Ecuaciones diferencialesJuan Ruiz Alvarez´ Matematicas (Grado en Biolog´ıa) Introduccio´n...

IntroduccionEcuaciones diferenciales y soluciones: forma estandar de una ecuacion

Problema de valor inicialSolucion de ecuaciones diferencialesEcuaciones de variables separadas

Solucion de una ecuacion con 2 miembro dependiente solo de tEcuaciones autonomas

Modelo MaltusianoModelo Logıstico

Ecuaciones diferenciales

Juan Ruiz Alvarez1

1Departamento de Matematicas. Universidad de Alcala de Henares.

Matematicas (Grado en Biologıa)

Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)





Contenidos

1 Introduccion

2 Ecuaciones diferenciales y soluciones: forma estandar de una ecuacion

3 Problema de valor inicial

4 Solucion de ecuaciones diferenciales

5 Ecuaciones de variables separadasDefinicion de solucion general y solucion particular

6 Solucion de una ecuacion con 2 miembro dependiente solo de t

7 Ecuaciones autonomas

8 Modelo Maltusiano

9 Modelo Logıstico






Indice

1 Introduccion







8 Modelo Maltusiano

9 Modelo Logıstico






Introduccion

En el modelo mas simple de crecimiento de poblaciones, lavelocidad de crecimiento en cualquier instante es proporcional altamno de la poblacion en dicho instante. Si N(t) es el tamano dela poblacion en el instante t, t ≥ 0, entonces podemos expresarmatematicamente esta relacion como

dN

dt= rN(t), t ≥ 0

Como mencionamos en el tema anterior, este tipo de ecuaciones sedenominan ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones aparecenfrecuentemente en el modelado de procesos biologicos.






Introduccion

En este tema consideraremos ecuaciones del tipo

dy

dx= f (x)g(y)

Esta ecuacion diferencial es de primer orden, ya que solo apareceuna derivada. Mas especıficamente, este tipo de ecuaciones sedenomina de variables separadas, por motivos que veremos masadelante. Este tipo de ecuaciones se dividen en dos tipos:

dy

dx= f (x)

dy

dx= f (y)

Las segundas se usan frecuentemente en modelos biologicos.Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)





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Forma estandar de una ecuacion diferencial

dy

dt= f (t, y)

Solucion de una ecuacion diferencial

La solucion de una ecuacion diferencial sera una funcion quesustituida en la variable dependiente, satisface la igualdad paratodos los valores de la variable independiente.






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Tal y como se menciono en el tema anterior, un problema de valorinicial viene dado por una ecuacion diferencial y un valor inicialpara la variable dependiente (por ejemplo en t = t0):

dy

dt= f (t, y)

y(t0) = y0

Ejemplo:

y ′ = t3 − 2 sin(t)

y(0) = 3

Solucion: y(t) = t4

4+ 2cos(t) + c






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Volvamos al modelo de crecimiento de la introduccion:

dN

dt= rN(t), t ≥ 0

Una posible solucion de esta ecuacion es:

N(t) = N0ert, t ≥ 0

Para comprobarlo, podemos derivar N(t):

dN

dt= rN0e

rt = rN(t), t ≥ 0

Vemos que en cualquier punto (t,N(t)) de la grafica de N(t), lapendiente es igual a rN(t).






Una ecuacion de primer orden indica el comportamiento de laderivada de la funcion. Por lo tanto, para encontrar la solucion dedicha ecuacion, tendremos que integrar. Como no siempre esposible integrar una funcion, no siempre es posible obteneranalıticamente en forma explıcita la solucion de una ecuaciondiferencial.






Definicion de solucion general y solucion particular

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Comentaremos ahora un metodo general para resolver ecuacionesde la forma

dy

dx= f (x)g(y)

1 Dividimos ambos miembros por g(y) (suponiendo queg(y) 6= 0):

1

g(y)

dy

dx= f (x)

2 Separamos las variables de forma que cada una quede en unmiembro de la ecuacion. Para ello tratamos dx y dy como sifueran variables normales. Una vez hecho esto, integramos :

∫

1

g(y)dy =

∫

f (x)dx







Ejemplos

Ejemplos de ecuaciones separables:dydt

= f (t)dydt

= f (y) (Ecuacion autonoma).dydt

= t+1ty+t

Ejemplo de ecuacion no separable:dydt

= xy + 1







Solucion general

Es la solucion de la ecuacion diferencial cuando no nosproporcionan un valor inicial con el que despejar las constantes deintegracion.

dy

dt= f (t), y(t) =

∫

f (t)dt + C







Solucion particular

Es la solucion del problema de valor inicial.

dy

dt= f (t) (1)

y(t0) = = y0 (2)

y(t) =

∫ t

t0

f (t)dt + y0 (3)

Ejemplo:

dy

dt= 1− t + e−t

, y(0) = 1






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En muchas aplicaciones, la variable independiente representa eltiempo. Si la velocidad de variacion de una funcion depende solodel tiempo, la ecuacion diferencial resultante se denominaecuacion diferencial puramente temporal. Dicha ecuacion es dela forma,

dy

dx= f (x), x ∈ I

Siendo I un intervalo y x el tiempo. Segun se vio en el temaanterior,

y(x)− y(x0) =

∫ x

x0

f (u)du → y(x) =

∫ x

x0

f (u)du + y(x0)






Ejemplo:

Suponga que el volumen V (t) de una celula en el instante t varıade acuerdo con

dV

dt= sin(t), con V (0) = 3.

Calcule V (t).






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Muchas de las ecuaciones que modelan situaciones biologicas sonde la forma,

dy

dx= g(y)

Donde el miembro izquierdo no depende explıcitamente de x . Estasecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales autonomas.Podemos resolverlas por separacion de variables:

∫

dy

g(y)=

∫

dx






Estudiaremos dos casos:

1 g(y) = k(y − a). Ejemplo de este caso es el modelo decrecimento dN

dt= rN(t) (modelo Maltusiano).

2 g(y) = k(y − a)(y − b). Ejemplo de este caso es la ecuacionlogıstica dN

dt= rN(1 − N

k), con N(0) = N0.






g(y) = k(y − a)

dy

dx= k(y − a) →

∫

dy

y − a=

∫

kdx → y = Cekx + a

Si conocemos el punto (x0, y0) de la solucion, entonces podemosdespejar C .Para obtener este resultado, hemos dividido por (y − a). Esto solose puede hacer si y 6= a. Si y = a, entonces dy

dx= 0 y la funcion

constante y = a es la solucion.






g(y) = k(y − a)(y − b)

dy

dx= k(y − a)(y − b) →

∫

dy

(y − a)(y − b)=

∫

kdx

Aquı se presentan dos posibilidades1 Si a = b,

∫

dy

(y − a)2=

∫

kdx

2 Si a 6= b, descomponemos en fraciones simples:

∫

dy

(y − a)(y − b)=

∫

(A

(y − a)+

B

(y − b))dy =

∫

kdx






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Modelo Maltusiano

Modelo Maltusiano

En el modelo Maltusiano, la velocidad de crecimiento de lapoblacion es proporcional al tamano de la poblacin:

dN

dt= rN

Con N(0) = N0 y siendo r una constante positiva.






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Modelo Logıstico

Ecuacion Logıstica

La ecuacion logıstica describe la variacion del tamano de unapoblacion en la que el crecimiento per capita es dependiente de ladensidad:

dN

dt= rN

(

1−N

K

)

Con N(0) = N0 y siendo r y K constantes positivas.






Claudia Neuhaser. Matematicas para ciencias. Ed. Pearson-Prentice Hall.


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