EJERCICIOS:

I) Calcular la suma de las series:

1) 1)1(

11

=+

∑∞

=n nn 2)

4

1

)2)(1(

13

=++

∑∞

=n nn 3)∑

∞

= −3 2 14

1n n

4)6

1

4

1

3

12 11

=

+∑

∞

= −−n nn 5)∑

∞

=

−3 4

12n n

n

6)2

1

)1(2

11

=+

∑∞

=k kk

7)3

10

10

30

=∑∞

=n n 8) 3

3

20 1

=∑∞

= −n n 9)

2

15

5

430

=+

∑∞

=n n

nn

10)4

1

)2)(1(

11

=++

∑∞

=n nnn 11)

2

3

3

210

−=

−∑

∞

=n n

n

12)∑∞

=

−

0 100

6

10

25n nn

13)2

1

2

10 1

=∑∞

= +n n 14)

4

1

2

10 3

=∑∞

= +n n 15)∑

∞

=

+

0

3

3

2n n

n

16) 1)1(

121 22

=+

+∑

∞

=n nn

n 17)∑

∞

=

+1 1n n

nLn 18)

n

n

e∑

∞

=

1 π

19) ......1 21+++++

−−− neee 20) ( )

n

n

−∞

=∑1

12 21)∑

∞

=

+1

1n n

nLn

22)∑∞

= −−0 2 3816

4n nn

23)

n

n e∑

∞

=

1

π

II) Estudiar la convergencia de las series:

1)∑∞

= −⋅⋅⋅⋅⋅1 )12(531

!n n

n 2)

( )

( )∑

∞

=+

+1 3

1

1n

n

nLn 3)

1

1

2

24

5+

∞

=∑

+

+n

n n

n

4)∑∞

= −+

+1 3 12

)(n nn

nLnn 5)∑

∞

= +

+1 31

21n n

n

6)∑∞

=2

)(n n

e

nLn

7)

2

2

1n

n nnSen∑

∞

=

8)

( )[ ]∑

∞

=2

1n k

nLnn 9)

( )[ ]∑

∞

= −2 15

1n k

nLnn

10)

2

2 1

1n

n n

n∑

∞

=

−

+ 11)

( )∑

∞

=+

+0 3 4 1

2n

n

nSen 12)

( )∑

∞

=++

−0 5 28 135

3n

nn

nCos

13)

n

n n

3

1

11

−∞

=∑

− 14)∑

∞

=

−

1

2

n

nne 15)∑∞

=+

+−+1 5

3 22

3

112n

n

nn

16)( )

( ) ( )∑

∞

= ++++

1 31

3

21

!5n nn

n

nn

n 17)

( )∑∞

=

+2

2 1n nnLn

n 18)∑

∞

= +

+1 24

53n n

n

n

19)∑∞

= +

+1 2

22n n

n

ne

n 20)

2

2 1

2n

n n

n∑

∞

=

+

+ 21)

( )∑

∞

=

−⋅⋅⋅⋅⋅1 !

12531n n

n

22)( )∑

∞

=

+2

12n nnLn

n 23)

( )

( )∑∞

= ⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅1 3963

23741n n

n 24) ∑

∞

=1

!n n

n

n

25)

nn

n n

n2

1

2

3

2+

∞

=∑

−

+ 26)

12

1

2

12

++∞

=∑

+

nn

n n

n 27)∑

∞

=

−1 2 12n nCos

π

28)( )

∑∞

=+

⋅+

1 3 2 1

11

nn

nSenn

29)( )( )

( )( )∑

∞

= ⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅1 41284!

451161n n

n

nen

nn 30)

( )∑∞

=

+

1

11

n nSenLn

31)( )( )∑

∞

=−−

1 3

3

1512n

nn

n 32)∑

∞

=−

1 3

1n

nnn 33)∑

∞

=1

2

!2

)!(n n

n

34)( )[ ]

∑∞

=

+2

1n n

nLnn

n 35)∑

∞

=

1

1n n

Tag 36)

1

1 2

22

35

54+−

∞

=∑

−+

+−nn

n nn

nn

37)

−

+⋅∑

∞

= 1

111 n

nLn

nn

38) ( )

∑∞

=1

2 1

n n

nSen

39)∑∞

=

1

1n

nArcSen

40)( ) ( )

∑∞

=+

2 3

1n

nLnnnLn 41)

+∑

∞

= 2

2

1

1

n

nLn

n

III) Estudiar si la serie converge absolutamente, condicionalmente o si diverge:

1) ( )( )

∑∞

=

+

+

−−

1 2

21

1

781

n n

n

ne

n 2)

( )

( )∑

∞ −2

1

nLnn

n

3) ( )( )

∑∞

=

+ −−

1 3

21 1

1n

n

n

n

4) ( )

∑∞

=

⋅−0 32

71n n

nn

5) ( )( )

∑∞

=

+ +−

1

1 11

n

n

nn

n 6) ( )

( )

( )[ ]∑∞

=

+

+−

1 2

1

11

n

n

nLnn

nLn

7) ( )

⋅

−∑

∞

= nn n

n

tag22

11

π 8) ( )

( )∑

∞

=

−

+

+−

1

1

1

11

n

n

n

nLn9) ( )

1

1

2

12

21

++

∞

=∑

+

+−

nn

n

n

n

n

10) ( )∑∞

=

+−

1 12

11

n

n

narctag 11)

( )( )∑

∞

= −

−1

2

!12

101n

nn

n 12)

( ) ( )( )∑

∞

= −⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−1 13852

1275311n

n

n

n

13)( ) ( )( )( )( )∑

∞

= +++

−1 21

2

1

!31n nn

nn

nn

n 14)

( )∑

∞

= +

+−1 35

131n

n

n

n 15)

( )∑

∞

=

−

+

−1

1

1

1n

n

n

n

16)( ) ( )

( )∑∞

=

−

+⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅−1

1

521197

237411n

n

n

n 17)

( )∑

∞

=

−2 )(

1n

n

nLn

n 18)

( )∑

∞

=

−

+

−1

1

1

)(1n

n

n

nLn

19)( )

∑∞

=

−

+

−1 2

31

23

151n

n

n

n 20)

( )∑

∞

=

−1 1

1n

n

n

n

21)( )

( )∑∞

= +

−1 12

31n n

nn

n

22)( )

( )∑

∞

=−

+−1 2

2

52

31n

n

n

n 23)

( )

( )∑

∞

=+

−1 3

1

!1n

n

n

n 24)

( )∑

∞

= +

+−0 31

411n n

nn

IV) Encontrar el intervalo o dominio de convergencia:

1)( ) ( )

( )∑∞

=

−

−⋅⋅⋅⋅⋅

−

1

1

12531

23!1

n

nn

n

n

xn 2)

( ) ( ) ( )

( )∑∞

=

−−

1 3

12

31

n

nn

n

nLn

x 3)

( )[ ]∑

∞

=2

1n x

nLnn

4)( )

( )( )n

n

n

xn

n2

1

211

3

−⋅+

+−∑

∞

= 5)

( ) ( )( )∑

∞

=

−

−⋅⋅⋅⋅⋅

−−1

1

12531

1!1n

nn

n

xn 6) ( )n

nx

n

n2

!

26421

−⋅⋅⋅⋅⋅

∑∞

=

7)( ) ( )

( )∑

∞

=

−−−

1

1

!22

2!1n n

nn

n

xn 8)

( ) ( )∑

∞

=

+−−

1

121

n

nn

nn

x 9)

( )∑

∞

=

−2

1n

nn

nLnn

x

10) ( )

( )∑∞

=

+

++

−5 3

1

)1(1

1n n

nn

nLnne

x 11)

( )∑

∞

=

+

+1

1

1n n

n

x

x 12)∑

∞

=0 !n

n

n

x

13)( ) ( )

( )∑∞

= +

−+1 1

131n

nn

n

xnLn 14)

( ) ( )∑

∞

=

−

⋅

⋅⋅−1 2

1

3

21n n

nnn

n

xnLn 15)

( )∑

∞

=

+

+2

1

1

3n n

nn

xn

x

16) ( )

∑∞

=

+

+1

1

1

3n n

nn

xn

x 17)

( )∑

∞

= ⋅1 2n n

n

n

Lnx 18)

( )

( )∑∞

=

−

⋅1

1

3n n

n

nLnn

Lnx

19)( )

∑∞

= ⋅1

4n n

n

n

arcsenx

π 20) ( )

( )

( )∑

∞

=++

−−

0112

31

n

nn

nn

x 21) ( )

( )( )∑

∞

=

−

+

−+−

0

31

12

311

n

nn

n

xn

22)( )

( )n

nx

n

nLn5

11−

+∑

∞

= 23) ( )n

nx

n

nn2

13

31 2

2

−

+

+∑

∞

= 24)

( )∑

∞

=⋅

1

1n n

Lnxn

25)( ) ( ) ( )

( )∑∞

=

−

−⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−

1

1

127531

13

21

n

nnn

n

x 26)( )

[ ]∑

∞

=

−2

1n n

n

Lnx 27)

n

nx

n

n∑

∞

=

+

+1 1

2

28) ( )( )

[ ]∑∞

= ++

1 2 1)(1

n

n

nLnn

nLnx 29)

[ ]∑

∞

=⋅+

+0 25

1

12n n

xn

n 30)

[ ]∑

∞

=−

12

n nx

n

31)∑∞

= −⋅1 12

2

n nn

n

n

x 32)

( )( ) ( )∑

∞

= ++

−⋅1

2

11

32n

nn

nLnn

x 33) ( )

2

213

312

1 2

2n

n

nx

n

nn−

+

++

∞

=∑

34)( )

[ ]( )n

nx

n

n4

!2

!1

2

+∑∞

= 35)

( )( )n

n nex

e

nLn−∑

∞

=1 36) n

n

n

xn

n⋅∑

∞

=1 !

37)( )

12

04

1 +∞

=⋅

−∑ n

n nx 38) ( )

!11

2

1 n

x

n

nn

n⋅+∑

∞

= 39) ( )n

nLnx

n

n⋅∑

∞

=1 !5

3

40) n

nLnx

n

n⋅∑

∞

=1 5

3 41)∑

∞

=

−

1n

nxe

V) Desarrollo en serie de potencias.

a) !!4!3!2!1

1432

n

xxxxxe

nx

++++++= LL converge para ∞<x

b) ( )!12

)1(!9!7!5!3

129753

+−+−+−+−=

+

n

xxxxxxsenx

nn

LL converge para ∞<x

c) ( )( )!2

1!6!4!2

1cos2642

n

xxxxx

nn

−++−+−= LL converge para ∞<x

d) 12

)1(!9753

129753

+−+−+−+−=

+

n

xxxxxxArctgx

nn

LL

e) ( ) ( )n

xxxxxxLn

nn 1

432

1432

1−

−++−+−=+ LL converge para 1<x

f) Binomial

Converge para 1<x

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

!

121

!3

21

!2

111

32

n

xnppppxpppxpppxx

np +−−−

++−−

+−

++=+L

L

A) Desarrollar en serie de potencias de “x” y hallar su intervalo de

convergencia:

1) ( ) xexxf

2−⋅= 2) ( ) xsenxxf cos⋅= 3) ( ) xxf

2cos= 4) ( ) 3 8 xxf +=

5) ( ) ( )xLnxf += 2 6) ( ) 21 xexf x+= 7) ( )

x

xxf

cos1−= 8) ( )

21

1

xxf

−=

9) ( ) xexxf ⋅=

2 10) ( ) senxxxf2

= 11 ( ) 2cos xxf = 12) ( ) senhxxf =

13) ( ) ( ) 221

−+⋅= xxxf 14) ( ) ( ) x

exxf−

⋅+= 1 15) ( )

+

++=

2

21

111

1

x

xLn

xxxf

B) Calcular usando series de potencias:

1) 21

112

2

20

=

−

+

→ x

xLn

xLim

x

2)6

13

0

−=−

→ xsen

ArcsenxxLim

x

3) 12

0

=−

−−−

→ Arctagxx

xeexx

xLim 4)

( ) 31

120

−=+

−

→ xLnx

xArctgxLim

x

5)( )

21

12

1

=−

−

→ x

xsenLim

x

6)( )( ) senxxLn

xLim

x ++

−+

→ 1

11 21

0

7)2823 2

0 −+

−

→ x

xArcsenxLim

x

8)3

4

416

39

2

2

0

=−+

−+

→ x

xLim

x

9)2

1242

0

=−+

→ Arctgx

xLim

x

10)( )

21cos

20

−=→ x

xLnLim

x

11) ( )233 23xxxxLim

x

−−+∞→

12)( )

( )1

1

0 −⋅

−+

→x

x ex

ArcsenxxLnLim

13)4

13

0

=−

→ x

senhxTagxLim

x

14)( )

5

3

0

2

3cos2

x

exxxsenxx

xLim

+−+

→

15)( ) 6

113

0

=+

−

→ xLnx

ArctgxsenxLim

x

16) −∞=−

→3

0

sec

x

xTagxLim

x

17)( )

+∞=−

−

→2

0 cosh1 x

senhxxLim

x

18)

x

xArtg

xLim

x 1

12

1

−

∞→

19)

−

−

−

→

xx

x

xLim

x

cosh12

51212

2

60

20)

−

−→ xxLim

x cos

1

1

1

0

21)

−

→

xtagx

xLim

x 4

42

2

2

π 22)

x

xLim

x −

−

→ 1

1

1

23)( )

2

cos

0 xsen

xex

xLim

−

→

C) Resolver las siguientes integrales:

1) dtt

sentx

∫0

2) ∫−

t

tdte

0

2

3)( )

dtt

tLnx

∫+

0

1 4) ( )∫ +

x

dttLn0

21

5) dtt

ex t

∫−

0

1 6) dt

t

ex t

∫−

0

12

7) ∫−

x

t

dt

041

8) ∫−

x

tdtte

0

cos

D) Aplicando desarrollos en series de potencias, encontrar el valor aproximado

de: (con 3 cifras decimales).

1) dxx

ex

∫−

−21

0

1 2) dx

x

Arctgx∫2

1

0

3) 621,0

1

0

=∫ dxx

senx 4) 608,0cos

1

0

3 =∫ xdxx

5) dxx

x∫

−1

0

2

cos1 6)

( )dx

x

xLn∫

+21

0

1 7) 508,01

21

0

3=+∫ dxx 8) 189,0

1

0

2 2

=∫−x

ex