Educacion Basica Secundaria Matematicas

8/10/2019 Educacion Basica Secundaria Matematicas

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PROGRAMASDE ESTUDIO 2011GUÍA PARA EL MAESTRO

Educación BásicaSecundaria

Matemáticas



SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICAAlonso Lujambio Irazábal

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICAJosé Fernando González Sánchez

DIRECCIÓN GENERAL DE DESARROLLO CURRICULARLeopoldo Felipe Rodríguez Gutiérrez

DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN CONTINUA DE MAESTROS EN SERVICIOLeticia Gutiérrez Corona

DIRECCIÓN GENERAL DE MATERIALES EDUCATIVOSMaría Edith Bernáldez Reyes

DIRECCIÓN GENERAL DE DESARROLLO DE LA GESTIÓN E INNOVACIÓN EDUCATIVJuan Martín Martínez Becerra

DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN INDÍGENARosalinda Morales Garza



PROGRAMASDE ESTUDIO 2011GUÍA PARA EL MAESTRO

Educación BásicaSecundaria

Matemáticas



Programas de estudio 2011. Guía para el Maestro. Educación Básica. Secundaria. Matemáticas fue elaborado por personal académico dela Dirección General de Desarrollo Curricular (DGDC) y de la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio (DGFCMS),que pertenecen a la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública.

La Secretaría de Educación Pública agradece la participación, en la elaboración de este documento, de las maestras y los maestrosde educación secundaria, especial e indígena, los directivos, los coordinadores estatales de Asesoría y Seguimiento, los responsables deEducación Especial, los responsables de Educación Indígena, y el personal técnico y de apoyo de las entidades federativas, así como lasaportaciones de académicos y especialistas de instituciones educativas nacionales y de otros países.

COORDINACIÓN EDITORIALGisela L. Galicia

COORDINACIÓN DE DISEÑOMarisol G. Martínez Fernández

CORRECCIÓN DE ESTILOSonia Ramírez Fortiz

DISEÑO DE INTERIORESMarisol G. Martínez Fernández

FORMACIÓNMauro Fco. Hernández Luna

COORDINACIÓN GENERAL DGDCLeopoldo Felipe Rodríguez Gutiérrez

COORDINACIÓN ACADÉMICA Noemí García García

RESPONSABLE DE CONTENIDOSHugo Balbuena Corro

REVISIÓN TÉCNICO-PEDAGÓGICA Enrique Morales Espinosa, Rosa María Nicolás Moray Natividad Rojas Velázquez

PROGRAMAS DE ESTUDIO 2011

COORDINACIÓN DE DISEÑOMario Enrique Valdes Castillo

CORRECCIÓN DE ESTILOMaría del Socorro Martínez Cervantes

DISEÑO DE FORROS E INTERIORESMario Enrique Valdes Castillo

FORMACIÓNEdith Galicia De la Rosa y Abel Martínez Hernández

COORDINACIÓN GENERAL DGFCMSLeticia Gutiérrez Corona

COORDINACIÓN ACADÉMICA Jesús Pólito Olvera y Adriana Goretty López Gamboa

RESPONSABLES DE CONTENIDOSRosa María Farfán Márquez, Gisela Montiel Espinosay Gabriela Buendía Ábalos

COLABORADORESDaniela Reyes Gasperini, Rubén Alejandro Gutiérrez Adrián, Adriana Moreno Valdez, Claudia Yahaira BalamGüemez y Rebeca Flores García

GUÍA PARA EL MAESTRO

PRIMERA EDICIÓN, 2011

D. R. © Secretaría de Educación Pública, 2011, Argentina 28, Centro, C. P. 06020, Cuauhtémoc, México, D. F.

ISBN: en trámite

Impreso en MéxicoMATERIAL GRATUITO/Prohibida su venta



ÍNDICE

Presentación

PROGRAMAS DE ESTUDIO 2011

Introducción

Propósitos

Estándares de Matemáticas

Enfoque didáctico

Organización de los aprendizajesPrimer gradoSegundo gradoTercer grado

GUÍA PARA EL MAESTRO

Introducción

Enfoque del campo de formación

Planificación

Organización de ambientes de aprendizaje

Evaluación

Orientaciones pedagógicas y didácticas. Ejemplos concretos

Bibliografía

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PRESENTACIÓN

La Secretaría de Educación Pública, en el marco de la Reforma Integral de la Edu-cación Básica ( RIEB ), pone en las manos de maestras y maestros los Programas

de estudio 2011. Guía para el Maestro. Educación Básica. Secundaria. Matemáticas .Un pilar de la Articulación de la Educación Básica es laRIEB, que es congruente

con las características, los fines y los propósitos de la educación y del Sistema Educa-tivo Nacional establecidos en los artículos Primero, Segundo y Tercero de la Constitu-ción Política de los Estados Unidos Mexicanos y en la Ley General de Educación. Estose expresa en el Plan de estudios, los programas y las guías para los maestros de losniveles de preescolar, primaria y secundaria.*

La Articulación de la Educación Básica se centra en los procesos de aprendizajede las alumnas y los alumnos, al atender sus necesidades específicas para que mejo-ren las competencias que permitan su desarrollo personal.

Los Programas de estudio 2011 contienen los propósitos, enfoques, Estándares

Curriculares y aprendizajes esperados, manteniendo su pertinencia, gradualidad y cohe-

rencia de sus contenidos, así como el enfoque inclusivo y plural que favorece el conoci-

* En los programas de estudio 2011 y las guías para las educadoras, las maestras y los maestros de edu-cación preescolar, primaria y secundaria, la Secretaría de Educación Pública emplea los términos: niño(s),adolescentes, jóvenes, alumno(s), educadora(s), maestro(s) y docente(s), aludiendo a ambos géneros, conla finalidad de facilitar la lectura. Sin embargo, este criterio editorial no demerita los compromisos que la SEP asume en cada una de las acciones y los planteamientos curriculares encaminados a consolidar la equidadde género.



miento y aprecio de la diversidad cultural y lingüística de México; además, se centran en el

desarrollo de competencias con el fin de que cada estudiante pueda desenvolverse en una

sociedad que le demanda nuevos desempeños para relacionarse en un marco de plurali-

dad y democracia, y en un mundo global e interdependiente.

La Guía para maestras y maestros se constituye como un referente que permiteapoyar su práctica en el aula, que motiva la esencia del ser docente por su creatividady búsqueda de alternativas situadas en el aprendizaje de sus estudiantes.

La SEP tiene la certeza de que los Programas de estudio 2011. Guía para el Maes-

tro. Educación Básica. Secundaria. Matemáticas será de utilidad para orientar el trabajoen el aula de las maestras y los maestros de México, quienes a partir del trabajo cola-borativo, el intercambio de experiencias docentes y el impacto en el logro educativo desus alumnos enriquecerán este documento y permitirá realizar un autodiagnóstico queapoye y promueva las necesidades para la profesionalización docente.

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA



INTRODUCCIÓN

La Reforma Integral de la Educación Básica ( RIEB ) presenta áreas de oportuni-dad que es importante identificar y aprovechar, para dar sentido a los esfuer-

zos acumulados y encauzar positivamente el ánimo de cambio y de mejora continuacon el que convergen en la educación las maestras y los maestros, las madres ylos padres de familia, las y los estudiantes, y una comunidad académica y socialrealmente interesada en la Educación Básica.

Con el propósito de consolidar una ruta propia y pertinente para reformar la Edu-cación Básica de nuestro país, durante la presente administración federal se ha de-sarrollado una política pública orientada a elevar la calidad educativa, que favorece laarticulación en el diseño y desarrollo del currículo para la formación de los alumnos depreescolar, primaria y secundaria; coloca en el centro del acto educativo al alumno, ellogro de los aprendizajes, los Estándares Curriculares establecidos por periodos esco-lares, y favorece el desarrollo de competencias que le permitirán alcanzar el perfil deegreso de la Educación Básica.

La RIEB culmina un ciclo de reformas curriculares en cada uno de los tres nivelesque integran la Educación Básica, que se inició en 2004 con la Reforma de EducaciónPreescolar, continuó en 2006 con la de Educación Secundaria y en 2009 con la deEducación Primaria, y consolida este proceso aportando una propuesta formativa per-tinente, significativa, congruente, orientada al desarrollo de competencias y centradaen el aprendizaje de las y los estudiantes.



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La Reforma de la Educación Secundaria se sustenta en numerosas acciones, en-tre ellas: consultas con diversos actores, publicación de materiales, foros, encuentros,talleres, reuniones nacionales, y seguimiento a las escuelas; se inició en el ciclo escolar2004-2005, con la etapa de prueba en aula en 127 escuelas secundarias, de las cuales se

obtuvieron opiniones y sugerencias que permitieron fortalecer los programas.La consolidación de la Reforma en Educación Secundaria ha planteado grandes

desafíos a los docentes y al personal directivo. El avance en este proceso de cambio–y tomando en cuenta las opiniones y sugerencias del personal docente y directivo, de-rivadas de su experiencia al aplicar los programas de estudio 2006– requirió introducirmodificaciones específicas para contar hoy día con un currículo actualizado, congruente,relevante, pertinente y articulado en relación con los niveles que le anteceden (preescolary primaria), sin alterar sus postulados y características esenciales; en este sentido, alproceso se le da continuidad.

La acción de los docentes es un factor clave, porque son quienes generan ambien-tes propicios para el aprendizaje, plantean situaciones didácticas y buscan motivosdiversos para despertar el interés de los alumnos e involucrarlos en actividades queles permitan avanzar en el desarrollo de sus competencias.

La RIEB reconoce, como punto de partida, una proyección de lo que es el país hacialo que queremos que sea, mediante el esfuerzo educativo, y asume que la EducaciónBásica sienta las bases de lo que los mexicanos buscamos entregar a nuestros hijos: nocualquier México, sino el mejor posible.

La Secretaría de Educación Pública valora la participación de docentes, directivos,asesores técnico-pedagógicos, madres y padres de familia, y toda la sociedad, en eldesarrollo del proceso educativo, por lo que les invita a ponderar y respaldar los apor-tes de los Programas de estudio 2011 de Educación Secundaria en el desarrollo de lasniñas, los niños y los adolescentes de nuestro país.



PROPÓSITOS

Propósitos del estudio de las Matemáticaspara la Educación Básica

Mediante el estudio de las Matemáticas en la Educación Básica se pretende que losniños y adolescentes:

• Desarrollen formas de pensar que les permitan formular conjeturas y procedimien-tos para resolver problemas, y elaborar explicaciones para ciertos hechos numéri-cos o geométricos.

• Utilicen diferentes técnicas o recursos para hacer más eficientes los procedi-mientos de resolución.

• Muestren disposición para el estudio de la matemática y para el trabajo autónomoy colaborativo.



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Propósitos del estudio de las Matemáticaspara la educación secundaria

En esta fase de su educación, como resultado del estudio de las Matemáticas, se es-

pera que los alumnos:

• Utilicen el cálculo mental, la estimación de resultados o las operaciones escritascon números enteros, fraccionarios o decimales, para resolver problemas aditivosy multiplicativos.

• Modelen y resuelvan problemas que impliquen el uso de ecuaciones hasta de segun-do grado, de funciones lineales o de expresiones generales que definen patrones.

• Justifiquen las propiedades de rectas, segmentos, ángulos, triángulos, cuadriláte-ros, polígonos regulares e irregulares, círculo, prismas, pirámides, cono, cilindro yesfera.

• Utilicen el teorema de Pitágoras, los criterios de congruencia y semejanza, las ra-zones trigonométricas y el teorema de Tales, al resolver problemas.

• Justifiquen y usen las fórmulas para calcular perímetros, áreas y volúmenes dediferentes figuras y cuerpos, y expresen e interpreten medidas con distintos tiposde unidad.

• Emprendan procesos de búsqueda, organización, análisis e interpretación de da-tos contenidos en tablas o gráficas de diferentes tipos, para comunicar informaciónque responda a preguntas planteadas por ellos mismos u otros. Elijan la forma deorganización y representación (tabular o gráfica) más adecuada para comunicarinformación matemática.

• Identifiquen conjuntos de cantidades que varían o no proporcionalmente, y calculenvalores faltantes y porcentajes utilizando números naturales y fraccionarios como fac-tores de proporcionalidad.

• Calculen la probabilidad de experimentos aleatorios simples, mutuamente exclu-yentes e independientes.



ESTÁNDARES DE MATEMÁTICAS

Los Estándares Curriculares de Matemáticas presentan la visión de una población quesabe utilizar los conocimientos matemáticos. Comprenden el conjunto de aprendizajesque se espera de los alumnos en los cuatro periodos escolares para conducirlos a altosniveles de alfabetización matemática.

Se organizan en:

1. Sentido numérico y pensamiento algebraico2. Forma, espacio y medida3. Manejo de la información4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas

Su progresión debe entenderse como:

• Transitar del lenguaje cotidiano a un lenguaje matemático para explicar procedi-

mientos y resultados.• Ampliar y profundizar los conocimientos, de manera que se favorezca la compren-

sión y el uso eficiente de las herramientas matemáticas.• Avanzar desde el requerimiento de ayuda al resolver problemas hacia el trabajo

autónomo.



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Cuarto periodo escolar, al concluir el tercer gradode secundaria, entre 14 y 15 años de edad

En este periodo los estándares están organizados en tres ejes temáticos: Sentido numé-

rico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la información. Al egresar del nivel de secundaria, los estudiantes saben efectuar cálculos con ex-

presiones algebraicas, cuyos coeficientes sean números racionales, formulan ecuacio-nes o funciones para resolver problemas, calculan volúmenes y resuelven problemasgeométricos con apoyo de las propiedades de las figuras y cuerpos. Calculan porcen-tajes y probabilidades de eventos simples o compuestos, y comunican e interpretaninformación mediante el uso de diferentes tipos de gráficas.

En este periodo se continúa promoviendo el desarrollo de actitudes y valores queson parte esencial de la competencia matemática y que son el resultado de la metodo-logía didáctica que se propone para estudiar matemáticas.

1. Sentido numérico y pensamiento algebraicoEste eje temático se subdivide en cuatro temas:

1.1. Números y sistemas de numeración.1.2. Problemas aditivos.1.3. Problemas multiplicativos.1.4. Patrones y ecuaciones.

Los Estándares Curriculares para este eje temático son los siguientes. El alumno:

1.1.1. Resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios a deci-males y viceversa.

1.1.2. Resuelve problemas que implican calcular el mínimo común múltiplo o elmáximo común divisor.

1.2.1. Resuelve problemas aditivos que impliquen efectuar cálculos con expresio-

nes algebraicas.

1.3.1. Resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excep-ción de la división entre polinomios.

1.4.1. Resuelve problemas que implican expresar y utilizar la regla general lineal ocuadrática de una sucesión.



1.4.2. Resuelve problemas que involucran el uso de ecuaciones lineales o cua-dráticas.

2. Forma, espacio y medidaEste eje temático se subdivide en dos temas:

2.1. Figuras y cuerpos.2.2. Medida.


2.1.1. Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con ba-se en información diversa, y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables.

2.1.2. Utiliza la regla y el compás para realizar diversos trazos, como alturas detriángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera.

2.1.3. Resuelve problemas que impliquen aplicar las propiedades de la congruen-cia y la semejanza en diversos polígonos.

2.2.1. Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de perímetro,área y volumen.

2.2.2. Determina la medida de diversos elementos del círculo, como circunferencia,superficie, ángulo inscrito y central, arcos de la circunferencia, sectores y coro-nas circulares.

2.2.3. Aplica el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas seno, cosenoy tangente en la resolución de problemas.

3. Manejo de la informaciónEste eje temático se subdivide en los siguientes temas:

3.1. Proporcionalidad y funciones.

3.2. Nociones de probabilidad.3.3. Análisis y representación de datos.


3.1.1. Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o múlti-ple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto.



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3.1.2. Expresa algebraicamente una relación lineal o cuadrática entre dos conjuntos decantidades.

3.2.1. Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e

independientes.

3.3.1. Lee y representa información en diferentes tipos de gráficas; calcula y explica elsignificado del rango y la desviación media.

4. Actitudes hacia el estudio de las matemáticas Al término de la Educación Básica, el alumno:

4.1. Desarrolla un concepto positivo de sí mismo como usuario de las mate-máticas, el gusto y la inclinación por comprender y utilizar la notación, elvocabulario y los procesos matemáticos.

4.2. Aplica el razonamiento matemático a la solución de problemas personales,sociales y naturales, aceptando el principio de que existen diversos proce-dimientos para resolver los problemas particulares.

4.3. Desarrolla el hábito del pensamiento racional y utiliza las reglas del debatematemático al formular explicaciones o mostrar soluciones.

4.4. Comparte e intercambia ideas sobre los procedimientos y resultados al re-solver problemas.



ENFOQUE DIDÁCTICO

La formación matemática que permite a los individuos enfrentar con éxito los proble-mas de la vida cotidiana depende en gran parte de los conocimientos adquiridos

y de las habilidades y actitudes desarrolladas durante la Educación Básica. La expe-riencia que vivan los alumnos al estudiar matemáticas en la escuela puede traer comoconsecuencias: el gusto o el rechazo por ellas, la creatividad para buscar solucioneso la pasividad para escucharlas y tratar de reproducirlas, la búsqueda de argumentospara validar los resultados o la supeditación de éstos según el criterio del docente.

El planteamiento central en cuanto a la metodología didáctica que se sugiere parael estudio de las Matemáticas, consiste en utilizar secuencias de situaciones proble-máticas que despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrardiferentes formas de resolver los problemas y a formular argumentos que validen losresultados. Al mismo tiempo, las situaciones planteadas deberán implicar justamentelos conocimientos y las habilidades que se quieren desarrollar.

Los avances logrados en el campo de la didáctica de la matemática en los últimos

años dan cuenta del papel determinante que desempeña el medio , entendido comola situación o las situaciones problemáticas que hacen pertinente el uso de las herra-mientas matemáticas que se pretenden estudiar, así como los procesos que siguen losalumnos para construir conocimientos y superar las dificultades que surgen en el pro-



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ceso de aprendizaje. Toda situación problemática presenta obstáculos; sin embargo, lasolución no puede ser tan sencilla que quede fija de antemano, ni tan difícil que parezcaimposible de resolver por quien se ocupa de ella. La solución debe construirse en elentendido de que existen diversas estrategias posibles y hay que usar al menos una.

Para resolver la situación, el alumno debe usar sus conocimientos previos, mismos quele permiten entrar en la situación, pero el desafío consiste en reestructurar algo que yasabe, sea para modificarlo, ampliarlo, rechazarlo o para volver a aplicarlo en una nuevasituación.

El conocimiento de reglas, algoritmos, fórmulas y definiciones sólo es importan-te en la medida en que los alumnos lo puedan usar para solucionar problemas y re-construir en caso de olvido; de ahí que su construcción amerite procesos de estudiomás o menos largos, que van de lo informal a lo convencional, tanto en relación conel lenguaje como con las representaciones y procedimientos. La actividad intelectualfundamental en estos procesos de estudio se apoya más en el razonamiento que enla memorización; sin embargo, esto no significa que los ejercicios de práctica o el usode la memoria para guardar ciertos datos, como la transformación de fracciones a suexpresión decimal o los productos y cocientes de dos números enteros no se reco-mienden; al contrario, estas fases son necesarias para que los alumnos puedan invertiren problemas más complejos.

A partir de esta propuesta, los alumnos y el docente se enfrentan a nuevos retosque reclaman actitudes distintas frente al conocimiento matemático e ideas diferen-tes sobre lo que significa enseñar y aprender. No se trata de que el docente busque lasexplicaciones más sencillas y amenas, sino de que analice y proponga problemas inte-resantes, debidamente articulados, para que los alumnos aprovechen lo que ya sabeny avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces.

Es posible que el planteamiento de ayudar a los alumnos a estudiar matemáticas,con base en actividades de estudio sustentadas en situaciones problemáticas cuida-dosamente seleccionadas, resultará extraño para muchos docentes compenetradoscon la idea de que su papel es enseñar, en el sentido de transmitir información. Sinembargo, vale la pena intentarlo, ya que abre el camino para experimentar un cambioradical en el ambiente del salón de clases; se notará que los alumnos piensan, comen-tan, discuten con interés y aprenden, mientras que el docente revalora su trabajo. Este

escenario no está exento de contrariedades, y para llegar a él hay que estar dispuestoa superar grandes desafíos, como:

a) Lograr que los alumnos se acostumbren a buscar por su cuenta la manera de re-solver los problemas que se les plantean, mientras el docente observa y cuestiona



a los equipos de trabajo, tanto para conocer los procedimientos y argumentos quese ponen en práctica como para aclarar ciertas dudas, destrabar procesos y lo-grar que los alumnos puedan avanzar. Aunque, al principio, habrá desconcierto delos alumnos y del docente, vale la pena insistir en que sean los primeros quienes

encuentren las soluciones. Pronto se empezará a notar un ambiente distinto en elsalón de clases; es decir, los alumnos compartirán sus ideas, habrá acuerdos ydesacuerdos, se expresarán con libertad y no habrá duda de que reflexionan entorno al problema que tratan de resolver.

b) Acostumbrarlos a leer y analizar los enunciados de los problemas. Leer sin enten-der es una deficiencia muy común, cuya solución no corresponde sólo a la com-prensión lectora de la asignatura de Español. Muchas veces los alumnos obtienenresultados diferentes que no por ello son incorrectos, sino que corresponden auna interpretación distinta del problema; por lo tanto, es necesario averiguar cómointerpretan la información que reciben de manera oral o escrita.

c) Lograr que los alumnos aprendan a trabajar de manera colaborativa. Es importanteporque ofrece a los alumnos la posibilidad de expresar sus ideas y de enriquecerlascon las opiniones de los demás, ya que desarrollan la actitud de colaboración y lahabilidad para argumentar; además, de esta manera se facilita la puesta en comúnde los procedimientos que encuentran. Sin embargo, la actitud para trabajar demanera colaborativa debe fomentarse por los docentes, además de insistir en quecada integrante asuma la responsabilidad de la tarea que se trata de realizar, node manera individual sino colectiva; por ejemplo, si la tarea consiste en resolverun problema, cualquier integrante del equipo debe estar en posibilidad de explicarel procedimiento que utilizó.

d) Saber aprovechar el tiempo de la clase. Se suele pensar que si se pone en prácticael enfoque didáctico, que consiste en plantear problemas a los alumnos para quelos resuelvan con sus propios medios, discutan y analicen sus procedimientos yresultados, no alcanza el tiempo para concluir el programa; por lo tanto, se decidecontinuar con el esquema tradicional en el cual el docente “da la clase”, mientras losalumnos escuchan aunque no comprendan. La experiencia muestra que esta deci-sión conduce a tener que repetir, en cada grado escolar, mucho de lo que aparen-temente se había aprendido; de manera que es más provechoso dedicar el tiempo

necesario para que los alumnos adquieran conocimientos con significado y desarro-llen habilidades que les permitan resolver diversos problemas y seguir aprendiendo.

e) Superar el temor a no entender cómo piensan los alumnos. Cuando el docente explicacómo se solucionan los problemas y los alumnos tratan de reproducir las explicacio-nes al resolver algunos ejercicios, se puede decir que la situación está bajo control.



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Difícilmente surgirá en la clase algo distinto a lo que el docente ha explicado, inclusomuchas veces los alumnos manifiestan cierto temor de hacer algo diferente a lo quehizo el docente. Sin embargo, cuando éste plantea un problema y lo deja en manosde los alumnos, sin explicación previa de cómo se resuelve, usualmente surgen pro-

cedimientos y resultados diferentes, que son producto de cómo piensan los alumnosy de lo que saben hacer. Ante esto, el verdadero desafío para los docentes consiste enayudar a los alumnos a analizar y socializar lo que produjeron.

Este rol es la esencia del trabajo docente como profesional de la educación enla enseñanza de las Matemáticas. Ciertamente reclama un conocimiento profundo de ladidáctica de esta asignatura que “se hace al andar”, poco a poco, pero es lo que puedeconvertir a la clase en un espacio social de construcción de conocimiento.

Con el enfoque didáctico que se sugiere se logra que los alumnos construyanconocimientos y habilidades con sentido y significado, como saber calcular el vo-lumen de cilindros o resolver problemas que implican el uso de ecuaciones; asimis-mo, un ambiente de trabajo que brinda a los alumnos, por ejemplo, la oportunidadde aprender a enfrentar diferentes tipos de problemas, a formular argumentos, aemplear distintas técnicas en función del problema que se trata de resolver, y a usarel lenguaje matemático para comunicar o interpretar ideas.

Estos aprendizajes adicionales no se dan de manera espontánea, independiente-mente de cómo se estudia y se aprende la matemática. Por ejemplo, no se puede esperarque los alumnos aprendan a formular argumentos si no se delega en ellos la responsabi-lidad de averiguar si los procedimientos o resultados, propios y de otros, son correctoso incorrectos. Dada su relevancia para la formación de los alumnos, y siendo coheren-tes con la definición de competencia que se plantea en el Plan de estudios, en los progra-mas de Matemáticas se utiliza el concepto de competencia matemática para designar acada uno de estos aspectos; en tanto que al formular argumentos, por ejemplo, se haceuso de conocimientos y habilidades, pero también entran en juego las actitudes y losvalores, como aprender a escuchar a los demás y respetar sus ideas.



Competencias matemáticas

A continuación se describen cuatro competencias, cuyo desarrollo es importante du-rante la Educación Básica.

COMPETENCIAS MATEMÁTICAS

Resolver problemas de manera autónoma. Implica que los alumnos sepan identificar, plantear yresolver diferentes tipos de problemas o situaciones; por ejemplo, problemas con solución úni-ca, otros con varias soluciones o ninguna solución; problemas en los que sobren o falten datos;problemas o situaciones en los que sean los alumnos quienes planteen las preguntas. Se tratade que los alumnos sean capaces de resolver un problema utilizando más de un procedimiento,reconociendo cuál o cuáles son más eficaces; o bien, que puedan probar la eficacia de un proce-dimiento al cambiar uno o más valores de las variables o el contexto del problema, para generali-zar procedimientos de resolución.

Comunicar información matemática. Comprende la posibilidad de que los alumnos expresen,representen e interpreten información matemática contenida en una situación o en un fenómeno.Requiere que se comprendan y empleen diferentes formas de representar la información cualitati-va y cuantitativa relacionada con la situación; se establezcan nexos entre estas representaciones;se expongan con claridad las ideas matemáticas encontradas; se deduzca la información deriva-da de las representaciones y se infieran propiedades, características o tendencias de la situacióno del fenómeno representado.

Validar procedimientos y resultados. Consiste en que los alumnos adquieran la confianza suficien-te para explicar y justificar los procedimientos y soluciones encontradas, mediante argumentos asu alcance que se orienten hacia el razonamiento deductivo y la demostración formal.

Manejar técnicas eficientemente. Se refiere al uso eficiente de procedimientos y formas de repre-sentación que hacen los alumnos al efectuar cálculos, con o sin apoyo de calculadora. Muchasveces el manejo eficiente o deficiente de técnicas establece la diferencia entre quienes resuelvenlos problemas de manera óptima y quienes alcanzan una solución incompleta o incorrecta. Estacompetencia no se limita a usar de forma mecánica las operaciones aritméticas, sino que apun-ta principalmente al desarrollo del significado y uso de los números y de las operaciones, que semanifiesta en la capacidad de elegir adecuadamente la o las operaciones al resolver un problema;en la utilización del cálculo mental y la estimación; en el empleo de procedimientos abreviadoso atajos a partir de las operaciones que se requieren en un problema, y en evaluar la pertinenciade los resultados. Para lograr el manejo eficiente de una técnica es necesario que los alumnosla sometan a prueba en muchos problemas distintos; así adquirirán confianza en ella y la podránadaptar a nuevos problemas.



ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES

La asignatura de Matemáticas se organiza para su estudio en tres niveles de desglo-se. El primero corresponde a los ejes, el segundo a los temas y el tercero a los con-

tenidos. Para primaria y secundaria se consideran tres ejes, que son: Sentido numéricoy pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la información.

Sentido numérico y pensamiento algebraico alude a los fines más relevantes delestudio de la aritmética y del álgebra:

• La modelización de situaciones mediante el uso del lenguaje aritmético o algebraico.• La generalización de propiedades aritméticas mediante el uso del álgebra.• La puesta en juego de diferentes formas de representar y efectuar cálculos.

Forma, espacio y medida integra los tres aspectos esenciales alrededor de loscuales gira el estudio de la geometría y la medición en la educación secundaria:

• La exploración de características y propiedades de las figuras y cuerpos geométricos.• La generación de condiciones para un trabajo con características deductivas.• La justificación de las fórmulas que se utilizan para el cálculo geométrico.

Manejo de la información incluye aspectos relacionados con el análisis de la infor-mación que proviene de distintas fuentes y su uso para la toma de decisiones informa-da, de manera que se orienta hacia:



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• La búsqueda, la organización, el análisis y la presentación de información pararesponder preguntas.

• El uso eficiente de la herramienta aritmética o algebraica que se vincula de maneradirecta con el manejo de la información.

• El conocimiento de los principios básicos de la aleatoriedad.

En este eje se incluye la proporcionalidad porque provee de nociones y técnicasque constituyen herramientas útiles para interpretar y comunicar información, como elporcentaje y la razón.

¿Por qué ejes y no ámbitos en el caso de Matemáticas? Porque un eje se refiere,entre otras cosas, a la dirección o rumbo de una acción. Al decir sentido numérico y

pensamiento algebraico , por ejemplo, se quiere destacar que lo que dirige el estudiode aritmética y álgebra (que son ámbitos de la matemática) es el desarrollo del sen-tido numérico y del pensamiento algebraico, lo cual implica que los alumnos sepanutilizar los números y las operaciones en distintos contextos, y tengan la posibilidadde modelizar situaciones y resolverlas; es decir, que puedan expresarlas en lenguajematemático, efectuar los cálculos necesarios y obtener un resultado que cumpla conlas condiciones establecidas.

De cada uno de los ejes se desprenden varios temas y para cada uno hay unasecuencia de contenidos que van de menor a mayor dificultad. Los temas son grandesideas matemáticas cuyo estudio requiere un desglose más fino (los contenidos), y va-rios grados o incluso niveles de escolaridad. En el caso de la educación secundaria seconsideran nueve temas, y la mayoría inicia desde la educación primaria. Dichos temasson: Números y sistemas de numeración, Problemas aditivos, Problemas multiplicati-vos, Patrones y ecuaciones, Figuras y cuerpos, Medida, Proporcionalidad y funciones,Nociones de probabilidad, y Análisis y representación de datos.

Los contenidos son aspectos muy concretos que se desprenden de los temas, cuyoestudio requiere de entre dos y cinco sesiones de clase. El tiempo de estudio hace referen-cia a la fase de reflexión, análisis, aplicación y construcción del conocimiento en cuestión,pero además hay un tiempo más largo en el que se usa este conocimiento, se relaciona conotros conocimientos y se consolida para constituirse en saber o saber hacer.

Además de los ejes, temas y contenidos, existe un elemento más que forma parte

de la estructura de los programas que son los aprendizajes esperados y se enuncian enla primera columna de cada bloque temático. Estos aprendizajes señalan, de manerasintética, los conocimientos y las habilidades que todos los alumnos deben alcanzarcomo resultado del estudio de varios contenidos, incluidos o no en el bloque en cues-tión. Los aprendizajes esperados no se corresponden uno a uno con los contenidos delbloque debido a que estos últimos constituyen procesos de estudio que en algunoscasos trascienden el bloque e incluso el grado, mientras que los aprendizajes espera-



dos son saberes que se construyen como resultado de los procesos de estudio men-cionados. Ejemplos claros son los aprendizajes esperados que se refieren al uso de losalgoritmos convencionales de las operaciones, que tienen como sustrato el estudio devarios contenidos que no se reflejan como aprendizajes esperados.

Aunque no todos los contenidos se reflejan como aprendizajes esperados, es im-portante estudiarlos todos para garantizar que los alumnos vayan encontrando sentidoa lo que aprenden y puedan emplear diferentes recursos, de lo contrario se corre elriesgo de que lleguen a utilizar técnicas sin saber por qué o para qué sirven.

En los cinco bloques que comprende cada programa, los contenidos se organiza-ron de tal manera que los alumnos vayan accediendo a ideas y recursos matemáticoscada vez más complejos, a la vez que puedan relacionar lo que ya saben con lo queestán por aprender. Sin embargo, es probable que haya otros criterios para establecerla secuenciación y, por lo tanto, los contenidos no tienen un orden rígido.

Como se observa en las siguientes tablas, en todos los bloques se incluyen conte-nidos de los tres ejes, lo que tiene dos finalidades importantes; la primera es que lostemas se estudien simultáneamente a lo largo del curso, evitando así que algunos sóloaparezcan al final del programa, con alta probabilidad de que no se estudien; la segun-da es que pueda vincularse el estudio de temas que corresponden a diferentes ejes,para lograr que los alumnos tengan una visión global de la matemática.



Primer grado


http://slidepdf.com/reader/full/educacion-basica-secundaria-matematicas 31/157PRIMER GRADO

Bloque I

COMPETENCIAS QUE SE FAVORECEN: Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos yresultados • Manejar técnicas eficientemente

APRENDIZAJES ESPERADOS

EJES

SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO FORMA, ESPACIO Y MEDIDA MANEJO DE LA INFORMACIÓN

• Convierte númerosfraccionarios a decimalesy viceversa.

• Conoce y utiliza lasconvenciones pararepresentar númerosfraccionarios y decimalesen la recta numérica.

• Representa sucesiones de

números o de figuras a partirde una regla dada y viceversa.

NÚMEROS Y SISTEMAS DE NUMERACIÓN

• Conversión de fraccionesdecimales y no decimales a suescritura decimal y viceversa.

• Representación de númerosfraccionarios y decimalesen la recta numérica a partirde distintas informaciones,analizando las convencionesde esta representación.

PROBLEMAS ADITIVOS

• Resolución y planteamientode problemas que impliquenmás de una operación desuma y resta de fracciones.

PATRONES Y ECUACIONES

• Construcción de sucesionesde números o de figurasa partir de una regla dada enlenguaje común. Formulación

en lenguaje común deexpresiones generalesque definen las reglas desucesiones con progresiónaritmética o geométrica, denúmeros y de figuras.

• Explicación del significadode fórmulas geométricas, alconsiderar las literales comonúmeros generales con losque es posible operar.

FIGURAS Y CUERPOS

• Trazo de triángulos ycuadriláteros mediante el usodel juego de geometría.

• Trazo y análisis de laspropiedades de las alturas,medianas, mediatrices ybisectrices en un triángulo.

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES

• Resolución de problemasde reparto proporcional.

NOCIONES DE PROBABILIDAD

• Identificación y práctica de juegos de azar sencillos yregistro de los resultados.Elección de estrategiasen función del análisis deresultados posibles.



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PRIMER GRADO

Bloque II



EJES


• Resuelve problemas utilizandoel máximo común divisor y elmínimo común múltiplo.

• Resuelve problemasgeométricos que impliquen eluso de las propiedades de lasalturas, medianas, mediatricesy bisectrices en triángulos ycuadriláteros.


• Formulación de los criteriosde divisibilidad entre 2, 3 y 5.Distinción entre númerosprimos y compuestos.

• Resolución de problemasque impliquen el cálculo delmáximo común divisor y elmínimo común múltiplo.

PROBLEMAS ADITIVOS

• Resolución de problemasaditivos en los que secombinan númerosfraccionarios y decimalesen distintos contextos,empleando los algoritmosconvencionales.

PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS

• Resolución de problemasque impliquen la multiplicación

y división con númerosfraccionarios en distintoscontextos, utilizando losalgoritmos usuales.

FIGURAS Y CUERPOS

• Resolución de problemasgeométricos que impliquen eluso de las propiedades de lamediatriz de un segmento yla bisectriz de un ángulo.

MEDIDA

• Justificación de las fórmulasde perímetro y área de

polígonos regulares, conapoyo de la construcción ytransformación de figuras.


• Identificación y resoluciónde situaciones deproporcionalidad directadel tipo “valor faltante”en diversos contextos,con factores constantesfraccionarios.



Bloque III



EJES


• Resuelve problemasque implican efectuarmultiplicaciones o divisionescon fracciones y númerosdecimales.

• Resuelve problemasque impliquen el uso deecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c ,donde a, b y c son números

naturales y/o decimales.

• Resuelve problemas queimplican el cálculo decualquiera de las variablesde las fórmulas para calcularel perímetro y el área detriángulos, cuadriláteros ypolígonos regulares. Explicala relación que existe entreel perímetro y el área de lasfiguras.


• Resolución de problemas queimpliquen la multiplicaciónde números decimales endistintos contextos, utilizandoel algoritmo convencional.

• Resolución de problemasque impliquen la divisiónde números decimales endistintos contextos, utilizandoel algoritmo convencional.


• Resolución de problemas queimpliquen el planteamiento yla resolución de ecuacionesde primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c , utilizando laspropiedades de la igualdad,con a, b y c númerosnaturales, decimales ofraccionarios.

FIGURAS Y CUERPOS

• Construcción de polígonosregulares a partir de distintasinformaciones (medida deun lado, del ángulo interno,ángulo central). Análisis dela relación entre los elementosde la circunferencia y elpolígono inscrito en ella.

MEDIDA

• Resolución de problemas queimpliquen calcular el perímetroy el área de polígonosregulares.


• Formulación de explicacionessobre el efecto de la aplicaciónsucesiva de factoresconstantes deproporcionalidad ensituaciones dadas.


• Anticipación de resultadosde una experiencia aleatoria,su verificación al realizar elexperimento y su registro enuna tabla de frecuencias.

ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS

• Lectura y comunicación deinformación mediante el usode tablas de frecuenciaabsoluta y relativa.



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PRIMER GRADO

Bloque IV



EJES


• Construye círculos y polígonosregulares que cumplan conciertas condicionesestablecidas.

• Lee información presentadaen gráficas de barras ycirculares. Utiliza estos tiposde gráficas para comunicarinformación.


• Planteamiento y resoluciónde problemas que impliquenla utilización de númerosenteros, fraccionarioso decimales positivos ynegativos.

FIGURAS Y CUERPOS

• Construcción de círculos apartir de diferentes datos (elradio, una cuerda, tres puntosno alineados, etc.) o quecumplan condiciones dadas.

MEDIDA

• Justificación de la fórmulapara calcular la longitud

de la circunferencia y elárea del círculo (gráficay algebraicamente).Explicitación del número π(pi) como la razón entre lalongitud de la circunferenciay el diámetro.


• Análisis de la regla de tres,empleando valores enteros ofraccionarios.

• Análisis de los efectos delfactor inverso en una relaciónde proporcionalidad, enparticular en una reproduccióna escala.

NOCIONES DE PROBABILIDAD• Resolución de problemas de

conteo mediante diversosprocedimientos. Búsquedade recursos para verificar losresultados.


• Lectura de informaciónrepresentada en gráficasde barras y circulares,provenientes de diarios o

revistas y de otras fuentes.Comunicación de informaciónproveniente de estudiossencillos, eligiendo larepresentación gráfica másadecuada.



Bloque V



EJES


• Resuelve problemasaditivos que implican eluso de números enteros,fraccionarios o decimalespositivos y negativos.

• Resuelve problemas queimpliquen el cálculo de laraíz cuadrada y potenciasde números naturalesy decimales.

• Resuelve problemas deproporcionalidad directa deltipo “valor faltante”, en los quela razón interna o externa esun número fraccionario.

PROBLEMAS ADITIVOS

• Resolución de problemas queimplican el uso de sumas yrestas de números enteros.


• Uso de la notación científicapara realizar cálculos en losque intervienen cantidadesmuy grandes o muy

pequeñas.• Resolución de problemas que

impliquen el cálculo de la raízcuadrada (diferentes métodos)y la potencia de exponentenatural de números naturalesy decimales.


• Obtención de la regla general(en lenguaje algebraico) deuna sucesión con progresiónaritmética.

MEDIDA

• Uso de las fórmulas paracalcular el perímetro y el áreadel círculo en la resolución deproblemas.


• Resolución de problemas deproporcionalidad múltiple.



Segundo grado



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SEGUNDO GRADO

Bloque I



EJES


• Resuelve problemas queimplican el uso de las leyesde los exponentes y de lanotación científica.

• Resuelve problemas queimpliquen calcular el área yel perímetro del círculo.

• Resuelve problemas queimplican el cálculo de

porcentajes o de cualquiertérmino de la relación:Porcentaje = cantidad base ×tasa. Inclusive problemas querequieren de procedimientosrecursivos.

• Compara cualitativamentela probabilidad de eventossimples.


• Resolución de multiplicacionesy divisiones con númerosenteros.

• Cálculo de productos ycocientes de potenciasenteras positivas de la mismabase y potencias de unapotencia. Significadode elevar un número naturala una potencia de exponente

negativo.

FIGURAS Y CUERPOS

• Identificación de relacionesentre los ángulos que seforman entre dos rectasparalelas cortadas por unatransversal. Justificaciónde las relaciones entre lasmedidas de los ángulosinteriores de los triángulos yparalelogramos.

• Construcción de triángulos

con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones deposibilidad y unicidad en lasconstrucciones.

MEDIDA

• Resolución de problemasque impliquen el cálculo deáreas de figuras compuestas,incluyendo áreas lateralesy totales de prismas ypirámides.


• Resolución de problemasdiversos relacionados conel porcentaje, como aplicarun porcentaje a una cantidad;determinar qué porcentajerepresenta una cantidadrespecto a otra, y obtener unacantidad conociendo una partede ella y el porcentaje querepresenta.

• Resolución de problemasque impliquen el cálculode interés compuesto,crecimiento poblacional u otrosque requieran procedimientosrecursivos.


• Comparación de dos omás eventos a partir de susresultados posibles, usandorelaciones como:“es más probable que…”,

“es menos probable que…”.


• Análisis de casos en los quela media aritmética o medianason útiles para comparar dosconjuntos de datos.


http://slidepdf.com/reader/full/educacion-basica-secundaria-matematicas 39/157SEGUNDO GRADO

Bloque II



EJES


• Resuelve problemas aditivoscon monomios y polinomios.

• Resuelve problemas en losque sea necesario calcularcualquiera de las variables delas fórmulas para obtener elvolumen de cubos, prismasy pirámides rectos. Establecerelaciones de variación entredichos términos.

PROBLEMAS ADITIVOS

• Resolución de problemasque impliquen adición ysustracción de monomios.

• Resolución de problemasque impliquen adición ysustracción de polinomios.


• Identificación y búsqueda

de expresiones algebraicasequivalentes a partirdel empleo de modelosgeométricos.

MEDIDA

• Justificación de las fórmulaspara calcular el volumen decubos, prismas y pirámidesrectos.

• Estimación y cálculo delvolumen de cubos, prismasy pirámides rectos o decualquier término implicadoen las fórmulas. Análisis de lasrelaciones de variación entre

diferentes medidas de prismasy pirámides.


• Identificación y resoluciónde situaciones deproporcionalidad inversamediante diversosprocedimientos.


• Realización de experimentosaleatorios y registro

de resultados para unacercamiento a la probabilidadfrecuencial. Relación de éstacon la probabilidad teórica.



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SEGUNDO GRADO

Bloque III



EJES


• Resuelve problemasque implican efectuarmultiplicaciones o divisionescon expresiones algebraicas.

• Justifica la suma de losángulos internos de cualquiertriángulo o polígono yutiliza esta propiedad en laresolución de problemas.

• Resuelve problemas queimplican usar la relación entreunidades cúbicas y unidadesde capacidad.

• Lee y comunica informaciónmediante histogramas ygráficas poligonales.


• Resolución de cálculosnuméricos que implican usarla jerarquía de las operacionesy los paréntesis, si fueranecesario, en problemas ycálculos con números enteros,decimales y fraccionarios.

• Resolución de problemasmultiplicativos que impliquenel uso de expresiones

algebraicas, a excepción de ladivisión entre polinomios.

FIGURAS Y CUERPOS

• Formulación de una reglaque permita calcular la sumade los ángulos interiores decualquier polígono.

• Análisis y explicitación delas características de lospolígonos que permiten cubrirel plano.

MEDIDA• Relación entre el decímetro

cúbico y el litro. Deducciónde otras equivalencias entreunidades de volumen ycapacidad para líquidos yotros materiales. Equivalenciaentre unidades del SistemaInternacional de Medidas yalgunas unidades socialmenteconocidas, como barril,quilates, quintales, etcétera.


• Representación algebraicay análisis de una relaciónde proporcionalidad y = kx ,asociando los significadosde las variables con lascantidades que intervienenen dicha relación.


• Búsqueda, organización ypresentación de informaciónen histogramas o en gráficaspoligonales (de series detiempo o de frecuencia),según el caso y análisis de lainformación que proporcionan.

• Análisis de propiedades dela media y mediana.


http://slidepdf.com/reader/full/educacion-basica-secundaria-matematicas 41/157SEGUNDO GRADO

Bloque IV



EJES


• Representa sucesiones denúmeros enteros a partir deuna regla dada y viceversa.

• Resuelve problemasque impliquen el uso deecuaciones de la forma: ax + b = cx + d , donde loscoeficientes son númerosenteros, fraccionarios odecimales, positivos y

negativos.

• Identifica, interpreta y expresarelaciones de proporcionalidaddirecta o inversa,algebraicamente o mediantetablas y gráficas.

• Resuelve problemas queimplican calcular, interpretar yexplicitar las propiedades dela media y la mediana.


• Construcción de sucesionesde números enteros a partir delas reglas algebraicas que lasdefinen. Obtención de laregla general (en lenguajealgebraico) de una sucesióncon progresión aritmética denúmeros enteros.

• Resolución de problemas queimpliquen el planteamiento y

la resolución de ecuacionesde primer grado de laforma: ax + b = cx + d y conparéntesis en uno o en ambosmiembros de la ecuación,utilizando coeficientes enteros,fraccionarios o decimales,positivos y negativos.

MEDIDA

• Caracterización de ángulosinscritos y centrales enun círculo, y análisis de susrelaciones.


• Análisis de las característicasde una gráfica querepresente una relación deproporcionalidad en el planocartesiano.

• Análisis de situacionesproblemáticas asociadas afenómenos de la física, labiología, la economía y otrasdisciplinas, en las que existe

variación lineal entre dosconjuntos de cantidades.Representación de la variaciónmediante una tabla o unaexpresión algebraica dela forma: y = ax + b.


• Resolución de situacionesde medias ponderadas.



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SEGUNDO GRADO

Bloque V



EJES


• Resuelve problemas queimplican el uso de sistemasde dos ecuaciones linealescon dos incógnitas.

• Construye figuras simétricasrespecto de un eje e identificalas propiedades de la figuraoriginal que se conservan.

• Resuelve problemas que

implican determinar la medidade diversos elementos delcírculo, como: ángulosinscritos y centrales, arcos deuna circunferencia, sectores ycoronas circulares.

• Explica la relación queexiste entre la probabilidadfrecuencial yla probabilidad teórica.


• Resolución de problemas queimpliquen el planteamiento yla resolución de un sistemade ecuaciones 2 × 2 concoeficientes enteros, utilizandoel método más pertinente(suma y resta, igualación osustitución).

• Representación gráfica de unsistema de ecuaciones 2 × 2

con coeficientes enteros.Reconocimiento del punto deintersección de sus gráficascomo la solución del sistema.

FIGURAS Y CUERPOS

• Construcción de figurassimétricas respecto de uneje, análisis y explicitaciónde las propiedades quese conservan en figurascomo: triángulos isóscelesy equiláteros, rombos,cuadrados y rectángulos.

MEDIDA

• Cálculo de la medida deángulos inscritos y centrales,así como de arcos, el áreade sectores circulares y dela corona.


• Lectura y construcciónde gráficas de funcioneslineales asociadas a diversosfenómenos.

• Análisis de los efectos alcambiar los parámetros dela función y = mx + b, en lagráfica correspondiente.

NOCIONES DE PROBABILIDAD• Comparación de las gráficas

de dos distribuciones(frecuencial y teórica) al realizarmuchas veces un experimentoaleatorio.



Tercer grado



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TERCER GRADO

Bloque I



EJES


• Explica la diferencia entreeventos complementarios,mutuamente excluyentes eindependientes.


• Resolución de problemasque impliquen el uso deecuaciones cuadráticassencillas, utilizandoprocedimientos personales uoperaciones inversas.

FIGURAS Y CUERPOS

• Construcción de figurascongruentes o semejantes(triángulos, cuadrados yrectángulos) y análisis desus propiedades.

• Explicitación de los criterios decongruencia y semejanzade triángulos a partir deconstrucciones coninformación determinada.


• Análisis de representaciones(gráficas, tabulares yalgebraicas) que correspondena una misma situación.Identificación de las quecorresponden a una relaciónde proporcionalidad.

• Representación tabular yalgebraica de relacionesde variación cuadrática,

identificadas en diferentessituaciones y fenómenos de lafísica, la biología, la economíay otras disciplinas.


• Conocimiento de la escala dela probabilidad. Análisis de lascaracterísticas de eventoscomplementarios y eventosmutuamente excluyentes eindependientes.


• Diseño de una encuesta o unexperimento e identificaciónde la población en estudio.Discusión sobre las formas deelegir el muestreo. Obtenciónde datos de una muestra ybúsqueda de herramientasconvenientes para supresentación.


http://slidepdf.com/reader/full/educacion-basica-secundaria-matematicas 45/157TERCER GRADO

Bloque II



EJES


• Explica el tipo detransformación (reflexión,rotación o traslación) quese aplica a una figura paraobtener la figura transformada.Identifica las propiedades quese conservan.

• Resuelve problemas queimplican el uso del teoremade Pitágoras.


• Uso de ecuacionescuadráticas para modelarsituaciones y resolverlasusando la factorización.

FIGURAS Y CUERPOS

• Análisis de las propiedades dela rotación y de la traslaciónde figuras.

• Construcción de diseñosque combinan la simetríaaxial y central, la rotación y latraslación de figuras.

MEDIDA

• Análisis de las relaciones entrelas áreas de los cuadradosque se construyen sobrelos lados de un triángulorectángulo.

• Explicitación y uso delteorema de Pitágoras.


• Cálculo de la probabilidad deocurrencia de dos eventosmutuamente excluyentes yde eventos complementarios(regla de la suma).



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TERCER GRADO

Bloque III



EJES


• Resuelve problemas queimplican el uso de ecuacionesde segundo grado.

• Resuelve problemas decongruencia y semejanzaque implican utilizar estaspropiedades en triángulos oen cualquier figura.


• Resolución de problemas queimplican el uso de ecuacionescuadráticas. Aplicación de lafórmula general para resolverdichas ecuaciones.

FIGURAS Y CUERPOS

• Aplicación de los criterios decongruencia y semejanzade triángulos en laresolución de problemas.

• Resolución de problemasgeométricos mediante elteorema de Tales.

• Aplicación de la semejanzaen la construcción de figurashomotéticas.


• Lectura y construcciónde gráficas de funcionescuadráticas para modelardiversas situaciones ofenómenos.

• Lectura y construcciónde gráficas formadas porsecciones rectas y curvasque modelan situacionesde movimiento, llenado de

recipientes, etcétera.


• Cálculo de la probabilidad deocurrencia de dos eventosindependientes (regla delproducto).


http://slidepdf.com/reader/full/educacion-basica-secundaria-matematicas 47/157TERCER GRADO

Bloque IV



EJES


• Utiliza en casos sencillosexpresiones generalescuadráticas para definir elenésimo término de unasucesión.

• Resuelve problemas queimplican el uso de las razonestrigonométricas seno, cosenoy tangente.

• Calcula y explica el significadodel rango y la desviaciónmedia.


• Obtención de una expresióngeneral cuadrática para definirel enésimo término de unasucesión.

FIGURAS Y CUERPOS

• Análisis de las característicasde los cuerpos que segeneran al girar sobre un eje,un triángulo rectángulo, unsemicírculo y un rectángulo.Construcción de desarrollosplanos de conos y cilindrosrectos.

MEDIDA

• Análisis de las relaciones entreel valor de la pendiente de unarecta, el valor del ángulo quese forma con la abscisa y elcociente del cateto opuestosobre el cateto adyacente.

• Análisis de las relacionesentre los ángulos agudos y loscocientes entre los lados deun triángulo rectángulo.

• Explicitación y uso de lasrazones trigonométricas seno,coseno y tangente.


• Cálculo y análisis de la razónde cambio de un procesoo fenómeno que se modelacon una función lineal.Identificación de la relaciónentre dicha razón yla inclinación o pendientede la recta que la representa.


• Medición de la dispersiónde un conjunto de datosmediante el promedio de lasdistancias de cada dato a lamedia (desviación media).

Análisis de las diferencias dela “desviación media” con el“rango” como medidas de ladispersión.



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TERCER GRADO

Bloque V



EJES


• Resuelve y planteaproblemas que involucranecuaciones lineales, sistemasde ecuaciones y ecuacionesde segundo grado.

• Resuelve problemas queimplican calcular el volumende cilindros y conos ocualquiera de las variablesque intervienen en las

fórmulas que se utilicen. Anticipa cómo cambia elvolumen al aumentar odisminuir alguna de lasdimensiones.

• Lee y representa, gráfica yalgebraicamente, relacioneslineales y cuadráticas.

• Resuelve problemasque implican calcular laprobabilidad de eventoscomplementarios,

mutuamente excluyentese independientes.


• Resolución de problemas queimplican el uso de ecuacioneslineales, cuadráticas osistemas de ecuaciones.Formulación deproblemas a partir deuna ecuación dada.

MEDIDA

• Análisis de las secciones quese obtienen al realizar cortes aun cilindro o a un cono recto.Cálculo de las medidas delos radios de los círculos quese obtienen al hacer cortesparalelos en un cono recto.

• Construcción de las fórmulaspara calcular el volumen decilindros y conos, tomando

como referencia las fórmulasde prismas y pirámides.

• Estimación y cálculo delvolumen de cilindros y conoso de cualquiera delas variables implicadasen las fórmulas.


• Análisis de situacionesproblemáticas asociadas afenómenos de la física, labiología, la economía y otrasdisciplinas, en las que existevariación lineal o cuadráticaentre dos conjuntos decantidades.

NOCIONES DE PROBABILIDAD• Análisis de las condiciones

necesarias para que un juegode azar sea justo, con baseen la noción de resultadosequiprobables yno equiprobables.



INTRODUCCIÓN



Guía para el maestro

A las maestras y los maestros de México:P ARA LA SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICA DE LA SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA es un gustopresentarles la Guía para el Maestro , una herramienta innovadora de acompañamientoen la implementación de la Reforma Integral de la Educación Básica. Su finalidad esofrecer orientaciones pedagógicas y didácticas que guíen la labor del docente en el aula.

Como es de su conocimiento, la Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB)concluye su generalización en el ciclo escolar 2011-2012, en este mismo periodocomenzamos una nueva fase de consolidación. Como toda reforma se ha transitado deun periodo de innovación y prueba a otro de consolidación y mejora continua. En estafase se introducen en los programas de estudio estándares curriculares y aprendizajesesperados, los cuales implicarán nuevos retos y desafíos para el profesorado; laSubsecretaría ha diseñado diversas estrategias que les brindarán herramientas yacompañamiento.

En la puesta en marcha de los nuevos programas de estudio, ustedes son partefundamental para concretar sus resultados a través de la valoración acerca de larelevancia de la práctica docente, centrada en el aprendizaje de sus alumnos.

Este documento forma parte del acompañamiento, al ofrecer información y

propuestas específicas que contribuyan a comprender el enfoque y los propósitos deesta Reforma.

El contenido está organizado en diferentes apartados que explican la orientaciónde las asignaturas, la importancia y función de los estándares por periodos, y suvinculación con los aprendizajes esperados, todos ellos elementos sustantivos en laarticulación de la Educación Básica.

Las Guías presentan explicaciones sobre la organización del aprendizaje, conénfasis en el diseño de ambientes de aprendizaje y la gestión del aula.

Como parte fundamental de la acción educativa en el desarrollo de competencias

se consideran los procesos de planificación y evaluación, los cuales requieren sertrabajados de manera sistémica e integrada. La evaluación desde esta perspectivacontribuye a una mejora continua de los procesos de enseñanza y aprendizajeatendiendo a criterios de inclusión y equidad.



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Programas de estudio 2011

En el último apartado se ofrecen situaciones de aprendizaje que constituyenopciones de trabajo en el aula. Representan un ejemplo que puede enriquecerse apartir de sus conocimientos y experiencia.

Estas Guías presentan propuestas que orientan el trabajo de vinculación con otrasasignaturas para abordar temas de interés prioritario para la sociedad actual, así comofuentes de información que contribuyan a ampliar sus conocimientos.

Uno de los temas más innovadores en esta propuesta curricular es la introducciónde estándares curriculares para Español, Matemáticas, Ciencias, Inglés y HabilidadesDigitales para Todos (HDT) por lo que habrá referencias para ellos en las orientacionespedagógicas y didácticas, explicando su uso, función y vinculación con los aprendizajesesperados, además de su importancia para la evaluación en los cuatro periodos que sehan considerado para ello; tercero de preescolar, tercero y sexto de primaria y tercerode secundaria.

Por las aportaciones a su función educativa y a la comprensión de los nuevosenfoques del Plan de Estudios 2011, los invitamos a hacer una revisión exhaustiva deeste documento, a discutirlo en colegiado, pero ante todo a poner en práctica lassugerencias planteadas en estas Guías.

Articulación de la Educación BásicaLa RIEB forma parte de una visión de construcción social de largo alcance, comopodemos observar en el Proyecto de Acuerdo por el que se establece la Articulaciónde la Educación Básica:

…. Desde la visión de las autoridades educativas federales y locales, en este momentoresulta prioritario articular estos esfuerzos en una política pública integral capazde responder, con oportunidad y pertinencia, a las transformaciones, necesidadesy aspiraciones de niñas, niños y jóvenes, y de la sociedad en su conjunto, con una

perspectiva abierta durante los próximos 20 años; es decir, con un horizonte hacia2030 que oriente el proyecto educativo de la primera mitad del siglo XXI .

SEP, Proyecto de Acuerdo por el que se establece la Articulación de la EducaciónBásica, México, 2011.




A fin de integrar un currículo que comprende 12 años para la Educación Básica, se definiócomo opción metodológica el establecimiento de campos de formación que organizan,regulan y articulan los espacios curriculares; poseen un carácter interactivo entre sí y soncongruentes con las competencias para la vida y los rasgos del perfil de egreso.

En cada campo de formación se manifiestan los procesos graduales del aprendizaje,de manera continua e integral; consideran aspectos importantes relacionados con laformación de la ciudadanía, la vida en sociedad, la identidad nacional, entre otros.

En el nivel preescolar el campo formativo se refiere a los espacios curriculares queconforman este nivel.

Campos de formación para la Educación Básica y susnalidades

• Le e c c c ó . Desarrolla competencias comunicativas y de lecturaen los estudiantes a partir del trabajo con los diversos usos sociales del lenguaje,en la práctica comunicativa de los diferentes contextos. Se busca desarrollarcompetencias de lectura y de argumentación de niveles complejos al finalizar laEducación Básica.

• Pe s e e á c . Desarrolla el razonamiento para la solución deproblemas, en la formulación de argumentos para explicar sus resultados y en eldiseño de estrategias y procesos para la toma de decisiones.

• Expl c ó c p e s ó del d l s c l. Integra diversos enfoquesdisciplinares relacionados con aspectos biológicos, históricos, sociales, políticos,económicos, culturales, geográficos y científicos. Constituye la base de laformación del pensamiento científico e histórico, basado en evidencias y métodosde aproximación a los distintos fenómenos de la realidad. Se trata de conocernos anosotros y al mundo en toda su complejidad y diversidad.

• Des ll pe s l p l c e c .Integra diversos enfoques disciplinaresrelacionados con las Ciencias Sociales, las Humanidades, las Ciencias y la Psicología,e integra a la Formación Cívica y Ética, la Educación Artística y la EducaciónFísica, para un desarrollo más pleno e integral de las personas. Se trata de quelos estudiantes aprendan a actuar con juicio crítico a favor de la democracia, la



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libertad, la paz, el respeto a las personas, a la legalidad y a los derechos humanos.También significa formar para la convivencia, entendida ésta como la construcciónde relaciones interpersonales de respeto mutuo, de solución de conflictos a travésdel diálogo, así como la educación de las emociones para formar personas capacesde interactuar con otros, de expresar su afectividad, su identidad personal y,desarrollar su conciencia social.

La Reforma en marcha es un proceso que se irá consolidando en los próximos años,entre las tareas que implica destacan: la articulación paulatina de los programas deestudio con los libros de texto, el desarrollo de materiales complementarios, el uso delas Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) para el desarrollo de portaleseducativos y la generación de procesos de alta especialización docente en los que seráimprescindible su participación.

El enfoque de competencias para la vida y los periodos en laEducación BásicaLas reformas curriculares de los niveles preescolar (2004), secundaria (2006) y primaria(2009) que concluyen con el Plan de Estudios para la Educación Básica 2011, representan

un esfuerzo sostenido y orientado hacia una propuesta de formación integral de losalumnos, cuya finalidad es el desarrollo de competencias para la vida, lo cual significaque la escuela y los docentes, a través de su intervención y compromiso, generen lascondiciones necesarias para contribuir de manera significativa a que los niños y jóvenessean capaces de resolver situaciones problemáticas que les plantea su vida y su entorno,a partir de la interrelación de elementos conceptuales, factuales, procedimentales yactitudinales para la toma de decisiones sobre la elección y aplicación de estrategiasde actuación oportunas y adecuadas, que atiendan a la diversidad y a los procesos deaprendizaje de los niños.

El desarrollo de competencias para la vida demanda generar estrategias deintervención docente, de seguimiento y de evaluación de manera integrada y compartidaal interior de la escuela y con los diferentes niveles de Educación Básica, acerca de lacontribución de cada uno de ellos para el logro de las competencias.

Es importante tener presente que el desarrollo de una competencia no constituyeel contenido a abordar, tampoco se alcanza en un solo ciclo escolar; su logro es resultado




de la intervención de todos los docentes que participan en la educación básica de losalumnos, por lo tanto las cinco competencias para la vida establecidas en el Plan deEstudios para la Educación Básica 2011 son el resultado del logro de los aprendizajesesperados a desarrollar durante los 12 años que conforman el preescolar, la primariay la secundaria. Por lo anterior, es necesario generar las condiciones para impulsarun proceso de diálogo y colaboración entre los docentes de estos niveles educativos,a fin de compartir criterios e intercambiar ideas y reflexiones sobre los procesos deaprendizaje de los estudiantes y sobre las formas colectivas de intervención que puedenrealizarse para contribuir al logro educativo.

El grado de dominio de una competencia implica que el docente observe el análisisque hace el alumno de una situación problemática, los esquemas de actuación queelige y que representan la interrelación de actitudes que tiene; los procedimientosque domina y la serie de conocimientos que pone en juego para actuar de maneracompetente. Ante este reto es insoslayable que los maestros junto con sus estudiantes,desarrollen competencias que les permitan un cambio en la práctica profesional, enel que la planificación, la evaluación y las estrategias didácticas estén acordes a losnuevos enfoques de enseñanza propuestos en los Programas de Estudio 2011.

Orientaciones pedagógicas y didácticas para la EducaciónBásicaCumplir con los principios pedagógicos del presente Plan de Estudios 2011 para laEducación Básica, requiere de los docentes una intervención centrada en:

• El aprendizaje de los alumnos, lo cual implica reconocer cómo aprenden yconsiderarlo al plantear el proceso de enseñanza.

• Generar condiciones para la inclusión de los alumnos, considerando los diversos

contextos familiares y culturales, así como la expresión de distintas formas depensamiento, niveles de desempeño, estilos y ritmos de aprendizaje.• Propiciar esquemas de actuación docente para favorecer el desarrollo de

competencias en los alumnos a partir de condiciones que permitan la conjunciónde saberes y su aplicación de manera estratégica en la resolución de problemas.



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• Aplicar estrategias diversificadas para atender de manera pertinente losrequerimientos educativos que le demanden los distintos contextos de lapoblación escolar.

• Promover ambientes de aprendizaje que favorezcan el logro de los aprendizajesesperados, la vivencia de experiencias y la movilización de saberes

a) Plani cación de la práctica docente

La planificación es un proceso fundamental en el ejercicio docente ya que contribuyea plantear acciones para orientar la intervención del maestro hacia el desarrollo decompetencias, al realizarla conviene tener presente que:

• Los aprendizajes esperados y los estándares curriculares son los referentes parallevarla a cabo.

• Las estrategias didácticas deben articularse con la evaluación del aprendizaje.• Se deben generar ambientes de aprendizaje lúdicos y colaborativos que favorezcan

el desarrollo de experiencias de aprendizaje significativas.• Las estrategias didácticas deben propiciar la movilización de saberes y llevar al

logro de los aprendizajes esperados de manera continua e integrada.• Los procesos o productos de la evaluación evidenciarán el logro de los aprendizajes

esperados y brindarán información que permita al docente la toma de decisiones sobrela enseñanza, en función del aprendizaje de sus alumnos y de la atención a la diversidad.

• Los alumnos aprenden a lo largo de la vida y para favorecerlo es necesarioinvolucrarlos en su proceso de aprendizaje.

Los Programas de Estudio correspondientes a la Educación Básica: preescolar,primaria y secundaria constituyen en sí mismos un primer nivel de planificación, entanto que contienen una descripción de lo que se va a estudiar y lo que se pretendeque los alumnos aprendan en un tiempo determinado. Es necesario considerar que

esto es una programación curricular de alcance nacional, y por tanto presentalas metas a alcanzar como país, atendiendo a su flexibilidad, éstas requieren de suexperiencia como docente para hacerlas pertinentes y significativas en los diversoscontextos y situaciones.

La ejecución de estos nuevos programas requiere una visión de largo alcance quele permita identificar en este Plan de Estudios de 12 años, cuál es la intervención que




le demanda en el trayecto que le corresponde de la formación de sus alumnos, asícomo visiones parciales de acuerdo con los periodos de corte que habrá al tercero depreescolar, tercero y sexto de primaria y al tercero de secundaria.

El eje de la clase debe ser una actividad de aprendizaje que represente un desafíointelectual para el alumnado y que genere interés por encontrar al menos una vía desolución. Las producciones de los alumnos deben ser analizadas detalladamente porellos mismos, bajo su orientación, en un ejercicio de auto y coevaluación para que conbase en ese análisis se desarrollen ideas claras y se promueva el aprendizaje continuo.Los conocimientos previos de los estudiantes sirven como memoria de la clase paraenfrentar nuevos desafíos y seguir aprendiendo, al tiempo que se corresponsabiliza alalumnado en su propio aprendizaje.

Este trabajo implica que como docentes se formulen expectativas sobre lo que seespera de los estudiantes, sus posibles dificultades y estrategias didácticas con base enel conocimiento de cómo aprenden. En el caso de que las expectativas no se cumplan,será necesario volver a revisar la actividad que se planteó y hacerle ajustes paraque resulte útil.

Esta manera de concebir la planificación nos conduce a formular dos aspectos dela práctica docente: el diseño de actividades de aprendizaje y el análisis de dichas

actividades, su aplicación y evaluación.El diseño de actividades de aprendizaje requiere del conocimiento de qué se

enseña y cómo se enseña en relación a cómo aprenden los alumnos, las posibilidadesque tienen para acceder a los problemas que se les plantean y qué tan significativosson para el contexto en el que se desenvuelven. Diseñar actividades implica responderlo siguiente:

• ¿Qué situaciones resultarán interesantes y suficientemente desafiantes para que losalumnos indaguen, cuestionen, analicen, comprendan y reflexionen de maneraintegral sobre la esencia de los aspectos involucrados en este contenido?

• ¿Cuál es el nivel de complejidad que se requiere para la situación que se planteará?• ¿Qué recursos son importantes para que los alumnos atiendan las situaciones quese van a proponer?

• ¿Qué aspectos quedarán a cargo del alumnado y cuáles es necesario explicar paraque puedan avanzar?

• ¿De qué manera pondrán en práctica la movilización de saberes para lograr resultados?



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El diseño de una actividad o de una secuencia de actividades requiere del intercambiode reflexiones y prácticas entre pares que favorezca la puesta en común del enfoque yla unificación de criterios para su evaluación.

Otro aspecto, se refiere a la puesta en práctica de la actividad en el grupo, endonde los ambientes de aprendizaje serán el escenario que genere condiciones paraque se movilicen los saberes de los alumnos.

Una planificación útil para la práctica real en el salón de clase implica disponerde la pertinencia y lo significativo de la actividad que se va a plantear en relacióna los intereses y el contexto de los alumnos, conocer las expectativas en cuanto asus actuaciones, las posibles dificultades y la forma de superarlas, los alcances de laactividad en el proceso de aprendizaje, así como de la reflexión constante que realiceen su propia práctica docente que requerirá replantearse continuamente conforme lodemande el aprendizaje de los estudiantes.

b) Ambientes de aprendizaje

Son escenarios construidos para favorecer de manera intencionada las situaciones deaprendizaje. Constituya la construcción de situaciones de aprendizajeen el aula, en

la escuela y en el entorno, pues el hecho educativo no sólo tiene lugar en el salón declases, sino fuera de él para promover la oportunidad de formación en otros escenariospresenciales y virtuales.

Sin embargo, el maestro es central en el aula para la generación de ambientesque favorezcan los aprendizajes al actuar como mediador diseñando situacionesde aprendizaje centradas en el estudiante; generando situaciones motivantes ysignificativas para los alumnos, lo cual fomenta la autonomía para aprender, desarrollarel pensamiento crítico y creativo, así como el trabajo colaborativo. Es en este sentido,que le corresponde propiciar la comunicación, el diálogo y la toma de acuerdos, con

y entre sus estudiantes, a fin de promover el respeto, la tolerancia, el aprecio por lapluralidad y la diversidad; asimismo, el ejercicio de los derechos y las libertades.La escuela constituye un ambiente de aprendizaje bajo esta perspectiva, la

cual asume la organización de espacios comunes, pues los entornos de aprendizajeno se presentan de manera espontánea, ya que media la intervención docente paraintegrarlos, construirlos y emplearlos como tales.




La convivencia escolar es el conjunto de relaciones interpersonales entre losmiembros de una comunidad educativa y generan un determinado clima escolar. Losvalores, las formas de organización, la manera de enfrentar los conflictos, la expresiónde emociones, el tipo de protección que se brinda al alumnado y otros aspectosconfiguran en cada escuela un modo especial de convivir que influye en la calidad delos aprendizajes, en la formación del alumnado y en el ambiente escolar.

De igual manera, los ambientes de aprendizaje requieren brindar experienciasdesafiantes, en donde los alumnos se sientan motivados por indagar, buscar sus propiasrespuestas, experimentar, aprender del error y construir sus conocimientos medianteel intercambio con sus pares.

En la construcción de ambientes de aprendizaje destacan los siguientes aspectos:

- La claridad respecto del propósito educativo que se quiere alcanzar o elaprendizaje que se busca construir con los alumnos.

- El enfoque de la asignatura, pues con base en él deben plantearse las actividadesde aprendizaje en el espacio que estén al alcance y las interacciones entre losalumnos, de modo que se construya el aprendizaje.

- El aprovechamiento de los espacios y sus elementos para apoyar directao indirectamente el aprendizaje, lo cual permite las interacciones entre losalumnos y el maestro; en este contexto cobran relevancia aspectos como: lahistoria del lugar, las prácticas y costumbres, las tradiciones, el carácter rural,semirural, indígena o urbano del lugar, el clima, la flora y fauna, entre otros.

Un ambiente de aprendizaje debe tomar en cuenta que las tecnologías de lainformación y la comunicación están cambiando radicalmente el entorno en el que losalumnos aprendían. En consecuencia, si antes podía usarse un espacio de la escuela, lacomunidad y el aula como entorno de aprendizaje, ahora espacios distantes pueden ser

empleados como parte del contexto de enseñanza.Para aprovechar este nuevo potencial una de las iniciativas que corren en paralelocon la Reforma Integral de la Educación Básica, es la integración de aulas telemáticas,que son espacios escolares donde se emplean tecnologías de la información y lacomunicación como mediadoras en los procesos de enseñanza y de aprendizaje.



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Los materiales educativos, impresos, audiovisuales y digitales son recursosque al complementarse con las posibilidades que los espacios ofrecen propician ladiversificación de los entornos de aprendizaje.

Asimismo, el hogar ofrece a los alumnos y a las familias un amplio margen deacción a través de la organización del tiempo y del espacio para apoyar las actividadesformativas de los alumnos con o sin el uso de las tecnologías de la información y lacomunicación.

c) Modalidades de trabajo

Situaciones de aprendizaje. Son el medio por el cual se organiza el trabajo docente, apartir de planear y diseñar experiencias que incorporan el contexto cercano a los niñosy tienen como propósito problematizar eventos del entorno próximo. Por lo tanto, sonpertinentes para el desarrollo de las competencias de las asignaturas que conformanlos diferentes campos formativos.

Una de sus principales características es que se pueden desarrollar a través detalleres o proyectos. Esta modalidad de trabajo se ha puesto en práctica primordialmenteen el nivel preescolar, sin embargo, ello no lo hace exclusivo de este nivel, ya que

las oportunidades de generar aprendizaje significativo las hacen útiles para toda laEducación Básica. Incluyen formas de interacción entre alumnos, contenidos y docentes,favorecen el tratamiento inter y transdisciplinario entre los campos formativos.

P ec s. Son un conjunto de actividades sistemáticas e interrelacionadas parareconocer y analizar una situación o problema y proponer posibles soluciones. Brindanoportunidades para que los alumnos actúen como exploradores del mundo, estimulensu análisis crítico, propongan acciones de cambio y su eventual puesta en práctica; losconduce no sólo a saber indagar, sino también a saber actuar de manera informada yparticipativa. Los proyectos permiten la movilización de aprendizajes que contribuyen

en los alumnos al desarrollo de competencias, a partir del manejo de la información,la realización de investigaciones sencillas (documentales y de campo) y la obtenciónde productos concretos. Todo proyecto considera las inquietudes e intereses de losestudiantes y las posibilidades son múltiples ya que se puede traer el mundo al aula.

Sec e c s d dác c s.Son actividades de aprendizaje organizadas que responden




a la intención de abordar el estudio de un asunto determinado, con un nivel decomplejidad progresivo en tres fases: inicio, desarrollo y cierre. Presentan una situaciónproblematizadora de manera ordenada, estructurada y articulada.

d) Trabajo colaborativo

Para que el trabajo colaborativo sea funcional debe ser inclusivo, entendiendo estodesde la diversidad, lo que implica orientar las acciones para que en la convivencia, losestudiantes expresen sus descubrimientos, soluciones, reflexiones, dudas, coincidenciasy diferencias a fin de construir en colectivo.

Es necesario que la escuela promueva prácticas de trabajo colegiado entre losmaestros tendientes a enriquecer sus prácticas a través del intercambio entre parespara compartir conocimientos, estrategias, problemáticas y propuestas de solución enatención a las necesidades de los estudiantes; discutir sobre temas que favorezcanel aprendizaje, y la acción que como colectivo requerirá la implementación de losprogramas de estudio.

Es a través del intercambio entre pares en donde los alumnos podrán conocer cómopiensan otras personas, qué reglas de convivencia requieren, cómo expresar sus ideas,

cómo presentar sus argumentos, escuchar opiniones y retomar ideas para reconstruirlas propias, esto favorecerá el desarrollo de sus competencias en colectivo.

El trabajo colaborativo brinda posibilidades en varios planos: en la formación envalores, así como en la formación académica, en el uso eficiente del tiempo de la clasey en el respeto a la organización escolar.

e) Uso de materiales y recursos educativos

Los materiales ofrecen distintos tipos de tratamiento y nivel de profundidad para

abordar los temas; se presentan en distintos formatos y medios. Algunos sugieren laconsulta de otras fuentes así como de los materiales digitales de que se dispone en las escuelas.Los acervos de las bibliotecas escolares y de aula, son un recurso que contribuye

a la formación de los alumnos como usuarios de la cultura escrita. Complementan alos libros de texto y favorecen el contraste y la discusión de un tema. Ayudan a suformación como lectores y escritores.



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Los materiales audiovisuales multimedia e Internet articulan de manerasincronizada códigos visuales, verbales y sonoros, que generan un entorno variado yrico de experiencias, a partir del cual los alumnos crean su propio aprendizaje.

Particularmente en la Telesecundaria pero también en otros niveles y modalidadesde la educación básica, este tipo de materiales ofrecen nuevas formas, escenarios ypropuestas pedagógicas que buscan propiciar aprendizajes significativos en los alumnos.

Los materiales y recursos educativos informáticos cumplen funciones y propósitosdiversos; pueden utilizarse dentro y fuera del aula a través de los portales educativos.

La tecnología como recurso de aprendizaje

En la última década las Tecnologías de la Información y de la Comunicación han tenidoimpacto importante en distintos ámbitos de la vida económica, social y cultural de lasnaciones y, en conjunto, han delineado la idea de una Sociedad de la Información. Elenfoque eminentemente tecnológico centra su atención en el manejo, procesamientoy la posibilidad de compartir información. Sin embargo, los organismos internacionalescomo la CEPAL y la UNESCO, han puesto el énfasis en los últimos cinco años en laresponsabilidad que tienen los estados nacionales en propiciar la transformación de la

sociedad de la información hacia una sociedad del conocimiento.La noción de sociedad de la información se basa en los progresos tecnológicos; en

cambio, la sociedad del conocimiento comprende una dimensión social, ética y políticamucho más compleja. La sociedad del conocimiento pone énfasis en la diversidad culturaly lingüística; en las diferentes formas de conocimiento y cultura que intervienen enla construcción de las sociedades, la cual se ve influida, por supuesto, por el progresocientífico y técnico moderno.

Bajo este paradigma, el sistema educativo debe considerar el desarrollo dehabilidades digitales, tanto en alumnos como en docentes, que sean susceptibles de

adquirirse durante su formación académica. En la Educación Básica el esfuerzo seorienta a propiciar el desarrollo de habilidades digitales en los alumnos, sin importar suedad, situación social y geográfica, la oportunidad de acceder, a través de dispositivostecnológicos de vanguardia, de nuevos tipos de materiales educativos, nuevas formas yespacios para la comunicación, creación y colaboración, que propician las herramientasde lo que se denomina la Web 2.0.




De esta manera, las TIC apoyarán al profesor en el desarrollo de nuevas prácticasde enseñanza y la creación de ambientes de aprendizaje dinámicos y conectados, quepermiten a estudiantes y maestros:

• Manifestar sus ideas y conceptos; discutirlas y enriquecerlas a través de las redes sociales;• Acceder a programas que simulan fenómenos, permiten la modificación de variables

y el establecimiento de relaciones entre ellas;• Registrar y manejar grandes cantidades de datos;• Diversificar las fuentes de información;• Crear sus propios contenidos digitales utilizando múltiples formatos (texto,

audio y video);• Atender la diversidad de ritmos y estilos de aprendizaje de los alumnos.

Para acercar estas posibilidades a las escuelas de educación básica, se creó la estrategiaHabilidades Digitales para Todos (HDT)1, que tiene su origen en el Programa Sectorialde Educación 2007-2012 (PROSEDU), el cual establece como uno de sus objetivosestratégicos “impulsar el desarrollo y la utilización de tecnologías de la información y lacomunicación en el sistema educativo para apoyar el aprendizaje de los estudiantes, ampliarsus competencias para la vida y favorecer su inserción en la sociedad del conocimiento”.

Los recursos educativos que se están generando desde este programa son los siguientes:

Portal de aula Explora

Es la plataforma tecnológica que utilizan alumnos y maestros en el aula. Ofreceherramientas que permiten generar contenidos digitales; interactuar con los materialeseducativos digitales (Objetos de Aprendizaje (ODA), Planes de clase y Reactivos); yrealizar trabajo colaborativo a través de redes sociales como blogs, wikis, foros y la

1 Para ampliar información véase: SEP (2011)Curso Básico de Formación Continua para Maestros en Servicio2011. Relevancia de la profesión docente en la escuela del nuevo milenio, pp. 100-124.



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herramienta de proyecto de aprendizaje. Así promueve en los alumnos, el estudioindependiente y el aprendizaje colaborativo; mientras que a los docentes, da laposibilidad de innovar su práctica educativa e interactuar y compartir con sus alumnos,dentro y fuera del aula.

Objetos de aprendizaje (ODA)

Son materiales digitales concebidos para que alumnos y maestros se acerquen alos contenidos de los programas de estudio de Educación Básica, para promover lainteracción y el desarrollo de las habilidades digitales, el aprendizaje continuo y logreautonomía como estudiante. Existe un banco de objetos de aprendizaje al que puedeaccederse a través del portal federal de HDT (http://www.hdt.gob.mx ), o bien, en el

portal de aula Explora. Los recursos multimedia incluyen: videos, diagramas de flujo,mapas conceptuales, interactivos y audios que resultan atractivos para los alumnos.

Aula telemática

Es el lugar donde se instala el equipamiento base de HDT,el hardware, el software y la conectividad del programa.Como concepto educativo, el Aula telemática es el espacioescolar donde se emplean las TIC como mediadoras en los

procesos de aprendizaje y enseñanza.Es en este espacio, concebido como un ambiente deaprendizaje, donde se encuentran docentes y alumnos con

las tecnologías y donde comienzan a darse las interacciones entre docentes y alumnos,con el equipamiento y los materiales educativos digitales. No obstante, gracias a las




posibilidades que ofrece la conectividad, estas interacciones se potencializan al rebasarlos límites de la escuela y la comunidad; las redes sociales, utilizadas como un mediopara el aprendizaje hacen posibles nuevas formas de trabajo colaborativo.El aula telemática se instala utilizando los modelos tecnológicos 1 a 30 en primaria y 1a 1 en secundaria.

Plan de Clase de HDT

Los Planes de Clase sugieren a los docentes estrategias didácticas que incorporanlos ODA, los libros de texto y otros recursos existentes dentro y fuera del aula. Sonpropuestas que promueven el logro de los aprendizajes esperados y que pueden sermodificadas para adaptarlas a las características de los alumnos, a las condicionestecnológicas del aula y al contexto de la escuela.

f) Evaluación

El docente es el encargado de la evaluación de los aprendizajes de los alumnos deEducación Básica y por tanto, es quien realiza el seguimiento, crea oportunidades de

aprendizaje y hace las modificaciones necesarias en su práctica de enseñanza para quelos estudiantes logren los aprendizajes establecidos en el presente Plan y los programasde estudio 2011. Por tanto, es el responsable de llevar a la práctica el enfoque formativoe inclusivo de la evaluación de los aprendizajes.

El seguimiento al aprendizaje de los estudiantes se lleva a cabo mediante laobtención e interpretación de evidencias sobre el mismo. Éstas le permiten contarcon el conocimiento necesario para identificar tanto los logros como los factores queinfluyen o dificultan el aprendizaje de los estudiantes, para brindarles retroalimentacióny generar oportunidades de aprendizaje acordes con sus niveles de logro. Para ello, es

necesario identificar las estrategias y los instrumentos adecuados al nivel de desarrolloy aprendizaje de los estudiantes, así como al aprendizaje que se espera.Algunos de los instrumentos que pueden utilizarse para la obtención de evidencias son:

• Rúbrica o matriz de verificación;• Listas de cotejo o control;• Registro anecdótico o anecdotario;



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• Observación directa;• Producciones escritas y gráficas;• Proyectos colectivos de búsqueda de información, identificación de problemáticas

y formulación de alternativas de solución;• Esquemas y mapas conceptuales;• Registros y cuadros de actitudes de los estudiantes observadas en actividades colectivas;• Portafolios y carpetas de los trabajos;• Pruebas escritas u orales.

Durante el ciclo escolar, el docente realiza o promueve diversos tipos deevaluaciones tanto por el momento en que se realizan, como por quienes intervienenen ella. En el primer caso se encuentran las evaluaciones diagnósticas, cuyo fin esconocer los saberes previos de sus estudiantes e identificar posibles dificultadesque enfrentarán los alumnos con los nuevos aprendizajes; las formativas, realizadasdurante los procesos de aprendizaje y enseñanza para valorar los avances y el procesode movilización de saberes; y las sumativas, que tienen como fin tomar decisionesrelacionadas con la acreditación, en el caso de la educación primaria y secundaria, noasí en la educación preescolar, en donde la acreditación se obtendrá por el hecho dehaberlo cursado.

El docente también debe promover la autoevaluación y la coevaluación entre susestudiantes, en ambos casos es necesario brindar a los estudiantes los criterios deevaluación, que deben aplicar durante el proceso con el fin de que se conviertan enexperiencias formativas y no únicamente en la emisión de juicios sin fundamento.

La autoevaluación tiene como fin que los estudiantes conozcan, valoren y secorresponsabilicen tanto de sus procesos de aprendizaje como de sus actuaciones ycuenten con bases para mejorar su desempeño.

Por su parte, la coevaluación es un proceso donde los estudiantes además aprendena valorar el desarrollo y actuaciones de sus compañeros con la responsabilidad que esto

conlleva y representa una oportunidad para compartir estrategias de aprendizaje ygenerar conocimientos colectivos. Finalmente, la heteroevaluación dirigida y aplicadapor el docente tiene como fin contribuir al mejoramiento de los aprendizajes de losestudiantes mediante la creación de oportunidades para aprender y la mejora de lapráctica docente.




De esta manera, desde el enfoque formativo e inclusivo de la evaluación,independientemente de cuándo se lleven a cabo -al inicio, durante el proceso o alfinal de éste-, del propósito que tengan -acreditativas o no acreditativas- o de quienesintervengan en ella -docente, alumno o grupo de estudiantes- todas las evaluacionesdeben conducir al mejoramiento del aprendizaje de los estudiantes y a un mejordesempeño del docente. La evaluación debe servir para obtener información que permitaal maestro favorecer el aprendizaje de sus alumnos y no como medio para excluirlos.

En el contexto de la Articulación de la Educación Básica 2011, los referentes parala evaluación los constituyen los aprendizajes esperados de cada campo formativo,asignatura, y grado escolar según corresponda y los estándares de cada uno de loscuatro periodos establecidos: tercero de preescolar, tercero y sexto de primaria ytercero de secundaria.

Durante el ciclo escolar 2011-2012 se llevará a cabo en algunas escuelas unaprueba piloto en donde se analizará una boleta para la educación básica que incluiráaspectos cualitativos de la evaluación. De sus resultados dependerá la definición delinstrumento que se aplicará a partir del ciclo escolar 2012-2013.

Estándares curricularesLos estándares curriculares son descriptores del logro que cada alumno demostraráal concluir un periodo escolar en Español, Matemáticas, Ciencias, Inglés y HabilidadesDigitales. Sintetizan los aprendizajes esperados que en los programas de educaciónprimaria y secundaria se organizan por asignatura-grado-bloque, y en educaciónpreescolar se organizan por campo formativo-aspecto. Imprimen sentido detrascendencia al ejercicio escolar.

Los estándares curriculares son equiparables con estándares internacionales y, enconjunto con los aprendizajes esperados, constituyen referentes para evaluaciones

nacionales e internacionales que sirven para conocer el avance de los estudiantesdurante su tránsito por la Educación Básica, asumiendo la complejidad y gradualidadde los aprendizajes.

Los aprendizajes esperados y estándares constituyen la expresión concreta de lospropósitos de la Educación Básica, a fin de que el docente cuente con elementos paracentrar la observación y registrar los avances y dificultades que se manifiestan con



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ellos, lo cual contribuye a dar un seguimiento y apoyo más cercano a los logros deaprendizaje de los alumnos.

Cuando los resultados no sean los esperados, será necesario diseñar estrategiasdiferenciadas, tutorías u otros apoyos educativos para fortalecer los aspectos en losque el estudiante muestra menor avance.

Asimismo, cuando un estudiante muestre un desempeño significativamentemás adelantado de lo esperado para su edad y grado escolar, la evaluación será elinstrumento normativo y pedagógico que determine si una estrategia de promociónanticipada es la mejor opción para él.



EI.

NFOQUE DEL CAMPO DE FORMACIÓN



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En los Planes y Programas de Estudio de 2011, la disciplina de las matemáticas se ubicaen el campo de formaciónPensamiento matemático, con el objetivo de adoptar diversas“miradas” para entender entornos sociales, resolver problemas y fomentar el interés porlas Matemáticas a lo largo de la vida. El propósito es que las orientaciones pedagógicas ydidácticas destaquen el pensamiento matemático en estrecha relación con el desarrollo decompetencias, el cumplimiento de estándares y la adopción del enfoque didáctico.

Se ha mantenido la organización de la asignatura a través de los ejes:Sentido numéricoy pensamiento algebraico; Forma, espacio y medida; y Manejo de la información; los cualesse caracterizan por los temas y contenidos a desarrollar, como así también, por el tipo depensamiento matemático a potenciar en cada uno de ellos. Sin embargo, resulta significativoreconocer que, por su naturaleza, habrá nociones matemáticas que se presentan en más deun eje. Las diferencias se podrán reconocer en el uso que se hace de ellas, por medio de susrepresentaciones y de sus contextos de aplicación.

El caso más característico, en los tres años de la educación secundaria, es el uso dela noción de proporcionalidad, incluso para discutir y construir lo que no es proporcional.Dependiendo del eje en el que se trabaje dicha noción, así como de la situación problema yel contexto donde se le requiera como herramienta matemática, puede usarse para calcularuna constante de proporcionalidad, un valor faltante o una razón de cambio constante.

Otro punto a señalar, relacionado con el manejo de temas y contenidos, es que aun dentrode un mismo eje es posible reconocer el tipo de pensamiento matemático que demanda elproblema a resolver, ya que de esto dependerá el significado que adquieran las herramientasmatemáticas construidas. Por ejemplo, el eje de Manejo de la informaciónincluye temasy contenidos relacionados con la graficación de funciones, el registro de frecuencias y elanálisis de eventos azarosos; situaciones cuyo estudio se asocia al desarrollo del pensamientovariacional, estadístico y probabilístico, respectivamente. Por este motivo, las situaciones

que se exponen más adelante como ejemplos de las orientaciones, se basan en el desarrollode pensamientos matemáticos específicos, asociados a ciertos temas, y cuyas técnicasmatemáticas y sus significados están vinculados a la situación que resuelven.

Por ejemplo, la técnica matemática para calcular la tangente de un ángulo es equivalentea la técnica matemática para calcular la pendiente de una recta. Sin embargo, la primera




De una situación problema a una situación deaprendizaje

Un diseño didáctico constituye una situación problema si plantea un conflicto para quien loaborda, pero lo encamina en un proceso de pensamientos de resolución que permitan superarel conflicto y construir nuevos conocimientos. Hacer de ésta una situación de aprendizajerequiere de la intervención de quien, intencionalmente, busca la construcción de conocimientopor parte de quien la enfrenta. Una situación de aprendizaje puede caracterizarse como laarticulación de una situación problema y un contrato didáctico1 (Montiel, 2005), es decir,exige la consideración de la interacción del sistema didáctico como una unidad indivisible, ala luz de las actividades que demande la situación problema.

Esto presupone que la intervención del profesor, desde el diseño y la planeación, hastael momento en que se lleva a cabo la experiencia de aula, está presente para potenciar losaprendizajes que lograrán las y los estudiantes, es decir, para tener control de la actividaddidáctica y del conocimiento que se construye. (Alanís et al, 2008).

1 En el sentido de Brousseau (1997), como las interacciones implícitas y explícitas entre la y el profesor y la y elestudiante, en relación a un saber matemático escolar en particular.



II.

LANIFICACIÓNP



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La elección de la situación problema y la organización de su puesta en escena requieren dela planeación y la previsión de comportamientos (estrategias, habilidades, dificultades, entreotras) de las y los estudiantes para hacer de la experiencia una situación de aprendizaje.

Por ejemplo, el uso de problemas prácticos (comúnmente llamados‘de la vida real’), evoca un lenguaje cotidiano para expresar las

interpretaciones personales y a partir de éstas, es que reconoce el fondo de conocimientos, que también pueden incluir conocimientos

matemáticos relacionados con el aprendizaje esperado.

El paso a una interpretación formal, usando lenguaje matemático, requiere de ejerciciosde cuantificación, de registro, de análisis de casos y de uso de distintas representaciones parafavorecer que todas las interpretaciones personales tengan un canal de desarrollo de ideasmatemáticas. En particular, será la misma práctica la que denotará la necesidad de emplearun lenguaje matemático específico, con el fin de comunicar los resultados de una actividad,argumentar y defender sus ideas, o utilizarlo para resolver nuevas situaciones problema. Losresultados obtenidos por las y los estudiantes tendrán nuevas preguntas para provocar lateorización2 de las actividades realizadas en la ejercitación previa, dando pie al uso de lasnociones matemáticas escolares relacionadas al tema y a los contenidos. Es decir, éstas entranen juego al momento de estudiar lo que se ha hecho, son herramientas que explican un procesoactivo del estudiante, de ahí el sentido de construcción de conocimiento, pues emergen comonecesarias en su propia práctica.

Una vez que se tenga cierto dominio del lenguaje y las herramientas matemáticas es necesarioponerlos en funcionamiento en distintos contextos, lo cual favorece la identificación de susfuncionalidades. Sin embargo, es recomendable considerar contextos en los que la herramienta

matemática sea insuficiente para explicar y resolver un problema. Continuando con el ejemploya mencionado de la proporcionalidad, una vez construida su noción y dominadas las técnicas decálculo del valor faltante, el cálculo de razón de proporcionalidad, etc., es necesario confrontarlascon aquellos sucesos que no son proporcionales, ya sea para profundizar en la comprensión de lasmismas, como también, para generar oportunidades de introducir nuevos problemas.

1 Hablamos de teorizar desde el planteamiento de Moulines (2004) como la actividad humana de formar conceptos,principios y teorías con el propósito de comprender el mundo que nos rodea.



III.

RGANIZACIÓN DE AMBIENTESDE APRENDIZAJEO




R ealmente un ambiente de aprendizaje es un sistema interactivo complejo que involucramúltiples elementos de diferentes tipos y niveles, que si bien, no se pueden controlar porcompleto, tampoco pueden soslayar su influencia en el aula. Así, las variables sociales,culturales y económicas, como las cuestiones de equidad de género o de inclusión de lasminorías - las capacidades diferentes y las inteligencias múltiples- deben ser atendidascon base en estrategias didácticas de contextualización de las situaciones problema y conconsideraciones profesionales3 sobre el contacto personal con las y los estudiantes.

El reconocimiento de la población estudiantil, del escenario escolar y las posibilidadesque éste brinda, serán elementos fundamentales para preparar la experiencia de clase.Por ejemplo, determinar si es posible usar alguna herramienta tecnológica o materialesmanipulables, ocupar espacios alternativos al salón de clases (laboratorios, patios) o solicitara las y los estudiantes hacer alguna búsqueda de datos fuera de la escuela (en periódicos ohaciendo encuestas), etc. Todas y todos los estudiantes han de contar con los materiales y lasherramientas suficientes para llevar a cabo la experiencia de clase.

Las y los estudiantes deben tener la experiencia del trabajo autónomo, el trabajocolaborativo y la discusión, así como también, la reflexión y la argumentación grupal, con elfin de propiciar un espacio en el cual, el respeto a la participación, al trabajo y a la opinión delas y los compañeros, sean fomentados por las y los propios estudiantes, bajo la intervenciónde la o el docente; dando así la oportunidad de reconocer como válidas otras formas de

pensamiento. En las clases de matemáticas esto seevidencia cuando, por ejemplo, los argumentos sepresentan en formas (matemáticas) diversas, peroconvergen en una misma idea. Las explicaciones ylos argumentos en contextos numéricos, algebraicoso gráficos habrán de valorarse por igual, y será con la

intervención de la o el docente que se articulen paradarle coherencia a los conceptos matemáticos.

3 Por ejemplo, con el uso de los resultados de la investigación en Matemática Educativa que atienden a estos factoresdentro del diseño y la intervención didáctica. Al final de las orientaciones se presenta un listado de las páginaselectrónicas de algunas revistas especializadas que pueden ser de utilidad



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En una situación de aprendizaje, las interacciones son específicas del saber matemático en juego, es decir, los procesos de transmisión y construcción de conocimiento se condicionan por los usos y los significados del saber que demanda la situación problema.

Los procesos de transmisión de conocimiento, vía la enseñanza, están regulados porel Plan de estudios, los ejes, los temas, los contenidos, las competencias y, actualmente,por los estándares que en conjunto orientan hacia el cómo enseñar un saber matemáticoparticular. Hablar de didáctica en el campo de formación conlleva a considerar tambiéncómo se caracteriza el proceso de construcción por parte de las y los estudiantes, es decir,reconocer las manifestaciones del aprendizaje de saberes matemáticos específicos.

Al ejemplificar a grandes rasgos con la noción de proporcionalidad se encuentran, dentrode los tres ejes, -en sus temas y sus contenidos-, elementos que orientan su enseñanza,a saber: tipos de problemas, situaciones contextualizadas, lenguaje y herramientasmatemáticas, entre otros. Se reconoce el desarrollo del pensamiento proporcional en la yel estudiante cuando identifica, en un primer momento, una relación entre cantidades y laexpresa como“a más-más” o “a menos-menos”. La situación de aprendizaje y la intervenciónde la o el profesor lo confrontan con un conflicto para que reconozca que también hay

proporcionalidad en una relación“a más-menos”o en una “a menos-más”, como es el casode la función y= -x. Para validar las relaciones identificadas será necesario plantear a la y elestudiante actividades que favorezcan la identificación delcómo se relacionan éstas, con elobjetivo de caracterizar formalmente la proporcionalidad y el uso de técnicas como la reglade tres.

Consideraciones didacticas




En conclusión, es importante que la o el docente reconozca, en la y el estudiante, lasconstrucciones que son propias del aprendizaje esperado. Una fuente importante de recursosde apoyo para identificarlas son las revistas especializadas, varias de ellas enlistadas al

final de las orientaciones. En cada uno de los ejemplos ofrecemos orientaciones particularesasociadas al contenido.



E

IV.

VALUACIÓN




La evaluación es entendida como un proceso de registro de información sobre el estadode los conocimientos de las y los estudiantes, cuyo propósito es orientar las decisiones delproceso de enseñanza en general y del desarrollo de la situación de aprendizaje en particular.En estos registros, vistos como producciones e interacciones de las y los estudiantes, seevaluará el desarrollo de ideas matemáticas, que emergen en formas diversas: verbales,gestuales, icónicas, numéricas, gráficas y, por supuesto, mediante las estructuras escolaresmás tradicionales como son por ejemplo las fórmulas, las figuras geométricas, los diagramas,las tablas.

Para valorar la actividad del estudiante y su evolución, hasta lograr elaprendizaje esperado, será necesario contar con su producción en

las diferentes etapas de la situación de aprendizaje.

La evaluación considera si el estudiante se encuentra en la fase inicial, donde se pone enfuncionamiento su fondo de conocimientos; en la fase de ejercitación, donde se llevan a cabolos casos particulares y se continúa o se confronta con los conocimientos previos; en la fasede teorización, donde se explican los resultados prácticos con las nociones y las herramientasmatemáticas escolares; o finalmente, si se ubica en la fase de validación de lo construido.

Es decir, se evalúa gradualmente la pertinencia del lenguaje y las herramientas paraexplicar y argumentar los resultados obtenidos en cada fase. De manera sucinta, en cada unode los ejemplos se dan indicaciones concretas para la evaluación.

Durante un ciclo escolar, el docente realiza diversos tipos de evaluaciones: diagnósticas,con el objeto de conocer los saberes previos de sus alumnos; formativas, durante el procesode aprendizaje, para valorar los avances, y las sumativas, con el fin de tomar decisiones

relacionadas con la acreditación de sus estudiantes. Los resultados de la investigación han destacado el enfoque formativo de la evaluacióncomo un proceso que permite conocer la manera en que los estudiantes van organizando,estructurando y usando sus aprendizajes en contextos determinados, para resolver problemas



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de distintos niveles de complejidad y de diversa índole. Desde el enfoque formativo, evaluarno se reduce a identificar la presencia o ausencia de algún fragmento de información paradeterminar una calificación, pues se reconoce que la adquisición de conocimientos por sí solano es suficiente ya que es necesaria también la movilización de habilidades, valores y actitudespara tener éxito, puesto que éste es un proceso gradual al que debe darse seguimiento yapoyo.

En el nuevoPlan de estudios se establece que la o el docente es el encargado de laevaluación de los aprendizajes de las y los estudiantes de Educación Básica y, por tanto, esquien realiza el seguimiento, crea oportunidades de aprendizaje y hace las modificacionesnecesarias en su práctica de enseñanza para que las y los estudiantes logren los estándarescurriculares y los aprendizajes esperados establecidos en elPlan de estudios. Por lo tanto,es la o el responsable de llevar a la práctica el enfoque formativo de la evaluación de losaprendizajes.

Un aspecto que no debe obviarse en el proceso de evaluación es el desarrollo decompetencias. La noción de competencia matemática está ligada a la resolución de tareas,retos, desafíos y situaciones de manera autónoma. Implica que las y los estudiantes sepanidentificar, plantear y resolver diferentes tipos de problemas o situaciones. Por ejemplo,problemas con solución única, otros con varias soluciones o ninguna solución; problemas enlos que sobren o falten datos; problemas o situaciones en los que sean las y los estudiantesquienes planteen las preguntas. Se trata también de que ellas y ellos sean capaces de resolverun problema utilizando más de un procedimiento, reconociendo cuál o cuáles son más eficaces;o bien, que puedan probar la efectividad de un procedimiento al cambiar uno o más valoresde las variables o el contexto del problema, para generalizar procedimientos de resolución.




Actitud hacia las matemáticas

Con el propósito de fomentar una actitud positiva hacia las matemáticas en estudiantes queestán en una etapa de cambios físicos y emocionales complejos, recomendamos a la y eldocente la búsqueda, exposición y discusión de anécdotas históricas y noticias de interés parala sociedad actual. Esta propuesta pretende darle a las matemáticas un lugar en la vida delestudiante, en su pasado y en un posible futuro, mostrándolas como producto de la actividadhumana en el tiempo y como una actividad profesional que acompaña al mundo cambiante enel que vivimos (Buendía, 2010). En este sentido, las notas no necesariamente tienen que estarrelacionadas con el tema abordado en clase, pero sí con problemáticas sociales que afectanla vida de la y el estudiante.

Por ejemplo, ver la siguiente nota extraída de un periódico de circulación nacional:

Desarrollan modelos matemáticos pararepresentar daños sísmicos en el DF

F uente/ Academia L unes 19 de Abril, 2010/modificación: 01:54

F OTOS: APIAcadémicos de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica del Instituto Poli técnico Nacional (ESIME-IPN), encabezadospor Alexander Balankin, desarrollan comportamientos matemáticos que permit an contar con un programa de monitoreo r elacionadocon eventos sísmicos, basados en el comportamiento del subsuelo, y así prevenir desastres.“Trabajamos en predicción, en problemas de aguas subterráneas y en sus posibles soluciones para disminuir la gravedad de losdesastres, refirió Balankin”.La investigación financiada desde el 2009 por el Gobierno del Distrito Federal, a través, del instituto de Ciencia y Tecnología,conjunta la información de los sismos que se registran en la zona –epicentro, coordenadas, latitud, altitud, magnitud y tiempo de

duración- con datos del subsuelo de la ciudad.“Con ello es posible crear modelos matemáticos, los cuales posteriormente son transformados en lenguaje computacional y medianteun tratamiento virtual se pueden modelar los suelos”, abundó.El modelo generado funciona, añadió, como una sonda para detectar los diferentes estratos y el movimiento del fluido a través delsubsuelo. “Para entenderlo, dividimos el suelo en partes pequeñas, estudiamos los diferentes estratos del suelo ya que nos todos soniguales”, explicó por su parte Didier Samayoa, de la ESIME.Los resultados premitirán predecir las zonas que se verán afectadas con mayor intensidad, para que de esta manera la Secretaría deProtección Civil pueda tomar acciones al respecto y tratar de disminuir los efectos catastróficos de los sismos. “Mediante modelos,hemos obtenido resultados similares a lo ocurrido en la realdad, se ha trabajo con datos históricos que se reprodujeron en el simula-dor, lo cual prueba que nuestro modelo es correcto”.

Todos los derechos reservados (símbolo) La Crónica de Hoy



0


Anualmente, el 19 de Septiembre de 1985 es recordado en los diferentes medios de comunicacióndel país por el sismo que destruyó una parte significativa de la Ciudad de México, el cual,desde entonces representa un suceso en la memoria colectiva, pero también una preocupaciónlatente de los habitantes de esta ciudad. En este hecho radica la importancia de reconocer el

papel que juega la ciencia en general y, para el caso de esta nota, la matemática en particularen la atención de problemas actuales que pueden afectar, directamente, la vida de las y losmexicanos. Poner énfasis, además, en que estas actividades científicas se llevan a cabo eninstituciones mexicanas, brinda al estudiante un espacio de oportunidad para la elección deuna carrera profesional, en un futuro próximo.



O

V.

RIENTACIONES PEDAGÓGICAS YDIDÁCTICAS. EJEMPLOS CONCRETOS




En esta sección se presentan ejemplos de situaciones de aprendizaje que ilustran eldesarrollo de distintos tipos de pensamiento matemático, poniendo en funcionamiento lapropuesta pedagógica del enfoque actual. Es decir, mostrando cómo se gesta la construcciónde ideas, argumentos, explicaciones y conocimientos matemáticos a lo largo de la situacióny no sólo como el resultado de la resolución de un problema.

En este sentido los ejemplos sugieren y no necesariamente establecen, en tanto ésteno es un libro de texto, los posibles año(s), bloque(s), eje(s), tema(s) y/o aprendizaje(s)esperado(s) que pueden abarcarse al llevar a cabo la situación. La propuesta principal es darevidencia, con ejemplos concretos de la matemática escolar, de la factibilidad de llevar acabo el planteamiento didáctico-pedagógico desarrollado en las secciones previas.

Consultar revistas especializadas, como las que se enlistan al final de este documento, puede ampliar el panorama del por qué ejemplificar el nuevo enfoque con temas tanconcretos. Considerar las dificultades propias de su aprendizaje, los significadossituacionales que adquieren y los procesos de institucionalización que requieren lasnociones matemáticas escolares, permite reconocer con mayor facilidad el tipo de

pensamiento matemático que demanda resolver las situaciones de aprendizaje quediseñe y organice la o el docente.



PRIMER GRADO




AÑO: Primero

BLoquE: I, II, III y V

ComPEtEnCiaS:Resolver problemas de manera autónoma, comunicar informaciónmatemática, validar procedimientos y resultados y utilizar las técnicase cientemente.

EjE: Manejo de la información.

tEma: Proporcionalidad y funciones.

ContEniDo:

• Resolución de problemas de reparto proporcional.• Identi cación y resolución de situaciones de proporcionalidad

directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, confactores constantes fraccionarios.

• Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros ofraccionarios.

aPrEnDizajESESPEraDoS:

Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valorfaltante”, en los que la razón interna o externa es un númerofraccionario.

ESt nDarES: Soluciona problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversao múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto.

Ejemplo 1



8


ingrEDiEntE CantiDaD DE mL.Por BotELLa

PrECio

Alcohol 500 ml. $ 200

Perfume 50 ml. $ 200

La siguiente propuesta tiene la intención de propiciar en las y los estudiantes unareflexión acerca de los significados asociados a la noción de reparto proporcional, en dondelo proporcional se reconoce en el tipo de relación existente entre las variables involucradasen un problema y se indaga sobre el “cómo es la relación” que existe entre las variables.

Se recomienda formar equipos entre las y los estudiantes para la resolución de la situacióny su posterior discusión grupal cuando la o el docente lo considere pertinente.

Momento 1Amanda quiere regalar a su mamá una esencia de perfume para su cumpleaños y lo quiereelaborar ella misma. Para esto buscó en Internet distintas opciones para hacerlo y eligió lasiguiente:Para obtener 120 ml de esencia de perfume se tiene que mezclar 20 ml del perfume elegidocon 100 ml de alcohol.Amanda fue a una tienda a comprar los ingredientes y se encontró con la siguiente tabla deprecios:

Luego de consultar, el encargado le dijo que podía llevar sólo la cantidad que necesitara paracomponer su perfume. Esa fue su decisión: sólo llevó lo necesario.

• Cuando Amanda fue a la caja para pagar le cobraron $100. ¿Consideras que le cobraron demanera correcta? ¿Por qué?

• Si Amanda comprase la botella de alcohol y la de esencia ¿Cuántos frascos de 120 ml puedehacer? Argumenta tu respuesta.

• ¿Qué cantidad de ingredientes necesita para hacer tres frascos?




Orientaciones didácticas. En la primera pregunta se espera que la o el estudiante puedahacer uso de la “regla de tres simple” respecto a las distintas cantidades que se necesitandel producto, como la utiliza habitualmente, para corroborar la fiabilidad del cobro hecho.En tanto que la segunda y tercera pregunta tienen el propósito de generar una confrontacióncon la noción cotidiana de tal regla, la cual normalmente es usada para encontrar patronesde los comportamientos de una sola variable (“si con $100 se elabora una frasco de esencia,entonces con $300 se pueden elaborar tres frascos”) sin percatarse de que la relación no esentre el costo y la cantidad de productos, sino, entre los componentes que lleva el producto(“a lo más pueden hacerse dos frascos de esencia, ya que la botella de perfume solamentecontiene 50 ml, y para cada frasco de esencia se requiere 20 ml”).

Como ya hemos mencionado anteriormente, la o el docente es quien da vida a la situaciónpropuesta, ofreciendo las orientaciones pertinentes tanto a las cuestiones que surjan porparte de las y los estudiantes, como a las reflexiones que se generen en la puesta en comúnde las distintas argumentaciones que fundamentan las respuestas obtenidas.

Sin embargo, en este primer momento no se hace evidente el tipo de relación entre lasvariables. Este precisamente será el propósito de lo siguiente.

En resumen, se trata, en esta primera parte, de pasar de una noción de proporciónligada al manejo de los cambios asociados a una sola variable, hacia el reconocimientode la existencia de la relación entre dos de ellas. Esto a través del abordaje autónomoy grupal de las preguntas y su consecuente validación.



0


Momento 2Orientaciones didácticas. Se sugiere a la o el docente solicitar a los estudiantes que completenla siguiente tabla:

CantiDaD DE

ESEnCia DEPErfumE (mL.)

CantiDaD DE

mL. PErfumE(mL.)

CantiDaD DE

aLCohoL (mL.)

120

90

240

180

300

CantiDaD DEPErfumE (mL.)

120

240

480

La tabla presenta valores alternados de cantidades de esencia con el fin de que noaparezcan en forma lineal. Si, por ejemplo, la tabla fuera:

Esto pudiera provocar que las y los estudiantes sólo vieran la relación que existe en elcrecimiento individual de cada variable y no la relación entre ellas, lo que es una característicaque determina la proporcionalidad.




En este sentido, la intencionalidad didáctica que persigue el análisis de la tabla es responderse lapregunta: ¿Cómo es la relación entre las variables? Cuyo objetivo es buscar que la y el estudiante puedanidentificar, a través de la reflexión promovida por la o el profesor, que la relación entre la cantidad dealcohol y la cantidad de esencia con la que se elabora el perfume es constante, lo que se denomina“constante de proporcionalidad”.

Para generar estas reflexiones se recomienda la siguiente secuencia de preguntas:

• ¿Qué relación encuentras entre los 180 ml de cantidad de perfume y la cantidad deesencia que le corresponde?

• ¿Existe alguna relación entre los 30 ml de esencia y los 150 ml de alcohol? ¿Y entrelos 50 ml de esencia y los 250 ml de alcohol?

• ¿Cómo es la relación que existe entre los 240 ml de perfume y las cantidades deingredientes (40 ml de esencia y 200 ml de alcohol)?

• ¿Qué relación observas entre la cantidad de perfume y la cantidad de esencia?Argumenta tu respuesta.

• ¿Qué relación observas entre la cantidad de perfume y la cantidad de ingredientes?Fundamenta tu respuesta.

• ¿Qué relación observas entre la cantidad de esencia y la cantidad de alcohol?Sustenta tu respuesta.

• ¿Qué diferencia observas entre las tres relaciones anteriores? Argumenta tu respuesta.• ¿Puedes expresar de alguna manera las relaciones anteriores?

La secuencia aquí presentada comienza indagando sobre la relación de valores específicos, continúaexplorando la relación entre variables basándose en las argumentaciones y finaliza averiguando la

generalización de esa relación. Una respuesta esperada por parte de las y los estudiantes es que observenque la relación que existe entre los valores de las variables es que “la cantidad de alcohol es mayor quela cantidad de perfume”, las cuales se superarán incitando a las y los estudiantes a buscar otro tipo derelaciones, ya que esta sí es correcta, sólo que en estas preguntas se explorarán más de un tipo de relación,para luego preguntarse, cómo es dicha relación, que en suma, constituye la esencia de la proporcionalidad.




Ejemplo 2

AÑO: Primero

BLoquE: IV

ComPEtEnCiaS:Resolver problemas de manera autónoma, comunicar informaciónmatemática, validar procedimientos y resultados, utilizar las técnicase cientemente.


tEma: Proporcionalidad y funciones.

ContEniDoS:• Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.• Estudio de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad,

en particular en una reproducción a escala.

ESt nDarES: Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa omúltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto.

Este ejemplo, junto al anterior, dentro del mismo eje y tema, tienencomo estándares curriculares que las y los estudiantes resuelvan

problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversas omúltiple, como porcentajes y escalas.



4


Se intenta promover no sólo la aplicación de fórmulas preestablecidas, sino la búsqueday organización de datos que permitan que la y los estudiantes sean competentes enla obtención de información necesaria y suficiente, y en la resolución de problemasrelacionados con ello.

En esta situación de aprendizaje se plantea la necesidad del uso de nociones matemáticascomo las escalas, el reparto proporcional, la multiplicación o la división de números racionalescomo medio para la resolución y la consecuente construcción de conocimiento por parte delas y los estudiantes (por ejemplo: emplear procesos de búsqueda, organización, análisis einterpretación de datos; elegir la forma más adecuada de organizar y representar los datospara comunicar la información matemática; identificar conjuntos de cantidades que varíano no proporcionalmente, calcular valores faltantes y porcentajes; expresar e interpretarmedidas de distintos tipos de unidades; usar fórmulas para calcular perímetros y áreas dediferentes figuras). Es decir, es precisamente en la manipulación de las nociones puestas enjuego, a través de un proceso de formulación y validación de conjeturas, que éstas adquierenun significado en las y los alumnos.




Momento1. Elección del presupuesto más económico

Doña Elena quiere remodelar su casa invirtiendo, debido a la crisis, la menor cantidad dedinero posible. El plano de su casa es el siguiente:

La altura de la casa es de 2.5 metros.

Ella desea arreglar los ambientes de su casa de la siguiente manera:

• En el baño quiere colocar lozas en el piso y pintar sus paredes y el techo.• A la habitación matrimonial quiere instalarle una alfombra que cubra todo el piso y pintar

las paredes.• En la habitación individual pretende cambiar lozas en el piso y pintar también sus paredes.

Figura 1. Plano de la casa de Doña Elena conuna escala de 1:100 .



6


Fue a la tienda a preguntar los precios y le dijeron que:

Para la pintura:• Un envase de 4 litros de la marca “La colorada”, cuesta $286 con un

rendimiento para pintar 15 m2 y solamente requiere de una mano paracubrir la superficie.

• Un envase de 6 litros de la marca “Huacho Marín”, tiene un costo de $429y su rendimiento es de 22.5 m2 y requiere también solamente de una manopara cubrir la superficie.

Para las lozas:• Una caja “Durex” de 10 piezas de 20 cm de lado cada una, tiene un costo de $890.• Una caja “Axes” de 10 piezas de 40 cm de lado cada una, tiene un costo de $1780.

Para la alfombra:• La alfombra “Guerrero” tiene un costo de $99 el metro cuadrado.• La alfombra “Alepina” tiene un costo de $125 el metro cuadrado.

¿Qué pintura, lozas y alfombra tiene que elegir Doña Elena para que el presupuesto sea el máseconómico?¿Cuál es el monto del presupuesto final?

Diseña un informe detallado en donde se le diga a Doña Elena cuál y por qué esel presupuesto más económico.




Orientaciones didácticas. En la planeación de esta actividad han sido considerados losconceptos base de las y los estudiantes, es decir, el fondo de conocimientos, tanto cotidianoscomo matemáticos, que les permiten darle un sentido a las actividades propuestas. Porejemplo, en esta ocasión además de considerar nociones matemáticas como escala, repartoproporcional, multiplicación y división de números racionales, entre otras, se toman encuenta algunas nociones cotidianas como el ahorro, la optimización y la selección funcional,que son aspectos relacionados al manejo propio de la información. Se trata, en suma, depromover en las y los estudiantes la capacidad de transformar ciertos datos en informaciónsuficiente para poder solucionar problemas específicos.

Así, la consideración de los conocimientos base para la planeación de la actividadanterior permite construir un ambiente de conflicto en donde las y los estudiantes puedanenfrentarse con sus propios conocimientos, reflexionar sobre su pertinencia y tomar decisionesen consecuencia, lo cual fortalece a la construcción de nuevos conocimientos, siendo éstoslos que conduzcan a dar respuesta al conflicto planteado. Por ejemplo, ante la pregunta decuál pintura conviene comprar pareciera, a simple vista, que lo que resulta más económicoes adquirir envases de 4 litros de pintura “La colorada”. Sin embargo, vemos que:

y obteniendo el valor unitario a través de la noción de reparto proporcional obtenemos:

Haciendo lo mismo para la pintura “Huacho Marín” observamos:

Por lo que su valor unitario es:

1 litro (la colorada) $ 71.5Tiene un precio de 3.75 m2y rinde

1 litro (H. Marín) $ 71.5Tiene un precio de

3.75 m2y rinde

4 litros (la colorada) $ 286Tiene un precio de 15 m 2y rinde

6 litros (H. Marín) $ 429 Tiene un precio de

22.5 m2y rinde



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Esto quiere decir que ambas pinturas tienen el mismo precio por litro, además decompartir las mismas características. Así, la decisión de cuál pintura comprar dependerá dela elección de la marca que hagan las y los estudiantes, ya que su precio no variará.

Respecto a la obtención de las medidas de la casa se espera que haya diferencias entrelas respuestas proporcionadas por las y los alumnos, lo que requerirá de una discusión,primero en equipos y luego de manera grupal, en donde justifiquen y validen sus respuestas.La intención es analizar las diferentes estrategias elaboradas para estabilizar la noción de“escala” asociada a la de “proporcionalidad”.

Una de las intenciones de la actividad es provocar la diferencia de opiniones. Esto noquiere decir que el o la docente no tenga un papel importante, sino todo lo contrario, yaque es quien orienta las discusiones, propone más preguntas en caso de que los estudiantesresuelvan rápido las incognitas, organiza al grupo según su propio contexto y funcionalidad,confronta diferentes opiniones; en síntesis, es el profesor quien da vida y dinamismo a lasactividades.

Para la elección de las cajas de lozas más económicas sucede una situación similar ala trabajada con la pintura. La eleccióndependerá tanto de las superficies quese requieren cubrir, como de fijarse quelas lozas “Axes” son cuatro veces lasuperficie de las lozas “Durex”.

Por último, pedir el diseño de uninforme que refleje las eleccioneshechas por el grupo tiene la intenciónde promover una reorganizacióny recuperación de las reflexiones

realizadas, en las que se tenga que elegirlas representaciones más adecuadaspara comunicar las ideas. Para esto serecomienda mantener los equipos de trabajo.




Ejemplo 3

AÑO:Primero

BLoquE: I, II, IV, V

ComPEtEnCiaS:Resolver problemas de manera autónoma, comunicar informaciónmatemática, validar procedimientos y resultados, utilizar las técnicase cientemente.

EjE: Sentido numérico y pensamiento algebraico.

tEma: Contenidos

númEroS y SiStEmaS DEnumEraCi n:

• Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escrituradecimal y viceversa.

• Planteamiento y resolución de problemas que impliquen lautilización de números enteros, fraccionarios o decimalespositivos.

ProBLEmaS aDitivoS

• Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más deuna operación de suma y resta de fracciones.

• Resolución de problemas aditivos en los que se combinan númerosfraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando losalgoritmos convencionales.


• Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa.• Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o

divisiones con fracciones y números decimales.• Soluciona problemas aditivos que conllevan el uso de números

enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

ESt nDarES:

• Resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios

a decimales y viceversa.• Solventa problemas que involucran el cálculo del mínimo comúnmúltiplo o el máximo común divisor.

• Soluciona problemas aditivos que obligan a efectuar cálculos conexpresiones algebraicas.



0


La siguiente situación retoma y replantea el diseño de Flores (2010). Este rediseñopermite a las y los estudiantes poner en juego herramientas como el análisis, la reflexión,comparación y contrastación de los elementos involucrados. El abordaje del planteamientodesde diferentes tipos de unidades puede proporcionar desafíos diferentes a las y losestudiantes.

Momento 1Indicaciones. Seis niños (Martín, Andrea, Joaquín, Lupita, Sergio y Mónica) se han reunido

para repartirse 4 barras de chocolate que poseen las siguientes formas:

Chocolate 1 Chocolate 2

Chocolate 3 Chocolate 4




Sólo que no se han puesto de acuerdo respecto a cómo realizar un reparto apropiado, ya que:

– Martín (dice): ¡Es mejor si se rifan los chocolates! Así podemos disfrutar de unocompleto, ¡eh!– Lupita (comenta): No me parece justo, algunos de nosotros no tendríamos chocolateque probar.– Sergio (agrega): ¿Por qué no pensamos en una forma de repartirlos de tal forma que atodos nos toque un pedazo?– Andrea (interrumpe): Me parece bien lo que dice Sergio, sólo que… ¿Cómo haremospara saber cuánto de los chocolates nos corresponde?– Joaquín (desconcertado añade): ¿Y cómo saber si eso es lo que realmente me toca?– Mónica (sonriendo dice): ¡Lo sabremos pronto!

Ayúdenles a estos niños a encontrar alguna manera de repartirse los chocolates.Argumenten sus respuestas y comparen los procedimientos obtenidos.

Orientaciones didácticas. En esta parte, el papel de la o el docente es muy importanteya que tendrá la oportunidad de organizar al grupo apoyándose en los comentarios, las dudaso inquietudes que surjan de las y los estudiantes, y con ello explicar el porque de las formasde los chocolates, si pueden tener otras formas, si pueden agregar más chocolates, si poseenel mismo tamaño, etcétera.



2


1

61

6

1

61

6

1

61

6

Chocolate 1

Momento 2

Orientaciones didácticas. La percepción que tengan de la realidad respecto al sentidoque cobra la “unidad” es trascendental para las y los estudiantes y la actividad permitirá quemiren a la unidad de diferentes maneras, por ejemplo, como 4 unidades de 1 ó como 1 unidadconformada de 4 partes. Esto, según teóricos como Lamon (1999), pone en acción conceptossólidos como el de “partición” y “equivalencia”.

Este planteamiento pretende dar cuenta de cómo el movimiento de unidad puedecausarle un conflicto serio a la y el estudiante si no logra percatarse de ese movimiento, dehecho, la literatura advierte que a la y el estudiante le es difícil darse cuenta de ello, deahí la intervención de la y el profesor para evidenciar las ideas previas que las y los alumnosdejan ver al argumentar sus propuestas de solución, ya sea al interior de los equipos o frenteal grupo.

La naturaleza de este planteamiento ha dado pie al menos a cuatro rutas para llegara su solución, las cuales se sugieren a la o al docente para que las promueva en los y lasestudiantes:

a) Que las y los estudiantes consideren cada pieza de chocolate como unaunidad. Por ejemplo, podría cuestionárseles:




¿Qué parte del total le corresponderá a cada niño?La respuesta claramente será de la unidad y hasta ahí no habría inconvenientes. Ahorabien, un segundo planteamiento podría ser ¿qué pasará con el segundo chocolate?

1

6

1

6

1

6

1

6

Chocolate 2

¿Qué parte del total le corresponde a cada niño?

Una primera acción de la y el estudiante podría ser indicar del total y un pedacito, pero,¿Qué parte del total representa ese pedacito ya sea de color amarillo o azul? ¿Representanlo mismo?

Habrá que ayudar a las y los estudiantes a reflexionar para que consideren los elementoshasta aquí puestos en juego y recurrir a la noción de operador.

Siguiendo con este mismo procedimiento, al final podría especificar la respuesta de las ylos estudiantes preguntándoles ¿Qué parte del total de cada chocolate le corresponde a cadaestudiante?

Posiblemente las y los estudiantes eviten trabajar con las fracciones recurriendo a losnúmeros decimales (números con los cuáles consideran que obtendrán aproximaciones, sobretodo con las fracciones que no son exactas).

En esta parte la o el profesor podrá darse cuenta del avance que las y los estudiantesalcanzan al trabajar suma, multiplicación y división de fracciones y de manera muy especialse debe poner atención a la estrategia que utilizan las y los estudiantes para dividir una parteen otras partes (parte - parte) ya que algunos podrán realizarlo desde la figura pero no podránescribirlo como fracción.

16

18



4


Si se sigue esta ruta para encontrar solución, al final se tendría que sumar la parte decada chocolate para encontrar cuánto le corresponde a cada niño por chocolate y de todoslos chocolates.

b) Que las y los estudiantes se apoyen en la noción de equivalenciaPor su parte Lamon (1999) destaca esta noción porque las raíces de su comprensión van másallá de las fracciones.

Las y los estudiantes podrían optar por dividir cada chocolate en partes iguales apoyándoseen la noción de equivalencia, para lo que tendrían que decidir, entre los diferentes tipos departiciones, qué conviene más: dividir en sextos, octavos, catorceavos o décimos. De ahíla importancia de la intervención de la o el profesor para orientar su decisión ya que ellaso ellos deberán reflexionar ¿qué unidad les convienen manejar y cómo harían ese cambiode equivalencias?, ya que podrían sugerirles –si se da el caso– apoyarse de las figuras ode operaciones o de ambos para generar las equivalencias, lo cual implica necesariamenterealizar un pasaje entre representaciones.

c) Que las y los estudiantes puedan mirar a los 4 chocolates como unaunidad completaÉsta sería una de las ideas más complejas para desarrollar en la o el estudiante, para ello almenos tendrían que haber trabajado algunas de las dos rutas anteriores procurando que lapercepción de las y los estudiantes se haya “trastocado”. Si alguno de las y los estudiantes seda cuenta y plantea la solución, significa que tiene muy clara la unidad, vista de dos formas:a los 4 chocolates como una unidad completa y al mismo tiempo que cada chocolate formaparte de la unidad completa y que también es una unidad. Ya que los chocolates tienen lamisma forma y tamaño, podrían verse así:




La discusión es generada por la forma en que se encuentran divididos cada uno de loschocolates.

Una vez que otras rutas han sido exploradas, la o el profesor puede sugerir esta últimaforma y redireccionar la percepción del estudiante acerca de la noción de unidad, pues ahoralas y los estudiantes podrían utilizar una nueva unidad bajo la cual también pueden arribara una solución del reparto solicitado, sólo que el proceso no es fácil de asimilar para ellasy ellos.

d) Que las y los estudiantes identi quen posibilidades para llegar a unasolución del problema mediante la recta numéricaEsta última, al parecer podría volverse compleja si las otras tres no han sido explícitaso claras para la o el estudiante. Ya que después de haber trabajado con figuras y habergenerado representaciones aritméticas, ahora tendría que transformar sus resultadosen segmentos para ser ubicados y analizados desde la recta numérica, zona en la que losestudiantes también tienen serios tropiezos y quizás no alcancen a abordar profundamente.Esto dependerá en gran medida del avance logrado en las tres rutas anteriores.

Algunos de los aspectos interesantes y enriquecedores de los diferentes planteamientos,son los posibles contextos a los que acudirán las y los estudiantes: dividir los diagramaspresentados, usar fracciones equivalentes,realizar operaciones con fracciones,emplear los números decimales paraevitar trabajar con fracciones, pasar de uncontexto numérico a un contexto gráficoo viceversa, entre otros. Se esperaría que

las y los estudiantes cuestionaran acerca deese movimiento de unidad que se efectuaen esta actividad en la que la y el profesorpueda establecer conexiones y extensioneshacia otros contenidos.



SEGUNDO GRADO



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La siguiente situación retoma el diseño de Rotaeche (2008) para la construcción dealgunos significados de la noción escolar de ángulo, aquellos pertinentes para el segundogrado de la educación secundaria. Para proponer el diseño se consideró la manipulaciónde la noción sin hacer referencia a ella, en tanto que es un contenido “aprendido” en laeducación primaria que, a decir de la literatura especializada, no logra estabilizarse en la yel estudiante y representa un obstáculo en la resolución de problemas que hacen uso de élcomo herramienta de medición.

La situación se presenta a las y los estudiantes en hojas de trabajo, por lo que se recomiendaentregar momento por momento.

Momento 1

La o el estudiante dispondrá del siguiente material: una base de fomi, un cuadrado decartulina (con un trozo de cartulina rodeando uno de sus vértices, como se muestra en laFigura 1), tres círculos de mica transparente de diferentes tamaños (el centro debe estarindicado con un punto), plumones indelebles, un par de tachuelas, regla graduada y tijeras.

Indicaciones: Sobre la base de fomi, coloca el cuadrado y el círculo más pequeño haciendocoincidir el centro del círculo con el vértice del cuadrado (Figura 2). Encaja la tachuela justo

Figura 1

Figura 2




en donde coinciden centro y vértice, el fomi permitirá fijar ambas figuras.• ¿Cuántos lados del cuadrado comparten el vértice “A”?__________• Sobre el círculo remarca con el plumón, los lados del cuadrado que coinciden con elvértice A. Ayudate con ayuda de la regla graduada.• Usando el plumón indeleble sombrea sobre el círculo el espacio delimitado por laslíneas que acabas de marcar y que se encima en el cuadrado.• ¿Qué fracción del círculo sombreaste? __________

• ¿Cómo puedes comprobarlo? __________Orientaciones didácticas. Se espera que las y los estudiantes coloreen la porción correcta

del círculo y deduzcan que se trata de lacuarta parte, es en la argumentación donde puedenproponer formas distintas para comprobarlo. La o el docente dará oportunidad a que todasy todos participen y concluirá la discusión cuando alguna o algún estudiante proponga “girarel círculo”. Hasta entonces la o el docente planteará la siguiente interrogante: ¿y al girarlocuántas partes como ésta podrías sombrear?, prueba con diferentes colores. Una vez resueltoeste planteamiento se continúa la actividad.

Indicaciones: Retira el círculo pequeño. Sobre el mismo cuadrado, coloca ahora el círculomediano de tal manera que el centro de éste coincida con el vértice “A” del cuadrado.

De nuevo, utiliza una tachuela para fijarlos y realiza los mismos trazos que enel caso previo.

• Traza las líneas que salen desde el centro del círculo y coinciden con los lados delcuadrado. Márcalas sólo sobre la mica.

Explorando la construcción




2


Figura 3

• Sombrea en el círculo, la parte que se encuentra sobre el cuadrado• ¿Qué parte del círculo sombreaste? __________

• ¿Cómo lo compruebas? __________Posteriormente, sobre el cuadrado, coloca amboscírculos (pequeño y mediano), haciendo coincidir suscentros con el vértice del cuadrado (Figura 3).

• ¿Qué parte del círculo mediano está encima del cuadrado? __________• ¿Qué parte del círculo pequeño está encima del cuadrado? __________Repite la actividad ahora con el círculo más grande y luego, toma los tres círculos y hazcoincidir sus centros con el vértice del cuadrado (Figura 4).

• ¿Qué parte o fracción quedó delimitada del círculopequeño? __________• ¿Qué parte o fracción quedó delimitada del círculomediano? __________• ¿Qué parte o fracción quedó delimitada del círculogrande? __________• ¿Son iguales las áreas delimitadas? __________Si utilizaras un cuadrado más grande ¿cambiaría lafracción sombreada? __________ ¿Por qué? __________

Figura 4

Orientaciones didácticas. Conforme se vayan dando las respuestas apropiadas la o el

profesor pedirá argumentos que el grupo validará como correctos o incorrectos. Con estasactividades se espera que las y los estudiantes, diferenciando la porción del área sombreada,vayan relacionando la cuarta parte de vuelta (como una estrategia para medir-cuantificar)con la esquina del cuadrado (como una forma-cualidad a la que le corresponde una medida).




Ilustración sobre la cuartaparte de vuelta

Momento 2La o el estudiante recibe el siguiente material: una base de fomi, un cuadrado de cartulina(con un pequeño círculo rodeando uno de sus vértices, como se muestra en la Figura 1),tres círculos de mica transparente de diferentes tamaños (el centro estará indicado con unpunto), plumones indelebles, un par de tachuelas, regla graduada y tijeras.

Figura 6


Coloca la mica del círculo pequeño sobre la nueva figura de tal maneraque su centro coincida con el vértice A. Utiliza una tachuela para

fijar ambas figuras a la base de fomi (Figura 7).

Una vez respondidas las preguntas previas la o el profesor puntualiza que esta fracción o estegiro esuna cuarta parte de vuelta y se identifica fácilmente por su relación con laesquina delcuadrado. Se sugiere hacer énfasis en esta idea usando la siguiente ilustración:

Indicaciones: Traza la diagonal AC en el cuadrado (Figura6) y recorta el cuadrado por la diagonal, cuidando no recortarel trozo de cartulina que rodea al vértice A para que puedasfijar la nueva figura en la base de fomi. ¿Cuál es la nueva figuraque obtienes al recortar?



4


• ¿Cuántos lados del triángulo comparten el vértice “A”? __________ Remarca, sobre el círculo de mica, esos lados,desde A, con el plumón. Puedes ayudarte con la regla gra-duada.Sombrea la sección del círculo que está encima del triánguloy responde:

• ¿Qué parte del círculo representa el área sombreada? __________• Gira el círculo sobre el vértice A para encontrar con cuán -tas secciones iguales cubres todo el círculo.¿Cuántas fueron? _________

Dibuja en el siguiente círculo, usandodiferentes colores, las secciones que

encontraste:

• ¿Qué parte de vuelta representa cada sección? __________• Realiza el mismo procedimiento de sombreado con el círculo mediano, usando elmismo triángulo rectángulo.• ¿Qué parte quedó delimitada de este segundo círculo? __________• Si realizas lo mismo con el círculo más grande, ¿Qué parte quedaría delimitada delcírculo 3? __________

• Serán iguales las áreas delimitadas en los tres triángulos? __________ ¿Por qué? __________• ¿Cambiaría la parte delimitada si usas la mitad de un cuadrado más grande o máspequeño? __________ ¿Por qué? __________

Figura 7




Ilustración sobre laoctava parte de vuelta

Momento 3La o el estudiante tendrá el siguiente material: una base de fomi, un triángulo equilátero decartulina (con un pequeño círculo rodeando uno de sus vértices, como se muestra en la Figura8), tres círculos de mica transparente de diferentes tamaños (el centro debe estar indicadocon un punto), plumones indelebles, un par de tachuelas, regla graduada y tijeras.

Indicaciones: Sobre la base de fomi, coloca el triángulo equilátero y sobre él, elcírculo pequeño, haciendo coincidir el vértice “A” del triángulo equilátero y el centro delcírculo. Fíjalos con la tachuela.

Figura 8 Figura 9

Orientaciones didácticas. Con estas actividades se espera que las y los estudiantes,diferenciando la porción del área sombreada, vayan relacionando laoctava parte de vuelta (comouna estrategia para medir-cuantificar) con la esquina del triángulo isósceles (como una forma-cualidad a la que le corresponde una medida). Una vez respondidas las preguntas previas, la o elprofesor establece que esta fracción o este giro es unaoctava parte de vuelta que se identificapor su relación con la esquina del triángulo isósceles. Se sugiere hacer énfasis en esta idea usandola siguiente ilustración:



6


Con la regla traza una línea que salga del centro del círculo y coincida con uno de los ladosdel triángulo. Realiza lo mismo sobre el otro lado del triángulo, el que comparte el mismovértice. Haz los trazos sobre el círculo de mica y sombrea la sección delimitada.


• ¿Qué parte del círculo sombreaste? __________• ¿Cómo puedes comprobarlo? __________• Sombrea en el círculo a la izquierda, usando varios colores, todas lassecciones que encontrarías girando sobre el triángulo rectángulo.

Retira el círculo pequeño y repite la última actividad con los círculos restantes. Colocalos tres círculos, haciéndolos coincidir en sus centros con el vértice del triángulo equilátero(Figura 10), traza las líneas que salen desde el centro de la circunferencia y que coincidancon los lados del triángulo.

• ¿Qué parte quedó delimitada del círculo pequeño? __________• ¿Qué parte quedó delimitada del círculo mediano?

__________• ¿Qué parte quedó delimitada del círculo más grande?

__________• ¿Son iguales las áreas delimitadas? __________• ¿Cambiaría la parte o fracción sombreada si usas untriángulo equilátero más grande o más chico? __________¿Por qué? __________

Figura 10

Orientaciones didácticas. Con estas actividades se espera que las y los estudiantes,diferenciando la porción del área sombreada, vayan relacionando lasexta parte de vuelta(como una estrategia para medir-cuantificar) con la esquina del triángulo equilátero (comouna forma-cualidad a la que le corresponde una medida). Una vez respondidas las preguntas




Ilustración sobre la sextaparte de vuelta

Momento 4

La o el estudiante contará con el siguiente material: una base de fomi, un triángulo equiláterode cartulina (con un pequeño círculo rodeando uno de sus vértices, como se muestra en laFigura 11), tres círculos de mica transparente de diferentes tamaños (el centro indicado conun punto), plumones indelebles, un par de tachuelas, regla graduada y tijeras.

Indicaciones: Traza en el triángulo equilátero, la altura que pase por el vértice “B”(Figura 11). Recorta el triángulo por la línea de la altura. ¿Qué nueva figura tienes ahora?

__________

previas, la o el profesor establece que esta fracción o este giro es unasexta parte de vueltay se identifica fácilmente por su relación con la esquina del triángulo equilátero. Se sugierehacer énfasis en esta idea usando la siguiente ilustración:

Figura 11



8


• Sombrea la sección del círculo que está encima del triángulo• ¿Qué parte del círculo representa el área sombreada? __________• Gira el círculo sobre el vértice B para encontrar cuántas “partes de vuelta” puedesformar. ¿Cuántas fueron? __________• Dibuja en el círculo a la derecha las diferentes partes que encontrasteSi realizaras lo mismo con los círculos restantes, ¿Qué parte quedaría delimitada delcírculo 3? __________¿Serán iguales las áreas delimitadas? __________¿Cambiaría la parte o fracción delimitada si usas la mitad de otro triángulo equiláteromás grande o más pequeño? __________ ¿Por qué? __________

Explorando la construcciónColoca la mica del círculo pequeño sobre la figura, de tal manera que su centro coincida conel vértice B del nuevo triángulo. Utiliza una tachuela para fijarla.

Orientaciones didácticas. Con estas actividades se espera que las y los estudiantes, conun nivel mayor de abstracción, vayan relacionando ladoceava parte de vuelta (como unaestrategia para medir-cuantificar) con la esquina de este triángulo(como una forma-cualidad a la que le corresponde una medida).Una vez respondidas las preguntas previas la o el profesor estableceque esta fracción o este giro es una doceava parte de vuelta y seidentifica fácilmente por su relación con la esquina de este triángulo(recordando que se construye de recortar el equilátero por una desus alturas). Se sugiere hacer énfasis a esta idea usando la siguiente

ilustración:




Momento 5

En esta parte de la situación corresponde sintetizar lo que se construyó en los momentosprevios. Completa la siguiente tabla con la información que haga falta:

DiBujo nomBrE DE La figura

gEométriCa PartE DE vuELta DiviSi n DE

CirCunfErEnCia



0


Orientaciones didácticas. Con esta actividad se busca sintetizar las “mediciones” comopartes de vuelta y las relaciones entre “forma” y “división en la circunferencia”; pues a partirde aquí se irá trabajando hacia la generalización, la formalización y la institucionalizacióndel concepto escolar de ángulo, siempre caracterizándolo como forma, medida, relación; asícomo reconociendo su naturaleza estática y dinámica.

Se recomienda no introducir la idea del “transportador”, sino comenzar con herramientasmás cotidianas como el reloj.

Momento 6

La o el estudiante tendrá el siguiente material: una base de fomi, una flecha de cartulina,una tachuela y la hoja con la circunferencia dividida en 12 partes.

Indicaciones:Con las construcciones hechas en los momentos anteriores logramos haceren el círculo hasta 12 divisiones. Coloca la hoja con la circunferencia dividida sobre la basede fomi y fija la flecha en su centro con una tachuela. Ubica la flecha en el punto 3 (Figura12), antes de cada giro. A continuación, completa y responde lo que se pide:

1. Gira la flecha hasta llegar al número 12.Ese giro equivale a ________ de vuelta. ¿Enqué sentido giraste la flecha? _______2. Gira la flecha hasta llegar al número 9. Esegiro equivale a ________ de vuelta. ¿En qué

sentido giraste la flecha? _______3. Gira la flecha hasta llegar al número 1. Esegiro equivale a ________ de vuelta. ¿En quésentido giraste la flecha?________

2

3

4

56

7

8

9

10

1112

1

Figura 12



2


Usando ahora los referentes con letra (de la A a la L), con las sudivisiones de 30 partes encada doceava parte de la circunferencia, ejecuta la instrucción y completa las respuestas:

1. Gira la flecha desde A hasta B. Ese giroequivale a ______ de vuelta.2. Gira la flecha desde A hasta C. Ese giroequivale a ______ de vuelta.3. Gira la flecha desde A hasta D. Ese giroequivale a ______ de vuelta.4. Gira la flecha desde A hasta G. Ese giroequivale a ______ de vuelta.5. Gira la flecha desde A hasta J. Ese giroequivale a ______ de vuelta.6. Gira la flecha desde A hasta A. Ese giroequivale a ______ de vuelta.

Orientaciones didácticas. Es en este momento cuando se introduce formalmente elconcepto escolar de ángulo y se establece su unidad de medida en grados. Por ejemplodeclarando: “Se llamará a cada una de esas partesgrado y se reconocerá como la unidad paramedir ángulos”. Se introduce eltransportador como herramienta de medición haciendo losseñalamientos sobre cómo leerlo y con base en qué elementos se hace la medición (referentede inicio y referente final). Resultará importante que se discuta el “sentido” de la lecturaprincipalmente en el transportador, incluso ejemplificando con ángulos cuyo referente de

inicio no sea una línea horizontal.Para mostrar articulación entre los conceptos y las herramientas formales y lo que ha

construido la o el estudiante se recomienda complementar en forma grupal la siguiente tabla(retomada del ejercicio del momento 5, pero incluyendo ahora la medición en grados).

2

3

4

56

7

8

9

10

1112

1

Figura 13




DiBujonomBrE DELa figura

gEométriCaPartE DEvuELta graDoS DiviSi n DE

CirCunfErEnCia



4


Orientaciones para la evaluación. La evaluación a lo largo de la situación se basa en elmanejo apropiado de:

• La medición y la relación de las secciones sombreadas por figura geométrica: Cuadrado – esquina de 90° Triángulo isósceles – esquina de 45° Triángulo equilátero – esquina de 60° Triángulo rectángulo – esquina de 30°• El manejo apropiado de las subdivisiones de la circunferencia.• La distinción entre porción y área.

Para evaluar la competencia matemática se sugiere pedir a las y los estudiantes hacer“conjeturas” sobre la medición de situaciones angulares, por ejemplo las esquinas del salón,la abertura de una bisagra o unas tijeras; para valorar que estén reconociendo los elementosque acotan al ángulo si usan las medidas de 30°, 45°, 60° y 90° como referente.

Ejercicios para evaluar el manejo de la noción de ángulo y el reconocimiento de “qué semide”:Andrés está jugando con una lámpara encendida y de pronto encuentra unespejo en el que se re eja la luz. Completa el dibujo, usando un segmentode recta que indique en qué dirección debe ir el re ejo




Por cada par de guras indica, sin usar el transportador, qué a rmación en latercera columna es cierta

figura 1 figura 2 SoBrE La mEDiDa

1. Ángulo A es mayor que el ángulo B2. Ángulo B es mayor que el ángulo A3. Ambos ángulos son iguales

Ejercicio para evaluar el reconocimiento de los ángulos y sus medidas en polígonosregulares inscritos en la circunferencia y a partir de los cuales se sugiere desarrollar

formalmente el tema:






6


Sin hacer uso del transportador, determina la medida de los ángulos sombreados en cadafigura:

Medida del ángulo: ___ Medida del ángulo: ___ Medida del ángulo: ___



“Desarrollar formalmente el tema” comprende la exposición o investigación dedefiniciones y técnicas matemáticas que darán pie a la generalización de las estrategiasque la y el estudiante construyó para el cálculo de la medida de un ángulo.



T

ERCER GRADO




AÑO: Tercero

BLoquE: I y III

ComPEtEnCiaS:Resolver problemas de manera autónoma, comunicar informaciónmatemática, validar procedimientos y resultados, ulilizar las técnicase cientemente.


tEma: Nociones de probabilidad.

ContEniDoS:

• Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis delas características de eventos complementarios y eventosmutuamente excluyentes e independientes.

• Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventosindependientes (regla del producto).


Explica la diferencia entre eventos complementarios, mutuamenteexcluyentes e independientes.

ESt nDarES: Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamenteexcluyentes e independientes.

Ejemplo 5

Indicaciones: A la y el estudiante se les entregarán los primeros tres momentos, una vez

finalizado el ejercicio con éstos, se le proporcionará el cuarto momento. No es oportunoentregarle todo el material al mismo tiempo, debido al contraste que se pretende destacarentre momentos. El último momento es necesario que lo realicen por equipos, los demásquedarán a consideración de la o el docente.




Momento 1

R aúl está de vacaciones y desea convivir con sus amigos yendo a nadar el miércoles. Sinembargo, las predicciones del clima hechas el domingo reportan que las probabilidades delluvia serán de 50% para el lunes, 25% para el martes y 25 % para el miércoles. Sus padres no loquieren dejar ir, ya que consideran que el miércoles estará lloviendo. A pesar de la negativade sus padres, Raúl está buscando una estrategia para convencerlos de que no será así. Siestuvieras en el caso de Raúl ¿qué tipo de argumentación podrías construir para obtener elpermiso? Comenta tu estrategia.

Orientaciones pedagógicas. Se espera que las y los estudiantes en un primer momentointerpreten la información: El lunes 50 % de probabilidades de llover y 50% de no llover. Elmartes 25% de llover y 75% de no llover. El miércoles 25% de llover y 75% de no llover, porlo que el miércoles se tiene un 75% de probabilidades de que no llueva, que sobrepasa a lamitad, así que es muy probable que no llueva. El hecho de que no podamos saber qué día o nollueve, determina que los eventos sean independientes, sin embargo, habrá que identificarque el tipo de información que se proporciona, está referida a la probabilidad de los díasanteriores. Es por ello que uno de los objetivos de este momento es, que la y el estudiantesea capaz de argumentar cómo afecta la información acerca de la probabilidad de lluvia dellunes y martes, en la probabilidad de lluvia del miércoles. En este caso, dado que se tratade eventos independientes y ya se conoce la probabilidad, no existe mayor afectación. Esimportante tener en cuenta que el hecho de que un día llueva no garantiza que el siguientedía lloverá y salvo aspectos de tipo físico y climatológico sabremos si el hecho de que un díallueva aumentará o no la probabilidad de que llueva al siguiente día. La o el docente daráoportunidad a que todas y todos propongan sus estrategias y más adelante la o el docente

retomará las ideas con la finalidad de introducir la primera noción de eventos independientes.



2


Momento 2

Uno de los argumentos que le dio su padre para no dejarlo ir fue el hecho de que lasprobabilidades de lluvia para el lunes, martes y miércoles son 50%, 25% y 25% respectivamente,lo que se resume en una probabilidad del 100% de lluvia para los próximos tres días.

¿Consideras que el resultado del clima para el miércoles se comportará como establece elpadre de Raúl? ¿Por qué? Comparte y argumenta tu respuesta.Si llovió lunes, martes y miércoles ¿Cuál será la probabilidad de que el jueves llueva?

Orientaciones pedagógicas. En la primera pregunta, se espera que las y los estudiantesargumenten a favor de que el papá de Raúl no está en lo correcto, ya que los eventos sonindependientes, razón por la cual, no se pueden sumar las probabilidades de los días. Encaso de que él o la estudiante consideren que el procedimiento del papá de Raúl es correcto,se espera que al trabajar con el momento 3, cambien su postura.

En la segunda pregunta, las y los estudiantes argumentarán acerca de la independenciaentre eventos y la predicción de uno futuro. Es decir, si llueve el lunes, martes y miércoles,¿cómo afecta al hecho de que llueva o no el jueves? Resulta importante no olvidar laparticularidad de que los eventos son independientes.

El siguiente momento tiene como intención la construcción de la herramienta matemáticaque permite tanto encontrar y argumentar de forma adecuada la respuesta correcta comopoder predecir una probabilidad no dada.




Momento 3Indicaciones.Si tienes tres urnas organizadas de la siguiente manera:• ¿Cuál es la probabilidad de que saques una bola blanca de la urna 1?

• Si la composición de la urna 1 cambia y ahora es de 6 bolas blancas y 6 bolas negras¿Cambia la probabilidad de sacar una bola blanca? Argumenta tu respuesta.

• ¿Cuál es la probabilidad de que saques una bola blanca de la urna 2?• Si la composición de la urna 2 cambia y ahora es de 4 bolas blancas y 12 bolas negras

¿Cambia la probabilidad de sacar una bola blanca? Fundamenta tu respuesta.• ¿Cuál es la probabilidad de que saques una bola blanca de la urna 3?

Orientaciones pedagógicas. Se espera que la o el estudiante determine que el aumento odisminución de elementos de la urna no cambie la probabilidad de extracción si dicha variaciónes proporcional a la probabilidad teórica inicial. Para continuar con la construcción de laherramienta es necesario considerar todos los casos posibles para no centrarse únicamenteen los casos favorables, para ello es necesario que la o el docente, insista en la importancia

de considerar a todos los casos.

urna BoLaSBLanCaS

BoLaSnEgraS

1 3 3

2 2 6

3 4 12

Si realizas tres extracciones de cada urna.



4


Momento 4

El siguiente diagrama representa una rama del árbol, que alude al experimento de extraeruna bola de cada urna, en términos de las probabilidades anteriores. Analiza y discute contus compañeros, el diagrama. Toma en cuenta que la letra N representa las bolas negras y laletra B representa las bolas blancas.

¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola blanca en la tercera urna, si ya has sacado unablanca de la primera y una blanca de la segunda? Utiliza la información anterior.

Orientaciones pedagógicas. Se espera que los estudiantes, realicen una lectura deldiagrama de árbol, con la finalidad de que usen esa herramienta para interpretar información

y logren identificar los eventos independientes y como consecuencia la regla del producto.Es importante que la o el profesor oriente a las y los estudiantes al interpretar el diagrama,porque en ocasiones sucede que los estudiantes esperan que el diagrama tenga en su primernivel 6 ramas, 3 con las bolas blancas y 3 con las bolas negras, lo cual no sucede así, porquelo que se grafica es en términos de probabilidades.

Bnnn

B

nnn

B

nnn

Bnnn

B

n

n

n

n




Momento 5

Indicaciones. Observa que la probabilidad de obtener una bola blanca en cada urna sonlas siguientes:

La probabilidad de obtener una bola blanca en la tercera urna, si ya has sacado unablanca de la primera y una blanca de la segunda es .Interpretemos la probabilidad de obtener una bola blanca.

¿Cuál es la relación que se establece entre las urnas, para obtener la anterior probabilidad?

¿A qué se lo atribuyes?

Orientaciones pedagógicas. Se espera que la y el estudiante hagan uso de la regla delproducto y logren identificar que los eventos son independientes.

urnaS ProBaBiLiDaD1

2

3

36

284

12

Probabilidad deobtener una bola

blanca en laurna 1


blanca en laurna 2


blanca en laurna 3

Probabilidad de obteneruna bola blanca en cada

una de lasurnas

12

14

14

132=

132



6


Momento 6Indicaciones. Reflexiona en términos de los tipos de fenómenos, los eventos, las

probabilidades, las argumentaciones de los momentos 1 y 3, y realiza una comparación entreambos. Comenta y compara tus resultados.

Orientaciones pedagógicas. Se espera que los y las estudiantes identifiquen que amboseventos son independientes, y que es posible simular el primer evento con ayuda del segundo,y cómo es que a través de la simulación se puede obtener una mayor información delfenómeno, sin embargo, se considera que dicha identificación puede resultar compleja parael estudiante, por lo que se recomienda guiar la discusión en estos sentidos.




• Alanís, J.-A., Cantoral, R., Cordero, F., Farfán, R.-M., Garza, A., Rodríguez, R. (2008,

2005, 2003, 2000),Desarrollo del pensamiento matemático . México, Trillas.• Brousseau, G. (1997),Theory of didactical situations in mathematics. Didactique desmathématiques, 1970-1990 . Great Britain, Kluwer Academic Publishers.

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8


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• Revista Mexicana de Investigación Educativa<http://www.comie.org.mx/v1/revista/portal.php>



La Secretaría de Educación Pública agradece la participación en el proceso de elaboración del Plande estudios 2011 y de los programas de estudio de educación preescolar, primaria y secundaria de

las siguientes instituciones y personas:

INSTITUCIONES

Academia Mexicana de la Historia

Academia Nacional de Educación Ambiental ( ANEA )Benemérita Universidad Autónoma de Puebla ( BUAP )Centro de Educación y Capacitación para el Desarrollo Sustentable (Cecadesu)Centro de Investigación en Geografía y GeomáticaCentro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav, IPN)Centro de Investigaciones y Estudios Superiores en Antropología Social (CIESAS)Centro Nacional de Prevención de Desastres (Cenapred)Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica (Conalep)Comité Mexicano de las Ciencias HistóricasConferencia Mexicana de Acceso a la Información PúblicaConsejo Nacional de Población (Conapo)Consejos Consultivos InterinstitucionalesCoordinación General de Educación Intercultural Bilingüe, SEPDirección de Evaluación de Escuelas del Instituto Nacional para la Evaluación de la EducaciónDirección General de Educación Superior TecnológicaEl Colegio de la Frontera Norte, A.C.El Colegio de México, A.C.El Colegio de Michoacán, A.C.Escuela Normal Superior de MéxicoFacultad de Filosofía y Letras, Universidad Nacional Autónoma de México ( UNAM )Grupo de Trabajo Académico Internacional (GTAI )Grupos Académicos de la UNAM: Matemáticas, Biología, Física y QuímicaGrupo de Transversalidad Secretar ía de Medio Ambiente y Recursos Naturales/Secretaría de EducaciónPública (Semarnat /SEP):

• Centro de Educación y Capacitación para el Desarrollo Sustentable (Cecadesu)• Comisión Federal de Electricidad (CFE)•

Comisión Nacional de Áreas Naturales Protegidas (Conanp)• Comisión Nacional del Agua (Conagua)• Comisión Nacional Forestal (Conafor)• Comisión Nacional para el Uso Eficiente de la Energía Eléctrica (Conuee)• Comisión Nacional para la Biodiversidad (Conabio)• Dirección de Educación Ambiental, Cecadesu• Dirección General de Planeación y Evaluación, Semarnat • Fideicomiso para el Ahorro de Energía Eléctrica (Fide)• Instituto Mexicano de Tecnología del Agua (IMTA)• Instituto Nacional de Ecología (INE)• Procuraduría Federal de Protección al Ambiente (Profepa)• Procuraduría Federal del Consumidor (Profeco)

Instituto Chihuahuense para la Transparencia y Acceso a la Información PúblicaInstituto de Acceso a la Información Pública del Distrito FederalInstituto de Educación de la Universidad de LondresInstituto de Investigaciones Dr. José María Luis MoraInstituto de Investigaciones Históricas,UNAMInstituto de Investigaciones sobre la Universidad y la Educación, UNAMInstituto Federal de Acceso a la Información (IFAI)Ins tuto Nacional de Antropología e Historia (INAH )



Instituto Nacional de Estudios Históricos de las Revoluciones de MéxicoInstituto Nacional de Lenguas Indígenas ( INALI )Instituto Nacional para la Evaluación de la EducaciónInstituto Politécnico Nacional ( IPN )Ministerio de Educación de la República de CubaSecretaría de Medio Ambiente y Recursos Naturales (Semarnat)

Sistema Regional de Evaluación y Desarrollo de Competencias Ciudadanas (Sredecc)Universidad Autónoma de la Ciudad de México ( UACM )Universidad Autónoma de San Luis Potosí Universidad Autónoma del Estado de MéxicoUniversidad de GuadalajaraUniversidad de New YorkUniversidad Nacional Autónoma de México ( UNAM )Universidad Pedagógica Nacional ( UPN )Universidad Veracruzana

PERSONAS

Abel Rodríguez De Fraga Adolfo Portilla González

Alejandra Elizalde Trinidad Alexis González Dulzaides Alfredo Magaña Jattar Alicia Ledezma Carbajal Alma Rosa Cuervo González Amelia Molina García Amparo Juan Platas Ana Flores Montañez Ana Frida Monterrey Heimsatz Ana Hilda Sánchez Díaz Ana Lilia Romero Vázquez Andrea Miralda Banda Ángel Daniel Ávila Mujica Angélica R. Zúñiga Rodríguez Araceli Castillo Macías Arturo Franco Gaona Aydée Cristina García VarelaBlanca Azucena Ugalde CelayaBlanca Irene Guzmán SilvaCaridad Yela CoronaCarlos Alberto Reyes TosquiCarlos Natalio González ValenciaCarlos OsorioCarolina Ramírez DomínguezCatalina Ortega NúñezCecilia Espinosa MuñozClaudia Amanda Peña GarcíaClaudia Carolina García RiveraClaudia Espinosa GarcíaClaudia Martínez DomínguezClaudia Mercado AbonceColumba Alviso RodríguezDaniel Morales VillarDaniela A. Ortiz MartínezElizabeth Lorenzo FloresElizabeth Rojas Samperio

Emilio Domínguez BravoErika Daniela Tapia Peláez

Ernesto López OrendainEsperanza Issa GonzálezEstefanie Ramírez CruzEvangelina Vázquez HerreraFabiola Bravo DuránFlor de María Portillo GarcíaFlora Jiménez MartínezFranco Pérez RiveraGabriel Calderón LópezGerardo Espinosa EspinosaGisela L. GaliciaGloria Denisse Canales UrbinaGriselda Moreno ArcuriGuillermina Rodríguez OrtizGustavo Huesca GuillénGwendoline Centeno AmaroHilda María Fuentes LópezHugo Enrique Alcantar BucioIgnacio Alberto Montero BelmontIsabel Gómez CaravantesIsrael Monter SalgadoJavier Barrientos FloresJavier Castañeda RincónJemina García CastrejónJesús Abraham Navarro MorenoJoaquín Flores RamírezJorge Humberto Miranda VázquezJorge López CruzJorge Medina SalazarJorge Zamacona EvenesJosé Humberto Trejo CatalánJosé Luis Hernández SarabiaJulia Martínez FernándezKarina Franco RodríguezKarina Leal HernándezKarla M. Pinal Mora



Karolina Grissel Lara RamírezLarissa Langner RomeroLaura Daniela Aguirre AguilarLaura Elizabeth Paredes RamírezLaura H. Lima MuñizLaurentino Velázquez Durán

Leonardo Meza AguilarLeticia Araceli Martínez ZárateLeticia G. López JuárezLeticia Margarita Alvarado DíazLilia Beatriz Ortega VillalobosLilia Elena Juárez VargasLilia Mata HernándezLiliana Morales HernándezLizette ZaldívarLourdes Castro MartínezLucila Guadalupe Vargas PadillaLucina García CisnerosLuis FernándezLuis Gerardo Cisneros HernándezLuis Reza ReyesLuis Tonatiuh Martínez ArocheMaría Alejandra Acosta GarcíaMaría Antonieta Ilhui Pacheco ChávezMaría Concepción Europa JuárezMaría Concepción Medina GonzálezMaría de IbarrolaMaría de las Mercedes López LópezMaría de los Ángeles García GonzálezMaría de los Ángeles Huerta AlvaradoMaría de Lourdes Romero OcampoMaría del Carmen Rendón CamachoMaría del Carmen Tovilla Martínez

María del Rosario Martínez LunaMaría Esther Padilla MedinaMaría Esther Tapia ÁlvarezMaría Eugenia Luna ElizarrarásMaría Teresa Aranda PérezMaría Teresa Arroyo GámezMaría Teresa Carlos YáñezMaría Teresa López CastroMaría Teresa Sandoval Sevilla

Mariano Martín G.Maribel Espinosa HernándezMarissa Mar PeceroMartha Estela Tortolero VillaseñorMartha Ruth Chávez EnríquezMauricio Rosales Avalos

Miguel Ángel Dávila SosaNancy Judith Nava CastroNelly del Pilar Cervera CobosNonitzin MaihualidaNorma Erika Martínez FernándezNorma Nélida Reséndiz MelgarNorma Romero IreneOscar Isidro BrunoOscar Luna PradoOscar Osorio BeristainOscar Román Peña LópezÓscar Salvador Ventura RedondoOswaldo Martín del Campo NúñezRamón Guerra AraizaRebeca Contreras OrtegaRita Holmbaeck RasmussenRoberto Renato Jiménez CabreraRosendo Bolivar MezaRubén Galicia CastilloRuth Olivares HernándezSamaria Rodríguez CruzSandra Ortiz MartínezSandra Villeda ÁvilaSergio Pavel Cano RodríguezSilvia Campos OlguínSonia Daza SepúlvedaSusana Villeda Reyes

Teresita del Niño Jesús Maldonado SalazarUrania Lanestosa BacaUriel Garrido MéndezVerónica Florencia Antonio AndrésVicente Oropeza CalderónVíctor Manuel García MontesVirginia Tenorio SilYolanda Pizano Ruiz



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Educacion Basica Secundaria Matematicas

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