Ecuaciones y Desigualdades...

Lección 2.3

Ecuaciones y Desigualdades Cuadráticas

02/15/2018 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 23

Actividades 2.3

• Capítulo 2 –

o Sección 1.5 Ecuaciones Cuadráticas y Aplicaciones. Realice

los ejercicios impares del 7-29, 33-51

o Sección 3.4 Funciones Cuadráticas impares 47 – 55

o Seccíón 1.4 – Números Complejos; Ejercicios de Práctica:

Impares desde el 7 al 10, 19 al 43,

• Referencias en el Web:

o José Anadalón: Tipos de Ecuaciones Cuadráticas;

Resolviendo ecuaciones cuadráticas por factorización;

Fórmula Cuadrática

o Khan Academy: Solving Ecuaciones Cuadráticas (1)

tomando la raíz cuadrada; (2) Por factorización; (3) Método

de Completar el Cuadrado

o Julio Profes: Desigualdades Cuadráticas Ejercicio 1;

Ejercicio 2: Ejercicio 3; Ejercicio 4

Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/15/2018 2 de 23

https://youtu.be/v1f91U_yRAg

https://youtu.be/dXakJkBRpqM

https://youtu.be/ETQzGjmGAz4

https://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/quadratics-square-root/a/solving-quadratic-equations-by-taking-square-roots

https://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving-quadratic-equations-by-factoring/a/solving-quadratic-equations-by-factoring

https://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving-quadratics-by-completing-the-square/a/solving-quadratic-equations-by-completing-the-square

https://youtu.be/CiCp1-3n3sU

https://youtu.be/kmLnD8c-uJA

https://youtu.be/wzV2ZkKhB7A

https://youtu.be/AjCwqh7Ix2o

• Es una ecuación cuadrática es una ecuación con una

variable que se puede expresar de la forma:

La Ecuacion Cuadrática

2 0ax bx c

02/15/2018

a, b, c son números reales. a es distinto de 0.

▪ Ejemplos:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

3𝑥2 − 27 = 0

2𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0

−3𝑥2 − 𝑥 = 0

Soluciones:

−3

2, 2

0 ,−1

3

−3 , 3 = ±3

3 de 23

Resolución por la Propiedad de la Raíz Cuadrada

• Si x, a son dos números reales tal que a es positivo:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/15/2018

𝑥2 = 25

𝑥2 = 𝑎 𝑥 = 𝑎 ó 𝑥 = − 𝑎

𝑥 = 25 = 5 ó

𝑥 = − 25 = −5

3𝑥2 = 27

𝑥 = ± 9 = ±3

𝑥2

3=27

3

𝑥2 = 9

𝑥 = ±5

4 de 23

Mas ejemplos• Resuelva:


(2𝑦 + 5)2 = 8

2𝑦 + 5 = 8

2𝑦 + 5 =

2𝑦 + 5 = − 8

2𝑦 = −5 + 2 2

𝑦 =−5 + 2 2

2

2 2 2𝑦 + 5 =

2𝑦 = −5 − 2 2

𝑦 =−5 − 2 2

2

−2 2

𝒚 =−𝟓 ± 𝟐 𝟐

𝟐

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Resolución por la propiedad del Cero

• Si a, b son dos números reales:


𝑥(𝑥 + 2) = 0

𝑎 ∙ 𝑏 = 0 𝑎 = 0 ó 𝑏 = 0

𝑥 = 0 ó 𝑥 + 2 = 0

𝑥 = −2

(𝑥 + 4)(𝑥 − 3) = 0

𝑥 + 4 = 0𝑥 = −4

𝑥 − 3 = 0𝑥 = 3

𝑥(𝑥 − 9) = 0

𝑥 = 0 ó 𝑥 − 9 = 0

𝑥 = 9

𝑥2 − 9𝑥 = 03(𝑥2 − 4) = 0

𝑥 − 2 = 0 ó 𝑥 + 2 = 0𝑥 = 2

3𝑥2 − 12 = 0

3(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0

𝑥 = −2

Soluciones: 0,−2

Soluciones: 0, 9

Soluciones: −4, 3

Soluciones: ±2

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Resolución por factorización

• Resuelva.

02/15/2018

2 6 8 0x x

( 4)( 2) 0x x

4 0x 2 0x

4x 2x


2𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0

2𝑥2 + 4𝑥 − 3𝑥 − 6 = 0

2𝑥 𝑥 + 2 − 3(𝑥 + 2) = 0

2𝑥 − 3 (𝑥 + 2) = 0

2𝑥 − 3 = 0 𝑥 + 2 = 02𝑥 = 3

𝑥 =3

2

𝑥 = −2

Soluciones: 4, 2Soluciones:

3

2, −2

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Completando el cuadrado

• Algunos trinomios se pueden expresar como el cuadrado de un

binomio. Ejemplo:

• Si se desea modificar un binomio para convertirlo a un trinomio

que se pueda expresar como un cuadrado perfecto añádale el

término 𝑏

2

2

• Ejemplo:

02/15/2018

22 )3(96 xxx

22 )3(96 xxx

22 )1(12 xxx

22 )2

1(

4

1 yyy

22 ?)(?8 xxx

𝑏

2

2

= 𝑏

2


𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 𝑥 + 4 2

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Resolución completando el cuadrado• Resuelva

02/15/2018 Prof. José G. Rodríguez Ahumada

𝑥2 + 8𝑥 − 4 = 0

𝑥2 + 8𝑥 = 0 + 4

𝑥2 + 8𝑥 = 4

𝑥 + 4 2

𝑏

2

2

=

𝑏

2

+ 16 + 16

= 20

2𝑥2 + 10𝑥 − 2 = 0

𝑥2 + 5𝑥 = 0 + 1

𝑥2 + 5𝑥 = 1

𝑥 +5

2

2

+5

2

2

+5

2

2

=29

4𝑥 + 4 = ± 20

𝑥 + 4 = ±2 5

𝑥 = −4 ± 2 5

𝑥2 + 5𝑥 − 1 = 0

𝑥 +5

2= ±

29

4

𝑥 = −5

2±

29

2

= ±29

2

=−5 ± 29

2

9 de 23

Fórmula cuadrática• Sea 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 entonces,

Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, la ecuación sólo tiene 1 solución real

Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, la ecuación tiene 2 soluciones reales

Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, la ecuación NO tiene solución real

• Ejemplo: Identifique el tipo de solución de


−𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0

𝑎 = −1

𝑏 = 3

𝑐 = −4

𝑏2 − 4𝑎𝑐 =

(3)2−4(−1)(−4) =

9 − 16 = −7

𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

10 de 23

Resolución por la Fórmula Cuadrática

• Resuelva 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0

• Entonces,

o Paso 1: Identifique coeficientes: 𝑎 = 2, 𝑏 = −3, 𝑐 = 1o Paso 2: Reemplace los valores en la fórmula


𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−(−3) ± (−3)2−4(2)(1)

2(2)

𝑥 =3 ± 9 − 8

4=3 ± 1

4=3 ± 1

4

=3 + 1

4

=3 − 1

4

= 1

=1

2

Soluciones: 1,1

2

11 de 23

Ejercicio

• Resuelva la ecuación: . Luego,

aproxímela a la centésima más cercana.

a

acbbx

2

42

0842 xx

)1(2

])8)(1(4)4()4([ 2 x

2

]32164[ x

2

]484[ x 322x


2

]344[ x

322x

322x

464101615.5

464101615.1

46.5

46.1

12 de 23

Ejercicio del Texto


DESIGUALDADES

CUADRÁTICAS


3𝑥2 − 27 ≤ 0

2𝑥2 − 𝑥 − 6 > 0

−3𝑥2 − 𝑥 < 0

14 de 23

Ejemplo 1

• Resuelva

• Paso 1 – Resuelva la ecuación cuadrática

• Paso 2 – Identifique los intervalos de interés

• Paso 3 – Identifique los signos de la expresión al evaluarlo en

valores en los intervalos de interés


𝑥2 + 𝑥 − 6 < 0

𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0

(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 0

𝑥 = −3 , 𝑥 = 2

0-3 2−∞,−3 −3, 2 2,∞

+ − +

Solución: −𝟑, 𝟐

15 de 23

z

Ejemplo 2

• Resuelva

• Paso 1 – Resuelva la ecuación cuadrática

• Paso 2 – Identifique los intervalos de interés

• Paso 3 – Identifique los signos de la expresión al evaluarlo en

valores en los intervalos de interés


𝑥2 − 1 ≥ 4𝑥

𝑥2 − 4𝑥 − 1 = 0

02 − 5 2 + 5

−∞, 2−√5 2 − 5, 2 + 5 2 + 5,∞

+ − +

Solución:

𝑥 =−(−4) ± (−4)2−4(1)(−1)

2(1)=4 ± 16 + 4

2

=4 ± 2 5

2= 2 ± 5 ≈ −0.2, 4.2

𝑥2 − 4𝑥 − 1 ≥ 0

(−∞, ൧2 − 5 ∪ ൣ2− 5, )∞

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Ejercicios del Texto

• Resuelva y exprese en notación de intervalos


LOS NÚMEROS COMPLEJOS


Son números de la forma: 𝑎 + 𝑏𝑖 donde 𝑎 (parte real), 𝑏 (parte imaginaria)

son números reales, 𝑖 es la unidad imaginaria tal que 𝒊𝟐 = −𝟏:

Ejemplos: −5 + 7𝑖 -5 es la parte real, 7 la parte imaginaria

4𝑖 0 es la parte real, 4 es la parte imaginaria

2i 13i ii 2 i4i 22 ii 1

5i ii 4 i1i i6i 24 ii 1

Potencias de 𝑖:

Las únicas potencias de 𝑖 son: 1 , ,1 , ii

18 de 23

7i 34 ii i8i 44 ii 1

2 7 2 7 es la parte real, 0 es la parte imaginaria


Operaciones con los números complejos

• Realice la operación indicada:

o (3 – 4i) + (-5 + i) = -2 – 3i

o (-1 – 2i) – (2 – i) = -3 – i

o (3 - 4i)(-5 + i)

o (-3 + 4i)(-3 - 4i)

2420315 iii

)1(420315 ii

i2311

21612129 iii

)1(169

169

25

19 de 23


El conjugado

• El conjugado de un número complejo

a + bi es el número complejo a – bi.

o El conjugado de 3 – 2i es 3 + 2i

o El conjugado de -5 - 4i es -5 + 4i

o El conjugado de -7 es -7

o El conjugado de -6i es +6i

• Propiedad de los conjugados:

(a + bi)(a - bi) = a2 + b2

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División de números complejos


1

2

i

i

02/15/2018

1 2

2 2

i i

i i

2

2 2

2 2

2 1

i i i

2 ( 1)

5

i

3 1

5 5i

2 3

4 3

i

i

2 3 4 3

4 3 4 3

i i

i i

2

2 2

8 6 12 9

4 3

i i i

17 6

25

i

17 6

25 25i

3

5

i

21 de 23

Parte real Parte imaginaria

3

5

−1

5

Parte real Parte imaginaria

17

25

−6

25

Ejemplo

• Resuelva las ecuaciones cuadráticas en los números complejos.


𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0

Por la formula cuadrática:

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

=−(1) ± (1)2−4(1)(1)

2(1)

=−1 ± −3

2

=−1 ± 𝑖 3

2

−𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0

Por la formula cuadrática:

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

=−(3) ± (3)2−4(−1)(−4)

2(−1)

=−3 ± −7

−2

=−3 ± 𝑖 7

−2

22 de 23

=3 ± 𝑖 7

2

=−1

2±1

2𝑖 3 =

3

2±1

2𝑖 7

−3 = −1 ∙ 3

= −1 ∙ 3

= 𝑖 ∙ 3

Ejercicios del Texto

• Para cada número halla la parte real, la parte imaginaria y el conjugado


Lleve a cabo la operación indicada y escriba en forma estándar.

23 de 23

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