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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS

ANÁLISIS DE ACTIVIDADES CON CABRI PARA LA ENSEÑANZA DE LA

SIMETRÍA AXIAL

Transcripción y análisis de videos de lo ocurrido en el curso 702 del colegio Pompilio

Martínez

EDGAR CAMILO CASTRO CANTOR

Informe de actividades desarrolladas para optar por el título de Licenciado en Educación

Básica con Énfasis en Matemáticas

Docente director: Martín Eduardo Acosta Gelemper

Bogotá, Colombia

2016

1

Introducción

En la última década la incorporación de la tecnología en el currículo ha sido de gran

preocupación para los investigadores en educación, pues se piensa en un vínculo entre las

matemáticas y la tecnología. Según Murillo (2005), la integración y la utilización de la

tecnología en el proceso educativo de las matemáticas es un asunto que hace tiempo viene

ocupando el trabajo de los investigadores en Educación Matemática, intentando determinar

los posibles beneficios que su utilización conlleva en conjunto con los diseños

metodológicos y entornos multimedia de aprendizaje de tal manera que se produzcan

mejoras en los procesos de aprendizaje. Fiallo (2015), afirma que la vinculación de las

Tecnologías Digitales en el aula de clase es un proceso complejo que requiere

acompañamiento constante además de una preparación adecuada de tal manera que se

alcance la actividad matemática esperada.

Una de las ramas de las matemáticas beneficiada con la incorporación de la tecnología es la

geometría; de acuerdo al MEN (2004), los softwares de Geometría Dinámica cambian la

forma de enseñanza de la geometría puesto que permiten la implementación de actividades

totalmente nuevas para esta área.

Atendiendo a lo anterior en la Universidad Industrial de Santander se creó un grupo de

investigación en educación Matemática (EDUMAT-UIS) y la universidad Distrital ha

desarrollado un proyecto donde se encuentran involucrados dos colegios de Bucaramanga,

uno en Cajicá, docentes investigadores (coordinadoras de grupo) y estudiantes de

Licenciatura en Matemáticas, cada integrante se une al grupo por diferentes razones; sin

embargo los estudiantes se vinculan con el fin de desarrollar su trabajo de grado. Este

proyecto se basa en una serie de actividades que se encuentran fundamentadas teóricamente

desde la teoría de Situaciones Didácticas y metodológicamente desde el proceso ingeniería-

didáctica. Nuestro trabajo como estudiantes de licenciatura consiste en la trascripción de

videos de la implementación en Cajicá y el correspondiente análisis a-posteriori

Para llevar a cabo esta investigación se expondrá la estructura del documento.

2

En la primera parte tendremos la fundamentación teórica y los dos ejes de investigación, el

primero de ellos la teoría de situaciones didácticas en la que se fundamenta cada una de las

actividades y el segundo las características de Cabri como medio didáctico.

Para la segunda parte tendremos la metodología, en la cual se explicará en qué consiste la

Ingeniería-didáctica y sus conceptos más relevantes, además de mostrar cual fue nuestro

objeto de estudio.

En una tercera parte se mostrará el análisis de las actividades, donde se expondrá el análisis

a-priori, la transcripción del video y un análisis a-posteriori, lo cual nos permitirá reconocer

las fortalezas y debilidades de las actividades.

Por último tendremos las conclusiones, en donde escribiremos nuestras apreciaciones

respecto al cumplimiento de los objetivos propuestos para esta investigación, además de

hacer contribuciones y sugerencias para reformular el análisis a-priori basándonos en el

análisis a-posteriori.

3

Introducción .......................................................................................................................... 1

Objetivo general .................................................................................................................... 5

Objetivos específicos ............................................................................................................. 5

Justificación ........................................................................................................................... 6

Descripción ............................................................................................................................ 7

Marco Teórico ....................................................................................................................... 8

La teoría de situaciones didácticas .................................................................................................. 8

Aprendizaje por adaptación ............................................................................................................. 8

Situación Didáctica vs Situación A-Didáctica .............................................................................. 10

Saber Vs Conocimiento ................................................................................................................. 10

Proceso de Validación ................................................................................................................... 11

Proceso de devolución ................................................................................................................... 11

Proceso de institucionalización ..................................................................................................... 12

Cabri como medio para el aprendizaje por adaptación ................................................................. 12

Metodología ......................................................................................................................... 14

Ingeniería-didáctica ....................................................................................................................... 14

Análisis preliminar ........................................................................................................................ 14

Diseño ........................................................................................................................................... 14

Experimentación ........................................................................................................................... 15

Análisis a-posteriori ...................................................................................................................... 15

Población ....................................................................................................................................... 15

Recolección de datos ..................................................................................................................... 16

Análisis de la actividad 3 ................................................................................................... 17

Análisis de la fase a-didáctica ....................................................................................................... 19

Análisis de la puesta en común ..................................................................................................... 19

Análisis de la serie 3-7 .................................................................................................................. 29

Análisis de la actividad 4 .................................................................................................... 39

Análisis de la fase a-didáctica ....................................................................................................... 41

Análisis de estrategias series 4-1 y 4-2 .................................................................................................... 46 Análisis de estrategias series 4-3 y 4-4 .................................................................................................... 50 Análisis de estrategias series 4-5 y 4-6 .................................................................................................... 55 Análisis de la puesta en común ................................................................................................................ 56

Conclusiones generales ....................................................................................................... 66

4

Conclusiones implementación de estrategias ................................................................................ 66

Dificultades en gestión. ................................................................................................................. 68

Bibliografía .......................................................................................................................... 71

Anexos .................................................................................................................................. 72

Anexo A ........................................................................................................................................ 72

Anexo B ...................................................................................................................................... 115

Anexo C ...................................................................................................................................... 133

5

Objetivo general

Analizar la implementación de las actividades 3 y 4 para la enseñanza de la simetría axial

en el curso 702 del colegio Pompilio Martínez, para identificar los aprendizajes por

adaptación que se produjeron y las dificultades de gestión de las actividades por parte de la

profesora Yobana.

Objetivos específicos

1) Realizar la trascripción de los videos de clase

2) Identificar las estrategias utilizadas por los estudiantes

3) Identificar los episodios en los que se produjo aprendizaje por adaptación

4) Identificar las dificultades de gestión de las actividades realizadas por la profesora.

6

Justificación

La inclusión de las tecnologías informáticas en la vida social y cultural del ser humano ha

aumentado a gran escala y en el campo de las matemáticas no es la excepción, pues se ha

desarrollado software especializado tanto para la práctica como para su enseñanza.

Además, investigaciones muestran el gran potencial de estas tecnologías para el aprendizaje

(Lagrange J.B, Artigue M., Laborde C. & Trouche L. (2003). Tanto en Colombia como en

otros países se han realizado esfuerzos para difundir tecnología informática por internet

para enseñar matemáticas, pero se han encontrado diferentes dificultades (Acosta, 2010a,

Haspekian, 2005).

El grupo EDUMAT-UIS identificó dos de los principales problemas que dificultan la

incorporación de nuevas tecnologías en el currículo de matemáticas. 1)La ausencia de

actividades de clase que utilicen al máximo el potencial de las tecnologías y que además

que cubran todo el currículo en matemáticas; 2) La falta de instrucción didáctica que

promueva el uso de la tecnología en la teoría y en la práctica, con el fin que los profesores

trasformen sus clases.

Con la idea de aportar a la superación de estas dificultades se creó el PIUSGD de donde se

diseñó una serie de actividades de clase para la enseñanza de la geometría, específicamente

simetría axial para el grado séptimo basándose en el modelo didáctico de la Teoría de

Situaciones Didácticas (Acosta 2010). Estas actividades fueron implementadas tanto en la

zona metropolitana de Bucaramanga como en el municipio de Cajicá y se considera que la

generalización de estas actividades al resto del terreno nacional e internacional mostraría un

gran avance en la educación matemática.

Si se quiere llegar a una ampliación e instalación de esta práctica, es necesario comprobar

la posibilidad de trasferir las actividades diseñadas para Bucaramanga y Cajica a otros

lugares del país además de diseñar una formación de profesores que garantice que los

docentes tienen una apropiación del modelo didáctico planteado.

7

Descripción

En este documento se presentara el análisis a-posteriori de unas actividades enfocadas a la

simetría axial y diseñada en el software Cabri II Plus por el director del proyecto. Estas

actividades fueron aplicadas en el año 2013 a todos los niños de grado séptimo del Colegio

Pompilio Martínez. Haciendo uso de la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) se evaluó el

aprendizaje de los estudiantes con respecto a la simetría axial confrontando el análisis a-

priori con las evidencias fílmicas de la actividad 3 y 4 en un grupo de estudiantes.

El análisis a-priori realizado por Perez (2011) adjunto en los anexos, contiene hipótesis de

los posibles caminos de solución de los estudiantes a las actividades propuestas en Cabri,

las retroacciones del medio y el aprendizaje por adaptación que obtendrá cada estudiante de

acuerdo con su interacción con el software.

Este trabajo de grado presenta el análisis a-posteriori de dos de las cuatro actividades

diseñadas para la simetría axial, donde Cabri se usó como instrumento de geometría

dinámica. Además se realiza una confrontación entre las hipótesis del análisis a-priori y los

resultados obtenidos de una pareja de estudiantes interactuando con el software.

8

Marco Teórico

En el siguiente apartado presentamos los referentes teóricos en los cuales nos basamos para

el desarrollo de este estudio. Estos referentes teóricos se establecieron en conjunto con los

integrantes del grupo de investigación EDUMAT, los cuales se presentan a continuación.

La teoría de situaciones didácticas

Este trabajo se desarrollará bajo la Teoría de Situaciones Didácticas (TDS) de Guy

Brousseau en donde esta teoría se usará como marco teórico. Del mismo modo será una

herramienta de análisis de las actividades que se llevaron a cabo. Atendiendo a lo anterior

se procederá a exponer los principales conceptos de esta teoría (TSD).

Aprendizaje por adaptación

Como afirma Patricia Sadovsky (2005) que cita a Brousseau (1986), la idea del aprendizaje

por adaptación se da como resultado de la concepción constructivista de Brousseau quien

declara que el sujeto produce conocimiento después de haberse adaptado a un medio

resistente con el que interactúa.

” El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de

dificultades, de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad humana. Este

saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que

son la prueba del aprendizaje” (Brousseau, 1986).

9

Carreño y Díaz (2014) cita a Martin E. Acosta (2010) quien afirma que:

El primer elemento del aprendizaje por adaptación es una intención del sujeto; es

decir, el sujeto tiene una necesidad, un propósito, un objetivo. Para alcanzar esa

intención, el sujeto realiza una acción sobre el medio. El medio reacciona a la

acción del sujeto; esta reacción recibe el nombre de retroacción. El sujeto interpreta

esta retroacción del medio, que adquiere un sentido para él y así puede validar o

invalidar la acción, es decir, puede decir si la acción realizada le sirvió para alcanzar

su intención o no. Esta validación puede tomar dos valores: validación negativa, en

cuyo caso el sujeto abandona la acción realizada y comienza un nuevo ciclo de

interacción con una acción diferente; o validación positiva, en cuyo caso el sujeto

refuerza la acción, es decir la integra como una respuesta automática a su intención.

De los cinco elementos mencionados anteriormente son únicamente observables la acción y

la retroacción, puesto que los restantes son internos del sujeto, aunque también son

observables los efectos de la validación (cambio o refuerzo de la acción), los cuales son

señales de aprendizaje.

Según Corzo y Delgado (2010) el medio es un ente que el profesor puede manipular con el

fin de llegar a obtener los objetivos de aprendizaje esperados. Este debe tener las siguientes

características:

1) Ser exterior al estudiante: El estudiante debe reconocerle una existencia objetiva

2) Ser material: El estudiante puede interactuar con él por medio de acciones

3) No debe tener ninguna intención: no debe ser percibido como una persona

4) Imponer restricciones a la acción: no cualquier acción es posible

En conclusión se puede decir que un aprendizaje por adaptación se da cuando un sujeto, al

interactuar con un medio, cambia o refuerza sus acciones para alcanzar sus objetivos.

10

Situación Didáctica vs Situación A-Didáctica

La TSD define situación didáctica como aquella en la que intervienen 3 factores: un

profesor, un estudiante y un saber. De acuerdo a la TSD no es posible trasmitir el saber de

forma directa a los estudiantes. Más bien se debe propiciar el aprendizaje por adaptación

promoviendo la interacción de los estudiantes con un medio intencionalmente diseñado. La

TSD llama situación a-didáctica a esta estrategia indirecta.

Saber Vs Conocimiento

Según Carreño y Díaz (2014), para la Teoría de Situaciones Didácticas el saber y el

conocimiento son conceptos distintos:

El conocimiento es fruto de una experiencia, y por lo tanto es personal y

contextualizado. Cada sujeto tiene un conocimiento diferente, marcado por su

experiencia personal y por el contexto de la misma. Por su parte, el saber es

impersonal y descontextualizado, por lo tanto se opone al conocimiento. El saber es

un “saber sabio”, porque es producto de una comunidad con autoridad reconocida y

por ende es institucional.

11

Se podría concluir que el conocimiento se da como resultado de un ciclo de aprendizaje

por adaptación, completando de esta manera lo que llamamos situación a-didáctica; la cual

es la estrategia que usa el profesor para que el estudiante construya determinado

conocimiento personal y contextualizado y de esta manera pueda realizar la

institucionalización que consiste en: “explicitar las relaciones entre el conocimiento

construido por los estudiantes y el saber” (Carreño, 2014, p 24).

El hecho de introducir un saber partiendo de los conocimientos construidos por ellos

mismos, asegura que el saber adquiera sentido para los estudiantes, puesto que lo podrán

relacionar con su experiencia personal. Pero si se intenta introducir directamente el saber,

los estudiantes no tendrán una experiencia con cual relacionar dicho saber lo que tendrá

como consecuencia una pérdida del sentido.

Según tales Ramón (2015) que cita a Margolinas (1993), al analizar la enseñanza debemos

prestar atención a tres procesos esenciales: proceso de validación, proceso de devolución y

proceso de institucionalización.

Proceso de Validación

Es aquel que abarca los cinco elementos de interacción del sujeto con el medio. Incluye

todo lo que hace o piensa el estudiante, que le posibilita concluir si lo que hizo está bien o

mal. Como la validación es indispensable para el aprendizaje por adaptación, el profesor

debe acompañar y guiar el proceso de validación.

Proceso de devolución

Es el proceso de acompañamiento que realiza el profesor al proceso de devolución del

estudiante. El profesor debe cuidar y favorecer la interacción del sujeto con el medio e

impedir que dicho proceso se interrumpa. Por esta razón tiene que estar presente en la fase

a-didáctica con el fin de hacer comprender el problema a los estudiantes, mostrarles las

posibilidades de acción y hacer tomar conciencia al estudiante de las retroacciones del

12

medio. Sin embargo no debe olvidar que tiene que cuidar del proceso de validación

absteniéndose de dar juicios sobe el trabajo del estudiante o proporcionar alguna idea de las

acciones que permiten la solución del problema.

Proceso de institucionalización

De acuerdo a Margolinas (1993), la institucionalización da inicio desde la presentación del

problema y tiene dos momentos importantes: La fase de balance y la fase de

institucionalización. La fase de balance es aquella donde el profesor busca los conocimientos

conseguidos en la fase a-didáctica y llega a acuerdos sobre los procedimientos correctos o

incorrectos. En la fase de institucionalización el profesor da a conocer el saber matemático,

poniéndolo en relación con las experiencias obtenidas en la fase a-didáctica y con los

acuerdos logrados en el balance. El propósito principal en el proceso de institucionalización

es: “independizar gradualmente la validación del medio material, para lograr que los alumnos

puedan validar utilizando el saber” (Ramón, 2015, p 16)

Cabri como medio para el aprendizaje por adaptación

Según Ramón (2015), el software de geometría dinámica está programado para producir

fenómenos visuales en la pantalla que corresponden a propiedades teóricas de la geometría.

Estos fenómenos visuales, tanto estáticos como dinámicos, serán las retroacciones a las

acciones de los estudiantes. De esta manera, se garantiza que los conocimientos construidos

en la interacción con el software tendrán una relación con el saber geométrico que se quiere

enseñar, y que está a la base de la programación del software. (p 17)

Para que haya un aprendizaje por adaptación según Carreño y Díaz (2014) que citan a

Margolinas (2006), el profesor debe abstenerse de intervenir señalando los errores de los

estudiantes confiando plenamente en el medio, pues este generará las retroacciones

necesarias para que el estudiante mismo encuentre sus errores.

Cabri realiza dos tipos de retro-acciones según Acosta, Monroy y Rueda (2010):

13

1) Acción construir: Haciendo uso de las herramientas de Cabri, se puede pedir a Cabri que

dibuje en la pantalla diferentes objetos geométricos (rectas, segmentos, círculos,

polígonos, etc.) con relaciones entre ellos (pertenencia, perpendicularidad, paralelismo,

etc.). La retroacción correspondiente a construir es un dibujo estático en la pantalla, que

corresponde a lo que se le pidió que construyera. Ejemplo: si se selecciona la herramienta

segmento y se hacen dos clics en la pantalla, aparece un segmento de recta limitado por

dos puntos.

2) Acción arrastrar: La herramienta apuntador permite asir los objetos ya construidos y

desplazarlos en la pantalla, garantizando que las relaciones geométricas construidas se

mantienen durante el movimiento. Las retroacciones correspondientes a la acción

arrastrar son: Algunos objetos se mueven, y ese movimiento tiene patrones determinados.

14

Metodología

Ingeniería-didáctica

Según Carreño y Díaz (2014)

La ingeniería-didáctica es una metodología de investigación de la escuela francesa que hace

una confrontación entre un análisis a-priori y un análisis a-posteriori. El análisis a-priori es

un conjunto de hipótesis sobre el aprendizaje que se puede lograr considerando a un

estudiante y controlando un conjunto de variables didácticas en el funcionamiento del

medio con el cual el estudiante va a interactuar para resolver un problema. El análisis a-

posteriori es la confrontación de esas hipótesis con los datos recogidos de un experimento

aplicado a una población determinada. ( p 29)

Como lo aclara Artigue (1995), una ingeniería-didáctica tiene 4 fases a considerar:

Análisis preliminar

Este hace referencia al análisis del saber, a las concepciones de los estudiantes, dificultades,

hipótesis y el contexto sobre el que se desarrollara la situación a-didáctica. Para esta fase se

analizan y determinan todos los factores que intervienen en el sistema didáctico y las

relaciones entre ellos.

Diseño

Para Carreño y Díaz (2014) en esta fase el investigador es el encargado de tomar la decisión

de actuar sobre variables del sistema que no estén fijadas por las restricciones. Se conocen dos

tipos de variables:

Variables macro-didácticas o globales y Variables micro-didácticas o locales, las cuales desde

Artigue (1995) “Ambas variables pueden ser generales o bien independientes del contenido

15

didáctico en el que se enfoca la enseñanza” aunque la segunda va enfocada más a la gestión y

secuencia de clase.

Experimentación

En esta fase la actividad diseñada se aplica tal cual esta especificada en el análisis a-prori. Para

esta fase el investigador controla las actividades además de tomar registro de los sucesos,

puesto que los datos que se obtengan serán la base de la siguiente etapa (Análisis a-posteriori).

Análisis a-posteriori

Para esta fase se analizan los datos recolectados en la etapa anterior en el cual se encuentran

las observaciones realizadas, las producciones de los estudiantes fuera y dentro del aula,

cuestionarios, entrevistas entre otras, confrontándolos con el análisis a-priori.

Este trabajo de grado consiste en desarrollar esta fase y exponer los resultados.

Población

La experimentación se realizó en el curso 702 del I.E.D Pompilio Martínez de Cajicá,

aproximadamente a 35 estudiantes a los cuales se les aplicaron 4 actividades de simetría axial.

Las actividades se realizaron en la sala de informática y con la dirección del profesor de

matemáticas.

Para este caso la profesora Yobana de matemáticas fue instruida por parte de los autores del

trabajo a lo largo de la experimentación, con el fin de lograr un manejo adecuado tanto de las

actividades como de la metodología de trabajo. Cabe aclarar que en este documento sólo se

encuentran las trascripciones y el respectivo análisis de las actividades 3 y 4 para simetría

axial.

16

Recolección de datos

Se filmó el trabajo de una pareja de estudiantes durante todas las actividades, en este trabajo

encontramos toda la información relacionada a las trascripciones y el análisis de las

actividades 3 y 4 para simetría axial, además de las intervenciones de la docente durante las

puestas en común.

17

Análisis de la actividad 3

En este apartado se realiza el análisis a-posteriori de la actividad 3. El diseño de la

actividad se explica en el análisis a priori que se encuentra en el anexo A.

La forma en la que estaba diseñada la actividad 3 era la siguiente:

Primera tarea:

En la fase a-didáctica los estudiantes se enfrentan solos al software para solucionar

los archivos de la serie 3-1 a la 3-6.

En la puesta en común los estudiantes exponen la forma en que solucionaron las

series 3-1 a 3-6. La profesora debe inducir a los estudiantes a exponer sus

estrategias y a reconocer las propiedades de la simetría axial que se desarrollan.

Segunda tarea:

En la serie 3-7 los estudiantes deben intentar colocar un segmento entre dos

triángulos de manera que sea el espejo. Las estrategias perceptivas se invalidan dado

que uno de los triángulos cambia de posición. Se crea la necesidad de una

herramienta nueva. En esta serie se contempla que la profesora interviene para

mostrar la herramienta punto medio solamente cuando los estudiantes manifiesten

expresamente la necesidad de esta herramienta. El profesor debe intervenir para

orientar el uso de la herramienta segmento y punto medio.

Al finalizar la serie 3-7 la profesora debe hacer una puesta en común para guiar al

grupo a establecer explícitamente las condiciones necesarias para que haya simetría

axial.

18

La forma en la que se implementó la tercera actividad por parte de la profesora fue la

siguiente.

Primera tarea:

No tenemos datos sobre la implementación de la fase a-didáctica. No tenemos los

videos donde se observa el desarrollo de las series 3-1 a 3-6.

En la puesta en común, los estudiantes frente al tablero explican cómo abordaron el

problema y qué procedimientos realizaron para darle solución o cuales fueron las

dificultades que le impidieron hacerlo. En este punto, por medio de preguntas, la

profesora guio a los estudiantes a expresar la necesidad de tomar la medida de un

segmento dentro del software para poder hallar el punto medio entre los vértices

correspondientes. De manera que la profesora presentó las herramientas del

software que permiten obtener estas medidas y hallar el punto medio entre dos

puntos o el punto medio de un segmento.

Segunda tarea:

Antes de realizar la serie 3-7 los estudiantes desarrollaron la serie 3-1 con las

herramientas anteriormente presentadas por la profesora. Luego intentan realizar los

mismos pasos para resolver la serie 3-7.

En los videos no se tienen evidencias de que la docente al final de la actividad 4

haya tenido una puesta en común donde se estableciera lo que debía hacerse y de

qué forma.

19

Análisis de la fase a-didáctica

No se tiene evidencia de lo ocurrido en esta fase. No hay videos de lo que los estudiantes

hicieron de la serie 3-1 a la 3-6 en esta fase a-didáctica.

Análisis de la puesta en común

Es este apartado analizaremos la intervención de la docente durante la puesta en común.

Observaremos si esas intervenciones permiten evidenciar que los estudiantes tuvieron un

aprendizaje por adaptación durante las fases a-didácticas.

Tarea: reconocer las diferentes estrategias de los estudiantes y validarlas o desvirtuarlas

1

Estudiante 1: (en el tablero dibuja un

segmento de recta que pasa por medio de dos

triángulos) [la profesora le pidió que dibujara

en el tablero la posición correcta del segmento]

Profesora: ¿Ese sería el espejo? ¿Qué era lo

que tú estabas haciendo ahí estudiante 1? Tú

estabas trabajando algo con la regla. ¿Qué

estabas tratando de hacer? ¿Estabas midiendo?

Estudiante 1: No profe, yo solamente estaba…

jajajaa

2

Profesora: Pero miren, si nosotros tuviéramos

un espejo y fuera representado por ese

segmento ¿podríamos decir que la imagen es el

triángulo verde?

Estudiantes de fondo: Sí. Sí. Totalmente. No

3

Profesora: Pues verifiquemos

Estudiante 1: Venga a ver miramos

20

4

Profesora: ¿Qué es lo que tienes que hacer?

Mueve el segmento de tal manera que sea el

espejo.

Estudiante 1: (desplaza el segmento de recta y

lo superpone con la línea que trazó en el

tablero)

5 Profesora: ¿Salió el “Muy bien”?

6 Estudiantes de fondo: No

7 Profesora: ¿Por qué estará mal?

8

Estudiante 1: De pronto no está en la mitad.

Espere medimos. (Se acerca al tablero y con

una regla mide la distancia entre el vértice A y

el vértice A´ y marca la mitad de la distancia

con un punto)

9

Estudiante 1: (mide la distancia entre los

vértices correspondientes A-A’, B-B’ y C-C’) y

hace una marca en la mitad de las tres

distancias.

21

10

Profesora: Observen que maneja otra parte de

los triángulos. [refiriéndose a que no solamente

considera la distancia entre los vértices A y A’]

¿Eso es importante?

Estudiantes de fondo: Sí.

Profesora: No sólo está trabajando los dos

vértices cercanos [A y A’].

11

Estudiantes de fondo: ¿Y cómo hacemos para

medir en el computador?

Profesora: O sea que nos haría falta algo en el

computador para medir; ¿es lo que me están

diciendo?.

12

Estudiante 1: (Traza una línea recta que pasa

por los tres puntos que marcó en el tablero).

13

Estudiante 1: (Manipula la recta en el software

para que coincida con la que trazó en el

tablero) No salió [refiriéndose al letrero “Muy

Bien”]

22

14

Profesora: Mientras que pasa Estudiante 4. Sí,

existe en el programa un botoncito para medir

distancias. Entonces tendríamos que volver a

salir del programa. Por favor sal del programa.

Entra otra vez, pero no entras por herramientas.

Entras directamente a la actividad tres. Y

vamos a intentarlo. Entramos en actividad 3,

serie 3-2.

Estudiante 4: (cierra el programa y abre el

archivo 3-2. Inicia de nuevo).

15

Profesora: Bien. Ahora observen que entre los

botoncitos hay una letra que es la A, que dice

distancia o longitud. Y ahora. ¿De dónde a

dónde tendríamos que medir?

16

Estudiantes de fondo: Del punto rojo al otro

punto.

Estudiante 4: (selecciona la herramienta

distancia o longitud, acerca el cursor al

triángulo rojo y aparece el letrero ‘perímetro de

este triángulo’, hace clic y aparece 9,02

centímetros). [Al parecer la estudiante intenta

medir la distancia entre los vértices A y A’

pero resulta midiendo el perímetro del

triángulo rojo]

23

17

Profesora: Esa sería la distancia. ¿Pero

solamente con esa distancia podemos hacer

algo? [la profesora no se dio cuenta que el

número no corresponde a la distancia entre los

puntos]

18 Estudiantes del fondo: No

19 Profesora: ¿Entonces qué tendríamos que

hacer? ¿Qué necesitaríamos?

20

Estudiante 4: Medir de la punta de abajo del

triángulo verde a la punta de arriba del

triángulo rojo.

21

Profesora: ¿Qué más podríamos hacer? Porque

me dicen, no es suficiente con tener la

distancia. ¿Tú qué hiciste con esa distancia

estudiante 1?

22

Estudiante 1: También medí la distancia de

aquí a aquí y la distancia de aquí a aquí.

(Señalando las parejas restantes de vértices

correspondientes B-B’ y C-C’)

24

Estudiante 1: Y después le puse rayita aquí,

aquí y aquí. [señalando con el dedo

aproximadamente la mitad de las distancias

entre los vértices A-A’, B-B’ y C-C’]

Profesora: Y esa rayita ahí, ¿qué significaba?

24

Estudiante 1: Las rayitas que estaban en la

mitad significaba por donde tenía que pasar la

línea

25

Profesora: Bueno, por donde tenía que pasar la

línea. Pero, ¿ese puntito? (refiriéndose a las

rayitas que marcaban la mitad de las distancias)

26

Estudiante 1: Era la mitad entre los dos

[vértices A y A’]

27

Profesora: Entonces miremos a ver si dentro

del programa también hay algo que se llama

punto medio. ¿Cierto?. Porque eso es lo que

ustedes me estaban diciendo. Entonces

busquemos donde dice punto medio. Ahora nos

dirigimos otra vez a los puntos. ¿Ahí, qué dice

el programa?

25

28

Estudiante 2: (Cierra el archivo y lo vuelve a

abrir. Ubica el cursor sobre el vértice A del

triángulo rojo y se lee un mensaje) punto medio

de este punto (hace clic sobre el vértice A)

29

Profesora: Hacen clic en punto medio desde

este punto y este punto.

Estudiante 2: (acerca el cursor al vértice A’.

aparece un letrero). Punto medio a este punto.

(hace clic sobre el vértice A‘. Aparece un punto

en la pantalla y el letrero ‘punto medio de este

punto’).

Profesora: Ahora van a tomar de nuevo la

herramienta distancia o longitud y van a tomar

la distancia entre los vértices.

Estudiante 2: (utiliza la herramienta distancia

y halla la distancia entre los vértices A y A’)

2.5 cm

Profesora: ¿para qué colocamos ese puntito de

la mitad?

Estudiante 2: para tomar la medida desde un

punto hasta el punto medio.

Profesora: ahora nos toca tomar la distancia

desde un vértice hasta al punto medio y desde

el punto medio hasta el otro vértice.

Estudiante 2: (halla los puntos medios entre

los pares de vértices B-B’ y C-C’)

26

30

Estudiante 1: [después de hallar los puntos

medios] ¿y ahora paso la línea?

31

Profesora: Si tienes la idea hazlo.

Estudiante 1:(toma la línea en el software y la

hace pasar por los puntos medios hallados. El

software presenta la frase “Muy bien”.)

32

Profesora: ¿ya lo pudieron hacer todos? Bien.

(Solamente hay 18 minutos de video para una

puesta en común)

La profesora invitó a los estudiantes a dibujar en el tablero la línea que representa el espejo

entre los dos triángulos. Los estudiantes debían ser capaces de trazar la línea de manera que

represente el espejo tomando elementos de la gráfica proyectada.

Una estudiante propuso la utilización de la regla para medir las distancias entre un par de

vértices correspondientes. Marca el punto medio en un sólo par de vértices y traza una línea

que debía ser el espejo. La profesora pregunta a sus estudiantes si creen que está bien y por

qué. Esto se observa de la línea 1 a la 4. Algunos estudiantes dicen que está bien y otros

dicen que está mal. La profesora procede a la verificación. Para esto la estudiante traslada

el segmento del software y lo superpone con el dibujado en el tablero. La respuesta del

software es negativa. La profesora les pregunta a los estudiantes qué falta, por qué no salió

el muy bien. Esto se ve de la línea 5 a la 7.

Uno de los estudiantes responde y le dice a la clase que le faltó medir la mitad entre otro

par de vértices correspondientes y que la línea debía pasar por ese punto también. Una

estudiante pasa al tablero, borra la línea dibujada por la estudiante anterior y utiliza una

regla para ubicar la mitad de las distancias entre los tres pares de vértices correspondientes.

En este punto la profesora resalta el hecho de que el estudiante tuviera en cuenta no sólo un

27

par de vértices sino que también tuvo en cuenta los otros dos. Esto ocurre de la línea 8 a la

10. Después de hallar las tres mitades y marcarlas en el tablero, la estudiante traza una línea

que pasa por esos puntos. La profesora pregunta que si ahora estará bien dibujado el espejo.

Los estudiantes responden que sí y la profesora procede a verificar por medio del software.

Nuevamente coloca el segmento del software sobre la línea que trazó la estudiante y esta

vez tampoco sale el muy bien.

En este punto la profesora menciona que dentro del programa hay una herramienta que se

llama ‘Distancia o longitud’ con la que se pueden hallar las distancias entre puntos.

Después de hallar la primera distancia entre el par de vértices correspondientes A-A’, la

profesora pregunta a los estudiantes si solamente con una distancia es posible obtener una

respuesta positiva del software (línea 17), y los estudiantes responden que es necesario

hallar la mitad de las distancias entre las tres parejas de vértices correspondientes (línea 20

a la 22). Después de esto la docente menciona a los estudiantes que en el programa existe

una herramienta que se llama ‘punto medio’ que se podría utilizar en este caso. Un

estudiante se apresura a hallar los puntos medios y traza la línea por los puntos medios y el

software responde afirmativamente.

Análisis

En los videos no se aprecia si la profesora después de obtener la respuesta positiva hace un

ejercicio de reflexión. Durante el video la profesora indujo a los estudiantes a reconocer los

errores que se cometían por medio de la verificación.

Las intervenciones de la profesora en algunos casos fueron adecuadas y en algunos otros

casos fueron inadecuadas. Mencionando los casos donde la profesora intervino de manera

acertada fue el momento en el que hizo que un estudiante dibujara un segmento en el

tablero y verificara con el software (línea 4). También fue acertado el momento cuando por

medio de preguntas indujo a los estudiantes a reconocer que no era suficiente con

considerar las distancias entre los vértices y que tampoco bastaba con hallar la mitad de la

distancia entre una apareja de vértices correspondientes. Como resultado de estas

intervenciones los estuindates reconocieron la necesidad de la equidistancia entre los

vértices correspondientes y el eje de simetría pero no lo explicitaron. Los estudiantes

28

concluyeron que era necesario considerar más de un pareja de vértices correspondientes y

que debían estar a la misma distancia (línea 17 a 29).

Durante el reconocimiento de la necesidad de la equidistancia por parte de los estudiantes,

se presentó un error que consistió en que la profesora decidió mostrar la herramienta

“distancia o longitud” de manera apresurada (línea 15). También se observa que la

profesora Introduce la herramienta punto medio (línea 23 a 27). La aparición de estas

herramientas dentro del trabajo estaban previstas más adelante. Posiblemente se vean sus

efectos en las series posteriores. Otro elemento negativo es que al finalizar el video no se

observa una conclusión por parte de la profesora.

Esta puesta en común presentó a los estudiantes las herramientas del software que

permitiría hallar las medidas o lo puntos medios dentro del software. De aquí en adelante

los estudiantes hacen uso de las herramientas para el desarrollo de las demás actividades.

Esta puesta en común aparte de ser demasiado corta, es diferente a como se tenía pensada

en el análisis a priori. No se tenía pensado que la docente presentara las herramientas de

punto medio y distancia todavía. Esto se debía hacer después de enfrentar a los estudiantes

al archivo 3-7. En este punto sólo se debían establecer las condiciones por parte de la

profesora que debían cumplir los triángulos y el segmento.

29

Análisis de la serie 3-7

Después de la puesta en común la profesora invita a los estudiantes a utilizar la herramienta

punto medio para solucionar la tarea de la serie 3-1. Esto no estaba previsto en el análisis a

priori, puesto que esta herramienta no debía introducirse antes de la serie 3-7. Observamos

las dificultades de los estudiantes para utilizar correctamente la herramienta punto medio.

Serie 3-1

Tarea: Ubicar el segmento de modo que represente el espejo entre el triángulo rojo y el

verde.

1

Profesora: ¿Dónde ubicarías punto medio?

Estudiante 2: Aquí. (Coloca el cursor en el

medio de los vértices A y A’)

2

Estudiante 2: (traza un segmento colocando

los extremos cerca a los vértices C y C’ y traza

otro segmento colocando los extremos cerca a

los vértices A y A’. Utiliza la herramienta

punto medio y marca los puntos medios de los

segmentos que acaba de trazar.)

30

3

Estudiante 2: (cierra y vuelve a abrir el

archivo serie 3-1. Traza un segmento

colocando los extremos cerca a los vértices C y

C’. Luego traza otro segmento colocando los

extremos cerca a los vértices A y A’. Halla los

puntos medios de los segmentos que acaba de

trazar. Luego mueve el segmento que

inicialmente aparece al abrir el archivo de

manera que pase por encima de esos dos puntos

medios. El software muestra el aviso ¡Muy

bien!) [En este caso aunque el software

muestra el letrero ¡Muy bien! El procedimiento

fue inadecuado. El estudiante no utilizó el

punto medio entre los vértices, sino que utilizó

el punto medio de un segmento cuyos extremos

estaban cerca a los vértices con una longitud

similar como se puede ver en la imagen. Ésta

similitud fue la que ocasionó que el segmento

que se quería obtener y el que se obtuvo

pasarán muy cerca y en la misma dirección,

tanto así que el software reconoció como

correcto el resultado]

4

Profesora: Bien chicos. Acabamos de trabajar

punto medio ¿cierto? Vamos a trabajar entre

los puntos y vamos a encontrar el punto medio.

Ya saben trabajar con el botón punto medio. La

idea es que trabajen punto medio en la

actividad 3-7.

31

Para solucionar el archivo 3-1 los estudiantes pretendían trazar un segmento entre los

vértices A-A’ y los vértices C-C’, pero no tomaron como referencia los vértices sino que

los extremos de los segmentos que pasaron, fueron puntos cercanos a los vértices. Todos

estos puntos que son los extremos de los segmentos quedaron alineados entre cada pareja

de vértices y a la misma distancia de estos.

Los estudiantes utilizaron las herramientas del software y hallaron el punto medio de dichos

segmentos. Luego tomaron el segmento que representa le espejo y lo trasladaron de manera

que pasara sobre los dos puntos medios. El software le responde positivamente mostrando

el letrero “Muy Bien”. La puesta en escena finaliza con la intervención de la profesora

quien menciona que la misma herramienta ‘punto medio’ se debe trabajar en la serie 3-7.

Los estudiantes que se observan en el video comprendieron la necesidad de hallar los

puntos medios entre las parejas de vértices correspondientes y hacer pasar el segmento por

esos puntos. Los estudiantes obtuvieron la respuesta positiva del software pero no

realizaron el ejercicio de manera correcta, pues los extremos de los segmentos de los cuales

obtuvieron el punto medio no coincidían con los vértices. Se presentó un fenómeno en el

que las medidas coincidían pero la construcción no era válida.

Serie 3-7

Segunda tarea (En la séptima figura) construir un segmento de modo que represente el

espejo que refleja el triángulo rojo en el triángulo verde

1

Estudiante 2: (abre el archivo 3-7. Traza un

segmento entre los dos triángulos)

[aproximadamente representa el espejo]

32

2

Profesora: Listo. Ustedes ubicaron un segmento.

¿No me has entendido para qué lo del punto

medio cierto?

3 Estudiante 2: Pues para saber que hay un reflejo

totalmente igual

4 Profesora: Bueno que tal si nos vamos para el 3-

1 a ver si de pronto lo comprenden por ese lado

5

Estudiante 1: (abre el archivo 3-1) pero ya lo

hicimos. Colocamos el segmento de acá a acá

(señalando los vértices C y C’) y de acá a acá

(señalando los vértices A y A’) hallamos los

puntos medios de esos segmentos y por ahí

pasamos el segmento.

6

Profesora: Esa experiencia que tuvieron al

realizar la tarea 3-1 ¿cómo la pueden trabajar en

la construcción del 3-7?

7

Estudiante 1: (abre el archivo 3-7 une los

vértices correspondientes A-A’, B-B’ y C-C’ con

segmentos. [Nuevamente comete el error de no

marcar los vértices de la pareja A-A’

exactamente sino puntos cerca a los vértices]

33

8

Estudiante 1: (marca los puntos medios de cada

segmento utilizando la herramienta punto medio.

Mueve el punto en el círculo y la figura se

desplaza, es ahí donde se da cuenta que le quedó

mal hecha la construcción.) [No consideró la

precisión necesaria para seleccionar cada

componente de la construcción. Quería

establecer segmentos entre cada pareja de

vértices correspondientes, luego hallar el punto

medio de cada segmento]

9

Estudiante 1: (Cierra el archivo. Abre otra vez

el archivo 3-7 e inician el proceso de nuevo.

Unen con un segmento los vértices A y A’, y los

vértices C y C’. Hallan los puntos medios de esos

segmentos).

34

10

Estudiante 2: y ahora punto medio de esos dos

Estudiante 1: (une los dos puntos medios con un

segmento, pero al momento de seleccionar el

segundo punto selecciona un punto en el plano

de manera que el segmento pase por encima del

punto requerido) [este último procedimiento es

erróneo y se debe a que el estudiante todavía no

tiene claridad sobre la necesidad de seleccionar

un elemento para que éste quede ligado al otro

elemento. Simplemente hace pasar un segmento

por encima de un punto y piensa que pasa por el

punto.]

Estudiante1: ya, ¿y ahora?

11

Estudiante 1: (coloca el cursor sobre el punto en

la circunferencia y el triángulo verde gira y se

desplaza permitiendo a los estudiantes verificar

que la construcción les quedó mal)

Estudiante 1: Noooo ¿y ahora qué nos quedó

mal?

12

Estudiante 1: (cierra y vuelve a abrir el archivo

y esta vez coloca un segmento entre los

triángulos) [estimando su posición para que

represente el espejo entre los dos triángulos].

35

13

Estudiante 1: (Selecciona la herramienta

simetría axial y dibuja la imagen del triángulo

rojo reflejada en el segmento. Comienza a mover

los componentes de la construcción para hacer

que coincidan las dos sombras.)

14

Estudiante 2: Ese rojo tiene que quedar encima

del verde.

Estudiante 1: ¿Y uno cómo lo hace? ¿Depende

del segmento?

Estudiante 2: No, del triangulito.

Profesora: Recuerden que eso deben ir

escribiéndolo en su cuaderno (dice esto para toda

la clase)

15 Profesora: ¿Que están haciendo? ¿Qué van a

hacer? (pegunta a estudiante 1 y 2)

16 Estudiante 2: Hacer que el reflejo del triángulo

rojo quede sobre el verde.

17

Profesora: Ubica el cursor y dale vueltas. Eso

debe representar el espejo. (Señalando el

segmento de recta). ¿Lo está representando?

18 Estudiante 1: Sí

36

19

Profesora: Apliquen lo que hicieron en la

actividad 3-1. Coloquen un segmento y apliquen

lo mismo que habían trabajado. ¿De acuerdo?.

Hacían los segmentos ¿y luego encontraban qué?

20 Estudiante 1: Los puntos medios

21 Profesora: ¿pero solamente de un par de

vértices?

22 Estudiante 1: No, de todos

23 Profesora: ¿y entonces ahora qué tendrán que

hacer?

24

Estudiante 2: (Cierra el archivo. Abre el archivo

3-7. Traza un segmento entre los dos triángulos)

[aproximadamente representa el espejo]. Utiliza

la herramienta simetría axial y hace que la

imagen del triángulo con respecto al segmento

aparezca [este nuevo triángulo rojo tendrá

vértices A’’, B’’ y C’’]. Cuadra el segmento para

que la imagen del triángulo rojo coincida y se

superponga con el triángulo verde. Coloca el

cursor sobre el punto de la circunferencia y el

triángulo verde se desplaza. Traza segmentos

entre los tres pares de vértices correspondientes

A-A’’, B-B’’ y C-C’’. Halla el punto medio de

los segmentos que acaba de construir y esos

puntos quedan exactamente en la intersección de

los segmentos con la recta inicial.) [realizó una

construcción sin relación con el triángulo verde]

37

25

Estudiante 2: (Mueve el punto en la

circunferencia, el triángulo rojo A’’, B’’, C’’ no

superpone al verde A’, B’, C’ en todo momento)

En esta serie podemos observar que los estudiantes intentan ubicar los puntos medios entre

los vértices para poder pasar por allí el segmento que represente el espejo. Los estudiantes

tenían las ideas claras pero los procedimientos no tanto. En el video se puede observar que

los estudiantes sabían que tenían que hallar el punto medio entre los vértices

correspondientes y para esto trazaron primero los segmentos. Al trazar los segmentos no

ubicaron correctamente los extremos de estos y la construcción queda mal hecha. (Línea 7 a

8). Al utilizar la verificación por arrastre (mover el puto sobre el círculo que hace que el

triángulo verde se desplace) los estudiantes invalidan su estrategia y deciden volver a

comenzar.

La siguiente acción fue trazar los segmentos entre los vértices correspondientes y lo

hicieron de manera correcta, pero al momento de trazar el segmento sobre los puntos

medios, los estudiantes no seleccionaron esos puntos medios. Simplemente trazaron un

segmento que pasara por encima de los puntos (línea 10 a 11), esto corresponde a la acción

1 del análisis a priori. Desde luego el software no vincula el segmento con los puntos; en la

línea 10 se ve que al mover el punto sobre la circunferencia se desplaza el triángulo verde y

la construcción no garantiza que en todo momento el triángulo rojo (reflejo) se coloque

sobre el triángulo verde.

En la línea 12 se ve que nuevamente realizan la construcción sin tener en cuenta que los

elementos dentro del software se deben vincular para que al mover la construcción esta

relación se conserve. En este punto los estudiantes realizaron la acción 5 a la mitad, pues

ubicaron correctamente los puntos medios entre los vértices pero a la hora de trazar el

segmento no tomaron como puntos extremos estos puntos sino que hicieron que el

segmento les pasara por encima.

Análisis de la serie 3-7

38

La forma en que se debía desarrollar la actividad, era enfrentando a los estudiantes a la

serie 3-7 sin conocer las herramientas. Ellos debían conocer la necesidad dela equidistancia

y expresar la necesidad de la herramienta punto medio, que fue la que presentó la docente

anteriormente. La profesora al parecer consideró que los estudiantes debían practicar la

utilización de la herramienta punto medio (que aún no debían conocer) en la serie 3-1 y

luego aplicarla en la serie 3-7. Esta fue una consecuencia de haberse apresurado a

introducir la herramienta.

De lo observado en el desarrollo de esta serie podemos identificar que los estudiantes

comprendieron correctamente lo que se debía realizar pero no el cómo. Si bien

reconocieron la relación espacial entre los triángulos y su reflejo, tuvieron una dificultad a

la hora de la utilización del software, pues éste pide una relación de vínculo entre elementos

que pueda que no haya quedado clara en la explicación. Es decir, los estudiantes querían

efectivamente tratar un segmento entre vértices opuestos pero al hacerlo no seleccionaron

los vértices como extremos sino puntos en el plano (línea 7).

Como conclusión podemos decir que los estudiantes no realizaron correctamente la

segunda tarea, pero lograron el objetivo de acuerdo a lo que se esperaba en el análisis a

priori. Pues la estrategia de ajuste perceptivo fue invalidada por el movimiento de los

objetos y los estudiantes reconocieron la necesidad de que en todo momento se debía

conocer el punto medio entre los vértices correspondientes.

39

Análisis de la actividad 4

En este apartado se realiza el análisis a-posteriori de la actividad 4. El diseño de la

actividad se explica en el análisis a-priori que se encuentra en el anexo A.

La forma en la que estaba diseñada la actividad 4 era la siguiente:

Primera tarea:

En la fase a-didáctica los estudiantes se enfrentan solos al software para solucionar

los archivos de la serie 4-1 a la 4-6.

En la puesta en común los estudiantes exponen la forma en que solucionaron las

series 4-1 a 4-6. La profesora debe inducir a los estudiantes a exponer sus

estrategias y a reconocer las propiedades de la simetría axial que se desarrollan.

Segunda tarea:

En la serie 4-7 los estudiantes deben intentar colocar un segmento entre dos

triángulos de manera que sea el espejo y comprobarlo utilizando la herramienta

simetría axial. Las estrategias perceptivas se invalidan dado que uno de los

triángulos cambia de posición. Se crea la necesidad de una herramienta nueva. En

esta serie se contempla que la profesora interviene para mostrar la herramienta

punto medio solamente cuando los estudiantes manifiesten expresamente la

necesidad de esta herramienta. La profesora debe intervenir para orientar el uso de

la herramienta punto medio y simetría axial.

Al finalizar la serie 4-7 la profesora debe hacer una puesta en común para guiar al

grupo a establecer explícitamente las condiciones necesarias para que haya simetría

axial.

40

La forma en la que se implementó la cuarta actividad por parte de la profesora fue la

siguiente.

Primera tarea:

En la fase a-didáctica los estudiantes se enfrentaron solos al software para

solucionar los archivos de la serie 4-1 a la 4-6. Utilizaron sus estrategias, adoptaron

unas y abandonaron otras.

Los estudiantes pasaron de la serie 4-6 a la serie 4-7 saltándose la puesta en común.

Segunda tarea:

No se tiene videos donde se muestre o si se realizó la serie 4-7.

La profesora realiza una puesta en común de lo realizado por los estudiantes en la

actividad 4. Los estudiantes frente al tablero explican cómo abordaron el problema y

qué procedimientos realizaron para darle solución y cuáles fueron las situaciones

que le dificultaron hacerlo. En este punto la profesora intenta que los estudiantes

lleguen a una generalización sobre los procedimientos que se deben realizar para

hallar la posición del otro triángulo para que la recta represente un espejo siempre.

41

Análisis de la fase a-didáctica

Serie 4-1

Tarea: Hacer que el triángulo verde sea el reflejo del triángulo rojo

1

Primer pantallazo

Estudiante 1: (Abre el archivo 4-1). Toca hacer

que el triángulo verde sea la imagen del triángulo

rojo. [las herramientas del programa están

visibles]

2

Estudiante 1: (coloca el cursor sobre el vértice B

y lo gira en sentido anti horario hasta dejarlo con

el lado AB paralelo a la recta)

3

Estudiante 1: (coloca el cursor sobre el vértice A

y lo arrastra acercándolo a la recta)

Estudiante 2: El verde, córralo más para arriba.

42

4

Estudiante 1: (gira el triángulo verde en sentido

anti horario de manera que los lados cortos de los

triángulos quedan aproximadamente paralelos y

aproximadamente equidistantes del eje de

simetría)

5

Estudiante 1: (utiliza sus dedos para comparar la

distancia que existe entre los dos triángulos y la

recta que representa el espejo) Uyyy no me quedó

en la parte que es.

Estudiante 2: mándelo más para abajo.

6

Estudiante 1: (selecciona la herramienta

‘distancia o longitud’ hace clic en el vértice A y

en el vértice A’, aparece el número 5,85 cm. Hace

clic en el vértice B y en el vértice B’, aparece el

número 5,87 cm)

7

Estudiante 1: arrastra el vértice B y gira en

sentido horario el triángulo verde hasta que los

números en la pantalla sean iguales)

43

8

Estudiante 1: (selecciona la herramienta

distancia o longitud y hace clic sobre la recta y

luego el vértice A’, aparece el número 3,11 cm.

Hace clic sobre la recta y luego sobre el vértice A,

aparece el número 2,79 cm)

9

Estudiante 1: (mueve el vértice A hacia arriba

hasta que las dos distancias que aparecen en la

pantalla son iguales. El software le dice al

estudiante que el vértice A y el vértice A’ se

encuentran a la misma distancia del eje de

simetría.)

10

Estudiante 2: Ahí ya quedó bien [refiriéndose a

las distancias]

Estudiante 1: Y eso que está todo igual, vea

Estudiante 1: pero no queda. Se supone que

debería salir el “Muy Bien”

Estudiante 2: ¿Y si no aparece el “Muy Bien”?

¿En este ejercicio tiene que aparecer el muy bien?

Estudiante 1: Es que ahí está perfectamente bien

ubicado

Estudiante 1: Pero a ellos si les aparece el “Muy

Bien”. El “Muy Bien” sí aparece.

11

Estudiante 1: (mueve el triángulo azul hacia la

izquierda y aparece el muy bien en la pantalla) [a

pesar de que las distancias entre los vértices y el

eje de simetría ahora son ligeramente diferentes]

¿Pero por qué?, si quedan desiguales.

44

Serie 4-2

20

Estudiante 1: (abre el archivo 4-2) en esta ocasión la línea

está diagonal hacia la derecha y tenemos que hacer el efecto

espejo entre los triángulos.

21

Estudiante 2: (gira el triángulo verde de manera que los

lados cortos de los triángulos queden aproximadamente

paralelos)

22

Estudiante 2: (arrastra el triángulo verde de manera que

coincidan los lados cortos de los triángulos.) [supongo que

verificando la relación de paralelismo entre los lados]

45

23

Estudiante 2: (aleja el triángulo y lo deja en la posición que

se ve en la imagen. Selecciona la herramienta distancia y

halla la distancia entre los vértices correspondientes A-A’ y

B-B’ 5,56cm.)

24

Estudiante 2: (arrastra el triángulo verde de manera que los

vértices correspondientes quedan verticalmente alineados y

los lados AB y A’B’ quedan paralelos) [intenta colocarlos

verticalmente alineados]

25

Estudiante 2: (desplaza el triángulo verde por la pantalla

hasta que los lados de los triángulos se sobreponen como en

la figura.) [intenta comparar los lados del triángulo para

comprobar relaciones espaciales]

26

Estudiante 2: (utiliza la herramienta “distancia” y halla la

distancia entre el vértice A y el eje de simetría. Y halla la

distancia entre el vértice A’ y el eje de simetría. Luego

desplaza el triángulo verde) [intentando que las distancias

halladas coincidan]

27 Estudiante 1: ¿será que ya pasamos a la otra? (pasan al

archivo 4-3 sin solucionar el 4-2)

46

Análisis de estrategias series 4-1 y 4-2

En estos dos extractos podemos observar que el estudiante utiliza algunas estrategias en

común para poder resolver el problema. Tanto en la línea 4 de la serie 4-1 como en la línea

21 de la serie 4-2 podemos observar que una de las estrategias iniciales del estudiante con

las que aborda el problema es mover el triángulo verde de forma que queden

perceptivamente paralelos un par de lados correspondientes. Esta estrategia no estaba

contemplada en el análisis a priori, sin embargo las retroacciones del medio la invalidan.

Otra estrategia que se puede observar al enfrentarse a las dos series es la de superponer

componentes del triángulo verde con el triángulo rojo. En la linea 3 de la serie 4-1 podemos

observar que el estudiante acerca tanto el triángulo verde hasta el eje de simetría que

prácticamente se superpone. Esta acción pudo haber sido para verificar el paralelismo entre

el lado del triángulo y el eje de simetría. De manera similar, en la línea 22 de la serie 4-2 se

observa que el estudiante superpone uno de los lados del triángulo verde con uno de los

lados del triángulo rojo, como estos dos lados eran correspondientes y el eje de simetría

paralelo a estos lados pues suponemos que el estudiante verifica condiciones de paralelismo

entre los componentes. Esta estrategia se encuentra parcialmente descrita en la acción 4 del

análisis a priori, sin embargo, la forma en la que se desarrolló no afecta en la retroacción

del medio puesto que se utilizó sólo para verificar propiedades espaciales entre triángulos y

el eje de simetría.

Los estudiantes después de realizar las estrategias anteriores intentan hallar la medida entre

los vértices correspondientes de los triángulos. En la línea 5 de la serie 4-1 se observa que

un primer acercamiento a esta estrategia fue que el estudiante utilizó sus dedos para intentar

reconocer cuál de los triángulos se encontraba más lejos del eje de simetría para poder

igualar estas distancias. En las líneas 6 y 7 se observa que los estudiantes utilizaron la

herramienta del software llamada distancia o longitud para hallar las distancias entre los

vértices correspondientes y luego movieron el triángulo verde para igualar las distancias

entre vértices correspondientes. Y, a continuación en las líneas 8 y 9 de las serie 4-1 se ve

que los estudiantes utilizando la misma herramienta distancia o longitud toman la distancia

desde cada vértice y el eje de simetría y lo igualan. De esta forma el software muestra el

letrero “Muy bien”.

47

La utilización de esta herramienta del software no se tenía contemplada dentro de la

implementación de estas series, o sea que no debían estar visibles para los estudiantes. Por

esta razón esta estrategia no se tenía contemplada en el análisis a priori aunque es

totalmente valida en la serie 4-1. Esta estrategia es válida en la serie 4-1 porque un lado del

triángulo rojo se encuentra paralelo al eje de simetría, es necesario que haya la misma

distancia entre vértices opuestos.

Como contraparte en las líneas 23, 24 y 26 de la serie 4-2 se observa que esta última

estrategia al ser implementada no mostró el letrero “Muy bien” puesto que en esta serie el

eje de simetría no estaba paralelo a uno de los lados del triángulo. En este caso la

retroacción del medio le permitió al estudiante reconocer que la estrategia que tenía era no

válida para un caso general. En series posteriores veremos que el estudiante abandona esta

estrategia produciéndose así un aprendizaje por adaptación al medio propuesto.

Por ultimo identificando estrategias utilizadas por los estudiantes en estas dos series

mencionamos que el ajuste perceptivo se evidenció en la línea 4 de la serie 4-1. Esta

estrategia estaba contemplada en el análisis a priori y estaba denominada como Acción 4.

Esta estrategia se vio en la serie 4-1 porque el eje de simetría era totalmente horizontal e

intuitivamente era un poco más fácil reconocer la posición que debía tener el triángulo al

otro lado del eje de simetría. En cambio esta estrategia no se observó en la serie 4-2, debido

a la leve inclinación del eje ya no era tan intuitiva la posición correcta la ubicación del

triángulo al otro lado del eje de simetría. Esta retroacción del medio también desvirtúa un

ajuste perceptivo como método y lo vuelve no válido para todos los casos a pesar de que en

la serie 4-1 le sirvió al estudiante era válido.

48

Serie 4-3

Tarea hacer que el triángulo verde sea la imagen en el espejo del triángulo rojo

38

Profesora: [dirigiéndose a estos dos estudiantes] ¿Qué fue

lo que hicieron en la clase anterior?

Estudiante 1: Pues simetría axial

Profesora: ¿Qué otros botoncitos aplicamos? ¿Qué

aprendieron a hacer?

Estudiante 1: Eeee las distancias

Profesora: Las distancias, ¿Qué otra cosa?

Estudiante 2: Sacar el punto medio

Profesora: Sacar el punto medio, ¿Qué otra cosa? ¿Qué fue

lo primero que aprendieron a dibujar ahí en el programa?

Segmentos. Hagan un segmento. Trabajen eso ahí mismo

que lo que van aprendiendo ustedes lo pueden ir

implementado.

39

Estudiante 2: (utiliza la herramienta segmento y crea dos

segmentos entre los vértices A-A’ y B-B’. luego utiliza la

herramienta punto medio y marca los puntos medios de los

segmentos)

40

Estudiante 2: (mueve el triángulo verde de manera que el

punto medio entre A y A’ coincida con la línea recta que

representa el espejo)

49

41

Estudiante 2: (desplaza y gira el triángulo verde de manera

que los dos puntos medios de los puntos medios coincidan

con el eje de simetría como se muestra en la imagen) [no

tiene en cuenta la perpendicularidad necesaria]

42

Estudiante 1: (gira el triángulo verde de manera que los

lados cortos queden aproximadamente paralelos y los lados

medianos aproximadamente colineales. Luego desplaza el

triángulo verde hasta que el punto medio entre B y B’

coincida con el eje de simetría)

Serie 4-4

Tarea: hacer que el triángulo verde sea la imagen en el espejo del triángulo rojo

43

Estudiante 1: (abre el archivo 4-4)

50

44

Estudiante 2: (gira y desplaza el triángulo verde

perceptivamente) [por medio de la percepción deja

ubicado el triángulo verde de manera muy

aproximada a lo que pide el ejercicio]

45

Estudiante 1: (utiliza la herramienta punto medio

y halla los puntos medios entre los vértices

correspondientes B-B’ y C-C’)

46

Estudiante 3: estudiante 2 eso no sirve para nada.

Estudiante 1: eso es que usted no lo sabe utilizar

entonces, toca es saber cómo.

Estudiante 2: (toma el control del mouse, abre

nuevamente el archivo 4-4, de manera perceptiva

gira y traslada el triángulo verde hasta la posición

que se ve en la pantalla y el software da una

respuesta afirmativa) [no utilizó ninguna de las

herramientas disponibles]

Análisis de estrategias series 4-3 y 4-4

Una estrategia utilizada en la serie 4-2 que también se observó en esta serie 4-3 fue en la

línea 30 de la serie 4-3 cuando el estudiante sobrepone los lados correspondientes de los

triángulos. Suponemos que lo hace para reconocer si son paralelos o no. Esta estrategia no

es utilizada por los estudiantes en la serie 4-4, en la serie 4-3 es en la última serie de toda la

actividad 4 donde el estudiante utiliza esta estrategia de sobreponer los lados

correspondientes de los triángulos. Podemos inferir que abandonó esa esta estrategia dado

51

que una de las retroacciones del software es que no importa si un par de lados

correspondientes se encuentra paralelo se puede resolver el ejercicio. Como es la misma

estrategia de las series anteriores volvemos a mencionar que se tenía parcialmente en el

análisis a priori y estaba catalogada como Acción 2.

De la misma forma que en las series anteriores una de las estrategias que utilizaron los

estudiantes fue la de medir las distancias entre los dos pares de vértices opuestos e

igualarlas. Esta estrategia se observa en la línea 32 y 33 de la serie 4-3 y no se vuelve a

observar durante el desarrollo de la actividad 4. Una de las razones que obligó a los

estudiantes a abandonar las dos estrategias mencionadas anteriormente se debe al hecho de

que su utilización no ayudó a la solución del problema. Incluso en algunas de las

actividades que fueron utilizadas los estudiantes no pudieron obtener el letrero “Muy bien”

del software. Esta actividad no se tenía contemplada debido a como dijimos anteriormente

no se contemplaba que los estudiantes tuvieran acceso a las herramientas del software.

En el caso de la serie 4-3 los estudiantes utilizan una nueva estrategia que consiste en

construir los segmentos entre los vértices correspondientes de los triángulos. Esto lo

podemos observar en la línea 39 de la serie 4-3. Aunque con los segmentos no se consigue

obtener información sobre la solución del problema, se pueden hacer inferencias sobre la

perpendicularidad necesaria entre estos segmentos y el eje de simetría una vez aparezca el

“muy bien”.

En la serie 4-4 el eje de simetría es totalmente vertical, de manera que uno de los lados del

triángulo rojo es paralelo al eje. Por esta condición, podemos observar que el estudiante en

la línea 44 y 46 de la serie 4-4 utiliza una estrategia de carácter perceptivo. El estudiante

ubica correctamente el triángulo en su posición de manera directa. Esta estrategia es

correcta y estaba contemplada en el análisis a priori catalogada como acción 4. Esta

estrategia es totalmente valida y el software hace aparecer el letrero “Muy bien”. En la serie

4-1 también se presenta el eje de simetría paralelo con uno de los lados del triángulo rojo,

pera en esa ocasión estaba horizontal le eje de simetría. El estudiante utilizó la misma

estrategia.

52

En la serie 4-3 en la línea 39 y en la serie 4-4 en la línea 45, podemos observar que surge

una nueva estrategia. El estudiante utiliza la herramienta punto medio y halla los puntos

medios entre los vértices correspondientes. Esta estrategia es adoptada por el estudiante en

la serie 4-3 y la continúa utilizando hasta el final de la actividad 4. En este punto el

estudiante cambia de estrategias. Deja de hallar las distancias entre los vértices y el eje de

simetría para igualarlas y comienza a utilizar la herramienta punto medio que “muestra la

equidistancia” y coloca los puntos medios sobre el eje de simetría. Podemos decir que se

produjo en el estudiante un aprendizaje por adaptación ya que el medio diseñado

condicionó al estudiante a reconocer la necesidad de la equidistancia para que exista

simetría axial y la necesidad de una herramienta que en todo momento le brinde la

información. Desde luego que la utilización de la herramienta punto medio se tenía

contemplada como estrategia a utilizar por parte de los estudiantes. Esta estrategia tiene el

nombre de acción 1. Cabe mencionar que esta estrategia se utilizó completamente en la

serie 4-3 aunque no se consiguió el “muy bien” y se utilizó parcialmente en la serie 4-4,

sólo se halaron los puntos medios y no se colocaron sobre el eje de simetría. La forma en

que se consiguió el “muy bien” en la serie 4,4 fue por medio de la percepción en un intento

posterior. Esto puede verse en la línea 43, 44 y 45 de la serie 4-4.

Serie 4-5

Tarea: hacer que el triángulo verde sea la imagen en el espejo del triángulo rojo

42

Estudiante 2: jajajaja no utilicé nada. (abre el archivo 4-5)

53

43

Estudiante 2: (Gira el triángulo verde dejando paralelos

aproximadamente los lados cortos de los dos triángulos)

44

Estudiante 2: (desplaza el triángulo verde hasta dejar

alineados perceptivamente los lados medianos de los dos

triángulos]

45

Estudiante 2: (utiliza la herramienta punto medio y halla los

puntos medios entre los vértices correspondientes)

46

Estudiante 2: (desplaza y gira el triángulo verde de manera

que los puntos medios pasan por el eje de simetría)

47

Estudiante 2: (desplaza el triángulo verde de forma paralela

al eje de simetría. Los puntos medios se mueven sobre el eje

de simetría hasta que sale el “Muy Bien”)

54

Serie 4-6

Tarea: hacer que el triángulo verde sea la imagen en el espejo del triángulo rojo

48

Estudiante 1: (abre el archivo 4-6)

49

Estudiante 2: (desplaza y gira el triángulo verde de

forma que los lados medianos de los triángulos

quedan aproximadamente paralelos) [los triángulos

quedan frente a frente como si el espejo fuera

totalmente vertical]

50

Estudiante 2: (utiliza la herramienta punto medio

y la utiliza para marcar los puntos medios entre los

vértices correspondientes B-B’ y C-C’)

51

Estudiante 2: (desplaza y gira el triángulo verde de

manera que los dos puntos medios hallados

anteriormente pasan por el eje de simetría)

52

Estudiante 2: (desplaza el triángulo verde paralelo

al eje de simetría de manera que los puntos medios

se mueven sobre el eje. Sale la palabra muy bien)

¡¡Ahhh!! (exclaman) [en señal de sorpresa]

55

Análisis de estrategias series 4-5 y 4-6

Es estos dos extractos de la series 4-5 y 4-6 podemos identificar estrategias en común que

los estudiantes utilizaron para dar solución al problema. Unimos estas dos series en este

análisis porque presentan las mismas estrategias y son las últimas dos series donde se puede

observar si el estudiante replanteó algunas de las estrategias iniciales.

Como elemento de análisis en estas dos series es muy importante mencionar que algunas de

las estrategias implementadas por los estudiantes al inicio de la actividad 4 ya no se

observan. Por ejemplo sobreponer los lados correspondientes de los triángulos, medir las

distancias entre los vértices correspondientes, igualar estas distancias, medir distancias

entre vértices y el eje de simetría, igualar estas distancias, intentar hacer el ejercicio de

manera perceptiva, y trazar los segmentos entre vértices son estrategias que no aportaban

elementos a la consecución del “muy bien ” dentro del ejercicio. Podemos decir que el

estudiante abandonó esas estrategias y las reemplazó por otras al parecer más útiles.

Una estrategia que se adoptó desde la serie 4-3 y que podemos ver en la series 4-5 y 4-6 es

el hallar los puntos medios entre los vértices correspondientes. La utilización de esta

estrategia puede verse en la línea 45 de la serie 4-5 y en la línea 50 de la serie 4-6. Esta

estrategia es denominada como Acción 1 en el análisis a priori de esta actividad. Esta

estrategia es total mente válida y su implementación corresponde con lo que se quiere que

el estudiante adopte como métodos para “ubicar el reflejo del triángulo en el espejo”. Esta

estrategia se implementó en series anteriores pero por sí sola no es suficiente para

garantizar la solución del problema. Debe estar acompañada de otras acciones.

En estas dos series el estudiante añade una nueva estrategia que es la que complementa la

estrategia anteriormente mencionada y permite darle solución al problema de manera

satisfactoria. Esta estrategia consiste en que una vez están ubicados sobre el eje de simetría

los puntos medios entre los vértices correspondientes, los estudiantes desplazan el triángulo

verde de forma paralela al eje de simetría conservando los puntos medios sobre el eje hasta

que salga el “muy bien”. Esta última estrategia se tenía contemplada y estaba denominada

como acción 1 y es totalmente válida. Como se tenía previsto el software era el que

56

validaba o invalidaba las diferentes estrategias de los estudiantes al decirles que le ejercicio

quedó “Muy bien”.

Análisis de la puesta en común

Tarea: La profesora intenta generalizar lo realizado para poder lograr lo que se quería

en la actividad

57

(en el tablero se proyecta el archivo 4-1)

Profesora: pasa al tablero estudiante 4. Cuéntanos

¿qué hiciste para poder resolver eso?

Estudiante 4: mover el triángulo

Profesora: Muéstranos cómo moviste el triángulo.

Mueve el triángulo verde y todos vamos a

observar.

58

Estudiante 4: (gira y desplaza el triángulo verde

de manera que perceptivamente los lados cortos de

los triángulos quedan paralelos y a la misma

distancia del eje de simetría]

57

59

Profesora: utilicemos la metodología que

trabajamos.

Estudiante 4: ¿Segmento?

Profesora: trabaja el segmento. A ver. ¿de dónde

a dónde?

Estudiante 4: (utiliza la herramienta segmento y

traza un segmento entre los vértices

correspondientes A-A’ y entre los vértices

correspondientes B-B’)

60

Profesora: ¿Y luego?

Estudiante 4: (Utiliza la herramienta punto medio

y halla el punto medio de los segmentos

anteriores)

Profesora: ¿Todos entienden hasta ahí qué se

hizo?

Estudiantes: Sí

61

Estudiante 4: (desplaza el triángulo verde hasta la

posición que se muestra en la imagen) [de manera

que los puntos medios pasen por el eje de simetría]

Profesora: Ahora ¿qué estás haciendo?

Estudiante 2: poner los puntos medios en la línea

recta.

Profesora: hasta ahí ¿todos lo entendieron?

Estudiantes: Sí

58

62

Profesora: Ahora. ¿Qué necesitaríamos

encontrar?

Estudiantes: La medida

Profesora: ¿Será que necesitamos encontrar la

medida para que nos salga el muy bien?

Estudiantes: No

Estudiante 4: ¿Entonces?

Estudiante 4: (Mueve el triángulo verde hacia los

lados dejando los puntos medios sobre el eje de

simetría) [de manera que se conserve la distancia

buscando el muy bien]

Profesora: Pero no sale el muy bien. ¿Por qué

será? ¿Qué se necesitará para que salga el muy

bien?

63

Estudiante 4: (se hace al frente de la pantalla

proyectada) [para verificar las relaciones

espaciales de manera visual y frontalmente]

(mueve el triángulo verde hacia la derecha dejando

los puntos medios sobre el eje de simetría y sale el

muy bien)

Profesora: ¡Ah bueno! Un poquito más para la

derecha.

59

64

Profesora: ¡Ahora bien! ¿Por qué creen que

solamente ahí en esa ubicación sale el muy bien?

Estudiante 5: Porque están a la misma distancia

Profesora: pero miren que antes también estaba a

la misma distancia.

Estudiante 6: Porque ahí está el efecto espejo.

Profesora: ¿El efecto espejo? ¿Quién más me

puede decir?

60

65

Estudiante 5: Que el triángulo verde es

exactamente el reflejo del triángulo rojo.

Profesora: Bueno, además de eso ¿del triángulo

rojo qué más podemos decir?

Estudiante 6: Que la recta es el espejo.

Profesora: ¿qué más podemos decir?

Estudiante 7: Que los dos tienen la misma

distancia del espejo al triángulo

Profesora: Bueno, cuando nosotros trabajamos

punto medio, ¿eso tiene que ver algo con lo de

iguales distancias?

Estudiantes: Síííí…

Profesora: Entonces, en el momento que

trabajamos punto medio efectivamente estamos

hablando de iguales distancias.

¿Qué más?

Recuerden que se podían colocar los punticos

medios pero no siempre salía el muy bien. ¿por

qué? ¿Qué más es necesario para que nos dé el

muy bien?

Estudiante 7: Que el reflejo tiene que estar frente

al triángulo.

Profesora: que el reflejo tiene que estar frente a la

imagen ¿cierto?. Según lo que ustedes se acuerdan,

¿qué ángulo se forma entre la línea recta y los

segmentos?

Estudiante 4: un ángulo agudo

Profesora: ¿será que sí?

Estudiante 5: No. Ángulo recto.

Profesora: ¿y qué es un ángulo recto?

Estudiantes: Un ángulo de 90 grados.

61

66

Profesora: Abre el archivo 4-2, es para recordar

un poco porque quiero que retomen lo que vimos.

Observen cómo podemos aplicar lo que ya

habíamos visto.

Estudiante 8: abre el archivo 4-2 (Utiliza la

herramienta segmento y traza los segmentos entre

los tres pares de vértices correspondientes A-A’ ,

B-B’ y C-C’ de los triángulos)

67

Estudiante 8: (utiliza la herramienta punto medio

para marcar los puntos medios de cada uno de los

segmentos)

68

Estudiante 8: (gira el triángulo verde de manera

que los puntos medios quedan cerca del eje de

simetría formando una línea paralela)

62

69

Estudiante 8: (desplaza el triángulo verde hasta

que los puntos medios de los segmentos quedaron

sobre el eje y sale el muy bien)

Profesora: ¿ya lo van comprendiendo? A ver ¿qué

fue lo que hizo de primeras?

Estudiantes: los segmentos

Profesora: los segmentos. Listo ¿pero cómo? No

era cualquier punto. ¿Entendieron cómo más o

menos se puede trabajar? ¿Entendieron bien lo que

tienen que trabajar?

Estudiantes: sí

Profesora: ¿les pareció muy difícil?

Estudiantes: No

Profesora: ¿saben hacer los segmentos? Levante

la mano quien no haya entendido cómo hacer

segmentos. Saben hacer punto medio. Ubicar los

segmentos de tal manera que nos dé un ángulo de

90 grados con respecto a ¿qué?

Estudiantes: al espejo o a la línea recta

Profesora: un aplauso para el caballero.

La profesora implementó esta puesta en común al final de la actividad 4 con la intención de

intercambiar las conclusiones de los estudiantes sobre las propiedades que cumple un

objeto reflejado en un espejo. Esta exposición por parte de los estudiantes sobre lo

realizado en la actividad sirvió como un resumen de los aprendizajes individuales y una

oportunidad para volverlos colectivos.

Primero pasó al tablero un estudiante a solucionar la serie 4-1 utilizando la acción 1. Trazó

los segmentos entre dos vértices correspondientes y halló los puntos medios. A

continuación ubicó los puntos medios sobre el eje de simetría. En ese momento la profesora

interviene y mientras el estudiante traslada el triángulo verde por la pantalla buscando el

63

muy bien, la profesora pregunta a los demás estudiantes sobre lo que hacía falta para

completar el ejercicio. La idea era que los estudiantes hablaran acerca de la

perpendicularidad que existe entre el segmento y la línea recta.

Una vez el estudiante terminó el ejercicio y el software el software arrojó la respuesta

positiva, la profesora reiteró la pregunta, “aparte de las distancias iguales, ¿qué más es

necesario para que nos dé el muy bien?”. Algunos estudiantes respondieron utilizando las

siguiente palabras “Que el reflejo tiene que estar frente al triángulo”, refiriéndose a la

perpendicularidad del segmento respecto al eje. En este momento por medio de preguntas

guiadas la profesora llevó a los estudiantes a reconocer que el ángulo que se forma entre los

segmentos y el eje debe ser una línea recta.

A continuación pasó otro estudiante a solucionar el archivo 4-2. Esta vez el estudiante

también utilizó la acción 1 pero esta vez trazó los segmentos entre los tres pares de vértices

correspondientes y no solamente de dos pares. Trazó los segmentos, hallo los puntos

medios y trasladó el triángulo hasta que los puntos medios quedaran sobre la línea recta y

los segmentos fueran perpendiculares a esta línea.

Nuevamente la profesora por medio de preguntas guió la situación haciendo que los

estudiantes mencionaran las dos condiciones importantes que deben cumplir los puntos que

son reflejo de otros en un espejo. Estar a la misma distancia y que el segmento que se trace

entre ellos forme un ángulo de 90 grados con el eje de simetría. En este última parte la

profesora utilizó las palabras que denotan esta situación para que los estudiantes fueran

adquiriendo vocabulario y llamando las cosas por su nombre.

Análisis

Como actividad de cierre la profesora aplicó correctamente la puesta en común. Por medio

de preguntas y ejemplos en el tablero la profesora guió a los estudiantes al reconocimiento

de las características que debe cumplir un objeto cuando se refleja en un espejo. Además de

esto, trató de que los estudiantes fueran adoptando el lenguaje matemático de lo que en sí se

estaba desarrollando que es la simetría axial.

64

Desde luego la estrategia que usa la profesora de proyectar en el tablero lo mismo que se

tenía en el software es de mucha conveniencia dado que la explicación del porqué y el

cómo de la actividad no se desliga de lo realizado por los estudiantes. Son ellos quienes ven

reflejado su propio esfuerzo en la pantalla y con base en lo que fueron capaces de realizar

parte la explicación de la profesora.

Fue muy apropiado que la profesora pidiera a los mismos estudiantes que desarrollaran la

serie 4-1 y después de una breve explicación desarrollaran la serie 4-2 con la misma

estrategia. Puesto que las dos series se diferencian por la relación de paralelismo que existe

entre el eje de simetría y uno de los lados del triángulo rojo. Esta diferencia permitió que

los estudiantes validaran para los dos casos la estrategia adoptada.

En la realización de las series en el tablero, se puede observar que los estudiantes tienen un

claro maneja de la herramienta punto medio, o sea que implícitamente manejan la

equidistancia. Pero también se observa que los estudiantes no tuvieron la iniciativa de hacer

referencia a la relación de perpendicularidad (así no se mencionara esta palabra), hasta que

la profesora por medio de preguntas forzó a los estudiantes a reconocerla. Un error que

cometió la docente fue inducir a los estudiantes a reconocer que se forma un ángulo recto

entre los segmentos. (Línea 63) de este modo el aprendizaje que se produce en los

estudiantes no es por adaptación al medio sino por imposición de una autoridad como lo es

la docente.

Por medio de esta puesta en común la profesora validó y reforzó la utilización de la acción

1. Pues esta estrategia eliminaba el componente perceptivo de la ubicación con respecto a la

distancia. También la acción 1 fue utilizada como herramienta por la profesora para hacer

evidente que además de la equidistancia era necesaria otra condición. De esta manera pudo

hacer evidente ante los estudiantes que entre el segmento trazado entre dos vértices

correspondientes y el eje de simetría existe un ángulo recto o ángulo de 90 grados.

Finalmente podemos decir que los estudiantes reconocieron la equidistancia entre vértices

utilizando la frase “los dos tienen la misma distancia del espejo al triángulo”(línea 63) y

que este aprendizaje se produjo por adaptación a un medio. También podemos decir que

reconocieron la perpendicularidad entre el segmento que se forma entre los vértices

65

correspondientes y el eje de simetría utilizando estas palabras, “Que el reflejo tiene que

estar al frente” y luego la profesora agregó que entre el segmento y el eje se forma un

ángulo de 90 grados (Línea 63). Acá podemos decir que en los estudiantes se generó un

aprendizaje no por adaptación sino por imposición de una autoridad.

66

Conclusiones generales

Después de analizar paso por paso la implementación de las actividades 3 y 4 podemos

decir que se cumplió con los objetivos parcialmente. Si bien no tenemos las suficientes

evidencias para analizar a fondo la actividad 3, podemos reconocer en los estudiantes el

dominio de procedimientos y de estrategias que son útiles y necesarias esta actividad.

Por el contrario en la actividad 4, se cuenta con las evidencias suficientes para realizar el

análisis paso por paso y el análisis de la trayectoria de los estudiantes. En la actividad 3 y

en la actividad 4 se tienen evidencias de la intervención docente a la hora de orientar el

proceso de los estudiantes durante las puestas en común y las puestas en escena. Teniendo

en cuenta estos dos elementos a analizar, estas conclusiones generales se dividen en dos

sentidos; por un lado analizaremos las retroacciones del medio frente al momento de la

interacción de los estudiantes con el software (fase a didáctica) y si este permitió el

aprendizaje de los estudiantes. Por otro lado analizaremos la pertinencia e importancia de la

intervención de la profesora Yobana en el proceso de aprendizaje por parte de los

estudiantes y si fue por adaptación al medio o por imposición de la docente.

Conclusiones implementación de estrategias

Como de la actividad 3 no tenemos datos de la fase a didáctica, no podemos realizar un

análisis de las estrategias de los estudiantes. En esta ocasión sólo analizaremos las

estrategias utilizadas en la fase a didáctica de la actividad 4.

Con respecto al desarrollo de la actividad 4 por parte de los estudiantes es posible observar

cómo en las primeras series tienen una estrategia que consiste únicamente en comparar las

distancias con la herramienta distancia. Esta estrategia se combina en parte con la acción 4

que es de carácter perceptivo. Como en la serie 4-1 el eje de simetría es paralelo a uno de

los lados del triángulo rojo se presenta el caso que dos de los vértices de los triángulos se

encuentran a la misma distancia del eje de simetría. De manera que en la serie 4-2 y 4-3 en

donde el eje de simetría tiene una leve inclinación que hace que no sea paralelo a ninguno

67

de los lados del triángulo rojo, los estudiantes utilizan infructuosamente esta misma

estrategia.

Es en la serie 4-4 donde se observa el cambio de estrategia de los estudiantes. En un primer

momento deciden medir las distancias y compararlas, pero la profesora hace un comentario

para toda la clase donde les recuerda que para solucionar estas series es necesario utilizar

los conocimientos sobre el segmento y punto medio desarrollados en la anterior actividad.

En este momento los estudiantes comienzan a experimentar con el punto medio entre los

segmentos entre vértices correspondientes, moviendo el triángulo verde haciendo que estos

puntos pasaran por la línea recta (acción 1). Esta estrategia parece funcionar mejor y desde

la serie 4-4 en adelante es adoptada por los estudiantes por dar mejores resultados en menor

tiempo.

Al comienzo de la actividad 4 en las primeras series se aplica una estrategia perceptiva.

Aun haciendo uso de las herramientas del software siguen descubriendo las relaciones

espaciales que deben existir entre las figuras y sus componentes para que el software arroje

una respuesta positiva. A través del paso entre las diferentes series y la utilización de

herramientas adicionales del software, los estudiantes descubren una nueva estrategia que

brinda mejores resultados. Este cambio en la estrategia de los estudiantes muestra un

reconocimiento de las relaciones que deben existir entre triángulos para que haya simetría

axial. Estas relaciones se hacen evidentes en la utilización de las herramientas del software

que añadieron a su estrategia inicial. Si bien los estudiantes sabían que los vértices

correspondientes debían estar a la misma distancia del eje, no conocían una herramienta

que mostrara esa distancia en cada ocasión hasta que descubrieron la utilización de la

herramienta punto medio.

De igual forma se esperaba que los estudiantes poco a poco fueran reconociendo la relación

de perpendicularidad que debe existir entre un segmento trazado entre los vértices

correspondientes y el eje de simetría. El reconocimiento de esta relación por parte de los

estudiantes debía ser por medio del descubrimiento durante las series o durante la puesta en

común en que se establece lo que se desarrolló anteriormente. Como los estudiantes no

hicieron comentarios o inferencias al respecto, la intervención de la profesora fue oportuna

68

en la medida que por medio de preguntas guio a los estudiantes al reconocimiento de esta

relación.

Dificultades en gestión.

Durante las sesiones en las que se desarrolló la puesta en común y puesta en escena de las

diferentes actividades y de pronto en algunos momentos que los estudiantes preguntaban, la

intervención de la docente fue una pieza fundamental dentro de la trayectoria que realizaron

los estudiantes con el fin de solucionar las actividades completas. En este apartado

mencionaremos la pertinencia y en algunos casos la impertinencia de esas intervenciones.

En el momento de la puesta en común observamos que la profesora propuso que los

estudiantes solucionaran la serie 3-5 en el tablero. Observamos que es por medio de las

preguntas de la profesora como los estudiantes van encontrando el camino y las palabras

para poder darle solución al problema.

Cuando los estudiantes se van a enfrentar a la segunda tarea primero trabajan la serie 3-1 y

luego sí la serie 3-7. En el desarrollo de esta tarea es cuando los estudiantes invalidan el

ajuste perceptivo y comienzan a buscar la forma de que el segmento siempre pase por el

medio de los vértices correspondientes.

La profesora introdujo la herramienta punto medio de manera precipitada con respecto al

análisis a priori. Esta decisión trastoca la organización de la actividad y prácticamente

cambia la naturaleza de la actividad 3-7. La herramienta punto medio debía presentarse

como una solución a la necesidad de hallar el punto medio entre los triángulos en el

momento donde se presenta el arrastre. Puede verse una gestión inadecuada de la docente

porque la profesora no hace una puesta escena de la serie 3-7 y por lo tanto la fase a

didáctica de la serie 3-7 que da modificada porque los estudiantes ya no están trabajando

sobre el problema de la simetría axial sino sobre cómo se usa la herramienta “punto medio”.

Cabe resaltar que no se tienen datos de la puesta en común de la serie 3-7, por lo tanto no

podemos saber qué concluyó el grupo con respecto a toda la actividad.

69

Los estudiantes al final del ejercicio ya eran capaces de hacer los vínculos entre los

componentes de la construcción en su mayoría. Durante el ejercicio fueron reconociendo la

necesidad de seleccionar los elementos de la construcción a los que se hacía referencia y

fueron perfeccionando el método. En este proceso podemos decir que hubo aprendizaje por

adaptación en esta segunda tarea.

Se podría decir que el aprendizaje de los estudiantes estuvo basado más en una situación de

inducción más que deducción. Como no tenemos datos de la primea tarea, no podemos

hacer inferencias sobre la forma en que aprendieron a realizarla. Durante la puesta en

común algunos estudiantes pasaron al frente a hacer el ejercicio orientados por las

preguntas de la profesora. Luego en la segunda tarea los estudiantes trataron de hacer lo

mismo que vieron en la puesta en común.se puede inferir que los estudiantes saben qué hay

que hacer pero no cómo hacerlo. Esto claramente muestra que el aprendizaje se produce por

imitación y no por adaptación.

En la aplicación de la actividad 4 podemos dar cuenta de lo sucedido en la primera tarea a

comparación de la actividad 3 donde no hubo evidencia. Podemos observar que se cumplió

con la aplicación de las 6 series (4-1 a 4-6) de manera como se había contemplado en el

análisis a priori.

También podemos observar que la profesora no aplicó la segunda tarea de manera correcta.

En el análisis a priori está contemplado que los estudiantes después de haber tenido la

puesta en común abordaran la solución de la serie 4-7. Por el contrario los estudiantes

pasaron de la serie 4-6 a la serie 4-7 directamente sólo con la instrucción de construir el

reflejo del triángulo con respecto al espejo. Pero no tuvieron la oportunidad de tener

claridad sobre conceptos relacionados con la equidistancia y la perpendicularidad que era

justamente lo que se pretendía en la puesta en común.

En esta actividad no se tienen evidencias de la puesta en común de las series 4-1 a 4-6. La

puesta en común de la que se habla se efectuó pero al final de la actividad a manera de

cierre después de la serie 4-7. Se desarrolló tal cual se tenía pensada y se aclararon los

conceptos que se desarrollaron durante la primera tarea de manera completa. El único error

70

en toda la actividad fue aplicar la serie 4-7 antes de la puesta en común que era donde se les

aclaraba lo que debían hacer a los estudiantes.

Con respecto a la consecución de los objetivos planteados en el análisis a priori podemos

mencionar que se logró parcialmente. El aprendizaje de la relación de equidistancia fue

descubierto por los estudiantes, de manera que podemos decir que hubo un aprendizaje por

adaptación de este concepto o de esta condición. Sin embargo el aprendizaje de la

perpendicularidad necesaria en la simetría axial, fue inducido por la profesora y presentado

como una condición necesaria, pero los estudiantes no la trabajaron posteriormente, y

cuando lo hicieron en las diferentes series no lo hicieron conscientemente. Por esto decimos

que el concepto de perpendicularidad si lo aprendieron fue por imitación.

71

Bibliografía

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ENSEÑANZA DE LA SIMETRIA AXIAL UTILIZANDO CABRI COMO MEDIO.

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Murillo, R. (2005). IMPLEMENTACIÓN DEL SOFWARE DE GEOMETRÍA

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Pérez, L., Quiñones, J. (2012) ANÁLISIS A-PRIORI ACTIVIDADES DE SIMETRÍA

AXIAL. Documento no publicado del subgrupo Nuevas Tecnologías EDUMAT-UIS

72

Anexos

Anexo A

ANÁLISIS A PRIORI ACTIVIDADES SIMETRÍA AXIAL

En este informe presentamos un análisis de una secuencia de cuatro actividades de clase,

alrededor del concepto de simetría axial. Cada actividad está compuesta de series, y en cada

una de las series se les pedirá a los estudiantes que realicen tareas específicas. Para cada

serie hay un archivo con una figura, hecha en Cabri II plus, sobre la que los estudiantes

trabajarán para desarrollar las tareas (Los estudiantes no necesariamente deben saber

manejar el programa).

La secuencia está planteada para que los alumnos se familiaricen con algunos fenómenos

que caracterizan la simetría axial, de modo que esto les permita predecir o anticipar las

posiciones de los objetos simétricos, dados ciertos elementos de la simetría. Para que

identifiquen el eje, lo ubiquen de manera perceptiva y posteriormente sean capaces de

construirlo, además que puedan construir alguno de los componentes de la simetría dados

los otros; por ejemplo, dado un triángulo y el eje de simetría, construir el simétrico.

Además, en cada actividad, las series tienen una secuencia que detallaremos a medida que

avancemos en el documento. Para ello analizaremos una a una las actividades, haciendo

una descripción, especificando los objetivos, precisando las tareas y lo que esperamos que

los estudiantes hagan.

Actividad 1

Saber en juego

Una simetría axial es una transformación geométrica, es decir una correspondencia entre

parejas de puntos del plano. Decimos que dos puntos del plano A y A’ son simétricos con

respecto a una recta e (llamada eje de simetría) si y sólo si e es mediatriz del segmento

AA’. Esta condición implica que el segmento AA’ debe ser perpendicular a e y que e debe

pasar por el punto medio de AA’. También se deduce que A y A’ deben quedar en

73

semiplanos opuestos con respecto a e. Por lo tanto, si dos figuras (por ejemplo polígonos)

son simétricas con respecto a e, deben tener orientaciones contrarias con respecto a e, ya

que la distancia de cada punto a e debe ser igual a la distancia de su homólogo a e.

Una simetría axial es una isometría, puesto que conserva la forma y el tamaño de las

figuras; es decir, si dos figuras son simétricas con respecto a un eje, entonces son

congruentes.

Objetivo

La finalidad de esta actividad es que los alumnos se familiaricen con algunos fenómenos

visuales concernientes al movimiento de figuras simétricas, tales como la dependencia de

una con respecto a la otra, los movimientos contrarios con respecto al eje (Los alumnos

podrían asimilarlo como un espejo imaginario). Esto implica que logren identificar el eje de

simetría y predecir su ubicación.

Descripción del medio

Para esta actividad, se trabaja con 12 figuras, en cada una de las cuales hay 6 triángulos con

los vértices ocultos, tres rojos y tres verdes, simétricos con respecto a un eje que permanece

oculto. Los tres triángulos rojos tienen diferentes formas, cada triángulo verde es

congruente con un triángulo rojo. En las figuras numeradas 1-1 a 1-6, aparece también un

círculo; en las figuras numeradas 1-1a a 1-6a aparecen tres círculos cada uno con un punto

sobre él. La diferencia entre las seis series es la orientación (inclinación) del eje. Las 12

figuras se presentan a continuación.

Serie 1-1

Serie 1-1ª

74

1-2

1-2a

1-3

1-3a

1-4

1-4a

1-5 1-5a

75

1-6

1-6a

De acuerdo con las características del software, los triángulos verdes no se pueden arrastrar

directamente, dada la dependencia de éstos con respecto a los rojos, lo cual no es una

propiedad específica de la simetría, sino una particularidad del programa; pero los

triángulos rojos sí se pueden arrastrar agarrándolos por un lado o un vértice, permitiendo

llevarlos libremente a cualquier lugar de la pantalla sin que cambien su forma y tamaño,

para ello basta hacer clic sostenido sobre el triángulo y arrastrar. Adicionalmente, al

arrastrar los triángulos rojos, los verdes se mueven de manera que conservan la simetría.

Del mismo modo, los círculos de las series 1-1 a 1-6 no se pueden arrastrar, mientras que

los de las series 1-1a a 1-6a se pueden mover libremente agarrándolos por el punto que

aparece sobre ellos.

En todas las series, la única herramienta de Cabri disponible es el apuntador.

76

Descripción de la actividad

Se quiere que los estudiantes descubran los siguientes fenómenos visuales:

Si dos figuras son simétricas, una depende de la otra. Es decir, una podrá arrastrarse

directamente en la pantalla, pero la otra no, sin embargo se moverá cuando la

primera se mueva. En particular, se quiere que los alumnos descubran que los

triángulos verdes no se pueden arrastrar y los rojos si, y que al arrastrar uno delgado

se mueve uno grueso.

Si dos figuras son simétricas, tienen movimientos contrarios con respecto al eje de

simetría. En concreto se quiere que los alumnos descubran que un triángulo rojo y el

verde correspondiente tienen movimientos contrarios con respecto al eje se simetría.

Si dos figuras son simétricas, se tocan en el eje de simetría. Específicamente, se

quiere que los estudiantes descubran que hay lugares en los que el triángulo rojo se

superpone con el verde (su simétrico).

Dos figuras simétricas coinciden a lo largo de una recta llamada eje de simetría.

Queremos que los alumnos constaten que las distintas posiciones en las que se

superponen un triángulo rojo y su simétrico están a lo largo de una recta.

Para alcanzar los objetivos propuestos, y para que los alumnos identifiquen esos

fenómenos visuales y se familiaricen con ellos, se les pedirá que realicen cuatro

tareas.

Presentamos a continuación en detalle las acciones que se prevé que los alumnos

efectúen, las retroacciones correspondientes que recibirían por parte del medio, las

interpretaciones y validaciones que se esperan del alumno luego de la respuesta del

medio.

Primera tarea: llevar los triángulos rojos dentro del círculo

77

El propósito de esta tarea es que los alumnos usen el arrastre para tratar de mover los

triángulos. Se espera que agarren los triángulos rojos directamente y los metan dentro del

círculo. No deberían tener ninguna dificultad para hacerlo. Al desplazar los triángulos

rojos, se darán cuenta de que los verdes también se mueven, y que en algún momento se

superponen con los rojos. Es de suma importancia que los alumnos descubran por sí solos

cómo funciona la figura, de modo que el profesor debe limitar sus intervenciones, es decir,

sólo intervendrá para evitar que los estudiantes abandonen la tarea o para recordar la

misma.

Análisis a priori

Intención: llevar los triángulos rojos dentro del círculo.

Acción 1: agarrar un triángulo rojo para llevarlo al círculo.

Retroacción 1: el triángulo se mueve.

Retroacción 2: un triángulo verde también se mueve.

Interpretación 1: se puede arrastrar el triángulo rojo hacia el círculo.

Validación 1: la acción 1 permite lograr el objetivo.

Como la validación es positiva, se genera un refuerzo de la acción: el estudiante

tomará los otros triángulos rojos y los meterá dentro del círculo

Segunda tarea: llevar los triángulos verdes dentro del círculo

El propósito de esta tarea es que los alumnos usen el arrastre para tratar de mover los

triángulos. Se espera que intenten agarrar los triángulos verdes directamente y no puedan

moverlos. Si los alumnos dicen que no es posible mover los triángulos verdes el profesor

puede hacerles caer en cuenta que la posición inicial de esos triángulos no es la actual, por

lo tanto sí se mueven. Se espera que los alumnos caigan en cuenta que al mover los rojos se

mueven los verdes. Es de suma importancia que los alumnos descubran por sí solos cómo

funciona la figura, de modo que el profesor sólo debe intervenir para evitar que los

estudiantes abandonen la tarea o para recordar la misma.

78

Análisis a priori

Intención: llevar los triángulos verdes dentro del círculo.

Acción 1: agarrar un triángulo verde para llevarlo al círculo.

Retroacción 1: el triángulo no se mueve.

Interpretación 1: no se puede arrastrar el triángulo hacia el círculo.

Validación 1: la acción 1 no permite lograr el objetivo, por lo cual se debe cambiar

de acción.

Acción 2: agarrar un triángulo rojo y arrastrarlo hasta que el verde correspondiente

quede dentro del círculo.

Retroacción 2: el triángulo rojo se deja arrastrar, siguiendo el movimiento del

ratón, y el verde correspondiente se mueve hasta quedar dentro del círculo.

Interpretación 2: para meter un triángulo verde en el círculo se debe mover el rojo

correspondiente y además sus movimientos son contrarios, es decir, se acercan entre

sí cuando se arrastra el rojo hacia el verde, y se alejan entre sí cuando el rojo se

arrastra en sentido opuesto al verde.

Validación 2: la acción 2 permite lograr el objetivo, de modo que la tarea ha sido

concluida y no se necesita cambiar de acción.

En este caso, al darse cuenta los alumnos de que los triángulos verdes no se dejan

arrastrar, deberían cambiar de acción e intentar arrastrar los otros triángulos. Si no

lo hacen espontáneamente, el profesor puede sugerirles hacerlo.

De acuerdo al análisis hecho, el desarrollo de esta tarea genera un aprendizaje por

adaptación en el alumno, puesto que si decide arrastrar los triángulos verdes el

medio no lo dejará y tendrá que cambiar de estrategia. En cambio, si decide arrastrar

los triángulos rojos podrá resolver la tarea. Al arrastrar los triángulos rojos

constatará que el movimiento de los verdes depende del de los rojos que es el

objetivo de la actividad.

79

Tercera tarea: llevar todos los triángulos dentro del círculo

El objetivo es que los alumnos confirmen que los movimientos de un triángulo y su

simétrico son contrarios e intenten argumentar que es imposible ejecutar la tarea.

Análisis a priori

Intención: llevar todos los triángulos dentro del círculo.

Acción 1: meter los triángulos rojos en el círculo.

Retroacción 1: los triángulos verdes quedan por fuera del círculo.

Interpretación 1: no basta meter los triángulos rojos en el círculo para que queden

todos dentro de él.

Validación: la acción 1 no es válida, se debe cambiar de acción.

Acción 2: meter los triángulos verdes dentro del círculo.

Retroacción 2: los triángulos rojos quedan por fuera del círculo.

Interpretación 2: no basta meter los triángulos verdes en el círculo para que

queden todos dentro de él.

Validación: La acción 2 no permite realizar la tarea, es necesario cambiar de acción

nuevamente.

Acción 3: juntar todos los triángulos.

Retroacción 3: los triángulos quedan por fuera del círculo.

Interpretación 3: no hay manera de ubicar todos los triángulos dentro del círculo.

Validación 3: la acción 3 no es válida, y como no es posible juntar todos los

triángulos dentro del círculo, es imposible realizar la tarea.

Acción 4: juntar todos los triángulos y arrastrar el círculo.

Retroacción 4: el círculo no se mueve

Interpretación 4: No es posible poner el círculo donde se juntan los triángulos.

80

Validación 4: la acción 4 no es válida.

Esta vez los alumnos se percatan de que los triángulos solo se unen en algunos sitios

de la pantalla, y que allí debería estar ubicado el círculo. Pero por no darse estas

condiciones, la tarea es imposible.

Como resultado de llevar a cabo estas acciones previstas, los alumnos descubren

que si se meten los triángulos rojos en el círculo, los verdes quedan por fuera; y en

caso de querer meter los verdes, es necesario sacar los rojos. Pero mientras se

realizan estas acciones, se evidencia que al arrastrar un triángulo rojo en algunas

direcciones, el verde correspondiente se mueve en sentido contrario. En particular,

estando en la figura 1 donde el eje de simetría (oculto) es horizontal, al mover el

triángulo rojo hacia arriba el verde se mueve hacia abajo, y viceversa. Lo cual

implica que el aprendizaje por adaptación producto de concluir la tarea, corresponde

con el propósito de la misma.

Aquí es importante que el profesor solicite a los alumnos que justifiquen por qué no

es posible realizar la tarea. Se espera que den justificaciones como las siguientes: “si

meto los rojos se salen los verdes”, “los triángulos verdes y los rojos se mueven en

sentidos opuestos”, “el círculo no está en el lugar donde se juntan los triángulos”…

De esta manera los alumnos comienzan a verbalizar las características de las figuras

que se pretende que observen.

Cuarta tarea (con la serie 1-1a): colocar los tres círculos en algún lugar de la pantalla

donde puedan ponerse todos los triángulos dentro de ellos (sucesivamente).

La intención es que los alumnos se percaten de que los círculos deben ubicarse a lo largo de

una recta (por eso se utilizan tres círculos), y el profesor debe asegurarse de que los

alumnos son conscientes de que hay más posiciones en las que se pueden ubicar los

círculos.

También debe asegurarse de que en cada círculo pueden meterse todos los triángulos.

81

Se espera que los alumnos arrastren un triángulo rojo para juntarlo con su pareja en algún

lugar, dado que en la actividad anterior se percataron de que un triángulo y su pareja se

unen en algunos sitios de la pantalla; de esta manera podrán mover uno de los círculos a esa

posición, quedando un triángulo y su simétrico dentro de él. Luego se esperaría que hagan

lo mismo para meter las dos parejas de triángulos restantes en los otros dos círculos.

Análisis a priori

Intención: colocar los tres círculos en la pantalla de modo que puedan ponerse

dentro de ellos todos los triángulos.

Acción 1: ubicar los tres círculos en cualquier lugar de la pantalla e intentar llevar

los triángulos dentro de cada uno.

Retroacción 1: Como la posición de los círculos es escogida al azar, será muy

improbable que queden los tres sobre el eje de simetría oculto, y por lo tanto no

podrán meterse dentro de ellos todos los triángulos.

Interpretación: las parejas de triángulos no se pueden superponer en cualquier

parte de la pantalla.

Validación: la acción no es válida, se debe usar otra estrategia.

Acción 2: arrastrar los triángulos rojos hasta superponerlos con los triángulos

verdes, pero no los simétricos. Luego colocar un círculo sobre cada pareja.

Retroacción 3: tres pares de triángulos quedan superpuestos. Al intentar meter

todos los triángulos dentro de un círculo quedarán algunos por fuera

Interpretación: se pueden unir dos pares de triángulos (verde-rojo) en algunos

sitios de la pantalla.

Validación: la acción no es válida dado que no pueden meterse todos los triángulos

dentro de cada círculo.

82

En caso de que el alumno lleve a cabo esta acción, el profesor deberá intervenir y

pedirle que meta todos los triángulos dentro de cada círculo.

Acción 3: arrastrar cada triángulo rojo hasta donde se superponga con su

correspondiente verde y llevar un círculo a esa posición.

Retroacción 4: las parejas se superponen en algunos puntos de la pantalla.

Interpretación: los triángulos se unen en distintas posiciones y éstas están a lo

largo de una línea recta.

Validación: la acción permite completar la tarea.

En este momento, se espera que los alumnos hayan descubierto la dependencia entre

las figuras simétricas, los movimientos opuestos de las mismas.

Nuevamente el aprendizaje por adaptación producto de efectuar las posibles

acciones, termina siendo que las parejas de triángulos solo se unen a lo largo de una

recta, y que además no hay otras posiciones donde suceda esto. Ello implica que la

única manera de concluir la tarea es percatándose de la presencia del eje de simetría,

que es en últimas lo que se quiere.

Es importante que el profesor le solicite a los alumnos que han terminado la tarea

que efectivamente metan todos los triángulos sucesivamente en cada uno de los

círculos. Además, debe preguntarles: “¿Si tuvieras más círculos dónde podrías

colocarlos de manera que puedan meterse todos los triángulos?”. Se espera que los

alumnos hagan un gesto con su mano indicando una línea recta.

Análisis a priori de la secuencia

En general en cada una de las cuatro actividades, cuando los alumnos avancen de una serie

a otra esperamos que renuncien a las acciones que anteriormente no les han permitido

lograr sus intenciones, y que refuercen las que sí. Además, esperamos que tomen

conciencia de las diferencias entre una serie y otra.

83

En esta primera actividad esperamos que los alumnos al pasar de la primera a la segunda

serie (o en su defecto, de la segunda a la tercera), no intenten agarrar los triángulos verdes

sino que arrastren directamente los rojos cuando quieran mover los verdes. Esto para cada

tarea.

Primera y segunda tareas: esperamos que tomen conciencia de que en distintas series los

movimientos de un triángulo y su pareja tienen diferentes orientaciones. Es decir, que en la

primera serie al arrastrar un triángulo rojo hacia arriba su pareja se mueve hacia abajo y

viceversa, pero al arrastrarlo en dirección horizontal la distancia entre ellos no varía;

mientras que en la segunda serie al arrastrar un triángulo rojo hacia la derecha su pareja se

mueve hacia la izquierda y viceversa, pero al arrastrarlo en dirección vertical la distancia

entre ellos no varía.

Tercera tarea: esperamos que al avanzar de una serie a otra demoren menos tiempo

intentando meter todos los triángulos en el círculo antes de argumentar que no es posible

resolver la tarea, incluso no sería extraño que al pasar de la segunda a la tercera serie o de la

tercera a la cuarta argumenten que no es posible resolver la tarea antes de intentar arrastrar

los triángulos.

Cuarta tarea: esperamos que los alumnos tomen conciencia de que para diferentes series

los círculos quedan ubicados en distintas direcciones (horizontal, vertical …). Sería

importante que el profesor solicite a los alumnos dibujar en su cuaderno la posición en que

quedaron los círculos en cada serie al terminar la tarea.

Puesta en común

Es de esperarse que haya grupos de trabajo más adelantados que otros, entonces el profesor

puede disponer una puesta en común una vez finalizadas las cuatro tareas con las seis

series, con el fin de constatar que los alumnos manifiestan los fenómenos visuales que se

pretendía que descubrieran y que de alguna manera se hayan familiarizado con ellos. El

profesor pedirá a algunos alumnos que pasen al frente del grupo para que expliquen a los

demás cómo desarrollaron las tareas. Es importante que el profesor identifique cuáles

grupos terminaron y cuáles no, con el propósito de pasar primero a los grupos más

rezagados. También es conveniente que en su mayoría los grupos expongan su trabajo.

84

Es importante que los alumnos hablen (con sus propias palabras) de la dependencia de los

triángulos verdes con respecto a los rojos, de los movimientos contrarios, de que los

triángulos se juntan a lo largo de una línea recta.

Concurso (para finalizar la primera actividad)

En esta instancia se supone que ya los alumnos están familiarizados con los fenómenos

visuales que hemos mencionado anteriormente, pero para ello solo han utilizado estrategias

meramente perceptivas. El propósito de este concurso es bloquear esas estrategias, y llevar

a los alumnos a que utilicen los conocimientos que han adquirido para anticipar la posición

del eje de simetría.

Para este concurso se organizan equipos competidores dentro del salón de clase (entre 6 y 8

alumnos por equipo), el profesor explica que deberán solucionar la cuarta tarea: colocar los

círculos donde puedan meterse todos los triángulos dentro de ellos, pero no podrán mover

los triángulos antes de colocar los círculos. Para garantizar que los alumnos se comuniquen

y se pongan de acuerdo en una estrategia, el profesor explica que él seleccionará un

representante de cada equipo para realizar la tarea.

El representante escogido por el profesor deberá ubicar los tres círculos sin mover los

triángulos y luego otro alumno, o en su defecto el profesor, moverá los triángulos para

comprobar si es posible meter todos los triángulos dentro de cada círculo. Del mismo modo

lo harán los representantes de los otros equipos. En caso de que uno de los representantes

no logre resolver la tarea puede repetirse el concurso, y finalmente organizar una puesta en

común para que los grupos expongan sus estrategias.

Para resolver la tarea, los alumnos deben identificar cuál es la pareja de cada triángulo (sin

moverlos), y además identificar los puntos donde se unen, que deben estar sobre el eje de

simetría.

Para el análisis a priori de este concurso tendremos en cuenta que se llevará a cabo en dos

etapas; la primera consiste en ubicar los círculos, acción llevada a cabo por parte del

representante del grupo escogido por el profesor. La segunda consiste en validar la acción

intentando meter las parejas de triángulos en los círculos.

85

Análisis a priori

Intención: ubicar los círculos de modo que luego se pueda llevar una pareja de

triángulos simétricos dentro de cada uno. Sin mover los triángulos.

Estrategia 1: arrastrar cada uno de los tres círculos y ubicarlos en cualquier lugar

de la pantalla.

Acción de validación 1: arrastrar los triángulos rojos para meter todos los

triángulos dentro de cada círculo.

Retroacción 1: Como la posición de los círculos es escogida al azar, será muy

improbable que queden los tres sobre el eje de simetría oculto, y por lo tanto no

podrán meterse dentro de ellos un triángulo rojo y su correspondiente verde.

Interpretación: las parejas de triángulos no se pueden juntar en cualquier lugar de

la pantalla.

Validación: la estrategia no es válida, se debe llevar a cabo otra.

Estrategia 2: ubicar los círculos de modo que queden alineados (línea distinta del

eje de simetría).

Acción de validación 2: arrastrar los triángulos rojos para meter todos los

triángulos dentro de cada círculo.

Retroacción 2: no es posible meter las parejas de triángulos simétricos dentro de

cada círculo.

Interpretación: no es suficiente que los círculos queden alineados para alcanzar la

meta.

Validación: la estrategia no permite lograr el objetivo, se debe cambiar.

Estrategia 3: Colocar cada círculo ‘en la mitad’ de cada pareja de triángulos

correspondientes.

Acción de validación 3: arrastrar los triángulos rojos para meter todos los

triángulos dentro de cada círculo.

86

Retroacción 3: los triángulos pueden meterse todos en cada círculo.

Interpretación: las parejas de triángulos se unen a lo largo de una recta que pasa

por la mitad de cada una.

Validación: la estrategia usada es la ganadora.

Los alumnos siempre tienen la posibilidad de invalidar las estrategias perdedoras

gracias a las retroacciones del medio, y de darse cuenta que la estrategia ganadora

consiste en identificar las parejas de triángulos simétricos para anticipar la posición

del eje de simetría y ubicar los círculos sobre este eje, ya que de la tarea tres, ellos

han descubierto que un objeto y su simétrico se superponen sobre el eje de simetría.

Como consecuencia del concurso, es ineludible que los alumnos intenten anticipar

la posición del eje de simetría, siendo esta la única estrategia ganadora, porque las

demás no permiten concluir la tarea. Además, si no todos han descubierto la

estrategia, la puesta en común permite confrontar esta situación, ya que los distintos

grupos expondrán la manera como planearon desarrollar la tarea.

En conclusión, como producto del desarrollo de las cuatro tareas de esta primera actividad,

los alumnos lograrán identificar la dependencia de los triángulos verdes y los rojos; los

movimientos contrarios con respecto a una recta que pasa por la mitad de de un triángulo

rojo y su pareja; las orientaciones contrarias de los triángulos con respeto a tal recta;

además precisar su ubicación; por último, del concurso lograrán anticipar la posición del eje

de simetría sin mover los triángulos. Correspondiendo estos hechos al objetivo de la

actividad.

Es importante que el profesor institucionalice estas conclusiones utilizando las palabras de

los propios alumnos, y haga tomar nota de las mismas en el cuaderno.

Actividad 2

87

Objetivos

1. Además de reforzar la identificación de los fenómenos visuales concernientes al

movimiento de figuras simétricas trabajados en la actividad 1, se busca que los

alumnos constaten que las figuras simétricas con respecto a un eje giran en sentidos

contrarios.

2. Se busca que los alumnos pasen de una visión global de los triángulos, a considerar

sus vértices y lados.

Descripción del medio

Para el desarrollo de esta actividad, los alumnos trabajarán con seis figuras, en cada una de

ellas se presentan tres triángulos congruentes (rojo, verde y punteado). El verde simétrico

del rojo con respecto a un eje que permanece oculto y el punteado permanece fijo (no se

puede mover) de modo que el verde pueda hacerse coincidir con él.

El triángulo rojo pude moverse arrastrando dos de sus vértices: uno permite trasladarlo por

cualquier lugar de la pantalla y el otro permite girarlo alrededor del primero. El tercer

vértice no se deja arrastrar. El triángulo verde no puede arrastrarse, pero se mueve al

arrastrar el rojo.

88

Al igual que en la actividad 1, la única herramienta de Cabri disponible es el apuntador.

Descripción de la actividad

El propósito de esta actividad es que los alumnos descubran los mismos fenómenos

visuales de la primera actividad, más el hecho de que si una figura gira en el sentido

horario, su simétrica gira en sentido antihorario. Además, que pasen de una percepción

global de las figuras a una percepción local; los triángulos no serán únicamente formas

globales, sino que estarán compuestos por tres vértices y tres segmentos.

Para lograr lo anterior, se les pide a los alumnos desarrollar la siguiente tarea.

89

Tarea: Superponer el triángulo verde y el triángulo punteado

Se espera que los alumnos descubran que el triángulo rojo se puede mover por dos de sus

vértices, teniendo en cuenta que ya saben que para mover el verde deben arrastrar el rojo, y

esta vez no se moverá igual que en la primera actividad.

También se supone que ellos podrían intentar agarrar el triángulo punteado para llevarlo

hacia el verde, y éste no se dejará arrastrar, entonces llevarán el verde sobre el punteado,

pero una vez logrado esto deberán girarlo para hacer que coincidan. Esto último les

permitirá descubrir que al girar en sentido horario el rojo, el verde lo hará en sentido

contrario.

Análisis a priori

Intención: superponer el triángulo verde y el punteado

Acción 1: agarrar el triángulo punteado para llevarlo hacia el triángulo verde.

Retroacción 2: el triángulo punteado no se mueve.

Interpretación: el triángulo punteado no se deja arrastrar.

Validación: la acción no es válida, se debe cambiar.

Acción 2: agarrar el triángulo verde para llevarlo hacia el triángulo punteado.

Retroacción 2: el triángulo verde no se deja arrastrar.

Interpretación: el triángulo verde depende del rojo (como en la actividad anterior).

Validación: la acción no es válida, se debe cambiar.

Acción 3: agarrar el triángulo rojo por sus lados para mover el verde.

Retroacción 3: el triángulo rojo no se mueve.

Interpretación: el triángulo rojo no se deja arrastrar por sus lados.

Validación: la acción no permite resolver la tarea.

Acción 4: agarrar los puntos del triángulo rojo para moverlo.

90

Retroacción 4: un punto no se deja arrastrar, los otros dos sí. Además los triángulos

verdes se mueven cuando se arrastran dos puntos específicos del triángulo rojo.

Interpretación: de los puntos que se mueven uno hace que el triángulo gire y el

otro que se traslade.

Validación: la acción no es suficiente para resolver la tarea, se deben ejecutar otras.

Acción 5: mover un punto del triángulo rojo para llevar el verde sobre el punteado.

Retroacción 5: el triángulo verde queda sobre el punteado pero no superpuesto.

Interpretación: no basta mover el triángulo verde hacia el punteado, se necesita

que gire.

Validación: la acción es válida pero la tarea aún no está resuelta.

Acción 6: girar el triangulo verde arrastrando un punto del rojo hasta que coincidan.

Retroacción 6: el triángulo rojo y el verde quedan superpuestos.

Interpretación: para superponer los triángulos se necesita girar y trasladar el verde

con movimientos del rojo.

Validación: la acción es válida.

Lo más probable es que los alumnos utilicen las acciones 5 y 6 combinadas para

hacer coincidir los triángulos, esto les permitirá concluir la tarea, pero también

podrían presentarse otras acciones válidas.

Acción 7: arrastrar el punto que permite trasladar el triángulo rojo hasta superponer

el punto correspondiente del triángulo verde con el del punteado, luego arrastrar el

punto que permite girar el triángulo.

Retroacción 7: el triángulo verde y el punteado quedan superpuestos.

Interpretación: al trasladar el triángulo rojo por uno de sus puntos, el punto

correspondiente del verde se mueve en sentido contrario con respecto al espejo.

Validación: la acción es válida.

91

Acción 8: girar el triángulo rojo de modo que el verde quede en la misma posición

que le punteado, luego arrastrar el triángulo rojo hasta hacer coincidir el verde con

el punteado.

Retroacción 8: el triángulo verde coincide con el triángulo punteado.

Interpretación: para girar el triángulo verde en cierto sentido se debe girar el rojo

en sentido contrario.

Validación: la acción es válida a.

Note que para poder finalizar la tarea es necesario que el alumno descubra que una

figura y su simétrica giran en sentidos contrarios, ya que para girar el triángulo

verde debe girar el rojo, y no hay otra forma de hacerlo. Además, ellos al intentar

hacer coincidir los triángulos, se fijarán en los vértices, siendo que al girar el

triángulo rojo sin trasladarlo, un punto de éste y el verde permanecen fijos, mientras

los otros dos se giran tanto en el triángulo rojo como en el verde, pero en sentidos

opuestos. Entonces se concluye que el aprendizaje producto del desarrollo de la

actividad corresponde al objetivo propuesto.

Análisis a priori secuencia

A medida que los alumnos avancen por las seis series, esperamos que abandonen algunas

estrategias que no le son útiles para lograr su objetivo, las cuales con bastante probabilidad

usarán en la primera serie. Esperamos que al pasar a la segunda serie, no usen las acciones

uno y dos que serían intentar arrastrar el triángulo punteado y el triángulo verde

respectivamente, puesto que estos no se dejarán arrastrar. Otra acción que esperamos que

no repitan a partir de la segunda o tercera serie es intentar arrastrar el triángulo rojo por sus

lados, puesto que sólo se podrá arrastrar por sus vértices.

También esperamos que tomen conciencia de que en cada serie la posición del eje de

simetría es diferente (horizontal, vertical y oblicua). Teniendo en cuenta que ellos podrían

identificar éste eje como una recta imaginaria que se comporta como espejo entre los dos

triángulos.

92

Lo más importante de esta actividad es que ellos refuercen la percepción y manipulación de

la figura por los elementos que la conforman y no de una manera global, que

independientemente de la posición de lo que la mayoría llamaría espejo (eje de simetría) un

triángulo y su imagen giran y se mueven en sentidos opuestos. Todos estos elementos

deberían ser nombrados en una puesta en común al terminar toda la actividad.

Actividad 3

Objetivo

En las dos actividades anteriores los alumnos han aprendido a predecir la posición del eje

de simetría de manera aproximada, esta vez se quiere que precisen esa posición. Más

concretamente, que argumenten que el eje de simetría pasa por los puntos medios de los

puntos simétricos, de modo que puedan construir el eje haciendo uso de herramientas

geométricas.

Descripción del medio

Para el desarrollo de esta actividad se usan siete figuras. En las cuatro primeras se presenta

un triángulo rojo, uno verde y un segmento. El triángulo verde es simétrico del rojo con

respecto a un eje que permanece oculto, por lo tanto no se deja arrastrar. EL triángulo rojo

se deja arrastrar por dos de sus vértices; uno permite trasladarlo y el otro rotarlo, de modo

que no cambia su forma ni tamaño. El segmento puede desplazarse arrastrándolo

directamente o arrastrando sus puntos extremos. Cuando el segmento coincida

‘aproximadamente’ con el eje de simetría, aparecerá en la pantalla un punto con el letrero

‘Muy bien!’.

La diferencia entre cada una de las seis primeras figuras es la inclinación del eje.

En la séptima figura se presenta un triángulo verde, uno rojo y un círculo con un punto

sobre él. El triángulo rojo se deja arrastrar por dos de sus vértices; uno permite trasladarlo y

el otro rotarlo, de modo que no cambia su forma ni tamaño mientras el verde se mueve de

93

modo que conserva la simetría. El círculo funciona como interruptor al mover el punto para

cambiar la pendiente del eje de simetría.

En las series 1 a 6 la única herramienta Cabri disponible es el apuntador, en la serie 7 todas

las herramientas están disponibles.

94

Descripción de la actividad

Al trabajar con las seis primeras figuras se quiere que los alumnos comprendan que el eje

de simetría debe ubicarse de modo que pase por los puntos medios de puntos simétricos;

esto puede ser manifestado por los alumnos con frases como “el espejo debe quedar en la

mitad de los triángulos” o aún más preciso, “el segmento debe quedar en la mitad entre este

punto y este punto (señalando dos puntos simétricos)”. Para ello se les pide que realicen dos

tareas.

Primera tarea: (En las seis primeras figuras) mover el segmento hasta que represente

el espejo entre el triángulo rojo y el verde.

Se espera que en las actividades anteriores los alumnos hayan hecho referencia

espontáneamente a un espejo, diciendo que los triángulos verdes parecen imagen de los

rojos con respecto a un espejo. Si no lo han hecho, el profesor podrá hacer esta referencia

para poder referirse al segmento como representación de un espejo.

En esta tarea, se espera que los alumnos lleven el segmento a la posición en la que ellos

creen que debe ubicarse el espejo. Logrado esto con cierta precisión, debe aparecerles un

punto con un letrero que dice ‘Muy bien!’. Por ejemplo en el caso de la primera figura:

Es posible que algunos alumnos utilicen una de las siguientes estrategias para solucionar la

tarea:

95

1. Mover el triángulo rojo hasta que se cruce con el triángulo verde y hacer que el

segmento pase por los puntos de intersección.

2. Mover el triángulo rojo hasta que uno de sus lados coincida con el lado

correspondiente del triángulo verde y hacer que el segmento pase por ese lado.

Estas estrategias son correctas, pero el profesor deberá pedirles a estos alumnos que

intenten resolver el problema sin mover los triángulos, a fin de que utilicen las relaciones

96

entre los puntos simétricos y el eje.

Análisis a priori

Intención: ubicar el segmento de modo que represente el espejo entre el triángulo rojo

y el verde.

Acción 1: llevar el segmento a la mitad de una pareja de triángulos y acomodarlo hasta

que salga el letrero ‘Muy bien!’.

Retroacción 1: el segmento queda ubicado en la posición adecuada y sale el letrero

‘muy bien!’.

Interpretación: el segmento queda ubicado en la mitad entre los dos triángulos.

Validación: la estrategia es válida.

Acción 2: arrastrar y girar el triángulo rojo hasta hacer coincidir un lado de éste con el

lado correspondiente del verde y ubicar el segmento sobre ese lado.

Retroacción 2: el triángulo queda unido al otro por un lado, el segmento queda ubicado

en esa posición y aparece el letrero ‘Muy bien!’.

Interpretación: se pueden unir los dos triángulos por un lado y ubicar el segmento en

esa posición para que represente el espejo.

Validación: la estrategia es válida.

Acción 3: Mover el triángulo rojo hasta que se cruce con el triángulo verde y hacer que

el segmento pase por los puntos de intersección de los dos triángulos.

Retroacción 3: el segmento queda ubicado en la posición adecuada y aparece el letrero

‘Muy bien!’.

Interpretación: basta hacer que los triángulos se crucen y ubicar el segmento sobre las

intersecciones.

Validación: la estrategia es válida.

Como ya mencionamos antes, cuando los alumnos utilicen las dos últimas estrategias,

es necesaria la intervención del profesor para pedirles que resuelvan la tarea

97

nuevamente sin mover los triángulos, con el propósito de que los alumnos usen la

relación entre los puntos simétricos y el eje.

Acción 4: ubicar una regla (o un dedo, una hoja de papel) sobre la pantalla para medir

la distancia entre dos pares de puntos correspondientes y calcular la mitad entre ellos,

luego llevar el segmento sobre la “mitad” de cada par de puntos.

Retroacción 4: el segmento queda ubicado en la posición adecuada y aparece el letrero

‘Muy bien!’.

Interpretación: el segmento debe ubicarse en la mitad entre los puntos

correspondientes.

Validación: la acción es válida.

Como producto de llevar a cabo estos ciclos de acción-retroacción-interpretación-

validación para esta tarea, los alumnos interpretan que el espejo debe ubicarse sobre los

puntos medios de los puntos simétricos, lo que es el propósito de esta tarea. Al terminar

estas seis series debe realizarse una puesta en común para introducir la segunda tarea,

como se explica a continuación.

Segunda tarea: (En la séptima figura) construir un segmento de modo que represente

el espejo que refleja el triángulo rojo en el triángulo verde

En esta tarea se introducirá por primera vez el arrastre para validar una construcción,

invalidando las estrategias de ajuste perceptivo de las figuras. Este cambio en el contrato

didáctico no será fácilmente comprendido o aceptado por los estudiantes. Por eso es

necesario que el profesor lo ‘ponga en escena’, delante de todo el grupo, para convencerlos

mediante un ejemplo:

Una vez terminada la primera tarea con las seis figuras iniciales, el profesor organizará una

puesta en común para resaltar las condiciones que debe cumplir el segmento para que

represente el ‘espejo’ entre el triángulo rojo y el verde. Se espera que en esa puesta en

común se llegue al acuerdo de que la estrategia para obtener el ‘muy bien’ debe ser ‘colocar

el segmento de manera que pase por la mitad entre los dos triángulos’. Luego mostrará la

98

quinta figura, pasará a un estudiante al frente y planteará la tarea: debe construir el

segmento que represente el espejo que refleja el triángulo rojo en el triángulo verde.

Se espera que inicialmente el estudiante se pregunte cómo construir el segmento, de modo

que el profesor debe intervenir para orientar el manejo de la herramienta ‘segmento’, dado

que es la primera vez que se les pide que construyan. El alumno construirá el segmento en

cualquier parte de la pantalla y lo arrastrará para ubicarlo entre los dos triángulos, buscando

que represente el espejo entre los dos triángulos. Una vez el alumno ha ajustado

perceptivamente el segmento, el profesor explicará que en esta figura no sale el letrero

‘muy bien’ y que por lo tanto se necesita otra forma de verificar si el segmento está

correctamente colocado; mostrará la herramienta ‘simetría axial’ para construir el triángulo

simétrico del rojo con respecto al segmento que el alumno ha construido perceptivamente.

Pueden presentarse dos situaciones:

El triángulo construido (rojo) no coincide con el triángulo verde, lo cual

indicaría que el segmento quedó mal construido. Entonces el alumno buscará

acomodar el segmento hasta que los triángulos coincidan completamente.

El triángulo construido (rojo) coincide con el triángulo verde, lo cual indicaría

que el segmento quedó ‘bien ubicado’.

99

Una vez validada esta tarea perceptiva, el profesor pedirá al alumno que mueva

el punto sobre el círculo, provocando la siguiente situación:

Al mover el punto sobre el círculo el eje de simetría (oculto) cambia de pendiente,

provocando el cambio de posición del triángulo verde, y queda en evidencia que el espejo

queda mal ubicado; el profesor explicará que ‘ahora se trata de construir un segmento que

siempre sea el espejo entre los dos triángulos, aunque el triángulo verde se mueva’.

Una vez que se ha invalidado la estrategia de ajuste perceptivo mediante el arrastre, finaliza

la puesta en común y cada pareja debe intentar resolver el problema.

Esta actividad es de tipo II según nuestro marco teórico. Es decir, sirve para invalidar las

estrategias perceptivas de los alumnos, pero no se espera que ellos encuentren una

estrategia ganadora. Solamente se espera que formulen de manera suficientemente precisa

el problema al que se enfrentan y la necesidad que tienen para resolverlo. En el momento

100

que los alumnos manifiesten que necesitan crear un punto ‘que siempre esté en la mitad de

dos puntos correspondientes’, el profesor debe intervenir para mostrarles la herramienta

punto medio y enseñarles a usarla. De esta manera la herramienta punto medio se convierte

en la respuesta a una necesidad de los alumnos. Es importante que los alumnos

experimenten el uso de dicha herramienta y que midan (con la regla o con la herramienta

distancia de Cabri) las distancias del punto medio a los dos puntos de referencia, y que

arrastren los puntos para constatar que independientemente de la posición de los puntos, el

punto medio siempre está en la mitad de los otros dos.

Es posible que algunos estudiantes formulen el problema como que ‘se necesita que el

segmento se mueva al mismo tiempo que el triángulo’, e incluso intenten utilizar el punto

sobre el círculo para construir el segmento. Esta formulación no es suficiente, pues no hace

referencia a la propiedad que se quiere introducir, que el punto medio. El profesor deberá

intervenir con preguntas sobre cómo se acordó en la puesta en común que es la estrategia

para ubicar correctamente el espejo, de manera que los alumnos vuelvan a hacer referencia

a una posición a igual distancia de los dos triángulos.

Análisis a priori

Intención: construir un segmento de modo que represente el espejo que refleja el

triángulo rojo en el triángulo verde.

Acción 1: usar la herramienta ‘segmento’ y construir perceptivamente un segmento

que pase por la mitad de los puntos correspondientes.

Acción de validación 1a: construir el triángulo simétrico del rojo con respecto al

segmento.

Retroacción 1a: el triángulo construido coincide con el verde, en caso contrario el

estudiante podría mover el segmento hasta que los dos triángulos coincidan

completamente.

Acción de validación 1b: mover el interruptor.

Retroacción 1b: el triángulo verde se traslada y el segmento queda mal ubicado.

Interpretación: la acción 1 no permite concluir la tarea.

101

Validación: es necesario cambiar de estrategia.

Acción 2: arrastrar el triángulo rojo hasta hacer coincidir un lado de éste con el lado

correspondiente del verde y construir un segmento sobre ese lado.

Acción de validación 2a: construir el triángulo simétrico del rojo con respecto al

segmento.

Retroacción 2a: el triángulo construido coincide con el verde.

Acción de validación 2b: mover el interruptor.

Retroacción 2b: el triángulo verde se traslada y el segmento queda mal ubicado.

Interpretación: la acción 2 no permite concluir la tarea.

Validación: es necesario cambiar de estrategia.

Acción 3: Mover el triángulo rojo hasta que se cruce con el triángulo verde y

construir un segmento que pase por los puntos de intersección de los dos triángulos.

Acción de validación 3a: construir el triángulo simétrico del rojo con respecto al

segmento.

Retroacción 3a: el triángulo construido coincide con el verde.

Acción de validación 3b: mover el interruptor.

Retroacción 3b: el triángulo verde se traslada y el segmento queda mal ubicado.

Interpretación: la acción 2 no permite concluir la tarea.

Validación: es necesario cambiar de estrategia.

Acción 4: construir un segmento utilizando como un extremo el punto sobre el

círculo.

Acción de validación 4a: construir el triángulo simétrico del rojo con respecto al

segmento.

Retroacción 4b: el triángulo rojo no coincide con el triángulo verde.

Acción de validación 4b: mover el interruptor

Retroacción 4b: el segmento gira, pero el triángulo rojo no coincide con el verde.

Interpretación: la acción 4 no permite realizar la tarea.

102

Validación: es necesario cambiar de estrategia.

Acción 5: usar la herramienta ‘punto medio’ para marcar los puntos medios de los

puntos correspondientes y construir un segmento con extremos en dos de esos

puntos.

Acción de validación 5a: construir el triángulo simétrico del rojo con respecto al

segmento.

Retroacción 5a: el triángulo construido coincide con el verde.

Acción de validación 5b: mover el interruptor.

Retroacción 5b: el segmento se mantiene sobre los puntos medios construidos.

Interpretación: el segmento debe construirse a partir de los puntos medios de

puntos correspondientes.

Validación: la estrategia permite concluir la tarea.

Los alumnos después de ensayar estrategias perceptivas e invalidarlas, harán la

pregunta que se espera que se planteen. ¿Cómo hacer para que el segmento quede

sobre los puntos medios de los puntos correspondientes, aún después de mover el

interruptor? En ese momento el profesor interviene para indicarles cómo usar la

herramienta ‘punto medio’. De este modo se alcanza el objetivo de la tarea.

Es necesario que los alumnos experimenten con la herramienta punto medio en un

archivo aparte, y luego la utilicen para resolver la tarea realizando las dos

validaciones (estática y dinámica). Debe terminar la actividad con una corta puesta

en común y una institucionalización del concepto de ‘punto medio’ como un punto

que siempre está en la mitad de otros dos, sin importar cómo se muevan esos

puntos.

Como preparación para la cuarta actividad es necesario que los alumnos construyan

los segmentos entre puntos correspondientes de los dos triángulos, afín de que

constaten que esos segmentos son paralelos entre sí y perpendiculares al eje de

simetría. Sin embargo, no es necesario que formulen estas propiedades.

103

Actividad 4

Objetivo

El propósito de esta actividad es precisar las condiciones para construir la imagen de una

figura con respecto a un eje de simetría. Específicamente, que los alumnos comprendan que

un punto y su imagen quedan sobre una recta perpendicular al eje de simetría y a igual

distancia de dicho eje, pero en semiplanos diferentes.

Descripción del medio

Para el desarrollo de esta actividad se trabaja con siete figuras. En las cuatro primeras se

presenta un triángulo rojo, uno verde y una recta. El triángulo rojo se deja arrastrar por un

solo vértice, y no puede girarse. El triángulo verde puede moverse arrastrando dos de sus

vértices: uno lo gira y el otro lo desplaza. Cuando el triángulo verde está aproximadamente

sobre el simétrico del triángulo rojo con respecto a la recta, aparece un punto con el letrero

‘muy bien’.

La séptima figura tiene un triángulo verde, una recta y un círculo con un punto. El punto

sobre el círculo modifica la inclinación de la recta.

La diferencia entre las seis primeras figuras es la inclinación de la recta.

104

Descripción de la actividad

Se quiere que los alumnos comprendan que para que una figura sea simétrica de otra, cada

par de puntos correspondientes deben quedar sobre una recta perpendicular al eje y a igual

distancia del mismo, pero en lados opuestos.

En esta actividad los alumnos deben pasar de una problemática de colocar el triángulo

‘aproximadamente’ a construirlo de manera exacta, de manera que se mantenga la simetría.

105

Primera tarea: (En las seis primeras figuras) Considerando que la recta representa un

espejo, mover el triángulo verde hasta que sea el reflejo del triángulo rojo por ese

espejo.

Se espera que los alumnos desplacen el triángulo hasta la posición que ellos anticipan de la

imagen del triángulo verde. En ese momento debe aparecer el letrero ‘muy bien’.

Es probable que con las dos primeras figuras no tengan muchas dificultades, pero en la

tercera y cuarta, dada la inclinación del eje, la tarea se torna un poco más compleja, en vista

de que deben identificar tanto la perpendicularidad como la equidistancia. Podrían

presentarse las siguientes estrategias.

1. Construir los puntos medios de dos parejas de puntos, y mover el triángulo rojo

hasta obtener que esos puntos medios queden sobre la recta. El profesor debe

mostrar contraejemplos en los que esos puntos medios están sobre la recta, pero los

triángulos no son simétricos (pues no se cumple la perpendicularidad).

En este caso, un posible contraejemplo que podría mostrársele al alumno sería el

siguiente:

106

Percatándose el alumno, que el triángulo verde no es imagen del triángulo rojo.

2. Colocar sobre la recta el vértice del triángulo rojo que permite trasladarlo, y hacerlo

coincidir con el vértice correspondiente del triángulo verde; luego girar el triángulo

rojo hasta obtener el letrero ‘Muy bien’. Esta estrategia es correcta, pero el profesor

deberá pedirles a estos alumnos que intenten resolver el problema sin mover el

triángulo verde, a fin de que utilicen las relaciones entre cada par de puntos

simétricos y el eje.

3. Llevar el triángulo verde y el rojo sobre la recta y hacer que las intersecciones de

dos pares de lados correspondientes queden sobre ella.

107

Nuevamente esta estrategia es correcta, pero el profesor deberá pedirles a estos

alumnos que intenten resolver el problema sin mover el triángulo verde, a fin de que

utilicen las relaciones entre cada par de puntos simétricos y el eje.

Análisis a priori

Intención: mover el triángulo verde hasta que sea el reflejo del rojo con

respecto al espejo.

Acción 1: Construir los puntos medios de dos parejas de puntos, y mover el

triángulo verde hasta obtener que esos puntos medios queden sobre la recta.

Retroacción 1: no siempre que los dos puntos medios quedan sobre la recta aparece

el letrero ‘muy bien!’.

Interpretación: no siempre que los dos puntos medios de dos parejas de puntos

quedan sobre la recta, el triángulo rojo es el reflejo del verde. Si no se logra esta

interpretación, el profesor deberá mostrar un contraejemplo.

Validación: la acción 1 no es válida, se debe cambiar de estrategia.

Acción 2: Hacer coincidir dos puntos correspondientes sobre la recta y acomodar el

triángulo verde hasta que salga el letrero ‘Muy bien!’.

Retroacción 2: el triángulo verde queda bien ubicado y sale el letrero ‘Muy bien!’

Interpretación: se puede concluir la tarea llevando a cabo la acción 2.

Validación: la acción 2 es válida.

Acción 3: Llevar el triángulo verde y el rojo sobre la recta y hacer que las

intersecciones de dos pares de lados correspondientes queden sobre ella.

Retroacción 3: el triángulo rojo queda bien ubicado y sale el letrero ‘Muy bien!’

108

Interpretación: se puede concluir la tarea llevando a cabo la acción 3.

Validación: la acción 3 es válida.

Acción 4: ajustar el triángulo verde perceptivamente hasta que los puntos medios de

dos parejas de puntos queden sobre la recta y en cada pareja de puntos uno sea

imagen del otro con respecto a la recta.

Retroacción 4: el triángulo rojo queda bien ubicado y sale el letrero ‘Muy bien!’

Interpretación: se puede concluir la tarea llevando a cabo la acción 4.

Validación: la acción 4 es válida.

Al concluir esta tarea, llevando a cabo las acciones previstas, los alumnos

interpretan que el triángulo verde debe ubicarse de modo que cada vértice de éste y

el correspondiente del triángulo rojo queden a igual distancia de la recta, pero en

lados contrarios y en dirección perpendicular a la recta, refiriéndose ellos a la

perpendicularidad con palabras como ‘derecho’. Lo cual corresponde al objetivo de

la tarea.

Segunda tarea: (En la séptima figura) Construir un triángulo que sea el reflejo del

triángulo dado con respecto a la recta.

Terminada la primera tarea para las seis primeras figuras, el profesor organiza la puesta en

común resaltando condiciones para que el triángulo verde sea el reflejo del rojo, tales como

la equidistancia y la perpendicularidad, sin importar que no sea esta la palabra que usen los

alumnos para referirse a dicha propiedad.

El profesor terminará la puesta en común mostrando la séptima figura. De manera análoga

como se hizo en la segunda tarea de la actividad anterior, se le pide a un alumno que

construya un triángulo que sea el reflejo del rojo con respecto a la recta, y para verificar

construye el simétrico del triángulo rojo con respecto a dicha recta. Si el triángulo

construido no coincide con esta imagen, permite que el alumno lo ajuste hasta que

coincidan exactamente. Luego mueve el punto sobre el círculo, de manera que la recta

109

cambia de inclinación, y muestra que el triángulo construido ya no coincide con la imagen

del triángulo verde. Entonces borra el triángulo construido por el alumno, y la imagen del

triángulo verde, y devuelve el problema a cada estudiante explicando que se trata de hacer

una construcción que siempre coincida con la imagen, incluso cuando se mueve el punto

sobre el círculo.

Para realizar una construcción ‘que resista el arrastre’ es necesario utilizar dos propiedades

diferentes: la perpendicularidad entre los segmentos que unen puntos correspondientes y la

equidistancia entre los puntos correspondientes y el eje de simetría. Proponemos trabajar

por separado esas dos propiedades.

Al igual que en la serie 3-7 de la actividad anterior, esta es una actividad de tipo II,

diseñada para invalidar las estrategias perceptivas de los alumnos, pero en la que no se

espera que encuentren por sí mismos la solución. Sólo se espera que formulen lo más

claramente posible el problema y lo que necesitan para la solución. En este caso, que

enuncien en sus propias palabras la necesidad de producir las dos propiedades de las que

hablamos. Podrían decir por ejemplo, que necesitan que los segmentos entre puntos

correspondientes deben ‘formar una ele’ con el eje de simetría, o que deben quedar

‘derechos’ (refiriéndose a la perpendicularidad), y que la distancia de un vértice del

triángulo a la recta debe ser la misma que de la recta al punto correspondiente.

Parte 1: perpendicularidad.

Es posible que algunos alumnos en este momento expresen que necesitan medir distancias

o trazar segmentos; y el profesor mostrará cómo hacerlo delante de todos. Los alumnos

trazarán entonces segmentos ‘a ojo’, que cumplen las condiciones de la simetría, pero al

mover el interruptor esos segmentos dejan de ser perpendiculares al eje.

110

El profesor debe plantear la pregunta: ‘¿qué es lo que se pierde al mover el punto sobre el

círculo?’ Los alumnos podrán expresar con sus propios términos la perpendicularidad (‘no

está derecho el segmento, se torció el segmento, etc.’). Entonces el profesor les pedirá a

algunos alumnos que muestren cómo debería estar el segmento con respecto a la recta.

Cuando los estudiantes expresen en sus palabras que necesitan construir de tal manera que

los segmentos sean perpendiculares a la recta, el profesor institucionalizará el término

‘perpendicular’ y mostrará cómo usar la herramienta ‘recta perpendicular’ para obtener la

propiedad que ellos esperan.

Es importante dedicar tiempo suficiente para que los alumnos se apropien el uso de la

herramienta recta perpendicular y experimenten las diferentes posibilidades y las

condiciones para poder utilizar dicha herramienta, así como el vocabulario geométrico

asociado a esa propiedad. Se recomienda que trabajen en un archivo aparte, y que se den

cuenta de que para utilizar la herramienta es necesario que exista en la pantalla un objeto

(segmento o recta) de referencia. También es importante que tomen conciencia de que

Cabri espera dos clic para trazar una recta perpendicular: un clic para señalar ‘a quién debe

ser perpendicular’ y un clic para señalar ‘por cual punto debe pasar’; el profesor deberá

llamar la atención de los alumnos sobre los letreros que aparecen en la pantalla cuando se

acerca el cursor a los objetos antes de hacer clic. Igualmente, es importante que los alumnos

se den cuenta que el punto por el que pasará la perpendicular puede estar sobre la recta de

referencia o fuera de ella, o que incluso puede crearse ‘sobre la marcha’ (no es necesario

que esté creado con anterioridad). Con respecto al vocabulario es necesario evitar

expresiones como ‘la recta es perpendicular al punto X’; el profesor debe señalar que es

necesario nombrar dos parámetros, así como Cabri necesita dos clic para construir la

perpendicular: un parámetro para señalar ‘a quién es perpendicular’ y un parámetro para

decir por dónde pasa esa perpendicular. Una frase correcta debe decir ‘recta perpendicular a

___ por el punto ____

Una vez que los alumnos hayan practicado el uso de la herramienta, el profesor debe pedir

que la usen en el problema de la serie 4-7.

111

Parte 2: equidistancia

Una vez que han construido la recta perpendicular al eje por uno de los vértices del

triángulo, podrán ubicar de manera aproximada un punto sobre esa recta, al lado opuesto

del triángulo con respecto al eje, y así construir la imagen del triángulo. Esta relación de

equidistancia se perderá al mover el eje de simetría. El profesor deberá asegurarse de que

los alumnos identifican claramente el problema: ¿qué es lo que no está funcionando? Los

alumnos deberán responder en sus propias palabras que la distancia de un punto al eje de

simetría no es igual a la distancia de su imagen al eje de simetría.

Sólo después de que los alumnos hayan identificado claramente la necesidad de lograr la

equidistancia con respecto al eje, el profesor les mostrará cómo usar la herramienta círculo

para obtenerla, y explicará por qué el círculo asegura la equidistancia (un círculo está

formado por todos los puntos que están a igual distancia del centro, por lo tanto los dos

puntos que están sobre la recta y el círculo están a igual distancia del centro, es decir, del

eje).

112

Análisis a priori

Intención: Construir un triángulo que sea el reflejo del triángulo dado con respecto

a la recta.

Acción 1: construir tres puntos para formar un triángulo y acomodarlos hasta que

represente la imagen del triángulo dado con respecto a la recta.

Acción de validación 1a: construir el triángulo simétrico del triángulo dado con

respecto a la recta.

Retroacción 1a: los dos triángulos construidos coinciden.

Acción de validación 1b: mover el interruptor.

Retroacción 1b: los triángulos dejan de coincidir.

Interpretación: la acción no permite resolver la tarea.

Validación: la acción no es válida, se debe cambiar de estrategia

Acción 2: construir tres segmentos ‘al ojo’ que cumplan con las condiciones de la

simetría, y construir el triángulo reflejado a partir de los segmentos.

Acción de validación 2a: construir el triángulo simétrico del triángulo dado con

respecto a la recta.

Retroacción 2a: los dos triángulos construidos coinciden.

Acción de validación 2b: mover el interruptor.

113

Retroacción 2b: los triángulos dejan de coincidir.

Interpretación: la acción 1 no permite resolver la tarea, porque se pierde la

perpendicularidad: ‘los segmentos no quedan derechos’

Validación: la acción no permite concluir la tarea, se debe usar otra estrategia.

Acción 3: construir una recta perpendicular al eje que pase por un punto del

triángulo, ubicar de manera aproximada un punto sobre esa recta, al lado opuesto

del triángulo con respecto al eje, y así construir la imagen del triángulo.

Acción de validación 3a: construir el triángulo simétrico del triángulo dado con

respecto a la recta.

Retroacción 3a: los dos triángulos construidos coinciden.

Acción de validación 3b: mover el interruptor.

Retroacción 3b: los triángulos dejan de coincidir.

Interpretación: la acción 1 no permite resolver la tarea, porque se pierde la

equidistancia.

Validación: la acción no permite concluir la tarea, se debe usar otra estrategia.

Acción 4: construir una recta perpendicular al eje que pase por un punto del

triángulo, trazar un círculo que pase por este último punto, con centro en la

intersección del eje y la recta perpendicular, y así construir la imagen del triángulo.

Acción de validación 4a: construir el triángulo simétrico del triángulo dado con

respecto a la recta.

Retroacción 4a: los dos triángulos construidos coinciden.

Acción de validación 4b: mover el interruptor.

Retroacción 4b: los triángulos siguen coincidiendo.

Interpretación: la acción permite resolver la tarea, porque el triángulo construido

sigue siendo la imagen del triángulo dado, aún después de mover el interruptor.

Validación: la acción es válida.

114

En conclusión, la única manera de que los alumnos logren resolver la tarea, es que

usen tanto la herramienta ‘recta perpendicular’ como la herramienta ‘círculo’ para

garantizar la perpendicularidad y la equidistancia respectivamente. De este modo, el

producto del aprendizaje por adaptación concuerda con el objetivo planteado, es

decir los alumnos comprenderán que un punto y su imagen quedan sobre una recta

perpendicular al eje de simetría y a igual distancia de dicho eje.

Elementos a tener en cuenta en la institucionalización

Para la institucionalización se recomienda introducir el vocabulario oficial: eje de

simetría, figuras simétricas con respecto a un eje, vértices homólogos o

correspondientes, y retomar las distintas actividades para que los alumnos las

describan utilizando los nuevos términos. Es importante que el profesor corrija la

utilización inadecuada de términos, y que los alumnos nombren y escriban

correctamente las relaciones de perpendicularidad y equidistancia. Los alumnos

deben tener claro que para que haya simetría con respecto a una recta es necesario

que los segmentos entre puntos correspondientes sean perpendiculares al eje y que

el eje los corte en sus puntos medios.

Recomendaciones para la evaluación

Aconsejamos realizar una evaluación final por escrito. Se trata de evaluar dos habilidades:

dadas dos figuras simétricas construir el eje de simetría y dada una figura y un eje construir

la figura simétrica. Además es importante que reconozcan figuras en las que hay simetría y

figuras en las que no hay simetría, y que puedan justificar por qué utilizando el saber

enseñado (perpendicularidad y equidistancia).

115

Anexo B

Transcripciones de observado en los videos

Transcripción literal de la actividad 3

En estos cuadros se presenta la transcripción literal de lo ocurrido en clase. Se describe

detalladamente lo que ocurrió al implementar la actividad 3, para esto se utilizan tres

convenciones.

Cuando el texto está entre paréntesis ( ) significa que se está describiendo lo que se

observa en el video sobre lo que el estudiante o la profesora hacen.

Cuando el texto se encuentra entre llaves cuadradas [ ] significa que es una

interpretación de lo que ocurre en el video o a manera de aclaración.

Y cuando el texto no se encuentra entre ninguna de estas dos marcas significa que es

lo que literalmente se menciona dentro del video por parte de los estudiantes o de la

profesora.

Actividad 3

Momento Tiempo Texto – transcripción Imagen que corresponde al texto

Para describir el trabajo realizado por los

estudiantes con mayor precisión, hemos

nombrado los vértices de los triángulos de

la siguiente manera. Los vértices del

triángulo rojo son A, B y C. Y los vértices

del triángulo verde son A’, B’ y C’

respectivamente. Como se ve en la imagen.

Puesta en común: socializar los aprendizajes de la primera ronda de la primera tarea

116

Video 1 (20 de marzo del 2014)

En esta sesión la profesora realizó una puesta en común donde se socializaron los

procedimientos realizados por los estudiantes al enfrentarse al software en las series 3-1 a

3-6. La tarea de la primera serie de actividades era mover el segmento hasta que represente

el espejo entre el triángulo rojo y el verde. (sin ayuda de las herramientas del software)

1 00:15

Estudiante 1: (en el tablero dibuja un

segmento de recta que pasa por medio

de dos triángulos) [la profesora le pidió

que dibujara en el tablero la posición

correcta del segmento]

Profesora: ¿Ese sería el espejo? ¿Qué

era lo que tú estabas haciendo ahí

estudiante 1? Tú estabas trabajando

algo con la regla. ¿Qué estabas tratando

de hacer? ¿Estabas midiendo?

Estudiante 1: No profe, yo solamente

estaba… jajajaa

2 01:25

Profesora: Pero miren, si nosotros

tuviéramos un espejo y fuera

representado por ese segmento

¿podríamos decir que la imagen es el

triángulo verde?

Estudiantes de fondo: Sí. Sí.

Totalmente. No

3 02:36

Profesora: Pues verifiquemos

Estudiante 1: Venga a ver miramos

117

4 03:15

Profesora: ¿Qué es lo que tienes que

hacer? Mueve el segmento de tal

manera que sea el espejo.

Estudiante 1: (desplaza el segmento

de recta y lo superpone con la línea que

trazó en el tablero)

5 03:34 Profesora: ¿Salió el “Muy bien”?

6 03:35 Estudiantes de fondo: No

7 03:37 Profesora: ¿Por qué estará mal?

8 03:44

Estudiante 1: De pronto no está en la

mitad. Espere medimos. (Se acerca al

tablero y con una regla mide la

distancia entre el vértice A y el vértice

A´ y marca la mitad de la distancia con

un punto)

9 06:23

Estudiante 1: (mide la distancia entre

los vértices correspondientes A-A’, B-

B’ y C-C’) y hace una marca en la

mitad de las tres distancias.

118

10 06:38

Profesora: Observen que maneja otra

parte de los triángulos. [refiriéndose a

que no solamente considera la distancia

entre los vértices A y A’] ¿Eso es

importante?

Estudiantes de fondo: Sí.

Profesora: No sólo está trabajando los

dos vértices cercanos [A y A’].

11 07:06

Estudiantes de fondo: ¿Y cómo

hacemos para medir en el computador?

Profesora: O sea que nos haría falta

algo en el computador para medir; ¿es

lo que me están diciendo?.

12 08:00

Estudiante 1: (Traza una línea recta

que pasa por los tres puntos que marcó

en el tablero).

13 08:21

Estudiante 1: (Manipula la recta en el

software para que coincida con la que

trazó en el tablero) No salió

[refiriéndose al letrero “Muy Bien”]

119

14 08:43

Profesora: Mientras que pasa

Estudiante 4. Sí, existe en el programa

un botoncito para medir distancias.

Entonces tendríamos que volver a salir

del programa. Por favor sal del

programa. Entra otra vez, pero no

entras por herramientas. Entras

directamente a la actividad tres. Y

vamos a intentarlo. Entramos en

actividad 3, serie 3-2.

Estudiante 4: (cierra el programa y

abre el archivo 3-2. Inicia de nuevo).

15 10:00

Profesora: Bien. Ahora observen que

entre los botoncitos hay una letra que

es la A, que dice distancia o longitud.

Y ahora. ¿De dónde a dónde

tendríamos que medir?

16 10:17

Estudiantes de fondo: Del punto rojo

al otro punto.

Estudiante 4: (selecciona la

herramienta distancia o longitud,

acerca el cursor al triángulo rojo y

aparece el letrero ‘perímetro de este

triángulo’, hace clic y aparece 9,02

centímetros). [Al parecer la estudiante

intenta medir la distancia entre los

vértices A y A’ pero resulta midiendo

el perímetro del triángulo rojo]

120

17 11:38

Profesora: Esa sería la distancia. ¿Pero

solamente con esa distancia podemos

hacer algo? [la profesora no se dio

cuenta que el número no corresponde a

la distancia entre los puntos]

18 11:40 Estudiantes del fondo: No

19 11:43 Profesora: ¿Entonces qué tendríamos

que hacer? ¿Qué necesitaríamos?

20 11:52

Estudiante 4: Medir de la punta de

abajo del triángulo verde a la punta de

arriba del triángulo rojo.

21 12:00

Profesora: ¿Qué más podríamos

hacer? Porque me dicen, no es

suficiente con tener la distancia. ¿Tú

qué hiciste con esa distancia estudiante

1?

22 12:16

Estudiante 1: También medí la

distancia de aquí a aquí y la distancia

de aquí a aquí. (Señalando las parejas

restantes de vértices correspondientes

B-B’ y C-C’)

121

Estudiante 1: Y después le puse rayita

aquí, aquí y aquí. [señalando con el

dedo aproximadamente la mitad de las

distancias entre los vértices A-A’, B-B’

y C-C’]

Profesora: Y esa rayita ahí, ¿qué

significaba?

24 12:27

Estudiante 1: Las rayitas que estaban

en la mitad significaba por donde tenía

que pasar la línea

25 12:31

Profesora: Bueno, por donde tenía que

pasar la línea. Pero, ¿ese puntito?

(refiriéndose a las rayitas que marcaban

la mitad de las distancias)

26 12:36

Estudiante 1: Era la mitad entre los

dos [vértices A y A’]

27 12:46

Profesora: Entonces miremos a ver si

dentro del programa también hay algo

que se llama punto medio. ¿Cierto?.

Porque eso es lo que ustedes me

estaban diciendo. Entonces busquemos

donde dice punto medio. Ahora nos

dirigimos otra vez a los puntos. ¿Ahí,

qué dice el programa?

122

28 13:41

Estudiante 2: (Cierra el archivo y lo

vuelve a abrir. Ubica el cursor sobre el

vértice A del triángulo rojo y se lee un

mensaje) punto medio de este punto

(hace clic sobre el vértice A)

123

29 16:25

Profesora: Hacen clic en punto medio

desde este punto y este punto.

Estudiante 2: (acerca el cursor al

vértice A’. aparece un letrero). Punto

medio a este punto. (hace clic sobre el

vértice A‘. Aparece un punto en la

pantalla y el letrero ‘punto medio de

este punto’).

Profesora: Ahora van a tomar de

nuevo la herramienta distancia o

longitud y van a tomar la distancia

entre los vértices.

Estudiante 2: (utiliza la herramienta

distancia y halla la distancia entre los

vértices A y A’) 2.5 cm

Profesora: ¿para qué colocamos ese

puntito de la mitad?

Estudiante 2: para tomar la medida

desde un punto hasta el punto medio.

Profesora: ahora nos toca tomar la

distancia desde un vértice hasta al

punto medio y desde el punto medio

hasta el otro vértice.

Estudiante 2: (halla los puntos medios

entre los pares de vértices B-B’ y C-C’)

124

30 00:52

Estudiante 1: [después de hallar los

puntos medios] ¿y ahora paso la línea?

31 00:55

Profesora: Si tienes la idea hazlo.

Estudiante 1:(toma la línea en el

software y la hace pasar por los puntos

medios hallados. El software presenta

la frase “Muy bien”.)

32 01:15

Profesora: ¿ya lo pudieron hacer

todos? Bien.

(Solamente hay 18 minutos de video

para una puesta en común)

Video 3 (26 de marzo del 2014)

En este punto se marca el inicio de otra sesión de clase. En esta ocasión los estudiantes se

dedican a solucionar el archivo 3-1 ya con el conocimiento de la utilización de la

herramienta punto medio. Los estudiantes son quienes manipulan el software y la profesora

responde preguntas de los estudiantes.

Primera tarea: (En las seis primeras figuras) mover el segmento hasta que represente el

espejo entre el triángulo rojo y el verde.

Serie 3-1

1 00:00

Profesora: ¿Dónde ubicarías punto medio?

Estudiante 2: Aquí. (Coloca el cursor en el

medio de los vértices A y A’)

125

2 03:20

Estudiante 2: (traza un segmento colocando

los extremos cerca a los vértices C y C’ y

traza otro segmento colocando los extremos

cerca a los vértices A y A’. Utiliza la

herramienta punto medio y marca los puntos

medios de los segmentos que acaba de

trazar.)

3 04:43

Estudiante 2: (cierra y vuelve a abrir el

archivo serie 3-1. Traza un segmento

colocando los extremos cerca a los vértices

C y C’. Luego traza otro segmento

colocando los extremos cerca a los vértices

A y A’. Halla los puntos medios de los

segmentos que acaba de trazar. Luego

mueve el segmento que inicialmente aparece

al abrir el archivo de manera que pase por

encima de esos dos puntos medios. El

software muestra el aviso ¡Muy bien!) [En

este caso aunque el software muestra el

letrero ¡Muy bien! El procedimiento fue

inadecuado. El estudiante no utilizó el punto

medio entre los vértices, sino que utilizó el

punto medio de un segmento cuyos extremos

estaban cerca a los vértices con una longitud

similar como se puede ver en la imagen.

Ésta similitud fue la que ocasionó que el

segmento que se quería obtener y el que se

obtuvo pasarán muy cerca y en la misma

dirección, tanto así que el software

reconoció como correcto el resultado]

126

4 06:12

Profesora: Bien chicos. Acabamos de

trabajar punto medio ¿cierto? Vamos a

trabajar entre los puntos y vamos a encontrar

el punto medio. Ya saben trabajar con el

botón punto medio. La idea es que trabajen

punto medio en la actividad 3-7.

Serie 3-7

Segunda tarea (En la séptima figura) construir un segmento de modo que represente el

espejo que refleja el triángulo rojo en el triángulo verde

1 06:16

Estudiante 2: (abre el archivo 3-7.

Traza un segmento entre los dos

triángulos) [aproximadamente

representa el espejo]

2 07:24

Profesora: Listo. Ustedes ubicaron un

segmento. ¿No me has entendido para

qué lo del punto medio cierto?

3 07:34 Estudiante 2: Pues para saber que hay

un reflejo totalmente igual

4 07:40

Profesora: Bueno que tal si nos vamos

para el 3-1 a ver si de pronto lo

comprenden por ese lado

127

5 07:46

Estudiante 1: (abre el archivo 3-1)

pero ya lo hicimos. Colocamos el

segmento de acá a acá (señalando los

vértices C y C’) y de acá a acá

(señalando los vértices A y A’)

hallamos los puntos medios de esos

segmentos y por ahí pasamos el

segmento.

6 08:00

Profesora: Esa experiencia que

tuvieron al realizar la tarea 3-1 ¿cómo

la pueden trabajar en la construcción

del 3-7?

7 08:20

Estudiante 1: (abre el archivo 3-7 une

los vértices correspondientes A-A’, B-

B’ y C-C’ con segmentos.

[Nuevamente comete el error de no

marcar los vértices de la pareja A-A’

exactamente sino puntos cerca a los

vértices]

128

8 09:00

Estudiante 1: (marca los puntos

medios de cada segmento utilizando la

herramienta punto medio. Mueve el

punto en el círculo y la figura se

desplaza, es ahí donde se da cuenta que

le quedó mal hecha la construcción.)

[No consideró la precisión necesaria

para seleccionar cada componente de la

construcción. Quería establecer

segmentos entre cada pareja de vértices

correspondientes, luego hallar el punto

medio de cada segmento]

9 10:20

Estudiante 1: (Cierra el archivo. Abre

otra vez el archivo 3-7 e inician el

proceso de nuevo. Unen con un

segmento los vértices A y A’, y los

vértices C y C’. Hallan los puntos

medios de esos segmentos).

129

10 11:26

Estudiante 2: y ahora punto medio de

esos dos Estudiante 1: (une los dos

puntos medios con un segmento, pero

al momento de seleccionar el segundo

punto selecciona un punto en el plano

de manera que el segmento pase por

encima del punto requerido) [este

último procedimiento es erróneo y se

debe a que el estudiante todavía no

tiene claridad sobre la necesidad de

seleccionar un elemento para que éste

quede ligado al otro elemento.

Simplemente hace pasar un segmento

por encima de un punto y piensa que

pasa por el punto.]

Estudiante1: ya, ¿y ahora?

11 11:35

Estudiante 1: (coloca el cursor sobre

el punto en la circunferencia y el

triángulo verde gira y se desplaza

permitiendo a los estudiantes verificar

que la construcción les quedó mal)

Estudiante 1: Noooo ¿y ahora qué nos

quedó mal?

12 12:15

Estudiante 1: (cierra y vuelve a abrir

el archivo y esta vez coloca un

segmento entre los triángulos)

[estimando su posición para que

represente el espejo entre los dos

triángulos].

130

13 12:30

Estudiante 1: (Selecciona la

herramienta simetría axial y dibuja la

imagen del triángulo rojo reflejada en

el segmento. Comienza a mover los

componentes de la construcción para

hacer que coincidan las dos sombras.)

14 14:14

Estudiante 2: Ese rojo tiene que

quedar encima del verde.

Estudiante 1: ¿Y uno cómo lo hace?

¿Depende del segmento?

Estudiante 2: No, del triangulito.

Profesora: Recuerden que eso deben ir

escribiéndolo en su cuaderno (dice esto

para toda la clase)

15 15:35

Profesora: ¿Que están haciendo? ¿Qué

van a hacer? (pegunta a estudiante 1 y

2)

16 15:41 Estudiante 2: Hacer que el reflejo del

triángulo rojo quede sobre el verde.

17 16:00

Profesora: Ubica el cursor y dale

vueltas. Eso debe representar el espejo.

(Señalando el segmento de recta). ¿Lo

está representando?

18 16:18 Estudiante 1: Sí

131

19 16:19

Profesora: Apliquen lo que hicieron en

la actividad 3-1. Coloquen un

segmento y apliquen lo mismo que

habían trabajado. ¿De acuerdo?.

Hacían los segmentos ¿y luego

encontraban qué?

20 17:02 Estudiante 1: Los puntos medios

21 17:05 Profesora: ¿pero solamente de un par

de vértices?

22 17:08 Estudiante 1: No, de todos

23 00:00 Profesora: ¿y entonces ahora qué

tendrán que hacer?

132

24 00:09

Estudiante 2: (Cierra el archivo. Abre

el archivo 3-7. Traza un segmento entre

los dos triángulos) [aproximadamente

representa el espejo]. Utiliza la

herramienta simetría axial y hace que

la imagen del triángulo con respecto al

segmento aparezca [este nuevo

triángulo rojo tendrá vértices A’’, B’’ y

C’’]. Cuadra el segmento para que la

imagen del triángulo rojo coincida y se

superponga con el triángulo verde.

Coloca el cursor sobre el punto de la

circunferencia y el triángulo verde se

desplaza. Traza segmentos entre los

tres pares de vértices correspondientes

A-A’’, B-B’’ y C-C’’. Halla el punto

medio de los segmentos que acaba de

construir y esos puntos quedan

exactamente en la intersección de los

segmentos con la recta inicial.) [realizó

una construcción sin relación con el

triángulo verde]

25 01:00

Estudiante 2: (Mueve el punto en la

circunferencia, el triángulo rojo A’’,

B’’, C’’ no superpone al verde A’, B’,

C’ en todo momento)

133

Anexo C

Transcripción literal de la actividad 4

En estos cuadros se presenta la transcripción literal de lo ocurrido en clase. Se describe

detalladamente lo que ocurrió al implementar la actividad 4, para esto se utilizan tres

convenciones.

Cuando el texto está entre paréntesis ( ) significa que se está describiendo lo que se

observa en el video sobre lo que el estudiante o la profesora hacen.

Cuando el texto se encuentra entre llaves cuadradas [ ] significa que es una

interpretación de lo que ocurre en el video o a manera de aclaración.

Y cuando el texto no se encuentra entre ninguna de estas dos marcas significa que

es lo que literalmente se menciona dentro del video por parte de los estudiantes o de

la profesora.

Serie 4-1

1 00:10

Estudiante 1: (Abre el archivo 4-1).

Toca hacer que el triángulo verde sea la

imagen del triángulo rojo. [las

herramientas del programa están

visibles]

2 00:45

Estudiante 1: (coloca el cursor sobre el

vértice B y lo gira en sentido anti

horario hasta dejarlo con el lado AB

paralelo a la recta)

134

3 00:53

Estudiante 1: (coloca el cursor sobre el

vértice A y lo arrastra acercándolo a la

recta)

Estudiante 2: El verde, córralo más

para arriba.

4 02:38

Estudiante 1: (gira el triángulo verde

en sentido anti horario de manera que

los lados cortos de los triángulos

quedan aproximadamente paralelos y

aproximadamente equidistantes del eje

de simetría)

5 02:43

Estudiante 1: (utiliza sus dedos para

comparar la distancia que existe entre

los dos triángulos y la recta que

representa el espejo) Uyyy no me quedó

en la parte que es.

Estudiante 2: mándelo más para abajo.

135

6 04:10

Estudiante 1: (selecciona la

herramienta ‘distancia o longitud’ hace

clic en el vértice A y en el vértice A’,

aparece el número 5,85 cm. Hace clic

en el vértice B y en el vértice B’,

aparece el número 5,87 cm)

7 04:30

Estudiante 1: arrastra el vértice B y

gira en sentido horario el triángulo

verde hasta que los números en la

pantalla sean iguales)

8 04:58

Estudiante 1: (selecciona la

herramienta distancia o longitud y hace

clic sobre la recta y luego el vértice A’,

aparece el número 3,11 cm. Hace clic

sobre la recta y luego sobre el vértice

A, aparece el número 2,79 cm)

9

Estudiante 1: (mueve el vértice A

hacia arriba hasta que las dos distancias

que aparecen en la pantalla son iguales.

El software le dice al estudiante que el

vértice A y el vértice A’ se encuentran a

la misma distancia del eje de simetría.)

136

10 06:12

Estudiante 2: Ahí ya quedó bien

[refiriéndose a las distancias]

Estudiante 1: Y eso que está todo

igual, vea

Estudiante 1: pero no queda. Se

supone que debería salir el “Muy Bien”

Estudiante 2: ¿Y si no aparece el

“Muy Bien”? ¿En este ejercicio tiene

que aparecer el muy bien?

Estudiante 1: Es que ahí está

perfectamente bien ubicado

Estudiante 1: Pero a ellos si les

aparece el “Muy Bien”. El “Muy Bien”

sí aparece.

11 10:55

Estudiante 1: (mueve el vértice A

hacia la izquierda y aparece el muy bien

en la pantalla) [a pesar de que las

distancias entre los vértices y el eje de

simetría ahora son ligeramente

diferentes] ¿Pero por qué?, si quedan

desiguales.

Video 6 (3 de abril del 2014)

12 00:00

Estudiante 2: (Abre el archivo 4-1)

(mueve el vértice B del triángulo verde

y lo gira en sentido anti horario). [Lo

gira de manera que uno de los lados

quede paralelo al eje de simetría].

137

13 00:48

Estudiante 2: (arrastra el vértice A

hasta superponerlo con el vértice A´)

[posiblemente superpone el lado AB

con el lado A´B´ para verificar la

posición del verde]

14 01:00

Estudiante 2: (traslada el triángulo

verde y lo coloca de manera que queden

aproximadamente paralelos dos lados

de los triángulos y equidistantes)

15 01:07

Estudiante 2: (selecciona la

herramienta distancia y coloca el

puntero sobre los vértices A-A’ y en la

pantalla aparece el número 4,63. De la

misma forma coloca el puntero sobre

los vértices B-B’ y en la pantalla

aparece el número 4,65) [indicando que

no existe la misma distancia entre

vértices correspondientes]

138

16 01:35

Estudiante 2: (desplaza y gira el

triángulo verde hasta que el vértice A y

el vértice B queda sobre el eje de

simetría y luego gira un poco el

triángulo de manera que uno de sus

lados queda sobre la línea. En la

pantalla los números que determinan las

distancias se igualan)

17 03:52

Estudiante 2: (Desplaza el triángulo

verde por la pantalla aleatoriamente y

el software da la respuesta “Muy Bien”,

pero desaparece rápidamente. Vuelve y

pasa el triángulo verde por el mismo

punto en el que el software dio

respuesta afirmativa y con lentitud

vuelve y lo mueve aleatoriamente hasta

que vuelve y sale la respuesta

afirmativa)

18 03:53

Estudiante 1: Pues ya conseguimos el

Muy Bien“. Logramos tener el efecto

espejo entre estos triángulos

19 04:10

Estudiante 2: (el puntero se desplaza al

menú archivo, se despliega la lista abrir

y selecciona el archivo 4-2 y abre el

archivo)

139

Serie 4-2

20 04:15

Estudiante 2: (abre el archivo 4-2)

Estudiante 1: En esta ocasión la línea

está diagonal hacia la derecha y

tenemos que hacer el efecto espejo

entre los triángulos.

21 04:38

Estudiante 2: (gira el triángulo verde

de manera que los lados cortos de los

triángulos queden aproximadamente

paralelos)

22 04:47

Estudiante 2: (arrastra el triángulo

verde de manera que coincidan los

lados cortos de los triángulos.)

[supongo que verificando la relación de

paralelismo entre los lados]

23 05:01

Estudiante 2: (aleja el triángulo y lo

deja en la posición que se ve en la

imagen. Selecciona la herramienta

distancia y halla la distancia entre los

vértices correspondientes A-A’ y B-B’

5,56cm.)

140

24 06:03

Estudiante 2: (arrastra e triángulo

verde de manera que los vértices

correspondientes quedan verticalmente

alineados y los lados AB y A’B’

quedan paralelos) [intenta colocarlos

verticalmente alineados]

25 12:20

Estudiante 2: (desplaza el triángulo

verde por la pantalla hasta que los lados

de los triángulos se sobreponen como

en la figura.) [intenta comparar los

lados del triángulo para comprobar

relaciones espaciales]

26 14:20

Estudiante 2: (utiliza la herramienta

“distancia” y halla la distancia entre el

vértice A y el eje de simetría. Y halla la

distancia entre el vértice A’ y el eje de

simetría. Luego desplaza el triángulo

verde) [intentando que las distancias

halladas coincidan]

Video 7 (3 de abril del 2014)

27 00:20

Estudiante 1: ¿será que ya pasamos a

la otra? (pasan al archivo 4-3 sin

solucionar el 4-2)

141

Serie 4-3

28 00:30

Estudiante 2: (abre el archivo de la

serie 4-3 y se ve la siguiente imagen en

la pantalla)

29 00:32

Estudiante 2: (gira el triángulo verde

en sentido anti horario de manera que

quedan aproximadamente paralelos los

lados cortos de los triángulos)

30 01:13

Estudiante 2: (desplaza el triángulo

verde hasta que los dos lados cortos de

los triángulos se superponen.) [supongo

que verificando la relación de

paralelismo entre los lados]

31 01:16

Estudiante 2: (desplaza el triángulo

verde verticalmente)

142

32 01:36

Estudiante 2: (nuevamente utiliza la

herramienta “distancia” y halla las

distancias entre los vértices A-A’

5.25cm y B-B’. 5.22cm)

33 01:47

Estudiante 2: (gira el triángulo verde

en sentido anti horario y los números en

la pantalla se igualan) [iguala las

distancias]

34 01:56

Estudiante 2: (desplaza el triángulo

verde hacia la derecha de manera que

quedan aproximadamente colineales los

lados medianos de los triángulos.)

[intenta dejar los triángulos frente a

frente con respecto al lado corto de los

triángulos]

35 02:10

Estudiante 2: (pasa el cursor por

encima de los iconos del software)

[intenta explorar las diferentes

herramientas del programa para ver

cuál le puede servir en esta situación.]

143

36 02:17

Estudiante 2: (le da clic a la

herramienta simetría axial) [e intenta

seleccionar los puntos de los vértices A

y A] (pero en su lugar selecciona el

vértice A y el segemento A’B’

originando un nuevo punto) [al parecer

el estudiante se bloquea y hace uso de

las herramientas que utilizó en

ejercicios anteriores. Intenta descubrir

de qué manera se puede utilizar una

herramienta que ya conoce “simetría

axial”] (luego el punto desaparece)

37 06:09

Estudiante 2: (traslada el triángulo

verde y cambian los números en la

pantalla)

144

38 06:53

Profesora: [dirigiéndose a estos dos

estudiantes] ¿Qué fue lo que hicieron en

la clase anterior?

Estudiante 1: Pues simetría axial

Profesora: ¿Qué otros botoncitos

aplicamos? ¿Qué aprendieron a hacer?

Estudiante 1: Eeee las distancias

Profesora: Las distancias, ¿Qué otra

cosa?

Estudiante 2: Sacar el punto medio

Profesora: Sacar el punto medio, ¿Qué

otra cosa? ¿Qué fue lo primero que

aprendieron a dibujar ahí en el

programa? Segmentos. Hagan un

segmento. Trabajen eso ahí mismo que

lo que van aprendiendo ustedes lo

pueden ir implementado.

39 07:49

Estudiante 2: (utiliza la herramienta

segmento y crea dos segmentos entre

los vértices A-A’ y B-B’. luego utiliza

la herramienta punto medio y marca los

puntos medios de los segmentos)

40 08:40

Estudiante 2: (mueve el triángulo

verde de manera que el punto medio

entre A y A’ coincida con la línea recta

que representa el espejo)

145

41 10:10

Estudiante 2: (desplaza y gira el

triángulo verde de manera que los dos

puntos medios de los puntos medios

coincidan con el eje de simetría como

se muestra en la imagen) [no tiene en

cuenta la perpendicularidad necesaria]

Video 8 (3 de abril del 2014)

42 00:25

Estudiante 1: (gira el triángulo verde

de manera que los lados cortos queden

aproximadamente paralelos y los lados

medianos aproximadamente colineales.

Luego desplaza el triángulo verde hasta

que el punto medio entre B y B’

coincida con el eje de simetría)

43 02:15

Estudiante 1: (abre nuevamente el

archivo 4-3)

146

44 02:50

Estudiante 1: (Desplaza y gira el

triángulo verde y luego traza un par de

segmentos entre los vértices A-A’ y B-

B’. Utiliza la herramienta punto medio

y encuentra el punto medio de los dos

segmentos)

45 03:49

Estudiante 1: (desplaza el triángulo

verde hasta dejar colineales los lados

medianos de los triángulos). [consiguió

colocar los segmentos verticales sin que

el punto medio del segmento AA’

dejara de pasar por encima del eje de

simetría]

46 05:45

Profesora: por favor cierran todo,

apagan todo, despacito porque me están

dejando prendidos los computadores.

Estudiante 1: apaga el computador

Video 9 (24 de abril del 2014)

En este punto se marca el inicio de otra sesión de clase. Los estudiantes retoman la

actividad 4 desde el comienzo en lo que denominamos segunda ronda. Al igual que en la

primera ronda, los estudiantes se enfrentan solos al software. La nomenclatura es la misma.

Serie 4-1 (2)

1 00:00

Profesora: Listo. Ya pueden empezar a

trabajar chivos (se abre el archivo 4-1)

Mientras tanto tú vas revisando, vas

observando, vas sacando algunas

conclusiones en tu cuaderno. ¿Listo?

Estudiante 1: hay que mover el verde

Estudiante 2: Usted abre y escribe lo

que yo hago. ¿Sí?

147

2 0:14

Estudiante 2: (Gira y desplaza el

triángulo verde hasta quedar

aproximadamente a la misma distancia

del eje de simetría y los lados cortos

paralelos) [el triángulo verde queda

muy próximo a la ubicación que debería

tener]

Estudiante 1: ¿Tiene que aparecer el

muy bien?

3 02:00

Estudiante 2: (durante unos segundos

desplaza y gira levemente el triángulo

verde buscando la aprobación del

software) [ubica perceptivamente el

triángulo verde y luego realiza

movimientos lentos]

4 03:00

Estudiante 1: yo creo que toca tomar

las medidas. ¿Cómo era?

Estudiante 2: (selecciona la

herramienta distancia y mide la

distancia entre los vértices A y A’

4,69cm y entre los vértices B y B’

4,75cm)

148

5 03:15

Estudiante 2: Claro vea (gira el

triángulo verde en sentido horario y los

números en la pantalla se igualan)

[consiguió dejar la misma distancia

entre los vértices opuestos de los

triángulos 4,69cm]

Estudiante 1: Eso no aparece

[refiriéndose al “Muy Bien”] ¡Eso está

más torcido!

6 07:25

Estudiante 1: Es punto medio

Estudiante 2: (utiliza la herramienta

punto medio y halla los puntos medios

entre los vértices A-A’ y B-B’)

7 08:00

Estudiante 2: (desplaza el triángulo

verde hasta que los dos puntos medios

pasan por encima del eje de simetría.

Cambian los números en la pantalla

5,11cm. También fue necesario un leve

desplazamiento hacia los lados para

obtener el “Muy Bien”)

Ya. Pero ya tenemos todo eso entonces

¿para qué lo volvemos a copiar?

Serie 4-2 (2)

149

8 08:25

Estudiante 2: (abre el archivo 4-2)

9 09:30

Estudiante 2: (toma el triángulo verde ,

lo desplaza y lo gira en sentido anti

horario hasta dejarlo en la posición que

se muestra en la imagen)

10 09:48

Estudiante 2: (utiliza la herramienta

distancia y halla la distancia entre los

vértices A-A’ 4,62cm y B-B’ 5,54cm)

11 10:15

Estudiante 2: (gira y desplaza el

triángulo verde de manera que las

distancias entre los vértices A-A’ y B-

B’ sea la misma) [de manera que los

lados medianos de los triángulos

queden alineados]

150

12 10:40

Estudiante 2: (utiliza la herramienta

punto medio y halla los puntos medios

entre los vértices A-A’ y B-B’)

No salió el “Muy bien”

13 12:30

Estudiante 2: (gira el triángulo verde

de manera que los puntos medios pasen

por el eje de simetría)

14 12:50

Estudiante 2: (gira nuevamente el

triángulo verde dejando los vértices B-

B’ a la misma distancia que los vértices

A-A’ y utiliza la herramienta segmento

y traza segmentos entre los vértices

correspondientes)

15 13:10

Estudiante 1: Ay ya sé. (coloca el

cursor sobre el vértice A del triángulo

verde y este se desplaza hasta la

posición que se muestra en la imagen)

[alinea los lados medianos de los dos

triángulos]

151

16 14:24

Profesora: tienen que tener las mismas

distancias. [refiriéndose a las distancias

entre cada vértice con el eje de simetría

y su correspondiente vértice. Esta

aclaración es ambigua puesto que no

especifica los elementos relacionados]

¿Qué concepto trabajamos con respecto

a eso de las mismas distancias? En los

cuadernos deben de haber copiado. A

ver, ¿qué aprendieron la clase pasada?

Video 10 (24 de abril del 2014)

17 00:00

Estudiante 1: ¿Cómo son los otros

dos?

Estudiante 2: No me acuerdo

18 00:12

Profesora: ¿Cómo van?

Estudiante 2: pues más o menos

Profesora: ¿No se acuerdan? Bien,

ahorita seguimos trabajando.

Video 11 (24 de abril del 2014)

Serie 4-3 (2)

19 00:00

Profesora: ¿éste es el 4-2 o 4-3?

Estudiante 1: 4-3

Profesora: Listo. Recuerden, éste es el

espejo y debemos lograr que el verde

sea la imagen del rojo. No pueden

mover el triángulo rojo. Utilicen lo que

ya habían trabajado. Muevan el

triángulo verde sin mover el triángulo

rojo y utilicen lo que habían trabajado

antes.

152

20 00:26

Estudiante 1: (utiliza la herramienta

punto medio y halla el punto medio

entre los vértices A-A’ y B-B’)

21 01:00

Estudiante 1: (utiliza la herramienta

distancia para medir las distancias entre

los vértices A-A’ y B-B’ como se

muestra en la imagen)

22 01:50

Estudiante 2: (traza un par de

segmentos entre los vértices

correspondientes A-A’ y B-B’ de los

triángulos)

23 02:15

Estudiante 2: (coloca el cursor sobre el

vértice A del triángulo verde y éste se

desplaza hacia arriba y luego hacia

debajo de manera que por turnos los

puntos medios queden sobre el eje de

simetría como se muestra en la imagen)

24 02:25

Estudiante 2: (desplaza el triángulo

verde y hace que el eje pase por el

medio de los puntos medios

anteriormente hallados como se muestra

en la imagen) [buscando la aprobación

de software]

153

25 05:50

Estudiante 1: (nuevamente abre el

archivo 4-3)

26 06:24

Estudiante 1: (repite los pasos

realizados anteriormente; Gira el

triángulo verde y lo deja paralelos los

lados cortos, halla los puntos medios

entre los vértices correspondientes A-

A’ y B-B’, halla las distancias entre los

vértices correspondientes A-A’ y B-B’

y coloca los segmentos entre los

vértices correspondientes A-A’ y B-B’

como se ve en la imagen)

27 08:00

Estudiante 1: (coloca el cursor sobre el

vértice A del triángulo verde y lo

desplaza de manera que el triángulo

verde quede arriba del triángulo rojo

como se ve en la imagen) [al parecer los

estudiantes se mantienen con las

mismas ideas]

154

28 15:55

Estudiante 2: ¿Ahí vamos bien o

vamos mal profe?

Profesora: ¿para qué sirven esos

puntos medios? ¿Dónde deberían estar

ubicados esos puntos medios?

Estudiante 1: ¿en la mitad de los dos

triángulos?

Profesora: pues están en la mitad de

los dos triángulos pero, ¿esa es la

imagen del rojo?

Estudiante 2: No

Profesora: ¿Dónde deberían estar

ubicados esos puntos medios?. Cuando

ustedes trabajaron segmento, punto

medio, ¿qué colocaban en los puntos

medios?. ¿Se acuerdan de la actividad

3?, que ustedes tenían que elaborar el

segmento de tal manera que fuera el

espejo. ¿Para qué son los puntos

medios?, ¿Dónde deberían estar

ubicados esos puntos medios?. Bueno,

te voy a hacer la siguiente pregunta.

Este es el espejo ¿cierto?, este es el

triángulo rojo.

Video 12 (24 de abril del 2014)

155

29 00:00

Profesora: vamos a imaginar que tú

eres el triángulo rojo. Esta es la imagen,

el verde, ¿cierto?. Cuando tú te

observas en el espejo, ¿tu imagen se ve

cerquita del espejo?, ¿si me entiendes?,

si yo estoy por ejemplo a 4 metros del

espejo, ¿mi imagen se ve a un metro?,

¿entonces será que estará bien así?

Estudiante 2: No.

Profesora: trata de moverlo. Inténtalo.

¿Esos puntos medios para qué serán?

30 01:17

Estudiante 2: si usted se mira al

espejo, el espejo está así. (haciendo un

gesto con la mano inclinada imitando la

pendiente del eje de simetría) [que

sugiere que el espejo se encuentra

inclinado]

31 02:15

Estudiante 1: (con la herramienta

distancia o longitud mide la distancia

desde el vértice A hasta la intersección

entre el eje de simetría y el segmento

AA’, 2,03cm. Luego mide la distancia

desde el vértice B hasta la intersección

entre eje de simetría con el segmento

BB’, 3,47cm)

156

32 03:00

Estudiante 1: (con la herramienta

distancia o longitud mide la distancia

desde el vértice A’ hasta la intersección

entre el eje de simetría y el segmento

AA’, 2,94cm. Luego mide la distancia

desde el vértice B’ hasta la intersección

entre eje de simetría con el segmento

BB’, 1,50cm)

33 04:05

Estudiante 1: (coloca el cursor sobre el

vértice A del ángulo verde)

Profesora: ya, ahora muévelo.

34 04:18

Profesora: muévelo sin miedo, sin

miedo. Ahora. (desplaza el triángulo

paralelo al eje de simetría) [cuando la

profesora dice la palabra “ahora” la

estudiante se detiene y la figura queda

como se muestra en la imagen]

35 04:22

Profesora: ¿Dónde creen que deberían

estar esos puntos medios?

Estudiante 2: ¿sobre la línea?

Profesora: Sobre la línea. Busquen que

siempre queden sobre la línea a ver qué

pasa.

Estudiante 1: ¿los dos?

Profesora: Sí, los dos

157

36 04:44

Profesora: muévelo sin miedo, eso no

pasa nada si lo mueves

Estudiante 1: (mueve el triángulo y lo

gira para que los dos puntos medios

estén por encima del eje de simetría)

37 04:55

Profesora: Bueno. Ahora. ¿Qué paso?

Ya tienen los puntos medios ahí. Ahora,

sigue moviendo el triángulo verde hasta

que encuentres el punto “Muy Bien”.

38 05:30

Estudiante 1: (mueve el triángulo por

la pantalla de manera que los dos

puntos medios queden sobre el eje)

Profesora: si te desesperas pues trata

de que tu compañero te colabore. Y si

no te queda bien vuelves y lo intentas.

39 05:50

Estudiante 2: listo profe. (continua

moviendo el triángulo verde por la

pantalla hasta que sale el muy bien)

Estudiante 2: ¿sí ve? Yo sabía que

debían ir los dos puntos sobre la línea.

158

Serie 4-4

40 07:00

Estudiante 1: (abre el archivo 4-4)

41 07:23

Estudiante 2: (gira y desplaza el

triángulo verde perceptivamente) [por

medio de la percepción deja ubicado el

triángulo verde de manera muy

aproximada a lo que pide el ejercicio]

42 07:30

Estudiante 1: (utiliza la herramienta

punto medio y halla los puntos medios

entre los vértices correspondientes B-B’

y C-C’)

159

43 08:25

Estudiante 3: estudiante 2 eso no sirve

para nada.

Estudiante 1: eso es que usted no lo

sabe utilizar entonces, toca es saber

cómo.

Estudiante 2: (toma el control del

mouse, abre nuevamente el archivo 4-4,

de manera perceptiva gira y traslada el

triángulo verde hasta la posición que se

ve en la pantalla y el software da una

respuesta afirmativa) [no utilizó

ninguna de las herramientas

disponibles]

Serie 4-5

44 08:40

Estudiante 2: jajajaja no utilicé nada.

(abre el archivo 4-5)

45 09:02

Estudiante 2: (Gira el triángulo verde

dejando paralelos aproximadamente los

lados cortos de los dos triángulos)

160

46 09:06

Estudiante 2: (desplaza el triángulo

verde hasta dejar alineados

perceptivamente los lados medianos de

los dos triángulos]

47 09:27

Estudiante 2: (utiliza la herramienta

punto medio y halla los puntos medios

entre los vértices correspondientes)

48 09:42

Estudiante 2: (desplaza y gira el

triángulo verde de manera que los

puntos medios pasan por el eje de

simetría)

49 10:28

Estudiante 2: (desplaza el triángulo

verde de forma paralela al eje de

simetría. Los puntos medios se mueven

sobre el eje de simetría hasta que sale el

“Muy Bien”)

Serie 4-6

50 11:46

Estudiante 1: (abre el archivo 4-6)

161

51 12:46

Estudiante 2: (desplaza y gira el

triángulo verde de forma que los lados

medianos de los triángulos quedan

aproximadamente paralelos) [los

triángulos quedan frente a frente como

si el espejo fuera totalmente vertical]

52 13:36

Estudiante 2: (utiliza la herramienta

punto medio y la utiliza para marcar los

puntos medios entre los vértices

correspondientes B-B’ y C-C’)

53 14:02

Estudiante 2: (desplaza y gira el

triángulo verde de manera que los dos

puntos medios hallados anteriormente

pasan por el eje de simetría)

54 14:50

Estudiante 2: (desplaza el triángulo

verde paralelo al eje de simetría de

manera que los puntos medios se

mueven sobre el eje. Sale la palabra

muy bien) ¡¡Ahhh!! (exclaman) [en

señal de sorpresa]

Segunda tarea: (En la séptima figura) Construir un triángulo que sea el reflejo del

triángulo dado con respecto a la recta

162

Serie 4-7

55 15:16

Estudiante 2: (Abre el archivo 4-7) ¿y

aquí qué toca hacer?

Estudiante 1: ¿Esto cómo es que es?

Video 13 (24 de abril del 2014)

56 00:30

Estudiante 2: ya vamos en el 4-7 profe

Profesora: ¿ya van en el 4-7? Tienen

que construir un triángulo de tal manera

que sea siempre la imagen del triángulo

rojo. Siempre, a pesar de que se mueva

el espejo. Entonces esa es la idea. [las

instrucciones no fueron suficientemente

claras]

Estudiante 2: Utiliza la herramienta

simetría axial y halla el reflejo de uno

de los vértices con respecto al eje de

simetría. [explorando el archivo]

Video 14 (24 de abril del 2014)

En este punto la profesora realiza una puesta en común de los procedimientos y conceptos

trabajados a lo largo de la actividad 4. Con un proyector los estudiantes manipulan el

software y reproducen lo que hicieron en sus computadores en las series 4-1 a 4-6. La

profesora guía la situación.

Puesta en común: la profesora intenta generalizar lo realizado para poder lograr lo que

se quería en la actividad

163

57 00:00

(en el tablero se proyecta el archivo 4-1)

Profesora: pasa al tablero estudiante 4.

Cuéntanos ¿qué hiciste para poder resolver

eso?

Estudiante 4: mover el triángulo

Profesora: Muéstranos cómo moviste el

triángulo. Mueve el triángulo verde y todos

vamos a observar.

58 00:41

Estudiante 4: (gira y desplaza el triángulo

verde de manera que perceptivamente los

lados cortos de los triángulos quedan

paralelos y a la misma distancia del eje de

simetría]

59 00:56

Profesora: utilicemos la metodología que

trabajamos.

Estudiante 4: ¿Segmento?

Profesora: trabaja el segmento. A ver. ¿de

dónde a dónde?

Estudiante 4: (utiliza la herramienta

segmento y traza un segmento entre los

vértices correspondientes A-A’ y entre los

vértices correspondientes B-B’)

164

60 01:19

Profesora: ¿Y luego?

Estudiante 4: (Utiliza la herramienta

punto medio y halla el punto medio de los

segmentos anteriores)

Profesora: ¿Todos entienden hasta ahí qué

se hizo?

Estudiantes: Sí

61 01:56

Estudiante 4: (desplaza el triángulo verde

hasta la posición que se muestra en la

imagen) [de manera que los puntos medios

pasen por el eje de simetría]

Profesora: Ahora ¿qué estás haciendo?

Estudiante 2: poner los puntos medios en

la línea recta.

Profesora: hasta ahí ¿todos lo

entendieron?

Estudiantes: Sí

165

62 02:30

Profesora: Ahora. ¿Qué necesitaríamos

encontrar?

Estudiantes: La medida

Profesora: ¿Será que necesitamos

encontrar la medida para que nos salga el

muy bien?

Estudiantes: No

Estudiante 4: ¿Entonces?

Estudiante 4: (Mueve el triángulo verde

hacia los lados dejando los puntos medios

sobre el eje de simetría) [de manera que se

conserve la distancia buscando el muy

bien]

Profesora: Pero no sale el muy bien. ¿Por

qué será? ¿Qué se necesitará para que salga

el muy bien?

63 02:47

Estudiante 4: (se hace al frente de la

pantalla proyectada) [para verificar las

relaciones espaciales de manera visual y

frontalmente]

(mueve el triángulo verde hacia la derecha

dejando los puntos medios sobre el eje de

simetría y sale el muy bien)

Profesora: ¡Ah bueno! Un poquito más

para la derecha.

166

64 02:56

Profesora: ¡Ahora bien! ¿Por qué creen

que solamente ahí en esa ubicación sale el

muy bien?

Estudiante 5: Porque están a la misma

distancia

Profesora: pero miren que antes también

estaba a la misma distancia.

Estudiante 6: Porque ahí está el efecto

espejo.

Profesora: ¿El efecto espejo? ¿Quién más

me puede decir?

167

65 03:40

Estudiante 5: Que el triángulo verde es

exactamente el reflejo del triángulo rojo.

Profesora: Bueno, además de eso ¿del

triángulo rojo qué más podemos decir?

Estudiante 6: Que la recta es el espejo.

Profesora: ¿qué más podemos decir?

Estudiante 7: Que los dos tienen la misma

distancia del espejo al triángulo

Profesora: Bueno, cuando nosotros

trabajamos punto medio, ¿eso tiene que ver

algo con lo de iguales distancias?

Estudiantes: Síííí…

Profesora: Entonces, en el momento que

trabajamos punto medio efectivamente

estamos hablando de iguales distancias.

¿Qué más?

Recuerden que se podían colocar los

punticos medios pero no siempre salía el

muy bien. ¿por qué? ¿Qué más es

necesario para que nos dé el muy bien?

Estudiante 7: Que el reflejo tiene que estar

frente al triángulo.

Profesora: que el reflejo tiene que estar

frente a la imagen ¿cierto?. Según lo que

ustedes se acuerdan, ¿qué ángulo se forma

entre la línea recta y los segmentos?

Estudiante 4: un ángulo agudo

Profesora: ¿será que sí?

Estudiante 5: No. Ángulo recto.

Profesora: ¿y qué es un ángulo recto?

Estudiantes: Un ángulo de 90 grados.

168

66 05:15

Profesora: Abre el archivo 4-2, es para

recordar un poco porque quiero que

retomen lo que vimos. Observen cómo

podemos aplicar lo que ya habíamos visto.

Estudiante 8: abre el archivo 4-2 (Utiliza

la herramienta segmento y traza los

segmentos entre los tres pares de vértices

correspondientes A-A’ , B-B’ y C-C’ de

los triángulos)

67 06:56

Estudiante 8: (utiliza la herramienta punto

medio para marcar los puntos medios de

cada uno de los segmentos)

68 07:00

Estudiante 8: (gira el triángulo verde de

manera que los puntos medios quedan

cerca del eje de simetría formando una

línea paralela)

169

69 07:17

Estudiante 8: (desplaza el triángulo verde

hasta que los puntos medios de los

segmentos quedaron sobre el eje y sale el

muy bien)

Profesora: ¿ya lo van comprendiendo? A

ver ¿qué fue lo que hizo de primeras?

Estudiantes: los segmentos

Profesora: los segmentos. Listo ¿pero

cómo? No era cualquier punto.

¿Entendieron cómo más o menos se puede

trabajar? ¿Entendieron bien lo que tienen

que trabajar?

Estudiantes: sí

Profesora: ¿les pareció muy difícil?

Estudiantes: No

Profesora: ¿saben hacer los segmentos?

Levante la mano quien no haya entendido

cómo hacer segmentos. Saben hacer punto

medio. Ubicar los segmentos de tal manera

que nos dé un ángulo de 90 grados con

respecto a ¿qué?

Estudiantes: al espejo o a la línea recta

Profesora: un aplauso para el caballero.

En este punto se da por terminada la sesión y también la actividad. No se tienen evidencias

en video de la forma como se trabajó la serie 4-7.