Cualquier funcin Yp` libre de parmetros arbitrarios que satisface la ecuacin:(7) es una solucin particular.

Ahora si Y1, Y2,. Son soluciones de:

(6) en un intervalo I y Yp es cualquier solucin particular de: (7) en I, entonces (10)

Es la solucin general de (7)

Sea cualquier solucin particular de la ecuacin diferencial lineal no homognea de n-simo orden (7) en un intervalo , y sea un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacin diferencial homognea relacionada (6) en I.Entonces la solucin general de la ecuacin en el intervalo es

Donde las son constantes arbitrarias.

Sea el operador diferencial definido en (8), y sean y soluciones particulares de la ecuacin no homogneas = . Si se define - , entonces por la linealidad de L se tiene

Esto demuestra que es una solucin de la ecuacin homognea En consecuencia, por el Teorema 4.5 y entonces

O bien + YP(x)

*

Solucin General: y = c1y1(x) + c2y2 + . . . + cnyn(x)

Para resolver una ED Lineal no homognea, primero se resuelve la ecuacin homognea relacionada y luego se encuentra una solucin particular de ecuacin no homognea.

y = funcin complementaria + alguna solucin particular.y = yc +yp.

a) Una solucin particular de y" + 9y = 27Es yp = 3 ya que yp" = 0 y 9(3) = 27b) Demuestre que yp = x3 - x es una solucin particular de x2y" + 2xy' - 8y = 4x3 + 6xyp'= 3x2 - 1yp" = 6x

Sustituyendo en la ec. dif. x2(6x) + 2x(3x2 - 1) - 8(x3 - x) = 4x3 + 6x6x3 + 6x3 - 2x - 8x3 + 8x = 4x3 + 6x4x3 + 6x = 4x3 + 6x yp = x3 - x si es una solucin particularSolucin general de la ec. No-homogneay = yc(x) + yp(x)Donde yp(x) es la solucin particularyc(x) es la solucin complementaria (Solucin de la ec. homogna).

*