EI - Universidad Nacional de Colombia: Repositorio...
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S =SII/ +S " +S(q)+S(q , t) (3 .28) donde, S es el factor de dana total, Sm es factor de dano por perforacion y completamiento , Sp es el factor de dana por completamiento parcial, S(q) es el factor de dano por flujo no Darcy el cual como era de esperarse depende de la tasa de flujo, q y S(q,t) es el factor de dano por bancos de condensado 0 bloqueo de gas que depende de la tasa de flujo y del tiempo. EI dano por flujo no Darcy, como general mente esta asociado con pozos de gas, se puede calcular, como se vera mas adelante cuando se analice el flujo de gas en un medio poroso, de S(q) = D*q sc (3 .29) donde D se conoce como coeficiente de dana por flujo NO-Darcy y se puede determinar de pruebas de presion, y qsc es la tasa de flujo a condiciones normales. EI factor de dano por penetracion parcial se puede calcular con la ecuacion de Saidikosky: (3 .30) S" {k,; )-2] h i' rw fk; donde, hI , es el espesor total de la formacion y hp es el espesor de la zona penetrada 0 canoneada ; kH Y kv ; son las permeabilidades horizontal y vertical de la formacion . EI factor de dano ocasionado por bancos de condensado se puede evaluar de la siguiente forma : Supongamos un gas que por cada KPCNID produce Y pies 3 de liquido a condiciones de yacimiento por cada Lpc. ,de carda de presion. Un pozo que produzca qg KPCNID producira en el yacimiento en I1t dias cuando se somete a una carda de presion dP, la siguiente cantidad de liquido . VI = q ): * dP * dt * Y Este volumen de liquido se acomodara en el siguiente volumen poroso de yacimiento: V" = 2m-h¢ dr y por tanto se tendra el siguiente incremento en la saturacion de liquido: ciS _ q ): dPdtY ' : L. ,- 'I i . 2Trrhictr --- que se puede reorganizar de la siguiente forma : dS q ): cit 2Trrh¢ dr 146
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S =SII +S +S(q)+S(qt) (3 28)
donde
S es el factor de dana total Sm es factor de dano por perforacion y completamiento Sp es el factor de dana por completamiento parcial S(q) es el factor de dano por flujo no Darcy el cual como era de esperarse depende de la tasa de flujo q y S(qt) es el factor de dano por bancos de condensado 0
bloqueo de gas que depende de la tasa de flujo y del tiempo
EI dano por flujo no Darcy como general mente esta asociado con pozos de gas se puede calcular como se vera mas adelante cuando se analice el flujo de gas en un medio poroso de
S(q) = Dqsc (3 29)
donde D se conoce como coeficiente de dana por flujo NO-Darcy y se puede determinar de pruebas de presion y qsc es la tasa de flujo a condiciones normales
EI factor de dano por penetracion parcial se puede calcular con la ecuacion de Saidikosky
(3 30) S =[~ -ll[ln[~ k )-2]hi rw fk
donde
hI es el espesor total de la formacion y hp es el espesor de la zona penetrada 0 canoneada kH Y kv son las permeabilidades horizontal y vertical de la formacion
EI factor de dano ocasionado por bancos de condensado se puede evaluar de la siguiente forma
Supongamos un gas que por cada KPCNID produce Y pies3 de liquido a condiciones de yacimiento por cada Lpc de carda de presion Un pozo que produzca qg KPCNID producira en el yacimiento en I1t dias cuando se somete a una carda de presion dP la siguiente cantidad de liquido
VI = q ) dP dt Y
Este volumen de liquido se acomodara en el siguiente volumen poroso de yacimiento
V = 2m-hcent dr
y por tanto se tendra el siguiente incremento en la saturacion de liquido
ciS _ q ) dPdtY L -I i 2Trrhictr --shy
que se puede reorganizar de la siguiente forma
dS q ) - ~pY cit 2Trrhcent dr
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Se supone que la saturacion aumenta solo hasta la saturacion critica y luego se va expandiendo con el tiempo hacia adentro hasta tener toda la formacion eventualmente con saturacion critica de liquido En la expresion anterior S y t son saturacion y tiempo en dias r es la distancia hacia adentro en la formacion hasta donde lIega la zona con saturacion de liquido en pies h es el espesor de la formacion
dP en pies ltp su porosidad - es el gradiente de presion en Lpclpie es la cantidad de condensado que
dr se puede recuperar por unidad de volumen de gas y por unidad de caida de presion y esta dada en pies3 de condensado a condiciones de yacimiento por cada mil pies3 normales de gas y qg es la tasa de produccion de gas en KPCNID
Suponiendo flujo continuo se puede tener una expresion para el gradiente de presion a partir de la ecuacion de flujo Darcy
dP y cuando se usan las siguientes unidades practicas - en Lpclpie qg en KPCNID ~ en cp r y h en
dr pies y k en darcys se obtiene la siguiente expresion
q~ (KPCN D) 1000 PCN kPCN 147 520 ZT p(peY peN)
6 P(Lpc)lat1l47 Lpc (3048Ycm PCID 86400S p(eP) =
6 r(pies) 3048cm 1 pie r(pies) (3048 cm pie) k(Darcys ) h(pies) (3048 cm pie)
y Ilevando esta expresi6n a la expres~~n de Muskat para avance de saturacion con el tiempo se tiene
y finalmente integrando en S y t suponiendo que para t=O S= 0 y que para t=t S=SChl Y que la zona de saturacion de liquido ha Ilegado hasta una distancia r=ra se tiene luego de despejar ra
01135 q ~ JlZ Tt ~r (331 )
h 2 cent kPS chl
donde Y son los pies cubicos de condensado a condiciones de yacimiento producidos por cada mil pies cubicos normales de gas producidos y por cada Lpc de caida de presion t es el tiempo en dias para que el banco de condensado de saturacion SChl lIegue hasta una distancia ra pies fI es la viscosidad del gas en cp Kia permeabilidad del medio poroso en darcys
Una zona de saturacion de liquido Schl tendra una permeabilidad ka que se puede obtener de las curvas de permeabilidad relativa para el medio y dicha zona sera una discontinuidad en el medio poroso una zona daiiada cuyo factor de dana se puede calcular usando la ecuacion (327)
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k-k (O1135q ~ JlZYlT JS( I) - a I ~ (3 32) c q - 2k n h 2k P 2 S
o f rw chi
Para el caso de formacion de una zona de saturacion de gas alrededor de un pozo que produce petroleo que ya empieza a estar por debajo de la presion de burbujeo se puede hacer un razonamiento similar al anterior para encontrar el factor de dano que ocasiona la zona de saturacion de gas alrededor del pozo en este caso la ecuacion es
k - k(1 I (O0026Q BJlXt J8(Q I) = n - ----------------- (333) 2k( h2 cent krw2 SCi
donde qo es la tasa de producci6n del pozo en BNPID Bo Y iJltgt son el factor volumetrico y la viscosidad del petroleo t es el tiempo requerido en dias para que la zona de saturacion critica de gas Sgc alrededor del pozo lIegue hasta una distancia ra X es la cantidad de gas a condiciones de yacimiento que se Iiberan por cada barril normal de petroleo a condiciones normales y por cada LPC de caida de presion Ka es la permeabilidad del petroleo cuando se tiene saturacion critica de gas y se obtiene de las curvas de permeabilidad relativa del medio
Las ecuaciones (3 29) y (332 Y 33) permiten calcular Sm + S(q) de la ecuacion (3 21) conociendo el dano total para calcular el factor S(q) se requiere conocer D y esto se puede hacer de la siguiente forma
bull De varias pruebas de presion se obtiene S cada prueba esta asociada a una tasa de flujo q bull Para cada prueba se obtiene S(qt) bull Se calcula Sp el cual es constante para un pozo dado bull Se calcula S=Sm+S(q) para cada prueba de la ecuacion (321) y con los valores de Sp y S(qt) ya
calculados bull Se grafica S vs q y se obtendra una linea recta cuya pendiente es D y su intercepto es Sm bull Para cada prueba se calcula S(q) bull algunas veces el dano por perfaracion y complatamiento y el dana por penetracion parcial se
agrupan en un factor Sdado por
bull 8 hi 8 + 8
h 111
d
bull Cuando se hace la consideracion anterior para discretizar el dana S estara dado por S=S+S(q) y al elaborar el grafico de S vsq el intercepto nos dara S del cual con la expresion anterior y conociendo el valor de Sp se puede obtener Sm
Es importante conocer el efecto de cada uno de los factores de dana mencionados sobre el dana total para tomar decisiones ace rca de los correctivos a seguir para eliminarlo y mejorar la capacidad productiva del pozo En general el dana por bancos de condensado yo bloqueo de gas se puede prevenir evitando que el yacimiento quede en algun punto por debajo de la presion de rocio 0
burbujeo el dana por flujo no Darcy se puede evitar produciendo a tasas moderadas sin embargo hay que tener en cuenta que aplicar las dos soluciones planteadas antes implica muchas veces consideraciones economicas pues el yacimiento debe estar produciendo a unas tasas tales que el proyecto tenga viabilidad economica EI dano par penetracion parcial se podra evitar abriendo toda la formacion a flujo y esto puede no ser recomendable cuando se tienen yacimientos con empuje
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hidraulico de fondo 0 con capa de gas EI dano ocasionado por perforaci6n y completamiento se puede prevenir con un buen diseno de estas actividades y en caso de que se presente se puede remover por actividades de estimulaci6n y reacondicionamiento de pozos tales como acidificaci6n fracturamiento lavado de perforaciones etc La remoci6n del dana ocasionado por movilizaci6n de fin~s es mas dificil si no imposible especialmente cuando se presenta en zonas retiradas de la cara de la formaci6n y su prevenci6n es mas factible siempre y cuando se haga disenos apropiados de las operaciones a realizar en los pozos especialmente en 10 relacionado con la selecci6n de los fluidos a inyectar su contenido de finos y las tasa de inyecci6n 0 producci6n a que se va a someter un yacimiento
Finalmente es importante tener en cuenta que se ha presentado en los parrafos anteriores como calcular los danos por efectos diferentes a dana par flujo de fin~s y deformaci6n geomecanica los cuales si se presentan requieren de procedimientos mas complejos para poderlos evaluar EI dana debido a estos factores aunque ha sido menos tenido en cuenta es muy importante y recientemente se ha considerado que son los principales responsables del dano de formaci6n con el agravante de que una vez que se presente este tipo de dana es imposible de remover y por tanto este tipo de dana es necesario prevenirlo haciendo estudios del yacimiento para encontrar las condiciones bajo las cuales se puede presentar
Un resumen de las ecuaciones de flujo para estado estable y seudoestable en unidades absolutas 0
Darcy se da en la tabla siguiente dependiendo de la variable para P que se use cuando se usen
unidades practicas ya se mostr6 que el coeficiente de1 termino de la derecha es 141 2 q [JKh
Flujo Seudoestable
Variable Sin dano Con dana P [ ]P-P = ~ In ~-~
It) 2rr kh r 2 r [ ]p - P
qJL r r shy= - - In shy ---+ S
2rr kh rIO 2r
Pe
~ 2h[1lt - ~]Pe shy Pi qJL [ ~ I ]p - P = - shy In - - - + S l I 2rr kh r 2
P -
c ~[In -- shy ~1P - pJ 2rr kh r 4
- qp [ r 3 JP - P = --- 111 - - shy + S 2rr kh r 4
Flujo Estable
Variable Sin dana Con dana P
= 2L[ln ~]P - Pl 2rr kh r
= ~[In ~ +s]P-PHJ 2rrkh r
Pe ~ ~[In -- IPc shy Pl 2rr kh r
p - p ~ ~[In --+ s l 2rr kh r
p - qp [ r I]P - Pl -2rr kh In - shy 2- - qp [ I 1p -p =-- In shy -shy + S
( 2rr kh r 2
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314 Forma General de la Ecuaci6n de Flujo Bajo Condiciones Seudoestables
Cuando se dedujo la ecuacion de flujo para condiciones seudoestables se supuso que el area de drenaje era circular 0 sea que la ecuaci6n (39) supone area de drenaje circular Pero cuando se alcanza condiciones seudoestables cada pozo asume un area de drenaje que puede ser muy diferente de la circular y por tanto se debe buscar una ecuaci6n de flujo para cada pozo que tenga en cuenta la forma del area de drenaje y la ubicacion del pozo dentro de la misma Sin tener en cuenta el factor de dano la ecuacion (39) se puede escribir como
I ~
=1412 qj1Bn [lp_p rrr 2 ]1 - n l12 1 kh 2 Trr 2 e
y el argumento del logaritmo se puede modificar a
47Tr 4A 4A II 1) r 316 r2 ~e -r 5632r w
donde A es el area circular drenada por el pozo y =1781 yes el exponencial de la constante de Euler (0 5772) y 31 6 es el factor de forma para un pozo situado en el centro de un area de drenaje circular y se conoce como el factor de forma de Dietz Lo anterior quiere decir que la ecuacion (3 9) en forma general es
P - P I =1412qj1BO[~n 4A 2 +s] (3 34) kh 2 r C A r
HI
donde CA se conoce como factor de forma de Dietz el cual depende de la forma que tenga el yacimiento ( 0 area de drenaje del pozo) donde esta ubicado el pozo y de la ubicacion de este en el yacimiento
Otra forma de (a ecuaci6n general para flujo seudoestable es
Qj1BP-P I = 1412 o[Ln047 X +S] (3 35)
1 kh
donde X sigue siendo el factor de forma conocido como factor de forma de Odeh que tiene en cuenta la forma del area de drenaje del pozo 0 yacimiento y la ubicacion del pozo en ella
32 SOLUCION APROXIMADA DE LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD PARA PERioDO SEUDOESTABLE
Finalmente hay que tener en cuenta que las ecuaciones (334) 0 (335) son aplicables para el caso en
que la presion del yacimiento sea P 0 sea para un tiempo determinado y es necesario tener una ecuaci6n que se pueda aplicar en cualquier tiempo esto se puede obtener de la siguiente manera
150
Cuando la presion del yacimiento ha caido de Pi a P del mismo ha salido un volumen ~V que de -1 acuerdo a la ecuacion de compresibilidad se puede expresar como
J I C A h 4gt (Pi - P) = ~V =q t (336)
sumando la ecuacion (336) a la ecuacion de flujo en condiciones seudoestables
p_p =~(~In 4A +s) 11 2Jrkh 2 r 2
f- A II
se obtiene
(337)
Si el acimiento es circular a la ecuacion (3 9) de la cual se obtuvo la (337) se Ie suma el termino
2Jr kl se obtiene
~f
q Jl ( r 3 2 Jr k I JP =P - Ln - --+ - - -shy + SMl I l
2 Jr k I r 4 cent Jl C A (3 37a)
Como la tasaPe produccion posiblemente no se pueda mantener constante durante un periodo de tiempo largo para aplicar la ecuacipn (337) se puede hacer 10 siguiente se toma como tasa de produccion constante la actual del pozo y el valor de t se toma como
Pr uduccion acumulada
Tasa de flujo actual
Cuando no se tiene en cuenta el dana d1~ormacion la ecuacion (337) queda como
p = P -~(~In 4A + 2JrKI) 11 I 2Jr kh 2 r C centJl CA
(338)
La ecuacion (3 38) se puede tomar como la solucion general aproximada de la ecuaci6n de difusividad para el periodo seudoestable y recordando la definicion de variables adimensionales (ecuaciones (249 y (253) - (255)) tambien se puede escribir como
( 1 4A 2Jr kl) (I 4A )P = - In +-shy = - In --shy + 2m =P
I 2 f r 2 At CA 2 f r 1 14 f) (-- II Y)Jl f-shy middot1 II
(3 39)
y de la misma forma la ecuacion (337a) quedaria
151
Po =[Ln r - ~ + 2n I ilA J (3 39a) r 4
donde tDA es el tiempo adimensional con base al area del yacimiento y esta definido por -1 _ kl 2 633 IO -~ kl(dias)
1gt - centJ1CA =1 Igt r~ =264 10-4 kl(hrs) (340) _ centJ1CA centJ1CA
)
33-S0LUCION DE LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD PARA EL PERioDO TRANSIENTE - CASO TASA TERMINAL CONSTANTE Y CONDICION DE liNEA FUENTE
La solucion de ~t~terminal constante que describe el comportamiento de la presion en el pozo debido a una tasa de produccion constante es la ecuacion basica usada en pruebas de pozos
- Con excepcion del periodo transiente (cuando el yacimiento se considera infinito) la solucion depende criticamente de las condiciones de frontera En la seccion anterior se presento una solucion aproximada de la ecuacion de difusividad para un yacimiento cerrado (volumetrico 0 sea con q = 0 en el limite exterior) para todas las configuraciones geometricas planteadas por Mathews - Bronze y Hazebroek y para cuando el comportamiento de la presion esta siendo afectado por el limite exterior del yacimiento 0 sea periodo seudoestable Las soluciones se expresan en forma adimensional para simplificar y generalizar las matematicas
Partiendo de la condicion de presion de equilibrio estatico Pwf =Pi a t = 0 la solucion de rata terminal constante de la ecuacion de difusividad describe como la presion de fonda fluyente Pwf varia como una funcion del tiempo despues de que se imponga un cambio en tasa de 0 a q
Graficamente seria 10 siguiente
q = constante q
Transiente xPwf
Post Transiente ~ -
Seudo-estable
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La solucion es entonces un grafico de Pwf vs t y como se pude apreciar se presentan tres periodos dependiendo de la geometria del yacimiento 0 de la parte del mismo que esta siendo drenado y del tiempo de flujo
En el periodo transiente la perturbacion no ha lIegado al limite exterior del yacimiento y por tanto este se comporta como infinito
Despues del periodo transiente se empieza a sentir el efecto de la frontera y este periodo se conoce como postransiente En el caso de un pozo que produce de un area de drenage en la que no hay flujo en el limite exterior la forma de esta y la posicion del pozo en la misma con respecto a la frontera son basicos para encontrar la solucion de rata terminal constante apropiada en el periodo postransiente
Eventualmente se Ilegara a unas condiciones estabilizadas tales que el cambio de presion con el tiempo es constante Esto corresponde a las condiciones de flujo seudoestable
rDurante el periodo transiente se encontro que la solucion a la ecuacion de difusividad se podia aproximar a la solucion de la linea fuente 0 sea suponer que en comparacion con el yacimiento infinito el radio del pozo se puede considerar despreciable y el pozo como una linea esto simplifica considerablemente la solucion
La expresion para representar el periodo transiente es
P =Pi a r ~ 00 y v t (341 )
Y las condiciones iniciales y de limite son
Condicion Inicial
r(rO) =p r (3 2)
Condicion de limite Interior
o P qllLim r -- = -- t gt 0 (342)
(5 r 2nKh
r~O
La condicion de limite interior se conoce como condicion de linea fuente Para el limite exterior no es L shyposible establecer condicion pues para el periodo transiente este limite no existe ya que la J ftrJ
-I
perturbacion no ha iegado a el
Ademas se siguen haciendo las suposiciones hechas al desarrollar la ecuacion de difusividad
Yacimiento homogeneo e isotropico I
Completamiento total Viscosidad independiente de la presion Compresibilidad baja y con stante
Retomando la ecuacion de difusividad
~~[r 0P] = centf1CoP (2 29) r or or k a
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Si se hace ahora la siguiente transformacion de variables conocida como transformada de Boltzman
centJlCr 2 r -7
X= = (343 ) 4kt 471
dr centJlCr r o X = _ centllCr 2
-=-- = -- y -- (344)a- 2kt 2 71 ot 4kt 2
y la ecuacion (2 29) se puede expresar en terminos de esta nueva variable como
)
1 0 [ _dP 0 x] 0 x _ centJl C dP 0 x - - 1 - - - - -- ---shy
r o x dx o r or k dx o t
y reemplazando las ecuaciones (343) y (344) se tiene
2~~[r dP centJlcr] centJlCr =centfLC dP ( centJlcr ]
r dx dx 2kt 2kl K dx 4kl 2 (
( ~[r 2centJlC dP] = -x dP dx 4kl dx dx
dd [ x ] = -x (345 ) x
dP X d 2 PdP + - - - =X
dX d X 2 dX
P dP y Ilamando = - se tiene
dx
P dP p+x - = - x dx
dP _ _ (X +U dX po - X
y luego de integracion se tiene
In p = - In x - x + C1
p = C e- 2 - (3 46)
X
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La constante C2 se puede determinar aplicando la condicion de solucion de linea fuente
o sea que
_xCdP = _1_ ~ = qjJ -2 e dX 2X 2n kh 4n Kh X X
qjJ f _Y-- = J e y cuando r ~ 0 x tambiEm y por tanto 4nkh shy
C=~ (347) 2 4n kh
y lIevando la ecuacion (347) a la (346) se tiene
P =3L~ 4nkh X
y luego de integracion se tiene
donde los limites de la integral se plantearon de la siguiente manera
a un tiempo t = 0 P = Pi Y X ~ 00 y a un tiempo t P = Po Y x = x
Desarrollando la integral se tiene
p =Pi_~r e-x ( 348) rl 4n kh x
La ecuacion (348) es la solucion conocida como solucion de linea fuente y da la presion P rJ como una funcion de la posicion y del tiempo y se conoce tambien como solucion de la integral exponenciC1
La integral re~x dx se conoce como el integral exponencial de x y se denota por Ei( -X) Y por tanto la
ecuacion (348) tam bien se puede escribir como
155 )
p = Pi-~~E (-X ) (349) 1 2rr kh 2 I
EI valor de la funcion Ej(-X) es grande para valores pequenos de X y pequeno para valores grandes de x Cuando Xgt 10 se toma para E(-x) un valor de cero Tambien se ha encontrado que para valores de x lt 001 Ej(-X) se puede aproximar a
1 Ej(-X) =-In x - 05772 = Lnshy (3 50)
rX
donde 05772 la con stante de Euler y y es el exponencial de dicha con stante 0 sea
OS772 y -- e =1781
Cuando 001 lt X lt 10 el valor de Ej(-X) se puede obtener as bull
bull A partir de Integracion Gratica bull Usando Tablas 0 Graticos de E(-X) vs X bull Calculando Ej( -X) de la siguiente serie
x2
r ( ) XE(-X) =-[05772 + In x-x +-- - --+ - I -- - - - ] (3 51 ) 2 2 3 3 n n
Llevando la ecuacion (3 50) a la (349) se tiene
1 1 qf1 - In-PJ = PI - 27r kh 2 fX
= Pi qf1 ~In~ (3 52)2rr k h 2 r centf1 Cr 2
La solucion de la linea fuente y su aproximacion logaritmica es importante porque generalmente las mediciones de presion se hacen en el pozo 0 sea que la expresion para X en el pozo seria
_ centf1 Cr 2 x - It middot
4 k t
y esta ultima expresi6n al ser r~ un valor pequeno es muy probable que cumpla con x lt 001 aun para
tiempos cortos La expresi6n (352) aplicada en el pozo toma la forma
P = _ ~ [I n IP qf1 kl4 (3 53) i 2rr k h 2 r centf1Cr )I
Cuando la medici6n no se hace en el pozo sino por ejemplo en un pozo de observaci6n como es el caso de una prueba de pulsaci6n el valor de res grande y por tanto x es muy probable que sea mayor
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de 001 Y en este caso la presion se debe calcular de la ecuacion (349) y la funcion Ej(-X) se debe obtener por alguno de los metodos planteados para cuando 001lt X lt 10 Sin embargo si el valor de X esta fuera del intervalo anterior en un tiempo dado el valor de la integral exponencial se puede calcular aplicando las aproximaciones planteadas
Finalmente se debe recordar que la ecuacion (349) es aplicable cuando se cum pie la condicion de ___~V I
linea fuente y esta condicion se cum pie cuando to gt100 0 sea que de acuerdo con la definicion de to ( I
se podra aplicar para valores de
(3 54)
Recordando la definicion de variables adimensionales la ecuacion (349) se puede escribir como
( - r 1 P -P =~r~x=~- E (-X )
I I 11 4IT kh x 2IT kh 2 I
y por 10 tanto
( (3 55)
Cuando se esta en el pozo y se puede aplicar la aproximacion logaritmica la ecuacion (3 53) se puede escribir de la siguiente manera
p -p =~(In 4kl J qf1- ~Ln 4kl I w 4IT kh r centf1- Cr 2IT k h 2 r centf1-Cr
que es equivalente a
(3 56)
Las ecuaciones (355) y (3 56) son las soluciones de la ecuacion de difusividad para el periodo transiente caso tasa terminal constante y condicion de linea fuente para Prt Y Pwf respectivamente
Usando la ecuacion (3 55) y la definicion de presion adimensional se obtiene
P P -----q--f1-_ P (r I )= P - _q_f1-_ ~ E (-X) (3 57) I = 2IT kh ) ) ) 2IT kh 2 II I
y en unidades practicas
(3 58)
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De igual manera usando la ecuacion (3 56) se tiene
P =P qJl P ( )=p -~2Ln 4 1 (3 59) I I 2Jrkh I 2Jrk h 2 rI
y cuando se tiene en cuenta el dano
P =P-~(P (I )+S)=P qJl (2 Ln 41 +S) (3 60) HI I 2Jrkh ) I 2Jrk h 2 rI
La ecuacion (359) da la Pwf ideal y la (3 60) la real
Las ecuaciones (3 59) y (3 60) en unidades practicas toman las formas siguientes
qJlB qJl B 1 411 2303 411Pi =~-1412 ----P) ( )=P -1412h 2Ln y =p -1412 - 2 - Logy (3 61)
qJlB qJlB 1 4t f) Phi =P-1412 h (PI (t n )+S)=P - 1412 Jh(2 Ln --y+S) (3 62)
y teniendo en cuenta la definicion de tD las ecuaciones (361) Y (3 62) aun se pueden transformar a
qJlB K PHi == P - 1626 (Log t +Log- 2 -323) (3 63)
kh centJlLrH
qJlB 1 41 K PHI =P -141 2 -- (-Ln~S)= P -1626(Logl+Log 323+087S) (364)1
kh 2 r centJlCrH~
A continuaci6n se muestra como se obtiene por ejemplo la ecuaci6n (363) a Partir de la (3 60)
1al J al PHI (lpea) = P (fpea) -- shy
147Ipc 1471pea
q( BD) (56 15 pies I Ibl) (3048 ems I pie )Jl(ep) -JQ ID 3048 86400
4 Jr k(md) - h(pes) ems 1000md Jpie
4k(md) (lD IOOOmd t(hrs) (3600s 1hrs) I 2303 log + 2 yen S1
147 Lpe)) ) em shy1781 cent Jl(ep) C(fpe) r (pies-) (3048) - )
1at p ieshy
158
f w( p (fpca ) 5615 (3048) qj1 147(1pca ) = 147 - 4 n 1j l003048 86400 kh
[1 4 Kt 2 s]3600 og y1000 147 3048 2 ltPlCr + 2303
= P _ 5615 (3048) (2303) 147[10 _ 4_ 3600 f 4 n304 8 100086400 g l781 1000 147(3048) 2 I
kl + _ 2_ s]J
centj1Cr~ 2303
PHI = P -1626 Qj1Bo [IOgl + log k 2 - 323 + 087S] I kh centj1Crw
Recordando que la ecuaci6n (359) 0 (3 60) (0 (3 61) - (3 62)) provienen de la soluci6n E(-X) es importante tener claro cuando se puede utilizar la aproximaci6n logaritmica En primer lugar esta se aplicara cuando se puede aplicar la soluci6n E(-X) Y ademas x 001 en segundo lugar hay que recordar que la soluci6n E(-X) en general se puede aplicar cuando se cumple
- Yacimiento infinito - Condici6n de linea fuente
La condici6n de linea fuente se puede aplicar cuando se cumpla que l ) 100 0 sea cuando se cumpla la ecuaci6n (3 54)
100 do C 2 do C 2t(hrsraquo yJj1 rw =379 105 yJj1 rw (3 54 )
26410 -4 k k
Un criterio para decir (0 considerar) que se esta en el periodo transiente a un tiempo t despues de iniciada la perturbaci6n 0 sea que el yacimiento se est a comportando como infinito se puede obtener de la siguiente forma
Segun Ramey - Cobb para un pozo situado en el centro de un area de drenaje de forma regular (circulo cuadrado hexagono) el periodo postransiente es muy corto y se puede suponer que hay un paso brusco del periodo transiente al seudoestable Si esto es cierto la funci6n P(tD) debe ser continua y se debe cumplir que en momenta en que ocurra el paso del periodo transiente al seudoestable la expresi6n para PD en el periodo transiente sea igual a su expresi6n para el seudoestable 0 sea que recordando las ecuaciones (3 39) y (356)
1 I 4t IJ 1 1 4A 2- n-- = - n + ITt2 2 CAr2 DA y Y w
159
I
[ 41 IJ J12 = ( 4~_i J2e 2ll1l
gt
r (CI I
2 r 4 Jtl oreC I I IJ A
C t e 4 JT1IA (3 65) 1 l1
Resolviendo la ecuacion (3 65) para tOA suponiendo un valor de 31 6 para CA se encuentra tOA 0 1
Tambien es posible tener un criterio para saber cuando termina el periodo transiente y empieza el seudoestable en un yacimiento circular con un pozo ubicado en el centro haciendo el siguiente razonamiento
Si no es correcto pensar que tan pronto termine el transiente em piece el seudoestable puede ser aceptable suponer que el paso de un periodo al otro puede estar caracterizado porque las dos soluciones en este punto sean similares puesto que el comportamiento de la presion es continuo 0
sea que el paso del periodo transiente al seudoestable se puede decir que se presenta cuando la diferencia de las soluciones de la ecuaci6n de difusividad en ambos periodos es minima Recordando que la solucion de la ecuacion de difusividad para los periodos transiente y seudoestable son las ecuaciones (3 56) y (3 39a) respectivamente el paso del primer periodo al segundo se da cuando
Ln r _ 3 +21[1 1)1J- 1 ( Lnl IJ + 0809) = M inimo ( r 4 2
La expresi6n anterior tam bien se puede presentar como
1 [ ] 21) 3 - lnl ) + 0809 - --2 - In rc) +-= D 2 r e ) 4
1 21)D = Ln I ) - -j + C
2 re i)
se requiere encontrar el valor de to que haga esta diferenica minima 0 sea que
c D 1 2 = =0 c I IJ 21) rl~)
2 2tD rer)
160
Se supone que la saturacion aumenta solo hasta la saturacion critica y luego se va expandiendo con el tiempo hacia adentro hasta tener toda la formacion eventualmente con saturacion critica de liquido En la expresion anterior S y t son saturacion y tiempo en dias r es la distancia hacia adentro en la formacion hasta donde lIega la zona con saturacion de liquido en pies h es el espesor de la formacion
dP en pies ltp su porosidad - es el gradiente de presion en Lpclpie es la cantidad de condensado que
dr se puede recuperar por unidad de volumen de gas y por unidad de caida de presion y esta dada en pies3 de condensado a condiciones de yacimiento por cada mil pies3 normales de gas y qg es la tasa de produccion de gas en KPCNID
Suponiendo flujo continuo se puede tener una expresion para el gradiente de presion a partir de la ecuacion de flujo Darcy
dP y cuando se usan las siguientes unidades practicas - en Lpclpie qg en KPCNID ~ en cp r y h en
dr pies y k en darcys se obtiene la siguiente expresion
q~ (KPCN D) 1000 PCN kPCN 147 520 ZT p(peY peN)
6 P(Lpc)lat1l47 Lpc (3048Ycm PCID 86400S p(eP) =
6 r(pies) 3048cm 1 pie r(pies) (3048 cm pie) k(Darcys ) h(pies) (3048 cm pie)
y Ilevando esta expresi6n a la expres~~n de Muskat para avance de saturacion con el tiempo se tiene
y finalmente integrando en S y t suponiendo que para t=O S= 0 y que para t=t S=SChl Y que la zona de saturacion de liquido ha Ilegado hasta una distancia r=ra se tiene luego de despejar ra
01135 q ~ JlZ Tt ~r (331 )
h 2 cent kPS chl
donde Y son los pies cubicos de condensado a condiciones de yacimiento producidos por cada mil pies cubicos normales de gas producidos y por cada Lpc de caida de presion t es el tiempo en dias para que el banco de condensado de saturacion SChl lIegue hasta una distancia ra pies fI es la viscosidad del gas en cp Kia permeabilidad del medio poroso en darcys
Una zona de saturacion de liquido Schl tendra una permeabilidad ka que se puede obtener de las curvas de permeabilidad relativa para el medio y dicha zona sera una discontinuidad en el medio poroso una zona daiiada cuyo factor de dana se puede calcular usando la ecuacion (327)
147
k-k (O1135q ~ JlZYlT JS( I) - a I ~ (3 32) c q - 2k n h 2k P 2 S
o f rw chi
Para el caso de formacion de una zona de saturacion de gas alrededor de un pozo que produce petroleo que ya empieza a estar por debajo de la presion de burbujeo se puede hacer un razonamiento similar al anterior para encontrar el factor de dano que ocasiona la zona de saturacion de gas alrededor del pozo en este caso la ecuacion es
k - k(1 I (O0026Q BJlXt J8(Q I) = n - ----------------- (333) 2k( h2 cent krw2 SCi
donde qo es la tasa de producci6n del pozo en BNPID Bo Y iJltgt son el factor volumetrico y la viscosidad del petroleo t es el tiempo requerido en dias para que la zona de saturacion critica de gas Sgc alrededor del pozo lIegue hasta una distancia ra X es la cantidad de gas a condiciones de yacimiento que se Iiberan por cada barril normal de petroleo a condiciones normales y por cada LPC de caida de presion Ka es la permeabilidad del petroleo cuando se tiene saturacion critica de gas y se obtiene de las curvas de permeabilidad relativa del medio
Las ecuaciones (3 29) y (332 Y 33) permiten calcular Sm + S(q) de la ecuacion (3 21) conociendo el dano total para calcular el factor S(q) se requiere conocer D y esto se puede hacer de la siguiente forma
bull De varias pruebas de presion se obtiene S cada prueba esta asociada a una tasa de flujo q bull Para cada prueba se obtiene S(qt) bull Se calcula Sp el cual es constante para un pozo dado bull Se calcula S=Sm+S(q) para cada prueba de la ecuacion (321) y con los valores de Sp y S(qt) ya
calculados bull Se grafica S vs q y se obtendra una linea recta cuya pendiente es D y su intercepto es Sm bull Para cada prueba se calcula S(q) bull algunas veces el dano por perfaracion y complatamiento y el dana por penetracion parcial se
agrupan en un factor Sdado por
bull 8 hi 8 + 8
h 111
d
bull Cuando se hace la consideracion anterior para discretizar el dana S estara dado por S=S+S(q) y al elaborar el grafico de S vsq el intercepto nos dara S del cual con la expresion anterior y conociendo el valor de Sp se puede obtener Sm
Es importante conocer el efecto de cada uno de los factores de dana mencionados sobre el dana total para tomar decisiones ace rca de los correctivos a seguir para eliminarlo y mejorar la capacidad productiva del pozo En general el dana por bancos de condensado yo bloqueo de gas se puede prevenir evitando que el yacimiento quede en algun punto por debajo de la presion de rocio 0
burbujeo el dana por flujo no Darcy se puede evitar produciendo a tasas moderadas sin embargo hay que tener en cuenta que aplicar las dos soluciones planteadas antes implica muchas veces consideraciones economicas pues el yacimiento debe estar produciendo a unas tasas tales que el proyecto tenga viabilidad economica EI dano par penetracion parcial se podra evitar abriendo toda la formacion a flujo y esto puede no ser recomendable cuando se tienen yacimientos con empuje
148
hidraulico de fondo 0 con capa de gas EI dano ocasionado por perforaci6n y completamiento se puede prevenir con un buen diseno de estas actividades y en caso de que se presente se puede remover por actividades de estimulaci6n y reacondicionamiento de pozos tales como acidificaci6n fracturamiento lavado de perforaciones etc La remoci6n del dana ocasionado por movilizaci6n de fin~s es mas dificil si no imposible especialmente cuando se presenta en zonas retiradas de la cara de la formaci6n y su prevenci6n es mas factible siempre y cuando se haga disenos apropiados de las operaciones a realizar en los pozos especialmente en 10 relacionado con la selecci6n de los fluidos a inyectar su contenido de finos y las tasa de inyecci6n 0 producci6n a que se va a someter un yacimiento
Finalmente es importante tener en cuenta que se ha presentado en los parrafos anteriores como calcular los danos por efectos diferentes a dana par flujo de fin~s y deformaci6n geomecanica los cuales si se presentan requieren de procedimientos mas complejos para poderlos evaluar EI dana debido a estos factores aunque ha sido menos tenido en cuenta es muy importante y recientemente se ha considerado que son los principales responsables del dano de formaci6n con el agravante de que una vez que se presente este tipo de dana es imposible de remover y por tanto este tipo de dana es necesario prevenirlo haciendo estudios del yacimiento para encontrar las condiciones bajo las cuales se puede presentar
Un resumen de las ecuaciones de flujo para estado estable y seudoestable en unidades absolutas 0
Darcy se da en la tabla siguiente dependiendo de la variable para P que se use cuando se usen
unidades practicas ya se mostr6 que el coeficiente de1 termino de la derecha es 141 2 q [JKh
Flujo Seudoestable
Variable Sin dano Con dana P [ ]P-P = ~ In ~-~
It) 2rr kh r 2 r [ ]p - P
qJL r r shy= - - In shy ---+ S
2rr kh rIO 2r
Pe
~ 2h[1lt - ~]Pe shy Pi qJL [ ~ I ]p - P = - shy In - - - + S l I 2rr kh r 2
P -
c ~[In -- shy ~1P - pJ 2rr kh r 4
- qp [ r 3 JP - P = --- 111 - - shy + S 2rr kh r 4
Flujo Estable
Variable Sin dana Con dana P
= 2L[ln ~]P - Pl 2rr kh r
= ~[In ~ +s]P-PHJ 2rrkh r
Pe ~ ~[In -- IPc shy Pl 2rr kh r
p - p ~ ~[In --+ s l 2rr kh r
p - qp [ r I]P - Pl -2rr kh In - shy 2- - qp [ I 1p -p =-- In shy -shy + S
( 2rr kh r 2
149
314 Forma General de la Ecuaci6n de Flujo Bajo Condiciones Seudoestables
Cuando se dedujo la ecuacion de flujo para condiciones seudoestables se supuso que el area de drenaje era circular 0 sea que la ecuaci6n (39) supone area de drenaje circular Pero cuando se alcanza condiciones seudoestables cada pozo asume un area de drenaje que puede ser muy diferente de la circular y por tanto se debe buscar una ecuaci6n de flujo para cada pozo que tenga en cuenta la forma del area de drenaje y la ubicacion del pozo dentro de la misma Sin tener en cuenta el factor de dano la ecuacion (39) se puede escribir como
I ~
=1412 qj1Bn [lp_p rrr 2 ]1 - n l12 1 kh 2 Trr 2 e
y el argumento del logaritmo se puede modificar a
47Tr 4A 4A II 1) r 316 r2 ~e -r 5632r w
donde A es el area circular drenada por el pozo y =1781 yes el exponencial de la constante de Euler (0 5772) y 31 6 es el factor de forma para un pozo situado en el centro de un area de drenaje circular y se conoce como el factor de forma de Dietz Lo anterior quiere decir que la ecuacion (3 9) en forma general es
P - P I =1412qj1BO[~n 4A 2 +s] (3 34) kh 2 r C A r
HI
donde CA se conoce como factor de forma de Dietz el cual depende de la forma que tenga el yacimiento ( 0 area de drenaje del pozo) donde esta ubicado el pozo y de la ubicacion de este en el yacimiento
Otra forma de (a ecuaci6n general para flujo seudoestable es
Qj1BP-P I = 1412 o[Ln047 X +S] (3 35)
1 kh
donde X sigue siendo el factor de forma conocido como factor de forma de Odeh que tiene en cuenta la forma del area de drenaje del pozo 0 yacimiento y la ubicacion del pozo en ella
32 SOLUCION APROXIMADA DE LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD PARA PERioDO SEUDOESTABLE
Finalmente hay que tener en cuenta que las ecuaciones (334) 0 (335) son aplicables para el caso en
que la presion del yacimiento sea P 0 sea para un tiempo determinado y es necesario tener una ecuaci6n que se pueda aplicar en cualquier tiempo esto se puede obtener de la siguiente manera
150
Cuando la presion del yacimiento ha caido de Pi a P del mismo ha salido un volumen ~V que de -1 acuerdo a la ecuacion de compresibilidad se puede expresar como
J I C A h 4gt (Pi - P) = ~V =q t (336)
sumando la ecuacion (336) a la ecuacion de flujo en condiciones seudoestables
p_p =~(~In 4A +s) 11 2Jrkh 2 r 2
f- A II
se obtiene
(337)
Si el acimiento es circular a la ecuacion (3 9) de la cual se obtuvo la (337) se Ie suma el termino
2Jr kl se obtiene
~f
q Jl ( r 3 2 Jr k I JP =P - Ln - --+ - - -shy + SMl I l
2 Jr k I r 4 cent Jl C A (3 37a)
Como la tasaPe produccion posiblemente no se pueda mantener constante durante un periodo de tiempo largo para aplicar la ecuacipn (337) se puede hacer 10 siguiente se toma como tasa de produccion constante la actual del pozo y el valor de t se toma como
Pr uduccion acumulada
Tasa de flujo actual
Cuando no se tiene en cuenta el dana d1~ormacion la ecuacion (337) queda como
p = P -~(~In 4A + 2JrKI) 11 I 2Jr kh 2 r C centJl CA
(338)
La ecuacion (3 38) se puede tomar como la solucion general aproximada de la ecuaci6n de difusividad para el periodo seudoestable y recordando la definicion de variables adimensionales (ecuaciones (249 y (253) - (255)) tambien se puede escribir como
( 1 4A 2Jr kl) (I 4A )P = - In +-shy = - In --shy + 2m =P
I 2 f r 2 At CA 2 f r 1 14 f) (-- II Y)Jl f-shy middot1 II
(3 39)
y de la misma forma la ecuacion (337a) quedaria
151
Po =[Ln r - ~ + 2n I ilA J (3 39a) r 4
donde tDA es el tiempo adimensional con base al area del yacimiento y esta definido por -1 _ kl 2 633 IO -~ kl(dias)
1gt - centJ1CA =1 Igt r~ =264 10-4 kl(hrs) (340) _ centJ1CA centJ1CA
)
33-S0LUCION DE LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD PARA EL PERioDO TRANSIENTE - CASO TASA TERMINAL CONSTANTE Y CONDICION DE liNEA FUENTE
La solucion de ~t~terminal constante que describe el comportamiento de la presion en el pozo debido a una tasa de produccion constante es la ecuacion basica usada en pruebas de pozos
- Con excepcion del periodo transiente (cuando el yacimiento se considera infinito) la solucion depende criticamente de las condiciones de frontera En la seccion anterior se presento una solucion aproximada de la ecuacion de difusividad para un yacimiento cerrado (volumetrico 0 sea con q = 0 en el limite exterior) para todas las configuraciones geometricas planteadas por Mathews - Bronze y Hazebroek y para cuando el comportamiento de la presion esta siendo afectado por el limite exterior del yacimiento 0 sea periodo seudoestable Las soluciones se expresan en forma adimensional para simplificar y generalizar las matematicas
Partiendo de la condicion de presion de equilibrio estatico Pwf =Pi a t = 0 la solucion de rata terminal constante de la ecuacion de difusividad describe como la presion de fonda fluyente Pwf varia como una funcion del tiempo despues de que se imponga un cambio en tasa de 0 a q
Graficamente seria 10 siguiente
q = constante q
Transiente xPwf
Post Transiente ~ -
Seudo-estable
152
La solucion es entonces un grafico de Pwf vs t y como se pude apreciar se presentan tres periodos dependiendo de la geometria del yacimiento 0 de la parte del mismo que esta siendo drenado y del tiempo de flujo
En el periodo transiente la perturbacion no ha lIegado al limite exterior del yacimiento y por tanto este se comporta como infinito
Despues del periodo transiente se empieza a sentir el efecto de la frontera y este periodo se conoce como postransiente En el caso de un pozo que produce de un area de drenage en la que no hay flujo en el limite exterior la forma de esta y la posicion del pozo en la misma con respecto a la frontera son basicos para encontrar la solucion de rata terminal constante apropiada en el periodo postransiente
Eventualmente se Ilegara a unas condiciones estabilizadas tales que el cambio de presion con el tiempo es constante Esto corresponde a las condiciones de flujo seudoestable
rDurante el periodo transiente se encontro que la solucion a la ecuacion de difusividad se podia aproximar a la solucion de la linea fuente 0 sea suponer que en comparacion con el yacimiento infinito el radio del pozo se puede considerar despreciable y el pozo como una linea esto simplifica considerablemente la solucion
La expresion para representar el periodo transiente es
P =Pi a r ~ 00 y v t (341 )
Y las condiciones iniciales y de limite son
Condicion Inicial
r(rO) =p r (3 2)
Condicion de limite Interior
o P qllLim r -- = -- t gt 0 (342)
(5 r 2nKh
r~O
La condicion de limite interior se conoce como condicion de linea fuente Para el limite exterior no es L shyposible establecer condicion pues para el periodo transiente este limite no existe ya que la J ftrJ
-I
perturbacion no ha iegado a el
Ademas se siguen haciendo las suposiciones hechas al desarrollar la ecuacion de difusividad
Yacimiento homogeneo e isotropico I
Completamiento total Viscosidad independiente de la presion Compresibilidad baja y con stante
Retomando la ecuacion de difusividad
~~[r 0P] = centf1CoP (2 29) r or or k a
153
Si se hace ahora la siguiente transformacion de variables conocida como transformada de Boltzman
centJlCr 2 r -7
X= = (343 ) 4kt 471
dr centJlCr r o X = _ centllCr 2
-=-- = -- y -- (344)a- 2kt 2 71 ot 4kt 2
y la ecuacion (2 29) se puede expresar en terminos de esta nueva variable como
)
1 0 [ _dP 0 x] 0 x _ centJl C dP 0 x - - 1 - - - - -- ---shy
r o x dx o r or k dx o t
y reemplazando las ecuaciones (343) y (344) se tiene
2~~[r dP centJlcr] centJlCr =centfLC dP ( centJlcr ]
r dx dx 2kt 2kl K dx 4kl 2 (
( ~[r 2centJlC dP] = -x dP dx 4kl dx dx
dd [ x ] = -x (345 ) x
dP X d 2 PdP + - - - =X
dX d X 2 dX
P dP y Ilamando = - se tiene
dx
P dP p+x - = - x dx
dP _ _ (X +U dX po - X
y luego de integracion se tiene
In p = - In x - x + C1
p = C e- 2 - (3 46)
X
154
La constante C2 se puede determinar aplicando la condicion de solucion de linea fuente
o sea que
_xCdP = _1_ ~ = qjJ -2 e dX 2X 2n kh 4n Kh X X
qjJ f _Y-- = J e y cuando r ~ 0 x tambiEm y por tanto 4nkh shy
C=~ (347) 2 4n kh
y lIevando la ecuacion (347) a la (346) se tiene
P =3L~ 4nkh X
y luego de integracion se tiene
donde los limites de la integral se plantearon de la siguiente manera
a un tiempo t = 0 P = Pi Y X ~ 00 y a un tiempo t P = Po Y x = x
Desarrollando la integral se tiene
p =Pi_~r e-x ( 348) rl 4n kh x
La ecuacion (348) es la solucion conocida como solucion de linea fuente y da la presion P rJ como una funcion de la posicion y del tiempo y se conoce tambien como solucion de la integral exponenciC1
La integral re~x dx se conoce como el integral exponencial de x y se denota por Ei( -X) Y por tanto la
ecuacion (348) tam bien se puede escribir como
155 )
p = Pi-~~E (-X ) (349) 1 2rr kh 2 I
EI valor de la funcion Ej(-X) es grande para valores pequenos de X y pequeno para valores grandes de x Cuando Xgt 10 se toma para E(-x) un valor de cero Tambien se ha encontrado que para valores de x lt 001 Ej(-X) se puede aproximar a
1 Ej(-X) =-In x - 05772 = Lnshy (3 50)
rX
donde 05772 la con stante de Euler y y es el exponencial de dicha con stante 0 sea
OS772 y -- e =1781
Cuando 001 lt X lt 10 el valor de Ej(-X) se puede obtener as bull
bull A partir de Integracion Gratica bull Usando Tablas 0 Graticos de E(-X) vs X bull Calculando Ej( -X) de la siguiente serie
x2
r ( ) XE(-X) =-[05772 + In x-x +-- - --+ - I -- - - - ] (3 51 ) 2 2 3 3 n n
Llevando la ecuacion (3 50) a la (349) se tiene
1 1 qf1 - In-PJ = PI - 27r kh 2 fX
= Pi qf1 ~In~ (3 52)2rr k h 2 r centf1 Cr 2
La solucion de la linea fuente y su aproximacion logaritmica es importante porque generalmente las mediciones de presion se hacen en el pozo 0 sea que la expresion para X en el pozo seria
_ centf1 Cr 2 x - It middot
4 k t
y esta ultima expresi6n al ser r~ un valor pequeno es muy probable que cumpla con x lt 001 aun para
tiempos cortos La expresi6n (352) aplicada en el pozo toma la forma
P = _ ~ [I n IP qf1 kl4 (3 53) i 2rr k h 2 r centf1Cr )I
Cuando la medici6n no se hace en el pozo sino por ejemplo en un pozo de observaci6n como es el caso de una prueba de pulsaci6n el valor de res grande y por tanto x es muy probable que sea mayor
156
de 001 Y en este caso la presion se debe calcular de la ecuacion (349) y la funcion Ej(-X) se debe obtener por alguno de los metodos planteados para cuando 001lt X lt 10 Sin embargo si el valor de X esta fuera del intervalo anterior en un tiempo dado el valor de la integral exponencial se puede calcular aplicando las aproximaciones planteadas
Finalmente se debe recordar que la ecuacion (349) es aplicable cuando se cum pie la condicion de ___~V I
linea fuente y esta condicion se cum pie cuando to gt100 0 sea que de acuerdo con la definicion de to ( I
se podra aplicar para valores de
(3 54)
Recordando la definicion de variables adimensionales la ecuacion (349) se puede escribir como
( - r 1 P -P =~r~x=~- E (-X )
I I 11 4IT kh x 2IT kh 2 I
y por 10 tanto
( (3 55)
Cuando se esta en el pozo y se puede aplicar la aproximacion logaritmica la ecuacion (3 53) se puede escribir de la siguiente manera
p -p =~(In 4kl J qf1- ~Ln 4kl I w 4IT kh r centf1- Cr 2IT k h 2 r centf1-Cr
que es equivalente a
(3 56)
Las ecuaciones (355) y (3 56) son las soluciones de la ecuacion de difusividad para el periodo transiente caso tasa terminal constante y condicion de linea fuente para Prt Y Pwf respectivamente
Usando la ecuacion (3 55) y la definicion de presion adimensional se obtiene
P P -----q--f1-_ P (r I )= P - _q_f1-_ ~ E (-X) (3 57) I = 2IT kh ) ) ) 2IT kh 2 II I
y en unidades practicas
(3 58)
157
De igual manera usando la ecuacion (3 56) se tiene
P =P qJl P ( )=p -~2Ln 4 1 (3 59) I I 2Jrkh I 2Jrk h 2 rI
y cuando se tiene en cuenta el dano
P =P-~(P (I )+S)=P qJl (2 Ln 41 +S) (3 60) HI I 2Jrkh ) I 2Jrk h 2 rI
La ecuacion (359) da la Pwf ideal y la (3 60) la real
Las ecuaciones (3 59) y (3 60) en unidades practicas toman las formas siguientes
qJlB qJl B 1 411 2303 411Pi =~-1412 ----P) ( )=P -1412h 2Ln y =p -1412 - 2 - Logy (3 61)
qJlB qJlB 1 4t f) Phi =P-1412 h (PI (t n )+S)=P - 1412 Jh(2 Ln --y+S) (3 62)
y teniendo en cuenta la definicion de tD las ecuaciones (361) Y (3 62) aun se pueden transformar a
qJlB K PHi == P - 1626 (Log t +Log- 2 -323) (3 63)
kh centJlLrH
qJlB 1 41 K PHI =P -141 2 -- (-Ln~S)= P -1626(Logl+Log 323+087S) (364)1
kh 2 r centJlCrH~
A continuaci6n se muestra como se obtiene por ejemplo la ecuaci6n (363) a Partir de la (3 60)
1al J al PHI (lpea) = P (fpea) -- shy
147Ipc 1471pea
q( BD) (56 15 pies I Ibl) (3048 ems I pie )Jl(ep) -JQ ID 3048 86400
4 Jr k(md) - h(pes) ems 1000md Jpie
4k(md) (lD IOOOmd t(hrs) (3600s 1hrs) I 2303 log + 2 yen S1
147 Lpe)) ) em shy1781 cent Jl(ep) C(fpe) r (pies-) (3048) - )
1at p ieshy
158
f w( p (fpca ) 5615 (3048) qj1 147(1pca ) = 147 - 4 n 1j l003048 86400 kh
[1 4 Kt 2 s]3600 og y1000 147 3048 2 ltPlCr + 2303
= P _ 5615 (3048) (2303) 147[10 _ 4_ 3600 f 4 n304 8 100086400 g l781 1000 147(3048) 2 I
kl + _ 2_ s]J
centj1Cr~ 2303
PHI = P -1626 Qj1Bo [IOgl + log k 2 - 323 + 087S] I kh centj1Crw
Recordando que la ecuaci6n (359) 0 (3 60) (0 (3 61) - (3 62)) provienen de la soluci6n E(-X) es importante tener claro cuando se puede utilizar la aproximaci6n logaritmica En primer lugar esta se aplicara cuando se puede aplicar la soluci6n E(-X) Y ademas x 001 en segundo lugar hay que recordar que la soluci6n E(-X) en general se puede aplicar cuando se cumple
- Yacimiento infinito - Condici6n de linea fuente
La condici6n de linea fuente se puede aplicar cuando se cumpla que l ) 100 0 sea cuando se cumpla la ecuaci6n (3 54)
100 do C 2 do C 2t(hrsraquo yJj1 rw =379 105 yJj1 rw (3 54 )
26410 -4 k k
Un criterio para decir (0 considerar) que se esta en el periodo transiente a un tiempo t despues de iniciada la perturbaci6n 0 sea que el yacimiento se est a comportando como infinito se puede obtener de la siguiente forma
Segun Ramey - Cobb para un pozo situado en el centro de un area de drenaje de forma regular (circulo cuadrado hexagono) el periodo postransiente es muy corto y se puede suponer que hay un paso brusco del periodo transiente al seudoestable Si esto es cierto la funci6n P(tD) debe ser continua y se debe cumplir que en momenta en que ocurra el paso del periodo transiente al seudoestable la expresi6n para PD en el periodo transiente sea igual a su expresi6n para el seudoestable 0 sea que recordando las ecuaciones (3 39) y (356)
1 I 4t IJ 1 1 4A 2- n-- = - n + ITt2 2 CAr2 DA y Y w
159
I
[ 41 IJ J12 = ( 4~_i J2e 2ll1l
gt
r (CI I
2 r 4 Jtl oreC I I IJ A
C t e 4 JT1IA (3 65) 1 l1
Resolviendo la ecuacion (3 65) para tOA suponiendo un valor de 31 6 para CA se encuentra tOA 0 1
Tambien es posible tener un criterio para saber cuando termina el periodo transiente y empieza el seudoestable en un yacimiento circular con un pozo ubicado en el centro haciendo el siguiente razonamiento
Si no es correcto pensar que tan pronto termine el transiente em piece el seudoestable puede ser aceptable suponer que el paso de un periodo al otro puede estar caracterizado porque las dos soluciones en este punto sean similares puesto que el comportamiento de la presion es continuo 0
sea que el paso del periodo transiente al seudoestable se puede decir que se presenta cuando la diferencia de las soluciones de la ecuaci6n de difusividad en ambos periodos es minima Recordando que la solucion de la ecuacion de difusividad para los periodos transiente y seudoestable son las ecuaciones (3 56) y (3 39a) respectivamente el paso del primer periodo al segundo se da cuando
Ln r _ 3 +21[1 1)1J- 1 ( Lnl IJ + 0809) = M inimo ( r 4 2
La expresi6n anterior tam bien se puede presentar como
1 [ ] 21) 3 - lnl ) + 0809 - --2 - In rc) +-= D 2 r e ) 4
1 21)D = Ln I ) - -j + C
2 re i)
se requiere encontrar el valor de to que haga esta diferenica minima 0 sea que
c D 1 2 = =0 c I IJ 21) rl~)
2 2tD rer)
160
k-k (O1135q ~ JlZYlT JS( I) - a I ~ (3 32) c q - 2k n h 2k P 2 S
o f rw chi
Para el caso de formacion de una zona de saturacion de gas alrededor de un pozo que produce petroleo que ya empieza a estar por debajo de la presion de burbujeo se puede hacer un razonamiento similar al anterior para encontrar el factor de dano que ocasiona la zona de saturacion de gas alrededor del pozo en este caso la ecuacion es
k - k(1 I (O0026Q BJlXt J8(Q I) = n - ----------------- (333) 2k( h2 cent krw2 SCi
donde qo es la tasa de producci6n del pozo en BNPID Bo Y iJltgt son el factor volumetrico y la viscosidad del petroleo t es el tiempo requerido en dias para que la zona de saturacion critica de gas Sgc alrededor del pozo lIegue hasta una distancia ra X es la cantidad de gas a condiciones de yacimiento que se Iiberan por cada barril normal de petroleo a condiciones normales y por cada LPC de caida de presion Ka es la permeabilidad del petroleo cuando se tiene saturacion critica de gas y se obtiene de las curvas de permeabilidad relativa del medio
Las ecuaciones (3 29) y (332 Y 33) permiten calcular Sm + S(q) de la ecuacion (3 21) conociendo el dano total para calcular el factor S(q) se requiere conocer D y esto se puede hacer de la siguiente forma
bull De varias pruebas de presion se obtiene S cada prueba esta asociada a una tasa de flujo q bull Para cada prueba se obtiene S(qt) bull Se calcula Sp el cual es constante para un pozo dado bull Se calcula S=Sm+S(q) para cada prueba de la ecuacion (321) y con los valores de Sp y S(qt) ya
calculados bull Se grafica S vs q y se obtendra una linea recta cuya pendiente es D y su intercepto es Sm bull Para cada prueba se calcula S(q) bull algunas veces el dano por perfaracion y complatamiento y el dana por penetracion parcial se
agrupan en un factor Sdado por
bull 8 hi 8 + 8
h 111
d
bull Cuando se hace la consideracion anterior para discretizar el dana S estara dado por S=S+S(q) y al elaborar el grafico de S vsq el intercepto nos dara S del cual con la expresion anterior y conociendo el valor de Sp se puede obtener Sm
Es importante conocer el efecto de cada uno de los factores de dana mencionados sobre el dana total para tomar decisiones ace rca de los correctivos a seguir para eliminarlo y mejorar la capacidad productiva del pozo En general el dana por bancos de condensado yo bloqueo de gas se puede prevenir evitando que el yacimiento quede en algun punto por debajo de la presion de rocio 0
burbujeo el dana por flujo no Darcy se puede evitar produciendo a tasas moderadas sin embargo hay que tener en cuenta que aplicar las dos soluciones planteadas antes implica muchas veces consideraciones economicas pues el yacimiento debe estar produciendo a unas tasas tales que el proyecto tenga viabilidad economica EI dano par penetracion parcial se podra evitar abriendo toda la formacion a flujo y esto puede no ser recomendable cuando se tienen yacimientos con empuje
148
hidraulico de fondo 0 con capa de gas EI dano ocasionado por perforaci6n y completamiento se puede prevenir con un buen diseno de estas actividades y en caso de que se presente se puede remover por actividades de estimulaci6n y reacondicionamiento de pozos tales como acidificaci6n fracturamiento lavado de perforaciones etc La remoci6n del dana ocasionado por movilizaci6n de fin~s es mas dificil si no imposible especialmente cuando se presenta en zonas retiradas de la cara de la formaci6n y su prevenci6n es mas factible siempre y cuando se haga disenos apropiados de las operaciones a realizar en los pozos especialmente en 10 relacionado con la selecci6n de los fluidos a inyectar su contenido de finos y las tasa de inyecci6n 0 producci6n a que se va a someter un yacimiento
Finalmente es importante tener en cuenta que se ha presentado en los parrafos anteriores como calcular los danos por efectos diferentes a dana par flujo de fin~s y deformaci6n geomecanica los cuales si se presentan requieren de procedimientos mas complejos para poderlos evaluar EI dana debido a estos factores aunque ha sido menos tenido en cuenta es muy importante y recientemente se ha considerado que son los principales responsables del dano de formaci6n con el agravante de que una vez que se presente este tipo de dana es imposible de remover y por tanto este tipo de dana es necesario prevenirlo haciendo estudios del yacimiento para encontrar las condiciones bajo las cuales se puede presentar
Un resumen de las ecuaciones de flujo para estado estable y seudoestable en unidades absolutas 0
Darcy se da en la tabla siguiente dependiendo de la variable para P que se use cuando se usen
unidades practicas ya se mostr6 que el coeficiente de1 termino de la derecha es 141 2 q [JKh
Flujo Seudoestable
Variable Sin dano Con dana P [ ]P-P = ~ In ~-~
It) 2rr kh r 2 r [ ]p - P
qJL r r shy= - - In shy ---+ S
2rr kh rIO 2r
Pe
~ 2h[1lt - ~]Pe shy Pi qJL [ ~ I ]p - P = - shy In - - - + S l I 2rr kh r 2
P -
c ~[In -- shy ~1P - pJ 2rr kh r 4
- qp [ r 3 JP - P = --- 111 - - shy + S 2rr kh r 4
Flujo Estable
Variable Sin dana Con dana P
= 2L[ln ~]P - Pl 2rr kh r
= ~[In ~ +s]P-PHJ 2rrkh r
Pe ~ ~[In -- IPc shy Pl 2rr kh r
p - p ~ ~[In --+ s l 2rr kh r
p - qp [ r I]P - Pl -2rr kh In - shy 2- - qp [ I 1p -p =-- In shy -shy + S
( 2rr kh r 2
149
314 Forma General de la Ecuaci6n de Flujo Bajo Condiciones Seudoestables
Cuando se dedujo la ecuacion de flujo para condiciones seudoestables se supuso que el area de drenaje era circular 0 sea que la ecuaci6n (39) supone area de drenaje circular Pero cuando se alcanza condiciones seudoestables cada pozo asume un area de drenaje que puede ser muy diferente de la circular y por tanto se debe buscar una ecuaci6n de flujo para cada pozo que tenga en cuenta la forma del area de drenaje y la ubicacion del pozo dentro de la misma Sin tener en cuenta el factor de dano la ecuacion (39) se puede escribir como
I ~
=1412 qj1Bn [lp_p rrr 2 ]1 - n l12 1 kh 2 Trr 2 e
y el argumento del logaritmo se puede modificar a
47Tr 4A 4A II 1) r 316 r2 ~e -r 5632r w
donde A es el area circular drenada por el pozo y =1781 yes el exponencial de la constante de Euler (0 5772) y 31 6 es el factor de forma para un pozo situado en el centro de un area de drenaje circular y se conoce como el factor de forma de Dietz Lo anterior quiere decir que la ecuacion (3 9) en forma general es
P - P I =1412qj1BO[~n 4A 2 +s] (3 34) kh 2 r C A r
HI
donde CA se conoce como factor de forma de Dietz el cual depende de la forma que tenga el yacimiento ( 0 area de drenaje del pozo) donde esta ubicado el pozo y de la ubicacion de este en el yacimiento
Otra forma de (a ecuaci6n general para flujo seudoestable es
Qj1BP-P I = 1412 o[Ln047 X +S] (3 35)
1 kh
donde X sigue siendo el factor de forma conocido como factor de forma de Odeh que tiene en cuenta la forma del area de drenaje del pozo 0 yacimiento y la ubicacion del pozo en ella
32 SOLUCION APROXIMADA DE LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD PARA PERioDO SEUDOESTABLE
Finalmente hay que tener en cuenta que las ecuaciones (334) 0 (335) son aplicables para el caso en
que la presion del yacimiento sea P 0 sea para un tiempo determinado y es necesario tener una ecuaci6n que se pueda aplicar en cualquier tiempo esto se puede obtener de la siguiente manera
150
Cuando la presion del yacimiento ha caido de Pi a P del mismo ha salido un volumen ~V que de -1 acuerdo a la ecuacion de compresibilidad se puede expresar como
J I C A h 4gt (Pi - P) = ~V =q t (336)
sumando la ecuacion (336) a la ecuacion de flujo en condiciones seudoestables
p_p =~(~In 4A +s) 11 2Jrkh 2 r 2
f- A II
se obtiene
(337)
Si el acimiento es circular a la ecuacion (3 9) de la cual se obtuvo la (337) se Ie suma el termino
2Jr kl se obtiene
~f
q Jl ( r 3 2 Jr k I JP =P - Ln - --+ - - -shy + SMl I l
2 Jr k I r 4 cent Jl C A (3 37a)
Como la tasaPe produccion posiblemente no se pueda mantener constante durante un periodo de tiempo largo para aplicar la ecuacipn (337) se puede hacer 10 siguiente se toma como tasa de produccion constante la actual del pozo y el valor de t se toma como
Pr uduccion acumulada
Tasa de flujo actual
Cuando no se tiene en cuenta el dana d1~ormacion la ecuacion (337) queda como
p = P -~(~In 4A + 2JrKI) 11 I 2Jr kh 2 r C centJl CA
(338)
La ecuacion (3 38) se puede tomar como la solucion general aproximada de la ecuaci6n de difusividad para el periodo seudoestable y recordando la definicion de variables adimensionales (ecuaciones (249 y (253) - (255)) tambien se puede escribir como
( 1 4A 2Jr kl) (I 4A )P = - In +-shy = - In --shy + 2m =P
I 2 f r 2 At CA 2 f r 1 14 f) (-- II Y)Jl f-shy middot1 II
(3 39)
y de la misma forma la ecuacion (337a) quedaria
151
Po =[Ln r - ~ + 2n I ilA J (3 39a) r 4
donde tDA es el tiempo adimensional con base al area del yacimiento y esta definido por -1 _ kl 2 633 IO -~ kl(dias)
1gt - centJ1CA =1 Igt r~ =264 10-4 kl(hrs) (340) _ centJ1CA centJ1CA
)
33-S0LUCION DE LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD PARA EL PERioDO TRANSIENTE - CASO TASA TERMINAL CONSTANTE Y CONDICION DE liNEA FUENTE
La solucion de ~t~terminal constante que describe el comportamiento de la presion en el pozo debido a una tasa de produccion constante es la ecuacion basica usada en pruebas de pozos
- Con excepcion del periodo transiente (cuando el yacimiento se considera infinito) la solucion depende criticamente de las condiciones de frontera En la seccion anterior se presento una solucion aproximada de la ecuacion de difusividad para un yacimiento cerrado (volumetrico 0 sea con q = 0 en el limite exterior) para todas las configuraciones geometricas planteadas por Mathews - Bronze y Hazebroek y para cuando el comportamiento de la presion esta siendo afectado por el limite exterior del yacimiento 0 sea periodo seudoestable Las soluciones se expresan en forma adimensional para simplificar y generalizar las matematicas
Partiendo de la condicion de presion de equilibrio estatico Pwf =Pi a t = 0 la solucion de rata terminal constante de la ecuacion de difusividad describe como la presion de fonda fluyente Pwf varia como una funcion del tiempo despues de que se imponga un cambio en tasa de 0 a q
Graficamente seria 10 siguiente
q = constante q
Transiente xPwf
Post Transiente ~ -
Seudo-estable
152
La solucion es entonces un grafico de Pwf vs t y como se pude apreciar se presentan tres periodos dependiendo de la geometria del yacimiento 0 de la parte del mismo que esta siendo drenado y del tiempo de flujo
En el periodo transiente la perturbacion no ha lIegado al limite exterior del yacimiento y por tanto este se comporta como infinito
Despues del periodo transiente se empieza a sentir el efecto de la frontera y este periodo se conoce como postransiente En el caso de un pozo que produce de un area de drenage en la que no hay flujo en el limite exterior la forma de esta y la posicion del pozo en la misma con respecto a la frontera son basicos para encontrar la solucion de rata terminal constante apropiada en el periodo postransiente
Eventualmente se Ilegara a unas condiciones estabilizadas tales que el cambio de presion con el tiempo es constante Esto corresponde a las condiciones de flujo seudoestable
rDurante el periodo transiente se encontro que la solucion a la ecuacion de difusividad se podia aproximar a la solucion de la linea fuente 0 sea suponer que en comparacion con el yacimiento infinito el radio del pozo se puede considerar despreciable y el pozo como una linea esto simplifica considerablemente la solucion
La expresion para representar el periodo transiente es
P =Pi a r ~ 00 y v t (341 )
Y las condiciones iniciales y de limite son
Condicion Inicial
r(rO) =p r (3 2)
Condicion de limite Interior
o P qllLim r -- = -- t gt 0 (342)
(5 r 2nKh
r~O
La condicion de limite interior se conoce como condicion de linea fuente Para el limite exterior no es L shyposible establecer condicion pues para el periodo transiente este limite no existe ya que la J ftrJ
-I
perturbacion no ha iegado a el
Ademas se siguen haciendo las suposiciones hechas al desarrollar la ecuacion de difusividad
Yacimiento homogeneo e isotropico I
Completamiento total Viscosidad independiente de la presion Compresibilidad baja y con stante
Retomando la ecuacion de difusividad
~~[r 0P] = centf1CoP (2 29) r or or k a
153
Si se hace ahora la siguiente transformacion de variables conocida como transformada de Boltzman
centJlCr 2 r -7
X= = (343 ) 4kt 471
dr centJlCr r o X = _ centllCr 2
-=-- = -- y -- (344)a- 2kt 2 71 ot 4kt 2
y la ecuacion (2 29) se puede expresar en terminos de esta nueva variable como
)
1 0 [ _dP 0 x] 0 x _ centJl C dP 0 x - - 1 - - - - -- ---shy
r o x dx o r or k dx o t
y reemplazando las ecuaciones (343) y (344) se tiene
2~~[r dP centJlcr] centJlCr =centfLC dP ( centJlcr ]
r dx dx 2kt 2kl K dx 4kl 2 (
( ~[r 2centJlC dP] = -x dP dx 4kl dx dx
dd [ x ] = -x (345 ) x
dP X d 2 PdP + - - - =X
dX d X 2 dX
P dP y Ilamando = - se tiene
dx
P dP p+x - = - x dx
dP _ _ (X +U dX po - X
y luego de integracion se tiene
In p = - In x - x + C1
p = C e- 2 - (3 46)
X
154
La constante C2 se puede determinar aplicando la condicion de solucion de linea fuente
o sea que
_xCdP = _1_ ~ = qjJ -2 e dX 2X 2n kh 4n Kh X X
qjJ f _Y-- = J e y cuando r ~ 0 x tambiEm y por tanto 4nkh shy
C=~ (347) 2 4n kh
y lIevando la ecuacion (347) a la (346) se tiene
P =3L~ 4nkh X
y luego de integracion se tiene
donde los limites de la integral se plantearon de la siguiente manera
a un tiempo t = 0 P = Pi Y X ~ 00 y a un tiempo t P = Po Y x = x
Desarrollando la integral se tiene
p =Pi_~r e-x ( 348) rl 4n kh x
La ecuacion (348) es la solucion conocida como solucion de linea fuente y da la presion P rJ como una funcion de la posicion y del tiempo y se conoce tambien como solucion de la integral exponenciC1
La integral re~x dx se conoce como el integral exponencial de x y se denota por Ei( -X) Y por tanto la
ecuacion (348) tam bien se puede escribir como
155 )
p = Pi-~~E (-X ) (349) 1 2rr kh 2 I
EI valor de la funcion Ej(-X) es grande para valores pequenos de X y pequeno para valores grandes de x Cuando Xgt 10 se toma para E(-x) un valor de cero Tambien se ha encontrado que para valores de x lt 001 Ej(-X) se puede aproximar a
1 Ej(-X) =-In x - 05772 = Lnshy (3 50)
rX
donde 05772 la con stante de Euler y y es el exponencial de dicha con stante 0 sea
OS772 y -- e =1781
Cuando 001 lt X lt 10 el valor de Ej(-X) se puede obtener as bull
bull A partir de Integracion Gratica bull Usando Tablas 0 Graticos de E(-X) vs X bull Calculando Ej( -X) de la siguiente serie
x2
r ( ) XE(-X) =-[05772 + In x-x +-- - --+ - I -- - - - ] (3 51 ) 2 2 3 3 n n
Llevando la ecuacion (3 50) a la (349) se tiene
1 1 qf1 - In-PJ = PI - 27r kh 2 fX
= Pi qf1 ~In~ (3 52)2rr k h 2 r centf1 Cr 2
La solucion de la linea fuente y su aproximacion logaritmica es importante porque generalmente las mediciones de presion se hacen en el pozo 0 sea que la expresion para X en el pozo seria
_ centf1 Cr 2 x - It middot
4 k t
y esta ultima expresi6n al ser r~ un valor pequeno es muy probable que cumpla con x lt 001 aun para
tiempos cortos La expresi6n (352) aplicada en el pozo toma la forma
P = _ ~ [I n IP qf1 kl4 (3 53) i 2rr k h 2 r centf1Cr )I
Cuando la medici6n no se hace en el pozo sino por ejemplo en un pozo de observaci6n como es el caso de una prueba de pulsaci6n el valor de res grande y por tanto x es muy probable que sea mayor
156
de 001 Y en este caso la presion se debe calcular de la ecuacion (349) y la funcion Ej(-X) se debe obtener por alguno de los metodos planteados para cuando 001lt X lt 10 Sin embargo si el valor de X esta fuera del intervalo anterior en un tiempo dado el valor de la integral exponencial se puede calcular aplicando las aproximaciones planteadas
Finalmente se debe recordar que la ecuacion (349) es aplicable cuando se cum pie la condicion de ___~V I
linea fuente y esta condicion se cum pie cuando to gt100 0 sea que de acuerdo con la definicion de to ( I
se podra aplicar para valores de
(3 54)
Recordando la definicion de variables adimensionales la ecuacion (349) se puede escribir como
( - r 1 P -P =~r~x=~- E (-X )
I I 11 4IT kh x 2IT kh 2 I
y por 10 tanto
( (3 55)
Cuando se esta en el pozo y se puede aplicar la aproximacion logaritmica la ecuacion (3 53) se puede escribir de la siguiente manera
p -p =~(In 4kl J qf1- ~Ln 4kl I w 4IT kh r centf1- Cr 2IT k h 2 r centf1-Cr
que es equivalente a
(3 56)
Las ecuaciones (355) y (3 56) son las soluciones de la ecuacion de difusividad para el periodo transiente caso tasa terminal constante y condicion de linea fuente para Prt Y Pwf respectivamente
Usando la ecuacion (3 55) y la definicion de presion adimensional se obtiene
P P -----q--f1-_ P (r I )= P - _q_f1-_ ~ E (-X) (3 57) I = 2IT kh ) ) ) 2IT kh 2 II I
y en unidades practicas
(3 58)
157
De igual manera usando la ecuacion (3 56) se tiene
P =P qJl P ( )=p -~2Ln 4 1 (3 59) I I 2Jrkh I 2Jrk h 2 rI
y cuando se tiene en cuenta el dano
P =P-~(P (I )+S)=P qJl (2 Ln 41 +S) (3 60) HI I 2Jrkh ) I 2Jrk h 2 rI
La ecuacion (359) da la Pwf ideal y la (3 60) la real
Las ecuaciones (3 59) y (3 60) en unidades practicas toman las formas siguientes
qJlB qJl B 1 411 2303 411Pi =~-1412 ----P) ( )=P -1412h 2Ln y =p -1412 - 2 - Logy (3 61)
qJlB qJlB 1 4t f) Phi =P-1412 h (PI (t n )+S)=P - 1412 Jh(2 Ln --y+S) (3 62)
y teniendo en cuenta la definicion de tD las ecuaciones (361) Y (3 62) aun se pueden transformar a
qJlB K PHi == P - 1626 (Log t +Log- 2 -323) (3 63)
kh centJlLrH
qJlB 1 41 K PHI =P -141 2 -- (-Ln~S)= P -1626(Logl+Log 323+087S) (364)1
kh 2 r centJlCrH~
A continuaci6n se muestra como se obtiene por ejemplo la ecuaci6n (363) a Partir de la (3 60)
1al J al PHI (lpea) = P (fpea) -- shy
147Ipc 1471pea
q( BD) (56 15 pies I Ibl) (3048 ems I pie )Jl(ep) -JQ ID 3048 86400
4 Jr k(md) - h(pes) ems 1000md Jpie
4k(md) (lD IOOOmd t(hrs) (3600s 1hrs) I 2303 log + 2 yen S1
147 Lpe)) ) em shy1781 cent Jl(ep) C(fpe) r (pies-) (3048) - )
1at p ieshy
158
f w( p (fpca ) 5615 (3048) qj1 147(1pca ) = 147 - 4 n 1j l003048 86400 kh
[1 4 Kt 2 s]3600 og y1000 147 3048 2 ltPlCr + 2303
= P _ 5615 (3048) (2303) 147[10 _ 4_ 3600 f 4 n304 8 100086400 g l781 1000 147(3048) 2 I
kl + _ 2_ s]J
centj1Cr~ 2303
PHI = P -1626 Qj1Bo [IOgl + log k 2 - 323 + 087S] I kh centj1Crw
Recordando que la ecuaci6n (359) 0 (3 60) (0 (3 61) - (3 62)) provienen de la soluci6n E(-X) es importante tener claro cuando se puede utilizar la aproximaci6n logaritmica En primer lugar esta se aplicara cuando se puede aplicar la soluci6n E(-X) Y ademas x 001 en segundo lugar hay que recordar que la soluci6n E(-X) en general se puede aplicar cuando se cumple
- Yacimiento infinito - Condici6n de linea fuente
La condici6n de linea fuente se puede aplicar cuando se cumpla que l ) 100 0 sea cuando se cumpla la ecuaci6n (3 54)
100 do C 2 do C 2t(hrsraquo yJj1 rw =379 105 yJj1 rw (3 54 )
26410 -4 k k
Un criterio para decir (0 considerar) que se esta en el periodo transiente a un tiempo t despues de iniciada la perturbaci6n 0 sea que el yacimiento se est a comportando como infinito se puede obtener de la siguiente forma
Segun Ramey - Cobb para un pozo situado en el centro de un area de drenaje de forma regular (circulo cuadrado hexagono) el periodo postransiente es muy corto y se puede suponer que hay un paso brusco del periodo transiente al seudoestable Si esto es cierto la funci6n P(tD) debe ser continua y se debe cumplir que en momenta en que ocurra el paso del periodo transiente al seudoestable la expresi6n para PD en el periodo transiente sea igual a su expresi6n para el seudoestable 0 sea que recordando las ecuaciones (3 39) y (356)
1 I 4t IJ 1 1 4A 2- n-- = - n + ITt2 2 CAr2 DA y Y w
159
I
[ 41 IJ J12 = ( 4~_i J2e 2ll1l
gt
r (CI I
2 r 4 Jtl oreC I I IJ A
C t e 4 JT1IA (3 65) 1 l1
Resolviendo la ecuacion (3 65) para tOA suponiendo un valor de 31 6 para CA se encuentra tOA 0 1
Tambien es posible tener un criterio para saber cuando termina el periodo transiente y empieza el seudoestable en un yacimiento circular con un pozo ubicado en el centro haciendo el siguiente razonamiento
Si no es correcto pensar que tan pronto termine el transiente em piece el seudoestable puede ser aceptable suponer que el paso de un periodo al otro puede estar caracterizado porque las dos soluciones en este punto sean similares puesto que el comportamiento de la presion es continuo 0
sea que el paso del periodo transiente al seudoestable se puede decir que se presenta cuando la diferencia de las soluciones de la ecuaci6n de difusividad en ambos periodos es minima Recordando que la solucion de la ecuacion de difusividad para los periodos transiente y seudoestable son las ecuaciones (3 56) y (3 39a) respectivamente el paso del primer periodo al segundo se da cuando
Ln r _ 3 +21[1 1)1J- 1 ( Lnl IJ + 0809) = M inimo ( r 4 2
La expresi6n anterior tam bien se puede presentar como
1 [ ] 21) 3 - lnl ) + 0809 - --2 - In rc) +-= D 2 r e ) 4
1 21)D = Ln I ) - -j + C
2 re i)
se requiere encontrar el valor de to que haga esta diferenica minima 0 sea que
c D 1 2 = =0 c I IJ 21) rl~)
2 2tD rer)
160
hidraulico de fondo 0 con capa de gas EI dano ocasionado por perforaci6n y completamiento se puede prevenir con un buen diseno de estas actividades y en caso de que se presente se puede remover por actividades de estimulaci6n y reacondicionamiento de pozos tales como acidificaci6n fracturamiento lavado de perforaciones etc La remoci6n del dana ocasionado por movilizaci6n de fin~s es mas dificil si no imposible especialmente cuando se presenta en zonas retiradas de la cara de la formaci6n y su prevenci6n es mas factible siempre y cuando se haga disenos apropiados de las operaciones a realizar en los pozos especialmente en 10 relacionado con la selecci6n de los fluidos a inyectar su contenido de finos y las tasa de inyecci6n 0 producci6n a que se va a someter un yacimiento
Finalmente es importante tener en cuenta que se ha presentado en los parrafos anteriores como calcular los danos por efectos diferentes a dana par flujo de fin~s y deformaci6n geomecanica los cuales si se presentan requieren de procedimientos mas complejos para poderlos evaluar EI dana debido a estos factores aunque ha sido menos tenido en cuenta es muy importante y recientemente se ha considerado que son los principales responsables del dano de formaci6n con el agravante de que una vez que se presente este tipo de dana es imposible de remover y por tanto este tipo de dana es necesario prevenirlo haciendo estudios del yacimiento para encontrar las condiciones bajo las cuales se puede presentar
Un resumen de las ecuaciones de flujo para estado estable y seudoestable en unidades absolutas 0
Darcy se da en la tabla siguiente dependiendo de la variable para P que se use cuando se usen
unidades practicas ya se mostr6 que el coeficiente de1 termino de la derecha es 141 2 q [JKh
Flujo Seudoestable
Variable Sin dano Con dana P [ ]P-P = ~ In ~-~
It) 2rr kh r 2 r [ ]p - P
qJL r r shy= - - In shy ---+ S
2rr kh rIO 2r
Pe
~ 2h[1lt - ~]Pe shy Pi qJL [ ~ I ]p - P = - shy In - - - + S l I 2rr kh r 2
P -
c ~[In -- shy ~1P - pJ 2rr kh r 4
- qp [ r 3 JP - P = --- 111 - - shy + S 2rr kh r 4
Flujo Estable
Variable Sin dana Con dana P
= 2L[ln ~]P - Pl 2rr kh r
= ~[In ~ +s]P-PHJ 2rrkh r
Pe ~ ~[In -- IPc shy Pl 2rr kh r
p - p ~ ~[In --+ s l 2rr kh r
p - qp [ r I]P - Pl -2rr kh In - shy 2- - qp [ I 1p -p =-- In shy -shy + S
( 2rr kh r 2
149
314 Forma General de la Ecuaci6n de Flujo Bajo Condiciones Seudoestables
Cuando se dedujo la ecuacion de flujo para condiciones seudoestables se supuso que el area de drenaje era circular 0 sea que la ecuaci6n (39) supone area de drenaje circular Pero cuando se alcanza condiciones seudoestables cada pozo asume un area de drenaje que puede ser muy diferente de la circular y por tanto se debe buscar una ecuaci6n de flujo para cada pozo que tenga en cuenta la forma del area de drenaje y la ubicacion del pozo dentro de la misma Sin tener en cuenta el factor de dano la ecuacion (39) se puede escribir como
I ~
=1412 qj1Bn [lp_p rrr 2 ]1 - n l12 1 kh 2 Trr 2 e
y el argumento del logaritmo se puede modificar a
47Tr 4A 4A II 1) r 316 r2 ~e -r 5632r w
donde A es el area circular drenada por el pozo y =1781 yes el exponencial de la constante de Euler (0 5772) y 31 6 es el factor de forma para un pozo situado en el centro de un area de drenaje circular y se conoce como el factor de forma de Dietz Lo anterior quiere decir que la ecuacion (3 9) en forma general es
P - P I =1412qj1BO[~n 4A 2 +s] (3 34) kh 2 r C A r
HI
donde CA se conoce como factor de forma de Dietz el cual depende de la forma que tenga el yacimiento ( 0 area de drenaje del pozo) donde esta ubicado el pozo y de la ubicacion de este en el yacimiento
Otra forma de (a ecuaci6n general para flujo seudoestable es
Qj1BP-P I = 1412 o[Ln047 X +S] (3 35)
1 kh
donde X sigue siendo el factor de forma conocido como factor de forma de Odeh que tiene en cuenta la forma del area de drenaje del pozo 0 yacimiento y la ubicacion del pozo en ella
32 SOLUCION APROXIMADA DE LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD PARA PERioDO SEUDOESTABLE
Finalmente hay que tener en cuenta que las ecuaciones (334) 0 (335) son aplicables para el caso en
que la presion del yacimiento sea P 0 sea para un tiempo determinado y es necesario tener una ecuaci6n que se pueda aplicar en cualquier tiempo esto se puede obtener de la siguiente manera
150
Cuando la presion del yacimiento ha caido de Pi a P del mismo ha salido un volumen ~V que de -1 acuerdo a la ecuacion de compresibilidad se puede expresar como
J I C A h 4gt (Pi - P) = ~V =q t (336)
sumando la ecuacion (336) a la ecuacion de flujo en condiciones seudoestables
p_p =~(~In 4A +s) 11 2Jrkh 2 r 2
f- A II
se obtiene
(337)
Si el acimiento es circular a la ecuacion (3 9) de la cual se obtuvo la (337) se Ie suma el termino
2Jr kl se obtiene
~f
q Jl ( r 3 2 Jr k I JP =P - Ln - --+ - - -shy + SMl I l
2 Jr k I r 4 cent Jl C A (3 37a)
Como la tasaPe produccion posiblemente no se pueda mantener constante durante un periodo de tiempo largo para aplicar la ecuacipn (337) se puede hacer 10 siguiente se toma como tasa de produccion constante la actual del pozo y el valor de t se toma como
Pr uduccion acumulada
Tasa de flujo actual
Cuando no se tiene en cuenta el dana d1~ormacion la ecuacion (337) queda como
p = P -~(~In 4A + 2JrKI) 11 I 2Jr kh 2 r C centJl CA
(338)
La ecuacion (3 38) se puede tomar como la solucion general aproximada de la ecuaci6n de difusividad para el periodo seudoestable y recordando la definicion de variables adimensionales (ecuaciones (249 y (253) - (255)) tambien se puede escribir como
( 1 4A 2Jr kl) (I 4A )P = - In +-shy = - In --shy + 2m =P
I 2 f r 2 At CA 2 f r 1 14 f) (-- II Y)Jl f-shy middot1 II
(3 39)
y de la misma forma la ecuacion (337a) quedaria
151
Po =[Ln r - ~ + 2n I ilA J (3 39a) r 4
donde tDA es el tiempo adimensional con base al area del yacimiento y esta definido por -1 _ kl 2 633 IO -~ kl(dias)
1gt - centJ1CA =1 Igt r~ =264 10-4 kl(hrs) (340) _ centJ1CA centJ1CA
)
33-S0LUCION DE LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD PARA EL PERioDO TRANSIENTE - CASO TASA TERMINAL CONSTANTE Y CONDICION DE liNEA FUENTE
La solucion de ~t~terminal constante que describe el comportamiento de la presion en el pozo debido a una tasa de produccion constante es la ecuacion basica usada en pruebas de pozos
- Con excepcion del periodo transiente (cuando el yacimiento se considera infinito) la solucion depende criticamente de las condiciones de frontera En la seccion anterior se presento una solucion aproximada de la ecuacion de difusividad para un yacimiento cerrado (volumetrico 0 sea con q = 0 en el limite exterior) para todas las configuraciones geometricas planteadas por Mathews - Bronze y Hazebroek y para cuando el comportamiento de la presion esta siendo afectado por el limite exterior del yacimiento 0 sea periodo seudoestable Las soluciones se expresan en forma adimensional para simplificar y generalizar las matematicas
Partiendo de la condicion de presion de equilibrio estatico Pwf =Pi a t = 0 la solucion de rata terminal constante de la ecuacion de difusividad describe como la presion de fonda fluyente Pwf varia como una funcion del tiempo despues de que se imponga un cambio en tasa de 0 a q
Graficamente seria 10 siguiente
q = constante q
Transiente xPwf
Post Transiente ~ -
Seudo-estable
152
La solucion es entonces un grafico de Pwf vs t y como se pude apreciar se presentan tres periodos dependiendo de la geometria del yacimiento 0 de la parte del mismo que esta siendo drenado y del tiempo de flujo
En el periodo transiente la perturbacion no ha lIegado al limite exterior del yacimiento y por tanto este se comporta como infinito
Despues del periodo transiente se empieza a sentir el efecto de la frontera y este periodo se conoce como postransiente En el caso de un pozo que produce de un area de drenage en la que no hay flujo en el limite exterior la forma de esta y la posicion del pozo en la misma con respecto a la frontera son basicos para encontrar la solucion de rata terminal constante apropiada en el periodo postransiente
Eventualmente se Ilegara a unas condiciones estabilizadas tales que el cambio de presion con el tiempo es constante Esto corresponde a las condiciones de flujo seudoestable
rDurante el periodo transiente se encontro que la solucion a la ecuacion de difusividad se podia aproximar a la solucion de la linea fuente 0 sea suponer que en comparacion con el yacimiento infinito el radio del pozo se puede considerar despreciable y el pozo como una linea esto simplifica considerablemente la solucion
La expresion para representar el periodo transiente es
P =Pi a r ~ 00 y v t (341 )
Y las condiciones iniciales y de limite son
Condicion Inicial
r(rO) =p r (3 2)
Condicion de limite Interior
o P qllLim r -- = -- t gt 0 (342)
(5 r 2nKh
r~O
La condicion de limite interior se conoce como condicion de linea fuente Para el limite exterior no es L shyposible establecer condicion pues para el periodo transiente este limite no existe ya que la J ftrJ
-I
perturbacion no ha iegado a el
Ademas se siguen haciendo las suposiciones hechas al desarrollar la ecuacion de difusividad
Yacimiento homogeneo e isotropico I
Completamiento total Viscosidad independiente de la presion Compresibilidad baja y con stante
Retomando la ecuacion de difusividad
~~[r 0P] = centf1CoP (2 29) r or or k a
153
Si se hace ahora la siguiente transformacion de variables conocida como transformada de Boltzman
centJlCr 2 r -7
X= = (343 ) 4kt 471
dr centJlCr r o X = _ centllCr 2
-=-- = -- y -- (344)a- 2kt 2 71 ot 4kt 2
y la ecuacion (2 29) se puede expresar en terminos de esta nueva variable como
)
1 0 [ _dP 0 x] 0 x _ centJl C dP 0 x - - 1 - - - - -- ---shy
r o x dx o r or k dx o t
y reemplazando las ecuaciones (343) y (344) se tiene
2~~[r dP centJlcr] centJlCr =centfLC dP ( centJlcr ]
r dx dx 2kt 2kl K dx 4kl 2 (
( ~[r 2centJlC dP] = -x dP dx 4kl dx dx
dd [ x ] = -x (345 ) x
dP X d 2 PdP + - - - =X
dX d X 2 dX
P dP y Ilamando = - se tiene
dx
P dP p+x - = - x dx
dP _ _ (X +U dX po - X
y luego de integracion se tiene
In p = - In x - x + C1
p = C e- 2 - (3 46)
X
154
La constante C2 se puede determinar aplicando la condicion de solucion de linea fuente
o sea que
_xCdP = _1_ ~ = qjJ -2 e dX 2X 2n kh 4n Kh X X
qjJ f _Y-- = J e y cuando r ~ 0 x tambiEm y por tanto 4nkh shy
C=~ (347) 2 4n kh
y lIevando la ecuacion (347) a la (346) se tiene
P =3L~ 4nkh X
y luego de integracion se tiene
donde los limites de la integral se plantearon de la siguiente manera
a un tiempo t = 0 P = Pi Y X ~ 00 y a un tiempo t P = Po Y x = x
Desarrollando la integral se tiene
p =Pi_~r e-x ( 348) rl 4n kh x
La ecuacion (348) es la solucion conocida como solucion de linea fuente y da la presion P rJ como una funcion de la posicion y del tiempo y se conoce tambien como solucion de la integral exponenciC1
La integral re~x dx se conoce como el integral exponencial de x y se denota por Ei( -X) Y por tanto la
ecuacion (348) tam bien se puede escribir como
155 )
p = Pi-~~E (-X ) (349) 1 2rr kh 2 I
EI valor de la funcion Ej(-X) es grande para valores pequenos de X y pequeno para valores grandes de x Cuando Xgt 10 se toma para E(-x) un valor de cero Tambien se ha encontrado que para valores de x lt 001 Ej(-X) se puede aproximar a
1 Ej(-X) =-In x - 05772 = Lnshy (3 50)
rX
donde 05772 la con stante de Euler y y es el exponencial de dicha con stante 0 sea
OS772 y -- e =1781
Cuando 001 lt X lt 10 el valor de Ej(-X) se puede obtener as bull
bull A partir de Integracion Gratica bull Usando Tablas 0 Graticos de E(-X) vs X bull Calculando Ej( -X) de la siguiente serie
x2
r ( ) XE(-X) =-[05772 + In x-x +-- - --+ - I -- - - - ] (3 51 ) 2 2 3 3 n n
Llevando la ecuacion (3 50) a la (349) se tiene
1 1 qf1 - In-PJ = PI - 27r kh 2 fX
= Pi qf1 ~In~ (3 52)2rr k h 2 r centf1 Cr 2
La solucion de la linea fuente y su aproximacion logaritmica es importante porque generalmente las mediciones de presion se hacen en el pozo 0 sea que la expresion para X en el pozo seria
_ centf1 Cr 2 x - It middot
4 k t
y esta ultima expresi6n al ser r~ un valor pequeno es muy probable que cumpla con x lt 001 aun para
tiempos cortos La expresi6n (352) aplicada en el pozo toma la forma
P = _ ~ [I n IP qf1 kl4 (3 53) i 2rr k h 2 r centf1Cr )I
Cuando la medici6n no se hace en el pozo sino por ejemplo en un pozo de observaci6n como es el caso de una prueba de pulsaci6n el valor de res grande y por tanto x es muy probable que sea mayor
156
de 001 Y en este caso la presion se debe calcular de la ecuacion (349) y la funcion Ej(-X) se debe obtener por alguno de los metodos planteados para cuando 001lt X lt 10 Sin embargo si el valor de X esta fuera del intervalo anterior en un tiempo dado el valor de la integral exponencial se puede calcular aplicando las aproximaciones planteadas
Finalmente se debe recordar que la ecuacion (349) es aplicable cuando se cum pie la condicion de ___~V I
linea fuente y esta condicion se cum pie cuando to gt100 0 sea que de acuerdo con la definicion de to ( I
se podra aplicar para valores de
(3 54)
Recordando la definicion de variables adimensionales la ecuacion (349) se puede escribir como
( - r 1 P -P =~r~x=~- E (-X )
I I 11 4IT kh x 2IT kh 2 I
y por 10 tanto
( (3 55)
Cuando se esta en el pozo y se puede aplicar la aproximacion logaritmica la ecuacion (3 53) se puede escribir de la siguiente manera
p -p =~(In 4kl J qf1- ~Ln 4kl I w 4IT kh r centf1- Cr 2IT k h 2 r centf1-Cr
que es equivalente a
(3 56)
Las ecuaciones (355) y (3 56) son las soluciones de la ecuacion de difusividad para el periodo transiente caso tasa terminal constante y condicion de linea fuente para Prt Y Pwf respectivamente
Usando la ecuacion (3 55) y la definicion de presion adimensional se obtiene
P P -----q--f1-_ P (r I )= P - _q_f1-_ ~ E (-X) (3 57) I = 2IT kh ) ) ) 2IT kh 2 II I
y en unidades practicas
(3 58)
157
De igual manera usando la ecuacion (3 56) se tiene
P =P qJl P ( )=p -~2Ln 4 1 (3 59) I I 2Jrkh I 2Jrk h 2 rI
y cuando se tiene en cuenta el dano
P =P-~(P (I )+S)=P qJl (2 Ln 41 +S) (3 60) HI I 2Jrkh ) I 2Jrk h 2 rI
La ecuacion (359) da la Pwf ideal y la (3 60) la real
Las ecuaciones (3 59) y (3 60) en unidades practicas toman las formas siguientes
qJlB qJl B 1 411 2303 411Pi =~-1412 ----P) ( )=P -1412h 2Ln y =p -1412 - 2 - Logy (3 61)
qJlB qJlB 1 4t f) Phi =P-1412 h (PI (t n )+S)=P - 1412 Jh(2 Ln --y+S) (3 62)
y teniendo en cuenta la definicion de tD las ecuaciones (361) Y (3 62) aun se pueden transformar a
qJlB K PHi == P - 1626 (Log t +Log- 2 -323) (3 63)
kh centJlLrH
qJlB 1 41 K PHI =P -141 2 -- (-Ln~S)= P -1626(Logl+Log 323+087S) (364)1
kh 2 r centJlCrH~
A continuaci6n se muestra como se obtiene por ejemplo la ecuaci6n (363) a Partir de la (3 60)
1al J al PHI (lpea) = P (fpea) -- shy
147Ipc 1471pea
q( BD) (56 15 pies I Ibl) (3048 ems I pie )Jl(ep) -JQ ID 3048 86400
4 Jr k(md) - h(pes) ems 1000md Jpie
4k(md) (lD IOOOmd t(hrs) (3600s 1hrs) I 2303 log + 2 yen S1
147 Lpe)) ) em shy1781 cent Jl(ep) C(fpe) r (pies-) (3048) - )
1at p ieshy
158
f w( p (fpca ) 5615 (3048) qj1 147(1pca ) = 147 - 4 n 1j l003048 86400 kh
[1 4 Kt 2 s]3600 og y1000 147 3048 2 ltPlCr + 2303
= P _ 5615 (3048) (2303) 147[10 _ 4_ 3600 f 4 n304 8 100086400 g l781 1000 147(3048) 2 I
kl + _ 2_ s]J
centj1Cr~ 2303
PHI = P -1626 Qj1Bo [IOgl + log k 2 - 323 + 087S] I kh centj1Crw
Recordando que la ecuaci6n (359) 0 (3 60) (0 (3 61) - (3 62)) provienen de la soluci6n E(-X) es importante tener claro cuando se puede utilizar la aproximaci6n logaritmica En primer lugar esta se aplicara cuando se puede aplicar la soluci6n E(-X) Y ademas x 001 en segundo lugar hay que recordar que la soluci6n E(-X) en general se puede aplicar cuando se cumple
- Yacimiento infinito - Condici6n de linea fuente
La condici6n de linea fuente se puede aplicar cuando se cumpla que l ) 100 0 sea cuando se cumpla la ecuaci6n (3 54)
100 do C 2 do C 2t(hrsraquo yJj1 rw =379 105 yJj1 rw (3 54 )
26410 -4 k k
Un criterio para decir (0 considerar) que se esta en el periodo transiente a un tiempo t despues de iniciada la perturbaci6n 0 sea que el yacimiento se est a comportando como infinito se puede obtener de la siguiente forma
Segun Ramey - Cobb para un pozo situado en el centro de un area de drenaje de forma regular (circulo cuadrado hexagono) el periodo postransiente es muy corto y se puede suponer que hay un paso brusco del periodo transiente al seudoestable Si esto es cierto la funci6n P(tD) debe ser continua y se debe cumplir que en momenta en que ocurra el paso del periodo transiente al seudoestable la expresi6n para PD en el periodo transiente sea igual a su expresi6n para el seudoestable 0 sea que recordando las ecuaciones (3 39) y (356)
1 I 4t IJ 1 1 4A 2- n-- = - n + ITt2 2 CAr2 DA y Y w
159
I
[ 41 IJ J12 = ( 4~_i J2e 2ll1l
gt
r (CI I
2 r 4 Jtl oreC I I IJ A
C t e 4 JT1IA (3 65) 1 l1
Resolviendo la ecuacion (3 65) para tOA suponiendo un valor de 31 6 para CA se encuentra tOA 0 1
Tambien es posible tener un criterio para saber cuando termina el periodo transiente y empieza el seudoestable en un yacimiento circular con un pozo ubicado en el centro haciendo el siguiente razonamiento
Si no es correcto pensar que tan pronto termine el transiente em piece el seudoestable puede ser aceptable suponer que el paso de un periodo al otro puede estar caracterizado porque las dos soluciones en este punto sean similares puesto que el comportamiento de la presion es continuo 0
sea que el paso del periodo transiente al seudoestable se puede decir que se presenta cuando la diferencia de las soluciones de la ecuaci6n de difusividad en ambos periodos es minima Recordando que la solucion de la ecuacion de difusividad para los periodos transiente y seudoestable son las ecuaciones (3 56) y (3 39a) respectivamente el paso del primer periodo al segundo se da cuando
Ln r _ 3 +21[1 1)1J- 1 ( Lnl IJ + 0809) = M inimo ( r 4 2
La expresi6n anterior tam bien se puede presentar como
1 [ ] 21) 3 - lnl ) + 0809 - --2 - In rc) +-= D 2 r e ) 4
1 21)D = Ln I ) - -j + C
2 re i)
se requiere encontrar el valor de to que haga esta diferenica minima 0 sea que
c D 1 2 = =0 c I IJ 21) rl~)
2 2tD rer)
160
314 Forma General de la Ecuaci6n de Flujo Bajo Condiciones Seudoestables
Cuando se dedujo la ecuacion de flujo para condiciones seudoestables se supuso que el area de drenaje era circular 0 sea que la ecuaci6n (39) supone area de drenaje circular Pero cuando se alcanza condiciones seudoestables cada pozo asume un area de drenaje que puede ser muy diferente de la circular y por tanto se debe buscar una ecuaci6n de flujo para cada pozo que tenga en cuenta la forma del area de drenaje y la ubicacion del pozo dentro de la misma Sin tener en cuenta el factor de dano la ecuacion (39) se puede escribir como
I ~
=1412 qj1Bn [lp_p rrr 2 ]1 - n l12 1 kh 2 Trr 2 e
y el argumento del logaritmo se puede modificar a
47Tr 4A 4A II 1) r 316 r2 ~e -r 5632r w
donde A es el area circular drenada por el pozo y =1781 yes el exponencial de la constante de Euler (0 5772) y 31 6 es el factor de forma para un pozo situado en el centro de un area de drenaje circular y se conoce como el factor de forma de Dietz Lo anterior quiere decir que la ecuacion (3 9) en forma general es
P - P I =1412qj1BO[~n 4A 2 +s] (3 34) kh 2 r C A r
HI
donde CA se conoce como factor de forma de Dietz el cual depende de la forma que tenga el yacimiento ( 0 area de drenaje del pozo) donde esta ubicado el pozo y de la ubicacion de este en el yacimiento
Otra forma de (a ecuaci6n general para flujo seudoestable es
Qj1BP-P I = 1412 o[Ln047 X +S] (3 35)
1 kh
donde X sigue siendo el factor de forma conocido como factor de forma de Odeh que tiene en cuenta la forma del area de drenaje del pozo 0 yacimiento y la ubicacion del pozo en ella
32 SOLUCION APROXIMADA DE LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD PARA PERioDO SEUDOESTABLE
Finalmente hay que tener en cuenta que las ecuaciones (334) 0 (335) son aplicables para el caso en
que la presion del yacimiento sea P 0 sea para un tiempo determinado y es necesario tener una ecuaci6n que se pueda aplicar en cualquier tiempo esto se puede obtener de la siguiente manera
150
Cuando la presion del yacimiento ha caido de Pi a P del mismo ha salido un volumen ~V que de -1 acuerdo a la ecuacion de compresibilidad se puede expresar como
J I C A h 4gt (Pi - P) = ~V =q t (336)
sumando la ecuacion (336) a la ecuacion de flujo en condiciones seudoestables
p_p =~(~In 4A +s) 11 2Jrkh 2 r 2
f- A II
se obtiene
(337)
Si el acimiento es circular a la ecuacion (3 9) de la cual se obtuvo la (337) se Ie suma el termino
2Jr kl se obtiene
~f
q Jl ( r 3 2 Jr k I JP =P - Ln - --+ - - -shy + SMl I l
2 Jr k I r 4 cent Jl C A (3 37a)
Como la tasaPe produccion posiblemente no se pueda mantener constante durante un periodo de tiempo largo para aplicar la ecuacipn (337) se puede hacer 10 siguiente se toma como tasa de produccion constante la actual del pozo y el valor de t se toma como
Pr uduccion acumulada
Tasa de flujo actual
Cuando no se tiene en cuenta el dana d1~ormacion la ecuacion (337) queda como
p = P -~(~In 4A + 2JrKI) 11 I 2Jr kh 2 r C centJl CA
(338)
La ecuacion (3 38) se puede tomar como la solucion general aproximada de la ecuaci6n de difusividad para el periodo seudoestable y recordando la definicion de variables adimensionales (ecuaciones (249 y (253) - (255)) tambien se puede escribir como
( 1 4A 2Jr kl) (I 4A )P = - In +-shy = - In --shy + 2m =P
I 2 f r 2 At CA 2 f r 1 14 f) (-- II Y)Jl f-shy middot1 II
(3 39)
y de la misma forma la ecuacion (337a) quedaria
151
Po =[Ln r - ~ + 2n I ilA J (3 39a) r 4
donde tDA es el tiempo adimensional con base al area del yacimiento y esta definido por -1 _ kl 2 633 IO -~ kl(dias)
1gt - centJ1CA =1 Igt r~ =264 10-4 kl(hrs) (340) _ centJ1CA centJ1CA
)
33-S0LUCION DE LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD PARA EL PERioDO TRANSIENTE - CASO TASA TERMINAL CONSTANTE Y CONDICION DE liNEA FUENTE
La solucion de ~t~terminal constante que describe el comportamiento de la presion en el pozo debido a una tasa de produccion constante es la ecuacion basica usada en pruebas de pozos
- Con excepcion del periodo transiente (cuando el yacimiento se considera infinito) la solucion depende criticamente de las condiciones de frontera En la seccion anterior se presento una solucion aproximada de la ecuacion de difusividad para un yacimiento cerrado (volumetrico 0 sea con q = 0 en el limite exterior) para todas las configuraciones geometricas planteadas por Mathews - Bronze y Hazebroek y para cuando el comportamiento de la presion esta siendo afectado por el limite exterior del yacimiento 0 sea periodo seudoestable Las soluciones se expresan en forma adimensional para simplificar y generalizar las matematicas
Partiendo de la condicion de presion de equilibrio estatico Pwf =Pi a t = 0 la solucion de rata terminal constante de la ecuacion de difusividad describe como la presion de fonda fluyente Pwf varia como una funcion del tiempo despues de que se imponga un cambio en tasa de 0 a q
Graficamente seria 10 siguiente
q = constante q
Transiente xPwf
Post Transiente ~ -
Seudo-estable
152
La solucion es entonces un grafico de Pwf vs t y como se pude apreciar se presentan tres periodos dependiendo de la geometria del yacimiento 0 de la parte del mismo que esta siendo drenado y del tiempo de flujo
En el periodo transiente la perturbacion no ha lIegado al limite exterior del yacimiento y por tanto este se comporta como infinito
Despues del periodo transiente se empieza a sentir el efecto de la frontera y este periodo se conoce como postransiente En el caso de un pozo que produce de un area de drenage en la que no hay flujo en el limite exterior la forma de esta y la posicion del pozo en la misma con respecto a la frontera son basicos para encontrar la solucion de rata terminal constante apropiada en el periodo postransiente
Eventualmente se Ilegara a unas condiciones estabilizadas tales que el cambio de presion con el tiempo es constante Esto corresponde a las condiciones de flujo seudoestable
rDurante el periodo transiente se encontro que la solucion a la ecuacion de difusividad se podia aproximar a la solucion de la linea fuente 0 sea suponer que en comparacion con el yacimiento infinito el radio del pozo se puede considerar despreciable y el pozo como una linea esto simplifica considerablemente la solucion
La expresion para representar el periodo transiente es
P =Pi a r ~ 00 y v t (341 )
Y las condiciones iniciales y de limite son
Condicion Inicial
r(rO) =p r (3 2)
Condicion de limite Interior
o P qllLim r -- = -- t gt 0 (342)
(5 r 2nKh
r~O
La condicion de limite interior se conoce como condicion de linea fuente Para el limite exterior no es L shyposible establecer condicion pues para el periodo transiente este limite no existe ya que la J ftrJ
-I
perturbacion no ha iegado a el
Ademas se siguen haciendo las suposiciones hechas al desarrollar la ecuacion de difusividad
Yacimiento homogeneo e isotropico I
Completamiento total Viscosidad independiente de la presion Compresibilidad baja y con stante
Retomando la ecuacion de difusividad
~~[r 0P] = centf1CoP (2 29) r or or k a
153
Si se hace ahora la siguiente transformacion de variables conocida como transformada de Boltzman
centJlCr 2 r -7
X= = (343 ) 4kt 471
dr centJlCr r o X = _ centllCr 2
-=-- = -- y -- (344)a- 2kt 2 71 ot 4kt 2
y la ecuacion (2 29) se puede expresar en terminos de esta nueva variable como
)
1 0 [ _dP 0 x] 0 x _ centJl C dP 0 x - - 1 - - - - -- ---shy
r o x dx o r or k dx o t
y reemplazando las ecuaciones (343) y (344) se tiene
2~~[r dP centJlcr] centJlCr =centfLC dP ( centJlcr ]
r dx dx 2kt 2kl K dx 4kl 2 (
( ~[r 2centJlC dP] = -x dP dx 4kl dx dx
dd [ x ] = -x (345 ) x
dP X d 2 PdP + - - - =X
dX d X 2 dX
P dP y Ilamando = - se tiene
dx
P dP p+x - = - x dx
dP _ _ (X +U dX po - X
y luego de integracion se tiene
In p = - In x - x + C1
p = C e- 2 - (3 46)
X
154
La constante C2 se puede determinar aplicando la condicion de solucion de linea fuente
o sea que
_xCdP = _1_ ~ = qjJ -2 e dX 2X 2n kh 4n Kh X X
qjJ f _Y-- = J e y cuando r ~ 0 x tambiEm y por tanto 4nkh shy
C=~ (347) 2 4n kh
y lIevando la ecuacion (347) a la (346) se tiene
P =3L~ 4nkh X
y luego de integracion se tiene
donde los limites de la integral se plantearon de la siguiente manera
a un tiempo t = 0 P = Pi Y X ~ 00 y a un tiempo t P = Po Y x = x
Desarrollando la integral se tiene
p =Pi_~r e-x ( 348) rl 4n kh x
La ecuacion (348) es la solucion conocida como solucion de linea fuente y da la presion P rJ como una funcion de la posicion y del tiempo y se conoce tambien como solucion de la integral exponenciC1
La integral re~x dx se conoce como el integral exponencial de x y se denota por Ei( -X) Y por tanto la
ecuacion (348) tam bien se puede escribir como
155 )
p = Pi-~~E (-X ) (349) 1 2rr kh 2 I
EI valor de la funcion Ej(-X) es grande para valores pequenos de X y pequeno para valores grandes de x Cuando Xgt 10 se toma para E(-x) un valor de cero Tambien se ha encontrado que para valores de x lt 001 Ej(-X) se puede aproximar a
1 Ej(-X) =-In x - 05772 = Lnshy (3 50)
rX
donde 05772 la con stante de Euler y y es el exponencial de dicha con stante 0 sea
OS772 y -- e =1781
Cuando 001 lt X lt 10 el valor de Ej(-X) se puede obtener as bull
bull A partir de Integracion Gratica bull Usando Tablas 0 Graticos de E(-X) vs X bull Calculando Ej( -X) de la siguiente serie
x2
r ( ) XE(-X) =-[05772 + In x-x +-- - --+ - I -- - - - ] (3 51 ) 2 2 3 3 n n
Llevando la ecuacion (3 50) a la (349) se tiene
1 1 qf1 - In-PJ = PI - 27r kh 2 fX
= Pi qf1 ~In~ (3 52)2rr k h 2 r centf1 Cr 2
La solucion de la linea fuente y su aproximacion logaritmica es importante porque generalmente las mediciones de presion se hacen en el pozo 0 sea que la expresion para X en el pozo seria
_ centf1 Cr 2 x - It middot
4 k t
y esta ultima expresi6n al ser r~ un valor pequeno es muy probable que cumpla con x lt 001 aun para
tiempos cortos La expresi6n (352) aplicada en el pozo toma la forma
P = _ ~ [I n IP qf1 kl4 (3 53) i 2rr k h 2 r centf1Cr )I
Cuando la medici6n no se hace en el pozo sino por ejemplo en un pozo de observaci6n como es el caso de una prueba de pulsaci6n el valor de res grande y por tanto x es muy probable que sea mayor
156
de 001 Y en este caso la presion se debe calcular de la ecuacion (349) y la funcion Ej(-X) se debe obtener por alguno de los metodos planteados para cuando 001lt X lt 10 Sin embargo si el valor de X esta fuera del intervalo anterior en un tiempo dado el valor de la integral exponencial se puede calcular aplicando las aproximaciones planteadas
Finalmente se debe recordar que la ecuacion (349) es aplicable cuando se cum pie la condicion de ___~V I
linea fuente y esta condicion se cum pie cuando to gt100 0 sea que de acuerdo con la definicion de to ( I
se podra aplicar para valores de
(3 54)
Recordando la definicion de variables adimensionales la ecuacion (349) se puede escribir como
( - r 1 P -P =~r~x=~- E (-X )
I I 11 4IT kh x 2IT kh 2 I
y por 10 tanto
( (3 55)
Cuando se esta en el pozo y se puede aplicar la aproximacion logaritmica la ecuacion (3 53) se puede escribir de la siguiente manera
p -p =~(In 4kl J qf1- ~Ln 4kl I w 4IT kh r centf1- Cr 2IT k h 2 r centf1-Cr
que es equivalente a
(3 56)
Las ecuaciones (355) y (3 56) son las soluciones de la ecuacion de difusividad para el periodo transiente caso tasa terminal constante y condicion de linea fuente para Prt Y Pwf respectivamente
Usando la ecuacion (3 55) y la definicion de presion adimensional se obtiene
P P -----q--f1-_ P (r I )= P - _q_f1-_ ~ E (-X) (3 57) I = 2IT kh ) ) ) 2IT kh 2 II I
y en unidades practicas
(3 58)
157
De igual manera usando la ecuacion (3 56) se tiene
P =P qJl P ( )=p -~2Ln 4 1 (3 59) I I 2Jrkh I 2Jrk h 2 rI
y cuando se tiene en cuenta el dano
P =P-~(P (I )+S)=P qJl (2 Ln 41 +S) (3 60) HI I 2Jrkh ) I 2Jrk h 2 rI
La ecuacion (359) da la Pwf ideal y la (3 60) la real
Las ecuaciones (3 59) y (3 60) en unidades practicas toman las formas siguientes
qJlB qJl B 1 411 2303 411Pi =~-1412 ----P) ( )=P -1412h 2Ln y =p -1412 - 2 - Logy (3 61)
qJlB qJlB 1 4t f) Phi =P-1412 h (PI (t n )+S)=P - 1412 Jh(2 Ln --y+S) (3 62)
y teniendo en cuenta la definicion de tD las ecuaciones (361) Y (3 62) aun se pueden transformar a
qJlB K PHi == P - 1626 (Log t +Log- 2 -323) (3 63)
kh centJlLrH
qJlB 1 41 K PHI =P -141 2 -- (-Ln~S)= P -1626(Logl+Log 323+087S) (364)1
kh 2 r centJlCrH~
A continuaci6n se muestra como se obtiene por ejemplo la ecuaci6n (363) a Partir de la (3 60)
1al J al PHI (lpea) = P (fpea) -- shy
147Ipc 1471pea
q( BD) (56 15 pies I Ibl) (3048 ems I pie )Jl(ep) -JQ ID 3048 86400
4 Jr k(md) - h(pes) ems 1000md Jpie
4k(md) (lD IOOOmd t(hrs) (3600s 1hrs) I 2303 log + 2 yen S1
147 Lpe)) ) em shy1781 cent Jl(ep) C(fpe) r (pies-) (3048) - )
1at p ieshy
158
f w( p (fpca ) 5615 (3048) qj1 147(1pca ) = 147 - 4 n 1j l003048 86400 kh
[1 4 Kt 2 s]3600 og y1000 147 3048 2 ltPlCr + 2303
= P _ 5615 (3048) (2303) 147[10 _ 4_ 3600 f 4 n304 8 100086400 g l781 1000 147(3048) 2 I
kl + _ 2_ s]J
centj1Cr~ 2303
PHI = P -1626 Qj1Bo [IOgl + log k 2 - 323 + 087S] I kh centj1Crw
Recordando que la ecuaci6n (359) 0 (3 60) (0 (3 61) - (3 62)) provienen de la soluci6n E(-X) es importante tener claro cuando se puede utilizar la aproximaci6n logaritmica En primer lugar esta se aplicara cuando se puede aplicar la soluci6n E(-X) Y ademas x 001 en segundo lugar hay que recordar que la soluci6n E(-X) en general se puede aplicar cuando se cumple
- Yacimiento infinito - Condici6n de linea fuente
La condici6n de linea fuente se puede aplicar cuando se cumpla que l ) 100 0 sea cuando se cumpla la ecuaci6n (3 54)
100 do C 2 do C 2t(hrsraquo yJj1 rw =379 105 yJj1 rw (3 54 )
26410 -4 k k
Un criterio para decir (0 considerar) que se esta en el periodo transiente a un tiempo t despues de iniciada la perturbaci6n 0 sea que el yacimiento se est a comportando como infinito se puede obtener de la siguiente forma
Segun Ramey - Cobb para un pozo situado en el centro de un area de drenaje de forma regular (circulo cuadrado hexagono) el periodo postransiente es muy corto y se puede suponer que hay un paso brusco del periodo transiente al seudoestable Si esto es cierto la funci6n P(tD) debe ser continua y se debe cumplir que en momenta en que ocurra el paso del periodo transiente al seudoestable la expresi6n para PD en el periodo transiente sea igual a su expresi6n para el seudoestable 0 sea que recordando las ecuaciones (3 39) y (356)
1 I 4t IJ 1 1 4A 2- n-- = - n + ITt2 2 CAr2 DA y Y w
159
I
[ 41 IJ J12 = ( 4~_i J2e 2ll1l
gt
r (CI I
2 r 4 Jtl oreC I I IJ A
C t e 4 JT1IA (3 65) 1 l1
Resolviendo la ecuacion (3 65) para tOA suponiendo un valor de 31 6 para CA se encuentra tOA 0 1
Tambien es posible tener un criterio para saber cuando termina el periodo transiente y empieza el seudoestable en un yacimiento circular con un pozo ubicado en el centro haciendo el siguiente razonamiento
Si no es correcto pensar que tan pronto termine el transiente em piece el seudoestable puede ser aceptable suponer que el paso de un periodo al otro puede estar caracterizado porque las dos soluciones en este punto sean similares puesto que el comportamiento de la presion es continuo 0
sea que el paso del periodo transiente al seudoestable se puede decir que se presenta cuando la diferencia de las soluciones de la ecuaci6n de difusividad en ambos periodos es minima Recordando que la solucion de la ecuacion de difusividad para los periodos transiente y seudoestable son las ecuaciones (3 56) y (3 39a) respectivamente el paso del primer periodo al segundo se da cuando
Ln r _ 3 +21[1 1)1J- 1 ( Lnl IJ + 0809) = M inimo ( r 4 2
La expresi6n anterior tam bien se puede presentar como
1 [ ] 21) 3 - lnl ) + 0809 - --2 - In rc) +-= D 2 r e ) 4
1 21)D = Ln I ) - -j + C
2 re i)
se requiere encontrar el valor de to que haga esta diferenica minima 0 sea que
c D 1 2 = =0 c I IJ 21) rl~)
2 2tD rer)
160
Cuando la presion del yacimiento ha caido de Pi a P del mismo ha salido un volumen ~V que de -1 acuerdo a la ecuacion de compresibilidad se puede expresar como
J I C A h 4gt (Pi - P) = ~V =q t (336)
sumando la ecuacion (336) a la ecuacion de flujo en condiciones seudoestables
p_p =~(~In 4A +s) 11 2Jrkh 2 r 2
f- A II
se obtiene
(337)
Si el acimiento es circular a la ecuacion (3 9) de la cual se obtuvo la (337) se Ie suma el termino
2Jr kl se obtiene
~f
q Jl ( r 3 2 Jr k I JP =P - Ln - --+ - - -shy + SMl I l
2 Jr k I r 4 cent Jl C A (3 37a)
Como la tasaPe produccion posiblemente no se pueda mantener constante durante un periodo de tiempo largo para aplicar la ecuacipn (337) se puede hacer 10 siguiente se toma como tasa de produccion constante la actual del pozo y el valor de t se toma como
Pr uduccion acumulada
Tasa de flujo actual
Cuando no se tiene en cuenta el dana d1~ormacion la ecuacion (337) queda como
p = P -~(~In 4A + 2JrKI) 11 I 2Jr kh 2 r C centJl CA
(338)
La ecuacion (3 38) se puede tomar como la solucion general aproximada de la ecuaci6n de difusividad para el periodo seudoestable y recordando la definicion de variables adimensionales (ecuaciones (249 y (253) - (255)) tambien se puede escribir como
( 1 4A 2Jr kl) (I 4A )P = - In +-shy = - In --shy + 2m =P
I 2 f r 2 At CA 2 f r 1 14 f) (-- II Y)Jl f-shy middot1 II
(3 39)
y de la misma forma la ecuacion (337a) quedaria
151
Po =[Ln r - ~ + 2n I ilA J (3 39a) r 4
donde tDA es el tiempo adimensional con base al area del yacimiento y esta definido por -1 _ kl 2 633 IO -~ kl(dias)
1gt - centJ1CA =1 Igt r~ =264 10-4 kl(hrs) (340) _ centJ1CA centJ1CA
)
33-S0LUCION DE LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD PARA EL PERioDO TRANSIENTE - CASO TASA TERMINAL CONSTANTE Y CONDICION DE liNEA FUENTE
La solucion de ~t~terminal constante que describe el comportamiento de la presion en el pozo debido a una tasa de produccion constante es la ecuacion basica usada en pruebas de pozos
- Con excepcion del periodo transiente (cuando el yacimiento se considera infinito) la solucion depende criticamente de las condiciones de frontera En la seccion anterior se presento una solucion aproximada de la ecuacion de difusividad para un yacimiento cerrado (volumetrico 0 sea con q = 0 en el limite exterior) para todas las configuraciones geometricas planteadas por Mathews - Bronze y Hazebroek y para cuando el comportamiento de la presion esta siendo afectado por el limite exterior del yacimiento 0 sea periodo seudoestable Las soluciones se expresan en forma adimensional para simplificar y generalizar las matematicas
Partiendo de la condicion de presion de equilibrio estatico Pwf =Pi a t = 0 la solucion de rata terminal constante de la ecuacion de difusividad describe como la presion de fonda fluyente Pwf varia como una funcion del tiempo despues de que se imponga un cambio en tasa de 0 a q
Graficamente seria 10 siguiente
q = constante q
Transiente xPwf
Post Transiente ~ -
Seudo-estable
152
La solucion es entonces un grafico de Pwf vs t y como se pude apreciar se presentan tres periodos dependiendo de la geometria del yacimiento 0 de la parte del mismo que esta siendo drenado y del tiempo de flujo
En el periodo transiente la perturbacion no ha lIegado al limite exterior del yacimiento y por tanto este se comporta como infinito
Despues del periodo transiente se empieza a sentir el efecto de la frontera y este periodo se conoce como postransiente En el caso de un pozo que produce de un area de drenage en la que no hay flujo en el limite exterior la forma de esta y la posicion del pozo en la misma con respecto a la frontera son basicos para encontrar la solucion de rata terminal constante apropiada en el periodo postransiente
Eventualmente se Ilegara a unas condiciones estabilizadas tales que el cambio de presion con el tiempo es constante Esto corresponde a las condiciones de flujo seudoestable
rDurante el periodo transiente se encontro que la solucion a la ecuacion de difusividad se podia aproximar a la solucion de la linea fuente 0 sea suponer que en comparacion con el yacimiento infinito el radio del pozo se puede considerar despreciable y el pozo como una linea esto simplifica considerablemente la solucion
La expresion para representar el periodo transiente es
P =Pi a r ~ 00 y v t (341 )
Y las condiciones iniciales y de limite son
Condicion Inicial
r(rO) =p r (3 2)
Condicion de limite Interior
o P qllLim r -- = -- t gt 0 (342)
(5 r 2nKh
r~O
La condicion de limite interior se conoce como condicion de linea fuente Para el limite exterior no es L shyposible establecer condicion pues para el periodo transiente este limite no existe ya que la J ftrJ
-I
perturbacion no ha iegado a el
Ademas se siguen haciendo las suposiciones hechas al desarrollar la ecuacion de difusividad
Yacimiento homogeneo e isotropico I
Completamiento total Viscosidad independiente de la presion Compresibilidad baja y con stante
Retomando la ecuacion de difusividad
~~[r 0P] = centf1CoP (2 29) r or or k a
153
Si se hace ahora la siguiente transformacion de variables conocida como transformada de Boltzman
centJlCr 2 r -7
X= = (343 ) 4kt 471
dr centJlCr r o X = _ centllCr 2
-=-- = -- y -- (344)a- 2kt 2 71 ot 4kt 2
y la ecuacion (2 29) se puede expresar en terminos de esta nueva variable como
)
1 0 [ _dP 0 x] 0 x _ centJl C dP 0 x - - 1 - - - - -- ---shy
r o x dx o r or k dx o t
y reemplazando las ecuaciones (343) y (344) se tiene
2~~[r dP centJlcr] centJlCr =centfLC dP ( centJlcr ]
r dx dx 2kt 2kl K dx 4kl 2 (
( ~[r 2centJlC dP] = -x dP dx 4kl dx dx
dd [ x ] = -x (345 ) x
dP X d 2 PdP + - - - =X
dX d X 2 dX
P dP y Ilamando = - se tiene
dx
P dP p+x - = - x dx
dP _ _ (X +U dX po - X
y luego de integracion se tiene
In p = - In x - x + C1
p = C e- 2 - (3 46)
X
154
La constante C2 se puede determinar aplicando la condicion de solucion de linea fuente
o sea que
_xCdP = _1_ ~ = qjJ -2 e dX 2X 2n kh 4n Kh X X
qjJ f _Y-- = J e y cuando r ~ 0 x tambiEm y por tanto 4nkh shy
C=~ (347) 2 4n kh
y lIevando la ecuacion (347) a la (346) se tiene
P =3L~ 4nkh X
y luego de integracion se tiene
donde los limites de la integral se plantearon de la siguiente manera
a un tiempo t = 0 P = Pi Y X ~ 00 y a un tiempo t P = Po Y x = x
Desarrollando la integral se tiene
p =Pi_~r e-x ( 348) rl 4n kh x
La ecuacion (348) es la solucion conocida como solucion de linea fuente y da la presion P rJ como una funcion de la posicion y del tiempo y se conoce tambien como solucion de la integral exponenciC1
La integral re~x dx se conoce como el integral exponencial de x y se denota por Ei( -X) Y por tanto la
ecuacion (348) tam bien se puede escribir como
155 )
p = Pi-~~E (-X ) (349) 1 2rr kh 2 I
EI valor de la funcion Ej(-X) es grande para valores pequenos de X y pequeno para valores grandes de x Cuando Xgt 10 se toma para E(-x) un valor de cero Tambien se ha encontrado que para valores de x lt 001 Ej(-X) se puede aproximar a
1 Ej(-X) =-In x - 05772 = Lnshy (3 50)
rX
donde 05772 la con stante de Euler y y es el exponencial de dicha con stante 0 sea
OS772 y -- e =1781
Cuando 001 lt X lt 10 el valor de Ej(-X) se puede obtener as bull
bull A partir de Integracion Gratica bull Usando Tablas 0 Graticos de E(-X) vs X bull Calculando Ej( -X) de la siguiente serie
x2
r ( ) XE(-X) =-[05772 + In x-x +-- - --+ - I -- - - - ] (3 51 ) 2 2 3 3 n n
Llevando la ecuacion (3 50) a la (349) se tiene
1 1 qf1 - In-PJ = PI - 27r kh 2 fX
= Pi qf1 ~In~ (3 52)2rr k h 2 r centf1 Cr 2
La solucion de la linea fuente y su aproximacion logaritmica es importante porque generalmente las mediciones de presion se hacen en el pozo 0 sea que la expresion para X en el pozo seria
_ centf1 Cr 2 x - It middot
4 k t
y esta ultima expresi6n al ser r~ un valor pequeno es muy probable que cumpla con x lt 001 aun para
tiempos cortos La expresi6n (352) aplicada en el pozo toma la forma
P = _ ~ [I n IP qf1 kl4 (3 53) i 2rr k h 2 r centf1Cr )I
Cuando la medici6n no se hace en el pozo sino por ejemplo en un pozo de observaci6n como es el caso de una prueba de pulsaci6n el valor de res grande y por tanto x es muy probable que sea mayor
156
de 001 Y en este caso la presion se debe calcular de la ecuacion (349) y la funcion Ej(-X) se debe obtener por alguno de los metodos planteados para cuando 001lt X lt 10 Sin embargo si el valor de X esta fuera del intervalo anterior en un tiempo dado el valor de la integral exponencial se puede calcular aplicando las aproximaciones planteadas
Finalmente se debe recordar que la ecuacion (349) es aplicable cuando se cum pie la condicion de ___~V I
linea fuente y esta condicion se cum pie cuando to gt100 0 sea que de acuerdo con la definicion de to ( I
se podra aplicar para valores de
(3 54)
Recordando la definicion de variables adimensionales la ecuacion (349) se puede escribir como
( - r 1 P -P =~r~x=~- E (-X )
I I 11 4IT kh x 2IT kh 2 I
y por 10 tanto
( (3 55)
Cuando se esta en el pozo y se puede aplicar la aproximacion logaritmica la ecuacion (3 53) se puede escribir de la siguiente manera
p -p =~(In 4kl J qf1- ~Ln 4kl I w 4IT kh r centf1- Cr 2IT k h 2 r centf1-Cr
que es equivalente a
(3 56)
Las ecuaciones (355) y (3 56) son las soluciones de la ecuacion de difusividad para el periodo transiente caso tasa terminal constante y condicion de linea fuente para Prt Y Pwf respectivamente
Usando la ecuacion (3 55) y la definicion de presion adimensional se obtiene
P P -----q--f1-_ P (r I )= P - _q_f1-_ ~ E (-X) (3 57) I = 2IT kh ) ) ) 2IT kh 2 II I
y en unidades practicas
(3 58)
157
De igual manera usando la ecuacion (3 56) se tiene
P =P qJl P ( )=p -~2Ln 4 1 (3 59) I I 2Jrkh I 2Jrk h 2 rI
y cuando se tiene en cuenta el dano
P =P-~(P (I )+S)=P qJl (2 Ln 41 +S) (3 60) HI I 2Jrkh ) I 2Jrk h 2 rI
La ecuacion (359) da la Pwf ideal y la (3 60) la real
Las ecuaciones (3 59) y (3 60) en unidades practicas toman las formas siguientes
qJlB qJl B 1 411 2303 411Pi =~-1412 ----P) ( )=P -1412h 2Ln y =p -1412 - 2 - Logy (3 61)
qJlB qJlB 1 4t f) Phi =P-1412 h (PI (t n )+S)=P - 1412 Jh(2 Ln --y+S) (3 62)
y teniendo en cuenta la definicion de tD las ecuaciones (361) Y (3 62) aun se pueden transformar a
qJlB K PHi == P - 1626 (Log t +Log- 2 -323) (3 63)
kh centJlLrH
qJlB 1 41 K PHI =P -141 2 -- (-Ln~S)= P -1626(Logl+Log 323+087S) (364)1
kh 2 r centJlCrH~
A continuaci6n se muestra como se obtiene por ejemplo la ecuaci6n (363) a Partir de la (3 60)
1al J al PHI (lpea) = P (fpea) -- shy
147Ipc 1471pea
q( BD) (56 15 pies I Ibl) (3048 ems I pie )Jl(ep) -JQ ID 3048 86400
4 Jr k(md) - h(pes) ems 1000md Jpie
4k(md) (lD IOOOmd t(hrs) (3600s 1hrs) I 2303 log + 2 yen S1
147 Lpe)) ) em shy1781 cent Jl(ep) C(fpe) r (pies-) (3048) - )
1at p ieshy
158
f w( p (fpca ) 5615 (3048) qj1 147(1pca ) = 147 - 4 n 1j l003048 86400 kh
[1 4 Kt 2 s]3600 og y1000 147 3048 2 ltPlCr + 2303
= P _ 5615 (3048) (2303) 147[10 _ 4_ 3600 f 4 n304 8 100086400 g l781 1000 147(3048) 2 I
kl + _ 2_ s]J
centj1Cr~ 2303
PHI = P -1626 Qj1Bo [IOgl + log k 2 - 323 + 087S] I kh centj1Crw
Recordando que la ecuaci6n (359) 0 (3 60) (0 (3 61) - (3 62)) provienen de la soluci6n E(-X) es importante tener claro cuando se puede utilizar la aproximaci6n logaritmica En primer lugar esta se aplicara cuando se puede aplicar la soluci6n E(-X) Y ademas x 001 en segundo lugar hay que recordar que la soluci6n E(-X) en general se puede aplicar cuando se cumple
- Yacimiento infinito - Condici6n de linea fuente
La condici6n de linea fuente se puede aplicar cuando se cumpla que l ) 100 0 sea cuando se cumpla la ecuaci6n (3 54)
100 do C 2 do C 2t(hrsraquo yJj1 rw =379 105 yJj1 rw (3 54 )
26410 -4 k k
Un criterio para decir (0 considerar) que se esta en el periodo transiente a un tiempo t despues de iniciada la perturbaci6n 0 sea que el yacimiento se est a comportando como infinito se puede obtener de la siguiente forma
Segun Ramey - Cobb para un pozo situado en el centro de un area de drenaje de forma regular (circulo cuadrado hexagono) el periodo postransiente es muy corto y se puede suponer que hay un paso brusco del periodo transiente al seudoestable Si esto es cierto la funci6n P(tD) debe ser continua y se debe cumplir que en momenta en que ocurra el paso del periodo transiente al seudoestable la expresi6n para PD en el periodo transiente sea igual a su expresi6n para el seudoestable 0 sea que recordando las ecuaciones (3 39) y (356)
1 I 4t IJ 1 1 4A 2- n-- = - n + ITt2 2 CAr2 DA y Y w
159
I
[ 41 IJ J12 = ( 4~_i J2e 2ll1l
gt
r (CI I
2 r 4 Jtl oreC I I IJ A
C t e 4 JT1IA (3 65) 1 l1
Resolviendo la ecuacion (3 65) para tOA suponiendo un valor de 31 6 para CA se encuentra tOA 0 1
Tambien es posible tener un criterio para saber cuando termina el periodo transiente y empieza el seudoestable en un yacimiento circular con un pozo ubicado en el centro haciendo el siguiente razonamiento
Si no es correcto pensar que tan pronto termine el transiente em piece el seudoestable puede ser aceptable suponer que el paso de un periodo al otro puede estar caracterizado porque las dos soluciones en este punto sean similares puesto que el comportamiento de la presion es continuo 0
sea que el paso del periodo transiente al seudoestable se puede decir que se presenta cuando la diferencia de las soluciones de la ecuaci6n de difusividad en ambos periodos es minima Recordando que la solucion de la ecuacion de difusividad para los periodos transiente y seudoestable son las ecuaciones (3 56) y (3 39a) respectivamente el paso del primer periodo al segundo se da cuando
Ln r _ 3 +21[1 1)1J- 1 ( Lnl IJ + 0809) = M inimo ( r 4 2
La expresi6n anterior tam bien se puede presentar como
1 [ ] 21) 3 - lnl ) + 0809 - --2 - In rc) +-= D 2 r e ) 4
1 21)D = Ln I ) - -j + C
2 re i)
se requiere encontrar el valor de to que haga esta diferenica minima 0 sea que
c D 1 2 = =0 c I IJ 21) rl~)
2 2tD rer)
160
Po =[Ln r - ~ + 2n I ilA J (3 39a) r 4
donde tDA es el tiempo adimensional con base al area del yacimiento y esta definido por -1 _ kl 2 633 IO -~ kl(dias)
1gt - centJ1CA =1 Igt r~ =264 10-4 kl(hrs) (340) _ centJ1CA centJ1CA
)
33-S0LUCION DE LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD PARA EL PERioDO TRANSIENTE - CASO TASA TERMINAL CONSTANTE Y CONDICION DE liNEA FUENTE
La solucion de ~t~terminal constante que describe el comportamiento de la presion en el pozo debido a una tasa de produccion constante es la ecuacion basica usada en pruebas de pozos
- Con excepcion del periodo transiente (cuando el yacimiento se considera infinito) la solucion depende criticamente de las condiciones de frontera En la seccion anterior se presento una solucion aproximada de la ecuacion de difusividad para un yacimiento cerrado (volumetrico 0 sea con q = 0 en el limite exterior) para todas las configuraciones geometricas planteadas por Mathews - Bronze y Hazebroek y para cuando el comportamiento de la presion esta siendo afectado por el limite exterior del yacimiento 0 sea periodo seudoestable Las soluciones se expresan en forma adimensional para simplificar y generalizar las matematicas
Partiendo de la condicion de presion de equilibrio estatico Pwf =Pi a t = 0 la solucion de rata terminal constante de la ecuacion de difusividad describe como la presion de fonda fluyente Pwf varia como una funcion del tiempo despues de que se imponga un cambio en tasa de 0 a q
Graficamente seria 10 siguiente
q = constante q
Transiente xPwf
Post Transiente ~ -
Seudo-estable
152
La solucion es entonces un grafico de Pwf vs t y como se pude apreciar se presentan tres periodos dependiendo de la geometria del yacimiento 0 de la parte del mismo que esta siendo drenado y del tiempo de flujo
En el periodo transiente la perturbacion no ha lIegado al limite exterior del yacimiento y por tanto este se comporta como infinito
Despues del periodo transiente se empieza a sentir el efecto de la frontera y este periodo se conoce como postransiente En el caso de un pozo que produce de un area de drenage en la que no hay flujo en el limite exterior la forma de esta y la posicion del pozo en la misma con respecto a la frontera son basicos para encontrar la solucion de rata terminal constante apropiada en el periodo postransiente
Eventualmente se Ilegara a unas condiciones estabilizadas tales que el cambio de presion con el tiempo es constante Esto corresponde a las condiciones de flujo seudoestable
rDurante el periodo transiente se encontro que la solucion a la ecuacion de difusividad se podia aproximar a la solucion de la linea fuente 0 sea suponer que en comparacion con el yacimiento infinito el radio del pozo se puede considerar despreciable y el pozo como una linea esto simplifica considerablemente la solucion
La expresion para representar el periodo transiente es
P =Pi a r ~ 00 y v t (341 )
Y las condiciones iniciales y de limite son
Condicion Inicial
r(rO) =p r (3 2)
Condicion de limite Interior
o P qllLim r -- = -- t gt 0 (342)
(5 r 2nKh
r~O
La condicion de limite interior se conoce como condicion de linea fuente Para el limite exterior no es L shyposible establecer condicion pues para el periodo transiente este limite no existe ya que la J ftrJ
-I
perturbacion no ha iegado a el
Ademas se siguen haciendo las suposiciones hechas al desarrollar la ecuacion de difusividad
Yacimiento homogeneo e isotropico I
Completamiento total Viscosidad independiente de la presion Compresibilidad baja y con stante
Retomando la ecuacion de difusividad
~~[r 0P] = centf1CoP (2 29) r or or k a
153
Si se hace ahora la siguiente transformacion de variables conocida como transformada de Boltzman
centJlCr 2 r -7
X= = (343 ) 4kt 471
dr centJlCr r o X = _ centllCr 2
-=-- = -- y -- (344)a- 2kt 2 71 ot 4kt 2
y la ecuacion (2 29) se puede expresar en terminos de esta nueva variable como
)
1 0 [ _dP 0 x] 0 x _ centJl C dP 0 x - - 1 - - - - -- ---shy
r o x dx o r or k dx o t
y reemplazando las ecuaciones (343) y (344) se tiene
2~~[r dP centJlcr] centJlCr =centfLC dP ( centJlcr ]
r dx dx 2kt 2kl K dx 4kl 2 (
( ~[r 2centJlC dP] = -x dP dx 4kl dx dx
dd [ x ] = -x (345 ) x
dP X d 2 PdP + - - - =X
dX d X 2 dX
P dP y Ilamando = - se tiene
dx
P dP p+x - = - x dx
dP _ _ (X +U dX po - X
y luego de integracion se tiene
In p = - In x - x + C1
p = C e- 2 - (3 46)
X
154
La constante C2 se puede determinar aplicando la condicion de solucion de linea fuente
o sea que
_xCdP = _1_ ~ = qjJ -2 e dX 2X 2n kh 4n Kh X X
qjJ f _Y-- = J e y cuando r ~ 0 x tambiEm y por tanto 4nkh shy
C=~ (347) 2 4n kh
y lIevando la ecuacion (347) a la (346) se tiene
P =3L~ 4nkh X
y luego de integracion se tiene
donde los limites de la integral se plantearon de la siguiente manera
a un tiempo t = 0 P = Pi Y X ~ 00 y a un tiempo t P = Po Y x = x
Desarrollando la integral se tiene
p =Pi_~r e-x ( 348) rl 4n kh x
La ecuacion (348) es la solucion conocida como solucion de linea fuente y da la presion P rJ como una funcion de la posicion y del tiempo y se conoce tambien como solucion de la integral exponenciC1
La integral re~x dx se conoce como el integral exponencial de x y se denota por Ei( -X) Y por tanto la
ecuacion (348) tam bien se puede escribir como
155 )
p = Pi-~~E (-X ) (349) 1 2rr kh 2 I
EI valor de la funcion Ej(-X) es grande para valores pequenos de X y pequeno para valores grandes de x Cuando Xgt 10 se toma para E(-x) un valor de cero Tambien se ha encontrado que para valores de x lt 001 Ej(-X) se puede aproximar a
1 Ej(-X) =-In x - 05772 = Lnshy (3 50)
rX
donde 05772 la con stante de Euler y y es el exponencial de dicha con stante 0 sea
OS772 y -- e =1781
Cuando 001 lt X lt 10 el valor de Ej(-X) se puede obtener as bull
bull A partir de Integracion Gratica bull Usando Tablas 0 Graticos de E(-X) vs X bull Calculando Ej( -X) de la siguiente serie
x2
r ( ) XE(-X) =-[05772 + In x-x +-- - --+ - I -- - - - ] (3 51 ) 2 2 3 3 n n
Llevando la ecuacion (3 50) a la (349) se tiene
1 1 qf1 - In-PJ = PI - 27r kh 2 fX
= Pi qf1 ~In~ (3 52)2rr k h 2 r centf1 Cr 2
La solucion de la linea fuente y su aproximacion logaritmica es importante porque generalmente las mediciones de presion se hacen en el pozo 0 sea que la expresion para X en el pozo seria
_ centf1 Cr 2 x - It middot
4 k t
y esta ultima expresi6n al ser r~ un valor pequeno es muy probable que cumpla con x lt 001 aun para
tiempos cortos La expresi6n (352) aplicada en el pozo toma la forma
P = _ ~ [I n IP qf1 kl4 (3 53) i 2rr k h 2 r centf1Cr )I
Cuando la medici6n no se hace en el pozo sino por ejemplo en un pozo de observaci6n como es el caso de una prueba de pulsaci6n el valor de res grande y por tanto x es muy probable que sea mayor
156
de 001 Y en este caso la presion se debe calcular de la ecuacion (349) y la funcion Ej(-X) se debe obtener por alguno de los metodos planteados para cuando 001lt X lt 10 Sin embargo si el valor de X esta fuera del intervalo anterior en un tiempo dado el valor de la integral exponencial se puede calcular aplicando las aproximaciones planteadas
Finalmente se debe recordar que la ecuacion (349) es aplicable cuando se cum pie la condicion de ___~V I
linea fuente y esta condicion se cum pie cuando to gt100 0 sea que de acuerdo con la definicion de to ( I
se podra aplicar para valores de
(3 54)
Recordando la definicion de variables adimensionales la ecuacion (349) se puede escribir como
( - r 1 P -P =~r~x=~- E (-X )
I I 11 4IT kh x 2IT kh 2 I
y por 10 tanto
( (3 55)
Cuando se esta en el pozo y se puede aplicar la aproximacion logaritmica la ecuacion (3 53) se puede escribir de la siguiente manera
p -p =~(In 4kl J qf1- ~Ln 4kl I w 4IT kh r centf1- Cr 2IT k h 2 r centf1-Cr
que es equivalente a
(3 56)
Las ecuaciones (355) y (3 56) son las soluciones de la ecuacion de difusividad para el periodo transiente caso tasa terminal constante y condicion de linea fuente para Prt Y Pwf respectivamente
Usando la ecuacion (3 55) y la definicion de presion adimensional se obtiene
P P -----q--f1-_ P (r I )= P - _q_f1-_ ~ E (-X) (3 57) I = 2IT kh ) ) ) 2IT kh 2 II I
y en unidades practicas
(3 58)
157
De igual manera usando la ecuacion (3 56) se tiene
P =P qJl P ( )=p -~2Ln 4 1 (3 59) I I 2Jrkh I 2Jrk h 2 rI
y cuando se tiene en cuenta el dano
P =P-~(P (I )+S)=P qJl (2 Ln 41 +S) (3 60) HI I 2Jrkh ) I 2Jrk h 2 rI
La ecuacion (359) da la Pwf ideal y la (3 60) la real
Las ecuaciones (3 59) y (3 60) en unidades practicas toman las formas siguientes
qJlB qJl B 1 411 2303 411Pi =~-1412 ----P) ( )=P -1412h 2Ln y =p -1412 - 2 - Logy (3 61)
qJlB qJlB 1 4t f) Phi =P-1412 h (PI (t n )+S)=P - 1412 Jh(2 Ln --y+S) (3 62)
y teniendo en cuenta la definicion de tD las ecuaciones (361) Y (3 62) aun se pueden transformar a
qJlB K PHi == P - 1626 (Log t +Log- 2 -323) (3 63)
kh centJlLrH
qJlB 1 41 K PHI =P -141 2 -- (-Ln~S)= P -1626(Logl+Log 323+087S) (364)1
kh 2 r centJlCrH~
A continuaci6n se muestra como se obtiene por ejemplo la ecuaci6n (363) a Partir de la (3 60)
1al J al PHI (lpea) = P (fpea) -- shy
147Ipc 1471pea
q( BD) (56 15 pies I Ibl) (3048 ems I pie )Jl(ep) -JQ ID 3048 86400
4 Jr k(md) - h(pes) ems 1000md Jpie
4k(md) (lD IOOOmd t(hrs) (3600s 1hrs) I 2303 log + 2 yen S1
147 Lpe)) ) em shy1781 cent Jl(ep) C(fpe) r (pies-) (3048) - )
1at p ieshy
158
f w( p (fpca ) 5615 (3048) qj1 147(1pca ) = 147 - 4 n 1j l003048 86400 kh
[1 4 Kt 2 s]3600 og y1000 147 3048 2 ltPlCr + 2303
= P _ 5615 (3048) (2303) 147[10 _ 4_ 3600 f 4 n304 8 100086400 g l781 1000 147(3048) 2 I
kl + _ 2_ s]J
centj1Cr~ 2303
PHI = P -1626 Qj1Bo [IOgl + log k 2 - 323 + 087S] I kh centj1Crw
Recordando que la ecuaci6n (359) 0 (3 60) (0 (3 61) - (3 62)) provienen de la soluci6n E(-X) es importante tener claro cuando se puede utilizar la aproximaci6n logaritmica En primer lugar esta se aplicara cuando se puede aplicar la soluci6n E(-X) Y ademas x 001 en segundo lugar hay que recordar que la soluci6n E(-X) en general se puede aplicar cuando se cumple
- Yacimiento infinito - Condici6n de linea fuente
La condici6n de linea fuente se puede aplicar cuando se cumpla que l ) 100 0 sea cuando se cumpla la ecuaci6n (3 54)
100 do C 2 do C 2t(hrsraquo yJj1 rw =379 105 yJj1 rw (3 54 )
26410 -4 k k
Un criterio para decir (0 considerar) que se esta en el periodo transiente a un tiempo t despues de iniciada la perturbaci6n 0 sea que el yacimiento se est a comportando como infinito se puede obtener de la siguiente forma
Segun Ramey - Cobb para un pozo situado en el centro de un area de drenaje de forma regular (circulo cuadrado hexagono) el periodo postransiente es muy corto y se puede suponer que hay un paso brusco del periodo transiente al seudoestable Si esto es cierto la funci6n P(tD) debe ser continua y se debe cumplir que en momenta en que ocurra el paso del periodo transiente al seudoestable la expresi6n para PD en el periodo transiente sea igual a su expresi6n para el seudoestable 0 sea que recordando las ecuaciones (3 39) y (356)
1 I 4t IJ 1 1 4A 2- n-- = - n + ITt2 2 CAr2 DA y Y w
159
I
[ 41 IJ J12 = ( 4~_i J2e 2ll1l
gt
r (CI I
2 r 4 Jtl oreC I I IJ A
C t e 4 JT1IA (3 65) 1 l1
Resolviendo la ecuacion (3 65) para tOA suponiendo un valor de 31 6 para CA se encuentra tOA 0 1
Tambien es posible tener un criterio para saber cuando termina el periodo transiente y empieza el seudoestable en un yacimiento circular con un pozo ubicado en el centro haciendo el siguiente razonamiento
Si no es correcto pensar que tan pronto termine el transiente em piece el seudoestable puede ser aceptable suponer que el paso de un periodo al otro puede estar caracterizado porque las dos soluciones en este punto sean similares puesto que el comportamiento de la presion es continuo 0
sea que el paso del periodo transiente al seudoestable se puede decir que se presenta cuando la diferencia de las soluciones de la ecuaci6n de difusividad en ambos periodos es minima Recordando que la solucion de la ecuacion de difusividad para los periodos transiente y seudoestable son las ecuaciones (3 56) y (3 39a) respectivamente el paso del primer periodo al segundo se da cuando
Ln r _ 3 +21[1 1)1J- 1 ( Lnl IJ + 0809) = M inimo ( r 4 2
La expresi6n anterior tam bien se puede presentar como
1 [ ] 21) 3 - lnl ) + 0809 - --2 - In rc) +-= D 2 r e ) 4
1 21)D = Ln I ) - -j + C
2 re i)
se requiere encontrar el valor de to que haga esta diferenica minima 0 sea que
c D 1 2 = =0 c I IJ 21) rl~)
2 2tD rer)
160
La solucion es entonces un grafico de Pwf vs t y como se pude apreciar se presentan tres periodos dependiendo de la geometria del yacimiento 0 de la parte del mismo que esta siendo drenado y del tiempo de flujo
En el periodo transiente la perturbacion no ha lIegado al limite exterior del yacimiento y por tanto este se comporta como infinito
Despues del periodo transiente se empieza a sentir el efecto de la frontera y este periodo se conoce como postransiente En el caso de un pozo que produce de un area de drenage en la que no hay flujo en el limite exterior la forma de esta y la posicion del pozo en la misma con respecto a la frontera son basicos para encontrar la solucion de rata terminal constante apropiada en el periodo postransiente
Eventualmente se Ilegara a unas condiciones estabilizadas tales que el cambio de presion con el tiempo es constante Esto corresponde a las condiciones de flujo seudoestable
rDurante el periodo transiente se encontro que la solucion a la ecuacion de difusividad se podia aproximar a la solucion de la linea fuente 0 sea suponer que en comparacion con el yacimiento infinito el radio del pozo se puede considerar despreciable y el pozo como una linea esto simplifica considerablemente la solucion
La expresion para representar el periodo transiente es
P =Pi a r ~ 00 y v t (341 )
Y las condiciones iniciales y de limite son
Condicion Inicial
r(rO) =p r (3 2)
Condicion de limite Interior
o P qllLim r -- = -- t gt 0 (342)
(5 r 2nKh
r~O
La condicion de limite interior se conoce como condicion de linea fuente Para el limite exterior no es L shyposible establecer condicion pues para el periodo transiente este limite no existe ya que la J ftrJ
-I
perturbacion no ha iegado a el
Ademas se siguen haciendo las suposiciones hechas al desarrollar la ecuacion de difusividad
Yacimiento homogeneo e isotropico I
Completamiento total Viscosidad independiente de la presion Compresibilidad baja y con stante
Retomando la ecuacion de difusividad
~~[r 0P] = centf1CoP (2 29) r or or k a
153
Si se hace ahora la siguiente transformacion de variables conocida como transformada de Boltzman
centJlCr 2 r -7
X= = (343 ) 4kt 471
dr centJlCr r o X = _ centllCr 2
-=-- = -- y -- (344)a- 2kt 2 71 ot 4kt 2
y la ecuacion (2 29) se puede expresar en terminos de esta nueva variable como
)
1 0 [ _dP 0 x] 0 x _ centJl C dP 0 x - - 1 - - - - -- ---shy
r o x dx o r or k dx o t
y reemplazando las ecuaciones (343) y (344) se tiene
2~~[r dP centJlcr] centJlCr =centfLC dP ( centJlcr ]
r dx dx 2kt 2kl K dx 4kl 2 (
( ~[r 2centJlC dP] = -x dP dx 4kl dx dx
dd [ x ] = -x (345 ) x
dP X d 2 PdP + - - - =X
dX d X 2 dX
P dP y Ilamando = - se tiene
dx
P dP p+x - = - x dx
dP _ _ (X +U dX po - X
y luego de integracion se tiene
In p = - In x - x + C1
p = C e- 2 - (3 46)
X
154
La constante C2 se puede determinar aplicando la condicion de solucion de linea fuente
o sea que
_xCdP = _1_ ~ = qjJ -2 e dX 2X 2n kh 4n Kh X X
qjJ f _Y-- = J e y cuando r ~ 0 x tambiEm y por tanto 4nkh shy
C=~ (347) 2 4n kh
y lIevando la ecuacion (347) a la (346) se tiene
P =3L~ 4nkh X
y luego de integracion se tiene
donde los limites de la integral se plantearon de la siguiente manera
a un tiempo t = 0 P = Pi Y X ~ 00 y a un tiempo t P = Po Y x = x
Desarrollando la integral se tiene
p =Pi_~r e-x ( 348) rl 4n kh x
La ecuacion (348) es la solucion conocida como solucion de linea fuente y da la presion P rJ como una funcion de la posicion y del tiempo y se conoce tambien como solucion de la integral exponenciC1
La integral re~x dx se conoce como el integral exponencial de x y se denota por Ei( -X) Y por tanto la
ecuacion (348) tam bien se puede escribir como
155 )
p = Pi-~~E (-X ) (349) 1 2rr kh 2 I
EI valor de la funcion Ej(-X) es grande para valores pequenos de X y pequeno para valores grandes de x Cuando Xgt 10 se toma para E(-x) un valor de cero Tambien se ha encontrado que para valores de x lt 001 Ej(-X) se puede aproximar a
1 Ej(-X) =-In x - 05772 = Lnshy (3 50)
rX
donde 05772 la con stante de Euler y y es el exponencial de dicha con stante 0 sea
OS772 y -- e =1781
Cuando 001 lt X lt 10 el valor de Ej(-X) se puede obtener as bull
bull A partir de Integracion Gratica bull Usando Tablas 0 Graticos de E(-X) vs X bull Calculando Ej( -X) de la siguiente serie
x2
r ( ) XE(-X) =-[05772 + In x-x +-- - --+ - I -- - - - ] (3 51 ) 2 2 3 3 n n
Llevando la ecuacion (3 50) a la (349) se tiene
1 1 qf1 - In-PJ = PI - 27r kh 2 fX
= Pi qf1 ~In~ (3 52)2rr k h 2 r centf1 Cr 2
La solucion de la linea fuente y su aproximacion logaritmica es importante porque generalmente las mediciones de presion se hacen en el pozo 0 sea que la expresion para X en el pozo seria
_ centf1 Cr 2 x - It middot
4 k t
y esta ultima expresi6n al ser r~ un valor pequeno es muy probable que cumpla con x lt 001 aun para
tiempos cortos La expresi6n (352) aplicada en el pozo toma la forma
P = _ ~ [I n IP qf1 kl4 (3 53) i 2rr k h 2 r centf1Cr )I
Cuando la medici6n no se hace en el pozo sino por ejemplo en un pozo de observaci6n como es el caso de una prueba de pulsaci6n el valor de res grande y por tanto x es muy probable que sea mayor
156
de 001 Y en este caso la presion se debe calcular de la ecuacion (349) y la funcion Ej(-X) se debe obtener por alguno de los metodos planteados para cuando 001lt X lt 10 Sin embargo si el valor de X esta fuera del intervalo anterior en un tiempo dado el valor de la integral exponencial se puede calcular aplicando las aproximaciones planteadas
Finalmente se debe recordar que la ecuacion (349) es aplicable cuando se cum pie la condicion de ___~V I
linea fuente y esta condicion se cum pie cuando to gt100 0 sea que de acuerdo con la definicion de to ( I
se podra aplicar para valores de
(3 54)
Recordando la definicion de variables adimensionales la ecuacion (349) se puede escribir como
( - r 1 P -P =~r~x=~- E (-X )
I I 11 4IT kh x 2IT kh 2 I
y por 10 tanto
( (3 55)
Cuando se esta en el pozo y se puede aplicar la aproximacion logaritmica la ecuacion (3 53) se puede escribir de la siguiente manera
p -p =~(In 4kl J qf1- ~Ln 4kl I w 4IT kh r centf1- Cr 2IT k h 2 r centf1-Cr
que es equivalente a
(3 56)
Las ecuaciones (355) y (3 56) son las soluciones de la ecuacion de difusividad para el periodo transiente caso tasa terminal constante y condicion de linea fuente para Prt Y Pwf respectivamente
Usando la ecuacion (3 55) y la definicion de presion adimensional se obtiene
P P -----q--f1-_ P (r I )= P - _q_f1-_ ~ E (-X) (3 57) I = 2IT kh ) ) ) 2IT kh 2 II I
y en unidades practicas
(3 58)
157
De igual manera usando la ecuacion (3 56) se tiene
P =P qJl P ( )=p -~2Ln 4 1 (3 59) I I 2Jrkh I 2Jrk h 2 rI
y cuando se tiene en cuenta el dano
P =P-~(P (I )+S)=P qJl (2 Ln 41 +S) (3 60) HI I 2Jrkh ) I 2Jrk h 2 rI
La ecuacion (359) da la Pwf ideal y la (3 60) la real
Las ecuaciones (3 59) y (3 60) en unidades practicas toman las formas siguientes
qJlB qJl B 1 411 2303 411Pi =~-1412 ----P) ( )=P -1412h 2Ln y =p -1412 - 2 - Logy (3 61)
qJlB qJlB 1 4t f) Phi =P-1412 h (PI (t n )+S)=P - 1412 Jh(2 Ln --y+S) (3 62)
y teniendo en cuenta la definicion de tD las ecuaciones (361) Y (3 62) aun se pueden transformar a
qJlB K PHi == P - 1626 (Log t +Log- 2 -323) (3 63)
kh centJlLrH
qJlB 1 41 K PHI =P -141 2 -- (-Ln~S)= P -1626(Logl+Log 323+087S) (364)1
kh 2 r centJlCrH~
A continuaci6n se muestra como se obtiene por ejemplo la ecuaci6n (363) a Partir de la (3 60)
1al J al PHI (lpea) = P (fpea) -- shy
147Ipc 1471pea
q( BD) (56 15 pies I Ibl) (3048 ems I pie )Jl(ep) -JQ ID 3048 86400
4 Jr k(md) - h(pes) ems 1000md Jpie
4k(md) (lD IOOOmd t(hrs) (3600s 1hrs) I 2303 log + 2 yen S1
147 Lpe)) ) em shy1781 cent Jl(ep) C(fpe) r (pies-) (3048) - )
1at p ieshy
158
f w( p (fpca ) 5615 (3048) qj1 147(1pca ) = 147 - 4 n 1j l003048 86400 kh
[1 4 Kt 2 s]3600 og y1000 147 3048 2 ltPlCr + 2303
= P _ 5615 (3048) (2303) 147[10 _ 4_ 3600 f 4 n304 8 100086400 g l781 1000 147(3048) 2 I
kl + _ 2_ s]J
centj1Cr~ 2303
PHI = P -1626 Qj1Bo [IOgl + log k 2 - 323 + 087S] I kh centj1Crw
Recordando que la ecuaci6n (359) 0 (3 60) (0 (3 61) - (3 62)) provienen de la soluci6n E(-X) es importante tener claro cuando se puede utilizar la aproximaci6n logaritmica En primer lugar esta se aplicara cuando se puede aplicar la soluci6n E(-X) Y ademas x 001 en segundo lugar hay que recordar que la soluci6n E(-X) en general se puede aplicar cuando se cumple
- Yacimiento infinito - Condici6n de linea fuente
La condici6n de linea fuente se puede aplicar cuando se cumpla que l ) 100 0 sea cuando se cumpla la ecuaci6n (3 54)
100 do C 2 do C 2t(hrsraquo yJj1 rw =379 105 yJj1 rw (3 54 )
26410 -4 k k
Un criterio para decir (0 considerar) que se esta en el periodo transiente a un tiempo t despues de iniciada la perturbaci6n 0 sea que el yacimiento se est a comportando como infinito se puede obtener de la siguiente forma
Segun Ramey - Cobb para un pozo situado en el centro de un area de drenaje de forma regular (circulo cuadrado hexagono) el periodo postransiente es muy corto y se puede suponer que hay un paso brusco del periodo transiente al seudoestable Si esto es cierto la funci6n P(tD) debe ser continua y se debe cumplir que en momenta en que ocurra el paso del periodo transiente al seudoestable la expresi6n para PD en el periodo transiente sea igual a su expresi6n para el seudoestable 0 sea que recordando las ecuaciones (3 39) y (356)
1 I 4t IJ 1 1 4A 2- n-- = - n + ITt2 2 CAr2 DA y Y w
159
I
[ 41 IJ J12 = ( 4~_i J2e 2ll1l
gt
r (CI I
2 r 4 Jtl oreC I I IJ A
C t e 4 JT1IA (3 65) 1 l1
Resolviendo la ecuacion (3 65) para tOA suponiendo un valor de 31 6 para CA se encuentra tOA 0 1
Tambien es posible tener un criterio para saber cuando termina el periodo transiente y empieza el seudoestable en un yacimiento circular con un pozo ubicado en el centro haciendo el siguiente razonamiento
Si no es correcto pensar que tan pronto termine el transiente em piece el seudoestable puede ser aceptable suponer que el paso de un periodo al otro puede estar caracterizado porque las dos soluciones en este punto sean similares puesto que el comportamiento de la presion es continuo 0
sea que el paso del periodo transiente al seudoestable se puede decir que se presenta cuando la diferencia de las soluciones de la ecuaci6n de difusividad en ambos periodos es minima Recordando que la solucion de la ecuacion de difusividad para los periodos transiente y seudoestable son las ecuaciones (3 56) y (3 39a) respectivamente el paso del primer periodo al segundo se da cuando
Ln r _ 3 +21[1 1)1J- 1 ( Lnl IJ + 0809) = M inimo ( r 4 2
La expresi6n anterior tam bien se puede presentar como
1 [ ] 21) 3 - lnl ) + 0809 - --2 - In rc) +-= D 2 r e ) 4
1 21)D = Ln I ) - -j + C
2 re i)
se requiere encontrar el valor de to que haga esta diferenica minima 0 sea que
c D 1 2 = =0 c I IJ 21) rl~)
2 2tD rer)
160
Si se hace ahora la siguiente transformacion de variables conocida como transformada de Boltzman
centJlCr 2 r -7
X= = (343 ) 4kt 471
dr centJlCr r o X = _ centllCr 2
-=-- = -- y -- (344)a- 2kt 2 71 ot 4kt 2
y la ecuacion (2 29) se puede expresar en terminos de esta nueva variable como
)
1 0 [ _dP 0 x] 0 x _ centJl C dP 0 x - - 1 - - - - -- ---shy
r o x dx o r or k dx o t
y reemplazando las ecuaciones (343) y (344) se tiene
2~~[r dP centJlcr] centJlCr =centfLC dP ( centJlcr ]
r dx dx 2kt 2kl K dx 4kl 2 (
( ~[r 2centJlC dP] = -x dP dx 4kl dx dx
dd [ x ] = -x (345 ) x
dP X d 2 PdP + - - - =X
dX d X 2 dX
P dP y Ilamando = - se tiene
dx
P dP p+x - = - x dx
dP _ _ (X +U dX po - X
y luego de integracion se tiene
In p = - In x - x + C1
p = C e- 2 - (3 46)
X
154
La constante C2 se puede determinar aplicando la condicion de solucion de linea fuente
o sea que
_xCdP = _1_ ~ = qjJ -2 e dX 2X 2n kh 4n Kh X X
qjJ f _Y-- = J e y cuando r ~ 0 x tambiEm y por tanto 4nkh shy
C=~ (347) 2 4n kh
y lIevando la ecuacion (347) a la (346) se tiene
P =3L~ 4nkh X
y luego de integracion se tiene
donde los limites de la integral se plantearon de la siguiente manera
a un tiempo t = 0 P = Pi Y X ~ 00 y a un tiempo t P = Po Y x = x
Desarrollando la integral se tiene
p =Pi_~r e-x ( 348) rl 4n kh x
La ecuacion (348) es la solucion conocida como solucion de linea fuente y da la presion P rJ como una funcion de la posicion y del tiempo y se conoce tambien como solucion de la integral exponenciC1
La integral re~x dx se conoce como el integral exponencial de x y se denota por Ei( -X) Y por tanto la
ecuacion (348) tam bien se puede escribir como
155 )
p = Pi-~~E (-X ) (349) 1 2rr kh 2 I
EI valor de la funcion Ej(-X) es grande para valores pequenos de X y pequeno para valores grandes de x Cuando Xgt 10 se toma para E(-x) un valor de cero Tambien se ha encontrado que para valores de x lt 001 Ej(-X) se puede aproximar a
1 Ej(-X) =-In x - 05772 = Lnshy (3 50)
rX
donde 05772 la con stante de Euler y y es el exponencial de dicha con stante 0 sea
OS772 y -- e =1781
Cuando 001 lt X lt 10 el valor de Ej(-X) se puede obtener as bull
bull A partir de Integracion Gratica bull Usando Tablas 0 Graticos de E(-X) vs X bull Calculando Ej( -X) de la siguiente serie
x2
r ( ) XE(-X) =-[05772 + In x-x +-- - --+ - I -- - - - ] (3 51 ) 2 2 3 3 n n
Llevando la ecuacion (3 50) a la (349) se tiene
1 1 qf1 - In-PJ = PI - 27r kh 2 fX
= Pi qf1 ~In~ (3 52)2rr k h 2 r centf1 Cr 2
La solucion de la linea fuente y su aproximacion logaritmica es importante porque generalmente las mediciones de presion se hacen en el pozo 0 sea que la expresion para X en el pozo seria
_ centf1 Cr 2 x - It middot
4 k t
y esta ultima expresi6n al ser r~ un valor pequeno es muy probable que cumpla con x lt 001 aun para
tiempos cortos La expresi6n (352) aplicada en el pozo toma la forma
P = _ ~ [I n IP qf1 kl4 (3 53) i 2rr k h 2 r centf1Cr )I
Cuando la medici6n no se hace en el pozo sino por ejemplo en un pozo de observaci6n como es el caso de una prueba de pulsaci6n el valor de res grande y por tanto x es muy probable que sea mayor
156
de 001 Y en este caso la presion se debe calcular de la ecuacion (349) y la funcion Ej(-X) se debe obtener por alguno de los metodos planteados para cuando 001lt X lt 10 Sin embargo si el valor de X esta fuera del intervalo anterior en un tiempo dado el valor de la integral exponencial se puede calcular aplicando las aproximaciones planteadas
Finalmente se debe recordar que la ecuacion (349) es aplicable cuando se cum pie la condicion de ___~V I
linea fuente y esta condicion se cum pie cuando to gt100 0 sea que de acuerdo con la definicion de to ( I
se podra aplicar para valores de
(3 54)
Recordando la definicion de variables adimensionales la ecuacion (349) se puede escribir como
( - r 1 P -P =~r~x=~- E (-X )
I I 11 4IT kh x 2IT kh 2 I
y por 10 tanto
( (3 55)
Cuando se esta en el pozo y se puede aplicar la aproximacion logaritmica la ecuacion (3 53) se puede escribir de la siguiente manera
p -p =~(In 4kl J qf1- ~Ln 4kl I w 4IT kh r centf1- Cr 2IT k h 2 r centf1-Cr
que es equivalente a
(3 56)
Las ecuaciones (355) y (3 56) son las soluciones de la ecuacion de difusividad para el periodo transiente caso tasa terminal constante y condicion de linea fuente para Prt Y Pwf respectivamente
Usando la ecuacion (3 55) y la definicion de presion adimensional se obtiene
P P -----q--f1-_ P (r I )= P - _q_f1-_ ~ E (-X) (3 57) I = 2IT kh ) ) ) 2IT kh 2 II I
y en unidades practicas
(3 58)
157
De igual manera usando la ecuacion (3 56) se tiene
P =P qJl P ( )=p -~2Ln 4 1 (3 59) I I 2Jrkh I 2Jrk h 2 rI
y cuando se tiene en cuenta el dano
P =P-~(P (I )+S)=P qJl (2 Ln 41 +S) (3 60) HI I 2Jrkh ) I 2Jrk h 2 rI
La ecuacion (359) da la Pwf ideal y la (3 60) la real
Las ecuaciones (3 59) y (3 60) en unidades practicas toman las formas siguientes
qJlB qJl B 1 411 2303 411Pi =~-1412 ----P) ( )=P -1412h 2Ln y =p -1412 - 2 - Logy (3 61)
qJlB qJlB 1 4t f) Phi =P-1412 h (PI (t n )+S)=P - 1412 Jh(2 Ln --y+S) (3 62)
y teniendo en cuenta la definicion de tD las ecuaciones (361) Y (3 62) aun se pueden transformar a
qJlB K PHi == P - 1626 (Log t +Log- 2 -323) (3 63)
kh centJlLrH
qJlB 1 41 K PHI =P -141 2 -- (-Ln~S)= P -1626(Logl+Log 323+087S) (364)1
kh 2 r centJlCrH~
A continuaci6n se muestra como se obtiene por ejemplo la ecuaci6n (363) a Partir de la (3 60)
1al J al PHI (lpea) = P (fpea) -- shy
147Ipc 1471pea
q( BD) (56 15 pies I Ibl) (3048 ems I pie )Jl(ep) -JQ ID 3048 86400
4 Jr k(md) - h(pes) ems 1000md Jpie
4k(md) (lD IOOOmd t(hrs) (3600s 1hrs) I 2303 log + 2 yen S1
147 Lpe)) ) em shy1781 cent Jl(ep) C(fpe) r (pies-) (3048) - )
1at p ieshy
158
f w( p (fpca ) 5615 (3048) qj1 147(1pca ) = 147 - 4 n 1j l003048 86400 kh
[1 4 Kt 2 s]3600 og y1000 147 3048 2 ltPlCr + 2303
= P _ 5615 (3048) (2303) 147[10 _ 4_ 3600 f 4 n304 8 100086400 g l781 1000 147(3048) 2 I
kl + _ 2_ s]J
centj1Cr~ 2303
PHI = P -1626 Qj1Bo [IOgl + log k 2 - 323 + 087S] I kh centj1Crw
Recordando que la ecuaci6n (359) 0 (3 60) (0 (3 61) - (3 62)) provienen de la soluci6n E(-X) es importante tener claro cuando se puede utilizar la aproximaci6n logaritmica En primer lugar esta se aplicara cuando se puede aplicar la soluci6n E(-X) Y ademas x 001 en segundo lugar hay que recordar que la soluci6n E(-X) en general se puede aplicar cuando se cumple
- Yacimiento infinito - Condici6n de linea fuente
La condici6n de linea fuente se puede aplicar cuando se cumpla que l ) 100 0 sea cuando se cumpla la ecuaci6n (3 54)
100 do C 2 do C 2t(hrsraquo yJj1 rw =379 105 yJj1 rw (3 54 )
26410 -4 k k
Un criterio para decir (0 considerar) que se esta en el periodo transiente a un tiempo t despues de iniciada la perturbaci6n 0 sea que el yacimiento se est a comportando como infinito se puede obtener de la siguiente forma
Segun Ramey - Cobb para un pozo situado en el centro de un area de drenaje de forma regular (circulo cuadrado hexagono) el periodo postransiente es muy corto y se puede suponer que hay un paso brusco del periodo transiente al seudoestable Si esto es cierto la funci6n P(tD) debe ser continua y se debe cumplir que en momenta en que ocurra el paso del periodo transiente al seudoestable la expresi6n para PD en el periodo transiente sea igual a su expresi6n para el seudoestable 0 sea que recordando las ecuaciones (3 39) y (356)
1 I 4t IJ 1 1 4A 2- n-- = - n + ITt2 2 CAr2 DA y Y w
159
I
[ 41 IJ J12 = ( 4~_i J2e 2ll1l
gt
r (CI I
2 r 4 Jtl oreC I I IJ A
C t e 4 JT1IA (3 65) 1 l1
Resolviendo la ecuacion (3 65) para tOA suponiendo un valor de 31 6 para CA se encuentra tOA 0 1
Tambien es posible tener un criterio para saber cuando termina el periodo transiente y empieza el seudoestable en un yacimiento circular con un pozo ubicado en el centro haciendo el siguiente razonamiento
Si no es correcto pensar que tan pronto termine el transiente em piece el seudoestable puede ser aceptable suponer que el paso de un periodo al otro puede estar caracterizado porque las dos soluciones en este punto sean similares puesto que el comportamiento de la presion es continuo 0
sea que el paso del periodo transiente al seudoestable se puede decir que se presenta cuando la diferencia de las soluciones de la ecuaci6n de difusividad en ambos periodos es minima Recordando que la solucion de la ecuacion de difusividad para los periodos transiente y seudoestable son las ecuaciones (3 56) y (3 39a) respectivamente el paso del primer periodo al segundo se da cuando
Ln r _ 3 +21[1 1)1J- 1 ( Lnl IJ + 0809) = M inimo ( r 4 2
La expresi6n anterior tam bien se puede presentar como
1 [ ] 21) 3 - lnl ) + 0809 - --2 - In rc) +-= D 2 r e ) 4
1 21)D = Ln I ) - -j + C
2 re i)
se requiere encontrar el valor de to que haga esta diferenica minima 0 sea que
c D 1 2 = =0 c I IJ 21) rl~)
2 2tD rer)
160
La constante C2 se puede determinar aplicando la condicion de solucion de linea fuente
o sea que
_xCdP = _1_ ~ = qjJ -2 e dX 2X 2n kh 4n Kh X X
qjJ f _Y-- = J e y cuando r ~ 0 x tambiEm y por tanto 4nkh shy
C=~ (347) 2 4n kh
y lIevando la ecuacion (347) a la (346) se tiene
P =3L~ 4nkh X
y luego de integracion se tiene
donde los limites de la integral se plantearon de la siguiente manera
a un tiempo t = 0 P = Pi Y X ~ 00 y a un tiempo t P = Po Y x = x
Desarrollando la integral se tiene
p =Pi_~r e-x ( 348) rl 4n kh x
La ecuacion (348) es la solucion conocida como solucion de linea fuente y da la presion P rJ como una funcion de la posicion y del tiempo y se conoce tambien como solucion de la integral exponenciC1
La integral re~x dx se conoce como el integral exponencial de x y se denota por Ei( -X) Y por tanto la
ecuacion (348) tam bien se puede escribir como
155 )
p = Pi-~~E (-X ) (349) 1 2rr kh 2 I
EI valor de la funcion Ej(-X) es grande para valores pequenos de X y pequeno para valores grandes de x Cuando Xgt 10 se toma para E(-x) un valor de cero Tambien se ha encontrado que para valores de x lt 001 Ej(-X) se puede aproximar a
1 Ej(-X) =-In x - 05772 = Lnshy (3 50)
rX
donde 05772 la con stante de Euler y y es el exponencial de dicha con stante 0 sea
OS772 y -- e =1781
Cuando 001 lt X lt 10 el valor de Ej(-X) se puede obtener as bull
bull A partir de Integracion Gratica bull Usando Tablas 0 Graticos de E(-X) vs X bull Calculando Ej( -X) de la siguiente serie
x2
r ( ) XE(-X) =-[05772 + In x-x +-- - --+ - I -- - - - ] (3 51 ) 2 2 3 3 n n
Llevando la ecuacion (3 50) a la (349) se tiene
1 1 qf1 - In-PJ = PI - 27r kh 2 fX
= Pi qf1 ~In~ (3 52)2rr k h 2 r centf1 Cr 2
La solucion de la linea fuente y su aproximacion logaritmica es importante porque generalmente las mediciones de presion se hacen en el pozo 0 sea que la expresion para X en el pozo seria
_ centf1 Cr 2 x - It middot
4 k t
y esta ultima expresi6n al ser r~ un valor pequeno es muy probable que cumpla con x lt 001 aun para
tiempos cortos La expresi6n (352) aplicada en el pozo toma la forma
P = _ ~ [I n IP qf1 kl4 (3 53) i 2rr k h 2 r centf1Cr )I
Cuando la medici6n no se hace en el pozo sino por ejemplo en un pozo de observaci6n como es el caso de una prueba de pulsaci6n el valor de res grande y por tanto x es muy probable que sea mayor
156
de 001 Y en este caso la presion se debe calcular de la ecuacion (349) y la funcion Ej(-X) se debe obtener por alguno de los metodos planteados para cuando 001lt X lt 10 Sin embargo si el valor de X esta fuera del intervalo anterior en un tiempo dado el valor de la integral exponencial se puede calcular aplicando las aproximaciones planteadas
Finalmente se debe recordar que la ecuacion (349) es aplicable cuando se cum pie la condicion de ___~V I
linea fuente y esta condicion se cum pie cuando to gt100 0 sea que de acuerdo con la definicion de to ( I
se podra aplicar para valores de
(3 54)
Recordando la definicion de variables adimensionales la ecuacion (349) se puede escribir como
( - r 1 P -P =~r~x=~- E (-X )
I I 11 4IT kh x 2IT kh 2 I
y por 10 tanto
( (3 55)
Cuando se esta en el pozo y se puede aplicar la aproximacion logaritmica la ecuacion (3 53) se puede escribir de la siguiente manera
p -p =~(In 4kl J qf1- ~Ln 4kl I w 4IT kh r centf1- Cr 2IT k h 2 r centf1-Cr
que es equivalente a
(3 56)
Las ecuaciones (355) y (3 56) son las soluciones de la ecuacion de difusividad para el periodo transiente caso tasa terminal constante y condicion de linea fuente para Prt Y Pwf respectivamente
Usando la ecuacion (3 55) y la definicion de presion adimensional se obtiene
P P -----q--f1-_ P (r I )= P - _q_f1-_ ~ E (-X) (3 57) I = 2IT kh ) ) ) 2IT kh 2 II I
y en unidades practicas
(3 58)
157
De igual manera usando la ecuacion (3 56) se tiene
P =P qJl P ( )=p -~2Ln 4 1 (3 59) I I 2Jrkh I 2Jrk h 2 rI
y cuando se tiene en cuenta el dano
P =P-~(P (I )+S)=P qJl (2 Ln 41 +S) (3 60) HI I 2Jrkh ) I 2Jrk h 2 rI
La ecuacion (359) da la Pwf ideal y la (3 60) la real
Las ecuaciones (3 59) y (3 60) en unidades practicas toman las formas siguientes
qJlB qJl B 1 411 2303 411Pi =~-1412 ----P) ( )=P -1412h 2Ln y =p -1412 - 2 - Logy (3 61)
qJlB qJlB 1 4t f) Phi =P-1412 h (PI (t n )+S)=P - 1412 Jh(2 Ln --y+S) (3 62)
y teniendo en cuenta la definicion de tD las ecuaciones (361) Y (3 62) aun se pueden transformar a
qJlB K PHi == P - 1626 (Log t +Log- 2 -323) (3 63)
kh centJlLrH
qJlB 1 41 K PHI =P -141 2 -- (-Ln~S)= P -1626(Logl+Log 323+087S) (364)1
kh 2 r centJlCrH~
A continuaci6n se muestra como se obtiene por ejemplo la ecuaci6n (363) a Partir de la (3 60)
1al J al PHI (lpea) = P (fpea) -- shy
147Ipc 1471pea
q( BD) (56 15 pies I Ibl) (3048 ems I pie )Jl(ep) -JQ ID 3048 86400
4 Jr k(md) - h(pes) ems 1000md Jpie
4k(md) (lD IOOOmd t(hrs) (3600s 1hrs) I 2303 log + 2 yen S1
147 Lpe)) ) em shy1781 cent Jl(ep) C(fpe) r (pies-) (3048) - )
1at p ieshy
158
f w( p (fpca ) 5615 (3048) qj1 147(1pca ) = 147 - 4 n 1j l003048 86400 kh
[1 4 Kt 2 s]3600 og y1000 147 3048 2 ltPlCr + 2303
= P _ 5615 (3048) (2303) 147[10 _ 4_ 3600 f 4 n304 8 100086400 g l781 1000 147(3048) 2 I
kl + _ 2_ s]J
centj1Cr~ 2303
PHI = P -1626 Qj1Bo [IOgl + log k 2 - 323 + 087S] I kh centj1Crw
Recordando que la ecuaci6n (359) 0 (3 60) (0 (3 61) - (3 62)) provienen de la soluci6n E(-X) es importante tener claro cuando se puede utilizar la aproximaci6n logaritmica En primer lugar esta se aplicara cuando se puede aplicar la soluci6n E(-X) Y ademas x 001 en segundo lugar hay que recordar que la soluci6n E(-X) en general se puede aplicar cuando se cumple
- Yacimiento infinito - Condici6n de linea fuente
La condici6n de linea fuente se puede aplicar cuando se cumpla que l ) 100 0 sea cuando se cumpla la ecuaci6n (3 54)
100 do C 2 do C 2t(hrsraquo yJj1 rw =379 105 yJj1 rw (3 54 )
26410 -4 k k
Un criterio para decir (0 considerar) que se esta en el periodo transiente a un tiempo t despues de iniciada la perturbaci6n 0 sea que el yacimiento se est a comportando como infinito se puede obtener de la siguiente forma
Segun Ramey - Cobb para un pozo situado en el centro de un area de drenaje de forma regular (circulo cuadrado hexagono) el periodo postransiente es muy corto y se puede suponer que hay un paso brusco del periodo transiente al seudoestable Si esto es cierto la funci6n P(tD) debe ser continua y se debe cumplir que en momenta en que ocurra el paso del periodo transiente al seudoestable la expresi6n para PD en el periodo transiente sea igual a su expresi6n para el seudoestable 0 sea que recordando las ecuaciones (3 39) y (356)
1 I 4t IJ 1 1 4A 2- n-- = - n + ITt2 2 CAr2 DA y Y w
159
I
[ 41 IJ J12 = ( 4~_i J2e 2ll1l
gt
r (CI I
2 r 4 Jtl oreC I I IJ A
C t e 4 JT1IA (3 65) 1 l1
Resolviendo la ecuacion (3 65) para tOA suponiendo un valor de 31 6 para CA se encuentra tOA 0 1
Tambien es posible tener un criterio para saber cuando termina el periodo transiente y empieza el seudoestable en un yacimiento circular con un pozo ubicado en el centro haciendo el siguiente razonamiento
Si no es correcto pensar que tan pronto termine el transiente em piece el seudoestable puede ser aceptable suponer que el paso de un periodo al otro puede estar caracterizado porque las dos soluciones en este punto sean similares puesto que el comportamiento de la presion es continuo 0
sea que el paso del periodo transiente al seudoestable se puede decir que se presenta cuando la diferencia de las soluciones de la ecuaci6n de difusividad en ambos periodos es minima Recordando que la solucion de la ecuacion de difusividad para los periodos transiente y seudoestable son las ecuaciones (3 56) y (3 39a) respectivamente el paso del primer periodo al segundo se da cuando
Ln r _ 3 +21[1 1)1J- 1 ( Lnl IJ + 0809) = M inimo ( r 4 2
La expresi6n anterior tam bien se puede presentar como
1 [ ] 21) 3 - lnl ) + 0809 - --2 - In rc) +-= D 2 r e ) 4
1 21)D = Ln I ) - -j + C
2 re i)
se requiere encontrar el valor de to que haga esta diferenica minima 0 sea que
c D 1 2 = =0 c I IJ 21) rl~)
2 2tD rer)
160
p = Pi-~~E (-X ) (349) 1 2rr kh 2 I
EI valor de la funcion Ej(-X) es grande para valores pequenos de X y pequeno para valores grandes de x Cuando Xgt 10 se toma para E(-x) un valor de cero Tambien se ha encontrado que para valores de x lt 001 Ej(-X) se puede aproximar a
1 Ej(-X) =-In x - 05772 = Lnshy (3 50)
rX
donde 05772 la con stante de Euler y y es el exponencial de dicha con stante 0 sea
OS772 y -- e =1781
Cuando 001 lt X lt 10 el valor de Ej(-X) se puede obtener as bull
bull A partir de Integracion Gratica bull Usando Tablas 0 Graticos de E(-X) vs X bull Calculando Ej( -X) de la siguiente serie
x2
r ( ) XE(-X) =-[05772 + In x-x +-- - --+ - I -- - - - ] (3 51 ) 2 2 3 3 n n
Llevando la ecuacion (3 50) a la (349) se tiene
1 1 qf1 - In-PJ = PI - 27r kh 2 fX
= Pi qf1 ~In~ (3 52)2rr k h 2 r centf1 Cr 2
La solucion de la linea fuente y su aproximacion logaritmica es importante porque generalmente las mediciones de presion se hacen en el pozo 0 sea que la expresion para X en el pozo seria
_ centf1 Cr 2 x - It middot
4 k t
y esta ultima expresi6n al ser r~ un valor pequeno es muy probable que cumpla con x lt 001 aun para
tiempos cortos La expresi6n (352) aplicada en el pozo toma la forma
P = _ ~ [I n IP qf1 kl4 (3 53) i 2rr k h 2 r centf1Cr )I
Cuando la medici6n no se hace en el pozo sino por ejemplo en un pozo de observaci6n como es el caso de una prueba de pulsaci6n el valor de res grande y por tanto x es muy probable que sea mayor
156
de 001 Y en este caso la presion se debe calcular de la ecuacion (349) y la funcion Ej(-X) se debe obtener por alguno de los metodos planteados para cuando 001lt X lt 10 Sin embargo si el valor de X esta fuera del intervalo anterior en un tiempo dado el valor de la integral exponencial se puede calcular aplicando las aproximaciones planteadas
Finalmente se debe recordar que la ecuacion (349) es aplicable cuando se cum pie la condicion de ___~V I
linea fuente y esta condicion se cum pie cuando to gt100 0 sea que de acuerdo con la definicion de to ( I
se podra aplicar para valores de
(3 54)
Recordando la definicion de variables adimensionales la ecuacion (349) se puede escribir como
( - r 1 P -P =~r~x=~- E (-X )
I I 11 4IT kh x 2IT kh 2 I
y por 10 tanto
( (3 55)
Cuando se esta en el pozo y se puede aplicar la aproximacion logaritmica la ecuacion (3 53) se puede escribir de la siguiente manera
p -p =~(In 4kl J qf1- ~Ln 4kl I w 4IT kh r centf1- Cr 2IT k h 2 r centf1-Cr
que es equivalente a
(3 56)
Las ecuaciones (355) y (3 56) son las soluciones de la ecuacion de difusividad para el periodo transiente caso tasa terminal constante y condicion de linea fuente para Prt Y Pwf respectivamente
Usando la ecuacion (3 55) y la definicion de presion adimensional se obtiene
P P -----q--f1-_ P (r I )= P - _q_f1-_ ~ E (-X) (3 57) I = 2IT kh ) ) ) 2IT kh 2 II I
y en unidades practicas
(3 58)
157
De igual manera usando la ecuacion (3 56) se tiene
P =P qJl P ( )=p -~2Ln 4 1 (3 59) I I 2Jrkh I 2Jrk h 2 rI
y cuando se tiene en cuenta el dano
P =P-~(P (I )+S)=P qJl (2 Ln 41 +S) (3 60) HI I 2Jrkh ) I 2Jrk h 2 rI
La ecuacion (359) da la Pwf ideal y la (3 60) la real
Las ecuaciones (3 59) y (3 60) en unidades practicas toman las formas siguientes
qJlB qJl B 1 411 2303 411Pi =~-1412 ----P) ( )=P -1412h 2Ln y =p -1412 - 2 - Logy (3 61)
qJlB qJlB 1 4t f) Phi =P-1412 h (PI (t n )+S)=P - 1412 Jh(2 Ln --y+S) (3 62)
y teniendo en cuenta la definicion de tD las ecuaciones (361) Y (3 62) aun se pueden transformar a
qJlB K PHi == P - 1626 (Log t +Log- 2 -323) (3 63)
kh centJlLrH
qJlB 1 41 K PHI =P -141 2 -- (-Ln~S)= P -1626(Logl+Log 323+087S) (364)1
kh 2 r centJlCrH~
A continuaci6n se muestra como se obtiene por ejemplo la ecuaci6n (363) a Partir de la (3 60)
1al J al PHI (lpea) = P (fpea) -- shy
147Ipc 1471pea
q( BD) (56 15 pies I Ibl) (3048 ems I pie )Jl(ep) -JQ ID 3048 86400
4 Jr k(md) - h(pes) ems 1000md Jpie
4k(md) (lD IOOOmd t(hrs) (3600s 1hrs) I 2303 log + 2 yen S1
147 Lpe)) ) em shy1781 cent Jl(ep) C(fpe) r (pies-) (3048) - )
1at p ieshy
158
f w( p (fpca ) 5615 (3048) qj1 147(1pca ) = 147 - 4 n 1j l003048 86400 kh
[1 4 Kt 2 s]3600 og y1000 147 3048 2 ltPlCr + 2303
= P _ 5615 (3048) (2303) 147[10 _ 4_ 3600 f 4 n304 8 100086400 g l781 1000 147(3048) 2 I
kl + _ 2_ s]J
centj1Cr~ 2303
PHI = P -1626 Qj1Bo [IOgl + log k 2 - 323 + 087S] I kh centj1Crw
Recordando que la ecuaci6n (359) 0 (3 60) (0 (3 61) - (3 62)) provienen de la soluci6n E(-X) es importante tener claro cuando se puede utilizar la aproximaci6n logaritmica En primer lugar esta se aplicara cuando se puede aplicar la soluci6n E(-X) Y ademas x 001 en segundo lugar hay que recordar que la soluci6n E(-X) en general se puede aplicar cuando se cumple
- Yacimiento infinito - Condici6n de linea fuente
La condici6n de linea fuente se puede aplicar cuando se cumpla que l ) 100 0 sea cuando se cumpla la ecuaci6n (3 54)
100 do C 2 do C 2t(hrsraquo yJj1 rw =379 105 yJj1 rw (3 54 )
26410 -4 k k
Un criterio para decir (0 considerar) que se esta en el periodo transiente a un tiempo t despues de iniciada la perturbaci6n 0 sea que el yacimiento se est a comportando como infinito se puede obtener de la siguiente forma
Segun Ramey - Cobb para un pozo situado en el centro de un area de drenaje de forma regular (circulo cuadrado hexagono) el periodo postransiente es muy corto y se puede suponer que hay un paso brusco del periodo transiente al seudoestable Si esto es cierto la funci6n P(tD) debe ser continua y se debe cumplir que en momenta en que ocurra el paso del periodo transiente al seudoestable la expresi6n para PD en el periodo transiente sea igual a su expresi6n para el seudoestable 0 sea que recordando las ecuaciones (3 39) y (356)
1 I 4t IJ 1 1 4A 2- n-- = - n + ITt2 2 CAr2 DA y Y w
159
I
[ 41 IJ J12 = ( 4~_i J2e 2ll1l
gt
r (CI I
2 r 4 Jtl oreC I I IJ A
C t e 4 JT1IA (3 65) 1 l1
Resolviendo la ecuacion (3 65) para tOA suponiendo un valor de 31 6 para CA se encuentra tOA 0 1
Tambien es posible tener un criterio para saber cuando termina el periodo transiente y empieza el seudoestable en un yacimiento circular con un pozo ubicado en el centro haciendo el siguiente razonamiento
Si no es correcto pensar que tan pronto termine el transiente em piece el seudoestable puede ser aceptable suponer que el paso de un periodo al otro puede estar caracterizado porque las dos soluciones en este punto sean similares puesto que el comportamiento de la presion es continuo 0
sea que el paso del periodo transiente al seudoestable se puede decir que se presenta cuando la diferencia de las soluciones de la ecuaci6n de difusividad en ambos periodos es minima Recordando que la solucion de la ecuacion de difusividad para los periodos transiente y seudoestable son las ecuaciones (3 56) y (3 39a) respectivamente el paso del primer periodo al segundo se da cuando
Ln r _ 3 +21[1 1)1J- 1 ( Lnl IJ + 0809) = M inimo ( r 4 2
La expresi6n anterior tam bien se puede presentar como
1 [ ] 21) 3 - lnl ) + 0809 - --2 - In rc) +-= D 2 r e ) 4
1 21)D = Ln I ) - -j + C
2 re i)
se requiere encontrar el valor de to que haga esta diferenica minima 0 sea que
c D 1 2 = =0 c I IJ 21) rl~)
2 2tD rer)
160
de 001 Y en este caso la presion se debe calcular de la ecuacion (349) y la funcion Ej(-X) se debe obtener por alguno de los metodos planteados para cuando 001lt X lt 10 Sin embargo si el valor de X esta fuera del intervalo anterior en un tiempo dado el valor de la integral exponencial se puede calcular aplicando las aproximaciones planteadas
Finalmente se debe recordar que la ecuacion (349) es aplicable cuando se cum pie la condicion de ___~V I
linea fuente y esta condicion se cum pie cuando to gt100 0 sea que de acuerdo con la definicion de to ( I
se podra aplicar para valores de
(3 54)
Recordando la definicion de variables adimensionales la ecuacion (349) se puede escribir como
( - r 1 P -P =~r~x=~- E (-X )
I I 11 4IT kh x 2IT kh 2 I
y por 10 tanto
( (3 55)
Cuando se esta en el pozo y se puede aplicar la aproximacion logaritmica la ecuacion (3 53) se puede escribir de la siguiente manera
p -p =~(In 4kl J qf1- ~Ln 4kl I w 4IT kh r centf1- Cr 2IT k h 2 r centf1-Cr
que es equivalente a
(3 56)
Las ecuaciones (355) y (3 56) son las soluciones de la ecuacion de difusividad para el periodo transiente caso tasa terminal constante y condicion de linea fuente para Prt Y Pwf respectivamente
Usando la ecuacion (3 55) y la definicion de presion adimensional se obtiene
P P -----q--f1-_ P (r I )= P - _q_f1-_ ~ E (-X) (3 57) I = 2IT kh ) ) ) 2IT kh 2 II I
y en unidades practicas
(3 58)
157
De igual manera usando la ecuacion (3 56) se tiene
P =P qJl P ( )=p -~2Ln 4 1 (3 59) I I 2Jrkh I 2Jrk h 2 rI
y cuando se tiene en cuenta el dano
P =P-~(P (I )+S)=P qJl (2 Ln 41 +S) (3 60) HI I 2Jrkh ) I 2Jrk h 2 rI
La ecuacion (359) da la Pwf ideal y la (3 60) la real
Las ecuaciones (3 59) y (3 60) en unidades practicas toman las formas siguientes
qJlB qJl B 1 411 2303 411Pi =~-1412 ----P) ( )=P -1412h 2Ln y =p -1412 - 2 - Logy (3 61)
qJlB qJlB 1 4t f) Phi =P-1412 h (PI (t n )+S)=P - 1412 Jh(2 Ln --y+S) (3 62)
y teniendo en cuenta la definicion de tD las ecuaciones (361) Y (3 62) aun se pueden transformar a
qJlB K PHi == P - 1626 (Log t +Log- 2 -323) (3 63)
kh centJlLrH
qJlB 1 41 K PHI =P -141 2 -- (-Ln~S)= P -1626(Logl+Log 323+087S) (364)1
kh 2 r centJlCrH~
A continuaci6n se muestra como se obtiene por ejemplo la ecuaci6n (363) a Partir de la (3 60)
1al J al PHI (lpea) = P (fpea) -- shy
147Ipc 1471pea
q( BD) (56 15 pies I Ibl) (3048 ems I pie )Jl(ep) -JQ ID 3048 86400
4 Jr k(md) - h(pes) ems 1000md Jpie
4k(md) (lD IOOOmd t(hrs) (3600s 1hrs) I 2303 log + 2 yen S1
147 Lpe)) ) em shy1781 cent Jl(ep) C(fpe) r (pies-) (3048) - )
1at p ieshy
158
f w( p (fpca ) 5615 (3048) qj1 147(1pca ) = 147 - 4 n 1j l003048 86400 kh
[1 4 Kt 2 s]3600 og y1000 147 3048 2 ltPlCr + 2303
= P _ 5615 (3048) (2303) 147[10 _ 4_ 3600 f 4 n304 8 100086400 g l781 1000 147(3048) 2 I
kl + _ 2_ s]J
centj1Cr~ 2303
PHI = P -1626 Qj1Bo [IOgl + log k 2 - 323 + 087S] I kh centj1Crw
Recordando que la ecuaci6n (359) 0 (3 60) (0 (3 61) - (3 62)) provienen de la soluci6n E(-X) es importante tener claro cuando se puede utilizar la aproximaci6n logaritmica En primer lugar esta se aplicara cuando se puede aplicar la soluci6n E(-X) Y ademas x 001 en segundo lugar hay que recordar que la soluci6n E(-X) en general se puede aplicar cuando se cumple
- Yacimiento infinito - Condici6n de linea fuente
La condici6n de linea fuente se puede aplicar cuando se cumpla que l ) 100 0 sea cuando se cumpla la ecuaci6n (3 54)
100 do C 2 do C 2t(hrsraquo yJj1 rw =379 105 yJj1 rw (3 54 )
26410 -4 k k
Un criterio para decir (0 considerar) que se esta en el periodo transiente a un tiempo t despues de iniciada la perturbaci6n 0 sea que el yacimiento se est a comportando como infinito se puede obtener de la siguiente forma
Segun Ramey - Cobb para un pozo situado en el centro de un area de drenaje de forma regular (circulo cuadrado hexagono) el periodo postransiente es muy corto y se puede suponer que hay un paso brusco del periodo transiente al seudoestable Si esto es cierto la funci6n P(tD) debe ser continua y se debe cumplir que en momenta en que ocurra el paso del periodo transiente al seudoestable la expresi6n para PD en el periodo transiente sea igual a su expresi6n para el seudoestable 0 sea que recordando las ecuaciones (3 39) y (356)
1 I 4t IJ 1 1 4A 2- n-- = - n + ITt2 2 CAr2 DA y Y w
159
I
[ 41 IJ J12 = ( 4~_i J2e 2ll1l
gt
r (CI I
2 r 4 Jtl oreC I I IJ A
C t e 4 JT1IA (3 65) 1 l1
Resolviendo la ecuacion (3 65) para tOA suponiendo un valor de 31 6 para CA se encuentra tOA 0 1
Tambien es posible tener un criterio para saber cuando termina el periodo transiente y empieza el seudoestable en un yacimiento circular con un pozo ubicado en el centro haciendo el siguiente razonamiento
Si no es correcto pensar que tan pronto termine el transiente em piece el seudoestable puede ser aceptable suponer que el paso de un periodo al otro puede estar caracterizado porque las dos soluciones en este punto sean similares puesto que el comportamiento de la presion es continuo 0
sea que el paso del periodo transiente al seudoestable se puede decir que se presenta cuando la diferencia de las soluciones de la ecuaci6n de difusividad en ambos periodos es minima Recordando que la solucion de la ecuacion de difusividad para los periodos transiente y seudoestable son las ecuaciones (3 56) y (3 39a) respectivamente el paso del primer periodo al segundo se da cuando
Ln r _ 3 +21[1 1)1J- 1 ( Lnl IJ + 0809) = M inimo ( r 4 2
La expresi6n anterior tam bien se puede presentar como
1 [ ] 21) 3 - lnl ) + 0809 - --2 - In rc) +-= D 2 r e ) 4
1 21)D = Ln I ) - -j + C
2 re i)
se requiere encontrar el valor de to que haga esta diferenica minima 0 sea que
c D 1 2 = =0 c I IJ 21) rl~)
2 2tD rer)
160
De igual manera usando la ecuacion (3 56) se tiene
P =P qJl P ( )=p -~2Ln 4 1 (3 59) I I 2Jrkh I 2Jrk h 2 rI
y cuando se tiene en cuenta el dano
P =P-~(P (I )+S)=P qJl (2 Ln 41 +S) (3 60) HI I 2Jrkh ) I 2Jrk h 2 rI
La ecuacion (359) da la Pwf ideal y la (3 60) la real
Las ecuaciones (3 59) y (3 60) en unidades practicas toman las formas siguientes
qJlB qJl B 1 411 2303 411Pi =~-1412 ----P) ( )=P -1412h 2Ln y =p -1412 - 2 - Logy (3 61)
qJlB qJlB 1 4t f) Phi =P-1412 h (PI (t n )+S)=P - 1412 Jh(2 Ln --y+S) (3 62)
y teniendo en cuenta la definicion de tD las ecuaciones (361) Y (3 62) aun se pueden transformar a
qJlB K PHi == P - 1626 (Log t +Log- 2 -323) (3 63)
kh centJlLrH
qJlB 1 41 K PHI =P -141 2 -- (-Ln~S)= P -1626(Logl+Log 323+087S) (364)1
kh 2 r centJlCrH~
A continuaci6n se muestra como se obtiene por ejemplo la ecuaci6n (363) a Partir de la (3 60)
1al J al PHI (lpea) = P (fpea) -- shy
147Ipc 1471pea
q( BD) (56 15 pies I Ibl) (3048 ems I pie )Jl(ep) -JQ ID 3048 86400
4 Jr k(md) - h(pes) ems 1000md Jpie
4k(md) (lD IOOOmd t(hrs) (3600s 1hrs) I 2303 log + 2 yen S1
147 Lpe)) ) em shy1781 cent Jl(ep) C(fpe) r (pies-) (3048) - )
1at p ieshy
158
f w( p (fpca ) 5615 (3048) qj1 147(1pca ) = 147 - 4 n 1j l003048 86400 kh
[1 4 Kt 2 s]3600 og y1000 147 3048 2 ltPlCr + 2303
= P _ 5615 (3048) (2303) 147[10 _ 4_ 3600 f 4 n304 8 100086400 g l781 1000 147(3048) 2 I
kl + _ 2_ s]J
centj1Cr~ 2303
PHI = P -1626 Qj1Bo [IOgl + log k 2 - 323 + 087S] I kh centj1Crw
Recordando que la ecuaci6n (359) 0 (3 60) (0 (3 61) - (3 62)) provienen de la soluci6n E(-X) es importante tener claro cuando se puede utilizar la aproximaci6n logaritmica En primer lugar esta se aplicara cuando se puede aplicar la soluci6n E(-X) Y ademas x 001 en segundo lugar hay que recordar que la soluci6n E(-X) en general se puede aplicar cuando se cumple
- Yacimiento infinito - Condici6n de linea fuente
La condici6n de linea fuente se puede aplicar cuando se cumpla que l ) 100 0 sea cuando se cumpla la ecuaci6n (3 54)
100 do C 2 do C 2t(hrsraquo yJj1 rw =379 105 yJj1 rw (3 54 )
26410 -4 k k
Un criterio para decir (0 considerar) que se esta en el periodo transiente a un tiempo t despues de iniciada la perturbaci6n 0 sea que el yacimiento se est a comportando como infinito se puede obtener de la siguiente forma
Segun Ramey - Cobb para un pozo situado en el centro de un area de drenaje de forma regular (circulo cuadrado hexagono) el periodo postransiente es muy corto y se puede suponer que hay un paso brusco del periodo transiente al seudoestable Si esto es cierto la funci6n P(tD) debe ser continua y se debe cumplir que en momenta en que ocurra el paso del periodo transiente al seudoestable la expresi6n para PD en el periodo transiente sea igual a su expresi6n para el seudoestable 0 sea que recordando las ecuaciones (3 39) y (356)
1 I 4t IJ 1 1 4A 2- n-- = - n + ITt2 2 CAr2 DA y Y w
159
I
[ 41 IJ J12 = ( 4~_i J2e 2ll1l
gt
r (CI I
2 r 4 Jtl oreC I I IJ A
C t e 4 JT1IA (3 65) 1 l1
Resolviendo la ecuacion (3 65) para tOA suponiendo un valor de 31 6 para CA se encuentra tOA 0 1
Tambien es posible tener un criterio para saber cuando termina el periodo transiente y empieza el seudoestable en un yacimiento circular con un pozo ubicado en el centro haciendo el siguiente razonamiento
Si no es correcto pensar que tan pronto termine el transiente em piece el seudoestable puede ser aceptable suponer que el paso de un periodo al otro puede estar caracterizado porque las dos soluciones en este punto sean similares puesto que el comportamiento de la presion es continuo 0
sea que el paso del periodo transiente al seudoestable se puede decir que se presenta cuando la diferencia de las soluciones de la ecuaci6n de difusividad en ambos periodos es minima Recordando que la solucion de la ecuacion de difusividad para los periodos transiente y seudoestable son las ecuaciones (3 56) y (3 39a) respectivamente el paso del primer periodo al segundo se da cuando
Ln r _ 3 +21[1 1)1J- 1 ( Lnl IJ + 0809) = M inimo ( r 4 2
La expresi6n anterior tam bien se puede presentar como
1 [ ] 21) 3 - lnl ) + 0809 - --2 - In rc) +-= D 2 r e ) 4
1 21)D = Ln I ) - -j + C
2 re i)
se requiere encontrar el valor de to que haga esta diferenica minima 0 sea que
c D 1 2 = =0 c I IJ 21) rl~)
2 2tD rer)
160
f w( p (fpca ) 5615 (3048) qj1 147(1pca ) = 147 - 4 n 1j l003048 86400 kh
[1 4 Kt 2 s]3600 og y1000 147 3048 2 ltPlCr + 2303
= P _ 5615 (3048) (2303) 147[10 _ 4_ 3600 f 4 n304 8 100086400 g l781 1000 147(3048) 2 I
kl + _ 2_ s]J
centj1Cr~ 2303
PHI = P -1626 Qj1Bo [IOgl + log k 2 - 323 + 087S] I kh centj1Crw
Recordando que la ecuaci6n (359) 0 (3 60) (0 (3 61) - (3 62)) provienen de la soluci6n E(-X) es importante tener claro cuando se puede utilizar la aproximaci6n logaritmica En primer lugar esta se aplicara cuando se puede aplicar la soluci6n E(-X) Y ademas x 001 en segundo lugar hay que recordar que la soluci6n E(-X) en general se puede aplicar cuando se cumple
- Yacimiento infinito - Condici6n de linea fuente
La condici6n de linea fuente se puede aplicar cuando se cumpla que l ) 100 0 sea cuando se cumpla la ecuaci6n (3 54)
100 do C 2 do C 2t(hrsraquo yJj1 rw =379 105 yJj1 rw (3 54 )
26410 -4 k k
Un criterio para decir (0 considerar) que se esta en el periodo transiente a un tiempo t despues de iniciada la perturbaci6n 0 sea que el yacimiento se est a comportando como infinito se puede obtener de la siguiente forma
Segun Ramey - Cobb para un pozo situado en el centro de un area de drenaje de forma regular (circulo cuadrado hexagono) el periodo postransiente es muy corto y se puede suponer que hay un paso brusco del periodo transiente al seudoestable Si esto es cierto la funci6n P(tD) debe ser continua y se debe cumplir que en momenta en que ocurra el paso del periodo transiente al seudoestable la expresi6n para PD en el periodo transiente sea igual a su expresi6n para el seudoestable 0 sea que recordando las ecuaciones (3 39) y (356)
1 I 4t IJ 1 1 4A 2- n-- = - n + ITt2 2 CAr2 DA y Y w
159
I
[ 41 IJ J12 = ( 4~_i J2e 2ll1l
gt
r (CI I
2 r 4 Jtl oreC I I IJ A
C t e 4 JT1IA (3 65) 1 l1
Resolviendo la ecuacion (3 65) para tOA suponiendo un valor de 31 6 para CA se encuentra tOA 0 1
Tambien es posible tener un criterio para saber cuando termina el periodo transiente y empieza el seudoestable en un yacimiento circular con un pozo ubicado en el centro haciendo el siguiente razonamiento
Si no es correcto pensar que tan pronto termine el transiente em piece el seudoestable puede ser aceptable suponer que el paso de un periodo al otro puede estar caracterizado porque las dos soluciones en este punto sean similares puesto que el comportamiento de la presion es continuo 0
sea que el paso del periodo transiente al seudoestable se puede decir que se presenta cuando la diferencia de las soluciones de la ecuaci6n de difusividad en ambos periodos es minima Recordando que la solucion de la ecuacion de difusividad para los periodos transiente y seudoestable son las ecuaciones (3 56) y (3 39a) respectivamente el paso del primer periodo al segundo se da cuando
Ln r _ 3 +21[1 1)1J- 1 ( Lnl IJ + 0809) = M inimo ( r 4 2
La expresi6n anterior tam bien se puede presentar como
1 [ ] 21) 3 - lnl ) + 0809 - --2 - In rc) +-= D 2 r e ) 4
1 21)D = Ln I ) - -j + C
2 re i)
se requiere encontrar el valor de to que haga esta diferenica minima 0 sea que
c D 1 2 = =0 c I IJ 21) rl~)
2 2tD rer)
160
[ 41 IJ J12 = ( 4~_i J2e 2ll1l
gt
r (CI I
2 r 4 Jtl oreC I I IJ A
C t e 4 JT1IA (3 65) 1 l1
Resolviendo la ecuacion (3 65) para tOA suponiendo un valor de 31 6 para CA se encuentra tOA 0 1
Tambien es posible tener un criterio para saber cuando termina el periodo transiente y empieza el seudoestable en un yacimiento circular con un pozo ubicado en el centro haciendo el siguiente razonamiento
Si no es correcto pensar que tan pronto termine el transiente em piece el seudoestable puede ser aceptable suponer que el paso de un periodo al otro puede estar caracterizado porque las dos soluciones en este punto sean similares puesto que el comportamiento de la presion es continuo 0
sea que el paso del periodo transiente al seudoestable se puede decir que se presenta cuando la diferencia de las soluciones de la ecuaci6n de difusividad en ambos periodos es minima Recordando que la solucion de la ecuacion de difusividad para los periodos transiente y seudoestable son las ecuaciones (3 56) y (3 39a) respectivamente el paso del primer periodo al segundo se da cuando
Ln r _ 3 +21[1 1)1J- 1 ( Lnl IJ + 0809) = M inimo ( r 4 2
La expresi6n anterior tam bien se puede presentar como
1 [ ] 21) 3 - lnl ) + 0809 - --2 - In rc) +-= D 2 r e ) 4
1 21)D = Ln I ) - -j + C
2 re i)
se requiere encontrar el valor de to que haga esta diferenica minima 0 sea que
c D 1 2 = =0 c I IJ 21) rl~)
2 2tD rer)
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