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Aplicaciones de la programacin LinealHasta estos momentos el estudio se ha orientado a la comprensin de la programacin lineal en trminos del mtodo grfico de solucin, del anlisis de sensibilidad y de la interpretacin de las soluciones computadorizadas para problemas de programacin lineal. Estos antecedentes son esenciales para saber cundo la programacin lineal es una herramienta apropiada para resolver problemas y, tambin, para interpretar los resultados que la solucin de programacin lineal da para un problema.

En la prctica, la programacin lineal ha probado ser uno de los enfoques cuantitativos ms exitosos para la toma de decisiones en la administracin. Se han reportado numerosas aplicaciones en las industrias qumica, del aerotransporte, del acero, del papel, del petrleo y en otras. Los problemas especficos que han sido estudiados son diversos e incluyen programacin de la produccin, seleccin de medios publicitarios, planeacin financiera, presupuestos de capital, transporte, ubicacin de plantas, mezcla de productos, asignacin de personal, mezclados y muchas otras.

Tal como sugiere la variedad de las aplicaciones que se menciona, la programacin lineal es una herramienta flexible para resolver problemas, con aplicaciones en muchas disciplinas. En este capitulo, se exponen aplicaciones en las reas de mercadotecnia, finanzas y administracin de la produccin. En la seccin final se presenta una aplicacin en el campo relativamente nuevo del anlisis global de datos. En muchos de los ejemplos se presentan soluciones por computadora que se obtienen utilizando el paquete de programas denominado The Management Scientist.

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4.1

ALGUNOS

LINEAMIENTOS

PARA

LA

FORMULACION DE LOS MODELOSEn las aplicaciones que siguen se vera la forma en la que se pueden plantear diversos problemas como programas lineales. Aunque el proceso de formulacin o planteamiento de modelos de programacin lineal es un arte que se aprende con la prctica y la experiencia, los siguientes lineamientos o casos generales pueden ser tiles al comenzar a formular los propios modelos de programacin lineal. 1. Entender por completo el problema 2. Plantear el problema en forma tan concisa como sea posible, formulando enunciados verbales de lo siguiente: Objetivo. El propsito del problema, tal como maximizar utilidades, minimizar tiempo, etc. Variables de decisin. Los aspectos del problema que se pueden controlar o determinar y que ayudan a alcanzar el objetivo que se plantea. Restricciones. Las limitaciones o condiciones que se deben satisfacer para que la solucin sea factible. 3. Utilizando las variables de decisin como incgnitas (por ejemplo x1, x2, etc.), formular expresiones matemticas que describan el objetivo y cada una de las restricciones. Se debe recordar que como el mtodo es de programacin lineal, las expresiones que se utilizan para el objetivo y para las restricciones deben ser relaciones lineales. 4. Aadir los requisitos de no negatividad (Xi 0) para cada una de las variables de decisin.

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En este punto debe tenerse un modelo de programacin lineal que represente el problema o aplicacin que se estudia. La solucin del modelo proporcionar los valores ptimos de las variables de decisin, as como tambin informacin acerca del anlisis de sensibilidad. La interpretacin adecuada puede ofrecer informacin valiosa sobre la toma de decisiones para los administradores.

4.2

APLICACIONES EN MERCADOTECNIA

Seleccin de medios de publicidad

Las aplicaciones de programacin lineal para la seleccin de medios publicitarios estn diseadas para ayudar a los gerentes de fijos de publicidad a diversos medios. Los medios potenciales incluyen peridicos, revistas, radio, televisin y correo directo. En la mayor parte el objetivo es maximizar Ia exposicin a la audiencia. Las restricciones sobre las asignaciones permisibles usualmente se producen por consideraciones como politicas de la compaa, requisitos contractuales y disponibilidad de los medios. En Ia aplicacin que se presenta enseguida, se ilustra la forma en que podra plantearse un problema de seleccin de medios, y su solucin utilizando un modelo de programacin lineal.

Considrese

el

caso

de

la

empresa

Relax-and-Enjoy

Lake

Development Corporation. La Relax-and-Enjoy est realizando el proceso de desarrollo de un centro habitacional que se ubicar en las riberas de un lago de propiedad privada, y el negocio consiste en la

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venta de inmuebles para vacaciones o de albergues para retiro.

principal mercado para esto lotes en las orillas del lago incluye a todas las familias de ingresos medios y altos dentro de un radio de aproximadamente 100 millas desde tal centro. La Relax and - Enjoy ha utilizado los servicios de la firma de publicidad Boone Phillips and Jackson para el proyecto de la campaa promocional. Despus de considerar los posibles medios publicitarios y el mercado que se debe cubrir, la Boone ha hecho la recomendacin preliminar de restringir la publicidad del primer mes a cinco fuentes. Al final del mes, la empresa reevaluara su estrategia, con base en los resultados. La Boone ha recopilado datos acerca del nmero de familias potencialmente compradoras a las que se llega, el costo por publicidad, el nmero mximo de veces que esta disponible cada medio, y la disposicin esperada para cada uno de los cinco medios publicitarios. La exposicin esperada se mide en trminos de una unidad de exposicin, que es una del valor relativo de un anuncio en cada uno de los medios. Tales medidas, con base en la experiencia que la compaa tiene en el negocio de la publicidad, toman en consideracin factores tales como perfil de la audiencia (edad, ingresos y grado de educacin), imagen que se presenta y calidad del anuncio. En la tabla 4.1 se presenta la informacin recopilada. La firma Relax-and-Enjoy ha proporcionado a la Boone un

presupuesto de publicidad de $30.000 (dlares) para la campaa del primer mes. Adems, ha impuesto las siguientes restricciones sobre la forma en que la Boone puede asignar esos fondos: se deben utilizar cuando menos 10 anuncios (o comerciales) de televisin, y se debe llegar cuando menos a 50000 compradores potenciales durante el mes. Adems, no pueden invertirse mas de $ 18000 en anuncios por televisin. Que plan de seleccin de medios debe recomendar la empresa publicitaria?

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TABLA 4.1 Alternativas de medios de publicidad para la Relax and Enjoy Lake Development Corporation

Medios de publicidad TV diurna (1 min) estacion WKLA

# familias Costo compradoras por anuncio 1000 $ 1.500 $ 3.000 $ 400 $ 1.000 $ 100

# ocasiones disponibles 15 10 25 4 30

Unidades esperadas 65 90 40 60 20

TV nocturna (30 2000 seg), estacion WKLA Periodico diario The 1500 Morning Journal Suplemento de periodico dominical Radio: noticias 8:00 A.M. o 5:00 P.M. 2500 300

El numero mximo de las ocasiones que esta disponible el medio es el numero mximo de ocasiones en que se presenta el medio de publicidad (por ejemplo, 4 domingos para el medio numero 4) o el numero mximo de ocasiones en que Boone permitir que se utilice el medio.

Se comienza definiendo las variables de decisin de la siguiente manera: X1 = numero de ocasiones en que se utiliza la TV diurna X2 = numero de ocasiones en que se utiliza la TV nocturna X3 = numero de ocasiones en que se emplea el peridico diario X4 = numero de ocasiones en que se emplea el peridico dominical X5 = numero de ocasiones en que se utiliza la radio.

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Con el objetivo de maximizar la exposicin esperada, la funcin objetivo se convierte en: X4+ 20 X5. Ahora pueden plantearse las restricciones para el modelo a partir de la informacin dada: X1 X2 X3 X4 X5 15 10 25 4 30 max 65 X1 + 90 X2+ 40 X3 + 60

1500 X1 + 3000 X2 + 400 X3 + 1000 X4 + 100 X5 30000 Prepuesto X1 + 1000 X1 + X2 2000 X2 + 1500X3 + 10 18000 2500 X4 + 300 X5 1500 X1 + 3000 X2 50000 Audiencia X1, X2, X3, X4, X5 0 En la Tabla 4.2 se presenta la solucin para este modelo de programacin lineal con nueve restricciones y cinco variables. TABLA 4.2 Plan de publicidad para la Relax-and-Enjoy Lake Development Corporation

Medios publicitario TV diurna Periodico diario Periodico dominical

Presupuesto $ Frecuencia 10 15000 25 10000 2 2000 6

Gerencia de Operaciones I Radio 30

Ing. Oscar Mendoza Macas 3000 30000

Total de audiencia alcanzada = 61500 Exposicion esperada = 2370

Un posible defecto de este modelo es que, aun cuando la medida de la exposicion esperada no estuviera sujeta a error, no existe garanta de que maximizar la exposicion esperada total conducir a la maximizacin de las Utilidades o las ventas (un sustituto comn para las utilidades). Sin embargo este no es un defecto de la programacin lineal; ms bien es una desventaja de utilizar la exposicion como criterio. Ciertamente, si fuera posible medir en forma directa el efecto que la publicidad tiene sobre las utilidades, se utilizaran las utilidades totales como el objetivo a minimizar. Adems, se debe estar consciente de que el modelo de seleccin de medios, tal como se planteo en esta seccin, no incluye consideraciones como las siguientes: 1. El valor de la exposicin se reduce con la repeticin en el uso de los medios. 2 Descuentos en costos por utilizacin repetida de los medios. 3. Traslape de la audiencia en los distintos medios. 4. Recomendaciones de tiempo para los anuncios. Con frecuencia es posible utilizar un planteamiento ms complejo (ms variables y restricciones) para vencer estas limitaciones, pero no siempre ser posible superarlas todas con un modelo de programacin lineal. Sin embargo, aun en estos casos, con frecuencia 7

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puede utilizarse un modelo de programacin lineal para llegar a una aproximacin de la mejor decisin. La evaluacin de los administradores, combinada con la solucin de la programacin lineal, debe hacer posible entonces la eleccin de una estrategia global efectiva para la publicidad.

Notas y Comentarios1. En general, se utilizan x1, x2, etc., para denotar las variables de decisin en un modelo de programacin lineal. Al comenzar el planteamiento del modelo, se expone en forma cuidadosa la notacin utilizada y la definicin de cada variable de decisin. Al mismo tiempo que se puede utilizar la notacin x1, x2, etc., en cualquier modelo de programacin lineal, algunos cientficos de la administracin prefieren hacer uso de un esquema de notacin ms descriptivo para cada variable de decisin. Por ejemplo, el modelo de seleccin de medios podra haber sido formulado como DTV para denotar televisin durante el da; por NTV, para televisin durante la noche; por P, para peridicos; por PD, para publicaciones domsticas; por R, para revistas. En este caso, la funcin objetivo quedarla expresada de la siguiente manera: Max 65DTV + 9OIVTV + 40P + 6OPD + 20R

Las restricciones se plantearan en trminos de la notacin ideada: DTV, NTV, P, PD, R. En cualquier caso, es importante observar que el modelo se puede formular con cualquier notacin o combinacin de notaciones para las variables de decisin. Sin importar cul sea la decisin, siempre es conveniente definir con cuidado las variables de decisin y la notacin que se utiliza desde el principio del planteamiento del modelo. 2. Debe observarse que el modelo de seleccin de medios, quiz ms 8

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que la mayora de los dems modelos de programacin lineal, requiere de evaluaciones subjetivas crticas para las calificaciones sobre la exposiciOn de los diversos medios alternos. Aun cuando los gerentes de mercadotecnia pueden contar con considerables datos acerca de la exposicin a la publicidad, los coeficientes finales que se utilizan en la funcin objetivo incluyen consideraciones que se basan primordialmente en el criterio de los administradores. Sin embargo, la introduccin de juicios es una forma aceptable de obtener datos para un modelo de programacin lineal.

Investigacin de MercadotecniaDiversas organizaciones Llevan a cabo investigaciones mercadotcnicas para determinar caractersticas de los consumidores, actitudes y preferencias con respecto a productos o servicios que las organizaciones ofrecen. Con frecuencia, las investigaciones reales las lleva a cabo una empresa de investigacin de mercadotecnia que se especializa en ofrecer a sus clientes la informacin que desean sobre el mercado. Los servicios que las empresas de investigacin mercadotcnica ofrecen por lo comn incluyen el diseo del estudio, la realizacin de las encuestas de mercado, el anlisis de los datos recopilados y reportes resumidos y recomendaciones para el cliente. En la fase de diseo de la investigacin, es posible que se establezcan objetivos o cuotas para el nmero y tipos de entrevistados que la investigacin debe alcanzar. Cuando se establecen lineamientos sobre cuotas, el objetivo de la empresa investigadora es Llevar a cabo la encuesta de manera que se satisfagan las necesidades de los clientes a un costo mnimo. La firma Market Survey, Inc. (MSI), es una empresa de investigacin de mercadotecnia que se especializa en evaluar la reaccin de los consumidores ante productos, servicios y campaas de publicidad nuevos. Una empresa cliente ha solicitado que le ayude a determinar la reaccin de consumidores ante un producto recientemente comercializado para uso domestico. En el curso de algunas reuniones con el diente, se acord que se utilizaran entrevistas personales de puerta en puerta para obtener informacin tanto de hogares con nios los como de hogares sin ellos. Adems, se acord que seria necesario realizar entrevistas tanto diurnas como nocturnas, con objeto de incluir diversos horarios de trabajo en los hogares Especficamente, el contrato de este cliente exiga a la SMI realizar 1000 entrevistas con los siguientes lineamientos sobre cuotas:

1. Se entrevistaran cuando menos 400 hogares con nios. 2. Se entrevistaran cuando menos 400 hogares sin nios. 9

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3. El numer total de hogares entrevistados durante la noche seria cuando menos igual al nmero de hogares entrevistados durante el da. 4. Cundo menos el 40% de las entrevistas para hogares con nios se realizaran durante la noche. 5. Cuando menos el 60% de las entrevistas para hogares sin nios se realizaran durante la noche.

Como las entrevistas en hogares con nios requieren de tiempo adicional del entrevistador, y como a los entrevistadores nocturnos se les paga ms que a los que trabajan de da, el costo de las entrevistas vara segn su tipo. Con base en estudios previos, las estimaciones sobre los costos de las entrevistas son: Costo de la entrevista Diurna Nocturna $ 20 $ 25 $ 18 $ 20

Hogar Nios No nios

Cual es el plan de entrevistas, por hogar y por parte del da, que satisface los requerimientos contractuales a un costo mnimo total para las entrevistas? El planteamiento de un modelo de programacin lineal para el problema de la Market Survey es buena oportunidad para introducir el uso de variables de decisin con doble subndice. Utilizando x para representar las variables decisorias, se utilizan dos subndices para x, en donde el primer subndice seala si la entrevista implica a nios o no, y el segundo indica si la entrevista se realiza durante el da o durante la noche. Utilizando 1 para nios y 2 para no nios, y 1 para da y 2 para noche, se pueden utilizar subndices dobles para identificar las siguientes variables de decisin: X11 = nmero de entrevistas en hogares con nios a realizar durante el da X12 = nmero de entrevistas en hogares con nios a realizar durante la noche

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X21 = nmero de entrevistas en hogares sin nios a llevar a cabo durante el da X22 = nmero de entrevistas en hogares sin nios a llevar a cabo durante la noche Se comienza el planteamiento del modelo de programacin lineal utilizando los datos de costos por entrevista para elaborar la siguiente funcin objetivo: min. 20 X11 + 25 X12 + 18 X21 + 20 X22 La restriccin que exige un total de 1000 entrevistas se expresa como X11 + X12 + X21 + X22 = 1000 Las cinco especificaciones que se refieren a los tipos de entrevistas son las siguientes: 1. Hogares con nios X11 + X12 400 2. Hogares sin nios: X21 + X22 400 3. Cuando menos tantas entrevistas nocturnas como diurnas: X12 + X22 X11 + X21 El formato normal para el planteamiento del modelo de programacin lineal y para la introduccin de datos en la computadora hace que se coloquen todas las variables de decisin en el lado izquierdo de la desigualdad, y una constante (posiblemente cero) en el lado derecho. Por ello, se reescribirla esta restriccin como X11 + X12 X2I + X22 0

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4. Cuando menos 40% de las entrevistas en hogares con nios durante la noche: X12 .4(X11 + X12) O - .4 X11 + .6X12 0 Aadiendo los requisitos de no negatividad, el modelo de programacin lineal de cuatro variables y seis restricciones se convierte en Min 20X11 + 25X12 + 18X21 + 20X22

Sujeto a X11 + X12 + X21 + X22 = 1000 Total de entrevistas X11 + X12 400 Hogares con nios X21 + X22 400 Hogares sin nios X11 + X12 X21 + X22 0 mas entrevistas nocturnas .4X11 + .6X12 noche .6X21 + .4X22 0 Hogares sin nios, noche X11, X12, X21, X22 0 0 Hogares con nios,

En la Fig. 4.1 se muestra la solucin por computadora del programa lineal anterior. Utilizando los resultados de la solucin por computadora, se observa que el costo mnimo de $20,320 se presenta con el siguiente programa de entrevistas:

Hogar Nios

Numero de entrevistas diurnas nocturnas 240 160

totales 400

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Gerencia de Operaciones I No nios Totales 240 480

Ing. Oscar Mendoza Macas 360 520 600 1000

Como se puede observar, se programan 480 entrevistas durante el dia y 520 durante la noche. Los hogares con nios se cubren mediante 400 entrevistas, y los hogares sin nios, mediante 600 entrevistas. Una informacin seleccionada sobre el anlisis de sensibilidad de la Fig. 4.1 muestra un precio dual de 19.2 para la restriccin 1. Esto indica que la funcin objetivo empeorara

Variable X11 X12 X21 X22

Costos Valor reducidos 240,000015 0,000001 159,999985 0,000001 240 0,000002 360 0 Holgura / Excedente 0 0 200 40 0 0 Precios duales -19,200001 -2,799999 0 0 -4,999998 -1,999998

Restriccion 1 2 3 4 5 6

FIGURA 4.1 Solucin por computadora del problema de investigacin de mercados utilizando The Management Scientist. (el costo aumentara) en $19.20 si se aumenta el numero de entrevistas de 1000 a 1001. Por ello, $19.20 es el incremento en los costos al obtener entrevistas adicionales. Tambin representa los ahorros que se podran lograr al reducir el nmero de entrevistas de 1000 a 999. El precio dual para el requisito de 400 hogares con nios (restriccin 2) indica que solicitar entrevistas adicionales en hogares con nios no mejora la funcin objetivo. De hecho, las entrevistas adicionales en hogares con nios aumentaran el costo total a razn de aproximadamente $2.80 por entrevista.

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La variable de excedente que tiene un valor de 200 para la restriccin 3, muestra que se van a entrevistar 200 ms hogares con nios que los que se requieren. De manera similar, la variable de excedente que tiene un valor de 40 para la restriccin 4 muestra que el nmero de entrevistas nocturnas excede al nmero de entrevistas diurnas en 40. Los valores nulos para las variables de excedente de las restricciones 5 y 6 indican que se mantienen en un mnimo las entrevistas nocturnas, que son las ms costosas. 4.3 APLICACIONES FINANCIERAS Seleccin de cartera Los problemas de seleccin de cartera implican situaciones en las que los gerentes financieros deben elegir inversiones especificas (por ejemplo, acciones, bonos) a partir de diversas alternativas de inversin. Los administradores de fondos mutualistas, de uniones de crdito, de compaas de seguros y de bancos, encuentran frecuentemente este tipo de problemas. La funcin objetivo para los problemas de seleccin de cartera es por lo comn la maximizacin del rendimiento esperado o la minimizacin de los riesgos. Las restricciones asumen, por lo general, la forma de restricciones sobre el tiempo de inversiones permisibles, leyes estatales, politicas de la compaa, mximo riesgo permisible, etctera. Se han planteado y resuelto problemas de este tipo utilizando diversas tcnicas de programacin matemtica. Sin embargo, si es posible plantear una funcin objetivo lineal y restricciones lineales en un problema especfico de seleccin de cartera, entonces puede utilizarse la programacin lineal para resolverlo. En esta seccin se muestra la forma en la que puede plantearse un problema de seleccin de cartera y el modo en que se puede resolver como programa lineal. Considrese el caso de la firma Welte Mutual Funds, Inc., ubicada en la ciudad de Nueva York. La empresa acaba de obtener $100,000 al convertir bonos industriales en efectivo, y ahora est en busca de otras oportunidades de inversin para esos fondos. Considerando las inversiones de la Welte en esos momentos, el principal analista financiero de la empresa recomienda que se hagan todas las nuevas inversiones en la industria petrolera, en la industria del acero o en bonos gubernamentales. Especficamente, el analista ha identificado cinco oportunidades de inversin y proyectado sus tasas anuales de 14

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rendimiento. Las inversiones y las tasas de rendimiento son las que se muestran en la Tabla 4.3. La direccin de la Welte ha impuesto los siguientes lineamientos sobre la inversin: 1. Ninguna de las industrias (petrleo o acero) debe recibir ms de 50% de la inversin nueva total.

2. Los bonos de gobierno deben ser de cuando menos 25% de las inversiones en la industria siderrgica. 3. Las inversiones en la Pacific Oil, la inversin con altos rendimientos pero tambin altos riesgos, no puede ser ms de 60% del total de las inversiones en la industria petrolera. Qu recomendaciones de cartera (inversiones y montos) se deben hacer para los $100,000 disponibles? Dado el objetivo de maximizar los rendimientos proyectados, sujeto a las restricciones presupuestales y administrativas que se han impuesto, puede contestarse esta pregunta planteando un modelo de programacin lineal para el problema. La solucin para este modelo de programacin lineal ofrecer, entonces, recomendaciones sobre inversin para los administradores de la Welte Mutual Funds.

Sean, X1 = dlares invertidos en Atlantic Oil X2 = dlares invertidos en Pacific Oil X3 = dlares invertidos en Midwest Steel X4 = dlares invertidos en Huber Steel X5 = dlares invertidos en bonos gubernamentales Utilizando las tasas de rendimiento proyectadas que se muestran en

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la Tabla 4.3, la funcin objetivo para maximizar el rendimiento total sobre la cartera puede escribirse como Max O.073X1 + 0.103X2 + 0.064X3 + 0.075X4 + 0.045X5

TABLA 4.3 Oportunidades de inversin para Welte Mutual Funds

Inversion Atlantic Oil Pacific Oil Midwest Steel Huber Steel Bonos gubernamentales

Tasa de rendimienlo proyectada (%) 7.3 10.3 6.4 7.5 4.5

La restriccin que especifica la inversin de los $100000 se expresa como X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 100000 Los requisitos de que ni la industria del petrleo ni la industria del acero reciban ms de 50% de la inversin de $100,000, se escribe de la siguiente manera: X1 + X2 50,000 Industria petrolera x3 + x4 50,000 Industria siderurgia

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El requisito de que los bonos de gobierno sean de cuando menos 25% de la inversin en la industria siderurgia se expresa de la siguiente manera: X5 0.25 (X3 + X4) o bien 0.25X3 0.25X4 + X5 0

Finalmente, la restriccin de que la inversin en Pacific Oil no puede ser ms de 60% de la inversin total en la industria petrolera se convierte en: X2 0.60 (X1 + X2) o bien 0.60X1 + 0.40X2 0 Sumando las restricciones de no negatividad, el modelo completo de programacin lineal para el problema de inversin de la Welte Mutual Funds es el siguiente: Max 0.073X1 + 0. 103X2 + 0.064X3 + 0.075X4 + 0.045X5 Sujeta a X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 100,000 Fondos disponibles

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X1 + X2 petrolera X3 + X4 del acero

50,000 Mximo de la industria 50,000 Mximo de la industria

-0.25X3 0.25X4 + X5 0 Mnimo de bonos gubernamentales 0.6X1 + 0.4 X2 0 Restriccin de la Pacific Oil x1,x2,x3,x4,x5 0

Valor de la funcin objetivo= 8000.000000 Variable X1 X2 X3 X4 X5 Valor Costos reducidos 19999.998000 0.000000 3000.002000 0.000000 0.000000 0.011000 40000.000000 0.000000 10000.000000 0.000000 Holgura / Excedente 0 0 10000 0 0 Precios duales 0.069000 0.022000 0.000000 -0.024000 0.030000

Restriccion 1 2 3 4 5

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FIGURA 4.2 Solucin por computadora del problema de Welte Mutual Funds utilizando The Management Scientist. Se resuelve este problema utilizando The Management Scientist y el listado se muestra en la Fig. 4.2. En la Tabla 4.4 se muestra la forma en la que se dividen los fondos entre los valores. Obsrvese que la solucin optima seala que la cartera se debe diversificar entre todas las oportunidades de inversin, exceptuando a Midwest Steel. El rendimiento anual proyectado para esta cartera es $8,000, lo cual significa una tasa global de rendimiento del 8%. Utilizando el listado de la computadora para el problema de inversin de la Welte que se muestra en la Fig. 4.2, se observa que es cero el precio dual para la restriccin 3. Esto es as porque el mximo de la industria del acero no es una restriccin limitante; aumentos en el lmite de la industria siderrgica de $50,000 no mejoraran el valor de la funcin objetivo. De hecho, la variable de holgura para esta restriccin muestra que la inversin actual en la industria del acero est $10,000 por debajo de su lmite de $50,000. Los precios duales de las dems restricciones son diferentes de cero, lo cual seala que son restricciones limitantes en la solucin ptima. TABLA 4.4 Seleccin Optima de cartera para Welte Mutual Funds Rendimiento anual Monto esperado 20,000 $ 1.460 30,000 3090 40,000 3000 450 8000

Inversin Atlantic Oil Pacific Oil Huber Steel Bonos gubernamentales

10,000 100,000 Rendimiento anual esperado de $8000 = 8%

El precio dual de 0069 para la restriccin 1 muestra que es posible aumentar la funcin objetivo en 0.069 si se puede tener a disposicin un dlar ms para inversin en la cartera. Si es posible obtener fondos a un costo inferior a 6.9%,los administradores deberan considerar obtenerlos. Por otro lado, si puede adquirirse un rendimiento superior a 6.9% invirtiendo los 19

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fondos en alguna, otra parte (que no sean estos cinco ttulos-valor) los administradores deben considerar cun conveniente ser invertir la totalidad de los $100,000 en esta cartera. Se pueden dar interpretaciones similares para los otros precios duales. Sin embargo, ntese que es negativo el precio dual para la restriccin 4; su valor es O 024. Esto indica que aumentar en una unidad el valor en el lado derecho de una restriccin puede ocasionar, posiblemente, un cambio en la funcin objetivo de 0.024. En trminos de la cartera Optima, esto significa que si la Welte invierte un dlar ms en bonos del gobierno, su rendimiento total disminuir en 2.4 centavos. Para ver por qu sucede esto, obsrvese de nueva cuenta en el precio dual de la restriccin 1 que el rendimiento marginal de los fondos invertidos en la cartera es 6.9% (el rendimiento promedio es 85). La tasa de rendimiento de los bonos gubernamentales es 4.5%. Par ella, el costo de invertir un dlar ms en bonos de gobierno es la diferencia entre el rendimiento marginal de la cartera y el rendimiento marginal de los bonos gubernamentales: 6.9% 4.5% = 2.4%. Obsrvese que la solucin Optima con x = 0 muestra que la Midwest Steel no debe incluirse en la cartera. El costo reducido correspondiente a x3, 0.011, indica que el coeficiente de la funcin objetivo-para la Midwest Steel tendra que aumentar en 0.011 antes de que fuera deseable considerar a esta empresa coma alternativa de inversin. Con este aumento, el rendimiento de la Midwest Steel sera 0.064 + 0.011 = 0.75, hacienda que esta inversin fuera justamente tan deseable como la alternativa de inversin que actualmente se utiliza, la de Huber Steel. Finalmente, una modificacin sencilla sobre el modelo de programacin lineal de la Welte permite determinar la fraccin de los fondos disponibles que se invierten en cada alternativa. Es decir, se dividen entre 100,000 los valores del lado derecho. Entonces, los valores ptimos para las variables proporcionan la fraccin de los fondos que deben invertirse en cada ttulo, para una cartera de cualquier tamao.

NOTAS Y COMENTARIOS La solucin ptima para el problema de la Welte Mutual Funds indicaba que se deban invertir $20,000 en acciones de la Atlantic Oil. Si la Atlantic Oil se vende en $75 por accin, se tendran que comprar exactamente 266 2/3 acciones para invertir exactamente $20,000. Por lo general, la dificultad para adquirir acciones fraccionarias se maneja adquiriendo el mayor nmero entero posible de acciones con los fondos asignados (por ejemplo, 266 acciones para la Atlantic Oil). Este mtodo garantiza que no se infringe la restriccin presupuestal. 20

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Por supuesto, lo anterior introduce la posibilidad de que la solucin ya no sea la ptima, pero el peligro es reducido si se trata de un nmero grande de acciones. En los casos en que el analista considere que es crucial que las variables de decisin tengan valores enteros, el problema debe plantearse coma modelo de programacin lineal segn enteros. Esta programacin lineal es la materia del Cp. 8.

Estrategia de Combinacin Financiera Las estrategias de mezcla o combinacin financiera implican la seleccin de medios para financiar proyectos de la compaa, inventarios operaciones de produccin y otras actividades. En esta seccin se ilustra la forma en que puede utilizarse la programacin lineal para resolver problemas de este tipo, planteando y resolviendo un problema que implique el financiamiento de operaciones de produccin. En esta aplicacin especfica, se debe tomar una decisin financiera respecto a cuanta produccin se debe financiar mediante fondos generados internamente, y qu tanta produccin se debe financiar mediante fondos externos. La Jefferson Adding Machine Company va a comenzar la fabricacin de dos nuevos modelos de calculadoras electrnicas en los tres meses prximos. Como la fabricacin de estos modelos exige ampliar la operacin de produccin que se tiene en esos momentos, la compaa necesitar fondos de operacin para cubrir los costos de materiales, mano de obra y otros gastos, durante el periodo inicial de produccin. Los ingresos provenientes de este periodo inicial de produccin no estarn disponibles sino hasta despus del final del periodo. As, la compaa debe obtener financiamiento para estos gastos de operacin, antes de que pueda empezar a fabricar. La Jefferson ha apartido $3,000 de fondos internos para cubrir los gastos de la operacin. Si se requieren fondos adicionales, tendrn que ser generados en el exterior. Un banco local ha ofrecido una lnea de crdito a corto piazo para una cantidad que no exceda de $10,000. La tasa de inters para la vigencia del prstamo ser de 12% anual sobre la cantidad que se tenga a crdito. Una estipulacin fijada por el banco exige que la parte restante del efectivo que la compaa aparto para esa operacin, ms las cuentas por cobrar provenientes de esta lnea de productos, sean de cuando menos el doble del crdito pendiente de pagar, ms los intereses al final del periodo inicial de produccin. Adems de las restricciones financieras sobre la operacin, la capacidad de la mano de obra es tambin un factor que la Jefferson

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debe tomar en consideracin. Solo se tienen disponibles 2500 horas de tiempo de ensamble y 150 horas de tiempo de empaque y envo para la nueva lnea de productos, durante el periodo inicial de produccin de tres meses. En la Tabla 4.5 se muestran los datos relevantes sobre costos, precios y requisitos de tiempos de produccin para los dos niveles, a los que se denomina Y y Z. Los administradores de la compaa han impuesto restricciones adicionales con objeto de garantizar que es posible probar la reaccin del mercado ante ambos productos; es decir, deben fabricarse cuando menos 50 unidades del modelo Y y cuando menos 25 unidades del modelo Z en ese primer periodo de produccin.

TABLA 4.5 Datos de costos, precios y mano de obra para Jefferson Adding Machine CompanyCosto unitario (materiales y otros gastos variables) $ 50 $ 100 Horas de mano de Precio de venta $ 58 $ 120 Margen de utilidad $8 $ 20 obra que se requieren Empaque y envo 1 2

Modelo Y Z

Ensamblado 12 25

Como el costo de las unidades que se fabrican utilizando fondos crediticios sufrir, en efecto, un cargo por inters, se reducen las contribuciones a las utilidades para los modelos Y y Z que se fabrican con fondos obtenidos a crdito. Por ello, se adopta la siguiente notacin para las variables de decisin del problema: X1 = unidades del modelo Y fabricadas con fondos de la compaa X2 = unidades del modelo Y fabricadas con fondos obtenidos a crdito X3 = unidades del modelo Z fabricadas con fondos de la compaa

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X4 = unidades del modelo Z fabricadas con fondos obtenidos a crdito Qu tanto se reduce la contribucin a las utilidades de las unidades que se fabrican con fondos obtenidos a crdito? Para resolver esta pregunta, debe saberse durante cunto tiempo estar vigente el prstamo. Se supone que todas las unidades de cada modelo se venden, conforme se fabrican, a distribuidores independientes, y que la tasa promedio de rotacin de las cuentas por cobrar es de tres meses. Como los administradores de la compaa han especificado que el crdito debe pagarse con los fondos generados por las unidades que se fabrican mediante fondos crediticios, los fondos que se obtienen a crdito para fabricar una unidad del modelo Y o una unidad del modelo Z se pagarn aproximadamente tres meses de despus Por ello, la contribucin a las utilidades para cada unidad del modelo Y que se fabrica con fondos crediticios se reduce de $8 a $8 ($50 x 0.12 x yr) = $6.50, y la contribucin a las utilidades para cada unidad del modelo Z que se fabrica con fondos crediticios se reduce de $20-a $20($l00 x 0.12 x yr) = $17. Con esta informacin se puede ahora plantear la funcin objetivo para la mezcla financiera de la Jefferson: Max 8x1 + 6.5x2 + 20x3 + 17x4 Pueden tambin especificarse las siguientes restricciones para el modelo: 12x1 + 12x2 + 25x3 + 25x4