Eigenvalores

7/15/2019 Eigenvalores

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Eigenvalores y eigenvectores

• Los dos problemas principales del álgebra lineal son: resolver sistemas lineales de

la forma A x = b y resolver el problema de eigenvalores.

• En general, una matriz actúa sobre un vector cambiando tanto su magnitud como

su dirección. Sin embargo, una matriz puede actuar sobre ciertos vectores

cambiando solamente su magnitud.

• Una función vectorial A es lineal si:

a) A( x + y ) = A x + A y

b) A(α x ) = α A x

donde x y y son vectores y α es escalar.

• Definición.- Dada una transformación lineal A, un vector e ≠ 0 es un eigenvector

de A si satisface la ecuación:

Ae = λe

para algún escalar λ, llamado un eigenvalor de A correspondiente al eigenvector e.



k

• Un eigenvalor λ y un eigenvector ē de una matriz cuadrada [ A]

satisfacen la ecuación:

Aē = λē

o de forma equivalente: (A – λI)ē = Ō

• Cualquier múltiplo escalar, cē , también satisface la ecuación. En

consecuencia, para definirlos con precisión es usual requerir que los

eigenvectores tengan longitud unitaria:

|| ē || = [∑e 2]½ = 1

• En este caso, si ē satisface la ecuación, entonces -ē también la

satisface.• Si además [ A] es simétrica entonces los eigenvectores son

ortogonales. Por lo tanto, los eigenvectores serán ortonormales:



• La multiplicidad algebraica (m.a.) es el número de veces que se repite un

eigenvalor (o el número de veces que se repite una raíz de la ecuación

característica) y la multiplicidad geométrica (m.g.) es el número de

eigenvectores linealmente independientes asociados a un eigenvalor

particular.

• Para cada eigenvalor distinto de una matriz n x n existe un eigenvector

asociado a él, e.d., ambas multiplicidades son iguales a 1. Si la multiplicidad

algebráica de un eigenvalor es r puede haber a lo más r eigenvectores l.i.

asociados a él.

• Los eigenvectores correspondientes a eigenvalores distintos son linealmente

independientes y forman una base para Rn.

• Si A es una matriz de n x n simétrica, entonces sus eigenvalores son reales.

• Si A es una matriz de n x n simétrica y positiva definida, entonces suseigenvalores son reales y mayores que cero.

• Una matriz A es ortogonal si es cuadrada con elementos reales y sus

columnas y renglones son vectores ortogonales unitarios. Si A es ortogonal

entonces su transpuesta es igual a su inversa.



• Si A es una matriz de K x K y es no-singular, habrá K parejas λ K , ē

K con

eigenvalores distintos de cero. Si A es singular al menos uno de sus eigenvalores

será cero y el eigenvector correspondiente será arbitrario.

• Dada una matriz simétrica A, la matriz E cuyas columnas son los eigenvectores de

A es ortogonal: ET = E-1 , EET = ETE = I

• La transformación ortogonal ETx define una rotación rígida de los ejes

coordenados en el espacio K-dimensional de x, llamado un eigenespacio.

• Este espacio cubre el mismo “territorio” que las coordenadas originales pero

usando un conjunto de ejes diferente.• Las K parejas λ

K , ē

K contienen la misma información que la matriz [A] a partir de

la cual fueron calculadas y por lo tanto pueden considerarse como una

transformación de [A].

• Esta equivalencia puede expresarse como la descomposición espectral (o

descomposición de Jordan) de [A], donde [A] es simétrica:



• La matriz original [A] puede recuperarse mediante la suma pesada de estasmatrices , donde los pesos son los eigenvalores correspondientes. Ladescomposición espectral de una matriz es análoga a la descomposición deFourier de una función o serie de datos, con los eigenvalores jugando el papel de las amplitudes de Fourier y las matrices el de las funciones

senoidales.

f(x) = a0 + ∑a

n cos(nx) + ∑b

n sen(nx)

• La matriz de eigenvectores [E] tiene la propiedad de que diagonaliza lamatriz simétrica original [A]: (también se cumple si A no es simétrica perotiene K eigenvectores l.i.)

• Los eigenvectores de una matriz simétrica no-singular son iguales a los desu inversa, , y los eigenvalores correspondientes son recíprocos:

• Por lo tanto, el eigenvector de [A] asociado con su eigenvalor más grandees el mismo que el eigenvector de [A]-1 asociado con su eigenvalor más pequeño y viceversa.



Descomposición en Valores Singulares

• La descomposición espectral de una matriz cuadrada y simétrica

puede ser extendida a cualquier matriz rectangular [Anxm

]

(con n ≥ m) usando la descomposición en valores singulares (SVD):

• Las m columnas de L son llamadas vectores singulares izquierdos y las mcolumnas de R son los vectores singulares derechos. Ambos conjuntos de

vectores son mutuamente ortogonales.

• La matriz es diagonal y sus elementos no-negativos son llamados los

valores singulares de [A].

• Si [A] es cuadrada y simétrica, la SVD se reduce a la descomposición

espectral con

• Los valores singulares de una matriz [A] de m x n son las raíces

cuadradas de los eigenvalores de la matriz [ATA] de n x n.



• Aún si [A] no es simétrica, existe una conexión entre la SVD y los

eigenvalores y eigenvectores de ambas matrices ,

las cuales son cuadradas y simétricas (una es m x m y la otra n x n).

• Específicamente las columnas de [R] son los eigenvectores (m x 1) de

, las columnas de [L] son los eigenvectores (n x 1) de y

los valores singulares respectivos son las raíces cuadradas de los

eigenvalores correspondientes,



Funciones Empíricas Ortogonales

(Empirical Orthogonal Functions)

• El análisis de FEOs busca estructuras que expliquen la mayor cantidad de la varianzacontenida en un conjunto de datos bidimensional. Puede haber varios tipos de

matrices o arreglos de datos bidimensionales:

Arreglo espacio-tiempo: mediciones de una sola variable en M localidades tomadas

en N tiempos diferentes.

Arreglo parámetro-tiempo: Mediciones de M variables tomadas en una sola localidad

en N tiempos diferentes.

Arreglo parámetro-espacio: Mediciones de M variables tomadas en N localidades

diferentes en un sólo tiempo.

• Generalmente, al conjunto de estructuras obtenidas en la dimensión espacial se lesconoce como las FEOs, mientras que al conjunto complementario de estructuras en la

dimensión temporal se les conoce como Componentes Principales.• Ambos conjuntos de estructuras son ortogonales en su propia dimensión.

• Objetivo: Proporcionar una descripción compacta de la variabilidad espacial ytemporal de series de datos usando un número más pequeño de piezas de informaciónindependientes (en términos de funciones ortogonales o “modos” estadísticos).



• El análisis mediante FEOs es un método para “particionar” la varianza

de un conjunto de series de tiempo distribuidas espacialmente.

• Son llamadas “empíricas” para reflejar el hecho de que están definidas

mediante la covarianza del conjunto de datos que está siendo

analizado.

• Usualmente, la mayor parte de la varianza de las series detiempo

distribuidas espacialmente está representada por las primeras funcionesortogonales cuyos patrones pueden estar vinculados con posibles

mecanismos dinámicos.

• No necesariamente existe una relación física directa entre las FEOs

(puramente estadísticas) y cualquier proceso dinámico con el que se les

relacione.



• El método de FEOs o CP utiliza el concepto de eigenvalores (valores

propios o característicos) y eigenvectores (vectores propios ocaracterísticos).

• Hay dos formas de calcular FEOs: 1) Se construye la matriz decovarianzas de las series de datos y después se descompone eneigenvalores y eigenvectores. 2) Se utiliza la descomposición en

valores singulares (SVD) de la matriz de datos para obtener los

eigenvalores, eigenvectores y amplitudes de variación temporal

(componentes principales) sin calcular la matriz de covarianzas.

• Las FEOs obtenidas por ambos métodos son idénticas. La diferencia

está dada por el mayor grado de sofisticación, rapidez computacional y

estabilidad de la SVD.

P di i



Procedimiento

• Consideremos un conjunto de N mapas en los tiempos t = 1...N, donde cada

mapa contiene mediciones del campo en los sitios m = 1 … M. Por lo

tanto, tenemos M series de tiempo todas de longitud N, con N>M.• El primer paso es remover el promedio de cada una de las series de tiempo

para obtener las anomalías. Se puede trabajar con las anomalías o con las

anomalías estandarizadas. La estandarización es especialmente relevante

cuando se analizan dos o más campos de manera conjunta para asegurar que

no domina un campo sobre los otros.

• Se construye la matriz de datos FM x N

Cál l d O d l i d i



Cálculo de FEOs usando la matriz de covarianzas

• La matriz R es simétrica y cuadrada, aún si F no es cuadrada. Si las series

de datos en F están normalizadas entonces R será la matriz de correlación

en lugar de la matriz de covarianzas.

• Una vez calculada R se resuelve su problema de eigenvalores-eigenvectores:



• Generalmente los eigenvalores en la matriz están acomodados en

orden decreciente. Como la matriz de datos F es real, la matriz de

covarianzas R es positiva definida, lo que significa que todos sus

eigenvalores son mayores o iguales a cero.

• Aunque la dimensión de es M x M , típicamente solo los primeros

K eigenvalores son distintos de cero, donde

Entonces la dimensión efectiva de es de hecho K x K y por lo

tanto solamente se pueden determinar K modos o FEOs.

• Cada eigenvalor distinto de cero está asociado con un eigenvector

columna en la matriz E. Por lo tanto, solamente se usan K eigenvectores en la descomposición y la dimensión efectiva de la

matriz E será M x K .

• Los eigenvectores no están correlacionados y cada uno representa el

patrón espacial o FEO de modo k .



• Cada eigenvalor es proporcional al porcentaje de la varianza

del campo observado F que es descrito por el modo k .

• La evolución temporal del k-ésimo modo o FEO se obtiene proyectandolos datos originales sobre los eigenvectores, con lo que se obtienen las

Componentes Principales:

• es K x M , F es M x N y A es K x N , en donde se ha utilizado la matriz E

reducida. Los renglones de la matriz A son series de tiempo de longitud N.

• El campo original F puede reconstruirse en su totalidad multiplicando cada

eigenvector por su correspondiente CP y sumando los productos:

• Sin embargo, el objetivo de la descomposición en FEOs es la reconstruc-

ción aproximada, compacta y menos ruidosa, del campo original F usando

solamente los H primeros modos, con H < K:



E = 0.8479 -0.53020.5302 0.8479

Avg.

Λ = 254.7571 00 8.2902



• Generalmente se tienen observaciones de una variable particular en K sitios para n tiempos distintos, donde K >> n.

• La matriz de covarianzas (KxK) es demasiado gr ande.

• Como K > n la matriz de covarianzas es singular, lo cual implica que

los últimos K – n eigenvalores son cero.

• Intercambiando el papel de los puntos en espacio y tiempo, se calcula

la matriz de covarianzas de n x n

• Los eigenvalores de ambas matrices de covarianzas son los mismos.

• Los eigenvectores de S*nxn

son diferentes a los de SkxK

pero pueden

obtenerse a partir de los de S* mediante:



Estadística multivariada



Estadística multivariada

• Un conjunto de datos univariado consiste de una colección de nobservaciones escalares:

• Un conjunto de datos multivariado puede acomodarse en un arreglo

rectangular de números (o matriz) con n renglones y K columnas.

Cada elemento corresponde a la i-ésima observación de la j-ésima

variable, donde i = 1, …, n y j = 1, ..., K . (Geométricamente se puedever como un espacio K -dimensional en donde cada renglón define un

punto en dicho espacio).



• Promedio muestral multivariado: vector cuyas componentes son los

K promedios muestrales individuales

• La extensión multivariada de la varianza muestral es la colección de

covarianzas entre todas las posibles parejas de las K variables

si k = l entonces la ecuación define la varianza muestral

• Matriz de covarianzas o matriz de dispersión:

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