FACULTAD DE CIENCIAS EXACTASDEPARTAMENTO DE MATEMATICASUNIVERSIDAD ANDRES BELLO

Guıa de Ecuaciones DiferencialesFMM 230 (Calculo III)

1. Considere la ecuacion diferencialy − xy′ = a (1 + x2y′) , a > 1

(a) Encuentre la solucion general

(b) Encuentre la solucion que verifique y1(1) =a

a+ 1

2. Mostrar que la ecuacion diferencial2x4yy′ + y4 = 4x6

Se reduce a una ecuacion homogenea mediante la transformacion y = zn, para cierto valor de n. Determine elvalor de n y resuelva la ecuacion.

3. La ecuacion(2x3y − 2y3) dy = (3x5 + 3x2y2) dx

Se reduce a una ecuacion homogenea haciendo un cambio de variable de la forma x = up, y = vq, con p , qconstantes adecuadas. Encuentre dichas constantes y resuelva la ecuacion.

4. (a) Muestre que la ecuacion diferencialdy

dx=

y

x+ xmynf

(yx

)se transforma en ecuacion de variable separadas usando el cambio de variable y = vx.

(b) Use lo anterior para encontrar la solucion de

dy

dx=

y

x+

sec2(yx

)y2

.

5. Encuentre la solucion particular de la ecuacion[ln(ln y)

x+

2

3xy3 + 6x

]dx+

[ln x

y ln y+ x2y2 + 4e−2y

]dy = 0

que pasa por el punto (1, 1/2)

6. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

(a) y′ + y cos (x) = sin(x) cos(x) (b) y′ − 2xy = 2xex2

7. Un tanque de 200 litros de capacidad esta lleno de una solucion salina que contiene 60 kilos de sal. En t = 0 seabren simultaneamente una llave de entrada A y una llave de salida B. Por A entra solucion con concentracion1/10 kilos por litro a razon de 5 litros por segundo, y por B sale solucion a razon de 10 litros por segundo.

(a) Determine el tiempo t = t0 que tarda el tanque en quedar vacio.

(b) Determine la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante t < t0.

(c) Calcule la concentracion de la sal en el tanque para t = t0/2

8. Encuentre la solucion general de la ecuacion de Bernoulli

dy

dx+

1

2tan (x) y = −x sin (x) y3

9. Considere la ecuacion diferencialy′ + 2(1− x)y − y2 = x(x− 2)

(a) Encuentre una solucion particular de la forma y = Ax+B.

(b) Encuentre solucion general.

(c) Encuentre una solucion particular que pasa por le punto (2, 2).

10. Para x > 0 considere la ecuacion de Ricatti

y′ + e−2xy2 − 1

x(1 + 4x+ 2x2) y = −e

2x

x(1 + x+ 2x2 + x3)

(a) Encuentre una solucion particular de la forma y = e2x(Ax+B).

(b) Encuentre su solucion general.

11. Para y 6= 0 considere la ecuacion diferencial

2ydy

dx= 5 + 2x− 2xy2

a Encuentre la solucion general implıcita usando factores integrantes.

b Encuentre la solucion particular que pasa por el punto (0,√

5) y el intervalo maximo donde esta definida.

12. Para1

2π< x <

1

π, considere la ecuacion de Ricatti

y′ =1

xy2 − 1

xy +

1

x3

a Encuentre una solucion particular de la forma y1(x) = xα cot

(1

x

).

b Encuentre la solucion general.

13. Para f(x) 6= g(x) considere la ecuacion diferencial

y f(xy) dx+ x g(xy) dy = 0 (1)

a Pruebe que µ (x, y) =1

xy ( f(xy)− g(xy))es factor integrante para (1).

b Use la parte a para encontrar la solucion general implıcita de

(xy2 + 2y) dx+ (3x2y − 4x) dy = 0 (2)

14. Muestre que el cambio de variable z = g(y) convierte la ecuacion

g′(y) y′ + p(x)g(y) = f(x)

en una ecuacion lineal.

a Usando lo anterior encuentre la solucion general implicita de la ecuacion

ey2

(2y y′ +

2

x

)=

1

x2

b Encuentre la solucion particular que pasa por el punto (2,−(ln(2))1/2) y el intervalo maximo donde esta de-finida.

15. Para x 6= 0 considere la ecuacion diferencial

xdy

dx= 2− x2 + (2x+ 1) y − y2 (1)

2

a Demuestre que el cambio de coordenadas z = x−y+1 transforma la ecuacion (1) en la ecuacion con variablesseparadas

dz

dx=

z2 − z − 2

x(2)

b Encuentre las soluciones constantes y la solucion general implıcita de la ecuacion (2).

c Encuentre la solucion particular (1) que pasa por el punto (−1,−1) y el intervalo maximo donde esta definida.

16. Una partıcula de masa unitaria se dispara verticalmente hacia arriba en un campo gravitacional constante g = 10metros por segundo cuadrado con una velocidad inicial v0,= 100 metros por segundo. Suponga que el medioejerce una fuerza de resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instantanea con una constante deproporcionalidad k = 0, 2 newton por segundo cuadrado divido por metro cuadrado

(a) Determine la altura maxima que alcanza la partıcula.

(b) Determine el tiempo que demora la partıcula en alcanzar su altura maxima. Deje expresado en terminos dearcotangente.

17. Para y > 1 considere la ecuaciondy

dx=

y2 − 1

(y2 − 1)√y + 1− x

a Determine el factor integrante.

b Encuentre la solucion general implıcita.

18. Considere la ecuacion diferencial

dy

dx= (x+ y + 1)2 − 2 (3)

a Demuestre que el cambio de variable z = x + y + 1 transforma la ecuacion (1) en la ecuacion con variablesseparadas

dz

dx= z2 − 1 (4)

b Encuentre las soluciones constantes y la solucion general implıcita de la ecuacion (2)

c Encuentre la solucion particular de (1) que pasa por el punto (0, 1) y el intervalo maximo donde esta definida.

19. Sabiendo que la ecuacion diferencial(3xy +

cos x

x

)dx+

(2x2 +

sin x

xy

)dy = 0

admite un factor integrante µ (x, y) = xα(y), hallar su solucion general.

20. Obtener las trayectorias ortogonales a la familia de curvas:

3x2 + y2 = cx , c ∈ R

21. a) Demuestre que la ecuacion de Ricatti y′ = a(x)y2 + b(x)y + c(x) se transforma en una ecuacion lineal con

el cambio de variable dependiente y = φ(x) +1

z, donde φ(x) es una solucion particular.

b) Usando lo anterior, resuelva la ecuacion

y′ = 2 tan x sec x− y2 sinx

sabiendo que y = secx es una solucion particular.

22. Resuelva la ecuacion diferencial(x2 + y2 + 1) dx− 2xy dy = 0

sabiendo que admite un factor integrante de la forma µ(x, y) = f(x2 − y2).

3

23. Encuentre la ecuacion de todas las curvas con la propiedad de que en cada uno de sus puntos el producto de suscoordenadas por la pendiente es igual al cuadrado de la distancia del punto al origen.

24. Resolver la ecuacion diferencialy′ +

y

x− (2 + x) y2 = 0

25. a) Si φ(x) es una funcion derivable con continuidad en R, resuelva la ecuacion diferencial:

(φ′(x) sin y − 3y) dx+ (φ(x) cos y − 3x) dy = 0

b) Se considera la ecuacion diferencial:

2xy(y + 2) dx+ (y2 − 2x2 − 2x2y) dy = 0

Obtener un factori integrante de la forma µ(x, y) = f(2x2 + y2).

26. Resolver la ecuacion diferencial(x3 + y3) dx− xy2 dy = 0

y hallar las soluciones particulares que pasan por el punto (−1, 1).

27. Resuelva la ecuacion diferencialx2y2y′ + xy3 = cosx

y hallar las soluciones particulares que pasan por el punto (π, 0).

28. Resuelva la ecuacion diferencial:

x2y′′ + 2xy′ +a2

x2y = 0 , a 6= 0

Transformandola, mediante el cambio de variable independiente x =1

t, en una ecuacion lineal con coeficientes

constantes.

29. Se considera la ecuacion diferencial lineal:

x′′(t)− 2x′(t) + x(t) = eat

(a) Resuelve la ecuacion homogenea asociada.

(b) Resuelve la ecuacion completa segun los valores de a ∈ R.

4