1. Formulación del problema fundamental de control óptimo

En la sección V.2 hemos estudiado el método clásico para resolver

problemas de optimización dinámica, el cálculo de variaciones. No obstante,

esta técnica no resulta conveniente para resolver problemas de optimización

dinámica en los que aparecen restricciones sobre las derivadas de las

funciones que intervienen en dichos problemas. Además, mediante este

método sólo se admiten soluciones interiores.

La técnica moderna que permite tratar características no clásicas como

soluciones de esquina, restricciones en forma de desigualdad sobre las

trayectorias, y otras generalizaciones, es la teoría de control óptimo. Esta

técnica se centra en una o más variables de control14 que sirven como

instrumentos de optimización, y que están asociadas a una o más variables de

estado a través de la denominada ecuación de movimiento. Específicamente,

esta técnica tiene como principal objetivo determinar la trayectoria temporal

óptima para la/s variable/s de control, a partir de la/s cual/es podremos

determinar la/s trayectoria/s óptima/s de la/s variable/s de estado asociada/s.

Supongamos que tenemos un sistema que está representado en el tiempo por

ciertas variables, denominadas variables de estado, dadas por

,tx,,tx,tx n21 cuya dinámica está descrita por un sistema de

ecuaciones diferenciales (tiempo continuo) o por un sistema de ecuaciones

en diferencias (tiempo discreto), y que pueden ser controladas por unas

variables denominadas variables de control, variables de decisión o

instrumentos, denotadas por tu,,tu,tu m21 . El problema general de

control óptimo que se plantea es obtener una trayectoria (senda) para las

variables de estado tx,,tx,tx n21 eligiendo adecuadamente las

trayectorias temporales de las variables de control tu,,tu,tu m21 de

modo que se maximice un objetivo sujeto a determinadas restricciones.

En esta sección, vamos a plantear el problema más sencillo de control óptimo. El

problema fundamental del control óptimo se caracteriza porque la funcional a

optimizar (funcional objetivo) depende de una sola variable de estado, ,tx de

una sola variable de control, tu15, y de las condiciones de borde: condiciones

iniciales (completamente especificadas) y condiciones finales (donde el estado

terminal puede ser: libre (linea terminal vertical), una linea terminal vertical

truncada, o fijo). Asimismo, tx no está sujeta a restricciones, tu no está

sujeta a restricciones conjuntistas, es decir, ,,Utu y el

horizonte temporal es continuo y fijo: .t,tt 10 En términos formales, el

problema más simple de control óptimo es:

14 En economía, una variable de control (por ejemplo: el consumo, la tasa de impuestos (política fiscal), la

tasa de interés, la proporción de inversiones asignada a diferentes sectores, la tasa de extracción del stock

de un recurso agotable por unidad de tiempo, la inversión gubernamental) es un instrumento político que

permite influir sobre una variable de estado. En general, una variable de control está sujeta a la elección

discrecional del agente optimizador, y su elección afecta a la variable de estado. 15 La variable de control tu puede escogerse de un conjunto de funciones U, denominado conjunto de

controles admisibles. Cuando ,Utu tu es denominada control admisible. Al conjunto ,U de

imágenes de los controles admisibles, se le conoce como región de control.


516

cybendado:x

dados:tyt,x

****bordedesCondicione:

xtxc

xtxb

libre:txa

:finalessCondicione

xtx:inicialessCondicione

***tu,tx,tgtx:estadodeEcuación

**Utu:a.s

*dttu,tx,tfuJmax

1

100

11

11

1

00

'

objetivoFuncional

t

t

ermediaintFunción

tu

1

0

En (XXVI)16, la funcional objetivo, tiene como argumento a “u” y no a “x” y

la función intermedia tiene a “u” como argumento en lugar de “ 'x ” como

ocurría en el cálculo de variaciones. Además, debido a la presencia de “u”, es

indispensable contar con una conexión entre dicha variable y “x” para saber

cómo “u” afectará a la trayectoria adoptada por “x”. Esta información es

proporcionada por la ecuación diferencial, denominada ecuación de

movimiento, de transición o de estado, que relaciona a “x” con “u”. Esta

ecuación nos muestra cómo, en cada momento del tiempo, para un valor

dado de “x”, la variable de control “u”, elegida por un “planificador”, guiará

a “x” a lo largo del tiempo. Una vez determinada la senda óptima de la

variable de control, ,tu* la ecuación de estado permitirá obtener la

trayectoria óptima de la variable de estado .tx*

Para que (XXVI) pueda resolverse, deberá verificarse que las funciones

tu,tx,tf y tu,tx,tg sean continuas en todos sus argumentos, y posean

derivadas parciales de primer orden continuas con respecto a “t” y a “ tx ”, pero

no necesariamente respecto a .tu Además, tu no tendrá que ser continua

para llegar a ser admisible; sólo necesitará ser continua a trozos17. Asimismo,

tx debe ser continua en el periodo de planificación temporal, aunque puede

presentar un número finito de puntos agudos o esquinas18. Es decir, para que una

senda de estado sea admisible sólo necesita ser diferenciable a trozos19.

16 Sin pérdida de generalidad, supondremos que todos los problemas de control óptimo consisten en

maximizar la funcional objetivo. Esto se adopta debido a que todo problema de minimización siempre se

podrá reformular como un problema de maximización añadiendo el signo menos a la funcional objetivo. 17 Esto significa que es continua en todos los puntos, excepto, quizá, en un número finito de ellos. Es decir,

tu podrá contener un número finito de saltos en los que tu no tienda a valores infinitos (cualquier

discontinuidad que involucre saltos finitos). 18 Una esquina es un punto de una función en el que su derivada es discontinua. En una esquina la función

no es diferenciable. 19

Esto significa que es diferenciable en todos los puntos, excepto, quizá, en un número finito de ellos. Es

decir, tx podrá contener puntos en los que no sea diferenciable respecto al tiempo (esto es, puede existir

un número finito de puntos donde las derivadas laterales derecha e izquierda de tx respecto al tiempo

difieran la una de la otra).

(XXVI)


517

Al igual que las trayectorias de control admisibles20, las trayectorias de

estado admisibles deben tener un valor finito para cada instante en el periodo

de planificación temporal. Además, se asumirá que si tu está definida en

,t,t 10 entonces tu es continua en los extremos del intervalo.

En el problema (XXVI), tenemos que la condición inicial está

completamente especificada (instante inicial y el valor inicial de la variable

de estado) y se conoce el instante final pero el valor final de la variable de

estado dependerá si estamos en el caso de estado terminal libre [caso (a)],

linea vertical terminal truncada [caso (b)], o estado terminal fijo [caso (c)].

Por otro lado, el conjunto de controles admisibles, U, por lo general es un

conjunto compacto (cerrado y acotado) y convexo. Esto deja abierta la

posibilidad de que existan soluciones de esquina en el problema de

optimización, a diferencia de los problemas de cálculo de variaciones. No

obstante, en el problema (XXVI), tenemos que ,,Utu es

decir, la variable de control debe pertenecer al conjunto abierto ,, por

lo que en este caso no hay restricciones sobre la variable de control. Por

tanto, en el problema (XXVI) podríamos omitir .Utu

2. Condiciones necesarias de optimalidad: El principio del

máximo de Pontryagin (1958)

En esta sección vamos a estudiar el método que nos permitirá resolver el

problema fundamental de control óptimo, el denominado principio del

máximo de Pontryagin. Dado que el principio del máximo involucra

conceptos como función Hamiltoniana y variable de coestado, primero

vamos a explicar dichos conceptos.

Una variable de coestado, variable adjunta o variable auxiliar es una

variable, semejante a los multiplicadores de Lagrange que aparecen en

problemas de optimización estática restringida, que mide o valora el precio

sombra de una variable de estado asociada. Esta variable puede adoptar

diversos valores a lo largo del horizonte de planificación temporal, y la

denotaremos como .t El medio a través del cual la variable de coestado

aparece en el problema de control óptimo es la función Hamiltoniana o

Hamiltoniano. El Hamiltoniano es la versión dinámica de la función

Lagrangiana en problemas de optimización estática con restricciones, y viene

denotado por:

tu,tx,tgttu,tx,tft,tu,tx,tH 0 XXVII

Donde:

0 es una constante no negativa a determinar, tu,tx,tf es la función

intermedia, tu,tx,tg es la ecuación de movimiento de la variable de

estado y t es la variable de coestado. Todos estos elementos constitutivos

del Hamiltoniano aparecen en el problema XXVI.

20 Aquellas que pertenecen al conjunto de controles admisibles: .Utu


518

El principio del máximo de Pontryagin, que a continuación enunciaremos,

transfiere el problema de encontrar una tu que maximice uJ sujeto a las

restricciones dadas, problema XXVI, al problema de maximizar la función

Hamiltoniana con respecto a .Utu En términos formales:

Utu:a.s

t,ttt,tu,tx,tHMaxXXVIII

10tu

Además, este principio nos permite determinar la función .t

El Principio del Máximo para problemas con intervalo de tiempo fijo

Sea tu* la trayectoria de control óptima, continua a trozos, que resuelve el

problema XXVI, y sea tx* la trayectoria de estado óptima asociada

continua y diferenciable a trozos, definidas en 10 t,t . Entonces, existe una

constante 0 y una función t continua y con derivadas de primer orden

continuas a trozos21 tal que para todo 10 t,tt se tiene que

0,0t,0 y tu* maximiza ,t,tu,tx,tH * es decir:

Utut,tu,tx,tHt,tu,tx,tH *** XXIX

Excepto en los puntos de discontinuidad22 de ,tu* se verifica que:

tx

t,tu,tx,tH

dt

tdt

**'

XXX

tu,tx,tg

t

t,tu,tx,tH

dt

tdxtx **

**'

XXXI

Asimismo, se cumple que:

0o1 00 XXXII

21

Como t es continua para todo “t” en el intervalo finito cerrado 10 t,t , entonces t debe ser

acotada en dicho intervalo. 22 Las posibles discontinuidades de t' y tx ' ocurren en los puntos de discontinuidad de .tu Es

decir, los posibles puntos de esquina de t y tx ocurren en los puntos de discontinuidad de .tu

Aunque los valores de tu en los puntos de discontinuidades no son de alguna significancia en la

aplicación del principio del máximo, supondremos que en un punto de discontinuidad ,t,t 10 se

cumple que .tulímut

Por otro lado, en “ ”, la inecuación XXIX seguiría siendo válida, pero se

transformaría en .Utu,u,x,H,tulím,x,H **

t

*


519

Finalmente, a cada condición final en (XXVI) le corresponde una condición de

transversalidad:

condiciónsintc

0txtxxtx0tb

0ta

1

CHC

111*

11*

1

1

XXXIII

Al sistema de ecuaciones conformado por (XXX) y (XXXI) se le suele

denominar “Sistema Hamiltoniano” o “Sistema Canónico”. Siendo la (XXX)

la ecuación de movimiento de “ t ” y (XXXI) la ecuación de movimiento de

“ tx ”. Es importante resaltar que el principio del máximo de Pontryagin da

condiciones necesarias de primer orden para que tu* sea la trayectoria

óptima. Estas condiciones necesarias no garantizan la existencia de un control

óptimo tu* ; éstas solamente son las condiciones implícitamente contenidas

en la optimalidad, asumiendo la existencia de un control óptimo tu* .

Asimismo, se hace notar que t,tu,tx,tHt,tu,tx,tH * Utu

es equivalente a

t,tu,tx,tHMaxtu

, y que este requerimiento tiene en cuenta a

la condición de primer orden 0tut,tu,tx,tH (que necesitará ser

apoyada por una apropiada condición de segundo orden). No obstante, como

veremos a continuación, no siempre la condición de primer orden nos será útil para

determinar el control óptimo tu* en U, incluso si el Hamiltoniano es diferenciable.

En la figura 10 se muestran algunas posibles curvas del Hamiltoniano como

funciones de tu en un específico punto del tiempo y para específicos valores de

tx y .t Por ejemplo, si el Hamiltoniano es una función lineal creciente respecto

a tu en 10 u,uU , entonces el máximo del Hamiltoniano (punto A) se dará en

1u , mientras que si el Hamiltoniano es una función lineal decreciente respecto a tu

en 10 u,uU , entonces el máximo del Hamiltoniano (punto B) se dará en 0u .

Tanto 1u como 0u son soluciones de esquina. Se aprecia que en estos dos casos la

condición 0tut,tu,tx,tH no es aplicable porque en ninguna parte

aquella derivada es igual a cero. Si el Hamiltoniano es una línea recta horizontal en

10 u,uU , entonces no hay un único control óptimo. En este caso, todos los

puntos de la recta CD maximizan el Hamiltoniano, y todos los puntos de

10 u,uU son controles óptimos. Por otro lado, para la curva que pasa por el

punto “E” y que es diferenciable con resppecto a tu , el máximo del Hamiltoniano

ocurre en ,utu punto interior de U, en este caso, la ecuación

0tut,tu,tx,tH sirve para identificar el control óptimo en aquel

punto del tiempo. Pero si la curva relevante es la que pasa por el punto “G”, entonces

el control óptimo tu* en U que maximiza t,tu,tx,tH es ,utu 1 una

solución de esquina de U. Por tanto, la condición 0tut,tu,tx,tH no

es aplicable, aún cuando el Hamiltoniano es diferenciable.


520

t,tu,tx,tH

tu u0 u1

A

B

C D

E

G

u 0 Figura 10

Del análisis anterior podemos concluir que, mientras la condición

0tut,tu,tx,tH puede servir a nuestro propósito cuando el

Hamiltoniano es diferenciable respecto a tu y puede producir una solución

interior23, el hecho que U pueda ser un conjunto cerrado, con posibles

soluciones de esquina, necesita la más amplia condición:

.t,tu,tx,tHMax

tu Esto es así ya que bajo el principio del máximo no

se requiere que necesariamente el Hamiltoniano sea diferenciable con

respecto a tu .

También es importante resaltar que la condición 0,0t,0 indica que

ty0 no pueden ser ambos a la vez iguales a cero. Dado que en la

mayoría de problemas de corte económico se encuentra que ,00 0

suele normalizarse a la unidad, ,10 lo cual transforma el Hamiltoniano

que aparece en XXVII en:

tu,tx,tgttu,tx,tft,tu,tx,tH XXXIV

Sin embargo, es recomendable en todo problema verificar que 00 ya

que la eventualidad de 00 puede presentarse en ciertas situaciones, no

muy usuales, donde la solución del problema es verdaderamente

independiente de la función intermedia tu,tx,tf , es decir, donde la

función tu,tx,tf no importa en la solución del proceso. Esto es, por

supuesto, porque el coeficiente 0 debe ser igual a cero, de manera que

elimine la función tu,tx,tf del Hamiltoniano.

23 Si el Hamiltoniano es no lineal y diferenciable, y tu no está restringida, esto es,

,,Utu entonces la condición 0tut,tu,tx,tH producirá una solución

interior.


521

Lo dicho antreriormente justifica la aparición de la condición XXXII en el

principio del máximo de Pontryagin.

A continuación presentaremos algunos ejemplos en los que se intentará

indicar cómo “básicamente” trabaja el principio del máximo de Pontriagyn y

cómo éste permite seleccionar uno o unos pocos candidatos a óptimo. Es

importante señalar que no es del todo evidente cómo aplicar el principio del

máximo de Pontryagin. En realidad, la forma en que éste es usado difiere

significativamente de un tipo de problema a otro, de modo que ningún

procedimiento estándar para encontrar la solución puede ser concebido.

Ejemplos:

1.- Resolver el siguiente problema:

2

2tu1

libre:2x

00x

tutxtx:a.s

1dttxuJMax

'

2

0tu

El Hamiltoniano viene dado por:

tutxttxt,tu,tx,tH 0

tutttxt,tu,tx,tH 0 3

Supongamos ahora que tu,tx ** resuelve el problema. De acuerdo al

principio del máximo debe existir una constante 0 y una función

continua t tal que:

2,0t0,0t,0 4

Además, para cada 2,0t , tu* es aquel valor de 2,1tu que

maximiza:

tutttxt,tu,tx,tH 0** 5

La variable de coestado t satisface, de acuerdo a XXX , excepto en

los puntos de discontinuidad de tu* , la ecuación:

tttx

t,tu,tx,tH

dt

td00

**

6


522

Ya que 2x es libre, por XXXIII se debe verificar que:

02 7

De 4 se obtiene, en particular para ,2t que 0 y 2 no pueden ser

ambos a la vez iguales a cero. Ya que ,02 entonces ,00 y en

consecuencia por XXXII , .10

Reemplazando 10 en la ecuación diferencial lineal con coeficientes

constantes que aparece en (6) se tiene:

1ttt1t '' 8

La ecuación característica de esta ecuación es:

1r01rrp

La solución complementaria será:

tC Aet

Donde:

t1 et

Por tanto el Wronsquiano será:

0tW0eetW tt

Es decir, t1 et son soluciones de tc que son linealmente

independientes.

Mientras que:

11tW1

Por tanto:

tt

t

1edtedt

e

1dt

tW

tW

La solución particular será:

1eedt

tW

tWtt tt1

1p


523

Por tanto, la solución general de 1tt' es:

1Aet t 9


22 eA01Ae2

Por tanto, la variable de coestado será:

1et t2 10

Derivando (10) respecto al tiempo, tenemos:

t0et t2' 11

Teniendo en cuenta (11) y (7), se aprecia que para todo 2,0t la

variable de coestado 01et t2 .

Se observa que en el Hamiltoniano dado por la ecuación (5) únicamente

el término tut depende de .tu Por tanto, tu* es el valor de

2,1tu que maximiza tut . Cuando 2,0t se cumple que

01et t2 , de modo que en este caso el máximo de tut se

alcanza para .2tu Para 2t se verifica que 02 y por tanto

(5) no determina 2u* . El valor de tu* en este único punto no es de

importancia. Sin embargo, nosotros previamente hemos decidido escoger

tu como una función continua en los extremos de su dominio (ver

primer párrafo de la página 479). Por tanto, debemos hacer ,2tu* de

modo que nuestra propuesta para un control óptimo sea:

2,0t2tu* 12

La trayectoria asociada tx* debe satisfacer XXXI :

2txtutxtu,tx,tg

dt

tdx ******

2tx

dt

tdx **

13

De manera análoga a (8), la solución de (13) será:

2Betx t* 14


524

Reemplazando la condición inicial 00x* en (14) se tiene que .2B

Por tanto:

1e22e2tx tt* 15

Nosotros ahora hemos probado que si el problema tiene solución, el

control óptimo es dado por (12) y la trayectoria óptima asociada está dada

por (15). El correspondiente valor de la funcional objetivo es:

78,83e2dt1e2dttxuJ 22

0

t2

0

**

Hemos ilustrado como el principio del máximo de Pontryagin trabaja en

un caso simple. Sin embargo, nuestro esfuerzo no era realmente necesario

para resolver el problema. De (2) vemos que 2tu* produce el más

alto valor de tx para cualquier ,2,0t y por tanto 2tu* debe

maximizar dttxuJ

2

0

** .

2.- Consumo vs inversión: Un país recibe un flujo constante de 1 unidad

monetaria como ayuda económica. Sea tx el nivel de infraestructura en

el instante “t”, y sea tu la parte de la ayuda económica que es asignada

a la inversión en infraestructura en el instante “t”. Sea tu1U la

utilidad que perciben los habitantes del país por aquella parte de la ayuda

económica que destinan al conumo, .tu1 Donde tu1U es una

función de clase dos con 0tu1U ' y 0tu1U '' en .,0

El periodo de planificación es T,0 y se asume que TxTx , es decir,

se asume que el país intenta alcanzar al menos el nivel Tx al final del

periodo de planificación. El problema de planificación es encontrar la

asignación de inversión que maximiza la utilidad total.

El problema a resolver es:

17

1,0tu

xTx

x0x

tutx:a.s

16dttu1UuJMax

T

0

'

T

0tu

Se asumirá que:

Txxx0 0T0 '17


525

En este caso se aprecia que, en cada instante “t” del periodo de

planificación, la variación del nivel de infraestructura respecto del tiempo

debe ser igual a la parte de la ayuda económica que es asignada a la

inversión en infraestructura. Es decir, .tutx ' Es precisamente

gracias a esta ecuación diferencial (ecuación de movimiento) que

podemos darnos cuenta que la variablede estado será tx y que la

variable de control será .tu Esto es así, ya que tu puede afectar el

comportamiento dinámico de tx a través de la ecuación de movimiento

de .tx

El Hamiltoniano de este problema de optimización intertemporal será:

tuttu1Ut,tu,tx,tH 0 18

Asumiendo que tu,tx ** resuelve el problema. De acuerdo al

principio del máximo, debe existir una constante 0 y una función

continua t tal que:

T,0t0,0t,0 19

Donde, por (XXXII), .0o1 00 Además, para cada T,0t ,

tu* es aquel valor de 1,0tu que maximiza:

tuttu1Ut,tu,tx,tH 0* 20



0

tx

t,tu,tx,tH

dt

td **

ct (siendo “c” una constante) 21

Por XXXIII , la condición de transversalidad en Tt será:

CHC

T*

T* 0TxTxxTx0T 22

Evaluando (21) en “T”, y teniendo en cuenta (22) se tiene que:

0cT '22

Pero por la continuidad de t tenemos que:

0ct 23


526

Las derivadas de primer y segundo orden del Hamiltoniano respecto a

tu serán:

ttu1Utu

t,tu,tx,tH '0

*

24

tu1Utu

t,tu,tx,tH ''02

*2

25

Por (XXXII) sabemos que ,00 y por datos del problema se sabe que

0tu1U '' . Por tanto se tiene que:

0tu1Utu

t,tu,tx,tH ''02

*2

26

Por (26) sabemos que el Hamiltoniano será cóncavo en tu . A

continuación, en la figura 11, se muestran todos los casos posibles a tener

en cuenta en nuestro análisis.

tu

1

t,tu,tx,tH t,tu,tx,tH

tu

1

b) c)

a)

t,tu,tx,tH

B G

A

0

0

tu

atu*

0tu* 1tu*

C

D

E

F

Figura 11


527

En la figura 11a) se observa que el máximo se alcanza en el punto “A”

donde 1,0tu* y donde

0

tu

t,tu,tx,tH **

de modo que:

cttu1U *'0 27

En la figura 11b) se aprecia que, para la curva BD y para la recta BD, el

máximo se alcanza en el punto “B” (solución de esquina). Donde

,0tu* y se verifica que24:

0c1U0tu

t,tu,tx,tH '0

0tu

**

*

28

Asimismo, en la figura 11b) se aprecia que todos los puntos de la recta

BC maximizan el Hamiltoniano. Donde se verifica que:

0tu

t,tu,tx,tH **

29

En particular, evaluando (29) en ,0tu* tenemos que25:

0c1U0tu

t,tu,tx,tH '0

0tu

**

*

30

Por tanto, de (28) y (30) tenemos que:

0c1U0tu

t,tu,tx,tH '0

0tu

**

*

31

En la figura 11c) se aprecia que, para la curva FG y para la recta FG, el

máximo se alcanza en el punto “G” (solución de esquina). Donde

,1tu* y se verifica que26:

0c0U0tu

t,tu,tx,tH'

0

1tu

**

*

32

24 En realidad, en la curva BD y en la recta BD la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a tu , a la

derecha de ,0tu* es negativa.

25 En realidad, en la recta BC la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a tu , a la derecha de

,0tu* es nula. Asimismo, en la recta BC la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a tu , a la

izquierda de ,1tu * es nula.

26 En realidad, en la curva FG y en la recta FG la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a tu , a la

izquierda de ,1tu* es positiva.


528

Asimismo, en la figura 11c) se aprecia que todos los puntos de la recta

EG maximizan el Hamiltoniano. Donde se verifica que:

0tu

t,tu,tx,tH **

33

En particular, evaluando (33) en ,1tu* tenemos que27:

0c0U0tu

t,tu,tx,tH '0

1tu

**

*

34

Por tanto, de (32) y (34) tenemos que:

0c0U0tu

t,tu,tx,tH '0

1tu

**

*

35

De (27), (31) y (35) se puede extraer lo siguiente:

0Uc1

tu1Uc1,0

1Uc0

tu

'0

*'0

'0

* 36

Si suponemos que ,00 de (19) y de (23), vemos que:

0cttu

t,tu,tx,tH *

37

Entonces, por (36), el Hamiltoniano sería maximizado por 1tu* para

todo .T,0t En consecuencia, por la ecuación de movimiento de tx

que aparece en (17), se tendría que:

1*' kttxdttdx1tx 38

Reemplazando la condición inicial en (38) tendríamos:

0*

01* xttxxk0x 39

27 En realidad, en la recta EG la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a tu , a la izquierda de

,1tu * es nula. Asimismo, en la recta BC la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a tu , a la

derecha de ,0tu * es nula.


529

Por lo que, teniendo en cuenta '17 y reemplazando la condición

terminal en (39), se tendría:

T0* xxTTx 40

Pero, por (22) y (23), la condición (40) implicaría:

T* xTxpara0cT 41

No obstante, (41) contradice (19). Por tanto, se tiene que:

10 42

Reemplazando (23) y (42) en (20) se tiene:

tuctu1Ut,tu,tx,tH * 43

Reemplazando (42) en (26) se tiene:

0tu1Utu

t,tu,tx,tH ''

2

*2

44

Además, reemplazando (42) en (36) se tiene:

0Uc1

tu1Uc1,0

1Uc0

tu

'

*'

'

* 45

La condición (44) nos indica que el Hamiltoniano es estrictamente

cóncavo respecto a ,tu y tiene un único máximo en “ u ” que es

independiente de “t”. Es decir, utu* para alguna elección de

.1,0u En consecuencia, las líneas rectas que aparecen en las figuras

11b) y 11c) serán descartadas, y sólo nos quedará por analizar las curvas

que aparecen en las figuras 11a), 11b) y 11c).

Para el caso que se presenta en la figura 11b), curva BD, se aprecia que

0utu* , pero esto es imposible ya que por la ecuación de

movimiento de tx que aparece en (17), se tendría que:

0*

02*

2*' xtxxk0xktx0tx 46

De modo que reemplazando Tt en (46), y teniendo en cuenta (17), se

tendría:

T0* xxTx 47

Lo cual contradice a '17 .


530

De lo anterior, resulta que .0utu* Entonces, la posibilidad que

0ct es imposible por (45). Por tanto, de la (CHC) en (22) se tiene

que:

T** xTxy0cT 48

En consecuencia, al haber descartado la optimalidad de no asignar

ninguna ayuda económica al consumo ,0utu* ahora nos

corresponde analizar la posibilidad que .1utu*

Para el caso que se presenta en la figura 11c), curva FG, se aprecia que

1utu* , pero esto es imposible ya que por la ecuación de

movimiento de tx que aparece en (17), y cuya solución está dada por

(39), se tendría que:

0*

0* xTTxxttx 49

Igualando (48) y (49) resulta que:

T0* xxTTx

La cual es inconsistente con '17 .

Por consiguiente, el único caso que se puede dar es el de la figura 11a)

donde .1,0u Resolviendo la ecuación de movimiento tx que

aparece en (17), se tiene que:

03*

3*' xk0xktutxdtutdxutx

0*

0* xTuTxxtutx 50

Igualando (48) y (50) tenemos que:

T

xxutuxxTuTx

0T*T0

*

51


00T* xt

T

xxtx

52

Evaluando (23) en Tt , tenemos:

0cT* 53


531

Pero por (48) y por la continuidad de t tenemos que:

0ct* 54


0tu1Uct *'* 55


0T

xx1Uct

0T'*

56

La solución óptima28 al problema viene dada por ,tu,tx ** con la

variable de coestado asociada t* .

El valor óptimo de la funcional objetivo dependerá de los parámetros

,Tyx,x T0 como se puede apreciar a continuación:

TT

xx1Udt

T

xx1Udttu1UuJ

0TT

0

0TT

0

**

Derivando parcialmente la funcional objetivo óptima respecto a x0 y a xT,

respectivamente, se obtiene:

0

T

xx1U

x

uJ *0T'

0

*

T

T

xx1U

x

uJ *0T'

T

*

Se puede apreciar que las derivadas anteriores nos permiten dar

interpretaciones de precio a la variable de coestado. Por ejemplo, T*

mide, aproximadamente, el incremento en la utilidad total óptima al

incrementar el requerimiento terminal sobre el nivel de infraestructura en

una unidad. Asimismo, 0* mide, aproximadamente, el incremento en

la utilidad total óptima al incrementar el requerimiento inicial sobre el

nivel de infraestructura en una unidad. Posteriormente estudiaremos

resultados generales que dan interpretaciones de precio a las variables de

coestado.

28 Más adelante se demostrará, utilizando el teorema de suficiencia de Mangasarian, que la solución

obtenida es un óptimo global del problema.


532

3.- Resolver el siguiente problema:

58

1,0tu

0Tx

00x

tutx:a.s

57dttuuJMax

2'

T

0tu

En este caso, el Hamiltoniano viene dado por:

tuttut,tu,tx,tH 20 59

Asumiendo que tu,tx ** resuelve el problema. De acuerdo al

principio del máximo, debe existir una constante 0 y una función

continua t tal que:

T,0t0,0t,0 60

Donde, por (XXXII), .0o1 00 Además, para cada T,0t ,

tu* es aquel valor de 1,0tu que maximiza:

tuttut,tu,tx,tH 20

* 61



0

tx

t,tu,tx,tH

dt

td **

1kt (siendo “k1” una constante) 62

Por XXXIII , no hay ninguna condición de transversalidad en Tt para

t .

Suponiendo que ,10 y teniendo en cuenta (62), el Hamiltoniano

sería:

tuktut,tu,tx,tH 21

* 63

De la condición de primer orden se tiene que:

1

**1

*

k2

1tu0tuk21

tu

t,tu,tx,tH

64


533

Reemplazando (64) en la ecuación de movimiento que aparece en (58) se

tiene que:

221

*

2

1

2

1

' ktk4

1txdt

k2

1tdx

k2

1tx

65

Reemplazando las condiciones iniciales en (65) se tiene que:

tk4

1tx0k0x

21

*2

* 66

Reemplazando las condiciones terminales en (66) se tiene que:

0Tk4

1Tx

21

*

Pero esta ecuación no puede anularse en el estado terminal. En

consecuencia ,00 lo que por (60) implica que:

0kt 1* 67

En este caso el Hamiltoniano sería:

tukt,tu,tx,tH 21 68

La condición de primer orden será:

0tu0tuk2tu

t,tu,tx,tH **1

*

69

Reemplazando (69) en la ecuación de movimiento que aparece en (58) se

tiene que:

0tx0tx *' 70

Reemplazando las condiciones iniciales y las condiciones finales en (70)

se tiene que:

0Tx0x ** 71

Es decir, se verifican las condiciones de borde.


534

Para asegurarnos que (69) maximiza antes que minimiza el Hamiltoniano

vamos a analizar el signo de la derivada de segundo orden del

Hamiltoniano respecto a .tu Para que (69) maximice al Hamiltoniano

será necesario que éste sea estrictamente cóncavo respecto a ,tu lo cual

a su vez requiere que:

0kt0k0k2tu

t,tu,tx,tH1

*112

*2

72

Por tanto, la solución óptima29 al problema viene dada por ,tu,tx **

con la variable de coestado asociada t* .

El valor óptimo de la funcional objetivo será:

0dt0uJ

T

0

*

3. Condiciones suficientes de optimalidad global para

problemas con tiempo fijo: Teoremas de Mangasarian

(1966) y Arrow (1968)

El principio del Máximo de Pontryagin proporciona un conjunto de

condiciones necesarias para un control óptimo, que por lo general no son

suficientes. No obstante, cuando se satisfacen ciertas condiciones de

concavidad/convexidad, entonces las condiciones estipuladas por el principio

del máximo de Pontryagin son suficientes para la maximización/minimización

global. En esta sección sólo vamos a presentar dos teoremas de suficiencia

que fueron desarrollados por O. Mangasarian y por K. Arrow. Las

condiciones de Arrow son más generales, pero es más difícil comprobar su

cumplimiento.

Teorema de Mangasarian

Sea tx,tu ** un par admisible30 del problema (XXVI). Supóngase que

es un conjunto convexo y que

tu

tu,tx,tg

existe y es continua. Si

existe una función t continua y con derivadas de primer orden continuas a

trozos tal que que las siguientes condiciones se satisfacen con ,10

tx

t,tu,tx,tH

dt

tdt

**'

XXXV

29 Como se verá a continuación, una condición suficiente que garantiza la optimalidad global de tu* es el

teorema de suficiencia de Mangasarian. 30 Al par que satisface las condiciones (**), (***) y (****) del problema (XXVI) se le suele denominar par

admisible. Un par admisible que maximiza la funcional objetivo (*) del problema (XXVI), y que por tanto

resuelve dicho problema, es llamado par óptimo.


535

tUtu0tututu

t,tu,tx,tH*

**

XXXVI

condiciónsintc

0txtxxtx0tb

0ta

1

CHC

111*

11*

1

1

XXXVII

t,tu,tx,tH es cóncavo (estrictamente cóncavo) en ttu,tx (XXXVIII)

Entonces, tu,tx ** es un máximo global (máximo global estricto) del

problema (XXVI). Es decir, tu,tx ** es un par óptimo.

Una formulación equivalente del teorema de Mangasarian sería: Supóngase

que tu,tx ** es un par admisible que satisface todas las condiciones del

principio del máximo de Pontryagin [(XXIX) (XXXIII)] con 10 y

siendo U un conjunto convexo. Si el Hamiltoniano t,tu,tx,tH es

cóncavo (estrictamente cóncavo) en ,tu,tx entonces tu,tx ** es un

máximo global (estricto) del problema (XXVI), y por tanto, un par óptimo.

Note que si tu,tx,tf y tu,tx,tg son cóncavas con respecto a

tu,tx , entonces el Hamiltoniano es cóncavo en tu,tx siempre que

.0t Asimismo, si tu,tx,tf es cóncava y tu,tx,tg es lineal en

tu,tx , entonces el Hamiltoniano también es cóncavo en tu,tx y

t no necesita restricción de signo.

Teorema de Arrow

Dado que en un número de interesantes problemas de control en economía el

Hamiltoniano no es cóncavo en tu,tx , es indispensable ver qué

condiciones, menos restrictivas que la concavidad en tu,tx , serán

suficientes para garantizar la optimalidad global en dichos problemas. Una

condición de suficiencia, más débil que la concavidad del Hamiltoniano

t,tu,tx,tH en tu,tx , viene dada en el teorema de Arrow.

Sea tu,tx ** un par admisible del problema (XXVI). Si existe una

función t continua y con derivadas de primer orden continuas a trozos tal

que las siguientes condiciones se satisfacen con ,10

tx

t,tu,tx,tH

dt

tdt

**'

XXXIX

tUtut,tu,tx,tHt,tu,tx,tH *** XL


536

condiciónsint;xtxsi00t;0t 111*

11 XLI

Si t,tx,tu* es el valor de la variable de control que maximiza

t,tu,tx,tH para valores dados de .t,tx,t El valor del

Hamiltoniano cuando es evaluado en t,tx,tu* , denominado

Hamiltoniano maximizado, viene dado por:

t,tx,tu,tx,tgtt,tx,tu,tx,tf

t,tu,tx,tHmaxt,tx,tH

**

Utu

Si t,tx,tH y es cóncavo en 10 t,tttx , para un t dado XLII

Entonces, tu,tx ** es un máximo global del problema (XXVI).

Además, si t,tx,tH es estrictamente cóncavo en 10 t,tttx , para un

t dado, entonces tx* es único (pero tu* no es necesariamente único).

Una formulación equivalente del teorema de Arrow sería: Supóngase que

tu,tx ** es un par admisible que satisface todas las condiciones del

principio del máximo de Pontryagin [(XXIX) (XXXIII)] con 10 . Si

el Hamiltoniano maximizado, definido en , es cóncavo en en

10 t,tttx , para un t dado, entonces tu,tx ** es un máximo

global del problema (XXV).

Es importante resaltar que el teorema de Arrow puede considerarse como una

generalización del teorema de Mangasarian (o el último como un caso

especial del primero), ya que la concavidad de t,tu,tx,tH con respecto

a tu,tx implica la concavidad de t,tx,tH con respecto a tx31.

Ejemplos:

1.- En la sección 2, ejemplo 1, resolvimos el siguiente problema:

2tu1

libre:2x

00x

tutxtx:a.s

dttxuJMax

'

2

0tu

73

31 Si tu,tx,tf y tu,tx,tg son cóncavas en tu,tx y ,0t como indica el teorema de

Mangasarian, entonces t,tu,tx,tH también es cóncavo en tu,tx , y de esto se desprende que

t,tx,tH es cóncavo en tx , según lo estipulado por Arrow. Pero t,tx,tH puede ser cóncava

en tx incluso si tu,tx,tf y tu,tx,tg no son cóncavas en tu,tx , lo cual hace que la

condición de Arrow sea un requerimiento más débil.


537

Ahora, vamos a aplicar a este problema los teoremas de suficiencia de

Mangasarian y de Arrow.

En este caso, ya que tu0txtu,tx,tf es una función lineal en

tu,tx , también será cóncava en tu,tx . Además, ya que la

función tutxtu,tx,tg es lineal en tu,tx , también es

cóncava en tu,tx . Para ambos casos, resulta irrelevante la restricción

.0t Entonces, el Hamiltoniano también es cóncavo en tu,tx .

Por tanto, el teorema de Mangasarian se satisface, y

2,1e2tu,tx t** es el par óptimo (la solución óptima global)

del problema.

Una vez que se verifica el teorema de Mangasarian, ya no es necesario

verificar el teorema de Arrow. Pero, si deseamos aplicar el teorema de

Arrow, podemos proceder a verificar si el Hamiltoniano maximizado

t,tx,tH es cóncavo en tx . En el presente ejemplo, el

Hamiltoniano es:

tutxttxt,tu,tx,tH 74

Cuando el control óptimo 2tu* es sustituido en (74) para eliminar

tu , el Hamiltoniano maximizado será:

t2txt12txttxt,tx,tH 75

Se aprecia que t,tx,tH es lineal en tx para t dado, por lo que

se satisface el teorema de Arrow.

2.- En la sección 2, ejemplo 2 (consumo vs inversión), resolvimos el siguiente

problema:

77

1,0tu

xTx

x0x

tutx:a.s

76dttu1UuJMax

T

0

'

T

0tu

Con:

Txxx0 0T0 78




538

En este caso se aprecia que ni tu1Utu,tx,tf ni

tutu,tx,tg dependen de ,tx por lo que la condición de

concavidad se refiere sólo a tu . Derivando tu,tx,tf se obtiene:

0tu1U

tu

tu,tx,tfytu1U

tu

tu,tx,tf''

2

2'

79

Por tanto, tu,tx,tf es una función cóncava en tu . En cuanto a

tutu,tx,tg , ya que es lineal en tu , es automáticamente

cóncava en tu . Además, el hecho que tu,tx,tg sea lineal hace que

la condición 0t sea irrelevante. En consecuencia, se satisface el

teorema de Mangasarian, y el control óptimo que maximiza globalmente

a la funcional objetivo uJ es T

xxutu

0T* .

Para aplicar el teorema de Arrow, procederemos a verificar si el

Hamiltoniano maximizado t,tx,tH es cóncavo en tx . En el

presente ejemplo, el Hamiltoniano es:

tuttu1Ut,tu,tx,tH 80

Cuando el control óptimo T

xxutu

0T*

es sustituido en (80) para

eliminar tu , el Hamiltoniano maximizado será:

tuu1Ut,tx,tH 81

Se aprecia que t,tx,tH contiene únicamente a t , y no depende de

tx . Por tanto, t,tx,tH es lineal y de ahí cóncavo en tx para un

t dado, y se satisface el teorema de Arrow.

3.- En la sección 2, ejemplo 3, resolvimos el siguiente problema:

83

1,0tu

0Tx

00x

tutx:a.s

82dttuuJMax

2'

T

0tu




539

En este caso se aprecia que ni tutu,tx,tf ni tutu,tx,tg 2

dependen de ,tx por lo que la condición de concavidad se refiere sólo a

tu . Se observa que tu,tx,tf es lineal en tu , y por tanto cóncava

en tu . Derivando tu,tx,tg se obtiene:

02

tu

tu,tx,tfytu2

tu

tu,tx,tg

2

2

84

Por lo que la función tu,tx,tg es estrictamente convexa en tu . No

obstante, ya que de (62) se tiene que 1kt , para que el Hamiltoniano

sea cóncavo en tu es necesario que ,0kt 1 de modo que

tu,tx,tgt sea una función cóncava en tu . Gracias a (72)

tenemos que ,0kt 1* por lo que esto garantiza que 0kt 1 y

que el Hamiltoniano sea cóncavo en tu . En consecuencia, se satisface

el teorema de Mangasarian, y el control óptimo que maximiza

globalmente a la funcional objetivo uJ es .0tu*

Para aplicar el teorema de Arrow, procederemos a verificar si el

Hamiltoniano maximizado t,tx,tH es cóncavo en tx . En el

presente ejemplo, el Hamiltoniano es:

tuttut,tu,tx,tH 2 85

Cuando el control óptimo 0tu* es sustituido en (85) para eliminar

tu , el Hamiltoniano maximizado será:

0t,tx,tH 86

Se aprecia que t,tx,tH es nulo, y no depende de tx . Por tanto,

t,tx,tH es lineal y de ahí cóncavo en tx para un t dado, y se

satisface el teorema de Arrow.

4. Problemas con tiempo final variable

En los problemas de control óptimo que hemos estudiado hasta aquí el

intervalo de tiempo había sido fijado. En algunos problemas de control, que

surgen en economía, el instante final “ 1t ” no está fijado, sino que es una

variable que es determinada por el problema de optimización, junto con tu ,

.t,tt 10 Es decir, la única diferencia respecto del problema con

restricciones terminales estándar, problema (XXVI), es que “ 1t ” ahora puede

escogerse óptimamente. El problema de tiempo final variable se puede

formular como sigue:


540

cybendado:x

libre:t

dados:t,x

xtxc

xtxb

libre:txa

:finalessCondicione

xtx:inicialessCondicione

tu,tx,tgtx:estadodeEcuación

Utu:a.s

dttu,tx,tfuJmax

1

1

00

11

11

1

00

'

t

tt,tu

1

0

1

El problema consiste en maximizar la integral en (α), sobre todos los

controles admisibles que, sobre el intervalo de tiempo 10 t,t , llevan al

sistema desde 00 xtx hasta el punto que satisface las condiciones finales

(). Note que en este caso, las variables de elección son “ 1t ” y tu , y que

.t,tt 10 En contraste a la situación estudiada en la sección 2, el tiempo

“ 1t ” no es fijado a priori ya que a los diferentes controles admisibles se les

permiten estar definidos en diferentes intervalos de tiempo.

5. El principio del máximo de Pontryagin para problemas con

tiempo final variable

Sea tu* la trayectoria de control, continua a trozos definidas en 10 t,t

que resuelve el problema (XXVI) con “ 1t ” libre ,tt 01 y sea tx* la

trayectoria de estado óptima asociada. Entonces todas las condiciones del

principio del máximo de Pontryagin [(XXIX) (XXXIII)] se satisfacen en

*10 t,t y, además,

0t,tu,tx,tH *1

*1

**1

**1 XLIII

Una forma natural de resolver un problema con tiempo final libre es, para

cualquier 01 tt , resolver primero el problema correspondiente con “ 1t ”

fijo. Denotar la solución a este problema como tu,tx11 tt , con la

variable de coestado asociada .t1t

Entonces, la solución al problema con

tiempo final libre se obtiene considerando a “ 1t ” como un parámetro

desconocido. La condición XLIII nos dice que podremos determinar “ 1t ” a

través de la condición:

0t,tu,tx,tHtF 1t1t1t11 111

XLIV


541

Nota 1: Es importante resaltar que 0tF *1 es una condición necesaria para

que “ *1t ” sea el tiempo final óptimo. Asimismo, se hace notar que el único

requerimiento del principio del máximo de Pontryagin, en problemas de

tiempo final variable, sobre el intervalo de definición de las variables

admisibles 10 t,t es que 01 tt . Supóngase que 21 T,T son números fijos,

,TTt 210 y supóngase que requerimos que .T,Tt 211 Entonces, el

principio del máximo de Pontryagin para problemas de tiempo final variable

aún será válido siempre que .T,Tt 21*1 Si ,Tt 1

*1 entonces la igualdad en

XLIV será reemplazada por:

0tF *1 XLV

Si ,Tt 2*1 entonces la igualdad en XLIV será reemplazada por:

0tF *1 XLVI

Si tu* es únicamente medible, *1

*1

*1

**1 t,tu,tx,tH en XLIII debe ser

reemplazado por

,t,tu,tx,tHsup *1

*1

*1

**1

Utu

que es finito32.

Si 01 tT y ,tt 0*1 el principio del máximo de Pontryagin para problemas

de tiempo final variable y la condición en esta nota no tienen ningún sentido.

Las siguientes condiciones son necesarias: Existe un número

,0 ,0o1 00 y un vector *1t con 0,0t, *

10 tal que *1t

satisface XXXIII y

0t,tu,tx,tHsup *1

*1

*1

**1

Utu

.

6. Condiciones suficientes para problemas con tiempo final libre

Para problemas de tiempo final variable es difícil encontrar condiciones

suficientes de algún valor práctico, debido a una inherente carencia de

propiedades de convexidad en tales problemas. No obstante, las siguientes

condiciones, formuladas por Seierstad (1984), parecen algo promisorias.

Considerar el problema (XXVI) con ,T,Tt 211 para .TTt 210

Supóngase que para cada 21 T,TT existe un par admisible tu,tx TT

definido en T,t0 , con la variable de coestado asociada tT que satisface

todas las condiciones en el teorema de suficiencia de Arrow de la sección 3.

Asimismo, supongamos que .TtUUtu 'T Se supone también

que TxT es continua en “T” y 21T T,TT:T es acotado. Finalmente,

se asume que la función:

10T,Tu,Tx,THTF 0TTT XLVII

32 En el apéndice podrá encontrar la definición del supremo de una función.


542

Tiene la propiedad que existe un 21* T,TT tal que:

*2

*

*1

*

TTsiTTpara0TF

TTsiTTpara0TF XLVIII

Entonces, el par tu,tx ** TT definido en *

0 T,t resuelve el problema

(XXVI) con .T,Tt 211 El par es único si XLVIII es válida también

cuando todas las desigualdades en XLVIII son estrictas y t,tx,tH *T

es estrictamente cóncava en tx para todo .T,tt *0 Cuando 01 tT es

únicamente necesario contrastar las condiciones del teorema para .TT 1

Es importante señalar que si se requiere que 1011 Tt,,Tt y si la terna

tu,tx,T *T

*T

*** satisface las condiciones suficientes para problemas con

tiempo final libre de Seierstad para todos los intervalos 21 T,T que contienen

T*, entonces la terna es óptima.

Ejemplos:

1.- Extracción óptima de recursos naturales: Supóngase que en el instante

0t existe una cantidad fija 0x de algún recurso (digamos petróleo

en cierto yacimiento de petróleo) que es extraíble. Sea la tasa de

extracción:

0tu 87

Si “T” es el instante en el que la extracción finaliza, entonces:

0dttuxxdttu

T

0

T

0

88

Si definimos tx como el stock del recurso que resta por extraer en el

instante “t”, ,T,0t se tiene que:

t

0

duxtx 89

Derivando (89) respecto al tiempo se tiene33:

tutx ' 90

33 Para derivar esta expresión se ha utilizado una de las reglas de Leibniz, que se presentan en el apéndice.


543

Reemplazando Tt en (89) y teniendo en cuenta (88), se tiene:

0duxTx

T

0

91

Además, si reemplazamos 0t en (89) se tiene que:

0xdux0x

0

0

92

Se asume que el precio del mercado mundial del recurso en el instante “t”

es ,tp de modo que los ingresos de las ventas por unidad de tiempo en

el instante “t” son .tutptI Asimismo, se asume que los costos por

unidad de tiempo son estrictamente convexos en “ tu ”, con ,0u

C

2

2

y

vienen dados por .tu,tCC

Por tanto, la tasa instantánea de beneficios en el instante “t” será:

tu,tCtutptu,t 93

El beneficio total descontado sobre el intervalo ,T,0 cuando la tasa de

descuento es “r”, es por tanto:

dtetu,tCtutp

T

0

rt

94

El problema a resolver será: encontrar el instante “T” y la tasa de

extracción tu que maximicen (94) sujeta a las restricciones (87), (90),

(91) y (92). Es decir, en términos formales tenemos:

0tu

0Tx

0x0x

tutx:a.s

dtetu,tCtutpmax

'

T

0

rt

T,tu

95

En este caso, la variables de estado y de control son tx y tu

respectivamente. Por tanto, el Hamiltoniano será:

tutetu,tCtutpt,tu,tx,tH rt0 96


544

Supongamos que tu,tx ** , ambos definidos sobre el intervalo

,T,0 * resuelven nuestro problema. Entonces existe una variable de

coestado t tal que para todo ,T,0t *

0,0t,0 97

tu* maximiza 0tut,tu,tx,tH 98

Salvo en los puntos de discontinuidad de tu* , se cumple que:

0

tx

t,tu,tx,tHt'

99

Además, ,0o1 00 y

CHC

****** 0T0Tx0Tx0T 100

Finalmente, de XLIII tenemos:

***rT******0 TuTeTu,TCTuTp

*

10134

De (99) vemos que t para alguna constante , y por 100 ,

CHC

**** 0Tx0Tx0 102

Si suponemos que ,00 de 97 resulta que 0t por lo que de

102 tenemos:

0 y 0Tx ** 103

Entonces, reemplazando 0t y 00 en 96 tenemos que:

tut,tu,tx,tH 104

De (98), se deduce que ,0tu* y por la ecuación de movimiento de

,tx que aparece en (95), se tiene que:

ktx0tx *' 105

34 Si ,0T* las condiciones deben ser modificadas de acuerdo a la nota 1 de la sección 5.


545

Reemplazando 0t en (105), y teniendo en cuenta la condición inicial

dada en (95) se tiene que:

0xk0x* 106

Pero si reemplazamos *Tt en (105), y teniendo en cuenta (106) y la

condición final dada en (95) se tiene que:

0xkTx ** 107

Pero (107) contradice (103). Por tanto, ,10 y el Hamiltoniano resulta:

tutetu,tCtutpt,tu,tx,tH rt 108

Gracias a (99) y a (102) sabemos que ,0t donde es una

constante. Reemplazando en (108) tenemos:

tuetu,tCtutpt,tu,tx,tH rt 109

Ya que tu,tC es estrictamente convexa en tu y los otros términos

de (109) son lineales en tu , t,tu,tx,tH es cóncavo en tu . De

acuerdo a (98), vemos que tu* debe maximizar t,tu,tx,tH

sujeto a que .0tu Por tanto, de acuerdo a las condiciones de Kuhn-

Tucker, si ,0tu* se tendría que:

0e

tu

tu,tCtp

tu

t,tu,tx,tH rt*

0tu

*

*

Mientras que si ,0tu* entonces:

0e

tu

tu,tCtp

tu

t,tu,tx,tH rt*

0tu

*

*

En consecuencia, 98 implica que:

0tusi00e

tu

tu,tCtp *rt

*

110

Ya que

rt

*

etu

tu,tCtp

es cóncava en tu , entonces 110 es

también una condición suficiente que satisface 98 .


546

Para cualquier instante “t” en el que 0tu* , 110 implica que:

0e

tu

tu,tCtp rt

*

111

El lado izquierdo de la ecuación 111 es el beneficio marginal

.tutu,t Por tanto, 111 nos dice que en el óptimo el beneficio

marginal debe crecer exponencialmente con una tasa igual al factor de

descuento “r”.

7. Horizonte infinito

8. El principio del máximo y el cálculo de variaciones

9. Hamiltoniano en tiempo corriente

VII.3 Programación Dinámica

Apéndice

Factor de descuento

En optimización dinámica es común encontrarse en situaciones en las que en un

periodo de tiempo dado, hay que analizar cantidades monetarias (ingresos, costos) que

se producen en instantes distintos. Asimismo, existen otras situaciones en las que se

producen utilidades en distintos instantes. La temporalidad de estas cantidades nos

obliga a realizar una homogeneización de las mismas ya que no es lo mismo recibir

“A” unidades monetarias en la actualidad que recibirlas en el futuro, como tampoco

es lo mismo tener la utilidad “U” ahora que poseerla en el futuro. Es por esto que se

introduce el concepto de tasa de descuento.

Por ejemplo, supongamos que tenemos “A” nuevos soles, que depositamos en un

banco a un tipo de interés nominal anual “i”1, en tanto por uno2. Dicha cuenta la

dejamos abierta por “t” años, sin ingresos ni reintegros, acumulándose los intereses

(compuestos) que se vayan generando a lo largo del tiempo. El problema consiste en

determinar la cantidad “B” de dinero que existe en la cuenta después de “t” años.

Dicha cantidad dependerá de “A”, de “i”, de “t”, y de las veces que se capitalicen los

intereses durante cada año.

A continuación se presentan los casos que se dan de acuerdo al número de veces que

los intereses se capitalizan al año.

Se capitaliza “m” veces al año:

mt

mt

mt

mi1

1Bmi1BAA

im

11B

Se capitaliza de manera continua:

ititmt

m

mt

mBeAAemi1límAAmi1límB

Las expresiones anteriores nos indican que “A” nuevos soles de hoy se transforman

en “B” nuevos soles dentro de “t” años. Asimismo, “B” nuevos soles dentro de “t”

años equivalen a:

it

mt

Be

mi1

1B

nuevos soles de ahora, según la capitalización sea “m” veces al año o

de manera continua.

1 mi representa la tasa de interés efectiva capitalizable “m” veces al año.

2 Como sabemos, el tanto por ciento representa una cierta cantidad con respecto a 100. Si en lugar de tomar

como referencia 100, se toma la unidad 1, se llama tanto por uno. Si se divide un tanto por ciento entre 100

dará el tanto por uno correspondiente. Por ejemplo, 0,35 es el tanto por uno correspondiente al 35%.

548

El factor de descuento también puede utilizarse en otros campos distintos al

financiero. Por ejemplo, para el caso discreto, si se tienen las utilidades:

.t,tCU,,t,tCU,t,tCUt,tCU 1N1N1100jj

Correspondientes a los periodos 1N,,1,0j . Se considera el factor de descuento

,1i1

10

donde 1i0 es la tasa de descuento. El valor actual del flujo

de utilidad descontada en el horizonte temporal dado es:

.t,tCUi1t,tCUi1

1t,tCU jj

1N

0j

jjj

1N

0j

j

jj

1N

0j

j

En este caso, tanto la tasa de descuento como el factor de descuento son ahora

subjetivos y reflejan la valoración del presente sobre el futuro que hace el planificador

o el individuo. Si ,i0 sólo se valora el presente, el futuro no vale nada. Si

,0i1 el futuro se valora exactamente igual que el presente. En la medida

que vaya creciendo desde 0 hasta 1 (o que “i” vaya decreciendo desde hasta 0),

el futuro va teniendo más peso.

Para el caso continuo, supongamos que se tiene el siguiente nivel de utilidad en cada

instante “t” perteneciente al horizonte temporal .T,0 Si “i” es la tasa de descuento, y

t,tCU es el nivel de utilidad en el instante “t”. En este caso, el valor actual del flujo

de utilidad descontada en el horizonte temporal dado es:

.dtt,tCUdtt,tCUe

T

0

tT

0

it

De la misma manera que ocurre en tiempo discreto, si 0i el futuro se valora

exactamente igual que el presente. Si i sólo se valora el presente. Cuanto mayor

es “i” menor valor se concede al futuro. Donde el factor de descuento en tiempo

continuo viene dado por:

1m

i1líme0

mt

m

i

Funcionales

Una funcional es una aplicación, cuyo dominio es un conjunto de funciones, y cuyo

rango es un subconjunto de . Vamos a considerar funcionales “J” cuyo dominio es

el conjunto , esto es:

xJx

:J

549

Donde es el conjunto de todas las funciones “x” con derivadas primeras y

segundas continuas en un intervalo cerrado 10 t,t con ,tttyt 1010 y que

viene dado por: .t,tenCesxt,t:x 102

10 Es decir, una funcional

es una regla de correspondencia (un tipo especial de mapeo) que asigna a cada

función x un único valor real .xJ

En la figura I se muestra el mapeo entre tres trayectorias, pertenecientes al conjunto

de trayectorias admisibles , y el valor asociado a cada una de ellas,

.III,II,IjJxJ jj En esta figura se aprecia que a cada trayectoria admisible

(que parte de x0 en el instante t0, punto A, y llega a x1 en el instante t1, punto B) que

pertenece a IIIIIIii x,x,x1,0ixtxx le corresponde un único

valor .xJ j

tx

tx

tx

t

t

t

Conjunto de valores asociados

a las trayectorias (línea real)

Conjunto de trayectorias

admisibles (funciones)

II JxJ

IIII JxJ

IIIIII JxJ

Ix

IIx

IIIx

0t 1t

0t 1t

0t 1t

A

A

A

B

B

B

0x

1x

0x

1x

0x

1x

Figura I

550

En este punto es importante resaltar que muchos autores, omiten la variable “t” en la

variable de estado que aparece como argumento de la funcional txJ y únicamente

escriben xJ o ,xJ de esta manera subrayan el hecho que es el cambio en la

posición de la trayectoria completa tx , la variación en la trayectoria tx , en

contraste al cambio en “t”, que resulta en un cambio en el valor txJ de la

trayectoria. El símbolo txJ difiere del símbolo que corresponde a una función

compuesta xfg ya que “g” es una función de “f”, y “f” es a su vez una función de

“x”, por lo que al final “g” es una función de “x”. Sin embargo, en el símbolo txJ

no se debe tomar a “J” como una función de “t”, sino que por el contrario “J” debe ser

entendido como una función de .tx Una vez hecha esta aclaración, para evitar

confusión, el símbolo que utilizaremos en este capítulo será .xJ

Ejemplos:

A cada función ,x le hacemos corresponder .dttxxJ

1

0

t

t

Como x ,

tx es una función continua y por tanto integrable, en consecuencia, xJ es

un número real. Por ende, xJ es una funcional.

Para ,x sea:

.2

ttxxJ

10'

En este caso xJ también es una funcional ya que, al ser “x” derivable, la derivada

de “x” en el punto medio del intervalo 10 t,t en el que está definida, existe y es un

número real.

Para ,x sea .txxJ ' En este caso xJ no es una funcional ya que la

derivada de una función derivable por lo general es otra función, y no un número real.

Diversas formas de funcionales objetivo

La forma integral de la funcional objetivo

En optimización dinámica, una trayectoria óptima es, por definición, aquella

que maximiza o minimiza el valor de la trayectoria xJ3. Dado que cualquier

trayectoria tx por fuerza debe viajar a lo largo de un intervalo de tiempo

10 t,t , su valor total naturalmente sería la suma de los valores de los arcos

que la constituyan. Esta suma, en tiempo continuo, será una integral definida,

.dtarcodelvalor

1

0

t

t

Pero, para poder identificar un “arco” en una trayectoria

continua se necesita conocer el tiempo de partida, el estado de partida, y la

dirección en la cual el arco avanza. En tiempo continuo, ya que cada arco es de

longitud infinitesimal, la información anterior es representada por “t”, tx y

,tx ' respectivamente.

3 Los valores numéricos asociados a cada trayectoria de estado, ,xJ como suele asumirse en el análisis

económico, podrían ser interpretados como niveles de “utilidad” que pueden medirse.

551

En general, para una trayectoria “x” dada, el arco asociado con un punto

específico del tiempo “t” es caracterizado por un único valor tx y por una

única pendiente .tx ' Si existe alguna función, “f” que asigne valores de arcos

a los arcos, entonces el valor de dicho arco puede ser escrito como

.tx,tx,tf ' Por tanto, la suma de los valores de arcos puede generalmente

escribirse como la integral definida:

1

0

t

t

' dttx,tx,tfxJ 1.6

La expresión anterior revela que es la variación en la trayectoria “x” (digamos

III xvsx ) lo que altera la magnitud de .xJ Cada diferente trayectoria “x”

está constituida por un diferente conjunto de arcos en el intervalo de tiempo

,t,t 10 que, a través de la función “f” que asigna valores a los arcos, toma un

diferente conjunto de valores de arco. La integral definida suma aquellos

valores de arco sobre cada trayectoria “x” en un valor de trayectoria.

Si en el problema hay dos variables de estado, “x” y “z”, los valores de arco de

“x” y “z” deberán tomarse en cuenta. La funcional objetivo deberá entonces

ser:

1

0

t

t

'' dttz,tx,tz,tx,tfz,xJ 2.6

Un problema con una funcional objetivo en la forma de 1.6 o de 2.6

constituye el problema estándar.

Otras formas de la funcional objetivo

En ocasiones, el criterio de optimización en un problema puede no depender de

ninguna posición intermedia que la trayectoria atraviese, pero puede depender

exclusivamente de la posición del punto terminal alcanzado. En este caso, no

aparece ninguna integral definida, ya que no es necesario sumar valores de

arcos sobre un intervalo de tiempo. Más bien, la funcional objetivo adopta la

siguiente forma:

Tx,TGxJ 3.6

Donde la función “G” se basa únicamente sobre lo que ocurre en el instante

final “T”. A un problema con este tipo de funcional objetivo se le denomina

problema de Mayer. Ya que sólo la posición terminal ocurre en xJ , también

es conocido como problema de control terminal.

552

Con dos variables de estado, “x” y “z”, 3.6 se convertiría en:

Tz,Tx,TGxJ 4.6

Podría también suceder que la integral definida en 1.6 y el criterio del punto

terminal en 3.6 ingresen simultáneamente en la funcional objetivo. Entonces

tendríamos la siguiente funcional:

Tx,TGdttx,tx,tfxJ

1

0

t

t

' 5.6

Si (6.5) es la forma de la funcional objetivo, entonces tendremos el problema

denominado problema de Bolza.

Aunque el problema de Bolza puede parecer ser la formulación más general, la

verdad es que los tres tipos de problema, Estándar, Mayer y Bolza, son

convertibles en los otros dos restantes.

Conjuntos acotados y no acotados en

Cota Superior (inferior) de X: Dado X , Ø,X se dice que “b” es una cota

superior de X si .Xxxb De manera análoga se puede definir una cota inferior.

Si X posee una cota superior (inferior) se dice que X está acotado superiormente

(inferiormente) o acotado por arriba (por abajo). Un conjunto que no esté acotado

superiormente (inferiormente) se llama conjunto no acotado superiormente

(inferiormente). Un conjunto acotado superior e inferiormente se llama simplemente

conjunto acotado. Un conjunto que no está acotado se llama no acotado.

Entre todos los números que acotan superiormente (inferiormente) a X , el menor

(mayor) de ellos, recibe un nombre especial: Supremo (ínfimo).

Supremo (ínfimo) de X: Dado X , se define el supremo de X y se denota por

XSUP , como la mínima cota superior del conjunto, es decir, ,XxxXSUP y si

.bXSUPXx,xb De manera análoga se define el ínfimo de X, que se

denota por .XINF

Axioma del Supremo: Todo conjunto de números reales que está acotado por arriba

posee un supremo. De manera análoga, si el conjunto de números reales está acotado

inferiormente, entonces posee un ínfimo.

Principio de Arquímedes: El conjunto de números naturales, N, no está acotado

superiormente, de modo que .anNn,a

Elemento máximo (mínimo) de X: Sea X . El elemento máximo de X o mayor

de X, denotado por ,Xmáx es un elemento “b” de X tal que .XxXmáxbx

De manera análoga se define el elemento mínimo de X o menor de X, que se denota

por .Xmín

553

En general, si existe ,XmínXmáx éste coincide con XINFXSUP . Por ejemplo,

para ,10,9,8,7,6,5X se tiene que ,10XSUPXmáx .5XINFXmín Sin

embargo, el conjunto X puede tener un supremo (ínfimo) y no poseer un elemento

máximo (mínimo). Por ejemplo, para ,3,23x2xX se tiene que

,3XSUP ,2XINF pero ni ,Xmáx ni Xmín existen.

Acotación de funciones

Función acotada superiormente

Sea .XfYX:f n Se dice que “f” está acotada superiormente en su

dominio”X”, si el conjunto de sus valores (su rango “Y”) está acotado superiormente

en . Dicho de otro modo, la función “f” está acotada superiormente si

XxMxfM

. A “M” y a todos los números mayores que este se le

denominan cotas superiores.

Función acotada inferiormente

Sea .XfYX:f n Se dice que “f” está acotada inferiormente en su

dominio “X”, si el conjunto de sus valores (su rango “Y”) está acotado inferiormente

en . Dicho de otro modo, la función “f” está acotada inferiormente si

Xxmxfm

. A “m” y a todos los números menores que este se le

denominan cotas inferiores.

Función acotada

Sea .XfYX:f n Se dice que “f” está acotada en su dominio “X”, si

su imagen “Y” es un conjunto acotado en . Es decir, si existen “M” y “m”

pertenecientes a tales que .XxMxfm

Función acotada en valor absoluto

Se dice que “f” está acotada en valor absoluto en “X” si existe un “K” perteneciente a

tal que .XxKxf

Si “f” está acotada en “X”, entonces “f” estará acotada en valor absoluto en “X”.

Supremo de una función

Si “f” está acotada superiormente en “X”, llamamos supremo a la menor de las cotas

superiores. El supremo de “f” se llama supremo de la función “f” en X, y se denota

por: .XxxfsupxfsupMXx

554

Ínfimo de una función

Si “f” está acotada inferiormente en “X”, llamamos ínfimo a la mayor de las cotas

inferiores. El ínfimo de “f” se llama ínfimo de la función “f” en X, y se denota por: .Xxxfinfxfinfm

Xx

Máximo de una función

Si el supremo de “f” pertenece a dicha función se denomina máximo (absoluto o

global) de la función. Se dice que “f” alcanza un máximo absoluto en un punto 0x

de

X si xfsupxfXx

0

en X. Es decir, si verifica que: .Xxxfxf 0

Se denota por: .XxxfmáxxfmáxMXx

Se dice que 0x

es un punto máximo absoluto de “f” en “X” y el valor de dicho

máximo es 0xf

. El máximo absoluto es estricto si se cumple que

.Xxxfxf 0

Si una función tiene máximo absoluto, ésta lo puede alcanzar

en varios puntos de su dominio.

Mínimo de una función

Si el ínfimo de “f” pertenece a dicha función, entonces se llama mínimo (absoluto o

global) de la función. Se dice que “f” alcanza un mínimo absoluto en un punto 1x

de

X si xfinfxfXx

1

en X. Es decir, si se verifica: .Xxxfxf 1

Se denota: .XxxfmínxfmínmXx

Se dice que 1x

es un punto mínimo absoluto de “f” en “X” y el valor de dicho

mínimo es .xf 1

El mínimo absoluto es estricto si .Xxxfxf 1

Si una

función tiene mínimo absoluto, ésta lo puede alcanzar en varios puntos de su dominio.

Propiedades del supremo/ínfimo de una función

xfinfxfsupXxXx

xfsupxfinfXxXx

xgsupxfsupxgxfsupXxXxXx

xginfxfinfxgxfinfXxXxXx

xfsupxfsupXxXx

xfinfxfinf

XxXx

y,xfsupsupy,xfsupYyXxYXy,x

y,xfinfinfy,xfinf

YyXxYXy,x

555

Propiedades de las funciones acotadas

1. La suma de dos funciones acotadas es otra función acotada.

2. El producto de dos funciones acotadas es otra función acotada.

3. Si una función “f” está acotada, su opuesta “-f” también lo estará.

557

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ECUACIONES EN DIFERENCIAS · MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO 423 En este capítulo...

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