EE00502C

x 3F

6 Eliminaci de resultats aberrants. Intervals de tolerncia 47

6 Eliminaci de resultats aberrants. Intervals de tolerncia

La desviaci d'un resultat respecte de la mitjana dels altres pot induir la sospita que hi va haver un erroraberrant durant la seva obtenci. Amb independncia de la llei de distribuci de la poblaci, ladesigualtat de Bienaym-Tchebishev dna un criteri estadstic per refusar o acceptar aquests resultatssospitosos.

Afirma que, per a una variable aleatria qualsevol x, amb mitjana m i varincia F , la probabilitat que2

x tingui un valor fora de l'interval de tolerncia (m-kF, m+kF), on k>1, s inferior a 1/k . Si la 2

variable aleatria segueix concretament la llei normal, la fitaci s ms restrictiva. En el quadre 6.1es recullen les probabilitats associades a determinats intervals de tolerncia al voltant de la mitjana. Peral cas de la llei normal, els valors s'han obtingut a partir de la taula 1, on es poden trobar lesprobabilitats associades a intervals de tolerncia diferents als recollits en el quadre 6.1.

Quadre 6.1 Intervals de tolerncia i probabilitat associada quan coneixem la mitjana i la desviaci tipus

Interval Llei qualsevol Llei normal

1,0F - 68,27%

1,1F 17% 72,87%

1,5F 56% 86,64%

2,0F 75% 95,45%

3,0F 89% 99,73%

4,0F 94% >99,99%

L'aplicaci prctica d'aquests resultats s ben simple. Depenent del risc acceptat, queda establertl'interval en qu han d'estar inclosos tots els valors obtinguts en mesurar.

Per a una poblaci normal, de vegades s'usa el criteri de Chauvenet. Segons Chauvenet, en una mostrade deu dades es rebutgen les que excedeixen de 2F, respecte de la mitjana. (A la taula 1 veiem quel'interval 2F t associada una probabilitat del 95,5%, s a dir, de 9,5 sobre 10.) En una mostra de1.000 dades es rebutgen les que depassen 3,5F. (A la taula 1 veiem que l'interval 3,5F t associadauna probabilitat del 99,95%, s a dir, de 999,5 sobre 1000.) En general, un criteri raonable s rebutjarels resultats que quedin fora de l'interval , ja que noms tenen una probabilitat del 0,27%.

xx x

x x x

x x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Teoria bsica d'errors48

La situaci real pot ser que es conegui la varincia de la poblaci, per no la seva mitjana, o que nose'n conegui cap de les dues, i que s'estimin a partir dels resultats. En tots dos casos, els intervals detolerncia anteriors deixen de ser vlids. A la taula 7 es presenten alguns valors del factor de tolernciak, quan es coneix la varincia per no la mitjana de la poblaci, tal que l'interval kF inclogui unadeterminada proporci p dels resultats de la mesura, amb un determinat nivell de tolerncia 1-".

)))))))) ))))))))

Exemple 6.1

k (n, p, 1-") per a n=10, p=0,99 i 1-"=0.95 val 2,95

Aix vol dir que es t una probabilitat del 95% que el 99% dels elements de la poblaci estiguin dinsl'interval 2,95F, quan s'ha calculat a partir d'una mostra de 10 observacions.

)))))))) ))))))))

El resultat anterior no implica necessriament que la meitat dels elements estiguin dins l'interval+2,95F. Per fixar un interval unilateral +kF o -kF, cal utilitzar els valors de k que figuren a la

taula 8.

Si es desconeix no noms la mitjana sin tamb la varincia de la poblaci, els intervals de tolernciao de dispersi sn donats per ks en el cas bilateral, i per +ks o -ks en el cas unilateral. Elsvalors de k en el primer cas sn els de la taula 9, i en el segon els de la taula 10.

Per fer l'estimaci de m, , i de F, s, conv excloure els resultats dubtosos, llevat que se'n disposi demolt pocs, i cal haver comprovat que els altres segueixen la llei normal.

En el quadre 6.2 es resumeixen les diferents situacions plantejades, segons el grau de coneixement dela poblaci.

Quadre 6.2 Intervals de tolerncia per a diferents situacions segons quins siguin els parmetres coneguts, quan la poblacis normal

Parmetres coneguts Interval de tolerncia

m, F mkF taula 1

, F kF taula 7

, F -4, +kF taula 8

, F -kF, +4 taula 8

, s k taula 9

, s -4, +ks taula 10

, s -ks, +4 taula 10

x & ks' 16,76kS

x & ks' 16,84kS

17,034 0,48kS ' [16,55kS,17,51kS]

pn ' "

x

6 Eliminaci de resultats aberrants. Intervals de tolerncia 49

(6.1)

Exemple 6.2

Es pren una mostra de 5 resistncies d'un lot d'una fabricaci del qual se sap que segueix una llei dedistribuci normal. En mesurar els seus valors s'obtenen les lectures: 17,10 kS, 17,00 kS, 17,05 kSi 16,98 kS. Si es vol establir un control que permeti tenir una probabilitat del 95% que el 99% de lesresistncies siguin ms grans que un determinat valor, quin ha de ser aquest valor?

A partir de la mostra: = 17,034 kS, s = 0,047 kS

De la taula 10, k (5, 0,99, 0,95) = 5,75

Si, en canvi, es volgus una probabilitat del 95% que el 95% de les resistncies fossin superiors aaquest lmit inferior, el seu valor seria

k (5, 0,9, 0,95) = 4,21

Si es vol conixer l'interval que t una probabilitat del 99% d'incloure el 99% de les resistncies, elsseus lmits s'obtindrien buscant k a la taula 9.

k (5, 0,99, 0,99) = 10,26

L'interval seria

)))))))) ))))))))

Si, per la informaci que ofereix la mostra, resulta que la poblaci no s normal, es pot obtenir un certconeixement de la seva dispersi a partir dels valors extrems (mxim, x , i mnim x ) observats. Si esM mvol saber, amb un nivell de tolerncia 1-", la proporci p d'elements de la poblaci superiors a x (ominferiors a x ), partint dels n resultats obtinguts, n'hi ha prou d'aplicar la relaciM

Recprocament, amb aquesta relaci es pot saber, a partir de n i de p, la probabilitat (1-") que unafracci de la poblaci de com a mnim p sigui superior a x (o inferior a x ). Tamb es pot determinarm Mn a partir de p i ". A la taula 11 es presenten alguns dels valors usuals.

npn & 1 & (n & 1)pn ' "


(6.2)

Exemple 6.3

Se suposa que se sap del cert que la mostra de l'exemple anterior prov d'una poblaci que no snormal. Per conixer, amb un nivell de tolerncia del 99%, la fracci mxima de la poblaci inferioral valor mnim trobat (16,98 kS), a la taula 11, per a 1-"=0,99 i n=7, resulta p=0,5. Com que enel nostre cas n s 5, p s lleugerament inferior. Per tant, la proporci d'elements inferiors al mnim,1-p, en el pitjor dels casos s lleugerament superior al 50%. (La taula dna la proporci d'elements quesn ms grans que el mnim, i aqu volem saber la proporci dels que sn menors que el mnim.)

Per conixer la mida de la mostra necessria perqu amb un nivell de tolerncia del 95% es pugui dirque com a mnim el 99% de la poblaci s inferior al mxim (17,10), a la taula 11, per a p=0,99 i 1-"=0,95, es dna n=299.

)))))))) ))))))))

Si el que es vol saber s quants elements hi ha en el marge entre x i x , amb una probabilitat 1-", lam Mrelaci que cal aplicar s

Tamb en aquest cas es pot determinar " a partir de p i de n, o b n a partir de p i de ". A la taula 12hi ha alguns dels valors. Cal observar que quan es vol tenir un bon coneixement de la poblaci cal unagran mida per a la mostra, i que rebutjant un simple resultat sospits, es guanya ben poc.

)))))))) ))))))))

Exemple 6.4

En el mateix cas de l'exemple anterior, si interessa conixer, amb un nivell de tolerncia per exempledel 90%, la fracci mnima de la poblaci compresa entre els valors extrems donats, la taula 12 dnaper a 1-"=0,9 i n=5, p una mica inferior a 0,5. Per tant, en aquest interval hi ha menys de la meitatde la poblaci. Si, d'altra banda, aquests mateixos valors extrems corresponguessin a una mostra de388 elements, es podria dir que inclouen el 99% de la poblaci.

)))))))) ))))))))

Una observaci final relativa a la terminologia. S'ha parlat en aquest apartat d'intervals de tolernciao de dispersi, i no d'intervals de confiana. Aix s degut al fet que l'objectiu s saber el marge devalors en qu cal esperar que estigui el resultat d'un mesurament nic, amb una certa probabilitat (nivellde tolerncia). D'altra banda, l'interval de confiana fa referncia al marge de valors en qu cal esperarque hi hagi la mitjana d'una srie de resultats de mesura, amb una certa probabilitat (nivell deconfiana). Si el nombre de mesures tendeix a infinit, l'interval de confiana tendeix a zero i, en canvi,l'interval de tolerncia tendeix a un valor constant. Hi ha, doncs, una diferncia ben clara entre tots dostipus d'interval. No obstant aix, en la bibliografia se sol parlar exclusivament de "nivell de confiana",sense diferenciar el que aqu s'ha anomenat "nivell de tolerncia".

s 21 'jn1

i'1(xi & x1)

2

n1 & 1

s22 'jn2

i'1(xi & x2)

2

n2 & 1

x x

7 Detecci d'errors sistemtics 51

(7.1)

(7.2)

7 Detecci d'errors sistemtics

En el transcurs d'un procs de mesura, un error sistemtic pot passar desapercebut, sense que eltractament estadstic dels resultats impliqui la seva reducci. Per si per exemple es mesura la mateixavariable amb dos instruments diferents, les diferncies entre les lectures de cada instrument haurien deser degudes exclusivament a l'atzar i al carcter finit de la mostra extreta de la poblaci estudiada. Sis'observa una diferncia significativa entre les lectures de tots dos instruments, cal pensar que hi ha unerror sistemtic en un d'ells. Si no es disposa d'un patr per detectar possibles errors sistemtics,aquestes tcniques de comparaci entre instruments o mtodes sn una alternativa que cal considerar.

7.1 Comparaci de mitjanes

Una manera de comparar els resultats s a base de considerar les mitjanes de les mostres obtingudesamb cada instrument. Si la varincia real de cada mostra s desconeguda, per les dues snpresumiblement iguals, es pot procedir de la manera segent.

En primer lloc, es calcula la mitjana de cada mostra (conjunt de lectures obtingudes amb el mateixinstrument): , .1 2

A continuaci es calcula la varincia ajustada de cada mostra: s , s .1 22 2

Desprs s'estima la desviaci tipus de la poblaci.

s 's21 (n1 & 1) % s

22 (n2 & 1)

n1 % n2 & 2'

jn1

i'1(x & x1)

2 % jn2

i'1(x & x2)

2

n1 % n2 & 2

sd ' sn1 % n2n1 n2

*x1 & x2* > A

x1 < x2 & B

x1 > x2 % B

x x

x x

x x

xx


(7.3)

(7.4)

(7.5)

(7.6a)

(7.6b)

A partir d'aquest resultat, s'estima la desviaci tipus de la diferncia entre les mitjanes.

A continuaci, es busca l'interval de confiana que correspondria a la diferncia entre les mitjanes sila distribuci fos normal, amb el nivell de confiana escollit, ", utilitzant la distribuci t de Student,per a v=n +n -2 graus de llibertat. Es poden emprar els parmetres k o k de la taula 2, amb n=v+1.1 2 1 3D'aquesta manera es determinen els parmetres A=t (v)s per a una prova bilateral, i B=t (v)s per1-"/2 d 1-" da una prova unilateral.

Finalment, es comprova el significat de - , utilitzant els criteris segents:1 2

- Es rebutja la hiptesi d'igualtat entre les mitjanes si

- Es rebutja la hiptesi que no s inferior a si1 2

- Es rebutja la hiptesi que no s ms gran que si1 2

)))))))) ))))))))

Exemple 7.1

Tenim una mostra constituda per aquests 5 resultats: 3.027, 3.025, 3.026, 3.027, 3.024, i una altramostra constituda per aquests quatre resultats: 3.025, 3.027, 2.025 i 3.027. Procedint tal com s'haindicat, resulta

1. =3.025,81=3.0262

F2d 'F21n1

%F22n2

u1&"/2 ' 1,960, per " ' 5%

u1&"/2 ' 2,576, per " ' 1%

u1&" ' 1,645, per " ' 5%

u1&" ' 2,326, per " ' 1%

*x x*

*x x*


(7.7)

2. s =1,24 s =1,691 12

s =1,15 s =1,332 22

3. s=1,24

4. s =0,83d

5. Per a v=5+4-2=7 graus de llibertat,- quan "=0,05, A=2,3650,83=1,97- quan "=0,01, A=3,4990,83=2,9

6. - =0,21 2

Ats que -

d ' 1nj di '

1n

(j xi & j yi )

s2d '1

n & 1[j d2i & 1n (j di )

2 ]''ni'1

(di&d)2

n&1

Fd ' s2d

* d & do * > A

d < do & B

d > do % B

n n


(7.8)

(7.9)

(7.10)

(7.11)

(7.12a)

(7.12b)

factor. Per exemple, mesurant amb dos instruments diferents alhora, o mesurant dos operaris amb elmateix instrument. En aquests casos, les lectures obtingudes estaran aparellades, i no han de serconsiderades com dues mostres independents, sin que cal interessar-se per l'aleatorietat de lesdiferncies entre cada parell de lectures. Per analitzar-les, es pot procedir de la manera que es descriua continuaci.

En primer lloc, es calcula la diferncia entre cada parell de lectures, d , i la seva mitjana, d.1

Desprs es calcula la dispersi de d mitjanant l'equaci

Amb aquest resultat s'estima F ,d

Desprs es busca l'interval de confiana que correspondria a d si tingus una distribuci normal, ambel nivell de confiana 1-" escollit, utilitzant la distribuci t de Student amb v=n-1 graus de llibertat.Es poden emprar els parmetres k o k de la taula 2, prenent n=v+1. Aix es determinen el parmetre2 4A=(t (v)/ )s per a una prova bilateral, i el parmetre B=(t (v)/ )s per a una prova unilateral.1-"/2 d 1-" d

A continuaci es comprova el significat de d-d , on d s un valor donat, d'acord amb els criteriso osegents.

- Es rebutja la hiptesi d'igualtat a d de la mitjana de la poblaci de diferncies sio

- Es rebutja la hiptesi que la mitjana de la poblaci de diferncies s com a mnim igual a d sio

- Es rebutja la hiptesi que la mitjana de la poblaci de diferncies s, com a mxim igual a d sio

s2d '13

( 5 & 14

) ' 1,58


Exemple 7.2

Si en l'exemple 7.1 es prescindeix de l'ltima lectura de la primera mostra, perqu totes duescontinguin el mateix nombre de resultats, i se suposa que aquests han estat obtinguts per parells ambinstruments diferents, en aplicar el mtode descrit s'obt el segent

1. d = 3.025 - 3.025=01

d = 3.026 - 3.027=-12

d = 3.027 - 3.027=03

d = 3.027 - 3.025=24

d = 0,25

2. Clcul de la dispersi.

3. F =1,26d

4. Per a v=4-1=3 graus de llibertat,

- quan "=0,05; A=1,591,26=2,00

- quan "=0,01; A=2,901,26=3,67

Si es pren d =0, ats que d

Fd 'F21n1

%F22n2

8 '* m1 & m2*

Fd

8 'm1 & m2

Fd

8 'm2 & m1

Fd

F21n1

%F22n2

' (m1 & m2

8)2

n1F1

'n2F2


(7.13)

(7.14)

(7.15a)

(7.15b)

(7.16)

(7.17)

Per determinar el risc $ per a mides de mostres n i n , amb mitjanes m i m , i desviacions tipus F i1 2 1 2 1F , es pot procedir de la manera segent.2

En primer lloc, es calcula la desviaci tipus de la diferncia entre les mitjanes

A continuaci, per a una prova bilateral, la hiptesi plantejada s m =m i la hiptesi alternativa,1 2m m . Aleshores es calcula el parmetre 8, definit per l'equaci1 2

El risc $ s donat, segons el risc " i 8, per les corbes de les figures 7.1 i 7.2, amb v=4.

Si es vol fer una prova unilateral, les hiptesis plantejades sn

- m #m ; alternativa m >m1 2 1 2- m $m ; alternativa m

n1 ' F1(F1 % F2) (8

m1 & m2)2

n2 ' F2(F1 % F2) (8

m1 & m2)2

Fd '1,52

5%

1,22

4' 0,9

8 ' 20,9

' 2,22

n1 ' 1,5 2,7 (3,852

)2 ' 15

n2 ' 1,2 2,7 (3,852

)2 ' 12


(7.18)

(7.19)

De les dues equacions anteriors es dedueix que la mida de cada mostra ha de ser

)))))))) ))))))))

Exemple 7.3

Es consideren les dues mostres de 5 i 4 lectures utilitzades a l'exemple 7.1. Se suposa que se sap quela desviaci tipus de la primera s 1,5 i que la de la segona s 1,2. La prova bilateral de la hiptesim =m , d'acord amb el mtode exposat anteriorment, permet acceptar-la amb un risc de primera1 2espcie de l'1%. Es vol conixer el risc que hi ha d'acceptar m =m quan en realitat s m -m =2.1 2 1 2

Aplicant el procediment anterior,

1. Clcul de Fd

2. Clcul de 8

A la figura 7.2 s'obt, per a v=4, $=62%, que s un risc elevat. Si es vol un risc ms redut, perexemple de 10%, les mides de cada mostra (amb la mateixa varincia que anteriorment) haurien de serles segents. A la figura 7.2, per a v=4 i $=0,1 (100$=10) i v=4, s'obt 8=3,85.

Aquest resultat posa de relleu que la mida necessria per a les mostres hauria de ser molt ms gran quela usada i que, en general, noms s'aconsegueixen riscos reduts a base de mides de mostra grans.

)))))))) ))))))))

A les figures 7.1 a 7.4, es representen tamb les corbes que permeten conixer $ de maneraaproximada quan es desconeix la varincia de la poblaci i s'estima mitjanant la varincia ajustada deles mostres. Donada la dispersi prpia de la varincia estimada, si es decideix utilitzar aquestes corbesconv comprovar quin s l'efecte d'un canvi en el valor de la varincia.


Figura 7.1. Test bilateral de comparaci de mitjanes, amb risc de primera espcie " = 0,05


Figura 7.2. Test bilateral de comparaci de mitjanes, amb risc de primera espcie " = 0,01


Figura 7.3. Test unilateral de comparaci de mitjanes, amb risc de primera espcie " = 0,05


Figura 7.4. Test unilateral de comparaci de mitjanes, amb risc de primera espcie " = 0,01

y ' f ( x1,x2, ...,xn )

y % * y ' f (x1 % * x1, x2 % * x2, ... , xn % * xn )

* y ' j * xi *y*xi%

12j (* xi )

2 *2y

* x2i% ...

* yy

' jn

i'1

* ( lny)* xi

* xi

8 Propagaci d'errors en mesures indirectes 63

(8.1)

(8.2)

(8.3)

(8.4)

8 Propagaci d'errors en mesures indirectes

Quan la magnitud que interessa no s'obt com a resultat d'una mesura, sin a partir d'un clcul aplicatals resultats obtinguts per dues o ms mesures d'altres magnituds, es diu que la mesura s indirecta.En aquest cas interessa conixer quin s l'error associat al resultat final, a partir del coneixement delserrors comesos en el mesurament de cadascuna de les magnituds usades en el clcul. Aix permet, ams, conixer les magnituds que cal mesurar amb ms gran precauci.

Si a cada mesurament es cometen noms errors sistemtics, el problema es planteja a partir deldesenvolupament de Taylor aplicat a la funci en qesti. En termes generals, si la magnitud queinteressa, y, depn de diferents magnituds mesurades x , x , ..., x , totes elles independents1 2 n

on f s una funci contnua diferenciable en tot el marge de valors d'inters. Si es fa eldesenvolupament de Taylor de

s'obt

Si els errors (*x ) sn petits, i les derivades d'ordre dos i superiors sn tamb petites, es pot acceptaril'aproximaci de primer ordre, per no en cas contrari.

Com que el que sol interessar sn els errors relatius, en el cas anterior se sol utilitzar la derivadalogartmica, que s'obt

i si els errors presents no sn excessius, es pot aproximar )y per *y, i )x per *x .i i

R'V/I

lnR' lnV& lnI

dRR

'dVV

&dII

f'N/tp

lnf' lnN& lntp


Exemple 8.1

Per tal de determinar la resistncia d'una crrega electrnica, mesurem la tensi aplicada i el correntque hi circula. Ho fem amb un multmetre digital de 4 1/2 dgits que t un error mxim del 0,03% L+ 1 quan mesura tensi i 0,02% L + 1 quan mesura corrent. Si les lectures obtingudes sn 24 V i 15mA, quina resistncia t la crrega i amb quina incertesa la podem determinar?

Aplicant la llei d'Ohm,

d'on

Veiem, doncs, que t la mateixa repercussi l'error en la mesura de la tensi que l'error en la mesuradel corrent. Quan mesurem la tensi ho haurem de fer a l'escala de 100 V i l'error d'un compte equivala 10 mV. Per tant, tindrem

)V = 24x0,03% V + 10 mV = 17 mV = 0,07%(V) Quan mesurem corrent ho haurem de fer a l'escala de 10 mA (suposem que 1/2 dgit vol dir que enaquesta escala podem mesurar fins a 20 mA) i l'error d'un compte equival a 1 A. Per tant, tindrem

)I = 15x0,02% mA + 1 V = 4 A = 0,027%(I)

En el cas pitjor, com que els errors sn petits, l'error total en R ser la suma dels errors en V i en I,s a dir, d'un 0,1%. El resultat ser, doncs,

R = 1600 S 0,1% = 1600 S 2 S

Exemple 8.2

Un mtode habitual per mesurar la freqncia d'un senyal s comptar els seus cicles durant un intervalde temps conegut. Si mesurem una freqncia d'uns 10,7 MHz comptant durant 1 ms obtingut d'unrellotge de 10 MHz que t una deriva de 10 /any i fa menys d'un any que el vrem calibrar, quina-7

incertesa tindrem en el resultat?

La relaci aplicada s

on t s el temps de compte i N el nombre de comptes obtingut. Aplicant (8.4) tindremp

)ff')NN

&)tptp

')NN

%)frfr

)ff'

110.700

%10&7'910&5

z % * z ' f ( x % * x) ' f (x) % * x dfdx

%12

( *x)2 d2 f( x)

dx2% ...

zi ' f ( xi ) ' f ( x % ri ) ' f (x) % f) ( x) ri % f

)) ( x) r 2i / 2 % ...

z ' j zin

'1nj [ f ( x) % f

) ( x) ri %12

f )) (x) r 2i % ... ]

z ' f ( x) % 12

f )) ( x) j r2i

n% ...

x

x x xz


(8.5)

(8.6)

(8.7)

(8.8)

i, per tant, l'error relatiu total ser, en el cas pitjor, la suma dels errors relatius a N i a t . Per la faltapde sincronisme entre el senyal i el rellotge, )N = 1. Si fa menys d'un any que hem calibrat el rellotge,)f < 10 f . t l'obtindrem dividint f per un factor exacte k, t = k/f . Aix doncs,r r p r p r

-7

Si comptem durant 1 ms, tindrem N . 10 10,7x10 = 10700. Per tant,-3 6

s a dir, )f . 1 kHz.

)))))))) ))))))))

Certament, la incertesa calculada amb l'equaci (8.4) s una situaci poc probable: que cada magnitudmesurada tingui el mxim error i que no hi hagi cap mena de compensaci d'uns errors (sistemtics)amb uns altres, ja que fem la suma de mduls de cadascun dels factors d'error. Si realment uns errorssn independents dels altres, un mtode millor per combinar-los s considerar que sn aleatoris entresi.

Si els errors presents sn aleatoris, aleshores no es propaguen linealment segons (8.4), sin de formaquadrtica. Per al cas d'una funci d'una variable z=f(x), on f s contnua i diferenciable, eldesenvolupament de Taylor dna

Si es fan n mesuraments de x independents, x , x , ..., x amb una mitjana , z es pot estimar aix1 2 n

on r=x - , i f' ( ) s la derivada primera de f(x) avaluada en el punt . A partir de les z , l'estimacii i ide z, , es pot escriure

z ' f ( x) % 12

f )) (x)F2n (x) % ...

z . f ( x)

*i ' zi & z ' ri [ f) ( x) % f )) ( x) ri / 2 % ... ]

F2n( z) 'j *2i

n'

1nj r

2i [ f

) 2( x) % f ) ( x) f )) ( x) ri % ... ]

F2n(z) . f)2 ( x) j r

2i

n' f )2 ( x)F2n (x)

Fn (z) . f)* ( x)*Fn( x)

s(z) . * f ) ( x)*sn (x)

x

z

x x x

y x

y xx


(8.9)

(8.10)

(8.11)

(8.12)

(8.13)

(8.14)

(8.15)

Si f'' ( ) F (x) i els termes superiors sn negligibles, aleshoresn2

Si la condici anterior no es compls, per exemple, si f fos molt no lineal, resultaria que l'error aleatorien la mesura de x, F (x), provocaria un error sistemtic en z, tal com es dedueix de (8.9).n

Per estimar la varincia de z, es pot fer a partir de les desviacions de cada z respecte de , de la formaisegent

Si ara f'( )f''( )Er i termes d'ordre superior sn petits comparats amb f' ( )Er , aleshoresi i3 2 2

)))))))) ))))))))

Exemple 8.3

Quina s l'estimaci del valor mitj i la varincia de y=Ea xi i

- Estimaci del valor mitj: .Eai i- Estimaci de la varincia: s (y).Ea s (x)2 2 2i

Exemple 8.4

Quina s l'estimaci del valor mitj i la varincia de y=x2

- Estimaci del valor mitj: . 2

- Estimaci de la varincia: s (y).4 s (x)2 2 2

y%*y'f(x1,x2,...xn)%j *xi *f*xi%

12j (*xi)

2 *2f

*xi2%j

ijji

*xi*xj*2f

*xi*xj

*ij...'ri*f*xi

%qj*f*xj

%...%12ri

2 *2f

*xi2%...

y ' f (x1, x2, ..., xn )

s2y ' jp

i'1( * f* xi

)2s2i

y xx

x1x2

x x

z x y


(8.16)

(8.17)

(8.18)

(8.19)

Exemple 8.5

Quina s l'estimaci del valor mitj i la varincia de y=ln x

- Estimaci del valor mitj: .ln - Estimaci de la varincia: s (y).s (x)/2 2 2

)))))))) ))))))))

En el cas d'una funci de p variables aleatries independents, i y=f(x , x , ..., x ), un desenvolupament1 2 panleg condueix a resultats similars, si s'accepten les mateixes hiptesis pel que fa a les derivadesparcials segones i d'ordre superior, i els moments de tercer ordre i superiors de la poblaci snnegligibles. En aquest cas, tenim

Si ara mesurem x n vegades i obtenim una mitjana i una varincia F (x ); mesurem m vegades x1 n 1 22

i obtenim una mitjana i una varincia F (x ), etc., llavors, a partir del mesurament i de x i deln 2 12

mesurament j de x , etc., obtenim un valor de y amb desviaci * respecte a la mitjana,2 ij...

on r = x - , q = x - . Per analogia amb el cas d'una variable, i si tenim en compte la condici quei i j jles variables sn independents, s'arriba a

)))))))))))))))) ))))))))))))))))

Exemple 8.6

Quina s l'estimaci del valor mitj i la varincia de z=x+y

- Estimaci del valor mitj: . +- Estimaci de la varincia: s (z).s (x)+s (y)2 2 2

sz2'(*z

*x)2sx

2%(*z*y

)2sy2%2(*z

*x)(*z*y

)sxy

sxy'limn64

1nj

n

i'1(xi&x)(yi&y)

Dxy'FxyFxFy

2i'*f*xi

sy2'j

p

i'1jp

j'12i2jDijsisj

sR2'(*R

*V)2sV

2%(*R*I

)2sI2%2(*R

*V)(*R*I

)DVIsVsI


(8.20)

(8.21)

(8.22)

(8.23)

(8.24)

Si les variables no sn independents, llavors a (8.19) cal afegir-hi els termes encreuats. En el cas dedos variables, per exemple, z = f(x,y), s'arriba a

on s s la covarincia de x i y, definida comxy

s com normalitzar la covarincia mitjanant la definici d'un coeficient de correlaci D ,xy

Aquest coeficient t un valor comprs entre -1 i +1, i val 0 quan x i y sn independents.

Per estendre l'equaci (8.19) al cas de p variables aleatries no independents, definim 2 com laisensibilitat de y a cadascuna d'elles,

i finalment queda,

on D = 0 quan i = j.ij

)))))))) ))))))))

Exemple 8.7

Estimem l'error coms en el mesurament de l'exemple 8.1, considerant primer que V i I es mesurenamb aparells diferents que tenen errors incorrelats, i desprs que es mesuren amb un mateix aparell peral qual els errors en V i I sn totalment correlats.

L'equaci (8.24) es converteix en aquest cas en

*R*V

'1I'

115 mA

*R*I

'&V

I 2'

&24 V

(15 mA)2

sV'710&424 V

sI'2,710&415 mA

n


on interpretem els factors s no com a varincies sin com a errors mxims. En el punt de mesuramentconsiderat, tindrem

i, per tant, quan considerem la correlaci nulla,

s = 1,25 S + 0,19 S = 1,44 SR2 2 2 2

s = 1,2 SR

Quan considerem una correlaci +1,

s = 1,44 S - 0,97 S = 0,47 SR2 2 2 2

s = 0,7 SR

Si, en canvi, considervem el cas pitjor (exemple 8.1), l'error era de 2 S.

)))))))) ))))))))

Aquest exemple ens porta a la pregunta segent: si en lloc d'interessar-nos per la varincia d'unamagnitud que s funci d'altres magnituds, ens interessem per l'interval de confiana de la magnituddependent, en funci dels intervals de confiana de cadascuna de les magnituds mesurades, podemaplicar directament (8.19) o (8.24)? Hi ha autors que, quan la distribuci de les magnituds mesuradess gaussiana, apliquen directament l'equaci (8.19) substituint la varincia ajustada de la mostra, s ,i

2

pel quadrat dels lmits de confiana (ks / ) . Si el nombre de mesuraments de cadascuna de lesi i2 2

magnituds s gran, el procediment s correcte, per si s petit (menys de 31), el nivell de confianade l'estimaci s inferior al que tindrem en cada magnitud mesurada. Per tal de corregir-ho, es faservir la frmula de Welch-Satterwaite per estimar el nombre de graus de llibertat i llavors escollir elvalor t (

EE00502C

Documents

Transcript of EE00502C