Efecto de la presion hidrostaticasobre la energıa de enlace de

excitones confinados en puntoscuanticos y superredes de nanohilos

Trabajo de grado para optar al tıtulo de Maestrıa en Fısica

Presentada por:

Camilo Armando Moscoso MorenoCodigo: 835065

Dirigido por:

Jereson Silva Valencia, Ph. D.

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Departamento de FısicaBogota, 2009

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ResumenEn este trabajo calculamos la energıa de enlace del estado base de excitonesligeros y pesados confinados en puntos cuanticos esfericos de GaAs rodeadosde Ga1−xAlxAs bajo presion hidrostatica usando coordenadas esfericas paralos ligeros y el sistema de coordenadas de Hylleraas para los pesados, con laaproximacion de masa efectiva, el metodo variacional y una concentracion deAluminio de x =0.3. Tambien se determino la energıa de enlace del estadobase de excitones confinados en superredes de nanohilos cilındricos de GaAscon barreras de Ga1−xAlxAs con una capa externa de Ga1−yAlyAs dondela concentracion y era mayor que la concentracion interna x. Para el casode la superred se empleo el metodo variacional de Schrodinger. La presionhidrostatica afecta los parametros del material en bloque, como son la con-stante de red, la constante dielectrica, el gap de energıa y las masas efectivasdel electron y el hueco. Se asume como primera aproximacion, que el cambiode los parametros del punto cuantico y la superred debido a la presion, esigual al del material en bloque. Los parametros afectados por la presion setoman reportados experimentalmente. La energıa de enlace se calculo comofuncion de la presion hidrostatica, el radio del punto y del nanohilo, y la con-centracion de Aluminio para el caso de los huecos ligeros. Se encontro quela energıa de enlace aumenta a medida que aumentamos la presion especial-mente para los radios pequenos y se puede observar el efecto de cuantizacionextra en los puntos cuanticos donde los excitones presenten energıas de enlacemayores que los que se tienen para la superred. Los resultados obtenidos con-cuerdan con aquellos presentados por otros autores con sistemas similares.

AgradecimientosDeseo agradecer profundamente a mis padres Alfredo y Mariela, y a mishermanos Sandra y Jorge, por el apoyo incondicional que he recibido, la con-fianza depositada en todos las aventuras que he emprendido y por ensenarmeque todo es posible mientras mantengamos vivos nuestros suenos. A minovia y amiga Marcela por su companıa desinteresada, su gran apoyo y porhaber compartido grandes momentos durante la realizacion de esta maestrıa,ademas fue ella quien transcribio la mayorıa de las ecuaciones de este escritologrando ası la puntual culminacion y por lo cual me encuentro inmensamenteagradecido. A mis amigos Benjamın, Jonathan, Mario, Julian y Javier, portodos los grandes momentos compartidos durante la carrera y la maestrıa,por las discuciones y consejos que a lo largo de este tiempo se dieron. Ami director Jereson y co-director Roberto quienes durante casi 4 anos mehan transmitido sus conocimientos, consejos y me brindaron su amistad. AlProfesor Ilia Mikhailov por compartir su inmensa sabidurıa, al estudiante demaestrıa Eduardo Galvan por las tardes enteras que pasamos programandoy a todos los demas estudiantes del grupo de materia condensada de la UISquienes me acogieron y acompanaron durante los dıas que pase en Bucara-manga. Al proyecto de Colciencias titulado ”Sistemas de pocas partıculas ensuperredes de nanohilos cilındricos” con el codigo 1102-405-20351 el cual fi-nancio toda la maestrıa, y finalmente el apoyo financiero recibido por el DIB201010012400 que hicieron posibles todos los viajes que realice.

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Artıculos y presentacionesDurante la realizacion de este trabajo se han publicado los siguientes artıculosen revistas nacionales e internacionales:

”Efecto de la presion hidrostatica sobre la energıa de enlace de excitonesen puntos cuanticos esfericos”, Revista Colombiana de Fısica. 38, 141-144 (2006).

”Binding energy of light excitons in spherical quantum dots over hydro-static pressure”, Revista Colombiana de Fısica. 39, 59-62 (2007).

”The binding energy of light excitons in spherical quantum dots underhydrostatic pressure”, Rev. Mex. Fıs. 53, 189-193 (2007).

”Binding energy of heavy excitons in spherical quantum dots under hy-drostatic pressure”, Phys. Stat. Sol. B. 246, 486-490 (2009).

”Binding energy of excitons in quantum wire superlattice under hydos-tratic pressure”, se encuentra sometido a publicacion en Physica B.

Distintas partes del trabajo tambien fueron presentadas en los siguienteseventos en modalidad de poster:

Participacion del XXI Congreso Nacional de Fısica en el segundo semestrede 2005 en Barranquilla-Colombia.

Participacion en el 13o International Conference on High Pressure Semi-conductor Physics (HPSP 13) realizado del 22 al 25 de Julio de 2008en Fortaleza-Brasil

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Indice general

1. Introduccion 101.1. Estado actual del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Aspectos teoricos 152.1. Semiconductores GaAs - Ga1−xAlxAs

en bloque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1. GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.2. GaAlAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Confinamiento Cuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3. Heteroestructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4. Aproximacion de masa efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5. Excitones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.1. Propiedades de los excitones . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. Puntos Cuanticos 363.1. Fabricacion de Puntos Cuanticos . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Modelo para excitones confinados en puntos cuanticos esfericos 39

3.2.1. Electron y hueco libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.2. Electron y hueco correlacionados (Exciton) . . . . . . . 463.2.3. Parametros de red y efecto de presion . . . . . . . . . . 54

3.3. Resultados y analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4. Superred de Nanohilos 624.1. Fabricacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2. Excitones en superredes de nanohilos . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.1. Solucion del electron y el hueco libre . . . . . . . . . . 684.2.2. Solucion para el electron y hueco correlacionado (ex-

citon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.3. Presion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4. Resultados y analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

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5. Conclusiones 825.1. Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A. Barrido Trigonometrico 85

B. Simplificacion del Jacobiano 87

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Indice de figuras

1.1. Algunas aplicaciones de dispositivos nanotecnologicos. En la izquier-

da se muestran LEDs de una gran gama de colores generados

por puntos cuanticos coloidales fabricados por la empresa Evident

Technologies r, imagen tomada de la pagina web de la empresa

www.evidenttech.com. A la derecha se muestran tintas para seguri-

dad que aprovechan las propiedades optoelectronicas de los puntos

cuanticos fabricados por la misma empresa. . . . . . . . . . . . . 11

2.1. Estructura cristalina de GaAs. Es del tipo Zinc Blenda donde los

atomos de color morado (internos del cubo) son los del grupo III

como el Ga o Al, y los de color cafe (caras y extremos del cubo)

del grupo V como el As. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2. Zona de Brillouin para una red cubica de centrada en las caras

con los puntos de alta simetrıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3. Estructura de bandas para el GaAs. Imagen tomada del artıculo

publicado por I. Vurgaftman y colaboradores, J. Appl. Phys. 89,

5815 (2001) [23]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4. Gap de energıa en funcion de la concentracion de Aluminio x para

los tres puntos de simetrıa. Se observa como para x ≤0.4 el punto Γ

presenta el menor valor, de allı que sea de gap directo, para valores

mayores el gap es indirecto. Imagen tomada del artıculo publicado

por I. Vurgaftman y colaboradores, J. Appl. Phys. 89, 5815 (2001)

[23]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5. Estructuras de confinamiento cuantico. . . . . . . . . . . . . . . 212.6. Funciones de onda en un pozo infinito. . . . . . . . . . . . . . . 222.7. Pozo de GaAs rodeado de GaAlAs. Debido a que los gaps de

energıa entre el GaAs y el GaAsAl son diferentes, los electrones y

huecos se ven confinados en el GaAs, al colocarlos intercalados. . . 242.8. Gap de energıa en funcion de la constante de red para compuestos

semiconductores de III-V a temperatura cero. Imagen tomada del

artıculo publicado por I. Vurgaftman y colaboradores, J. Appl.

Phys. 89, 5815 (2001) [23]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

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2.9. Pozo de GaAs rodeado de GaAlAs. Ya que los gaps de energıa

entre el GaAs y el GaAsAl es diferente, los electrones y huecos se

ven confinados en el GaAs al colocarlos intercalados. . . . . . . . 272.10. Estructura de bandas del GaAs con la masa efectiva. . . . . . . . 282.11. Clases de Excitones. Los de tipoWannier-Mott mucho mas grandes

que la constante de red, y los de tipo Frenkel con radios del orden

de la constante de red. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.12. Energıa de enlace de un exciton en funcion del ancho del espesor

del pozo cuantico, para una heteroestructura de GaAs/GaAlAs.

Las curvas (1) y (2) son realizadas con dos funciones de onda dis-

tintas. Imagen tomada del artıculo publicado por G. Bastard en la

Phys. Rev. B en 1982 [28]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.13. Energıa de enlace de un exciton en funcion del ancho del espesor

del pozo cuantico, para una heteroestructura de GaAs/GaAlAs.

Las lıneas solidas corresponden al exciton con hueco pesado y las

lıneas punteadas al exciton de huecos ligeros. Imagen tomada del

artıculo publicado por R.L. Greene y colaboradores en la Phy. Rev.

B en 1984 [29]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1. Arriba izquierda: Imagen de nanocristales de CdSe obtenida por

un microscopio electronico de trasmision. Cada cristal se encuentra

recubierto por una monocapa de surfactante, tomado del artıculo

de Paul Alivisatos publicado en Pure Appl. Chem. en 2000 [53].

Estos puntos se pueden considerar como una especie de macro-

molecula. Cambiando el surfactante, los puntos se pueden disolver

en cualquier lıquido. Abajo: Puntos Cuanticos coloidales fabricados

por Evident Technologies r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2. Izquierda: Esquema del instrumento para crecimiento MBE.

Derecha: Los atomos disparados uno por uno son colocadosperfectamente sobre la superficie hasta que la tension entrelas constantes de red de los materiales forman el punto cuantico. 39

3.3. Sistema de coordenadas de Hylleraas. . . . . . . . . . . . . . . 403.4. Punto de igualdad entre el sin(LeR) y la recta definida por√

αe/VeR2(LeR). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5. Energıa de enlace de excitones ligeros en funcion del radio del

punto para P=0, 20 y 40 Kbar. . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6. Energıa de enlace de excitones pesados en funcion del radio

del punto para P=0, 20 y 40 Kbar. . . . . . . . . . . . . . . . 583.7. Energıa de enlace de excitones confinados en puntos cuanticos

esfericos de GaAs rodeados por Ga1−xAlxAs como funcion dela concentracion de Aluminio x. . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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3.8. Energıa de enlace de excitones confinados en puntos cuanticosesfericos de GaAs rodeados por Ga1−xAlxAs como funcion dela presion para un radio del punto de 30 A y una concentracionde Aluminio de x =0.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1. Diagrama de una superred de nanohilos con el potencial en la

direccion z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2. Esquema de fabricacion alternado. Imagen tomada del artıculo

publicado por M.S. Gudiksen y colaboradores, Nature 415, 617

(2001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3. Juntura de un nanohilo de GaAs/GaP. a) Imagen de alta resolu-

cion TEM de la juntura la cual fue crecida con un nanocluster de

Oro de 20 nm como catalizador. Escala de la barra 10 nm. b) Im-

agen TEM de otra juntura, escala de la barra 20 nm. c) d) y e)

Mapeo del Ga (gris), P (rojo) y As (azul). f) Lıneas de composicion

a traves de la juntura. Imagen tomada del artıculo publicado por

M.S. Gudiksen y colaboradores, Nature 415, 617 (2001). . . . . . 654.4. Arriba: a) Muestra de los nanohilos de GaAlN crecidos en la base

de Silicio, b) Seccion transversal de un nanohilo mediante SEM,

se puede ver la ausencia de imperfecciones. Abajo: Superred de

GaN/GaAlN, a) Se pueden observar 7 pozos de GaN, b) Cada disco

tiene un espesor de 4.5 nm. Imagen tomada del artıculo publicado

por J. Ristic y colaboradores, Phys. Rev. B 68, 125305 (2003). . . 664.5. Sistema de coordenadas cilındricas para el electron y el hueco. . . 674.6. Energıa de enlace en funcion del radio del hilo para P=0, 20

y 40 Kbar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.7. Funciones de onda para el electron y el hueco libre en la superred.

Arriba: Electron y hueco a presion P=0 Kbar, Abajo: Elecctron y

hueco a presion P=40 Kbar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.8. Distribucion de probabilidad para el exciton dejando fijo el elec-

tron en el primer pozo, segundo pozo, segunda barrera y en el

tercer pozo. La columna izquierda es para P=0 Kbar y la columna

derecha es para P=40 Kbar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.9. Distribucion de probabilidad para el exciton dejando fijo el hueco

en el primer pozo, segundo pozo, segunda barrera y en el tercer

pozo. La columna izquierda es para P=0 Kbar y la columna derecha

es para P=40 Kbar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

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Indice de cuadros

3.1. Constantes y coeficientes para la presion . . . . . . . . . . . . 553.2. Parametros para el GaAs punto . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1. Parametros para el GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

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Capıtulo 1

Introduccion

Para finales del siglo XX y comienzos del XXI, el estudio de los sistemasde baja dimensionalidad estimulo el desarrollo de nuevos materiales, graciasa que presentan entre otras nuevas propiedades opticas, electronicas y deconduccion. Ademas de los avances de las tecnicas experimentales que per-mitieron su fabricacion.Dentro de los sistemas de baja dimensionalidad (tambien llamados sistemasnanometricos), se encuentran los pozos cuanticos o dispositivos de 2 dimen-siones, los nanotubos y nanohilos, sistemas de 1 dimension, y los puntoscuanticos o sistemas de dimension 0, cuyos niveles de energıa son similaresa los de los atomos, razon por lo cual se les denomina atomos artificiales.Las propiedades que presentan estos dispositivos son explicadas mediantela mecanica cuantica y gracias a su entendimiento se ha desarrollado unsinnumero de aplicaciones tecnologicas, tales como la tecnologıa desarrolladapara la fabricacion de dichos dispositivos, cuya complejidad aumenta a me-dida que se reduce su dimensionalidad.Dentro de estas aplicaciones se encuentra que los pozos cuanticos de InGaNhan permitido la creacion de laseres de menor longitud de onda, como losazules y violetas, dando paso a nuevos dispositivos de almacenamiento comoel HD-DVD y el Blu-Ray [1, 2]. Estos tambien se emplean en transistores dealta movilidad de electrones los cuales se usan a su vez en electronica de muybajo ruido.En la actualidad los nanohilos son considerados como primera opcion parareemplazar los dispositivos de computo, pues con ellos se ha logrado realizar,mediante cruce de nanotubos, las junturas p y n generando las compuertasAND, OR y NOT [3, 4].Los puntos cuanticos, ademas de permitir estudiar el comportamiento de losatomos y moleculas debido a su similitud, tambien presentan aplicacionestanto en el campo de la optoelectronica como en el de la electronica. Gracias

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a la facilidad para aumentar el gap de energıa1 a medida que se disminuyesu tamano, es posible sintonizar los puntos cuanticos para que emitan encualquier longitud de onda de luz, siendo fundamentales en la fabricacion deLEDs y en la fabricacion de futuras pantallas de alta definicion. Dadas laspropiedades de mejor emision de luz de los puntos cuanticos y de su reduci-do tamano son empleados como marcadores biologicos ya que se adhieren alas celulas para lograr su seguimiento. Los puntos cuanticos tambien son loscandidatos para obtener los qubits y ası dar paso a la computacion cuantica.Una de las caracterısticas optoelectronicas que se observa en los materialessemiconductores es la produccion de pares acoplados electron-hueco denom-inados excitones, los cuales, debido a su energıa de interaccion facilitan lastransiciones opticas siendo muy utiles en casos de absorcion y emision de luz.Asi mismo la prolongacion de la vida de los excitones a temperatura ambi-ente facilita la produccion de energıa en celdas solares. Debido a la relacionde la longitud de onda de emision con el radio de los puntos cuanticos esposible la fabricacion de tintas especiales para seguridad. Algunas de estasaplicaciones son mostradas en la Fig.1.1.

Figura 1.1: Algunas aplicaciones de dispositivos nanotecnologicos. En la izquierda

se muestran LEDs de una gran gama de colores generados por puntos cuanticos

coloidales fabricados por la empresa Evident Technologies r, imagen tomada de

la pagina web de la empresa www.evidenttech.com. A la derecha se muestran tin-

tas para seguridad que aprovechan las propiedades optoelectronicas de los puntos

cuanticos fabricados por la misma empresa.

Dentro de los distintos materiales semiconductores que mas se emplean

1El gap de energıa hace referencia a la brecha o separacion de energıa que existe entrela banda de valencia y la de conduccion.

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en la actualidad, en la industria electronica y optica, se encuentran aquel-los fabricados con los grupos III-V. Estos materiales son el Galio (Ga) y elAluminio (Al) del grupo III, y el Arsenico (As) del grupo V con los cualesse logra fabricar compuestos como GaAs y Ga1−xAlxAs (donde x indica elporcentaje de Al que se encuentra en el compuesto) y AlAs que, gracias a susgaps de energıa, se usan frecuentemente en la fabricacion de laseres y LEDs.

Adicional a las caracterısticas que presentan los dispositivos de baja dimen-sionalidad, se ha venido trabajando en la aplicacion de presion hidrostaticasobre ellos para observar su comportamiento y como este hecho altera suspropiedades fısicas. Actualmente se realizan experimentos para observar es-tos cambios y poder contrastarlos con los modelos teoricos empleados. Estosexperimentos emplean soluciones 1:4 de etanol-metanol como medio paragenerar la presion hidrostatica; y para generar la alta presion se emplea unacelda de diamante del tipo Merril-Bassett con lo cual se obtiene el orden delos kilobares. Mediante estos procesos es posible comprimir las estructurasgenerando un aumento en los gaps de energıa, lo cual serıa de gran aplicacionteniendo en cuenta que con un solo punto cuantico, serıa posible realizarla sintonizacion del gap de energıa que se desee. Frente a este panoramanos planteamos las siguientes preguntas ¿Que pasarıa si sometemos el puntocuantico y las superredes a presion hidrostatica?, ¿Como cambia la energıade enlace para el estado base de los excitones que se encuentran sometidosa presion dentro del punto y en las superredes? El objetivo es estudiar de-tenidamente estas preguntas y resolverlas. Dado que los parametros de reddel GaAs y del GaAlAs son bien conocidos con y sin presion, se escogieronpara el estudio.

1.1. Estado actual del tema

Algunos de los aportes fundamentales en el estudio de los efectos dela cuantizacion sobre los excitones en microcristales o en puntos cuanticos,fueron hechos inicialmente por Brus [5] quien empleo un metodo variacionalpara estudiar la dependencia de los estados del par electron-hueco con eltamano; Nair y colaboradores [6] calcularon el estado mas bajo del electron-hueco en microcristales semiconductores como funcion del radio, empleandoel metodo variacional para la funcion de onda de Hylleraas con tres paramet-ros. Para puntos cuanticos pequenos la interaccion de Coulomb fue tratadacomo una perturbacion y consideraron un potencial de confinamiento infini-to; Kayanuma y colaboradores [7] realizaron un calculo variacional sencillocon el fin de encontrar la energıa del estado base para un exciton confina-

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do en un microcristal con potenciales finitos, concluyendo que los efectos depenetracion de la funcion de onda fuera del microcristal es mucho mayor parael caso de excitones de Wannier-Mott; Einevoll [8] realizo un estudio teoricode confinamiento de excitones en puntos cuanticos de CdS y ZnS, utilizandouna aproximacion de masa efectiva de banda simple para los electrones. Lospotenciales de confinamiento para los huecos y los electrones fueron modela-dos como potenciales simetricos esfericos con alturas finitas, encontrando unajuste con los datos experimentales. De la misma manera J.L. Marin y colab-oradores [9] usaron el metodo variacional y la aproximacion de masa efectivapara calcular la energıa del estado base de excitones confinados en puntoscuanticos esfericos, con potenciales de confinamiento finitos, como funciondel radio del punto.

Estudios fotoluminiscentes de puntos cuanticos autoensamblados de InAlAs-GaAlAs bajo presion fueron realizados por Phillips y colaboradores [10].Por otro lado, los efectos de presion hidrostatica en las transiciones opticasen puntos cuanticos autoensamblados de InAs/GaAs fueron estudiados porDuque y colaboradores [11]. Oyoko y colaboradores [12] estudiaron impurezasen puntos de GaAs-(Ga,Al)As de forma paralelopıpeda, y encontraron quela energıa de enlace aumenta cuando aumenta la presion en alguna direcciony cuando decrece el tamano de los puntos. Raigoza y colaboradores [13] en-contraron los efectos de la presion hidrostatica sobre los estados excitonicosen pozos cuanticos semiconductores de GaAs/Ga1−xAlxAs via metodo varia-cional, en el marco de la masa efectiva con banda parabolica no degenerada,encontrando un buen ajuste con los valores experimentales.

Recientemente Gudiksen y colaboradores [14] han logrado la fabricacion deuna superred de nanohilos de GaAs/GaAlAs mediante modulacion repeti-da en la fase de vapor de los reactivos durante el crecimiento de nanohi-los. Willatzen y colaboradores [15] investigaron los efectos de confinamientocuantico en una superred de nanohilos de GaAs/Ga0,7Al0,3As, con seccion

transversal cilındrica. Estos determinaron los estados electronicos y los val-ores propios de energıa, y encontraron un radio crıticoRc para el confinamien-to, esto es, el estado base se encuentra confinado en el GaAs para un radiomayor al crıtico R > Rc.

Estudios sobre la dinamica de electrones en una superred bajo la influen-cia de un campo electrico fueron realizados por Zhang y colaboradores [16]en el 2006 y en el 2007 un estudio de transporte de carga a traves de lajuntura del nanohilo fue llevado a cabo por Chan y colaboradores [17].

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Recientemente Garcıa y colaboradores [18] investigaron los efectos de la posi-cion y los estados de energıa para el estado base dentro de una superred denanohilos cilındricos de GaAs/GaAlAs, empleando una funcion de prueba detipo Bastard para un donador neutral y una funcion del tipo Hylleraas parael donador cargado negativamente.Finalmente, aunque se han estudiado los efectos de los donadores dentro de lasuperred, aun no se han hecho estudios de excitones confinados en la superredde nanohilos, ni tampoco como cambıa su estado base de energıa cuando seencuentra bajo presion.

1.2. Problema

En este trabajo se realizara el estudio de los efectos de la presion hidrosta-tica sobre la energıa de enlace del estado base de los excitones confinados enpuntos cuanticos esfericos y en superredes de nanohilos de GaAs, con barrerasde Ga1−xAlxAs para diferentes concentraciones de Aluminio (x=0.15, 0.30 y0.45). Se usara el metodo variacional y la aproximacion de masa efectiva paraencontrar el valor de energıa del estado base. Las variaciones de los paramet-ros debido a la presion como el radio del punto, la constante dielectrica, lospotenciales de confinamiento y las masas efectivas seran tomados de reportesexperimentales dados fundamentalmente en [19, 20, 21, 22].

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Capıtulo 2

Aspectos teoricos

Antes de iniciar el analisis de los puntos cuanticos y las superredes denanohilos, es necesario conocer las caracterısticas basicas de los materiales es-cogidos cuando se presentan en bloque, como sus propiedades cristalograficas,gaps de energıa, entre otras caracterısticas fısicas. De esta manera se puedeobservar la forma en que se modifican algunas de sus propiedades cuando esreducida su dimensionalidad. De igual manera, es importante introducir elconcepto de excitones y las caracterısticas basicas cuando se encuentran enun material en bloque ya que son el principal objeto de este estudio. Para ellose mencionaran las aproximaciones necesarias que se emplearan en el desar-rollo como las masas efectivas de los electrones y los huecos, el confinamientocuantico y los metodos variacionales, haciendo mencion de los dispositivosde baja dimensionalidad y las heteroestructuras.

2.1. Semiconductores GaAs - Ga1−xAlxAs

en bloque

Tanto el GaAs como el Ga1−xAlxAs tienen una estructura cristalina tipoZinc Blenda, consistente en dos redes cubicas centradas en las caras (FCC)entrelazadas, donde se halla un elemento del grupo III como el Ga o Al enlas posiciones internas del cubo y, en los extremos y centros de las caras, unatomo del grupo V como el As. Entre otros semiconductores que presentaneste tipo de estructura se encuentran el ZnO, AlAs, CdS, GaP, GaSb, ZnSe,ZnTe. Este tipo de estructura se muestra en la Fig.2.1.

En la Fig.2.2 se muestra la celda de Wigner-Seitz para un cristal cubico cen-trado en las caras con los puntos de alta simetrıa.

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Figura 2.1: Estructura cristalina de GaAs. Es del tipo Zinc Blenda donde losatomos de color morado (internos del cubo) son los del grupo III como el Ga o Al,y los de color cafe (caras y extremos del cubo) del grupo V como el As.

En la Fig.2.3 se muestra la estructura de bandas para el GaAs. Se observa elconjunto de bandas de valencia, las cuales se encuentran llenas en un semi-conductor a T=0K, ademas de estar separadas por un gap de energıa conrespecto a la banda superior denominada banda de conduccion. El cero deenergıa se coloca convencionalmente en la cima de la banda de valencia. Elgap de energıa se determina por el valle mas bajo de la banda de conducciony el tope mas alto de la banda de valencia. Para el caso del GaAs se observaque el mınimo y el maximo de las bandas que se encuentran en el punto Γ.A estos materiales que presentan este comportamiento, se les denomina degap directo o de brecha directa, y se denota por EΓ

g . En estos materialeses bien sabido que cuando un electron en la banda de valencia recibe unaexcitacion equivalente a la energıa EΓ

g , este salta de forma directa al mınimode la banda de conduccion. Para el caso del AlAs la situacion es diferente yaque el maximo de la banda de valencia se encuentra en el punto de simetrıaΓ, mientras que el mınimo de la de conduccion se encuentra en el punto X.A estos materiales se les denomina de gap indirecto.

Para este tipo de semiconductores se presentan dos bandas de valencia en elpunto Γ, denominadas Γ8. La banda inmediatamente debajo se denomina Γ7.La separacion de estas dos ultimas bandas se debe al desdoblamiento causado

16

Figura 2.2: Zona de Brillouin para una red cubica de centrada en las caras conlos puntos de alta simetrıa.

por la interaccion espin-orbita, la cual se puede ignorar si la separacion esbastante grande. Las dos bandas Γ8 tienen diferentes masas efectivas (con-cepto que se explicara en una seccion posterior) para valores pequenos de Kdenominandose huecos ligeros y pesados.

Muy cerca al punto de simetrıa Γ la relacion de dispersion se puede aproximarparabolicamente por

ε(K) = Ev −~2K2

2mhm0

, (2.1)

donde m0 es la masa del electron libre, mh = mhh para huecos pesados y mlh

para huecos ligeros.

De la misma manera, en la banda de conduccion, el mınimo denominado Γ6

en el GaAs se puede aproximar de manera parabolica para valores pequenosde K, obteniendo una relacion de dispersion de la forma

ε(K) = Ec +~2K2

2mem0

, (2.2)

donde Ec es la energıa de la banda y me la masa efectiva del electron.A continuacion se describen algunos de los parametros fundamentales de losmateriales.

17

Figura 2.3: Estructura de bandas para el GaAs. Imagen tomada del artıculo pub-licado por I. Vurgaftman y colaboradores, J. Appl. Phys. 89, 5815 (2001) [23].

2.1.1. GaAs

El GaAs es uno de los semiconductores mas importantes (si no el masimportante) desde el punto de vista tecnologico y junto con el Silicio es elsistema mas estudiado. Muchos de los parametros de la estructura son cono-cidos con bastante precision, incluso cuando varıan al someterse a presionhidrostatica, razon fundamental para elegirlo como material de estudio. Unode los parametros mas importantes es el gap de energıa en el punto Γ, elcual mediante medidas de fotoluminiscencia se encuentra que EΓ

g =1.519 eV,para una temperatura aproximada de 300 K (ambiente). Su constante de redes al ≈ 5.65 A y a temperaturas cercanas a los T=4 K el valor de su masaefectiva del electron es 0.067m0 hallada por medidas tomadas mediante res-onancia de ciclotron en el borde de la banda. Este valor es el recomendadopor Nakwaski [24] en su artıculo de revision, el cual es basado en un reporteextenso luego de analizar una gran variedad de tecnicas experimentales. Atemperatura ambiente el valor aceptado es 0.0635m0, el cual ha sido confir-mado mediante medidas de fotoluminiscencia [25]. Los valores de las masas

18

efectivas para los huecos son de 0.45m0 para los pesados y 0.08m0 para losligeros, teniendo en cuenta isotropıa en las tres direcciones de la banda devalencia. En los casos con anisotropıa es necesario considerar masas distintasen cada direccion.

2.1.2. GaAlAs

Este sistema, corresponde a la aleacion III-V mas importante y por el-lo la mas estudiada. Su desempeno en una gran variedad de transistores ydispositivos optoelectronicos ha hecho que parametros tales como su gap deenergıa, sean estudiados arduamente.

Figura 2.4: Gap de energıa en funcion de la concentracion de Aluminio x paralos tres puntos de simetrıa. Se observa como para x ≤0.4 el punto Γ presenta elmenor valor, de allı que sea de gap directo, para valores mayores el gap es indirecto.Imagen tomada del artıculo publicado por I. Vurgaftman y colaboradores, J. Appl.Phys. 89, 5815 (2001) [23].

En la Fig.2.4 se muestra la dependencia del gap de energıa para las tresbandas directas e indirectas Γ, X y L. La relacion para el punto Γ es EΓ

g =(1,310x − 0, 127)eV para concentraciones de 0 < x < 0, 4. Para estos val-ores el gap es directo, por lo que solo podemos contemplar concentracionesmenores a 0.4 en el problema. Por simplicidad, las masas efectivas tanto parael electron y el hueco se toman igual a los del GaAs. Cuando la concentracionde Al es 1 la constante de red del AlAs es al =5.66A siendo practicamenteigual al GaAs.

19

2.2. Confinamiento Cuantico

Antes de estudiar los efectos de confinamiento, es necesario estimar lasdimensiones necesarias que deben presentar estas estructuras. Para ello, separte del principio de incertidumbre de Heisenberg el cual afirma que si unapartıcula es confinada a una region del eje x de longitud ∆x, se introduceuna incertidumbre en su momento Px dado por la expresion[26]

∆px ∼ ~∆x

. (2.3)

Si por el contrario, una partıcula de masa m es libre, el confinamiento en ladireccion x genera una energıa cinetica adicional cuya magnitud es,

Econfinamiento =(∆px)

2

2m∼ ~2

2m(∆x)2. (2.4)

Esta energıa sera de gran importancia si se torna comparable o mayor que laenergıa cinetica de la partıcula debida al movimiento termico en la direccionx. Esta condicion viene dada por

Econfinamiento ∼~2

2m(∆x)2>

1

2kBT, (2.5)

que nos dice el tamano para el cual los efectos cuanticos seran importantes,esto es

∆x ∼

√~2

mkBT. (2.6)

Lo anterior es equivalente a decir que ∆x debe ser del mismo orden de mag-nitud de la longitud de onda de de Broglie para el movimiento termico, dondeλdeB = h/px.

De esta manera, las dimensiones de confinamiento deben ser del orden delos nanometros; ası, si se tiene un semiconductor a una temperatura ambi-ente con una masa efectiva del electron me = 0,1m0 siendo m0 la masa enreposo del electron, se obtiene que la longitud ∆x debe ser del orden de 5 nm.Por lo tanto, se deduce que una capa semiconductora de 1µm se comportapracticamente como un material en bloque sin que se presenten los efectosde confinamiento cuantico. Una vez obtenidas las dimensiones adecuadas, loselectrones se confinan en el material cuantizando los niveles de energıa enaquella direccion donde se haya realizado la reduccion de la longitud. Si seconfinan los electrones en una sola direccion, estos podrıan moverse libre-mente en las otras dos dimensiones; denominando a estos dispositivos “pozos

20

cuanticos” o estructuras 2-dimensionales. Si ahora se confinan en dos direc-ciones, los electrones solo podran moverse libremente en una direccion de-nominandose ası “alambres o hilos cuanticos” o estructuras 1-dimensionales.Finalmente, es posible confinar los electrones en las tres direcciones, obte-niendo “puntos cuanticos” o estructuras 0-dimensionales. En la Fig.2.5 seilustra esquematicamente los tipos de estructuras de confinamiento cuantico.

Figura 2.5: Estructuras de confinamiento cuantico.

Para observar con mayor detalle como surge el confinamiento cuantico, seanalizara el comportamiento de los electrones cuando se encuentran dentrode una region restringida del espacio. Cuando dos materiales logran este tipode restriccion se les denomina pozo cuantico, y para analizar el caso massencillo se asumira que el pozo tiene profundidad infinita, como se muestraen la Fig.2.6.

Un electron es sometido a un potencial cero dentro del pozo el cual cor-responde a la region 0 < x < a, y a un potencial infinito para x > a,restringiendo el movimiento del electron dentro de la cavidad.

La ecuacion de Schrodinger dentro del pozo es igual a la del electron libre enuna direccion, dada por

− ~2

2m

d2ψ

dx2= Eψ(x), (2.7)

21

Figura 2.6: Funciones de onda en un pozo infinito.

cuyas soluciones son de la forma

ψ(x) = sin(kx) o cos(kx), (2.8)

con

E =~2k2

2m. (2.9)

La barrera ahora presenta una altura de potencial infinito fuera del pozo. Laecuacion de Schrodinger se mantiene bien comportada y el termino V (x)ψ(x)permanece finito solamente si ψ(x) = 0 en las barreras. Para conseguir estose deben imponer condiciones de frontera de la forma

ψ(x = 0) = ψ(x = a) = 0. (2.10)

Asumiendo ψ(x) = sin(kx) se tiene que

ψ(0) = sin(k0) = 0 y ψ(a) = sin(ka) = 0 = sin(nπ), (2.11)

donde, para el caso de x = 0, la condicion se satisface inmediatamente, peropara el caso de x = a es necesario que el argumento de la funcion seno seaka = nπ, que implica para k

k =nπ

a.

De esta manera se obtiene para la funcion de onda y la energıa

ψn(x) = An sin(nπx

a

), εn =

~2k2

2m=

~2π2n2

2ma2. (2.12)

22

Los numeros n = 0, 1, 2, . . . son los numeros cuanticos que determinan losniveles de energıa y los correspondientes estados. Como se observa, los nive-les de energıa solo pueden tomar ciertos valores especıficos y, en este caso sedice que se encuentran cuantizados.

Aunque considerar potenciales infinitos es un caso ideal, este resultado mues-tra la aparicion del confinamiento y la cuantizacion de los niveles de energıa.Cuando se consideran sistemas de GaAs-(Ga,Al)As, los potenciales estanlejos de ser infinitos. La diferencia en la altura de los gaps de energıa de losdos materiales, genera la aparicion de un pozo tanto en la banda de conduc-cion como en la de valencia, cuando se colocan uno detras del otro, de estaforma, los electrones y huecos quedan confinados en el GaAs. En la Fig.2.7se muestra el pozo de potencial con profundidad V0, cuya energıa ε se midedesde el fondo del pozo para una mejor comparacion con los resultados delpozo infinito. Aquellos estados para el cual ε < V0 se encontraran confinadosdentro del pozo, mientras que para aquellos valores ε > V0 se podran propa-gar por todo x.

Se iniciara analizando los estados acotados. La funcion de onda dentro delpozo es similar para el caso infinito, considerando ahora el eje z como el depropagacion, se tiene que la funcion de onda para −a/2 < z < a/2 es

ψ(z) = C sin(kz), (2.13)

con ε = ~2k2/2m. Para el caso fuera de la barrera se tiene que

− ~2

2m

d2ψ(z)

dz2+ V0ψ(z) = εψ(z), (2.14)

con ε < V0. Las soluciones son de la forma

ψ(z) = De±κz, (2.15)

con~2κ2

2m= V0 − ε = B.

Las condiciones de frontera para este caso, imponen que la funcion de ondadentro del pozo y fuera de este, deben coincidir en z = a/2, por lo tanto

ψ(a/2) = C sin

(ka

2

)= De(

κa2 ). (2.16)

23

Figura 2.7: Pozo de GaAs rodeado de GaAlAs. Debido a que los gaps de energıaentre el GaAs y el GaAsAl son diferentes, los electrones y huecos se ven confinadosen el GaAs, al colocarlos intercalados.

Ya que las uniones entre las dos funciones deben ser suaves, sus derivadasdeben coincidir tambien, implicando que1

dψ

dz|z=a/2 = Ck cos

(ka

2

)= −De(

κa2 ). (2.17)

Eliminando las constantes, dividimos simplemente las anteriores ecuacionesobtiendo

k cot

(ka

2

)= −κ. (2.18)

Resolviendo para cot(ka/2), se obtiene

− cot

(ka

2

)=κ

k=

1

k

√2m

~2(V0 − ε) =

√2mV0~2k2

− 1, (2.19)

que corresponde a una ecuacion trascendental cuya solucion debe obtenersenumericamente. Graficamente, se puede tener una solucion cualitativa, paralo cual se define la variable adimensional θ = ka/2 obteniendo,

− cot θ =

√θ20θ

− 1, (2.20)

1Para este caso se ha considerado que las masas efectivas son las mismas dentro y fueradel pozo.

24

donde

θ0 =mV0a

2

2~2. (2.21)

Teniendo encuenta que la funcion de onda dentro del pozo tambien puedeser con coseno, el resultado es una segunda opcion de la forma

tan θ =

√θ20θ

− 1. (2.22)

En el punto donde coincidan las curvas se tendran las soluciones. La raizcuadrada se hace igual a cero cuando θ = θ0 mientras que tan θ y − cot θ sehacen cero para θ = nπ/2 con (n = 0, 1, 2, . . . ,), por lo tanto, el numero desoluciones sera igual a

N =2

πθ0 =

2

π

√mV0a2

2~2. (2.23)

Este resultado muestra que siempre habra al menos una solucion a la ecuacion.Pero a diferencia del caso infinito donde hay infinitos estados cuantizadospara cualquier valor del radio del pozo, ahora el numero de estados es-tara relacionado con la altura del potencial V0: entre menor sea la alturamenor el numero de estados y de igual forma si se mantiene la altura fija,mientras menor sea el radio del pozo menor sera el numero de estados. Porlo tanto, la eleccion adecuada entre estos dos valores dara como resultado losestados confinados que se requieran. De esta manera, dada la configuracionpara que exista solo un estado, se entiende que mientras la altura del estadosea casi igual a la barrera, la energıa de enlace B = V0−ε sera muy pequena ypor ende la constante del decaimiento de la exponencial de la funcion de ondafuera del pozo κ, tambien lo sera. Esto implica que la funcion de onda no de-caiga tan rapido y que tenga mayor penetracion en las barreras, haciendo quela partıcula se encuentre menos localizada dentro del pozo. Caso contrario,la diferencia entre el estado y la altura de las barreras debe ser considerablepara que ası la funcion de onda se encuentre confinada dentro del pozo casien su totalidad. Dada la gran ventaja que representa controlar el numerode niveles permitidos ası como la altura, las aplicaciones optoelectronicasson innumerables al igual que las aplicaciones en computacion y electronica.Las posibles aplicaciones se pueden mejorar a medida que se cuantizen lasdemas dimensiones. Sin embargo, cuando se considera el material en bloque,no siempre hay estados cuantizados. Como se vera en el capıtulo 3 existe unradio del punto para el cual ya no existiran estados disponibles.

25

Figura 2.8: Gap de energıa en funcion de la constante de red para compuestossemiconductores de III-V a temperatura cero. Imagen tomada del artıculo publi-cado por I. Vurgaftman y colaboradores, J. Appl. Phys. 89, 5815 (2001) [23].

2.3. Heteroestructuras

Las heteroestructuras son sistemas de materiales semiconductores alter-nados, cuyas dimensiones son de escala nanometrica. Su fabricacion se debea las propiedades opticas y electronicas que solo se logran cuando se mez-clan estos materiales en formas de capas. La aleacion Ga1−xAlxAs, la cualse suele abreviar GaAlAs es una de las mas empleadas. En la Fig.2.8 segrafican dos importantes propiedades como son la energıa del gap versus laconstante de red del cristal para compuestos del tipo Zinc Blende y, como semenciono antes, las constantes de red del GaAs y el AlAs son practicamenteiguales con una diferencia de gap de casi 2 eV (la constante de red para elGaAsAl es practicamente igual al AlAs). Este hecho los hace interesantespara el confinamiento de partıculas. De igual manera, el GaP con AlP yGaAlP, que comparten la misma constante de red, pero con menor diferenciaentre los gaps. El hecho de que las constantes de red sean semejantes, haceque la posicion de los atomos en el momento de la fabricacion de los com-puestos sea mejor, sin generar estres en el material.

Observando el lado izquierdo de la Fig.2.7, la diferencia en las alturas delgap de energıa generan un pozo tanto para los electrones que se encuentran

26

Figura 2.9: Pozo de GaAs rodeado de GaAlAs. Ya que los gaps de energıa entreel GaAs y el GaAsAl es diferente, los electrones y huecos se ven confinados en elGaAs al colocarlos intercalados.

en la banda de conduccion como para los huecos en la banda de valencia. Enla Fig.2.9 se puede ver como al fabricar el material la estructura cristalinase distribuye de manera continua simplemente cambiando la forma en que sedepositan los atomos de Ga, Al y el As de tal manera que cuando la capa deGaAs es del orden de los nanometros, surgen los efectos de cuantizacion enlos estados de energıa, ya que los electrones y huecos se encuentran confina-dos dentro del GaAs debido a las barreras generadas por el gap del GaAlAs,impidiendo que se muevan de manera libre. El electron y el hueco son obli-gados a moverse en ciertos niveles de energıa permitidos dentro del GaAs,a menos que su energıa sea lo suficientemente grande como para pasar alGaAlAs; de allı que se denominen “estructuras de confinamiento cuantico”.

2.4. Aproximacion de masa efectiva

Un electron puede ser descrito por una funcion de onda ψ(r), asociada conun nivel de energıa ε que satisface la ecuacion de Schrodinger independientedel tiempo en ausencia de un potencial externo dado por

− ~2

2m∇2ψ(r) = εψ(r), (2.24)

27

Figura 2.10: Estructura de bandas del GaAs con la masa efectiva.

cuya solucion en ondas planas es

ψ(r) = Aeik·r. (2.25)

Bajo este modelo, se obtiene para la energıa que

ε(k) =~2k2

2m, (2.26)

donde k representa la norma del vector de onda. Si ahora se realiza unaexpansion en serie de Taylor alrededor del punto k = 0, se obtiene para laenergıa En(k)

En(k) = En(0) + E ′n(0)k +

1

2E ′′

n(0)k2 + · · · , (2.27)

y si se asume que el electron se comporta como partıcula libre, la ley dedispersion es de la forma,

En =~2k2

2m∗ . (2.28)

Tomando la expansion hasta segundo orden y concentrandose en un extremode la banda E ′

n(0) = 0, se tendra

En(k) =1

2

d2En

dk2k2 =

~2k2

2m∗ . (2.29)

28

De esta expresion se obtiene para la masa efectiva

m∗ =~2

d2En

dk2

. (2.30)

De lo anterior podemos observar que al definir la masa efectiva en un maximo(mınimo) de la banda de conduccion (valencia) se logra obtener una ley dedispersion alrededor de ese punto, semejante a la obtenida para la partıculalibre ~2k2/2m pero con el valor de masa modificado (J. H. Davis (1998)[33]).Para realizar el desarrollo general en tres dimensiones alrededor de un maxi-mo o mınimo, se asume En(k) como la relacion de dispersion de la banda n,

y se supone que hay un extremo en el punto k0 = k10ex + k20ey + k30ez de la

zona de Brillouin. Haciendo la expansion en Taylor alrededor del punto k0 setiene

En(k) = En(k0) +3∑

i=1

∂En

∂ki

∣∣∣k0(ki − ki0) +

1

2

3∑i=1

3∑j=1

∂2En

∂ki∂kj

∣∣∣k0(ki − ki0)(kj − kj0) · · · ; (2.31)

como k0 es un extremo, las derivadas de primer orden se anulan dejando ası ala matriz de derivadas de segundo orden como predominantes. Por tanto, sedefine el tensor de masa efectiva a partir de la matriz de la forma

m∗ = ~2wwww ∂2En

∂ki∂kj

wwww−1

, (2.32)

cuyas componentes son

m∗ij =

~2

∂2En/∂ki∂kj, (2.33)

siempre se puede encontrar un sistema de coordenadas para el cual m∗ essimetrico y diagonalizable. Para el sistema de coordenadas donde se logradiagonalizar se tiene para la relacion de dispersion

En(k) = En(k0) +~2

2

(k1 − k10)2

m1

+~2

2

(k2 − k20)2

m2

+

~2

2

(k3 − k30)2

m3

+ · · · (2.34)

y si el tensor es isotropo la relacion de dispersion se simplifica como

En(k) = En(k0) +~2(k − k0)

2

2m∗ , (2.35)

29

donde m∗ es el valor comun de m1, m2 y m3.De esta manera se puede resolver el problema de la dinamica del electron (ohueco) al ser sometido a los potenciales de interaccion con los otros electrones,los nucleos atomicos, deformaciones de la red, campos electricos, potencialesexternos, etc, como si este fuese una partıcula libre pero con el valor de masamodificado, la cual da razon de todas estas interacciones.

En la aproximacion de masa efectiva se tomaran los valores experimentalestanto para el electron como para el hueco, teniendo en cuenta que estos val-ores son afectados por la presion hidrostatica.

2.5. Excitones

La absorcion de un foton [26] en una transicion interbanda, en un semi-conductor o en un dielectrico crea un electron en la banda de conducciony un hueco en la banda de valencia. Las partıculas con cargas opuestas soncreadas en el mismo punto del espacio y son susceptibles de ser atraidas mu-tuamente debido a la interaccion de Coulomb. Esta interaccion aumenta laprobabilidad de crear un par electron-hueco. A este par neutro se le denom-ina “exciton”, cuya energıa de enlace del exciton puede ser medida de lassiguientes maneras [27]:

1. La transicion desde la banda de valencia a la de conduccion, por ladiferencia entre la energıa requerida para crear un exciton y la energıanecesaria para crear tanto un electron como un hueco libre.

2. En la luminiscencia de recombinacion, comparando la lınea de energıade recombinacion del electron y hueco libres con la lınea de energıa derecombinacion del electron.

3. Por foto-ionizacion de excitones para formar cargas libres. Este exper-imento requiere una alta concentracion de excitones.

Existen dos casos lımites para excitones, los de tipo Frenkel en donde los ex-citones tienen dimensiones pequenas y se encuentran fuertemente enlazados,y los de tipo Wannier-Mott, donde los excitones se encuentran debilmenteenlazados y la separacion electron-hueco es mucho mas grande que la con-stante de red del material[8]. Un ejemplo de estos se observa en la Fig 2.11.Los excitones tipo Wannier-Mott se observan en semiconductores, mientrasque los tipo Frenkel se observan en cristales dielectricos y cristales molecu-lares.Los excitones Wannier-Mott tienen un radio que abarca muchos atomos, de

30

e

h

Atomos en el cristal

Exciton de Wannier−Mott

h

e

Atomos del cistal

Exciton de Frenkel

Figura 2.11: Clases de Excitones. Los de tipo Wannier-Mott mucho mas grandesque la constante de red, y los de tipo Frenkel con radios del orden de la constantede red.

tal manera que se pueden mover libremente por el cristal (de ahı que sunombre alternativo sea “excitones libres”). Por otro lado los excitones tipoFrenkel tienen radios mucho mas pequenos y son comparables con el tamanode las celdas unitarias, lo cual hace que los estados se encuentren localizadosy enlazados fuertemente a atomos especıficos o moleculas, denominandosetambien “excitones de enlace fuerte”. Por este hecho su movilidad es menory para desplazarse por el cristal deben esperar espacios libres atomo a atomo.Para nuestro caso, se estudiran los excitones de Wannier-Mott, ya que sonestos los que se crean en los materiales escogidos.

2.5.1. Propiedades de los excitones

Excitones Wannier-Mott

Considerese un electron en la banda de conduccion y un hueco en labanda de valencia. El electron y el hueco se atraeran mutuamente debido alpotencial de Coulomb

U(r) = −e2

ϵr, (2.36)

con r la distancia de separacion entre las partıculas y ϵ la constante dielectri-ca del material.

Debido a que la separacion es muy grande, se puede hacer un promedio sobretoda la estructura de los atomos entre el electron y el hueco, y considerar laspartıculas moviendose en un material dielectrico uniforme con sus respectivasmasas efectivas. Se puede por lo tanto, modelar los excitones libres como un

31

sistema hidrogenoide similar al Positronio.

Al aplicar el modelo de Bohr al exciton, se considera el hecho de que tantoel electron como el hueco se encuentran en un medio con mayor constantedielectrica εr, con lo cual se obtiene para la energıa de enlace del n-esimonivel

E(n) = − µ

m0

1

ϵ2r

RH

n2, (2.37)

donde RH es la constante de Rydberg del atomo de hidrogeno (13.6 eV).Se define adicionalmente la constante de Rydberg del exciton como RX =(µ/m0ϵ

2)RH . El radio del par electron-hueco es

rn =m0

µϵn2aB = n2aBX , (2.38)

donde aB es el radio de Bohr del hidrogeno (5.29 A) y aBX = m0/µϵaB sedenomina la constante de Bohr del exciton. Se observa que el estado basen = 1 tiene la mayor energıa de enlace y que los estados excitados con n > 1estan menos enlazados.

Este tratamiento originalmente formulado por Wannier y Mott [47] se puedever como una correccion a la transicion electronica entre la banda de valenciay la de conduccion debido al potencial de interaccion entre el electron adi-cional en la banda de conduccion y el hueco dejado en la banda de valencia.Esta descripcion es bastante conveniente para cristales con una constantedielectrica alta y por tanto una interaccion electron-hueco debil.

La energıa del exciton creado en una transicion directa k = 0, es igual ala energıa requerida para crear el par electron-hueco Eg menos la energıa deenlace creada por la interaccion de Coulomb, esto es

En = Eg − E(n). (2.39)

Cuando el foton incidente tenga la energıa En, el exciton se crea en el mate-rial. La formacion de excitones tiene una probabilidad mayor que la creacionde electrones y huecos libres ya que la energıa necesaria es menor durante latransicion optica. Debido a esto, se espera observar lıneas de absorcion opti-cas a energıas iguales a En. Sin embargo, el tiempo de vida de los excitonesantes de decaer es muy corto, del orden de los nanosegundos, y excitonesestables solo pueden ser formados si el potencial atractivo es lo suficiente-mente grande como para proteger el exciton de la colision de fonones. Ya quela maxima energıa de un fonon excitado termicamente a una temperatura

32

T es aproximadamente kBT , donde kB es la constante de Boltzmann, estacondicion se satisface si la energıa de enlace es mayor que kBT . Los excitonesde Wannier-Mott tienen energıas de enlace pequenas ya que por sus grandesradios en el material la interaccion coulombiana disminuye. Los valores deenergıa son del orden de los 10 meV, bastante menores que la energıa delos fonones con un valor de kBT aproximadamente a 25 meV a temperaturaambiente, lo que explica porque los excitones en estos materiales solo puedenmanifestarse a temperaturas criogenicas. Para el caso del GaAs, por ejemploel radio de Bohr aBX es aproximadamente igual a 10 nm y la constante deRydberg RX se aproxima a 5 meV.

Considerando el confinamiento en una direccion se tiene un dispositivo 2-dimensional, como en el caso de un pozo cuantico, se obtiene un aumento enla energıa de enlace del exciton debido al confinamiento. La expresion paraeste caso es

En = − RX

(n+ 12)2, (2.40)

con n = 0, 1, 2, . . .. Como se observa para el caso n = 0 la energıa queda

E2d = −4Rx, mientras que, E3d = −RX . (2.41)

En valor absoluto, la energıa de enlace del sistema 2d es 4 veces mayor quepara el caso 3d, lo que aumenta la vida del exciton. En 1982, Bastard ycolaboradores [28] calcularon la energıa de enlace de excitones confinadosen pozos cuanticos (estructuras 2-dimensionales) resolviendo la ecuacion deSchrodinger mediante el metodo variacional para GaAs/GaAlAs y InAs/GaSb.En la Fig.2.12 se observa la energıa de enlace en funcion del tamano del pozocalculada por Bastard, para el lımite L → 0 la energıa de enlace es 4 vecesla del material en bloque. Ya en 1984 Greene, Bajaj y Phelps [29] determi-naron la energıa de enlace para el estado base de excitones de Wannier-Mottconfinados en pozos cuanticos de GaAs/GaAlAs, tanto para huecos pesadoscomo para huecos ligeros. En la Fig.2.13 se observa la existencia de un Lpara el cual se inicia el desbordamiento de las funciones de onda del electrony el hueco haciendo que el exciton se encuentre menos localizado en el pozo.Lo anterior conduce a que la energıa de enlace aumente al maximo a medidaque el ancho disminuye tendiendo al valor del material en bloque del GaAsAlcuando L = 0.A continuacion se estudiara la energıa de enlace del estado base de los exci-tones de Wannier-Mott confinados en puntos cuanticos esfericos, y el respec-tivo cambio cuando se someten a presion hidrostatica.

33

Figura 2.12: Energıa de enlace de un exciton en funcion del ancho del espesor delpozo cuantico, para una heteroestructura de GaAs/GaAlAs. Las curvas (1) y (2)son realizadas con dos funciones de onda distintas. Imagen tomada del artıculopublicado por G. Bastard en la Phys. Rev. B en 1982 [28].

34

Figura 2.13: Energıa de enlace de un exciton en funcion del ancho del espesor delpozo cuantico, para una heteroestructura de GaAs/GaAlAs. Las lıneas solidas cor-responden al exciton con hueco pesado y las lıneas punteadas al exciton de huecosligeros. Imagen tomada del artıculo publicado por R.L. Greene y colaboradores enla Phy. Rev. B en 1984 [29].

35

Capıtulo 3

Puntos Cuanticos

En la seccion anterior, se observo como se cuantizan los estados de en-ergıa cuando los electrones se encuentran confinados en una dimension enun espacio del orden de los nanometros. Se puede extender el confinamientocercando, mediante barreras de potencial a los electrones y huecos en pozosde escalas nanometricas generando un aumento en las alturas de los estadosenergeticos por cada dimension que se limite. Este aumento en las alturasde los estados de energıa, es quizas la caracterıstica mas importante que sepresenta en estos dispositivos a causa de la reduccion de tamano y, es porello, la que mas nos interesa.

En este orden de ideas, es posible confinar los electrones y los huecos entres dimensiones. Esta region del espacio, cuya escala es del orden de losnanometros, y cuantiza todos los estados en las tres direcciones, se denomina“Punto Cuantico”, tal como se ilustra en la Fig.2.5. Debido a la similitudde los estados de energıa con los de un atomo se les suele llamar “atomosartificiales”.

Resolviendo la ecuacion de Schrodinger para una caja cuadrada con poten-ciales infinitos fuera de la cavidad se obtiene una energıa de la forma

εnxnynz =π2~2

2m

(n2x

a2x+n2y

a2y+n2z

a2z

), (3.1)

donde los numeros cuanticos nx, ny y nz especifican los niveles de energıaen cada una de las direcciones; las constantes ax, ay y az son las respectivaslongitudes de confinamiento. El espectro es completamente discreto pero conla ventaja de la posibilidad de sintonizar la posicion de los niveles cambiandolas dimensiones del punto.

36

Para el caso real, las alturas de los potenciales de confinamiento las gen-eran los diferentes materiales con los que se fabrique el dispositivo. Para estecaso, GaAs en el nucleo y Ga1−xAlxAs con x ≤ 0,4 la concentracion de Alu-minio en el exterior. La solucion a la ecuacion de Schrodinger se hara deforma numerica.

3.1. Fabricacion de Puntos Cuanticos

En las ultimas tres decadas se ha logrado controlar y perfeccionar lafabricacion de los puntos cuanticos, a traves del dominio de varias tecnicasdependiendo de los materiales empleados, de las caracterısticas y formas de-seadas. Sin embargo aun hoy su produccion en masa se encuentra bastantelimitada y muy pocas empresas a nivel mundial logran alcanzar una produc-cion industrial. Las tecnicas de produccion mas comunes son:

1. Coloidales: los nanocristales semiconductores coloidales se sintetizanmediante compuestos disueltos en soluciones, siendo un mecanismo dela quımica tradicional. La sıntesis de los puntos cuanticos coloidales serealiza a partir de un sistema compuesto por precursores, surfactantesorganicos (Agentes Actuantes de Superficie) y solventes. Cuando lamezcla se somete a altas temperaturas, los precursores se transformanquımicamente en monomeros. Una vez los monomeros alcanzan un niv-el de alta saturacion, el crecimiento de los nanocristales comienza conun proceso de nucleo-sıntesis. La temperatura juega un rol fundamen-tal puesto que determina las optimas condiciones para el crecimientode las nanoestructuras; ademas, debe ser lo suficientemente alta parapermitir el reordenamiento de los atomos pero lo suficientemente bajapara permitir el crecimiento de los cristales. De igual manera, el controlde la concentracion de los monomeros es crıtico.

Hay varios metodos coloidales para producir diferentes semiconduc-tores, tales como el Selenuro de Cadmio, Sulfato de Cadmio, ArsenuroIndio y Fosfato Indio. Los puntos cuanticos de estos materiales puedentener desde 100 hasta 100.000 atomos dentro de su volumen, con diamet-ros de 10 a 50 atomos, que corresponden de a 2 a 10 nanometros.

Dada la facilidad del metodo se pueden fabricar grandes cantidades depuntos cuanticos y es hasta el momento la tecnica mas barata, con laventaja de que se emplea en condiciones normales de laboratorio (es latecnica empleada de forma comercial) y es la menos toxica de todas.En la Fig.3.1 se muestran imagenes que describen esta tecnica.

37

Figura 3.1: Arriba izquierda: Imagen de nanocristales de CdSe obtenida por unmicroscopio electronico de trasmision. Cada cristal se encuentra recubierto poruna monocapa de surfactante, tomado del artıculo de Paul Alivisatos publicadoen Pure Appl. Chem. en 2000 [53]. Estos puntos se pueden considerar como unaespecie de macromolecula. Cambiando el surfactante, los puntos se pueden disolveren cualquier lıquido. Abajo: Puntos Cuanticos coloidales fabricados por EvidentTechnologies r.

2. Auto-Ensamblaje: la creacion de puntos se realiza mediante el Crec-imiento Molecular Epitaxial (MBE por sus iniciales en ingles) y porla Fase Vapor Metalorganica Epitaxial (MOVPE por sus sigla en in-gles), las cuales permiten un alto grado de precision en la colocacionde los atomos en la superficie deseada. Cuando un material se creceen un substrato para el cual su constante de red es ligeramente difer-ente, se genera una fuerza entre los atomos de la nueva capa ya queestos tienden a ubicarse con la constante de red del substrato, lo cualgenera, de forma automatica, islas independientes. Este crecimiento seconoce como el metodo Stranski-Krastanov. Debido a los costos de losequipos y la complejidad de la preparacion estos metodos son exclusivospara laboratorios y experimentacion colocandolos lejos de la produccioncomercial. En la Fig.3.2 se ilustra el metodo.

38

Figura 3.2: Izquierda: Esquema del instrumento para crecimiento MBE.Derecha: Los atomos disparados uno por uno son colocados perfectamentesobre la superficie hasta que la tension entre las constantes de red de losmateriales forman el punto cuantico.

3.2. Modelo para excitones confinados en pun-

tos cuanticos esfericos

Para este problema se tomara un sistema de GaAs/Ga1−xAlxAs donde xes la concentracion de Aluminio en el sistema. Se escogieron estos materialesdebido a que todas sus caracterısticas y parametros son bien conocidas cony sin presion. La diferencia de alturas entre las bandas de conduccion de losdos materiales ası como la diferencia de altura en las bandas de valencia sonlas causantes del confinamiento del electron y el hueco, respectivamente. Porsimplificacion, se asumira el punto cuantico esferico de radio R. Se consider-ara los excitones de tipo Wannier-Mott, ya que la separacion es relatıvamentegrande y se pueden modelar como un sistema hidrogenoide cuyo Hamiltoni-ano para el estado base esta dado en coordenadas esfericas por

H = − ~2

2me

∇2e −

~2

2mh

∇2h −

e2

ε|re − rh|+ Ve(r) + Vh(r), (3.2)

siendo me y mh las masas efectivas del electron y del hueco, ε la constantedielectrica del material, Ve el potencial de confinamiento para el electron yVh potencial de confinamiento para el hueco.Utilizando el sistema de coordenadas de Hylleraas, donde:

39

r1 =Distancia desde el origen hasta el electron

r2 =Distancia desde el origen hasta el hueco

r3 =|re − rh| Radio correlacion entre electron y hueco, (3.3)

representada en la Fig.3.3.

X

Y

Z

r

r

r

1

2

3

Electron

Hueco

Figura 3.3: Sistema de coordenadas de Hylleraas.

De la transformacion de los laplacianos se obtiene el Hamiltoniano en coor-denadas de Hylleraas,

H =− ~2

2me

(∂2

∂r21+

2

r1

∂

∂r1+r21 − r22 + r23

r1r3

∂2

∂r1∂r3

)− ~2

2mh

(∂2

∂r22+

2

r2

∂

∂r2+r22 − r21 + r23

r2r3

∂2

∂r2∂r3

)− ~2

2µ

(∂2

∂r23+

2

r3

∂

∂r3

)− e2

εr3+ Ve(r1) + Vh(r2), (3.4)

40

donde me y mh son las masas efectivas del electron y el hueco pesado, εla constante dielectrica y µ = (m−1

e + m−1h )−1 la masa reducida del elec-

tron y el hueco pesado. En general, tanto las masas efectivas como la con-stante dielectrica y los potenciales de confinamiento dependen de la presionhidrostatica. Ası, para determinar como cambia la energıa de enlace del ex-citon cuando se aplica presion, simplemente se colocan los parametros parauna presion dada y se evalua la energıa. El potencial de confinamiento tantopara el electron como para el hueco esta dado por:

Ve(r1)[Vh(r2)] =

{0, r1[r2] ≤ R

Ve[Vh], r1[r2] > R.(3.5)

3.2.1. Electron y hueco libres

Primero, se resuelve el problema sin interaccion entre el electron y elhueco. Esta solucion se plantea de acuerdo al tratamiento del problema deuna partıcula en un pozo esferico de potencial finito (Merzbacher [34]). Paraello se dejan de lado los terminos con r3, como son la interaccion de Coulomb ylas derivadas parciales con r3, de manera que el Hamiltoniano se puede dividiren dos: una parte para el electron y otra para el hueco como si estuviesenlibres

H0 = He + Hh, (3.6)

dondeHeϕe(r1) = Eeϕe(r1), Hhϕh(r2) = Ehϕh(r2), (3.7)

y la ecuacion para H0 es

H0ψ(r1, r2) = E0ψ(r1, r2), (3.8)

conψ(r1, r2) = ϕe(r1)ϕh(r2), E0 = Ee + Eh. (3.9)

Los Hamiltonianos del electron y hueco son

He = − ~2

2me

(∂2

∂r21+

2

r1

∂

∂r1

)+ Ve(r1), (3.10)

y

Hh = − ~2

2mh

(∂2

∂r22+

2

r2

∂

∂r2

)+ Vh(r2), (3.11)

respectivamente. Recordando que el potencial es cero para radios menoresque el radio del punto, se necesita considerar el problema dentro y fuera delpunto cuantico. Antes de esto se define

fe = r1ϕe, y fh = r2ϕh. (3.12)

41

Para r1 y r2 < R, Ve = Vh = 0 (Solucion dentro del punto):la ecuacion para el electron y hueco son

− ~2

2me

∂2fe∂r21

= Eefe, y − ~2

2mh

∂2fh∂r22

= Ehfh. (3.13)

Para r1, r2 > R, los potenciales son constantes (Solucion fuera del pun-to):Las ecuaciones son

− ~2

2me

∂2fe∂r21

= (Ee − Ve)fe, y − ~2

2mh

∂2fh∂r22

= (Eh − Vh)fh. (3.14)

Llamando a las constantes

αe =~2

2me

, αh =~2

2mh

,

se obtienen las ecuaciones finales sin interaccion para el electron y el hueco,

Electron:d2fedr21

+Ee

αe

fe = 0 r1 < R,d2fedr21

+(Ee − Ve)

αe

fe = 0 r1 > R,

(3.15)

Hueco:d2fhdr22

+Eh

αh

fh = 0 r2 < R,d2fhdr22

+(Eh − Vh)

αh

fh = 0 r2 > R,

(3.16)Por comodidad se define

L2e =

Ee

αe

, χ2e =

(Ve − Ee)

αe

, (3.17)

por lo tanto,d2fedr21

+ L2efe = 0,

d2fedr21

− χ2efe = 0,

la solucion para cada ecuacion es,

fe =

{a sin (Ler1), r1 < R

be−χer1 , r1 > R(3.18)

Para las condiciones de frontera se hace r1 = R y se exige que la funcion deonda sea continua y suave, esto es

a sin(LeR) = be−χeR ⇒ b = a sin(LeR)eχeR, (3.19)

42

por lo tanto fe queda

fe =

{a sin (Ler1), r1 < R

a sin(LeR)eχe(R−r1), r1 > R

(3.20)

Para que la funcion sea suave en la frontera sus derivadas deben ser iguales,

aLe cos(LeR) = −bχee−χeR = −a sin(LeR)e

χeRχee−χeR. (3.21)

De la igualdad anterior, se obtiene la ecuacion trascendental la cual brindara losvalores de energıa permitidos

Le = −χe tan(LeR). (3.22)

Para retornar a la funcion de onda del electron ϕe = fe/r1,

ϕe = a

{sin(Ler1)

r1, r1 < R

sin(LeR)eχe(R−r1)

r1, r1 > R

(3.23)

Para el hueco, ya que son similares las ecuaciones tenemos,

L2h =

Eh

αh

;χ2h =

1

αh

(Vh − Eh) (3.24)

con la funcion fh y la funcion de onda ϕh como,

fh = a

{sin(Lhr2), r2 < R

sin(LhR)eχh(R−r2), r2 > R

(3.25)

ϕh = a

{sin(Lhr2)

r2, r2 < R

sin(Lhr2)r2

eχh(R−r2), r2 > R(3.26)

y la ecuacion trascendental para el hueco queda,

Lh = −χh tan(LhR), (3.27)

siendo esta ultima la que dara los valores de energıa permitidos para el huecolibre.La funcion de onda ψ(r1, r2), que es la solucion al problema del electron y elhueco libre, queda de la forma:

ψ = ϕeϕh =

N sin(Ler1) sin(Lhr2)

r1r2, r1,2 < R

N sin(LeR) sin(LhR)r1r2

eχe(R−r1)eχh(R−r2), r1,2 > R

(3.28)

43

teniendo en cuenta las definiciones

L2h =

Eh

αh

; χ2h =

1

αh

(Vh − Eh), (3.29)

L2e =

Ee

αe

; χ2e =

1

αe

(Ve − Ee), (3.30)

y las respectivas ecuaciones trascendentes

Lh = −χh tan(LhR); Le = −χe tan(LeR), (3.31)

recordando que estas dos expresiones condicionan los valores de energıa quepueden tomar el electron y el hueco libres.Al analizar la ecuacion trascendente general se tiene

χ2i tan

2(LiR) = L2i

χ2i sin

2(LiR) = L2i (1− sin2(LiR))

χ2i sin

2(LiR) + L2i sin

2(LiR) = L2i

sin2(LiR)(χ2i + L2

i ) = L2i

sin2(LiR)(χ2i + L2

i )R2 = (LiR)

2 (3.32)

Para el caso del electron:

sin2(LeR)(χ2e + L2

e)R2 = (LeR)

2, (3.33)

como

L2e + χ2

e =Ee

αe

+1

αe

(Ve − Ee) =Veαe

, (3.34)

entonces

sin2(LeR)VeR

2

αe

= (LeR)2 ⇒ sin(LeR) = ±

√αe

(LeR)2

VeR2

obteniendo

sin(LeR) = ±√

αe

VeR2(LeR). (3.35)

De la misma forma para el hueco:

sin(LhR) = ±√

αh

VhR2(LhR) (3.36)

en la Fig.3.4 se ilustra, para el caso del electron, tanto la curva del seno co-mo la recta. Para solo ciertos valores de energıa las dos curvas se intersectan,

44

X

Y

Sen(LeR)α

Ve

e

R2(LeR)

π 2π

Figura 3.4: Punto de igualdad entre el sin(LeR) y la recta definida por√αe/VeR2(LeR).

de aquı el hecho de que no haya una solucion contınua para la energıa sinociertos valores permitidos o cuantizados. Para el caso del hueco la situaciones similar.

Recuerdese que χi tan(LiR) = −Li

Como χi, Li > 0 ⇒ se necesita que tan(LiR) < 0

π

2< LiR < π︸ ︷︷ ︸2(cuadrante)

,3π

2< LiR < 2π︸ ︷︷ ︸4(cuadrante)

(3.37)

Haciendo LiR = π2

se tiene:

Seaπ

2= ±

√αi

ViR2

(π2

)con i=e,h (3.38)

1 = ±√

αi

ViR2

π

2(3.39)

45

⇒ ±√

αi

ViR2=

2

π(3.40)

De esta manera se encuentra la relacion entre el radio del punto R con laaltura del pontecial Vi, para la cual se encontrara solucion o un estado aco-tado. Se puede observar como a medida que disminuye el radio del punto elpotencial de confinamiento debe aumentar para obtener una solucion.

3.2.2. Electron y hueco correlacionados (Exciton)

Una vez obtenidas las funciones de onda y las energıas para el electron yel hueco libres, se pasa a resolver el problema del exciton mediante el metodovariacional teniendo en cuenta la correlacion electron-hueco. Para esto seasumira una funcion del tipo hidrogenoide e−r ya que el electron y el huecose comportan como un atomo de Hidrogeno siendo natural, para el estadobase, esta clase de comportamiento. Por lo tanto, la funcion de onda totalqueda:

ψ(r1, r2, r3) =

N sin(Ler1) sin(Lhr2)

r1r2e−λr3 , r1,2 < R

N sin(LeR) sin(LhR)r1r2

eχe(R−r1)eχh(R−r2)e−λr3 , r1,2 > R

(3.41)

Aplicando el metodo variacional, se debe minimizar el valor λ y para ello senecesita calcular el valor esperado del Hamiltoniano

F [λ] = ⟨ψ | H | ψ⟩. (3.42)

a. Primero se determina la constante de normalizacion de la funcion de onda,(⟨ψ | ψ⟩ = 1):

⟨ψ | ψ⟩ =∫ ∞

0r1dr1

∫ ∞

0r2dr2

∫ ∞

0r3dr3ψ

∗ψ,

=N2

∫ R

0r1dr1

∫ R

0r2dr2

sin2(Ler1)

r21

sin2(Lhr2)

r22

∫ b

ar3dr3e

−2λr3

+N2

∫ ∞

Rr1dr1

∫ ∞

Rr2dr2

sin2(LeR)

r21

sin2(LhR)

r22e2χe(R−r1)e2χh(R−r2)×∫ b

ar3dr3e

−2λr3

=1. (3.43)

46

Con a =| r2 − r1 |, b = r1 + r2. La integral para r3 tiene solucionanalıtica de la forma,∫ b

a

r3dr3e−2λr3 = −e−2λr3

(r32λ

+1

4λ2

)∣∣∣∣r1+r2

|r2−r1|,

Sea

Nr3(r3, λ) = −e−2λr3

(r32λ

+1

4λ2

), (3.44)

reemplazando en la norma,

⟨ψ | ψ⟩ =N2

∫ ∞

0r1dr1

∫ ∞

0r2dr2

sin2(Ler1)

r21

sin2(Lhr2)

r22

·[Nr3(r1 + r2, λ)−Nr3(| r2 − r1 |, λ)

]+N2

∫ ∞

Rr1dr1

∫ ∞

Rr2dr2

sin2(LeR)

r21

sin2(LhR)

r22e2χe(R−r1)e2χh(R−r2)×[

Nr3(r1 + r2, λ)−Nr3(| r2 − r1 |, λ)]

=1, (3.45)

obteniendo ası el valor N que normaliza la funcion de onda.

b. Calculo del valor esperado: de manera explıcita el valor esperado delHamiltoniano es:

⟨ψ | H | ψ⟩ =− αe

⟨ψ

∣∣∣∣ ∂2∂r21 +2

r1

∂

∂r1+r21 − r22 + r23

r1r3

∂2

∂r1∂r3+

∂2

∂r23+

2

r3

∂

∂r3

∣∣∣∣ψ⟩− αh

⟨ψ

∣∣∣∣ ∂2∂r22 +2

r2

∂

∂r2+r22 − r21 + r23

r2r3

∂2

∂r2∂r3+

∂2

∂r23+

2

r3

∂

∂r3

∣∣∣∣ψ⟩−(e2

ϵ

)⟨ψ

∣∣∣∣ 1r3∣∣∣∣ψ⟩+ ⟨ψ | Ve + Vh | ψ⟩,

separando en partes se tiene:

⟨ψ | H | ψ⟩ =− αe

⟨ψ

∣∣∣∣ ∂2∂r21 +2

r1

∂

∂r1

∣∣∣∣ψ⟩− αh

⟨ψ

∣∣∣∣ ∂2∂r22 +2

r2

∂

∂r2

∣∣∣∣ψ⟩−⟨ψ

∣∣∣∣αe(r21 − r22 + r23)

r1r3

∂2

∂r1∂r3+ αh

(r22 − r21 + r23)

r2r3

∂2

∂r2∂r3

∣∣∣∣ψ⟩− (αe + αh)

⟨ψ

∣∣∣∣ ∂2∂r23 +2

r3

∂

∂r3

∣∣∣∣ψ⟩−(e2

ϵ

)⟨ψ

∣∣∣∣ 1r3∣∣∣∣ψ⟩+ ⟨ψ | Ve + Vh | ψ⟩, (3.46)

47

Por simplicidad se estudiara la solucion de cada braket por separado.

−αe

⟨ψ∣∣∣ ∂2

∂r21+ 2

r1∂∂r1

∣∣∣ψ⟩:Para r1 < R: se reemplaza la funcion de onda obteniendo,

∂2

∂r21

(Nsin(Ler1)

r1

sin(Lhr2)

r2e−λr3

)+

2

r1

∂

∂r1

(Nsin(Ler1)

r1

sin(Lhr2)

r2e−λr3

),

La primera derivada respecto a r1 es

∂

∂r1(sin(Ler1)r

−11 ) = − 1

r21sin(Ler1) +

Le

r1cos(Ler1).

La segunda derivada respecto a r1 es

∂2

∂r21(sin(Ler1)r

−11 ) = +

2

r31sin(Ler1)−

Le

r21cos(Ler1)−

Le

r1cos(Ler1)

− L2e

r1sin(Ler1),

=2

r31sin(Ler1)−

2Le

r21cos(Ler1)−

L2e

r1sin(Ler1).

Reemplazando las derivadas en el valor esperado y simplificando seobtiene

−N sin(Ler1)

r1

sin(Lhr2)

r2e−λr3L2

e = −L2eψ, (3.47)

concluyendo ası

−αe

⟨ψ

∣∣∣∣ ∂2∂r21 +2

r1

∂

∂r1

∣∣∣∣ψ⟩ =+ αe

∫ R

0

r1dr1L2e

∫ R

0

ψ∗ψ

∫ b

a

=αeL2e

∫ R

0

r1dr1

∫ R

0

r2dr2

∫ b

a︸ ︷︷ ︸1

N21

ψ∗ψ

=αeL

2e

N21

. (3.48)

Para r1 > R: se reemplaza la correspondiente funcion de onda obte-niendo

48

∂2

∂r21ψ +

2

r1

∂ψ

∂r1=2 sin(LeR)

r31

sin(LhR)

r2eχe(R−r1)eχh(R−r2)e−λr3

+ χe2sin(LeR)

r1

sin(LhR)

r2eχe(R−r1)eχh(R−r2)e−λr3

+χe

r21sin(LeR)

sin(LhR)

r2eχe(R−r1)eχh(R−r2)e−λr3

+ χesin(LeR)

r21

sin(LhR)

r2eχe(R−r1)eχh(R−r2)e−λr3

− 2sin(LeR)

r31

sin(LhR)

r2eχe(R−r1)eχh(R−r2)e−λr3

− 2χe

r21sin(LeR)

sin(LhR)

r2eχe(R−r1)eχh(R−r2)e−λr3

=Nχ2e

sin(LeR)

r1

sin(LhR)

r2eχe(R−r1)eχh(R−r2)e−λr3

=χ2eψ. (3.49)

De esta manera:

−αe

⟨ψ

∣∣∣∣ ∂2∂r21 +2

r1

∂

∂r1

∣∣∣∣ψ⟩ =αeL2eA− αeχ

2eB

=αe(L2eA− χ2

eB), (3.50)

con

A =

∫ R

0

r1dr1

∫ R

0

r2dr2

∫r3dr3ψψ

∗,

B =

∫ ∞

R

r1dr1

∫ ∞

R

rdr2

∫r3dr3ψψ

∗

teniendo en cuenta que ⟨ψ | ψ⟩ = A+B.Normalizando

−αe

⟨ψ

∣∣∣∣ ∂2∂r21 +2

r1

∂

∂r1

∣∣∣∣ψ⟩ = αe(L2

eA− χ2eB)

A+B. (3.51)

−αh

⟨ψ∣∣∣ ∂2

∂r22+ 2

r2∂

∂r2

∣∣∣ψ⟩:

49

Ya que las relaciones son iguales para el caso r1 y las funciones deonda son semejantes se concluye

−αh

⟨ψ

∣∣∣∣ ∂2∂r22 +2

r2

∂

∂r2

∣∣∣∣ψ⟩ = αh(L2

hA− χ2hB)

A+B. (3.52)

−(

e2

ϵ

)⟨ψ∣∣∣ 1r3 ∣∣∣ψ⟩:

Para r1,2 < R se reemplaza por las respectivas funciones de onda yse calcula la integral obteniendo⟨ψ

∣∣∣∣ 1r3∣∣∣∣ψ⟩ =

∫ R

0r1dr1

∫ R

0r2dr2

∫ r2+r1

|r2−r1|r3dr3

1

r3N2 sin

2(Ler1)

r21

sin2(Lhr2)

r22e−2λr3

=N2

∫ R

0r1dr1

∫ R

0r2dr2

sin2(Ler1)

r21

sin2(Lhr2)

r22

∫ r2+r1

|r2−r1|dr3e

−2λr3 ,

(3.53)

desarrollando la integral respecto a r3 se tiene∫ b

a

dr3e−2λr3 = − e−2λr3

2λ

∣∣∣∣ba

; Coul(r3, λ) = −e−2λr3

2λ,

el resultado de la integral lo definimos como una nueva funcionCoul(r3, λ).Para r1,2 > R⟨

ψ

∣∣∣∣ 1r3∣∣∣∣ψ⟩ =N2

∫ ∞

R

r1dr1

∫ ∞

R

r2dr2sin2(LeR)

r21

sin2(LhR)

r22×

e2χe(R−r1)e2χh(R−r2)

∫ r2+r1

|r2−r1|dr3e

−2λr3 . (3.54)

En total⟨ψ

∣∣∣∣ 1r3∣∣∣∣ψ⟩ =N2

∫ R

0r1dr1

∫ R

0r2dr2

sin2(LeR)

r21

sin2(Lhr2)

r22×

[Coul(r1 + r2, λ)− Coul(|r2 − r1|, λ)]

+N2

∫ ∞

Rr1dr1

∫ ∞

Rr2dr2

sin2(LeR)

r21

sin2(LhR)

r22

e2χe(R−r1)e2χh(R−r2) [Coul(r1 + r2, λ)− Coul(|r2 − r1|, λ)] .(3.55)

50

Normalizando,

−(e2

ϵ

)⟨ψ

∣∣∣∣ 1r3∣∣∣∣ψ⟩ = −

(e2

ϵ

)C +D

A+B, (3.56)

donde se definen C y D como,

C =N2

∫ R

0r1dr1

∫ R

0r2dr2

sin2(LeR)

r21

sin2(Lhr2)

r22× [Coul(r1 + r2, λ)− Coul(|r2 − r1|, λ)] ,

D =N2

∫ ∞

Rr1dr1

∫ ∞

Rr2dr2

sin2(LeR)

r21

sin2(LhR)

r22e2χe(R−r1)e2χh(R−r2)

× [Coul(r1 + r2, λ)− Coul(|r2 − r1|, λ)] . (3.57)

−(αe + αh)⟨ψ∣∣∣ ∂2

∂r23+ 2

r3∂

∂r3

∣∣∣ψ⟩:Este caso es similar al anterior y por ello se encuentra dado en ter-minos de las integrales C, D y la respectiva normalizacion.

−(αe + αh)

⟨ψ

∣∣∣∣ ∂2∂r23 +2

r3

∂

∂r3

∣∣∣∣ψ⟩ = −(αe + αh)

[λ2 − 2λ

(C +D)

A+B

].

(3.58)

−⟨ψ∣∣∣αe

(r21−r22+r23)

r1r3∂2

∂r1r3

∣∣∣ψ⟩ y −⟨ψ∣∣∣αh

(r22−r21+r23)

r2r3∂2

∂r2∂r3

∣∣∣ψ⟩:Las integrales tanto para r1,2 < R como para r1,2 > R son,

−⟨ψ

∣∣∣∣αe(r21 − r22 + r23)

r1r3

∂2

∂r1r3

∣∣∣∣ψ⟩ =

=− αeN2

∫ R

0

r1dr1

∫ R

0

r2dr2

∫ r1+r2

|r2−r1|r3dr3

λ

r3

sin2(Ler1)

r21

sin2(Lhr2)

r22e−2λr3

(r21 − r22 + r23)

[1

r21− cot(Ler1)Ler1

r21

]− αeN

2

∫ ∞

R

r1dr1

∫ ∞

R

r2dr2

∫ r2+r1

|r2−r1|r3dr3

λ

r3

sin2(LeR)

r21

sin2(LhR)

r22

e−2χe(R−r1)e2χh(R−r2)e−2λr3(1 + r1χe)

r21(r21 − r22 + r23) (3.59)

Para el caso −⟨ψ∣∣∣αh

(r22−r21+r23)

r2r3∂2

∂r2∂r3

∣∣∣ψ⟩:

51

Las derivadas ahora seran respecto a r2 y r3 obteniendo

= −αhN2

∫ R

0

r1dr1

∫ R

0

r2dr2

∫ r2+r1

|r2−r1|r3dr3

λ

r3

sin2(Ler1)

r21

sin2(Lhr2)

r22e−2λr3

(r22 − r21 + r23)

[1

r22− cot(Lhr2)Lhr2

r22

]− αhN

2

∫ ∞

R

r1dr1

∫ ∞

R

r2dr2

∫ r2+r1

|r2−r1|r3dr3

λ

r3

sin2(LeR)

r21

sin2(LhR)

r22

e−2χe(R−r1)e2χh(R−r2)e−2λr3(1 + r2χh)

r22(r22 − r21 + r23) (3.60)

Sumando los dos terminos:⟨ψ

∣∣∣∣αe(r21 − r22 + r23)

r1r3

∂2

∂r1∂r3

∣∣∣∣ψ⟩+

⟨ψ

∣∣∣∣αh(r22 − r21 + r23)

r2r3

∂2

∂r2∂r3

∣∣∣∣ψ⟩ =

N2λ

∫ R

0r1dr1

∫ R

0r2dr2

sin2(Ler1)

r21

sin2(Lhr2)

r22

∫ r2+r1

|r2−r1|dr3e

−2λr3[αe(r

21 − r22 + r23)

(1− cot(Ler1)Ler1)

r21+ αh(r

22 − r21 + r23)

(1− Lhr2 cot(Lhr2))

r22

]+N2λ

∫ ∞

Rr1dr1

∫ ∞

Rr2dr2

sin2(LeR)

r21

sin2(LhR)

r22e2χe(R−r1)e2χh(R−r2)∫ r2+r1

|r2−r1|dr3e

−2λr3

[αe(r

21 − r22 + r23)

(1 + r1χe)

r21+ αh(r

22 − r21 + r23)

(1 + r2χh)

r22

](3.61)

Se define ahora

F±(r1, r2) = λ

[αe

(1− Ler1 cot(Ler1))

r21± αh

(1− Lhr2 cot(Lhr2))

r22

]G±(r1, r2) = λ

[αe

(1 + r1χe)

r21± αh

(1 + r2χh)

r22

](3.62)

52

De esta manera se obtiene para:⟨ψ

∣∣∣∣αe(r21 − r22 + r23)

r1r3

∂2

∂r1∂r3

∣∣∣∣ψ⟩+

⟨ψ

∣∣∣∣αh(r22 − r21 + r23)

r2r3

∂2

∂r2∂r3

∣∣∣∣ψ⟩ =

N2

∫ R

0r1dr1

∫ R

0r2dr2

sin2(Ler1)

r21

sin2(Lhr2)

r22∫ r2+r1

|r2−r1|dr3e

−2λr3[(r21 − r22)F−(r1, r2) + r23F+(r1, r2)

]+

N2

∫ ∞

Rr1dr1

∫ ∞

Rr2dr2

sin2(LeR)

r21

sin2(LhR)

r22e2χe(R−r1)e2χh(R−r2)∫ r2+r1

|r2−r1|dr3e

−2λr3[(r21 − r22)G−(r1, r2) + r23G+(r1, r2)

](3.63)

y definiendo los terminos,

M =N2

∫ R

0

r1dr1

∫ R

0

r2dr2sin2(Ler1)

r21

sin2(Lhr2)

r22∫ r2+r1

|r2−r1|dr3e

−2λr3[(r21 − r22)F−(r1, r2) + r23F+(r1, r2)

]O =N2

∫ ∞

R

r1dr1

∫ ∞

R

r2dr2sin2(LeR)

r21

sin2(LhR)

r22e2χe(R−r1)e2χh(R−r2)∫ r2+r1

|r2−r1|dr3e

−2λr3[(r21 − r22)G−(r1, r2) + r23G+(r1, r2)

](3.64)

se reemplaza en los valores esperados obteniendo,⟨ψ

∣∣∣∣αe(r21 − r22 + r23)

r1r3

∂2

∂r1∂r3

∣∣∣∣ψ⟩+

⟨ψ

∣∣∣∣αh(r22 − r21 + r23)

r2r3

∂2

∂r2∂r3

∣∣∣∣ψ⟩ =

=M +O

A+B. (3.65)

⟨ψ|Ve + Vh|ψ⟩:

Dado que los potenciales son constantes, estos simplemente se fac-torizan de la ecuacion obteniendo

⟨ψ|Ve + Vh|ψ⟩ = (Ve + Vh)B

A+B. (3.66)

53

Reagrupando nuevamente el valor esperado del Hamiltoniano se tiene

⟨ψ|H|ψ⟩ =− αe

⟨ψ

∣∣∣∣ ∂2∂r21 +2

r1

∂

∂r1

∣∣∣∣ψ⟩− αh

⟨ψ

∣∣∣∣ ∂2∂r22 +2

r2

∂

∂r2

∣∣∣∣ψ⟩−⟨ψ

∣∣∣∣αe(r21 − r22 + r23)

r1r3

∂2

∂r1∂r3+ αh

(r22 − r21 + r23)

r2r3

∂2

∂r2∂r3

∣∣∣∣ψ⟩− (αe + αh)

⟨ψ

∣∣∣∣ ∂2∂r23 +2

r3

∂

∂r3

∣∣∣∣ψ⟩−(e2

ϵ

)⟨ψ

∣∣∣∣ 1r3∣∣∣∣ψ⟩+ ⟨ψ|Ve + Vh|ψ⟩ (3.67)

en cuyo caso el valor de la energıa es:

EEx(λ) =⟨ψ|H|ψ⟩⟨ψ|ψ⟩

=αeL2

eA− χ2eB

A+B+ αh

L2hA− χ2

hB

A+B

− (αe + αh)

[λ− 2λ

(C +D)

A+B

]−(e2

ϵ

)(C +D)

(A+B)− M +O

A+B+ (Ve + Vh)

B

A+B,

(3.68)

La energıa del estado base se obtiene minimizando EEx(λ) respecto a λ.La energıa de enlace del estado base se define como:

Eenlace = Ee + Eh − EEx. (3.69)

3.2.3. Parametros de red y efecto de presion

Trabajos anteriores sobre el efecto de presion hidrostatica en sistemas debaja dimensionalidad han mostrado cambios significativos en la energıa deenlace de los excitones, razon por la cual se vuelve llamativo como estudio.Para aplicar presion hidrostatica al material se coloca la muestra dentro de unanvil-cell.1 La aplicacion de la presion modifica los parametros del materialen cuestion, tales como la constante de red, las alturas de las barreras depotencial, las masas efectivas tanto del electron como del hueco, y la constantedielectrica del material. Los cambios de los parametros de la red cuando seaplica presion para el GaAs han sido bien estudiados experimentalmente porvarios autores como son Herbert y colaboradores, y Elabsy y colaboradores

1Nombre en ingles de una celda formada por dos diamantes los cuales comprimen agrandes presiones una muestra de algun material para estudio.

54

Constantes para EΓg

Adentro Afueraα = 10,7x10−3eV/kbar α = (11,5− 1,3x)x10−3eV/kbarβ = −0,0000377eV/kbar2 β = 0b = 0,0005405 eV/K b = 0,0005405 eV/K

c = 204 K c = 204K

Las constantes para la constante dielectrica son:

ε0 = 12,74 δ1 = 9,4x10−5K−1

δ2 = 1,67x10−3 kbar−1 T0 = 75,6K

Los demas parametros son:

EΓP = 7,51 eV ∆0 = 0,341 eVa1 = 0,30242 a2 = −0,1 x 10−3 kbar−1

a3 = 5,56 x 10−6 kbar−2

Cuadro 3.1: Constantes y coeficientes para la presion.

[30, 19, 20]. Los parametros se encuentran en Kbars y la temperatura enKelvin.

Ve = 0,6EΓg ,

Vh = 0,4EΓg

E0g (GaAs) = 1,519eV,

EΓg = E0

g + αP + βP 2 + bT 2

T+c,

E0g (Ga1−xAlxAs)− E0

g (GaAs) = 1,155x+ 0,37x2eV,

ε(P, T ) = ε0eδ1(T−T0)e−δ2P ,

m∗e(P )m0

=[1 + EΓ

P

(2

EΓg (P,T )

+ 1EΓ

g (P,T )+∆0

)]−1

,

m∗h(P )

m0= a1 + a2P + a3P

2, (3.70)

donde los coeficientes para la presion adentro y afuera del punto, y las demasconstantes se muestran en el cuadro 3.1. En la ecuacion (3.70) m0 es la masa

55

del electron libre. De esta manera recordando el Hamiltoniano,

H =− ~2

2me(P )

(∂2

∂r21+

2

r1

∂

∂r1+r21 − r22 + r23

r1r3

∂2

∂r1∂r3

)− ~2

2mh(P )

(∂2

∂r22+

2

r2

∂

∂r2+r22 − r21 + r23

r2r3

∂2

∂r2∂r3

)− ~2

2µ

(∂2

∂r23+

2

r3

∂

∂r3

)− e2

εr3(P )+ Ve(r1, P ) + Vh(r2, P ), (3.71)

donde cada uno de los parametros dependera de la presion. Con el fin deresolver el problema se fija un valor para la presion y se introducen los corre-spondientes valores para cada uno de los parametros calculando la energıa deenlace del exciton, luego se cambia el valor de la presion y se repite el proceso.Aunque se sabe que los cambios en los parametros de la red son para el ma-terial en bloque, se asume como primera aproximacion, que el punto cuanticoy la superred experimentaran la misma variacion en su estructura, esto yaque aun no hay reportes experimentales para los cambios en los parametrosen sistemas de baja dimensionalidad.

3.3. Resultados y analisis

Para la obtencion de los resultados se utilizaron los parametros que semuestran en el cuadro 3.2 para el GaAs 2 [29].

Nombre Parametro ValorMasa efectiva electron me 0.067m0

Masa efectiva del hueco pesado mhh 0.45m0

Masa efectiva del hueco ligero mhl 0.08m0

Gap de energıa Eg 1.155x+0.37x2

Constante dielectrica ϵ 12.5Radio de Bohr efectivo a∗B 9.9 nmRydberg efectivo R∗

y 5.83 meVConcentracion Al x 0.3

Cuadro 3.2: Parametros para el GaAs en el punto.

En la Fig.3.5 se muestra la energıa de enlace para los excitones ligeros enfuncion del radio del punto para tres presiones P=0, 20 y 40 Kbar. Para este

2Estos parametros son los que se emplean a presion cero.

56

Figura 3.5: Energıa de enlace de excitones ligeros en funcion del radio delpunto para P=0, 20 y 40 Kbar.

caso se aplico el metodo variacional en coordenadas esfericas con una funcionde tipo hidrogenoide y un parametro variacional. Se observa como la energıade enlace aumenta a medida que disminuye el radio del punto y a medidaque crece la presion. Se puede notar que la energıa de enlace aumenta conla presion hidrostatica para cualquier valor del radio, reflejando ası el con-finamiento adicional; cuando la presion aumenta, el exciton se confina cadavez mas en el punto aumentando la energıa. Se observa tambien que la pre-sion afecta mas a los puntos pequenos y la posicion del maximo se mueve aradios menores a medida que aumenta la presion.

En la Fig.3.6 se presenta la energıa de enlace del exciton pesado confina-do en un punto cuantico esferico de GaAs/Ga1−xAlxAs como funcion delradio y para tres valores de presion hidrostatica P = 0, P = 20 y P = 40kbar, con una concentracion de Aluminio de x = 0,3. Sin presion, Fig.3.6 (a),se observa que la energıa de enlace a radios grandes R ≈ 400 A reproduce elvalor para el GaAs en bloque cercano a los 5 meV. A medida que el radiodel punto se reduce, va aumentando la energıa de enlace gracias al aumentode la interaccion Coulombiana entre el electron y el hueco. Esto se debe aque la funcion de onda del exciton se comprime dentro del punto y a que la

57

20 40 60 80 100

R (Å)

20

30

40

50

60

70

Ene

rgia

de

enla

ce (

meV

)

P = 0 kbar

x = 0.3

(a)

20 40 60 80 100

R (Å)

20

30

40

50

60

70

Ene

rgia

de

enla

ce (

meV

)

P = 20 kbar

x = 0.3

(b)

20 40 60 80 100

R (Å)

20

40

60

80

Ene

rgia

de

enla

ce (

meV

)

P = 40 kbar

x = 0.3

(c)

Figura 3.6: Energıa de enlace de excitones pesados en funcion del radio delpunto para P=0, 20 y 40 Kbar.

58

separacion promedio del electron y el hueco se reduce a medida que el radiodisminuye. La energıa de enlace aumenta hasta alcanzar su maximo para unvalor de radio del punto cercano a los 30 A, este valor concuerda con el re-portado por Escorcia y colaboradores [31]. Cuando el radio del punto siguedisminuyendo, las energıas del electron y el hueco libre aumentan y sus fun-ciones de onda penetran dentro de las barreras. De esta manera, la energıade enlace del exciton disminuye, en principio porque si el radio es cero laenergıa de enlace debe tener el valor en bloque del exciton en el GaAlAs. Elcomportamiento de la energıa de enlace se coincide con los resultados repor-tados sin presion [31, 32].Cuando se aplica la presion, Fig.3.6(b) y (c), la energıa de enlace aumenta

0,15 0,2 0,25 0,3 0,35x

29,1

29,4

29,7

30,0

30,3

Ene

rgia

de

enla

ce (

meV

)

R = 60 Å

P = 20 kbar

Figura 3.7: Energıa de enlace de excitones confinados en puntos cuanticosesfericos de GaAs rodeados por Ga1−xAlxAs como funcion de la concentracionde Aluminio x.

desde su valor del GaAs en bloque a medida que el radio del punto disminuye,alcanzando un maximo para luego caer cuando el radio se aproxima a cero. Elefecto de la presion hidrostatica en el exciton corresponde a un confinamientoadicional en la estructura. Por esto, la energıa de enlace debe aumentar paracualquier valor de radio. El aumento se puede ver al comparar (a), (b) y (c)en la Fig.3.6. El comportamiento de la energıa de enlace con presion ya hasido reportado para excitones en pozos cuanticos [13, 43, 40]. Es importante

59

recalcar la diferencia entre las estructuras 2D (pozos) y las 0D (puntos), puesla energıa de enlace en los puntos cuanticos es mayor que en los pozos dado elconfinamiento adicional. El aumento en la energıa al disminuir la dimension,es de casi 7 veces, esto se observa al comparar los resultados obtenidos conlos reportados por Greene y colaboradores [29]. Tambien se puede observaren las figuras que el efecto de presion es mucho mas notorio para puntos maspequenos. El maximo tambien se desplaza a radios menores a medida queaumenta la presion. Esto se debe al aumento de las alturas de las barrerashaciendo que se necesite un radio menor para que aumente el estado base yalcance el maximo de energıa de ionizacion. En principio, si la presion que seaplica tendiera a infinito, las alturas de potencial serıan infinitas corriendo elmaximo a cero con una altura infinita como se sabe para modelos de poten-ciales de confinamiento infinitos. La aplicacion de presion permite que puntoscuanticos pequenos mejoren el enlace del electron y el hueco requiriendo may-ores valores de energıa para romperlos; esto hace posible que a temperaturaambiente se prolongue el perıodo de vida del exciton convirtiendose en unapropiedad interesante para dispositivos optoelectronicos.

Figura 3.8: Energıa de enlace de excitones confinados en puntos cuanticosesfericos de GaAs rodeados por Ga1−xAlxAs como funcion de la presion paraun radio del punto de 30 A y una concentracion de Aluminio de x =0.3.

A medida que el estado base tanto para el electron como para el hueco se

60

acerca a las alturas de las barreras, va aumentando la penetracion de lasfunciones de onda en ellas haciendo que las partıculas se encuentren menoslocalizadas dentro del punto perdiendo el confinamiento y alterando la en-ergıa de enlace.Al comparar los resultados con los resultados para excitones ligeros se puedeobservar que la energıa de enlace es mucho menor para los excitones pesados,ya que la masa efectiva de estos es mucho mayor.

En la Fig. 3.7 se muestra el resultado de la energıa de enlace del excitoncomo funcion de la concentracion de Aluminio x para un punto cuantico deradio 60 A a una presion de 20 kbar. La energıa de enlace aumenta de formalineal a medida que crece la concentracion, pues x incrementa la altura delas barreras aumentando el confinamiento, disminuyendo la penetracion enlas barreras, y por tanto, propiciando el crecimiento de la energıa de enlace.

Finalmente, en la Fig. 3.8 se muestra la energıa de enlace del exciton co-mo funcion de la presion. Para el calculo, se empleo un radio del punto de30 A y una concentracion de Aluminio de x =0.3. Se observa el aumento deforma lineal a medida que aumenta la presion hasta alcanzar los 40 kbars.Aunque, el crecimiento de la energıa es del orden de 10 meV, quizas pequenopara su aplicacion experimental, el efecto de aumento debido a la presionexiste. Es posible que para distintos materiales este crecimiento sea mayor.

61

Capıtulo 4

Superred de Nanohilos

GaAsGaAlAs GaAlAs

ba

bbb a aaz z

Potencial

GaAlAsGaAs

GaAlAs

Nanotubo

Figura 4.1: Diagrama de una superred de nanohilos con el potencial en la direccionz.

Como una extension de las heteroestructuras o superredes en 2 dimen-siones, se han creado superredes unidimensionales o de nanohilos gracias amodificaciones de los metodos de construccion. Estos nanohilos, son estruc-turas cuyos diametros son del orden de los nanometros, con longitudes quese pueden extender hasta los micrometros. En la Fig. 4.1 se muestra un dia-grama de la superred y de lo potenciales de confinamiento en la direccion z.

62

Estos dispositivos se logran fabricar alternando capas de materiales semicon-ductores con distintos gaps de energıa, pero con constantes de red similarespara facilitar el crecimiento al momento de depositar las capas. Este caso losatisfacen el GaAs y el GaAlAs.

En un nanohilo simple (quantum wire), donde las cargas se pueden desplazarlibremente a lo largo del hilo y se encuentran bajo confinamiento solo en laparte radial, el movimiento de las cargas en la superred se ve afectado porel confinamiento adicional generado por las barreras del material con mayorgap de energıa a lo largo del hilo. Para nuestro estudio, se asume la su-perred de forma cilındrica formada por GaAs en los pozos y con capas deGa1−xAlxGa en las barreras. Toda la heteroestructura rodeada por una capade Ga1−yAlyGa la cual generara el confinamiento radial. La concentracion deAluminio fuera del nanohilo es mayor que la concentracion de las barreras(y > x).

Al estudiar las propiedades de luminiscencia, transporte electrico y electro-luminiscencia, para nanohilos simples, se ha mostrado el potencial de estosdispositivos como herramientas fotonicas y electronicas [35, 36, 37, 38, 39].Variando la composicion y los parametros geometricos de la estructura esposible modificar las propiedades que se generan por las interacciones de loselectrones y huecos que se encuentran confinados en la heteroestructura, opor las interacciones de las partıculas al producirse tunelamiento en las bar-reras de potencial. Una de las caracterısticas que se puede cambiar de maneracontrolada es la distribucion de la carga dentro de la superred; pues es posibleque la distribucion de la carga se encuentre concentrada en los centros de lospozos y por ende, haya poca concentracion en las barreras.

4.1. Fabricacion

Aunque las tecnicas de fabricacion para construir heteroestructuras sonlas tradicionales, no fue sino hasta el ano 2002 que Gudiksen y colabo-radores [14] construyeron una superred de nanohilo. Ellos lograron controlarel diametro de los nanotubos gracias a los desarrollos en la sıntesis medi-ante catalisis metalica, y mediante el proceso vapor-lıquido-solido, realizaronel crecimiento de la superred empleando semiconductores de los grupos III-IV y V. Veamos el procedimiento con mas detalle. Para el crecimiento delnanohilo primero se generan los reactivos semiconductores en vapor medi-ante interaccion de un laser con el blanco solido. Para la realizacion de una

63

juntura en el nanohilo, se detiene el crecimiento del primer reactivo y se hacecrecer el segundo reactivo hasta la longitud deseada. Este procedimiento serealiza las veces necesarias hasta obtener la superred del nanohilo como semuestra en la Fig.4.2. De esta manera, Gudiksen y colaboradores lograron

Figura 4.2: Esquema de fabricacion alternado. Imagen tomada del artıculo publi-cado por M.S. Gudiksen y colaboradores, Nature 415, 617 (2001).

crear una superred de GaAS/GaP mediante el crecimiento asistido por laser.En la Fig. 4.3 se muestran las imagenes obtenidas mediante un microscopioelectronico de transmision. En la Fig. 4.3 (a) se muestra la juntura entre elGaAs y el GaP. La imagen sugiere que la juntura puede ser abrupta, por ellomediante espectroscopıa de rayos X, se obtiene la variacion de la composicionde los materiales como se ve en la Fig. 4.3 (b)-(e). Tambien se observa comoel Ga se encuentra de manera uniforme a lo largo del nanohilo, mientras queel P, Fig.4.3 (d), y el As Fig.4.3 (e), aparecen en las partes de GaP y GaAs,respectivamente. Un analisis cuantitativo Fig.4.3 (f) muestra que la junturaes abrupta, realizando la transicion de GaP a GaAs en una escala de 15-20nm.

Para el ano 2003 Ristic y colaboradores [41] lograron construir una superredde nanohilos de GaN con barreras de Ga1−xAlxN basadas en la tecnica deMBE. Para esto, tomaron un substrato de Silicio y se le deposito una capa deAlN. Una vez el ambiente se encontraba en condiciones ricas en N, la super-ficie de Ga se reducıa dando paso al proceso de crecimiento ordenado el cualse genera gracias a los mecanismos de vapor-lıquido-solido. El substrato sesometio a 760 ◦C, lo que permitio el crecimiento de alta calidad del nanohilode GaAlN/GaN/GaAlN alternando el flujo de Al y Ga con un flujo constantede N. De esta manera cuando se interrumpıa por completo el Al se formabanlos discos de GaN.

En la Fig.4.4 se muestran las estructuras realizadas por ellos, en la partesuperior se ven imagenes SEM de una seccion de los nanohilos de GaAlN

64

Figura 4.3: Juntura de un nanohilo de GaAs/GaP. a) Imagen de alta resolucionTEM de la juntura la cual fue crecida con un nanocluster de Oro de 20 nm comocatalizador. Escala de la barra 10 nm. b) Imagen TEM de otra juntura, escala dela barra 20 nm. c) d) y e) Mapeo del Ga (gris), P (rojo) y As (azul). f) Lıneasde composicion a traves de la juntura. Imagen tomada del artıculo publicado porM.S. Gudiksen y colaboradores, Nature 415, 617 (2001).

con una imagen de la seccion transversal mostrando como la construccion sehace sin defectos aparentes. En la parte inferior se observa mediante imagenesTEM, un nanohilo individual con los discos de GaAs formando la superred,el espesor de los discos es de 4.5 nm y los diametros oscilan entre 30 y 150nm.

4.2. Excitones en superredes de nanohilos

En este modelo se asume que el nanohilo inicia en pozo y termina en pozocon barreras laterales infinitas, de tal forma que la funcion de onda a lo largode z cae en los extremos. De la misma manera que para el punto cuantico,se asume un exciton como un atomo hidrogenoide, para el cual se plantea el

65

Figura 4.4: Arriba: a) Muestra de los nanohilos de GaAlN crecidos en la basede Silicio, b) Seccion transversal de un nanohilo mediante SEM, se puede verla ausencia de imperfecciones. Abajo: Superred de GaN/GaAlN, a) Se puedenobservar 7 pozos de GaN, b) Cada disco tiene un espesor de 4.5 nm. Imagentomada del artıculo publicado por J. Ristic y colaboradores, Phys. Rev. B 68,125305 (2003).

siguiente Hamiltoniano:

H = − ~2

2me

∇2e −

~2

2mh

∇2h + Ve + Vh −

(e2

ϵ

)1

reh, (4.1)

por simplicidad en el desarrollo definimos las siguientes constantes,

αe =~2

2me

, αh =~2

2mh

, αϵ =e2

ϵ, (4.2)

obteniendo

H = −αe∇2e − αh∇2

h + Ve + Vh − αϵ1

reh, (4.3)

donde reh es la distancia entre el electron y el hueco

reh =√ρ2e + ρ2h − 2ρeρh cos(φe − φh) + (Ze − Zh)2. (4.4)

66

Dada la simetrıa del problema se emplea coordenadas cilındricas (ρ, φ, Z)como se muestran en la Fig. 4.5. Tengamos en cuenta que el origen del sistemase tomara en el lado izquierdo del hilo y la direccion z va a lo largo de este.

ϕϕe

h

ρ

ρ

e

h

Z

X

Y

z

ze

h

Electron

Hueco

Figura 4.5: Sistema de coordenadas cilındricas para el electron y el hueco.

Como se necesitan las funciones de onda al igual que las energıas del electrony el hueco libre para poder calcular la energıa de enlace del exciton, se parteresolviendo los casos del electron y el hueco sin interaccion, para esto no setiene en cuenta los aportes de reh. Los Hamiltonianos para el electron y elhueco libre son:

He = −αe∇2e + Ve, Hh = −αh∇2

h + Vh, (4.5)

y satisfacen la siguiente ecuacion de Schrodinger

Hefe(ρe, ze) = Eefe(ρe, ze), Hhfh(ρh, zh) = Eh(ρh, zh). (4.6)

67

Para el caso del exciton la ecuacion de Schrodinger es

Hψ(ρe, ρh, ze, zh, reh) = Eexψ(ρe, ρh, ze, zh, reh), (4.7)

siendo la energıa Eex el magnitud a determinar mediante el principio varia-cional de Schrodinger.

La aplicacion de este modelo fue introducido por Mikhailov y colaboradores[42] en 2002 para el calculo de la energıa de enlace de donadoras neutrasy negativas en heteroestructuras. A este modelo lo denominaron “de di-mension fractal”debido a ciertas propiedades del Jacobiano (funcion que sedefinira mas adelante) cuya dependencia se puede relacionar con una dimen-sion fraccionaria.Se asume la funcion del exciton ψ como una combinacion de las funcionesdel electron y el hueco libre, y una funcion envolvente que dara cuenta de lainteraccion mediante reh

ψ(ρe, ρh, ze, zh, reh) = fe(ρe, ze)fh(ρh, zh)ϕ(reh), (4.8)

ya definidas las funciones, no se escribira la dependencia de las funciones porsimplicidad.

4.2.1. Solucion del electron y el hueco libre

En este apartado se analiza los casos del electron y el hueco libres.

a. Para el electron libre se tiene

Hefe(ρe, ze) = Eefe(ρe, ze). (4.9)

El movimiento en la parte radial ρ es mucho mayor que en z, de es-ta manera se descompone el movimiento en el plano (ρ, φ) y en la di-reccion z. Por lo tanto se asume la funcion de onda del electron comofe = feρ(ρe, ze)fez(ze). Reemplazando en la ecuacion se tiene (asumiendosimetrıa axial):

Hefe = −αe∇2efe + Vefe (4.10)

= −αe

(∂2

∂ρ2e+

1

ρe

∂

∂ρe+

∂2

∂z2e

)fe + Vefe

= −αe

(∂2feρ∂ρ2e

+1

ρe

∂feρ∂ρe

)fez − αe

∂2fez∂z2e

feρ + Vefeρfez.

68

Como Hefe = Eefe entonces

−αefez

(∂2feρ∂ρ2e

+1

ρe

∂feρ∂ρe

)− αefeρ

∂2fez∂z2e

+ Vefeρfez = Eefeρfez. (4.11)

Dividiendo por feρfez se tiene

−αe1

feρ

(∂2feρ∂ρ2e

+1

ρe

∂feρ∂ρe

)− αe

1

fez

∂2fez∂z2e

+ Ve = Ee. (4.12)

Reagrupando Ve en la parte de ρe (El potencial Ve dependera de ρe, aunquetambien depende de si se encuentra el electron en un pozo o en una bar-rera). De esta manera se define el potencial de confinamiento para el elec-tron como,

Ve =

{ν(z), 0 < ρe < R

Ve, ρe > R; ν(z) =

{0, → Pozo

Vbe, → Barrera(4.13)

retomando la Ec.(4.12)[−αe

1

feρ

(∂f2

eρ

∂ρ2e+

1

ρe

∂feρ∂ρe

)+ Ve

]︸ ︷︷ ︸

Eeρ(ze)

−αe1

fez

∂2fez∂z2e

= Ee (4.14)

se denomina el parentesis izquierdo como Eeρ(Ze), obteniendo las sigu-ientes dos ecuaciones para feρ y fez

−αe1

feρ

(∂2feρ∂ρ2e

+1

ρe

∂feρ∂ρe

)+ Vefeρ = Eeρ(ze)feρ, (4.15)

−αed2fezdz2e

+ Eeρ(ze)fez = Eefez, (4.16)

estas son las ecuaciones de Schrodinger para feρ y fez. Ya que se asumeque el electron se mueve mas rapido en ρ que en z, la energıa radialEeρ(ze) actua como potencial para el movimiento en z y Ee es la energıadel electron libre. Estas dos ecuaciones se resuelven mediante el metodode disparo trigonometrico (Apendice A), obteniendo fe y Ee.

b. Para el hueco libre, la ecuacion de Schrodinger es

Hhfh(ρh, zh) = Ehfh(ρh, zh), (4.17)

oHhfh(ρh, zh) = −αh∇2

hfh(ρh, zh) + Vhfh(ρh, zh). (4.18)

69

Los potenciales de confinamiento para el hueco dependeran de la posicionde este en la superred. Ası, como el caso del electron, cuando el huecoesta dentro de los pozos el potencial es cero y cuando esta en las barrerases VBh y, finalmente, en la direccion radial el potencial es Vh

Vh =

{ν(z), 0 < ρh < R

Vh, ρh > Rcon ν(z) =

{0 → Pozo

VBh → Barrera(4.19)

De igual manera que para el electron se asume la funcion de onda del huecoen dos partes, una funcion radial que depende de la posicion z en que seencuentre, y otra funcion a lo largo de z. Esto asumiendo que la dinamicaes mayor en la direccion radial, lo cual corresponde a la aproximacionadiabatica (Kittel (1996) [27]). Segun lo anterior la funcion queda

fh = fhρ(ρh, zh)fhz(zh). (4.20)

Con la energıa radial como potencial para el movimiento axial, y reem-plazando la funcion de onda en el Hamiltoniano podemos obtener las sigu-ientes dos ecuaciones para fhρ y fhz,

−αh

(∂2fhρ∂ρ2h

+1

ρh

∂fhρ∂ρh

)+ Vhfhρ = Ehρ(zh)fhρ , (4.21)

−αhd2fhzdz2h

+ Ehρ(zh)fhz = Ehfhz , (4.22)

estas ecuaciones se resuelven mediante barrido trigonometrico.

4.2.2. Solucion para el electron y hueco correlacionado(exciton)

Una vez resuelto el problema para el caso libre, se resuelve el caso delexciton. Para esto se emplea el principio variacional de Schrodinger, peroen lugar de ajustar un parametro en una funcion preestablecida, se intentaencontrar la funcion mas adecuada. Recordemos que se supuso para ψ

ψ(ρe, ρh, ze, zh, reh) = fe(ρe, ze)fh(ρh, zh)ϕ(reh), (4.23)

donde ϕ(reh) es la funcion envolvente que da cuenta de la correlacion y, portanto, se debe minimizar.Del principio variacional, para minimizar ϕ se crea el funcional,

F [ϕ] = ⟨ψ|H − Eex|ψ⟩ → mın. (4.24)

70

Reemplazando el Hamiltoniano y ψ en el funcional tenemos,

F [ϕ] =

⟨fefhϕ

∣∣∣∣He + Hh − αϵ1

reh− Eex

∣∣∣∣ fefhϕ⟩=⟨fefhϕ|fhHe(feϕ) + feHh(fhϕ)⟩ −

⟨(αϵ

reh+ Eex

)f 2e f

2hϕ

2

⟩= ⟨fefhϕ|fhHe(feϕ)⟩︸ ︷︷ ︸

Ie

+ ⟨fefhϕ|feHh(fhϕ)⟩︸ ︷︷ ︸Ih

−⟨(

αϵ

reh+ Eex

)f 2e f

2hϕ

2

⟩︸ ︷︷ ︸

A

(4.25)

Por comodidad se definen los valores esperados por Ie, Ih y A para facilitarel analisis del calculo.

Valor esperado Ie

De la definicion anterior Ie con el Hamiltoniano expandido es,

Ie = ⟨fefhϕ|fh[−αe∆ρe(feϕ)− αe∆φe(feϕ)− αe∆ze(feϕ) + Vefeϕ]⟩, (4.26)

donde

∆ρe →∂2

∂ρ2e+

1

ρe

∂

∂ρe, ∆φe →

∂2

∂φ2e

, ∆ze →∂2

∂z2e, (4.27)

son las componentes del Laplaciano en coordenadas cilındricas.Operando las componentes del Laplaciano y simplificando se obtiene

Ie = ⟨Eef2e f

2hϕ

2⟩+ ⟨αef2hf

2e [(∇ρeϕ)2 + (∇φeϕ)

2 + (∇zeϕ)2]⟩ . (4.28)

Valor esperado Ih

Para el caso de Ih, ya que la estructura funcional es similar al de Ie seobtiene,

Ih = ⟨Ehf2e f

2hϕ

2⟩+ ⟨αhf2e f

2h [(∇ρhϕ)2 + (∇φhϕ)

2 + (∇zhϕ)2]⟩ . (4.29)

Valor esperado funcional

El funcional total es: F [ϕ] = Ie + Ih − A, reemplazando los respectivosresultados se tiene

F [ϕ] =⟨f 2e f

2hϕ

2(Ee + Eh −αϵ

reh− Eex)⟩+

⟨f 2e f

2h [αe((∇ρeϕ)

2 + (∇φeϕ)2 + (∇zeϕ)

2)]⟩+⟨f 2

e f2h [αh((∇ρhϕ)

2 + (∇φhϕ)2 + (∇zhϕ)

2)]⟩, (4.30)

71

ya que ϕ es funcion de reh se deben encontrar las derivadas parciales respectoa las coordenadas del electron y el hueco.En general

∇ϕ =∂ϕ

∂ρρ+

1

ρ

∂ϕ

∂φφ+

∂ϕ

∂zz, (4.31)

(∇ϕ)2 = (∇ϕ) · (∇ϕ) =(∂ϕ

∂ρ

)2

+1

ρ2

(∂ϕ

∂φ

)2

+

(∂ϕ

∂z

)2

, (4.32)

por la regla de la cadena, para las coordenadas del electron y el hueco setiene

∂ϕ

∂ρe=

∂ϕ

∂reh

∂reh∂ρe

,∂ϕ

∂φe

=∂ϕ

∂reh

∂reh∂φe

,∂ϕ

∂ze=

∂ϕ

∂reh

∂reh∂ze

, (4.33)

∂ϕ

∂ρh=

∂ϕ

∂reh

∂reh∂ρh

,∂ϕ

∂φh

=∂ϕ

∂reh

∂reh∂φh

,∂ϕ

∂zh=

∂ϕ

∂reh

∂reh∂zh

, (4.34)

y teniendo en cuenta que reh es la separacion entre el electron y el hueco, elcual en coordenadas cilındricas esta dado por

r2eh = ρ2e + ρ2h − 2ρeρh cos(φe − φh) + (ze − zh)2, (4.35)

y realizando las derivaciones parciales correspondientes se reemplaza en elfuncional para obtener

F [ϕ] =

⟨f2e f

2hϕ

2

(Ee + Eh −

αϵ

reh− Eex

)⟩+⟨

f2e f

2h

{(∂ϕ

∂reh

)2[αe

[(ρe − ρh cos(φe − φh))

2

r2eh+

1

ρ2e

ρ2eρ2h sin2(φe − φh)

r2eh+

(ze − zh)2

r2eh

]]}⟩+⟨

f2e f

2h

{(∂ϕ

∂reh

)2[αh

[(ρh − ρe cos(φe − φh))

2

r2eh+

1

ρ2h

ρ2eρ2h sin2(φe − φh)

r2eh+

(ze − zh)2

r2eh

]]}⟩.

(4.36)

Simplificando se obtiene

F [ϕ] =

⟨f2e f

2h

{(ϕ′)2(αe + αh) +

(Ee + Eh −

αϵ

reh− Eex

)ϕ2

}⟩, (4.37)

con ϕ′ = dϕdreh

.El valor esperado se calcula de la forma:

F [ϕ] =

∫ ∞

0dreh

{∫ ∞

0ρedρe

∫ ∞

0ρhdρh

∫ L

0dze

∫ L

0dzh

∫ 2π

0dφe

∫ 2π

0dφh[

f2eρf2ezf

2hρf

2hz(αe + αh)(ϕ

′)2 +

(Ee + Eh −

αϵ

reh− Eex

)ϕ2 · f2eρf2ezf2hρf2hz

]}· δ(√

ρ2e + ρ2h − 2ρeρh cos(φe − φh) + (ze − zh)2 − reh

)(4.38)

72

El delta de dirac se introduce debido a que la ecuacion es valida solo cuando

reh =√ρ2e + ρ2h − 2ρeρh cos(φe − φh) + (ze − zh)2, (4.39)

si se define una funcion la cual se denominara el Jacobiano J(r) como

J(reh) =

∫ ∞

0

ρedρe

∫ ∞

0

ρhdρh

∫ L

0

dze

∫ L

0

dzh

∫ 2π

0

dφe

∫ 2π

0

dφh

f2eρf

2ezf

2hρf

2hz × δ

(√ρ2eh + (ze − zh)2 − reh

), (4.40)

donde ρ2eh = ρ2e + ρ2h − 2ρeρh cos(φe − φh).

Con estas nuevas definiciones la integral del funcional queda

F [ϕ] =

∫ ∞

0dreh

{(αe + αh)J(reh)(ϕ

′(reh))2 + E(reh)ϕ

2(reh)J(reh)}, (4.41)

donde se define E(reh) = Ee+Eh− αϵ

reh−Eex. Si se escribe el funcional como

el valor esperado de una funcion Lagrangiana

F [ϕ] = ⟨L(ϕ′(reh), ϕ(reh))⟩, (4.42)

la funcion L(ϕ′(reh)) queda como,

L(ϕ′(reh), ϕ(reh)) = (αe + αh)J(reh)(ϕ′(reh))

2 + E(reh)ϕ2(reh)J(reh). (4.43)

Para minimizar el funcional se emplea la ecuacion de Euler-Lagrange:

d

dr

∂L

∂ϕ′ −∂L

∂ϕ= 0, (4.44)

Cuando el Lagrangiano satisface la condicion se tiene que∫ ∞

0

rehL(ϕ′(reh), ϕ(reh)) → mın, y por lo tanto F [ϕ] → mın, (4.45)

que es exactamente lo que se necesita.Se resuelve la ecuacion de Euler-Lagrange obteniendo:

d

dreh

∂L

∂ϕ′ −∂L

∂ϕ=

d

dreh(2(αe + αh)J(reh)ϕ

′(reh))− 2E(reh)J(reh)ϕ(reh)

=2(αe + αh)J′(reh)ϕ

′(reh) + 2(αe + αh)J(reh)ϕ′(reh)

− 2E(reh)J(reh)ϕ(reh). (4.46)

73

Igualando a cero y dividiendo por 2(αe + αh)J(reh) se tiene

d2ϕ(reh)

dr2eh+d(ln(J(reh))

dreh· dϕ(reh)dreh

− E(reh)

(αe + αh)ϕ(reh) = 0. (4.47)

De esta manera, se ha obtenido una ecuacion diferencial de segundo ordenpara la funcion envolvente ϕ(reh) (funcion variacional), haciendo las sigu-ientes definiciones

W (reh) =d

dreh(ln(J(reh))) , U(reh) =

E(reh)

αe + αh

, (4.48)

se reescribe la ecuacion para obtener

ϕ′′(reh) +W (reh)ϕ′(reh) + U(reh)ϕ(reh) = 0. (4.49)

La cual se resuelve mediante el metodo de barrido trigonometrico (ver ApendiceA). Se debe tener en cuenta que para solucionar la ecuacion se debe calcularel Jacobiano, el cual al simplificarlo (ver Apendice B) queda:

J(reh) =4πreh

∫ L

0

dze

∫ bzh

azh

dzh

∫ ∞

0

ρedρe

∫ 1

0

dxf2e (ρe, ze)F+(ze, zh, ρe, x)√

(2− x2)

· f2e (ρe, ze)F−(ze, zh, ρe, x)√

(2− x2). (4.50)

Donde azh = max{0, (ze − reh)} ; bzh = min{L, (ze + reh)}

F±(ze, zh, ρe, x) = f2h

(√ρ2e + r2eh − (ze − zh)2 ± 2ρe

√r2eh − (ze − zh)2(1− x2), zh

).

(4.51)

Una vez encontrada ϕ(reh) se obtiene la funcion de onda que mejor se ajustaal problema, y se obtiene la respectiva energıa del exciton en su estado baseEex. La energıa de enlace se calcula como la diferencia entre las del electrony el hueco libre menos la energıa del exciton,

Eenlace = Ee + Eh − Eex. (4.52)

4.3. Presion

Del cuadro 3.1, y de las expresiones que modifican los parametros de la redcuando se aplica presion (3.70) reportados por Elabsy, se encuentra el cambiode la energıa de enlace del exciton, de la misma manera como se encontro en

74

Nombre Parametro ValorMasa efectiva electron me 0.067m0

Masa efectiva del hueco en ρ mhρ 0.1m0

Masa efectiva del hueco en z mhz 0.45m0

Masa efectiva del hueco pesado mh 0.216m0

Gap de energıa Eg 1.155x+0.37x2

Constante dielectrica ϵ 12.5Radio de Bohr efectivo a∗B 9.9 nmRydberg efectivo R∗

y 5.83 meVConcentracion Al x 0.1 adentro, 0.4 afuera

Cuadro 4.1: Parametros para el GaAs [29].

el caso del punto cuantico. Se obtienen los parametros para una presion daday se resuelve el modelo completo para obtener el valor de energıa, luego secambia la presion y se repite el proceso.Dependiendo de la presion, el Hamiltoniano queda

H = − ~2

2me(P )∇2

e −~2

2mh(P )∇2

h + Ve(P ) + Vh(P )−(

e2

ϵ(P )

)1

reh, (4.53)

de esta manera los parametros α que se definieron se veran afectados por lapresion.

4.4. Resultados y analisis

Para el desarrollo del modelo se utilizaron los parametros que se muestranen el cuadro 4.1 para el GaAs1 [29]; se debe tener en cuenta que el huecopesado se calcula como mh=(2/3)mhρ + (1/3)mhz [54]. Para la superred setomaron 5 pozos, de tal forma que el hilo inicia y termina en pozo. El anchode las barreras fue de 0.5 a∗B y el de los pozos de 1 a∗B; las alturas de lasbarreras dejaron fijas con la concentracion de Aluminio que se mostro en elcuadro 4.1. Para los calculos se empleo una temperatura de 4 K y se consid-eraron los excitones pesados.

En la Fig.4.6 se muestra la energıa de enlace del exciton variando el radio delhilo con presiones P=0, 20 y 40 Kbar. Sin presion, Fig.4.6, se observa pararadios del orden de 400 A en adelante como la energıa de enlace va tendiendo

1Estos parametros son los que se emplean a presion cero.

75

0 100 200 300 400

R (�)

0

10

20

30

40

50

Ene

rgia

de

enla

ce (

meV

)

P = 0 kbarP = 20 kbarP = 40 kbar

Figura 4.6: Energıa de enlace en funcion del radio del hilo para P=0, 20 y 40Kbar.

al valor del GaAs de 5.83 meV. A medida que disminuye el radio, la energıade enlace aumenta hasta alcanzar un maximo, para luego descender nueva-mente, en principio al valor del GaAlAs en bloque. Este comportamiento seencuentra en concordancia con los observados en otras heteroestructuras y,en nuestro caso, con el que se obtuvo para los puntos cuanticos. El maximode la energıa se localiza en un radio cercano a 40 A y con un valor de energıade 22 meV, se observa un pequeno aumento comparado con el caso de unsolo hilo cuantico del mismo material. Este dato fue reportado por Raigoza ycolaboradores [13], quienes emplearon una funcion de prueba hidrogenoide.Cuando el radio disminuye, las funciones de onda del electron y del hue-co penetran la barrera fuera del hilo y las barreras a lo largo de z. Estapenetracion en las barreras hace que las partıculas se encuentren menos con-finadas en los pozos, disminuyendo la energıa de enlace. Cuando se aplicapresion se observa el aumento de la energıa a medida que disminuye el radiode la superred; para un radio dado se puede observar el aumento de la en-ergıa con el cambio de la presion. El maximo se desplaza a radios menores

76

igual que para el caso de los puntos, ya que al aumentar la presion aumen-tan las alturas de las barreras alejando el nivel del estado base del borde deellas. Esto hace que las funciones de onda se encuentren mas localizadas enlos pozos, requiriendo un radio menor para aumentar la energıa de enlace yası alcanzar el desbordamiento de las funciones dentro de las barreras. Pararadios menores el valor de energıa debe tender al del GaAsAl. Se observa queel efecto de presion es mucho mas notorio para radios pequenos.

A medida que aumenta la presion, la constante dielectrica se reduce generan-do un aumento de la energıa de enlace; ası mismo el radio del hilo dismin-uye acercando mas al electron y al hueco, incrementanto la interaccion deCoulomb y por tanto la energıa.

Ya que la funcion de onda del exciton logra hacer tunelamiento a travesde las barreras en la direccion z se observa para el caso de P=40 Kbar queel maximo de energıa es del orden de los 40 meV, casi 20 meV menos queel maximo alcanzado para el punto cuantico a P=0 Kbar, lo que demuestrael aumento en la energıa de enlace debido al confinamiento en las 3 dimen-siones.

En la Fig.4.7 se muestran las distribuciones de probabilidad calculadas paralas funciones de onda del electron y del hueco con 5 pozos, un radio para elnanohilo de R=0.5 a∗B, un ancho de pozo de 1 a∗B y un ancho de barrera de0.5 a∗B.

Las figuras superiores muestran las funciones de onda a P=0 Kbar y lasinferiores a P=40 Kbar. Para el caso sin presion se puede observar que tantopara el electron como para el hueco la distribucion de probabiliada se encuen-tra localizada en el pozo central de la superred con presencia de tunelamientoen las barreras laterales, en los pozos siguientes disminuye la probabilidad, yen el primer y ultimo pozo no se observan rastros de las funciones.

En la parte radial, tanto para el electron como para el hueco, las funciones deonda caen dentro de los pozos y barreras antes de alcanzar el radio del hilo,de manera que no se encuentran rastros de ellas para radios mayores a 0.5 a∗B.

Para el caso del electron se puede ver como en la direccion z la funcionde onda alcanza a penetrar en las barreras con cierta probabilidad de encon-trarse dentro de ellas. Para el caso del hueco, la probabilidad es mucho menorya que su masa es superior que la del electron, esto dificulta su movilidadconcentrandolo en los pozos. A una presion de P=40 Kbar, el confinamiento

77

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Función de Onda, Electrón libre P=0 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Función de Onda, Hueco libre P=0 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Función de Onda, Electrón libre P=40 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Función de Onda, Hueco libre P=40 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

Figura 4.7: Funciones de onda para el electron y el hueco libre en la superred.Arriba: Electron y hueco a presion P=0 Kbar, Abajo: Elecctron y hueco a presionP=40 Kbar.

es mucho mas notorio; para el caso del electron, la distribucion de proba-bilidad esta completamente dentro de los pozos, siendo el pozo central elmas probable. A diferencia del caso de P=0 Kbar, no se encuentran rastrosde las funciones de onda dentro de las barreras, las funciones de onda caena cero antes de entrar en ellas. Por esta razon la energıa del electron aumenta.

Para el caso del hueco el comportamiento es similar, concentrando la fun-cion de onda dentro de los pozos, siendo el pozo central el mas probable.Aunque, para el caso sin presion el tunelamiento en las barreras era poco, alsometerse a presion el confinamiento se hace practicamente igual al caso delelectron.

Para el calculo de la distribucion de probabilidad del exciton se fijo la posi-cion del electron en el primer pozo, el segundo pozo, la segunda barrera y eltercer pozo, luego se repite el proceso fijando esta vez el hueco en las mismasposiciones. En la Fig.4.8 se muestran las distribuciones de probabilidad parael exciton fijando el electron en las posiciones antes mencionadas para una

78

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Electrón primer pozo, P=0 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Electrón primer pozo, P=40 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Electrón segundo pozo, P=0 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Electrón segundo pozo, P=4o Kbar)

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Electrón segunda barrera, P=0 Kbar

0 0,008333 0,01667 0,02500 0,03333 0,04167 0,05000 0,05833 0,06667 0,07500 0,08333 0,09167 0,1000 0,1083 0,1167 0,1250 0,1333 0,1417 0,1500 0,1583 0,1667 0,1750 0,1833 0,1917 0,2000 0,2083 0,2167 0,2250 0,2333 0,2417 0,2500 0,2583 0,2667 0,2750 0,2833 0,2917 0,3000 0,3083 0,3167 0,3250 0,3333 0,3417 0,3500 0,3583 0,3667 0,3750 0,3833 0,3917 0,4000 0,4083 0,4167 0,4250 0,4333 0,4417 0,4500 0,4583 0,4667 0,4750 0,4833 0,4917 0,5000 0,5083 0,5167 0,5250 0,5333 0,5417 0,5500 0,5583 0,5667 0,5750 0,5833 0,5917 0,6000 0,6083 0,6167 0,6250 0,6333 0,6417 0,6500 0,6583 0,6667 0,6750 0,6833 0,6917 0,7000 0,7083 0,7167 0,7250 0,7333 0,7417 0,7500 0,7583 0,7667 0,7750 0,7833 0,7917 0,8000 0,8083 0,8167 0,8250 0,8333 0,8417 0,8500 0,8583 0,8667 0,8750 0,8833 0,8917 0,9000 0,9083 0,9167 0,9250 0,9333 0,9417 0,9500 0,9583 0,9667 0,9750 0,9833 0,9917 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Electrón segunda barrera, P=40 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Electrón tercer pozo, P=0 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Electrón tercer pozo, P=40 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

Figura 4.8: Distribucion de probabilidad para el exciton dejando fijo el electronen el primer pozo, segundo pozo, segunda barrera y en el tercer pozo. La columnaizquierda es para P=0 Kbar y la columna derecha es para P=40 Kbar.

79

presion de P=0 Kbar (columna izquierda) y 40 Kbar (columna derecha).

Se observa como la distribucion de probabilidad se encuentra desplazadarespecto a la posicion del electron obedeciendo mas a la dinamica del hueco.Cuando el electron se encuentra en el centro se observa que la probabilidadde encontrar el exciton ahı es bastante alta con un tunelamiento debil en lospozos laterales. Al aplicar una presion de 40 Kbar la distribucion se confinaen los pozos sin ninguna probabilidad dentro de las barreras.

Para el caso del electron en el tercer pozo, la funcion se encuentra completa-mente confinada en este, de tal manera que, la probabilidad de encontrar alexciton ahı es maxima, aumentando la energıa de enlace.

En la Fig.4.9 se muestra la distribucion de probabilidad del exciton fijan-do el hueco en las mismas posiciones del electron sometido a las presionesP=0 Kbar (columna izquierda) y P=40 Kbar (columna derecha).

Finalmente, la influencia del hueco es mayor que la del electron, localizan-do la funcion de onda del exciton en cercanıas del hueco. Para el caso sinpresion se observa como la distribucion de probabilidad se distribuye en lasbarreras cercanas, mientras que al aplicar presion la probabilidad en las bar-reras desaparece, confinando al exciton en los pozos, nuevamente aumentandola energıa de enlace.

80

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Hueco primer pozo, P=0 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Hueco primer pozo, P=40 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Hueco segundo pozo, P=0 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Hueco segundo pozo, P=40 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Hueco segunda barrera, P=0 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Hueco segunda barrera, P=40 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Hueco tercer pozo, P=0 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Hueco tercer pozo, P=40 Kbar

0 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000 0,07000 0,08000 0,09000 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 0,1400 0,1500 0,1600 0,1700 0,1800 0,1900 0,2000 0,2100 0,2200 0,2300 0,2400 0,2500 0,2600 0,2700 0,2800 0,2900 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6500 0,6600 0,6700 0,6800 0,6900 0,7000 0,7100 0,7200 0,7300 0,7400 0,7500 0,7600 0,7700 0,7800 0,7900 0,8000 0,8100 0,8200 0,8300 0,8400 0,8500 0,8600 0,8700 0,8800 0,8900 0,9000 0,9100 0,9200 0,9300 0,9400 0,9500 0,9600 0,9700 0,9800 0,9900 1,000

Largo del hilo (z)

Rad

io

Figura 4.9: Distribucion de probabilidad para el exciton dejando fijo el hueco enel primer pozo, segundo pozo, segunda barrera y en el tercer pozo. La columnaizquierda es para P=0 Kbar y la columna derecha es para P=40 Kbar.

81

Capıtulo 5

Conclusiones

Se calculo la energıa del estado base de excitones ligeros y pesados confi-nados en puntos cuanticos esfericos de GaAs con barreras de Ga1−xAlxAspara concentraciones de alumino distintas, como funcion de la pre-sion hidrostatica considerando coordenadas de Hylleraas bajo la aprox-imacion de masa efectiva. Se asumio el metodo variacional y funcionesde prueba hidrogenoides teniendo en cuenta la similitud del sistemacon un atomo de hidrogeno.

Aunque la fabricacion de puntos cuanticos esfericos de GaAs no se haconseguido satisfactoriamente dadas las condiciones experimentales, sehan realizado intentos por la tecnica coloidal por Uchida y colabo-radores en 1992, y por Kher y colaboradores en 1996 [55, 56]. El modeloesferico se empleo por su simplicidad y porque permite conocer, comoprimera aproximacion, los efectos causados por la cuantizacion y porla presion hidrostatica en los excitones confinados.

El forma de la energıa de enlace en funcion del radio del punto seencuentra en concordancia con los resultados obtenidos por otros au-tores en estudios previos para estructuras nanometricas, indicando laefectividad del metodo empleado.

Se observo el aumento de la energıa de enlace para los excitones cuandono se encuentran sometidos a presion. Como era de esperar, la energıaes mucho mayor que la obtenida para el caso del pozo cuantico repor-tado por [13], dejando en claro el efecto de cuantizacion al reducir ladimensionalidad.

Se encontro que la energıa de enlace aumenta a medida que disminuyeel radio del punto y cuando se incrementa la presion sobre el sistema. La

82

posicion del maximo de la energıa de enlace depende de la presion, estascarcaterısticas son de gran relevancia ya que estos sistemas pueden seraplicados para desarrollar sensores de presion.

Se calculo la energıa de enlace para excitones confinados en una su-perred de nanohilos de GaAs con barreras de Ga1−xAlxAs con una con-centracion de x =0.1 rodeado de una capa de GaAlAs con una concen-tracion de x =0.4. Se aplico el metodo de dimension fractal asumiendola aproximacion de masas efectivas, la aproximacion adiabatica en elmovimiento en ρ y el metodo variacional de Schrodinger el cual en lugarde asumir una funcion de onda de prueba y encontrar el parametro quemejor se ajusta nos permite encontrar la funcion de onda mas adecua-da. Se encontro como la energıa de enlace de los excitones depende delradio del hilo, aumentando a medida que disminuimos los radios hastaencontrar un valor maximo debido a los efectos de cuantizacion. Com-parando con los resultados obtenidos por Raigoza y colaboradores [13]para un nanohilo, se observa como los confinamientos adicionales porlas barreras a lo largo del eje z aumenta la energıa de enlace. La energıadepende de la presion aplicada observando el efecto de desplazamientodel maximo a radios menores a medida que se aumenta la presion.

Se calculo las distribuciones de probabilidad del exciton en la superredobservando como la presion confina las funciones de onda en los pozosdejando en cero la probabilidad de encontrar al exciton en las barreras.

Tanto para puntos cuanticos como para superredes de nanohilos, la pre-sion hidrostatica permite sintonizar los niveles excitonicos cambiandola absorcion o emision del dispositivo sin cambiar la heteroestructura.

5.1. Perspectivas

Para el caso de los puntos cuanticos, el siguiente paso es calcular laenergıa de enlace para los primeros estados excitados y como se mod-ifica esa energıa cuando se somete a presion hidrostatica. Serıa inter-sante considerar distintas geometrıas como por ejemplo forma de discoo lente, ya que estas son las formas usuales con las que se fabrican lospuntos de GaAs y GaAlAs por los metodos de MBE.

Para el caso de las superredes es interesante continuar el analisis parala energıa en funcion de los demas parametros como son el numerode pozos, el ancho de ellos y de las barreras, como tambien las dis-tribuciones de probabilidad para estos casos. Tambien serıa interesante

83

determinar la energıa de enlace para los primeros estados excitados cony sin presion.

84

Apendice A

Barrido Trigonometrico

Dada una ecuacion diferencial de la forma,

ϕ′′(x) +W (x)ϕ′(x) + U(x)ϕ(x) = 0, (A.1)

para resolverla planteamos las siguientes soluciones,

ϕ(x) = A(x) cos θ(x), ϕ′(x) = A(x) sin θ(x). (A.2)

como todas las funciones dependen de x no la escribiremos de aca en adelantepor simplicidad.Derivando ϕ se tiene,

ϕ′ = A′ cos θ − Aθ′ sin θ, (A.3)

igualandola a la derivada que se planteo para ϕ tenemos,

A′ cos θ − Aθ′ sin θ = A sin θ, (A.4)

simplificando,A′

Acos θ = (1 + θ′) sin θ. (A.5)

Ahora derivando la derivada propuesta en (A.2),

ϕ′′ = A′ sin θ + Aθ′ cos θ, (A.6)

reemplazando (A.6), (A.3) y la solucion (A.2) en la ecuacion diferencial ydividiendo por A tenemos,

A′

Asin θ + θ′ cos θ +W

(A′

Acos θ − θ′ sin θ

)+ U cos θ = 0, (A.7)

simplificando y despejando para θ′,

θ′ = −(sin2 θ +W sin θ cos θ + U cos2 θ), (A.8)

85

esta ecuacion se resuelve por cualquier metodo numerico, en nuestro casoRunge-Kutta. Una vez resuelta encontramos la funcion correspondiente paraθ.Ahora volvemos con (A.5) y reemplazamos la derivada de θ obteniendo,

A′

Acos θ = (1− sin2 θ −W sin θ cos θ − U cos2 θ) sin θ, (A.9)

simplificando,A′

A= (1− U) sin θ cos θ −W sin2 θ, (A.10)

y como [ln(A)]′ = A′/A, reemplazamos integramos y aplicamos la exponen-cial para encontrar A,

A = exp

{∫ x

0

[(1− U) sin θ cos θ −W sin2 θ

]dx

}. (A.11)

Con θ y con A encontramos la solucion para ϕ que era lo que buscabamos.

86

Apendice B

Simplificacion del Jacobiano

El Jacobiano esta dado por:

J(reh) =

∫ ∞

0ρedρe

∫ ∞

0ρhdρh

∫ L

0dze

∫ L

0dzh(f

2ρef

2ze)(f

2ρhf

2zh)∫ 2π

0dφe

∫ 2π

0dφhδ

(√ρ2e + ρ2h − 2ρeρh cos(φe − φh) + (ze − zh)2 − reh

)(B.1)

Como primer paso analizaremos las integrales angulares, para ello hacemosel siguiente cambio de variable, φ = φe − φh, ϕ = φe+φh

2obteniendo,∫ 2π

0dφe

∫ 2π

0dφhδ

(√ρ2e + ρ2h − 2ρeρh cos(φe − φh) + (ze − zh)2 − reh

)=

2π

∫ 2π

0dφhδ

(√ρ2e + ρ2h − 2ρeρh cosφ+ (ze − zh)2 − reh

)(B.2)

De la siguiente propiedad para el Delta de Dirac,∫ 2π

0

δ(f(φ))dφ =1

|f ′(φ0)|f(φ0)=0

. (B.3)

En este caso,

f(φ) =√ρ2e + ρ2h − 2ρeρh cosφ+ (ze − zh)2 − reh. (B.4)

Derivando,

δ′(φ) =ρeρh senφ√

ρ2e + ρ2h − 2ρeρh cosφ+ (ze − zh)2(B.5)

87

Como necesitamos saber el valor de φ0 para el cual f(φ0) = 0 entoncesigualamos f(φ) = 0 y despejamos φ obteniendo:

f(φ0) =√ρ2e + ρ2h − 2ρeρh cosφ0 + (ze − zh)2 − reh = 0

(B.6)

cosφ0 =ρ2e + ρ2h − r2eh + (ze − zh)

2

2ρeρh, (B.7)

ya que, sin2 φ = 1− cos2 φ,

sinφ0 =√

1− cos2 φ0 =

√4ρ2eρ

2h − [ρ2e + ρ2h − r2eh + (ze − zh)2]2

2ρeρh(B.8)

Reemplazando en la integral tenemos:

1

|f ′(φ0)|f(φ0)=0

=reh

ρeρh sinφ0

=2reh√

4ρ2eρ2h − [ρ2e + ρ2h − r2eh + (ze − zh)2]2

(B.9)

con reh =√ρ2e + ρ2h − 2ρeρh cosφ+ (ze − zh)2 (B.10)

El Jacobiano queda ahora,

J(reh) =4πreh

∫ ∞

0

ρedρe

∫ ∞

0

ρhdρh

∫ L

0

dze

∫ L

0

dzh

· (fρ2efz2e)(fρ

2hfz

2h)√

4ρ2eρ2h − [ρ2e + ρ2h + (ze − zh)2 − r2eh]

2(B.11)

Dada la forma del denominador del Jacobiano es indispensable ajustar loslımites de las integrales tal que desaparezcan las singularidades. Para ellonecesitamos encontrar primero las raices del denominador.√

4ρ2eρ2h − (ρ2e + ρ2h + (ze − zh)2 − r2eh)

2 = (B.12)√(r + ρe + ρh)︸ ︷︷ ︸

α

(ρe + ρh − r)︸ ︷︷ ︸β

(r + ρe − ρh)︸ ︷︷ ︸ν

(r − ρe + ρh)︸ ︷︷ ︸δ

88

Con r2 = r2eh − (ze − zh)2 y ρe > 0, ρh > 0, r > 0.

Analizando las raıces en el radical se obtienen las siguientes restricciones:

α : r + ρe + ρh > 0 −→ No hay restricciones (B.13)

β : r < ρe + ρh −→ ρh > r − ρe (B.14)

ν : r > ρe − ρh −→ −ρh < r − ρe (B.15)

δ : r > ρh − ρe −→ ρh < r + ρe (B.16)

(B.17)

Simplificando los lımites para ρh son:

ρh >

∣∣∣∣√r2eh − (ze − zh)2 − ρe

∣∣∣∣ = aρh (B.18)

ρh <√r2eh − (ze − zh)2 + ρe = bρh (B.19)

Para el caso en z, se sabe que:

r ≥ 0 ⇒ r ≥ |ze − zh| (B.20)

⇒ −r ≤ ze − zh ≤ r (B.21)

⇒ ze − r ≤ zh ≤ ze + r (B.22)

Pero como 0 ≤ zh ≤ L con L la longitud del hilo

zh ≥ ze − r ∧ zh ≥ 0 ⇒ max{0, (ze − r)} = azh (B.23)

zh ≤ r + ze ∧ zh ≤ L⇒ min{L, (ze + r)} = bzh (B.24)

El Jacobiano queda ahora:

J(reh) = 4πreh

∫ L

0

dze

∫ bzh

azh

dzh

∫ ∞

0

ρedρe

∫ bρh

aρh

ρhdρh

· (fρ2efz2e)(fρ

2hfz

2h)√

4ρ2eρ2h − (ρ2e + ρ2h + (ze − zh)2 − r2eh)

2(B.25)

Sin embargo aun hay singularidades en los valores extremos de la integralrespecto a ρh. Mirando la integral,

Iρh =

∫ bρh

aρh

ρhdρh(fρ2efz

2e)(fρ

2hfz

2h)√

4ρ2eρ2h − (ρ2e + ρ2h + (ze − zh)2 − r2eh)

2(B.26)

Dividiendo la integral en dos partes,

I1 =

∫ r2eh−(ze−zh)2+ρ2e

aρh

ρhdρh(fρ2efz

2e)(fρ

2hfz

2h)√

4ρ2eρ2h − (ρ2e + ρ2h + (ze − zh)2 − r2eh)

2(B.27)

I2 =

∫ bρh

r2eh−(ze−zh)2+ρ2e

(fρ2efz2e)(fρ

2hfz

2h)√

4ρ2eρ2h − (ρ2e + ρ2h + (ze − zh)2 − r2eh)

2(B.28)

89

Teniendo en cuenta que aρh < r2eh−(ze−zh)2+ρ2e < bρh El radical lo podemoscambiar por: √

4ρ2eρ2h − (ρ2e + ρ2h + (ze − zh)2 − r2eh)

2 =√4ρ2e(r

2eh − (ze − zh)2)− (ρ2e + r2eh − (ze − zh)2 − ρ2h)

2 (B.29)

Haciendo r2 = r2eh − (ze − zh)2 reescribimos las integrales,

I1 =

∫ r2+ρ2e

aρh

ρhdρh(f2

ρef2ze)(f

2ρhf

2zh)√

4ρ2e r2 − (ρ2e + r2 − ρ2h)

2(B.30)

I2 =

∫ bρh

r2+ρ2e

ρhdρh(f2

ρef2ze)(f

2ρhf

2zh)√

4ρ2e r2 − (ρ2e + r2 − ρ2h)

2(B.31)

Haciendo los siguientes reemplazos:

ρ2h = (ρe − r)2 + 2ρery (B.32)

ρh =√(ρe − r)2 + 2ρery (B.33)

=√ρ2e + r2 + 2ρer(y − 1) (B.34)

ρhdρh = ρerdy (B.35)

En el interior del radical en la integral queda:

4ρ2e r2 − (ρ2e + r2 − ρ2h)

2 = 2ρer√y(2− y) (B.36)

Los lımites de la integral I1 quedan:

y = 0, y = 1.

Para el caso I2 reemplazamos el argumento del radical por,

4ρ2e r2 − (ρ2e + r2 − ρ2h)

2 = 2ρer√y(2− y), (B.37)

con los respectivos lımites,

y = 1, y = 0.

Reemplazando obtenemos las nuevas integrales,

I1 =1

2

∫ 1

0

dy(f 2

ρef2ze)(f

2ρh(√ρ2e + r2 + 2ρer(y − 1))f 2

zh)√y(2− y)

,

I2 =1

2

∫ 1

0

dy(f 2

ρef2ze)(f

2ρh(√ρ2e + r2 + 2ρer(1− y))f 2

zh)√y(2− y)

, (B.38)

90

ya que aun las integrales contienen singularidades en el denominador, real-izamos el siguiente cambio de variable,

y = x2 → dy = 2xdx, (B.39)

con los siguientes lımites,x = 0, x = 1,

finalmente obtenemos,

I1 =1

2

∫ 1

0

dx(f2

ρef2ze)(f

2ρh(√ρ2e + r2 − 2ρer(1− x2))f 2

zh)√(2− x2)

,

I2 =1

2

∫ 1

0

dx(f2

ρef2ze)(f

2ρh(√ρ2e + r2 + 2ρer(1− x2))f 2

zh)√(2− x2)

. (B.40)

Ya que las integrales no presentan singularidades, definimos la funcon,

F±(ze, zh, ρe, x) = f 2ρh(√ρ2e + r2 ± 2ρer(1− x2))f 2

zh (B.41)

obteniendo finalmente el Jacobiano,

J(r) =4πr

∫ L

0

dz

∫ bzh

azh

dz

∫ ∞

0

ρedρe

∫ 1

0

dxf2ρef

2zeF+(ze, zh, ρe, x)√

(2− x2)

·f 2ρef

2zeF−(ze, zh, ρe, x)√

(2− x2)(B.42)

91

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