M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 1 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 1 DISEO DE EXPERIMENTOS M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 2 INTRODUCCIN Enlaingeniera,laexperimentacin desempeaunpapelimportanteenel diseodeproductosnuevos,eldesarrollo deprocesosdemanufacturayel mejoramientodeprocesos.Elobjetivoen muchoscasosseradesarrollarunproceso robusto,esdecir,unprocesoquesea afectadoenformamnimaporfuentesde variabilidad externas. M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 2 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 3 CONCEPTO DE EXPERIMENTO EXPERIMENTO,esunapruebao seriedepruebasenlasquesehacen cambiosdeliberadosenlasvariables deentradadeunprocesoosistema paraobservareidentificarlas razonesdeloscambiosquepudieran observarse en la respuesta de salida. M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 4 CONCEPTO DE PROCESO Unprocesopuedevisualizarsecomouna combinacindemquinas,mtodos, personas u otros recursos que transforman cierta entrada (con frecuencia un material) enunasalidaquetieneunaoms respuestasobservables.Algunasvariables delprocesosoncontrolables(x1,x2,,xp), mientrasqueotrasz1,z2,,zqsonno controlables(aunquepuedenserloparalos fines de una prueba). PROCESO ENTRADAS SALIDA (Y) FACTORES CONTROLABLES FACTORES NO CONTROLABLES M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 3 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 5 OBJETIVOS DEL DISEO Y ANLISIS DE EXPERIMENTOS1. Determinarculessonlasvariablesquetienen mayor influencia sobre la respuesta y. 2. Determinar cul es el ajuste de las x que tiene mayorinfluenciaparaqueyestecasisiempre cerca del valor nominal deseado. 3. Determinar cul es el ajuste de las x que tiene mayorinfluenciaparaquelavariabilidaddey sea reducida. 4. Determinar cul es el ajuste de las x que tiene mayorinfluenciaparaquelosefectosdelas variables no controlables z sean mnimos. M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 6 APLICACIONES DEL DISEO DE EXPERIMENTOS Algunasdelasaplicacionesdeldiseode experimentos son: El mejoramiento del rendimiento del proceso. Lareduccindelavariabilidaddelprocesoyauna concordanciamsprximaconlosrequerimientos nominales o proyectados. La reduccin del tiempo de diseo y desarrollo. La reduccin en el costo de operacin. Seleccindeparmetrosdediseoparaqueelproducto tengaunbuenfuncionamientoenunaamplavariedadde condiciones de campo (o para que el diseo sea robusto). M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 4 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 7 PASOS GENERALES PARA DISEAR UN EXPERIMENTO 1. Identificacin y exposicin del problema. 2. Seleccin de la variable de respuesta. 3. Eleccin de los factores, los niveles y los rangos. 4. Eleccin del diseo experimental. 5. Realizacin del experimento. 6. Anlisis estadstico de los datos. 7. Conclusiones y recomendaciones. M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 8 DISEO DE EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 5 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 9 TIPOS DE MODELOS DE EXPERIMENTOS CON UN SLO FACTOR Modelo de efectos fijos. En estos modelos los niveles del factor a analizarsonpocosdetalmaneraqueelanlisisdelexperimento sepuedellevaracaboincluyendotodosolamayorpartedelos nivelesdeestefactor,sinembargolasconclusiones correspondientesaesteanlisissloaplicanalosniveles estudiados en la prueba. Modelodeefectosaleatorios.Enestosmodeloslosnivelesdel factordeestudioprovienendeunapoblacinbastantegrande como parapoder analizar gran parte de ellos por lo queseeligen al azar los niveles a analizar de este factor y proceder a llevar a caboelanlisisdedichoexperimento,sinembargolas conclusionesdedichoanlisissehacenparalapoblacinen general de los niveles del factor tomando en cuenta la variabilidad generada para cualquier observacin de la variable de respuesta. M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 10 CONSIDERACIONES IMPORTANTES Parallevaracaboundiseoyanlisisdeun experimento con un solo factor deben tomarse en cuenta las siguientes consideraciones: Almenosdebentomarsedosrplicasuobservaciones para cada nivel analizado. Losdatosdebernserrecopiladosdemaneraaleatoria para los diferentes niveles de anlisis. Se debe de elegir el nivel de significancia adecuado para la prueba. Sedebenderealizarlasconclusionespertinentesde acuerdo a los resultados del anlisis del experimento. M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 6 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 11 DATOS TPICOS DE UN EXPERIMENTO DE UN SOLO FACTOR TRATAMIENTOS (NIVELES) OBSERVACIONESTOTALESPROMEDIOS 1Y11Y1nY1.1. 2Y12Y2nY2.2. aYa1YanYa.3. y.... . . . . . . . . . . ==+ + =n ja iyij i ij,..., 2 , 1,..., 2 , 1c t Donde es un parmetro comn a todos los tratamientos y se le denominamediaglobalyTiesunparmetronicodel tratamientoi-simoalqueseledenominaefectodel tratamientoi-simo,yalaecuacinanteriorseledenomina modelo de los efectos. M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 12 MODELO DE EFECTOS FIJOS M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 7 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 13 MODELO DE EFECTOS FIJOS Las hiptesis que nos interesan probar son: Lapruebadelashiptesisanterioresse lograrmedianteunANOVA(Anlisisde varianza),decualsemuestrana continuacin los parmetros involucrados en dicho anlisis: j i que tal j) (i, parunmenos al para : H; ... :j i a o 2 1= = = = = oHM.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 14 PARMETROS DEL ANOVA ==njij iy y1.n y yi i/~. . =i = 1, 2, ,a= ==ainjijy y1 1.. N y y /~.. .. == = =ainjij TNyy SS1 12..2= =aiios tratamientNynySS12..2.os tratamient T ESS SS SS =( )( )Eos tratamientEo tratamientMSMSa NSSaSSF ==10Portanto,antelahiptesisnula,la estadsticasigueladistribucinF, a-1,N-a.Lascantidades MStratamientosyMSEsellaman medidascuadrticas.Detalmodo, rechazariamos Ho, si: a N aF F >, 1 , 0 oM.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 8 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 15 TABLA DEL ANOVA DE UN DISEO DE EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR Fuente de variacin Suma de cuadrados Grados de libertad Media cuadrtica F0 Entre tratamientos SStratamientosa 1MStratamientosF0 = MStratamientos/MSE Error (dentro de los tratamientos) SSEN aMSE--------- TotalSSTN 1----------------- M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 16 INTERVALOS DE CONFIANZA nMSEt y ynMSEt y yUnnMSEtnMSEtUna N j i a N j ia N i a N2)~ ~( -2)~ ~(: sera , - ejemplo porra, cualesquietos tratamien dos de medias las endiferencia la para )% - (1 100 del confianza de intervaloy~y~: es simo - i to tratamien del media la para )% - (1 100 del confianza de intervalo, 2 . . j i , 2 . .j i, 2 i. , 2 i.i + s s + s s o oo o o oM.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 9 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 17 EJEMPLO Un fabricante de papel que se emplea para bolsasdecomestibles,seinteresaen mejorarlaresistenciaalatensindel producto.Ingenieradeproductos considera que la resistencia a la tensin es una funcin de la concentracin de madera duraenlapulpa,yqueelintervalode concentracionesdemaderadurade intersprcticoestaentre5y20por ciento. Uno de los ingenieros responsables delestudiodecideinvestigarcuatro nivelesdelaconcentracindemadera dura:5,10,15y20.Decidetambin elaborarseisespecimenesdepruebaen cada nivel de concentracin, utilizando una plantapiloto.Los24especimenesse pruebanenunprobadordetensinde laboratorio,enordenaleatorio.Losdatos deesteexperimentosemuestranenla tabla 3.3, que se presenta a continuacin: Concentracinde maderadura (%) Observaciones123456 5781511910 10121713181915 15141819171618 20192522231820 Utilizaremos el anlisis de varianza en este problema para probar la hiptesis dequelasdiferentesconcentracionesdemaderanoafectanlaresistencia media a la tensin del papel.60 94 102 127 Yi. .~iy10 15.66 17 21.16 Y..= 383 9583 . 15~.. = yM.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 18 EJERCICIO #1 EnunarticulodeACImaterialsJournal sedescribenvariosexperimentospara investigarelvarilladodelconcretocon unavarilla,afindeliberarelaire atrapado.Seutilizuncilindrode3X6 pulgadas, y el nmero de veces que se uso estavarillaeslavariabledediseo.La resistenciaalacompresinresultante del ejemplar de prueba de concreto es la variablederespuesta.Losdatosse muestran en la tabla siguiente: a) Hay alguna diferencia en la resistencia a lacompresindebidaalnivelde varillado?. Utiliceb) Analicelosresidualesdeeste experimento.Quconclusionespueden sacarseacercadelossupuestos fundamentales del modelo? Nivel de varillado Resistencia a la compresin 10 15 20 25 1530 1610 1560 1500 1530 1650 1730 1490 1440 1500 1530 1510 05 . 0 = oM.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 10 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 19 Enalgunosexperimentosdeunsolofactor,elnmerode observacionesrecolectadasencadatratamientopuedenser diferentes.Enestecasosedicequeeldiseoestadesequilibradoo desbalanceado.Elanlisisdevarianzadescritoanteriormentepuede usarse aun, pero hay que hacer ligeras modificaciones en las formulas de sumas de cuadrados.EL CASO DESEQUILIBRADO VARIANZA. DE ANLISIS EL EN CAMBIO OTRO NINGN REQUIERE SE ; SS: en ntransformase SS para ySS para clculo de formulas Las . n N sea y a) ..., 2, 1, (i i to tratamien del realizadas nes observacio de nmero el n2..12.1 12.. 2TOS TRATAMIENTa1 iT iiNONynySSNyySeaai iiOS TRATAMIENTainjiji = === = = ==M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 20 Existendosventajasdeutilizarundiseo equilibradoobalanceado.Enprimerlugar,si lasmuestrassondelmismotamao,la estadsticadelapruebaesrelativamente insensibleapequeasdesviacionesdela suposicindeigualdaddevarianciasenlosa tratamientos.Estenoeselcasopara muestras de tamaos diferente. Elpoderdelapruebasemaximizasilas muestras son de igual tamao. VENTAJAS DE UTILIZAR UN DISEOEQUILIBRADO O BALANCEADO M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 11 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 21 Seestninvestigandocuatro catalizadoresquepuedenafectarla concentracindeuncomponenteen unamezclalquidadetres componentes.Seobtienenlas siguientes concentraciones: catalizador 1234 58.2 57.2 58.4 55.8 54.9 56.3 54.5 57 55.3 50.1 54.2 55.4 52.9 49.9 50.0 51.7 EJEMPLO a) Loscuatro catalizadorestienenel mismoefectosobrela concentracin? b) Construirlaestimacin deunintervalode confianzade99%para larespuestamediadel catalizador 1. . iy.~iy284.5 223.1 159.7 204.5 56.9 55.775 53.2333 51.125 Y..=871.8 4875 . 54~.. = yM.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 22 MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 12 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 23 MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS Enmuchassituaciones,elfactordeinterstieneungrannmero de niveles posibles. Si el experimentador selecciona al azar ade estosnivelesdelapoblacindenivelesdelfactor,entonces afirmamos que el factor es aleatorio. Debidoaquelosnivelesdelfactorutilizadosrealmenteenel experimentoseeligieronenformaaleatoria,lasconclusiones alcanzadas sern validas respecto a la poblacin completa de los niveles del factor.Supondremosquelapoblacindenivelesdel factoresdetamaoinfinitooqueeslosuficientementegrande como para considerarse infinita. El modelo estadstico lineal es:{a in j ij i ijy,..., 2 , 1,..., 2 , 1==+ + = c t donde tiy cij son variables aleatorias independientes. Ntese queelmodeloesidnticoenestructuraalcasodeefectos fijos,perolosparmetrostienenunainterpretacin diferente.AlmodeloanteriorseleconocecomoModelode Efectos Aleatorios M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 24 PARMETROS DEL MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS Enlugardeprobarhiptesisrespectoaefectosdetratamiento individuales, probamos las hiptesis SisecumpleH0,todoslostratamientossonidnticos;perosise cumple H1, entonces hay variabilidad entre tratamientos. la varianza de cualquier observacin es:( )(((((

== + ====aiiaiiaiiE OS TRATAMIENTijnnnanMS MSy V112102 2 211n: por reemplazar debe se n" " , desiguales muestras de tamaos paradonde ;t to o o0 :20=to H0 :21)to HM.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 13 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 25 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIN DE LA VARIANCIA DE LOS FACTORES ||.|

\| =||.|

\| =+s+s+ 11 111 1Donde ;1 1, 1 , 2 1, 1 , 22 22a N a Eos Tratamienta N a Eos TratamientTTF MSMSnUF MSMSnLUULLooo o oM.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 26 Unfabricantesuponequeexiste diferenciaenelcontenidodecalcio enlotesdemateriadeprimaquele sonsuministradosporsuproveedor. Actualmentehayunagrancantidad de lotes en la bodega. Cinco de estos sonelegidosaleatoriamente.Un qumicorealizacincopruebassobre cadaloteyobtienelossiguientes datos: a) Hayvariacinsignificativaenel contenidodecalciodeunlotea otro? b) Estimelascomponentesdevarianza del modelo. c) Determineunintervalodeconfianza del 95% paraLote 1 Lote 2 Lote 3 Lote 4 Lote 5 23.46 23.48 23.56 23.39 23.40 23.59 23.46 23.42 23.49 23.50 23.51 23.64 23.46 23.52 23.49 23.28 23.40 23.37 23.46 23.39 23.29 23.46 23.37 23.32 23.38 EJEMPLO ( )2 22o o ott+Yi. .~iy117.29 117.46 117.62 116.9 116.82 23.458 23.492 23.524 23.38 23.364 y..=586.0944 . 23~.. = yM.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 14 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 27 EJERCICIO Acontinuacinsedescribeun experimentoqueinvestigalos efectosdecuatrosustancias qumicasblanqueadorassobrela brillantezdelapulpa.Estascuatro sustanciasqumicasseseleccionaron alazardeunagranpoblacinde agentesblanqueadorespotenciales. Los datos son los siguientes: a) Hay alguna diferencia en los tipos de sustancias qumicas? Useb) Estimelavariabilidaddebidaaltipo de sustancia qumica. c) Estimelavariabilidaddebidaalerror aleatorio.d) Analicelosresidualesdeeste experimentoycomentelaadecuacin del modelo. Sustancia qumica Brillantez de la pulpa 1 77.19974.46692.74676.20882.876 2 80.52279.30681.91480.34673.385 3 79.41778.01791.59680.80280.626 4 78.00178.35877.54477.36477.386 05 . 0 = oM.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 28 DISEO ALEATORIZADO POR BLOQUES COMPLETOS Enmuchosproblemasdeinvestigacinesnecesariodisear experimentosenlosquepuedacontrolarse sistemticamentelavariabilidadproducidapordiversas fuentes extraas, el diseo aleatorizado es el ms adecuado para la solucin de este tipo de problemas. Eldiseoaleatorizadoporbloquescompletoesquizsel diseoexperimentalmsampliamenteutilizado.Enla prctica, las situaciones en las que este diseo se aplica son muy numerosas y pueden detectarse fcilmente.A menudo, lasunidadesdeequipodepruebaomaquinarason diferentes en sus caractersticas de operacin y constituyen unfactortpicoqueesnecesariocontrolar.Lotesde materiaprima,personasotiempo,tambinconstituyen fuentes de variabilidad en un experimento, las cuales pueden sercontroladassistemticamentemedianteelanlisisde prueba. M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 15 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 29 ANLISIS ESTADSTICO j i aa 2 1 0ijj iuna menos al : H... : H: hiptesis siguientes las probardeseanse tanto, lo porgeneral, media la de es desviacioncomo consideran se bloque de yto tratamien de efectos los aun, Ms fijos. factores sonbloques los comotos tratamien los tanto que considera se te Inicialmen aleatorio. errordel usual trmino el es ybloquesimo - j del efecto el es to, tratamien simo - i del efecto el es general, media una es donde,..., 2 , 1,..., 2 , 1: es diseo este para o estadstic modelo el bloques. los dedentro ocurre tos tratamien los de cinaleatoriza nica la porque cinaleatoriza la ennrestricci unan representa bloques los que dice se menudo, Aente. aleatoriam determina se bloque cada enmedidosson tos tratamien los que enordnel ybloque, cada eniento por tratam nobservaci una realiza Sebloques. b" " y) comparados serdeben(que tos tratamien a" " tienense general enque Supongamos c| t c | t == = ===+ + + =enb ja iyij j i ijM.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 30 CONTINUABLOQUES OS TRATAMIENT T EbjjBLOQUESaiiOS TRATAMIENTbjijaijjiibjijaiaiij jbjij iSS SS SS SSNyaySSNybySSNyyFy y y yy y y y = = = =)= = = = = == = = = == = == = = == =;; SS F si rezar se nula hipotesis LaNyy~;ayy~;byy~ ;b 1,2,..., i ;a; 1,2,..., i ;12..2.12..2.2..121T1) - 1)(b - (a 1, - a , 0.....j.ji.i.b1.a1.1 1..1.1.oM.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 16 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 31 ANOVA FUENTE DE VARIACIN SUMA DE CUADRADOS GRADOS DE LIBERTAD MEDIA DE CUADRADOS F0 TRATAMIENTOS a-1 BLOQUESb-1 ERROR(a-1)(b-1) TOTALN-1 Nyybjijai2..121 = ==aiiNyby12..2.=bjjNyay12..2.BLOQUES OS TRATAMIENT TSS SS SS 1 aSSOS TRATAMIENT1 bSSBLOQUES) 1 )( 1 ( b aSSEEOS TRATAMIENTMSMSM.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 32 EJEMPLO: Supongamosquesedeseadeterminarsi cuatrodiferentespuntasproducenuna diferenciaenlaslecturasdeunequipo paramedirladureza.Lamquina funcionapresionandolapuntasobreuna probetademetalydeterminandola durezadelaprobetaapartirdela profundidaddelamarcaqueseproduce. Haycuatropuntasyestndisponibles cuatroprobetasde metal.Cada puntaes probadaunavezencadaprobeta, resultandoundiseoaleatorizadopor bloquecompletos.Losdatosrecopilados se muestran a continuacin. Recordar que elordenenquesepruebanlaspuntas sobreunaprobetaenparticularse determinaaleatoriamente.Realiceel anlisisdevarianzayobtengalas conclusiones pertinentes. Utilice =0.05 Tipo de punta Probeta (bloque) 1234 19.39.49.61038.39.575 29.49.39.89.938.49.6 39.29.49.59.737.89.45 49.79.61010.239.59.875 37.637.738.939.8 9.49.4259.7259.95 . iy.~iyjy.jy.~154.. = y625 . 9~.. = yM.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 17 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 33 CONSIDERACIONES IMPORTANTES Hasta el momento se han descrito procedimientos de prueba, considerando que lostratamientosylosbloquessonfactoresfijos.Elmismoprocedimientode anlisis puede usarse si tanto los bloques como los tratamientos (o ambos) son aleatorios. Por supuesto que las conclusiones variaran, ya que si los bloques son aleatorios,seesperaquelascomparacionesentrelostratamientosseanlas mismas en toda la poblacin de bloques de la que se eligieron aleatoriamente los que se usaron en el experimento. Si existe la interaccin entre los tratamientos y los bloques, la prueba para las mediasdelostratamientosnoseveafectadaenelcasodequelosbloques sean aleatorios. la razn de ello es que tanto el valor esperado de la media de cuadrados de tratamiento como la del error contienen el efecto de interaccin. Cualquiermtododecomparacindemediasdetratamientosanalizadocon anterioridad puede ser usado con este propsito. La eleccin del tamao de la muestra, o del nmero de bloques, es una decisin importantecuandoseusaundiseoaleatorizadoporbloques.Alaumentarel nmero de bloques, aumentael nmero de rplicas (repeticiones) as como los grados de libertad de la media de cuadrados del error, haciendo el diseo ms sensible. M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 34 ESTIMACIN DE VALORES FALTANTES Enocasiones,cuandoseutilizaundiseoaleatorizadopor bloquescompletos,algunadelasobservacionesenunodelos bloquespuedefaltar.Estosucededebidoaalgndescuidoo error,oporrazonesfueradelcontroldelexperimentador, como sera el caso de la prdida de alguna unidad experimental. Unaobservacinfaltanteintroduceunnuevoproblemaenel anlisisyaquelostratamientosdejandeserortogonalesalos bloques. Existen dos formas generales de resolver el problema de valores faltantes, La primera es un anlisis aproximado en el que se estima la observacin faltante. A continuacin se efecta el anlisis de varianza usual como si la observacin estimada fuera un dato real, disminuyendo los grados de libertad del error en uno. La segunda es el anlisis exacto del cual obtenemos el estimador para la observacin faltante: ) 1 )( 1 (.. . . ' ' + '=b ay y b y axj iAcontinuacinseefectael anlisisdevarianzausual comosilaobservacin estimadafueraundatoreal, disminuyendolosgradosde libertad del error en uno. M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 18 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 35 EJEMPLO: Tipo de punta Probeta (bloque) 1234 19.39.49.610 29.49.3x9.9 39.29.49.59.7 49.79.61010.2 62 . 996 . 86) 1 4 )( 1 4 (2 . 144 ) 1 . 29 ( 4 ) 6 . 28 ( 4) 1 )( 1 (.. . .= = += ' ' + '=b ay y b y axj iM.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 36 DISEO DE CUADRADO LATINO Eldiseodecuadradolatinoseusaparaeliminardosfuentesde variabilidadproblemticas;enotraspalabras,permiteanalizar sistemticamenteporbloquesendosdirecciones.Enestediseo, losrenglonesycolumnasrepresentan,enrealidad,dos restriccionesalaaleatorizacin.Engeneraluncuadradolatino parapfactores,ouncuadradolatinopxp,esuncuadradoque tieneprenglonesypcolumnas.Cadaunadelasp2celdas contiene una de las p letras que corresponde a un tratamiento, y cadaletraapareceunaslovezencadarenglnycolumna.A continuacin se presentan algunos ejemplos de cuadrados latinos: 4x45x56x6 ABDC BCAD CDBA DACB ADBEC DACBE CBEDA BEACD ECDAB ADCEBF BAECFD CEDFAB DCFBEA FBADCE EFBADC M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 19 M.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 37 ANLISIS ESTADSTICO = = = + + + + =p esima kp o tratamient esimo jp renglon esimo iijk k j,..., 2 , 1 columna,..., 2 , 1,..., 2 , 1y: es latino cuadrado del o estadstic modelo Eli ijkc | t o ANOVA Fuente de variacin Suma de cuadrados Grados de libertad Media de cuadrados F0 TratamientosP-1 Renglones P-1 Columnas P-1 Error Por diferencia(p-2)(p-1) Total P2-1 =pjjNypy12...2. .=piiNypy12...2..=pkkNypy12...2..= = =piijkpjpkNyy12... 21 11 PSSOS TRATAMIENT1 PSSRENGLONES1 PSSCOLUMNAS) 1 )( 2 ( P PSSEEOS TRATAMIENTMSMSM.C. MIGUEL NGEL MELCHOR NAVARRO Diseo de Experimentos EI2 38 EJEMPLO: Supongamosqueunexperimentadorestestudiandoelefectodecincofrmulas diferentesdelamezcladedinamitasobrelafuerzaexplosivaobservada.Cada frmulasepreparausandounlotedemateriaprima,losuficientementegrande paraqueslosehagancincomezclas.Msaun,lasmezclaslaspreparanvarios operadores,pudiendoexistirunadiferenciasustancialenlahabilidady experienciaentreellos.Alparecerhaydosefectosextraosquesedeben cancelareneldiseo:lotesdemateriaprimayoperadores.Eldiseoapropiado paraesteproblemaconsisteenprobarcadafrmulaexactamenteunavez, utilizandocadalotedemateriaprima,yenquecadafrmulaseapreparada exactamente una vez porcada uno de los cinco operadores.El diseo que resulta apareceacontinuacin.Hayquenotarqueestediseoesunarreglocuadradoy quelascincofrmulas(otratamientos).Serepresentanmediantelasletras latinasA,B,C,D,E.Seobservaquetantoloslotesdemateriasprima(renglones) como los operadores (columnas) son ortogonales a los tratamientos. Lote de materia prima Operadores12345 1A=24B=20C=19D=24E=24 2B=17C=24D=30E=27A=36 3C=18D=38E=26A=27B=21 4D=26E=31A=26B=23C=22 5E=22A=30B=20C=29D=31 M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 20 ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI239 CUADRADOS GRECOLATINOS Consideremos un cuadrado latino pxp al que se le sobrepone un segundo cuadrado latino cuyos tratamientos se designan por letras griegas. Se dice que los dos cuadrados son ortogonales. Sialsobreponerseposeenlapropiedaddequecadaletra griegaaparecesolamenteunavezconcadaletralatina.Este diseo se conoce como Cuadrado Grecolatino. Eldiseodelcuadradogrecolatinopuedeutilizarsepara controlarsistemticamentetresfuentesextraasde variabilidad.Enotraspalabras,seusaparahacerunanlisis por bloques en tres direcciones. Eldiseopermiteanalizarcuatrofactores(rengln,columna, letragriegayletralatina),cadaunaconpniveles,usando solamentep2ensayos.Loscuadradosgrecolatinosexisten para toda p3 excepto si p=6. ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI240 MODELO ESTADSTICO DE UN CUADRADO GRECOLATINO n. observaci cualquiernte completamer identifica para necesarios sonsubndices cuatro los de dos Slo aleatorio. error del componente la es yl" " columna la de efecto el es griegas; letras las dek" " to tratamien del efecto el es latinas; letras las de j" " to tratamien del efecto eles ; renglnsimo - i del efecto el es ; k" " griega letra la yj" " latina letra lal" " columna la , i" " renglnal e correspond que nobservaci la es donde en ;,..., 2 , 1,..., 2 , 1,..., 2 , 1,..., 2 , 1ijkl lkj iijklijkl l k j i ijklyp lp kp jp iyc et uc e t u ====+ + + + + =El anlisis de varianza es muy similar al de un cuadrado latino . El factor representado por las letras griegas es ortogonal a los renglones, las columnas y los tratamientos de la letra latina porque cada letra griega ocurre una sola vez en cada rengln, en cada columna y para cada letra latina. M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 21 ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI241 ANOVA (ANLISIS DE VARIANZA) Fuente de variacin Suma de cuadrados Grados de libertad Media de cuadrados F0 Tratamientos de letra latina P-1 Tratamientos de letra griega P-1 RenglonesP-1 ColumnasP-1 Error Por diferencia(p-3)(p-1) Total P2-1 =pjjNypy12....2.. .=pkkNypy12....2. ..=piiNypy12....2...=pllNypy12....2...= = = =piijklpjpkplNyy12.... 21 1 11 PSSTLL1 PSSTLG1 PSSRENG1 PSSCOL) 1 )( 3 ( P PSSEETLLMSMSESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI242 EJEMPLO: Supngase que en el experimento para comparar las frmulas para la dinamita delejemploanterior,tieneimportanciaelfactoradicionallneademontaje. Considerequeexistencincolneasdemontajerepresentadasporlasletras griegas,,,,y.Eldiseodecuadradogrecolatino5x5queresultase muestra a continuacin: Lote de materia prima Operadores12345 1A =24B=20C=19D=24E=24 2B=17C=24D=30E=27A=36 3C=18D=38E=26A=27B=21 4D=26E=31A=26B=23C=22 5E=22A=30B=20C=29D=31 M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 22 43 DISEO DE EXPERIMENTOSFACTORIAL Diseo de ExperimentosEI2 ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI244 INTRODUCCIN Pordiseofactorialseentiendeaquelenelquese investigantodaslasposiblescombinacionesdelos nivelesdelosfactoresencadaensayocompletoo rplicadelexperimento.Porejemplosiexistena nivelesdelfactorAybnivelesdefactorB, entoncescadarplicadelexperimentocontiene todaslasabcombinacionesdelostratamientos.A menudo,sedicequelosfactoresestncruzados cuando estos se arreglan en un diseo factorial. El efecto de un factor se define como el cambio en la respuestaproducidaporuncambioenelniveldel factor. M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 23 ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI245 CONTINUA Enalgunosexperimentospuedeencontrarse queladiferenciaenlarespuestaentrelos niveles de un factor no es la misma en todos losnivelesdelosotrosfactores.Puede observarsequeexisteunainteraccinentre losfactoresAyBporqueelefectodeA depende del nivel elegido de B. Una interaccin significativa oculta a menudo el significado de los efectos principales. ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI246 DISEO FACTORIAL DE DOS FACTORES Hay a niveles del factor A y b niveles del factor B, dispuestosenundiseofactorial;estoes,cada repeticinorplicadelexperimentocontienetodas lascombinacionesdetratamientoab.Engeneral, hay n repeticiones. M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 24 ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI247 DISPOSICIN GENERAL PARA UN DISEO BIFACTORIAL FACTOR A FACTOR B 12 4 1y111 , y112,, y11n y121 , y122,, y12n y1b1 , y1b2,, y1bn 2y211 , y212,, y21n y221 , y222,, y22n y2b1 , y2b2,, y2bn . . . 4ya11 , ya12,, ya1n ya21 , ya22,, ya2n yab1 , yab2,, yabn ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI248 MODELO ESTADSTICO( )( )( )( ) j. i, toda para ; 0 una menos al : H0 : Hnan interaccio columna yrenglnde tos tratamien los si determinar e interesant es Tambin 0 una menos al : H0 ... : Hcolumna de to tratamien de efectos los de igualdad la de0 una menos al : H0 ... : Hdecir, es rengln, de to tratamien de efectos los de igualdad la de acercahiptesis probarenconsiste inters el mente Especifica a. importanci misma la tienencolumnade como renglnde tos) tratamien (o factores los tanto factores, dos de factorial diseo unEn aleatorio. errordel componente el es yyentre ninteracci lade efecto el es B, columna factordel nivel simo - j del efecto el es A, rengln factor del nivel simo - i del efecto el es general, media la de efecto el es donde,..., 2 , 1,..., 2 , 1,..., 2 , 11012 1 012 1 0ijk j iji==== = = === = = ====+ + + + =ijijjbiaijijk ij j i ijkyenn kb ja iyt|t||| | |tt t tc | tt| |t c t| | t M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 25 ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI249 ANLISIS ESTADSTICO = = = = = = = == = = =aibjnkijknkijk ijainkijk jbjnkijk iy y y y y y y y1 1 1...1.1 1. .1 1..; ; ; ;SUBTOTALES T EB A AB T E B A SUBTOTALES ABaibjijSUBTOTALESaijBaiiAaibjnkijkijjiiiSS SS SSSS SS SS SS SS SS SS SS SSabnynySSabnyanySSabnybnySSabnyya i paraabnyynyyanyybnyy = = = = = = ==== = = = = = = == = =;; ;; SSb 1,2,..., j ,..., 2 , 1~;~;~;~2...1 12.2...12. .2...12..1 12...12T........... .......ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI250 ANOVA Fuente de variacin Suma de cuadrados Grados de libertadMedia de cuadrados F0 Tratamientos ASSAa-1 Tratamientos BSSBb-1 Interaccin SSAB(a-1)(b-1) ErrorSSEab(n-1) Total SSTabn-1 1 aSSA1 bSSB) 1 )( 1 ( b aSSAB) 1 ( n abSSEEAMSMSEBMSMSEABMSMSM.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 26 ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI251 CONSIDERACIONES Si el anlisis de varianza indica que hay diferencia en el nivel medio delosrenglonesocolumnas,resultadeintersllevaracabo comparaciones entre las medias individuales de rengln o columna paradescubrirlasdiferenciasespecificas,paraestolosmtodos estudiados anteriormente son de utilidad. Antesdepoderadoptarlasconclusionesdelanlisisdevarianza, debeprobarselaadecuacin del modelo supuesto. Como antes, la herramienta principal es el anlisis de residuos. Hayqueprocurarnoeliminareltrminointeraccin,yaquela presenciadeunainteraccinsignificativapuedetenerunefecto importante en la interpretacin de los datos. Cuandotenemosenunexperimentosolamenteunaobservacin porcelda,debemosomitirelefectodeinteraccinporloquese hace menos sensible el experimento. ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI252 EJEMPLO: Uningenierodiseaunabateraparasuusoensudispositivoqueser sometidoaciertasvariacionesextremasdetemperatura.Elnicoparmetro de diseo que el puede seleccionar en este punto es el material de la cubierta de la batera, y tiene tres alternativas. Cuando el dispositivo se manufactura y seenvaalcampo,elingenieronotienecontrolsobrelosextremosde temperatura a que ser expuesto el dispositivo, y sabe por experiencia que es probablequelatemperaturainfluyaenladuracinefectivadelabatera.Sin embargo, si es posible controlar la temperatura en el laboratorio de desarrollo deproductosparalosfinesdeensayo.Elingenierodecideprobarlostres materialesdelacubiertaatresnivelesdetemperatura(15,70y125F) consistentesenelentornodeusofinaldelproducto.Sepruebancuatro bateras a cada combinacin de material de la cubierta y temperatura, y las 36 pruebasseejecutanalazar.Elingenierodeseacontestarlassiguientes preguntas: 1. Qu efecto tiene el tipo de material y la temperatura sobre la duracin de la batera? 2. Existeunaeleccindelmaterialquedporresultadounaduracin uniformemente larga sin importar la temperatura? Los datos recolectados se presentan a continuacin: M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 27 ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI253 DATOS RECOLECTADOS Tipo de material Temperatura (F) 1570125 1130 155 74 180 34 40 80 75 20 70 8258 2150 188 159 126 136 122 106 115 25 70 58 45 3138 110 168 160 174 120 150 139 96 104 82 60 539 623 576 229 479 583 230 198 342 Yi.. 998 1300 1501 y.j.17381291770Y= 3799 ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI254 MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS Seconsiderala situacinenlaquelos nivelesdelosfactores AyBseeligenalazar depoblacionesms grandes.Esteesel modelodeefectos aleatoriosode componentesde varianza.Las inferenciaspueden generalizarseatodos losnivelesdelas poblacionesbajo estudio, por que los a nivelesdeAylosb nivelesdeBse eligieronalazar.Las observacionespueden representarse medianteelsiguiente modelo lineal. ( ); F donde ; F: como calcula se prueba de o estadstic el ; 0 : H ; 0 : H hiptesis la probarPara; F donde ; F: como calcula se prueba de o estadstic el ; 0 : H ; 0 : H hiptesis la probarPara; F donde ; F: como calcula se prueba de o estadstic el ; 0 : H ; 0 : H hiptesis la probarPara: que ya cambian, calculos estos hiptesis, las probar de objeto cona estadstic la determinar para embargo, Sinfijos. efectos de modelo el encomocalculos los realizanse palabras otras encambios; sinpermanece bsico varianza de anlisis Elsentido. uneninclasificac de aleatorios efectos de el ymodelo este entre similitud la observa Se. 0 : H ; 0 : H ; 0 : H ; 0 : H ; 0 : H ; 0 : H: son probarse debenque hiptesis Las;MS;MS;MS varianza. las de s componente como conocense , , , , donde) (: por dada esta nobservacicualquier de varianza La . aleatorias les son variab modelo del parmetros los donde en ,..., 2 , 1,..., 2 , 1,..., 2 , 11) - ab(n 1), - 1)(b - (a 02a201) - 1)(b - (a 1, - b 02a201) - 1)(b - (a 1, - a 02a2020202a202a202 AB 2 B 2 A 22 2 2 22 2 2 2EABABBABAEE AB ABijkijk ij j i ijkMSMSMSMSMSMSMSnMSanMSbnMSy Vn kb ja iy== === === == = = = = =====+ + + ====+ + + + =t| t|| |t tt| t| | | t tt| | tt| | tt| | to oo oo oo o o o o oo o o oo o o oo o o oc t| | t M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 28 ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI255 CONSIDEREELMISMOEJEMPLOANTERIORPEROAHORA ANALCELO COMO UN MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS: Un ingeniero disea una batera para su uso en su dispositivo que ser sometidoaciertasvariacionesextremasdetemperatura.Elnico parmetrodediseoqueelpuedeseleccionarenestepuntoesel material de la cubierta de la batera, y tiene tres alternativas. Cuando el dispositivosemanufacturayseenvaalcampo,elingenieronotiene controlsobrelosextremosdetemperaturaaqueserexpuestoel dispositivo,ysabeporexperienciaqueesprobablequelatemperatura influyaenladuracinefectivadelabatera.Sinembargo,siesposible controlar la temperatura en el laboratorio de desarrollo de productos para los fines de ensayo. El ingeniero decide probar los tres materiales de la cubierta atresniveles detemperatura(15,70y125F)consistentesen el entorno de uso final del producto. Se prueban cuatro bateras a cada combinacin de materialde lacubiertaytemperatura,ylas36 pruebas seejecutanalazar.Elingenierodeseacontestarlassiguientes preguntas: 1. Qu efecto tiene el tipo de material y la temperatura sobre la duracin de la batera? 2. Existeunaeleccindelmaterialquedporresultadounaduracin uniformemente larga sin importar la temperatura? Los datos recolectados se presentan a continuacin: ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI256 DATOS RECOLECTADOS Tipo de material Temperatura (F) 1570125 1130 155 74 180 34 40 80 75 20 70 8258 2150 188 159 126 136 122 106 115 25 70 58 45 3138 110 168 160 174 120 150 139 96 104 82 60 539 623 576 229 479 583 230 198 342 Yi.. 998 1300 1501 y.j. 17381291770 Y= 3799 M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 29 ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI257 MODELOS MIXTOS A continuacin se considera la situacinenlaqueunodelos factoresAesfijo,mientras queelotroBesaleatorio. Estesedenominamodelo mixtodelanlisisdevarianza. El modelo estadstico lineal es: ( ); F donde ; F: como calcula se prueba de o estadstic el ; 0 : H ; 0 : H hiptesis la probarPara; F donde ; F: como calcula se prueba de o estadstic el ; 0 : H ; 0 : H hiptesis la probarPara; F donde ; F: como calcula se prueba de o estadstic el ; 0 : H ; 0 : H hiptesis la probarPara: que ya cambian, calculos estos hiptesis, las probar de objeto cona estadstic la determinar para embargo, Sinfijos. efectos de modelo el encomocalculos los realizanse palabras otras encambios; sinpermanece bsico varianza de anlisis Elsentidos. dos eninclasificac de aleatorios efectos de el ymodelo este entre similitud la observa Se. 0 : H ; 0 : H ; 0 : H ; 0 : H ; 0 : H ; 0 : H: son probarse debenque hiptesis Las;MS;MS varianza. las de s componente como conocense , , , donde) (: por dada esta nobservacicualquier de varianza La . menos aleatorias les son variab modelo del parmetros los donde en ,..., 2 , 1,..., 2 , 1,..., 2 , 11) - ab(n 1), - 1)(b - (a 02a201) - ab(n 1, - b 02a201) - 1)(b - (a 1, - a 0a 020202a20 a 02 AB 2 B 22 2 22 2 2iEABEBABAi ii iEE Eijkijk ij j i ijkMSMSMSMSMSMSMSnMSanMSy Vn kb ja iy== === === == = = = = ====+ + ====+ + + + =t| t|| |t| t| | |t| |t| |t| |o oo ot to o o o t to o oo o oo o otc t| | t ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI258 DISEO FACTORIAL GENERAL M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 30 ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI259 INTRODUCCIN Losresultadosdeldiseofactorialdedosfactorespueden extendersealcasogeneralenelqueexistenanivelesde factor A, b del factor B, c del factor C, y as sucesivamente, arregladosenunexperimentofactorial.Engeneralhabrun totalabc,,nobservacionessihaynrplicasdel experimentocompleto.Denuevosehacenotarquedeben recopilarse al menos dos rplicas (n2) para poder determinar lasumadecuadradosdelerrorsitodaslasposibles interacciones en el modelo son incluidas. Enelcasodequetodoslosfactoresdelexperimentosean fijos, fcilmente pueden formularse y probarse hiptesis acerca delosefectosprincipalesydelasinteracciones.Parael modelodeefectosfijos,losestadsticosquepruebancada efectoprincipalycadainteraccinsepuedenconstruir dividiendo la media de cuadrados del efecto o de la interaccin correspondienteentrela media de cuadrados delerror. Todas estaspruebasFcorrespondenapruebasunilateralesdel extremo superior. ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI260 CONTINUA Los gradosdelibertaddecualquierefectoprincipalsonigualal nmero denivelesdelfactormenosuno;ylosgradosdelibertaddeuna interaccinsonelproductodelosgradosdelibertadasociadosconlos componentes individuales de la interaccin. ( ) ( ) ( ) ( )cuadrados. de medias las de esperados valores los de partira ente inmediatamdeducense nes interaccio las ys principale efectos los probarpara F pruebas Lasfijos. sonC B, A, que suponiendo n, continuaci a aparece varianza de anlisis del tabla La,..., 2 , 1,..., 2 , 1,..., 2 , 1,..., 2 , 1yfactores. tres de varianza de anlisis de modelo el ejemplo, pore, Considresij kl====+ + + + + + + + =n lc kb ja iijkl ijk jk ik ij k j ic t| | t t| | t M.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 31 ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI261 ANLISIS ESTADSTICO abcnybcnySSaiiA2....12... ==abcnyacnySSbjjB2....12.. . ==abcnyabnySSckkC2....12. .. ==abcnyy SSnlijklaibjckT2....121 1 1 = = = = =B AaiijbjABSS SSabcnycnySS == =2....12..1C Aaik ickACSS SSabcnybnySS == =2....12. .1C BbjjkckBCSS SSabcnyanySS == =2....12. .1BC AC AB C B AaiijkbjckABCSS SS SS SS SS SSabcnynySS == = =2....12.1 1SSSUBTOTALES(ABC) ) ( ABC SUBTOTALES T ESS SS SS =Como podemos ver a continuacin en la tabla del ANOVA para el caso de efectos fijos, el calcular los estadsticos es ms sencillo que en el caso de efectos aleatorios. ESTADSTICA I Diseo de ExperimentosEI262 ANOVA Fuente de variacin Suma de cuadrados Grados de libertadMedia de cuadradosF0 ASSAa-1 BSSB b-1 CSSC c-1 ABSSAB (a-1)(b-1) ACSSAC (a-1)(c-1) BCSSBC (b-1)(c-1) ABCSSABC (a-1)(b-1)(c-1) ERRORSSE abc(n-1) TOTALSST abcn-1 1 =aSSMSAA1 =bSSMSBB1 =cSSMSCC) 1 )( 1 ( =b aSSMSABAB) 1 )( 1 ( =c aSSMSACAC) 1 )( 1 ( =c bSSMSBCBC) 1 )( 1 )( 1 ( =c b aSSMSABCABC) 1 ( =n abcSSMSEEEAMSMSEBMSMSECMSMSEABMSMSEACMSMSEBCMSMSEABCMSMSM.C. MIGUEL ANGEL MELCHOR NAVARRO 28/09/2011 32 ESTADSTICA IDiseo de ExperimentosEI263 EJEMPLO: Unembotelladordebebidagaseosadeseaobtenermayoruniformidadenla alturadellenadodelasbotellasquesalendesuprocesodemanufactura.En teoralamquinallenadoraintroducelquidoencadabotellahastalaaltura objetivodecorrecta,peroenlaprcticaexistevariacinalrededordeeste objetivo,yelfabricantequisieracomprendermejorlasfuentesdeesta variabilidad para poder reducirla. Elingenierodeprocesopuedecontrolartresvariablesduranteelprocesode llenado: porcentaje de carbonatacin (A), presin de trabajo en la llenadora (B) ynmerodebotellasquesellenanporminuto,ovelocidaddelalnea(C). Presin y velocidad son fciles de controlar, pero el porcentaje de carbonatacin (CO2 gaseoso) es ms difcil de regular durante la manufactura real debido a que varaconlatemperaturadelproducto.Sinembargo,paralosfinesdeun experimento, el ingeniero puede controlar la carbonatacin a tres niveles: 10, 12 y14%.Eligedosnivelesparalapresin(25y30lb/plg2,opsi)ydosparala velocidaddelalnea(200y250botellasporminuto,bpm).Decidehacerdos rplicas de un diseo factorial con estos tres factores, y las 24 corridas se hacen al azar. La variable de respuesta observada es la desviacin promedio respecto a laalturadellenadoobjetivoqueseobservaenunacorridadeproduccinde botellas en cada conjunto de condiciones.A continuacin se presentan los datos queresultandeesteexperimento.Lasdesviacionespositivassonalturasde llenadoqueexcedenelobjetivo,mientrasquelasdesviacionesnegativasson alturas que no alcanzan este objetivo. ESTADSTICA IDiseo de ExperimentosEI264 DATOS RECOLECTADOS % de carbonatacin (A) Presin de operacin (B) 25 psi30 psi Rapidez de la lnea Rapidez de la lnea 200250200250 10-3-1-10-1 01 1 12012 12 36 5 145 4767 91011 -4 1 9 -1 3 13 -1 5 16 2 11 21 ... iy-4 20 59 . . jky6152034 75.... = y.. . jy 2154