HERRAMIENTAS

RESOLVIENDO ECUACIONES

AUTORESARTURO ROQUE LÓPEZMARIA DOLORES URRUTIA HURTAULTELVIA GLORIA SANCHEZ MENDEZMARIA DEL CARMEN GONZÁLEZ HERNÁNDEZ

CONTENIDO• ¿Qué es una ecuación • Elementos de una ecuación

ECUACIONES

• Ecuación lineales o de primer grado • Forma a + x=b• Forma ax = b• Forma ax + b = c

ECUACIONES LINEALES

• Ecuación Cuadrática• Clasificación• Formas de Resolución: • Factorización• Formula general

ECUACIÓNES CUADRATICAS

ECUACIÓN

Una ecuación es una igualdad entre dos

expresiones algebraicas denominadas

miembros, en las que aparecen valores

conocidos o datos, y desconocidos o

incógnita, relacionados mediante operaciones

matemáticas.

a x = b

a x + b = c

x + a = b

ax2 + bx +c =0

ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN

3 + x = 15 1er miembro 2do miembro

igualdad

Valores conocidos o

datos

Valore desconocidos o

incógnitas

Operación

3 y 15 x suma

ECUACIONES LINEALES

Se dice que una ecuación es de primer

grado cuando la variable “x” no está

elevada a ninguna potencia, es decir, su

exponente es 1.

a x + b = c

1

exponente

ECUACIÓN LINEAL DE LA FORMA

a + x =b

Las ecuaciones de la forma a + x = b se resuelve así:

Tenemos 73 + x =125

1. Despejamos la x, es decir dejar la x sola a un lado del signo igual.

73 + x =125

2. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual. Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando.

73 + x =125

Pasarlo al segundo miembro

- 73

3. Posteriormente se realizan las operaciones indicadasX = 125 – 73

X =52

4. Se realiza la comprobación, tomando la ecuación original y en lugar de la incógnita se coloca el valor encontrado.

Comprobación

4. 73 + x =125

73 + 52 = 125 125 = 125

Como es una igualdad ambos miembros tienen que da el mismo resultado

Nos dice que “x” vale 52

EJEMPLO:

Laura va al mercado con un billete de $50, después de efectuar sus compras, le sobraron $34.50. ¿Cuánto gasto en el mercado?

La ecuación que expresa el problema es:

34.50 + x = 50 “x” es el valor que gasto en el mercado

SOLUCIÓN

34.50 + x = 50

x = 50 - 34.50 despejamos x y realizamos operaciones

x = 15.50 encontramos el valor de “x”

Comprobación

34.50 + x = 50 34.50 + 15.50 = 50

50 = 50

Por lo tanto 15.50 gasto en el mercado

ECUACIÓN LINEAL DE LA FORMA

ax = b

 Para resolver ecuaciones de la forma  a · x = b se aplica la propiedad de las igualdades, que dice: “Si se multiplica o divide por un mismo número a ambos lados de la igualdad,

ésta se mantiene. “

Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número.

PASOS Tenemos 5x = 30

1. Se divide siempre por el número que multiplica a la “x”., o se multiplica por el número que esta dividiendo a “x”

5 • x = 30

2. Realizamos las operaciones

x = 6

Esta multiplicando por lo tanto vamos a dividir por ese número ambos miembros

Encontramos el valor de “x”

Comprobación

1. Tomamos la ecuación original

5x = 302. Sustituimos la incógnita por el valor encontrado

5x = 30

5(6) = 30

30 =30

EJEMPLO

Alejandra compró dos cuadernos en la papelería y le cobraron $32.00 ¿Cuánto le costo cada cuaderno?

La ecuación que expresa el problema es:

2n = 32.00

“n” es el precio del cuaderno que nos interesa conocer

SOLUCIÓN 2n = 32

n = 16Comprobación

2n = 32 2 (16) = 32 32 = 32

Por lo tanto cada cuaderno costo $16

Ambos miembros los dividimos

Encontramos el valor de “n”

ECUACIÓN LINEAL DE LA FORMA

ax + b = c

                     Para resolver este tipo de ecuaciones ax + b = c es:

1. Se resta a “b” en ambos miembros , si su signo es positivo y se suma si su signo es negativo.

ax + b = c2z – 10 = 16

2z – 10 +10 = 16 +10

2. Realizamos operaciones y nos queda 2z = 26

3. Se divide a ambos miembros de la igualdad entre “a”En este caso es 2 2z = 26

Nos queda z = 13

Comprobación

Sustituimos en el lugar de la incógnita el valor encontrado.

2z – 10 = 16 2(13) - 10 = 16 26 - 10 = 16 16 = 16

EJEMPLO El perímetro de un rectángulo es 16 cm. Si un lado mide 5 cm, ¿Cuál es la longitud del otro lado?.

La ecuación que expresa el problema es: 2x + 2 • 5 = 162x + 10 = 16

Donde “x” es el valor de la longitud que no conocemos su valor

5 cm

y

SOLUCIÓN

2x + 10 = 162x + 10 -10 = 16 – 10

2x = 6

x = 3

Ambos miembros les restamos 10

Ambos miembros los dividimos entre dos para dejar a “x” solita

Comprobación Sustituimos en el lugar de la incógnita el valor encontrado.

2x + 10 = 162(3) + 10 = 166 + 10 = 16

16 =16

Por lo tanto el lado mide:

2x = 2(3) = 6 medida del lado

ECUACIONES CUADRATICAS

Una ecuación cuadrática o de segundo

grado es aquella en la cual la variable o

incógnita esta elevada al cuadrado y tiene la siguiente forma:

ax2+bx+c = 0

ECUACIONES CUADRATICAS

Termino linealCoeficient

e

Termino cuadrático

Termino Independiente

CLASIFICACION

Según su numero de términos una ecuación cuadrática con una incógnita puede ser:

completa ax2 + bx +c = 0 3x2 - 5x +6 = 0

Cuando a=1 se tiene la forma ax2+bx+c = 0

1x2+3x-2 = 0

Incompleta

Cuando le hace falta un termino lineal ax2 + c = 0 2x2 _ 3 = 0Cuando le hace falta un termino independiente ax2+bx = 0

3x2 _ 5x = 0Cuando le falta el termino lineal e independiente

ax2 = 0

16x2 = 0

FACTORIZACIÓN

Resolución de una ecuación cuadrática por el método de factorización:

Tenemos x² - 4x = 12

1) La ecuación debe de estar igualada a cero. Por lo que a cada lado de la igualdad le restaremos 12.

x² - 4x = 12

x² - 4x-12 = 12-12 x² - 4x -12 = 0

2) Se expresa el lado de la igualdad que no es cero como producto de factores.

x² - 4x-12 = 0

(x )(x ) = 0

como no es un trinomio cuadrado perfecto, hay

que buscar los factores que al multiplicarse nos de cómo resultado -12 y que cuando los sumemos el resultado sea -4.

x² - 4x-12 = 0

(x +2 ) (x - 6 )= 0

3) Por ultimo se iguala a cero cada factor y se despeja la variable.

(x +2) = 0 (x - 6) = 0 x+ 2 = 0 x – 6 = 0

(+2) x (-6) = -12

(+2) + (-6) = -4

Para poder despejar a x en las igualdades si la constante tiene signo positivo se resta a los dos lados de la igualdad y si tiene signo negativo se

suma. x+2-2=0-2 x -6 +6 = 0 + 6

x= -2 x = +6

Los valores de x son: -2 y +6

Comprobación:Se sustituyen cada uno de los valores encontrados.

X = -2 x = +6

x² - 4x = 12 x² - 4x = 12

(-2)² - 4(-2) =12 (+6)² -4(+6) = 12

4 + 8 = 12 36 – 24 = 12

12 = 12 12 = 12

EJEMPLOEl área de un rectángulo es de 32m², si se sabe que uno de sus

lados mide 4 metros mas que el otro, ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?

x

x + 4

La formula del rectángulo es: Base x Altura, por lo que tenemos

B = x + 4 , la altura = x y el A= 32m², entonces

32 = (x+4) (x) multiplicando los factores tenemos la ecuación cuadrática:

32 = x² + 4x

x² + 4x = 32

Área = 32m²

solucion

x² + 4x = 32

1) Igualamos a cero la ecuación

x² + 4x - 32 = 32 - 32

x² + 4x -32 = 0

(x- 4) (x+ 8 ) = 0

Para igualar a cero la ecuación le restamos 32 a los dos lados de

la igualdad

El -4 y 8 son los factores que al

multiplicarlos nos da -32 y al sumarlos 4

X – 4= 0 X +8 = 0

X -4 +4= 0 + 4 X + 8 - 8= 0 -8

X= 4 X = - 8

Los valores de x son 4 y -8, pero para resolver el problema utilizaremos el valor de 4, ya que la medida de un lado del rectángulo no puede ser negativa.

Base = x + 4 altura = xBase = 4 + 4 = 8 altura = 4

Las medidas de los lados del rectángulo son 8m y 4m respectivamente

Se iguala a cero cada uno de los factores

COMPROBACION

sustituimos el valor de x=4, en la ecuación

x² + 4x = 32

(4)² + 4(4) = 32

16 + 16 = 32

32 = 32

FORMULA GENERAL

La formula general nos permite resolver cualquier tipo de ecuación cuadrática.

La expresión es conocida como Discriminante y determina el numero y tipo de soluciones.

Si su valor es positivo, tiene 2 tipos de soluciones reales, una positiva y otra negativa.

Si su valor es cero tiene una solución real

Si su valor es negativo tiene 2 soluciones imaginarias.

Resolución de una ecuación cuadrática por medio de la formula general

6x² - 8x+2=0 1) Identificamos en la ecuación cada

uno de los valores para a, b y c 6x² - 8x+2= 0

a=6 a=coeficiente de

x²

b=-8b=coeficiente

de x

c=2c=Termino

independiente

2) Se sustituye cada uno de los valores en la formula general.

a=6, b=-8 y c=2

Se realizan las operaciones

indicadas.

Xı = 1 X2 = ⅓

La discriminante nos indica que

su solución tiene 2 números

reales distintos

Comprobación: Reemplazamos los valores de x en la ecuación, para

comprobar si se cumple la igualdad.Con el valor de Xı=1 Con el valor de X2 =⅓

6x² -8x+2=0 6x² -8x+2 = 0 6(1)² -8(1)+2=0 6(1/3)² -8(1/3)+2 = 0

6 – 8 + 2 = 0 6(1/9) - 8/3 + 2 = 0

8 – 8 = 0 6/9 – 8/3 + 2 = 0

0 = 0 2/3 – 8/3 + 2 = 0 -6/3 + 2 = 0 -2 + 2 = 0 0 = 0

EJEMPLOLos lados de un triangulo rectángulo tiene por medidas en

centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

2x + 2 2x + 4

2x

Utilizando el teorema de Pitágoras a² + b² = c² ; tenemos que:

a² = 2x, b² = 2x + 2 y c² = 2x + 4

Entonces:

(2x)² +(2x + 2)² = (2x + 4)² desarrollando los cuadrados

4x² + 4x² + 8x + 4 = 4x² + 16x + 16 igualamos a cero la igualdad

4x² + 4x² + 8x + 4 - 4x² - 16x - 16 = 0 Se reducen términos semejantes

Por lo que se tiene la ecuación:

4x² - 8x – 12 = 0

4

x² - 2x – 3

a b cSOLUCIONUtilizando la formula general

=3

Se sustituyen cada uno de los valores en la formula

De los 2 valores de x , el que permitirá

resolver el problema es 3

Tomando como valor para x a 3 y sustituyéndolo en cada una de las ecuaciones tenemos que:

a=2x b= 2x+2 c=2x+4 a= 2(3) b = 2(3)+2 c=2(3)+4 a=6 b= 8 c= 10

Las medidas de los lados del triangulo son: 6cm, 8cm y 10cm respectivamente.

COMPROBACION x² - 2x – 3= 0

3² - 2(3) – 3 = 0 (-1)² - 2(-1) – 3 = 0

9 – 6 – 3 = 0 1 + 2 – 3 = 0

9 – 9 = 0 3 – 3 = 0

0 = 0 0 = 0

X= - 1

X = 3