Ed2 Practicas Tema 1
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TEMA 1
SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE
PRCTICAS
Dr. Alberto Gutirrez B.
Universidad Nacional San Luis Gonzaga de Ica
Departamento de Matemticas
-
2 Dr. A. Gutierrez Borda Departamento de Matemticas - UNSLG
Ecuaciones Diferenciales
TRANSFORMADA DE LAPLACE
PRCTICA 1
------------------------------------------------------------------------------- Alberto Gutirrez Borda Email: [email protected]
Web: http://www.sabermatematica.blogdiario.com
1. Dadas las siguientes funciones, estudie cuales son continuas en [ . Justifica tu
respuesta.
a) ( b) ( ( c) (
d) (
e) (
En los problemas del 2 al 21, encontrar { ( } para cada una de las funciones:
2. 1 si 0 1
( )1 si 1
tf t
t
R.:
2 1( ) sF s e
s s
3. t si 0 1
( )1 si 1
tf t
t
R.: 2 2
1 1( ) sF s e
s s
4. ( ) tf t e sent R.: 2
1( )
2 2F s
s s
5. 2( ) 6 3f t t t
R.: 3 22 6 3
( )F sss s
6. (
.
7. (
8. ( | |
9. (
10. ( {
11. ( ,
12. ( ) tf t e senht R.:
1 1( )
2 2 2F s
s s
13. ( ( .
14. ( ) (2 ).cos(2 )f t sen t t R.: 22
( )16
F ss
15. 2 5( ) 3 ( 3 )tf t e t sen t
16. 2( ) cos (2 ) , nf t t t n Z
-
3 Dr. A. Gutierrez Borda Departamento de Matemticas - UNSLG
Ecuaciones Diferenciales
17. (
. R.:
, s > 0
18. ( ) ( )btf t ae msen nt c
19. 3( ) cos(3 ) (2 ) 1f t t t tsen t
20. 5( ) 3tf t e senh t R.:
2
3( )
5 9F s
s
21. 2( ) (6 )tf t te sen t
R.:
22
12 24( )
2 36
sF s
s
Determine la transformada de Laplace dada:
22. ,
-. R.: (
[( ]
23. ,
-. R.: (
(
24. { }. R.: (
25. { }. R.: (
( [( ]
26. Halle la transformada de Laplace de:
a) ( { (
b) ( {
c) ( {
d) Figura 1.
Figura 1.
e) Figura 2.
Figura 2.
f) ( ( ) g) ( (
-
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Ecuaciones Diferenciales
h) ( ( ( ( (
27. Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones peridicas:
a)
Figura 3.
b)
Figura 4
c)
Figura 4.
d)
Figura 5.
-
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Ecuaciones Diferenciales
28. La funcin gama de x se define como, 1
0
( ) , 0t xx e t dt x
: Demuestre que,
1( 1)n
n
nL t
s
, n > -1.
Sugerencia: El resultado se obtiene cuando se hace u = st en 0
n n stL t t e dt
.
29. Sea ( , evaluar { ( }.
R.: 3 3
2 2
1 1
2 2( )
2
F s
s s
30. Si ( { ( }, demuestra que { ( }
[ ( ( ].
Sugerencia: El resultado se obtiene de
y del primer teorema de
traslacin.
31. Hallar la transformada de Laplace de la funcin escalera ( , si
, .
32. Demuestre que la funcin 2
1( )f t
t no tiene transformada de Laplace.
Sugerencia: considere 1
0 1
( ) ( ) ( )st stL f t e f t dt e f t dt
. Use la definicin de
integral impropia para demostrar que 1
0
( )ste f t dt no existe. En 0 t 1,
(s > 0)st se e . Por tanto 1 1
2 2
0 0
1 1st se dt e dtt t
, la ltima integral es divergente.
En los problemas del 33 al 36, mediante el teorema de la funcin peridica, encuentra la
transformada de Laplace de la funcin peridica que se indica:
33. De la funcin serpentina, figura 6.
Figura 6. Funcin serpentina
R.:
(
-
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Ecuaciones Diferenciales
34. De la funcin sierra, figura 7.
Figura 7. Funcin sierra
R.:
(
)
35. Dela funcin de onda sent, figura 8.
Figura 8. Rectificacin completa de la onda de sent.
R.: (
)
.
36. ( ( ( .
R.:
.
Escriba las funciones dadas en trmino de funciones escaln unitario. Encuentre la
transformada de Laplace de cada funcin:
37. 2 , 0 3
( )2 , 3
tf t
t
. R.: f (t) = 2 4U(t 3)
38. ( {
.
39. ( ,
40. ( ,
41. ( ,
.
R.: ( ( ( ( ( ( (
42. Figura 9.
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Ecuaciones Diferenciales
Figura 9: Pulso rectangular
R.: f(t) = U(t a) u(t b)
Use la transformada de Laplace de las funciones descritas por las grficas:
43. Figura 10
Figura 10.
R.:
, .
44. Figura 11:
Figura 11.
Halle la transformada de Laplace de las funciones:
45. (
.
46. ( ( ( .
47. ( ( .cos(3t). R.:
48. ( . R.:
*
+
49. La funcin escalonada se define de la siguiente forma: ( si
:
a) Bosqueje la grfica de f
b) Demuestre que ( ( para todo t > 0.
c) Suponga que la transformada de Laplace de la serie que aparece en (b) se puede
aplicar trmino a trmino. Aplique la serie geomtrica para obtener el resultado
{ ( }
( .
50. En la figura 12, se muestra la grfica de la funcin f.
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Ecuaciones Diferenciales
a) Demuestre que f puede expresarse en la forma ( ( ( para
todo t > 0.
b) Demuestre que { ( }
(
Figura 12.
51. Demuestre que .
52. Cul es la transformada de Laplace de la funcin que a cada nmero real le asigna su
parte entera?
53. Las siguientes funciones se definen sobre un intervalo y se extienden peridicamente.
Calcule su transformada de Laplace.
a) La funcin de onda cuadrada ( ,
.
b) La funcin de onda dentada (
,
c) La funcin de onda triangular ( {
.
d) La funcin de onda sinusoidal rectificada ( (
) .
54. Calcule la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
a) ( ( ( .
b) ( ( ( .
c) ( ( ( .
d) ( ( .
e) (
( ( .
55. Usando las propiedades de la transformada de Laplace, calcule las siguientes
integrales:
a) (
; .
b)
; .
c) (
.
56. Demuestre que { ( }
( .
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Ecuaciones Diferenciales
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
PRCTICA 2
------------------------------------------------------------------------------- Alberto Gutirrez Borda Email: [email protected]
Web: http://www.sabermatematica.blogdiario.com
Encuentre { ( } de las sifuientes funciones:
1. 2
3 2
7 9 1( )
3 2
s sF s
s s s
. R.: 2
11 1( )
2 2
x xf x e e
2. 2
1( )
6 10F s
s s
. R.: 3( ) tf t e sent
3. 2
( )4 5
sF s
s s
. R.: 2( ) costf t e t
4.
32
2 1( )
1
sF s
s s
. R.: 2
3( ) 5 5 4
2
t t tf t t e te t e
5. 2
3( )
seF s
s
. R.: 21
( ) 2 ( 2)2
f t t U t
6. (
(
7. ( )( 1)
seF s
s s
. R.: ( 1)( ) ( 1) ( 1)tf t u t e u t
8. 2
2
1( )
2 2
s sF s
s s
.
9. (
( .
10. (
(
11. (
( ( , a y b constantes.
12. (
.
13. (
( .
14. (
.
15. (
.
16. (
( .
17.
2
4
1( )
sF s
s
. R.: 2 3
3 1( ) 1 3
2 6f t t t t
18. 2
1 1 1( )
2F s
s ss
. R.: 2( ) 1 tf t t e
19. (
.
-
10 Dr. A. Gutierrez Borda Departamento de Matemticas - UNSLG
Ecuaciones Diferenciales
20. 2
4( )
4 1
sF s
s
. R.: ( ) cos
2
tf t
21. 2
( )2 3
sF s
s s
. R.:
33 1( )4 4
t tf t e e
22. 2
2 4( )
2 4 3
sF s
s s s
. R.: 2 3
1 8 1( )
3 15 5
t t tf t e e e
23. 2
( )4 2
sF s
s s
R.: 2
1 1 1( ) cos(2 ) (2 )
4 4 4
tf t e t sen t
Usar el teorema de convolucin para encontrar f(t), si:
24.
1( )
1F s
s s
R.: ( ) 1 tf t e
25. 2
1( )
1F s
s s
.
26.
1( )
1 2F s
s s
. R.: 2
1 1( )
3 3
t tf t e e
27.
2
2( )
4
sF s
s
. R.:
1( ) . (2 )
4f t t sen t
28. Calcule:
a) ,
- b) ,
(
- c) ,
-
29. Use convolucin para calcular:
a) ,
( - b) ,
( - c) ,
( -, .
30. Determinar f(t) cuando ( { ( } es dada por:
a) (
) b) (
) c) (
)
31. Calcule las antitransformada de Laplace de las siguientes funciones:
a)
b) (
) c)
------------------------------------------ Dr. Alberto Gutirrez Borda Docente Principal
Universidad San Luis Gonzaga
Facultad de Ciencias
Email: [email protected]
Web: http://www.sabermatematica.blogdiario.com
-
11 Dr. A. Gutierrez Borda Departamento de Matemticas - UNSLG
Ecuaciones Diferenciales
SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
MEDIANTE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
PRCTICA 3
------------------------------------------------------------------------------- Dr. Alberto Gutirrez Borda Email: [email protected] Web: http://www.sabermatematica.blogdiario.com
Utilizar la transformada de Laplace para resolver cada uno de los problemas de valores
iniciales de los problemas de 1 a 19.
1. 2tdx
x edt
, x(0) = 2.
2. 44 tdx
x edt
, x(0) = 2. R: 4 4( ) 2t tx t te e
3. 5 4 0x x x , x(0) = 1, x(0) = 0. R: 44 1
( )3 3
t tx t e e
4. 6 9x x x t , x(0) = 0, x(0) = 1. R.: 3 31 2 2 10
( )9 27 27 9
t tx t t e te
5. 2
2
d xx sent
dt , x(0) = 1, x(0) = - 1. R.:
1 1( ) cos cos
2 2x t t sent t t
6. 2
25 6 0
d x dxx
dtdt , x(0) =1, x(0) = - 2.
7. , ( ( . R.: (
)
8. costx x e t , x(0) = 0, x(0) = 0. R.: 1 1 1
( ) cos2 2 2
t tx t e t e sent
9. 2
22 2 (3 )t
d x dxx e sen t
dtdt
, x(0) = 0, x(0) = 2.
10. 3 2
3 25 7 3 3
d x d x dxx sent
dtdt dt , x(0) = 0, x(0) = 0, x(0) = -1.
11. x + 4x + x = 6x 12; x(0) = 1, x(0) = 4, x(0) = - 2.
12. x - 4x + 4x = e2t , x (0) = 0, x (0) = 0.
13. 4
40
d xx
dt , x(0) = 1; x(0) = 0 ; x(0) = -1 ; x(0) = 0. R.: ( ) cosx t t
14. 2 3 3 2 tx x x x e , x(0) = 0; x(0) = 0, x = 1.
R.: 228 1 5 1
( )9 9 18 2
t
t t tx t e e e e
15. 2
23 2 ( )
d x dxx G t
dtdt , en donde:
1 , 0 4( )
0 , 4
tG t
t
; x(0) = 0, x(0) = 0.
-
12 Dr. A. Gutierrez Borda Departamento de Matemticas - UNSLG
Ecuaciones Diferenciales
16. 2 ( )x x f t , en donde , 0 1
( )0 , 1
t tf t
t
, x(0) = 0.
R.: 2 2( 1)1 1 1 1 1 1
( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)4 2 4 4 2 4
t tx t t e U t t U t e U t
17. 2
25 6 ( )
d x dxx F t
dtdt , donde:
2 , 0 1( )
0 , 1
tF t
t
; x(0) = 1, x(0) = 0.
18. 2
24 ( )
d xx f t
dt , en dnde ( ) . ( 2 )f t sentU t ; x(0) = 1; x(0) = 0.
R.: 1 1
( ) cos 2 2( 2 ) ( 2 ) 2 26 3
x t t sen t U t sen t U t
19. 2
2( )
d xx f t
dt , en dnde
0, 0
( ) 1, 2
0, 2
t
f t t
t
; x(0) = 0, x(0) = 1.
R.: ( ) 1 cos . ( ) 1 cos 2 . ( 2 )x t sent t U t t U t
En los problemas de 20 a 24, resuelva la ecuacin integral o integro diferencial dada.
20. 0
( ) ( )
t
f t t u f u du t . R.. ( )f t sent
21. 0
( ) ( )
t
tf t te uf t u du R.: 21 1 3 1( )
8 8 4 4
t t t tf t e e te t e
22. 0
( ) ( ) 1
t
f t f u du R.: ( )tf t e
23. 3
0
8( ) 1 ( )
3
t
f t t t u f u du R.: 2 23 1 1 1( ) cos 2 2
8 8 2 4
t tf t e e t sen t
24. 0
( ) 1 ( )t
x t sent x u du , x(0) = 0. R.: 1
( )2
x t sent tsent
En los problemas de 25 a 30, mediante transformada de Laplace resolver los problemas
con condiciones iniciales:
25. , ( ( . R.: (
(
26. ; ( ( . R.: (
(
27. ; ( ( . R.: ( (
28.
; ( ( ( ( . R.: (
(
29.
; ( ( ( ( .
R.: ( ( ( ( ( ( donde
.
-
13 Dr. A. Gutierrez Borda Departamento de Matemticas - UNSLG
Ecuaciones Diferenciales
30. ; ( ( .
R.: (
[( ( ]
Dado los problemas del 31 a 34, transforme la ecuacin diferencial dada para encontrar
una solucin no trivial tal que ( .
31. ( .
R.: ( ( ( ; ( .
32. ( ( .
R.: ( ( ( ; ( .
33. .
R.: ( ( ( ; ( ( .
34. ( ( .
R.: ( (
En los problemas del 35 a 38, deducir la solucin ( de las ecuaciones diferenciales
dadas, con las condiciones iniciales ( ( .
35. ( (
(
.
36. ( ( (
.
37. ( ( (
.
38. Use la ecuacin 0
1( ) ( )
tdi
L Ri i u du E tdt C
, donde i(t) es la corriente, L, R, C son
constantes para determinar la corriente i(t) en un circuito simple L-R-C; si L = 0,005H,
1R , C = 0,02F, E( t ) = 100[ 1 U(t 1)]V e i(0) = 0.
R.: 100 100( 1)( ) 20000 ( 1) ( 1)t ti t te t e U t
39. Recuerde que la ecuacin diferencial para la corriente i(t) en un circuito en serie que
contiene un inductor y un resistor es, ( )di
L Ri E tdt
, donde E(t) es la tensin
aplicada: Use la transformada de Laplace para determinar la corriente i(t) cuando i(0) =
0 y si L = 1 H, 10R , y
3, 0
2( )
30,
2
sent t
F t
t
.
R.:
310
10 21 1 10 10 3( ) cos ( )101 101 101 101 2
tti t e t sent e U t
40. Determinar la carga q(t) y la corriente i(t) en un circuito en serie en el cual L = 1 H,
20R , C = 0, 01F, E(t) = 120sen(10t).V, q(0) = 0 e i(0) = 0. Cul es la corriente
estable?
-
14 Dr. A. Gutierrez Borda Departamento de Matemticas - UNSLG
Ecuaciones Diferenciales
R.: 10 103 3
( ) 6 cos105 5
t tq t e te t , 10( ) 60 6 10ti t te sen t . La corriente del
rgimen estacionario es 6sen10t.
41. Un cuerpo que pesa 4 lbF estira un resorte en 2 pie. El peso se suelta desde un punto
que est 18 plg sobre la posicin de equilibrio a partir del reposo, y el movimiento
resultante se efecta en un medio que opone una fuerza de amortiguamiento
numricamente igual a 7/8 veces la velocidad instantnea. Use la transformada de
Laplace para determinar la ecuacin del movimiento.
R.: 7 7
2 23 15 7 15 15
( ) cos2 2 10 2
t t
x t e t e sen t
42. Use la transformada de Laplace para obtener una solucin de la ecuacin 2 tx x t
con x(0) = 0.
R.: 3 21 1
( )3 2
x t t ct
En cada uno de los problemas del 43 al 47, usando la transformacin de Laplace, hallar
la solucin de los sistemas lineales dados que satisfacen las condiciones iniciales.
43.
23
0
tdx y edt
dyx
dt
, x(0) = 2, y(0) = 0.
44.
2 4 0
2
dxx y
dt
dyx t
dt
, x(0) = 0, y(0) = 3.
45.
3
4 1
tdx x y edt
dyx y
dt
, x(0) = 1, y(0) = 2.
46.
2
2
t
t
dx dyx y e
dt dt
dx dyx y e
dt dt
; x(0) = 2, y(0) = 1.
47.
2
23 2 0
2 0
d x dx dyx y
dt dtdt
dx dyx y
dt dt
, x(0) = 0, y(0) = -1, x(0) = 0.
En cada uno de los problemas del 47 a 49, utilice la transformada de Laplace para
resolver el problema de valores iniciales.
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15 Dr. A. Gutierrez Borda Departamento de Matemticas - UNSLG
Ecuaciones Diferenciales
48. , ( ( .
49. , ( ( .
En cada uno de los problemas del 50 al 55, escriba la funcin f(t) en trminos de la
funcin salto y utilice la transformada de Laplace para resolver el problema de valores
iniciales.
50. ( , ( ( , ( ,
51. ( , ( ( , ( ,
52. ( , ( ( , ( ,
53. ( , ( ( , ( ,
54. ( , ( ( , ( {
55.
,
( ( ( ( .
En cada uno de los problemas del 56 al 63, resuelva el problema de valores iniciales
utilizando la transformada de Laplace.
56. ; ( ( .
57. ; ( ( .
58. ; ( ( .
59. ( ; ( ( .
60.
( , ( .
61.
( (
.
62.
( , ( ( constante,
63.
, ( ( .
En cada uno de los problemas del 64 al 69, resuelva el problema utilizando la
transformada de Laplace.
64. .
65. ; ( ( .
66. ; ( ( .
67. ; ( ( .
68. ( ; ( .
69. ( ; ( ( .
En los problemas de 70 al 74, usando la transformada de Laplace, resuelva los
siguientes problemas de valor inicial:
70. {
( ( .
-
16 Dr. A. Gutierrez Borda Departamento de Matemticas - UNSLG
Ecuaciones Diferenciales
71. {
( ( .
72. {
( ( .
73. {
( ( ( .
74. {
( ( ( .
En los problemas del 75 al 82, use la transformada de Laplace para resolver los
siguientes problemas de valor inicial:
75. , ( ( .
76. , ( ( .
77. ( ( , ( ( .
78. ( , ( ( ; donde ( ,
.
79. ( , ( ( . Con ( ,
.
80. ( , ( ( .
81. ( , ( ( ( ( .
82. ( ( , ( ( .
83. Resuelva la ecuacin diferencial ( ; ( ( , para una
funcin f(t) general y para ( ( .
84. Resuelva el problema el siguiente problema de valores iniciales con trminos
independientes continuo a trozos,
{ (
; ( ( .
85. Resuelva el problema el siguiente problema de valores iniciales con trminos
independientes continuo a trozos
{
(
(
; ( ( .
86. La corriente de un circuito RLC en series est regida por el problema de valor inicial
( ( ( , ( ( , donde
( {
.
Determine la corriente en funcin del tiempo t.
87. Resuelva el siguiente problema de valores iniciales 0, con (
, ( . (Resonancia en vibraciones mecnicas, caso no forzado).
88. Resuelva el siguiente problema de valores iniciales ( , con
( , ( . Discuta la solucin en trminos de los parmetros positivos m, k,
-
17 Dr. A. Gutierrez Borda Departamento de Matemticas - UNSLG
Ecuaciones Diferenciales
, , Qu ocurre cuando
? (Resonancia en vibraciones mecnicas, caso
forzado).
89. La ecuacin diferencial , se conoce como la ecuacin de Bessel de
orden 0. Demuestre que Y(t) es la transformada de Laplace de la solucin de esta
ecuacin diferencial con y(0) = 1, demuestre que entonces Y satisface la ecuacin
( ( ( .
90. Mediante la transformada de Laplace resuelva el PVI de las ecuaciones:
a) (
) , ( ( ),
b) (
) ( ) , ( (
)
c) (
) ( ), ( (
)
-------------------------------------------------------
Dr. Alberto Gutirrez Borda Docente Principal
Universidad San Luis Gonzaga
Facultad de Ciencias
Email: [email protected]
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