TRABAJO DE OSCILACIONES Y ONDA

PRESENTADO POR:

EDER CORZO BARROS

LUIS EDUARDO GARIZAO

LIC: OSCAR NEIRA

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

FACULTAD CIENCIA BASICA Y EDUCACION

VALLEDUPAR (CESAR)

2013

MOVIMIENTO ONDULATORIO

El movimiento ondulatorio es una perturbación que se propaga en el espacio a medida que transcurren el tiempo en una dirección especifica con una velocidad concreta y en su proceso de su propagación van encontrado partículas que las va poniendo a oscilar en idénticas condiciones (misma energía cinética, misma energía potencial y la misma fase instantánea). El movimiento ondulatorio el realmente un conjunto de oscilaciones de partículas.

CRITERIOS DE CLASIFICACION DE LAS ONDAS

Las ondas se clasifican según criterios geométricos en donde aparece el concepto de frente de onda entre otros aspectos:

Medios de propagación Frente de onda Sentido de perturbación

Ondas mecánicas:

*necesita un medio material para propagarse

*cualquier medio material elásticos se deforman se recupera vibrando al pasos de las ondas

Ondas electromagnéticas

No precisan de un medio material para la propagación Se pueden propagar tanto en el vacío como en medios

materiales Lo que vibra en estas ondas son campos eléctricos y

magnéticos, "Electromagnéticos”.

Dirección de las oscilación de las partículas

Transversales: Su dirección de propagación es perpendicular a la dirección de oscilación.

Longitudinales: Las partículas del medio oscilan en la misma dirección en que se propaga la onda.

Frente de Onda:

Es aquel lugar geométrico que separa la región perturbada de la no perturbada en un instante de determinado esta puede ser:

Unidimensional; se propaga en una sola dirección dimensional

Bidimensional; se propaga en dos direcciones dimensional

Tridimensional; se propaga en tres direcciones dimensional

EN UNA ONDA PODEMOS IDENTIFICAR:

El frente de onda: es aquel lugar geométrico que separa la región perturbada de la no perturbada

Fase inicial(φ ): la fase es un parámetro que está involucrado en la función de la onda que describe en que condicione iniciales la onda cuando el observador se interesó por ver ese fenómeno.

Fase instantánea: es el parámetro que describe en qué condiciones instantáneas se encuentra la onda en ese instante.

Frecuencias: es la cantidad de oscilaciones que realiza la onda en un tiempo determinado.

Periodo: es el tiempo que emplea la onda en realizar una oscilación

Perfil de onda: es la fotografía tomada de la onda en su proceso de propagación.

Vector de onda: es el responsable de describir en que dirección se propaga la onda.

Amplitud: sé representa por ξ0

Longitud de onda: son los pasos que lleva la onda en su proceso de propagación.

OBTENCION DE LA ECUACION DIFERENCIAL DE ONDA

Comenzamos deduciendo la ecuación de onda en una dimensión, ya que es las demás dimensiones se relaciona por analogía a esta.

OBTENCION DE LA ECUACION DE ONDA EN UNA DIMENSION.

Para la obtención de la ecuación diferencial de una onda en una dimensión vamos a considerar un instante en donde la onda fue vista es decir nos hacemos la ideas como si fuéramos tomados una fotografía en eses instante y esto lo representaríamos como el perfil de onda, luego también podíamos decir que como la onda se está propagando en el espacio con una velocidad específica a medida que transcurre el tiempo a esa ecuación diferencial de onda, tiene involucrada una variable temporal y una variable espacial es decir la que la función que encontremos al resolver la ecuación diferencial va depender de una variables espacial y una variable temporal.

Teniendo en cuenta lo anterior visto la siguientes representación esquemática pero antes tenemos que tener en cuenta que, la onda se está propagando en dirección del eje x y el eje y lo usaremos para representar el perfil de la onda, el cual lo llamaremos con la letra griega ξ y teniendo en cuenta que cuando tengo una función en un plano es una función que depende de la variables independiente que en este caso es x entonces teniendo en cuenta lo anterior tenemos:

Luego teniendo en cuenta que un instante que se observó por primera vez la onda e encuentre en otro lugar es decir se trasladó a una distancia determinada la cual la denotaremos con la letra “a” es decir que:

Desde el punto de vista matemático la función ξ ( x ) se trasladó y como estamos idealizando que la onda se está propagando hacia la derecha con una velocidad específica esto desde el punto matemático representaríamos como sigue:

NOTA: considerando que el medio en donde se está propagando la onda es homogéneo es decir no modifica el perfil de la onda.

ξ ( x )ξ ( x−a )

Hasta ahora hemos utilizado el concepto de función en un plano, el concepto de una función traslada o desplazamiento hacia la derecha.

Luego como el caso que es más interesa es como se está propagando la onda a lo largo del eje x consideramos que la onda realiza esa propagación sucesivamente de acuerdo al grafico 2, luego como sabemos que esa distancia que recorrió en su proceso de propagación lo hizo en un instante determinado con una velocidad especifica en la cual, usaremos la siguientes relación.

a=vt

En donde el perfil de onda lo puedo escribir ahora como:

ξ ( x−vt )

En donde hemos encontrado una expresión matemática que describe la perturbación viajera la cual depende de una variable espacial y una variables temporal simultáneamente y en una forma lineal.

ξ ( x−vt )

En este caso se considera que la onda se propaga hacia la derecha.

Si la onda se estuviera propagando a lo largo de eje de las y seria

ξ ( y± vt )

Luego podemos decir que hasta ahora lo que hemos encontrado es que la función que vamos a utilizar para describir la perturbación viajera depende de manera simultánea de la variable espacial y temporal y además dentro del argumento de la función aparece la velocidad con que se está propagando la perturbación pero no conocemos, su formas y para conocer su forma primeros tenemos que encontrar la ecuación diferencial para esto procedemos de la siguiente

formas. Como sabemos que la función ξ (x−vt) depende de una variable espacial y temporal quiere decir que podemos establecer que:

ξ ( x , t )=ξ ( x−vt )

Entonces de lo anterior lo que podemos preguntarnos es que ¿Cuál es la ecuación diferencial para ξ ( x , t )? Como la función ξ ( x , t ) depende de (x,t) y podemos deducir que la ecuación diferencial que vamos encontrar es en derivadas parciales(cambio en cambió en t) ósea que podemos preguntarnos como cambia el perfil de onda cuando cambia la coordenada x de igual manera podríamos preguntarnos como cambia el perfil de acuerdo el tiempo y así también podríamos preguntarnos como son los cambios de esos cambios, y esto lo representaría más como:

∂ξ∂ x

,∂ ξ∂ t

,∂2 ξ∂x2

,∂2 ξ∂ t2

Luego procedemos a encontrar esos cambios sabiendo que

ξ ( x , t )=ξ (x−vt)

En donde haremos la sustitución de u=x−vt (1 ), entonces la primera derivada parcial es.

∂ξ∂ x

=∂ξ (x−vt)

∂x(2 )

En donde la sustituyendo la (1 ) en la (2 ) obtenemos:

∂ξ∂ x

=∂ξ (u)∂ x

(3 )

Aplicado la definición de la derivada parcial de una función que depende de una variables x y esa a su vez depende de otras dos variables independientes tenemos que:

∂ξ∂ x

=∂ξ (u)∂ x

=dξdu

∂u∂x

(4 )

Aplicado derivada respecto a x nos queda:

∂ξ∂ x

=∂ξ ( x−vt )

∂ x=∂x

∂x−∂vt

∂ x=dx

dx−0=1−0 (5 )

∂u∂ x

=1 (6 )

Entonces podemos decir que:

∂ξ∂ x

=dξdu

(7 )

Luego halemos lo cambio en las variables temporal

∂ξ∂ t

=∂(ξ ( x−vt ))

∂ t=

∂ξ∂ t

(ξ (u ) )=dξdu

∂u∂ t

(8 )

Como sabemos que:

∂u∂ t

=∂ξ (x−vt)

∂t=∂ x

∂t−∂ vt

∂ t=0−v (9 )

∂u∂ t

=−v (10 )

Luego podemos decir que:

∂ξ∂ t

=−v∂ξ∂u

(11)

Calculemos los la segunda derivada parciales de la variables temporal y espacial

∂2 ξ∂ x2

= ∂∂ x ( ∂ξ∂ x )= ∂

∂ x ( dξdu )

Teniendo en cuenta que la derivada de una función que depende de una variable independiente va dar como resultado otra función que depende de esas misma variables independiente y como estamos derivando parciamente sobre esa función usaremos la regla de la cadena.

∂2 ξ∂ x2

= ddu ( dξdu ) ∂u

∂ x

Como sabemos que

∂u∂ x

=1

Tenemos que;

∂2 ξ∂ x2

=∂2 ξ∂u2

Luego calculemos:

∂2 ξ∂ t2

= ∂∂ t ( ∂ξ

∂ t )= ∂∂ t

¿

Reescribiendo la ecuación anterior nos queda

1v2

∂2 ξ∂ t2

=d2 ξd u2

Igualando con obtenemos

∂2 ξ∂ x2

= 1v2

∂2 ξ∂ t 2

Trasladando el otro lado el miembro a izquierdo tenemos:

∂2 ξ∂ x2

− 1v2

∂2 ξ∂ t 2

=0

En donde hemos obtenidos la ecuación diferencial en derivadas parcial homogénea con coeficiente constante que describe la dinámica de la perturbación viajera que se está propagando a medida que transcurren el tiempo con una velocidad especifica en una dirección especifica

RESOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA EN DERIVADA PARCIALES CON COEFICIENTES CONSTANTES QUE DESCRIBE LA DINAMICA DE LA ONDA EN SU PROCESO DE PROPAGACION EN UNA DIMENSION.

METODO DE SEPARACION DE VARIABLES.

El método de separación de variables para las ecuaciones diferenciales homogéneas en derivadas parciales dice que la solución de la ecuación diferencial asume una solución que el igual el producto de dos funciones independientes entre si en nuestro caso decimos que la ecuación diferencial. Que hemos encontrado que que es la que describe la dinámica de la onda asume una solución que es igual el producto de las funciones una que describe el comportamiento temporal entonces podemos decir que la ecuación diferencial de onda:

∂2 ξ∂ x2

− 1v2

∂2 ξ∂ t 2

=0

Asume una solución:

ξ ( x , t )=F ( x )T (t )

Primer paso para la solución:

Derivar parcialmente 2 veces con respecto a x una función que depende de la variable independientes x por el producto de una función T(t).

Derivado una ves:

∂ξ∂ x

=∂ (F ( x ) T (t ))

∂ x=

∂F (x )∂ x

T ( t )

Como la función F ( x ) solo depende de x la derivada parcial de F respecto a x se convierte en derivadas ordinarias teniéndose que:

∂ξ∂ x

=dFdx

T (t )

∂ξ∂ x

=TdFdx

Procedemos a calcular la derivada parcial segunda de ξ respecto a x

Tenemos que:

∂2 ξ∂ x2

= ∂∂ x ( ∂ξ∂ x )

∂ξ∂ x

=TdFdx

∂2 ξ∂ x2

= ∂∂ x (T dF

dx )

Luego como en la ecuación diferencial también necesito derivar parcialmente con respecto a x de una función ξ que depende de la

variable independiente de t por el producto de una función F entonces procedemos:

Calculamos la primera derivada parcial con respecto a t

∂ξ∂ t

=F ( x ) ∂∂ t

(T ( t ) )=F ( x ) dTdt

∂ t∂ t

Entonces:

∂ξ∂ t

=F ( x ) ∂ t∂ t

Calculamos la segunda derivada

∂2 ξ∂ t2

=F (x) dTdt

Calculamos la segunda derivada

∂2 ξ∂ t2

= ∂∂ t ( ∂ f

∂ t )= ∂∂ t (F ( x ) dT

dt )

Como estoy derivando parcialmente con respecto a t entonces como F no depende de t se puede tomar como una constante quedando

∂2 ξ∂ t2

=F (x ) ddt ( dTdt ) ∂ t

∂ t

∂2 ξ∂ t2

=F (x ) ∂2T∂ t 2

(2 )

Sustituyendo (1 ) y (2 ) en la en la ecuación diferencial que describe la dinámica de la onda que se está propagando.

∂2 ξ∂ x2

− 1v2

∂2 ξ∂ t 2

=0

T∂2ξ∂ x2

− 1v2

F ( x ) ∂2 ξ

∂ t2=0

Multiplicamos la ecuación anterior por el inverso del producto entre T y F y obtenemos la ecuación diferencial en variables separables

1F ( x )

∂2 ξ∂x2

− 1v2

1T ( t )

∂2ξ∂t 2

=0

Trasladado al lado izquierdo el segundo término obtenemos

1F ( x )

∂2 ξ∂x2

= 1v2

1T ( t )

∂2ξ∂t 2

Pero lo anterior es una aparente contradicción porque en el momento en que asumimos que la ecuación diferencial tenía como solución el producto de las funciones que independiente las dos funciones no debe estar relacionadas por tanto lo anterior es una contradicción, pero sabemos que de las infinitas soluciones que tiene F hay una que cumple con la característica que derivando 2 veces parcialmente y multiplicando por su inversa es igual a cero.

Lo mismo sucede con T por lo tanto si de un lado da una constante que no depende ni de t, ni de x entonces es la misma constantes entonces a partir de esto hemos salvado la contradicción obteniendo:

1F ( x )

d2Fd x2

=−k2 (1 )

1v2T

d2Td x2

=−k2 (2 )

De (1 ) tenemos:

d2Fd x2

=−k2 F ( x )⇒ d2 Fd x2

+k2 F ( x )=0 (3 )

De (2 ) tenemos:

d2Td t 2

=−k2 v2T⇒ d2Td t 2

+k2 v2T=0 (4 )

De acuerdo a la teoría de soluciones de ecuaciones diferenciales las ecuaciones diferenciales (3 ) y (4 ) asumen una solución e∝t

Entonces tenemos que:

F ( x )=e∝ x (5 )

d2Fd t 2

=∝2e∝ x (6 )

Sustituimos (5 ) y (6 ) en (3 )

∝2 e∝ x+k2∝2 e∝ x=0

e∝ x (∝2+k2 )=0

Como: e∝ x≠0

El que es cero es:

∝2+k2=0

∝=±√−k2⇒∝=± ik

Donde obtengo dos soluciones:

F1 ( x )=e i kx

F2 ( x )=e−i kx

Para T:

T( t )=e∝t

d2Td t 2

=∝2e∝t

Sustituimos en (1 )

e∝t (∝2+k 2 v )=0

Como:

e∝t≠0

Entonces:

Lo que es cero esto

∝2+k2 v=0

∝=± i kv

Luego obtenemos dos soluciones para T

T 1 (t )=e i kvt

T 2 (t )=e−i kvt

Entonces como asumimos, que la solución ecuación diferencial que describe la dinámica de la onda era por el producto de F ( x ) por T ( t ) tenemos la solución:

ξ ( x , t )=F1 ( x )T 1 (t )

ξ ( x , t )=A e i kx+Be i kvt

C=A+B

ξ ( x , t )=Ce i (kx+kvt )

Como:

ϖ=kv

ξ ( x , t )=Ce i (kx+ϖt )

Lo anterior tiene una solución real y una imaginaria

Solución imaginaria:

ξ ( x , t )=C sin (kx+ϖt )

Solución real:

ξ ( x , t )=C cos (kx+ϖt )

Esta soluciones son para una onda se propaga hacia la derecha

DEDUCIR LA ECUACION DIFERENCIAL DE ONDA EN DOS DIMENSIONES

Se procede en forma análoga a deducción de la ecuación de onda en una dimensión.

ξ ( x , y ,t )=?

Consideremos una onda que se está propagando en un plano

Hacemos la sustitución η=u−vt y calculemos las siguientes derivadas parciales

∂ξ∂ x

,∂ ξ∂ y

,∂2 ξ∂ x2

,∂2 ξ∂ y2

,∂ ξ∂t

,∂2 ξ∂ t 2

Teniendo en cuenta que u tiene componente (x ) y ( y) que son:

X=ucosθ

y=usin θ

ξ ( x , y ,t )=?ξ ( x , y ,t )

β

u=iuxcosθ++ j uy sinθ

Calculemos la derivada de

∂ξ∂ x

= ∂∂ x

(ξ (u−vt ) )= ∂∂x

(ξ (η ) )=dξdη

∂η∂ x

∂η∂ x

= ∂∂ x

(u−vt )=∂u∂x

−∂vt∂ x

= ∂∂x

(iuxcosθ++ juy sinθ )=cosθ

∂ξ∂ x

=dξdη

cosθ

∂2 ξ∂ x2

= ∂∂ x ( ∂ξ∂ x )= ∂

∂ x ( dξdη cosθ)=cosθ ∂∂ x ( dξdη )=cosθ

ddη ( dξdη ) ∂η

∂ x

Como:

∂η∂ x

=cosθ

∂2 ξ∂ x2

=(cosθ )2 d2 ξ

d η2

Calculemos

∂ξ∂ y

= ∂∂ y

(ξ (u−vt ) )= ∂∂ y

(ξ (η ) )=dξdη

∂η∂ y

∂η∂ y

= ∂∂ y

(u−vt )=∂u∂ y

−∂vt∂ y

= ∂∂ y

(iux cosθ++ ju y sinθ )−∂vt∂ y

∂η∂ y

=sinθ

Entonces:

∂ξ∂ y

=dξdη

sinθ

∂2 ξ∂ y2

= ∂∂ y ( dξdη sinθ)=sinθ

∂∂ y ( dξdη )=sinθ

ddη ( dξdη ) ∂η

∂ y

Tenemos

∂2 ξ∂ y2

= (sinθ )2 d2 ξ

d η2

Ahora hallemos:

∂ξ∂ t

= ∂∂ t

(ξ (u−vt ) )= ∂∂t

( ξ (η ) )=dξdη

∂η∂ t

∂η∂ t

= ∂∂t

(u−vt )=∂u∂t

−∂vt∂ x

=0−v∂ t∂ t

=−v

Luego como;

∂ξ∂ t

=−vdξdη

Hallemos

∂2 ξ∂ t2

= ∂∂ t ( ∂ξ

∂ t )Como:

∂ξ∂ t

=−vdξdη

∂2 ξ∂ t2

= ∂∂ t (−v

dξdη )=−v

∂∂ t ( dξdη )=−v

ddη ( dξdη )( ∂η

∂ t )

Tenemos que∂2 ξ∂ t2

=v2d2 ξd η2

Luego las derivadas encontradas son:

∂2 ξ∂ y2

= (sinθ )2 d2 ξ

d η2(1 )

∂2 ξ∂ t2

=v2d2 ξd η2

(2 )

∂2 ξ∂ x2

=(cosθ )2 d2 ξ

d η2(3 )

Sumando (1 )+(2 )= (3 )

∂2 ξ∂ x2

+ ∂2ξ∂ y2

=(cosθ )2 d2 ξ

d η2+ (sin θ )2 d

2 ξd η2

∂2 ξ∂ x2

+ ∂2ξ∂ y2

=d2 ξd η2

((cosθ )2+(sin θ )2 )

∂2 ξ∂ x2

+ ∂2ξ∂ y2

=d2 ξd η2

Donde:

d2 ξd η2

= 1v2

∂2ξ∂t 2

Sustituyendo esto en la ecuación anterior tenemos

∂2 ξ∂ x2

+ ∂2ξ∂ y2

− 1v2

∂2 ξ∂ t 2

=0

Que es una ecuación diferencial homogénea con coeficiente constantes que describe la perturbación viajera cuando la onda se propaga en un plano.

ONDAS ELECTROMAGNETICAS

Antes de hablar de ondas electromagnéticas debemos demostrar que existe un campo magnético y un campo eléctrico en ausencia de cargas y de corrientes en el vacío, para demostrar esto debemos basarnos en las ecuaciones de maxwell en el vacío que son las siguientes:

∇ ⋅ E= ρξO

∇ ⋅ B=0

∇× E+ ∂ B∂t

=0

∇×B−μ0 ξo∂ E∂ t

=μ0 j

Demostraremos la existencia de una onda electromagnética en el vacío, teniendo en cuenta la consideración de un lugar en el espacio donde no existe fuentes de cargas ni fuentes de corrientes pero para demostrar la existencia de una onda electromagnética , tenemos que demostrar la existencia de una onda de naturaleza eléctrica en el vacio teniendo en cuenta las consideraciones P(x,y,z,t)=J(x,y,z,t)=0, y a la vez una onda de naturaleza magnética en iguales condiciones para poder demostrar la existencia de esas ondas de naturaleza eléctrica y magnética utilizaremos el operador nabla y la operación producto cruz y las ecuaciones de maxwell es decir:

{∇ , x }+ {4ecuacionesmaxwell }

La pregunta es cuales de las ecuaciones utilizaremos para aplicar el operador nabla y el producto cruz como podemos ver que las únicas ecuaciones que relaciona el campo eléctrico con el campo magnético son las ecuaciones de Lenz y Loren ya que relacionan el operador producto cruz y a la vez el campo

magnético y el campo eléctrico así:

∇×(∇×E+ ∂ B∂ t )=∇× 0

Ahora aplicando la regla que dice que el operador nabla actuando sobre componentes vectoriales que componen un campo es el operador nabla actuando sobre cada una de las componentes que conforman el campo vectorial

∇× ( ∇×E )+ ∇×∂B∂ t

=∇× 0

Aplicando la siguiente identidad

∇× ( ∇×E )=∇ ( ∇ ⋅ E )−∇2 E+∇×∂ B∂ t

=0

Y sabiendo que ∇× 0=0

Entonces

∇ ( ∇ ⋅ E )−∇2 E+∇×∂B∂ t

=0

Ahora sabiendo que la expresión

∇×∂B∂ t

Se puede expresar así

∂∂ t

( ∇×B )

Entonces

∇ ( ∇ ⋅ E )−∇2 E+∇×∂B∂ t

=0

Aplicando las dos primeras ecuaciones de maxwell especialmente a la de la ley de gauss para el campo magnético y campo eléctrico en el vacio se tiene

∇ (0)−∇2 E+ ∂∂ t (μ0 ξo

∂ E∂ t )=0

Aplicando la homogeneidad de las derivadas parciales de una constante por una función que es la constante por la derivada de la función y sabiendo que

∇ (0 )=0

Se tiene

∇ (0)−∇2 E+ ∂∂ t (μ0 ξo

∂ E∂ t )=0

Aplicando la derivada de una derivada que es igual a la segunda variación y reescribiendo la ecuación y multiplicándola por menos uno se tiene

∇2 E−μ0 ξo∂2 E∂ t 2

=0

Sabiendo que

μ0 ξo=1

C2

Aplicando la definición del operador nabla

∇=( ∂∂x

i+ ∂∂ y

j+ ∂∂ z

k )

Se tiene que

∂2 E∂ x2

+ ∂2 E∂ y2

+ ∂2 E∂ z2

− 1C2

∂2 E∂ t2

=0

Que es la ecuación diferencial de onda que describe la dinámica de una onda de naturaleza eléctrica por tan hemos demostrado que aunque no exista fuentes de cargas ni fuentes de corrientes en el vacio existe una onda de naturaleza eléctrica la cual puede existir como un fenómeno ondulatorio pero esta ecuación diferencial de onda es de carácter vectorial.

Luego por analogía se puede demostrar que también existe un campo magnético en el vacío en ausencia de fuentes de cargas y de corrientes resultando la siguiente ecuación diferencial:

∇2 B− 1C2

∂2 B∂ t 2

=0