Ejemplo de representación de la función:

f ( x )= x

1+x2

1 Dominio 1+x2=0⟹D=R2 Simetría

f (−x )= −x

1+(−x )2=−f (x)

Simetr í a respecto al origen .3 Puntos de corte a) Puntos de corte con OX (x=0¿: sustituimos el valor de x=0 en la función y calculamos cuánto

vale y :

y= 0

1+02⟹ y=0

Punto de corte con OX :(0 ,0)

b) Puntos de corte con OY( y=0¿: igualamos la función a cero y calculamos el valor de x :x

1+ x2=0⟹ x=0

Punto de corte con OY :(0 ,0)4 Asíntotas a) Asíntota horizontal:

limx⟶∞

x

1+x2=0⟹ y=0

b) Asíntotas verticales: no tiene.c) Asíntotas oblicuas: no tiene.

5 Crecimiento y Decrecimiento

Hacemosla primera derivada y la igualamos a cero :

f ' ( x )= 1−x2

(1+x2 )2⟹ 1−x2

(1+x2 )2=0⟹ x=±1

x (−∞,−1) (−1,1) (1 , ∞)f ' ( x ) −¿ +¿ −¿

↘ ↗ ↘

Creciente :(−1 ,1)Decreciente :(−∞,−1)∪(1 , ∞)

6 Máximos y Mínimos M á ximo(1,

12 )M í nimo (–1 ,−1

2 )7 Concavidad y

ConvexidadHacemosla segunda derivada y laigualamos a cero :

f ' ' ( x )=2 x3−6 x

(1+x2 )3⟹ 2x3−6 x

(1+x2 )3=0⟹ x=0 y x=±√3

x (−∞,−√3) (−√3 ,0) (0 ,√3) (√3 , ∞)f ' ' ( x ) −¿ +¿ −¿ +¿

∩ ∪ ∩ ∪

C ó ncava : (−√3 ,0 )∪(√3 , ∞)Convexa :(−∞,−√3)∪(0 ,√3)

8 Puntos de Inflexión Puntos de inflexi ó n :(−√3 ,

−√34 ) (0 ,0 )(√3 , √3

4 )9 Representación

gráfica

6.4.4 ASÍNTOTASLas asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Hay tres tipos de asíntotas:

6.4.4.1 ASÍNTOTAS HORIZONTALESlim

x →+∞f ( x )=k

ólim

x→−∞f (x)=k

y=k

Ejemplo: Calcular las asíntotas horizontales de la función:

f ( x )=2 x2+3x2−1

limx→ ∞

2x2+3x2−1

=2

La función tiene una asíntota horizontal en y=2

6.4.4.2 ASÍNTOTAS VERTICALESlimx →k

f ( x )=± ∞ x=k

Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido por cero.k son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).

Ejemplo: Calcular las asíntotas verticales de la función:

f ( x )=2 x2+3x2−1

En primer lugar hay que analizar cuál es el punto o los puntos críticos (recordar el dominio).

x2−1=0⟹ x2=1⟹x=±√1⟹x=±1

limx→−1

2 x2+3x2−1

=∞⟹x=−1

limx→+1

2 x2+3x2−1

=∞⟹ x=1

La función tiene una asíntota vertical en x=−1 y otra en x=1

6.4.4.3 ASÍNTOTAS OBLICUASLas asíntotas oblicuas son rectas cuya ecuación cumple:

y=mx+n dondem=lim

x → ∞

f (x )x

¿n=limx→ ∞

[ f (x )−mx ]Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.

Ejemplo: Calcular las asíntotas oblicuas de la función:

f ( x )= x2+2x−2

Primero: Calculamos las asíntotas horizontales.

limx→ ∞

x2+2x−2

=∞⟹

No hay as í ntotas horizontales .Segundo: Calculamos las asíntotas verticales.

x−2=0⟹x=2

limx →2

x2+2x−2

=∞⟹

La funci ó n tiene una as í ntota vertical en x=2Tercero: Calculamos las asíntotas oblicuas porque no hay asíntotas horizontales.

m=limx →2

x2+2x−2

x=lim

x →2

x2+2x2−2 x

=1

n=limx → ∞

( x2+2x−2

−1· x)=limx → ∞

2 x+2x−2

=2

Por tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es:y=x+2

6.5 ESTUDIO DE LA MONOTONÍA Y EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN

6.5.1 DERIVABILIDAD Y CONTINUIDADSi una función es derivable en un punto x=a, entonces es continua para x=a.El recíproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.

Ejemplo 1: Estudiar la continuidad y derivabilidad de la

función: f ( x )={1 si x<0x si x ≥0

En primer lugar estudiamos la continuidad en x=0f (0 )=0lim

x→ 0−¿ 1=1¿¿

limx→ 0+¿ x=0¿

¿

La función no es continua y por tanto, tampoco es derivable.

Ejemplo 2: Estudiar la continuidad y derivabilidad de la

función: f ( x )={0 si x<0x si x ≥0

En primer lugar estudiamos la continuidad en x=0f (0 )=0lim

x→ 0−¿ 0=0¿¿

limx→0+¿ x=0¿

¿

La función es continua. Por tanto, podemos estudiar la derivabilidad.

limx→0−¿ 0−0

h= lim

x→ 0−¿0=0 ¿¿¿

¿

limx→0+¿ 0+h−0

h= lim

x→0+¿ hh= lim

x →0+¿ 1=1¿¿¿

¿ ¿

¿

Como no coinciden las derivadas laterales, la función no es derivable en x=0.

Ejemplo 3: Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función: f ( x )=x2 en x=0.

En primer lugar estudiamos la continuidad en x=0f (0 )=0lim

x→0−¿ x2=0¿¿

limx→ 0+¿ x2=0¿

¿

La función es continua en x=0. Por tanto, podemos estudiar la derivabilidad.

f ' ( x )=limh →0

(0+h )2−02

h=lim

h →0

h2

h=lim

h →0h=0

En x=0, la función es continua y derivable.

6.5.2 INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

6.5.2.1 CRECIMIENTOSi f es derivable en a:

f esestrictamente creciente en a⟹ f ' (a )>0

6.5.2.2 DECRECIMIENTOSi f es derivable en a:

f esestrictamente decreciente en a⟹ f ' (a )<0

6.5.2.3 CÁLCULO DE LOS INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTOEl proceso de cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento sigue siempre el mismo proceso. Vamos a estudiarlo con un ejemplo:

Ejemplo 1: Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de: f ( x )=x3−3x+2Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:

1. Derivar la función

f ' ( x )=3x2−32. Obtener las raíces de la derivada primera. Para

ello, hacemos f ' ( x )=0 .

3 x2−3=0⟹ {x=−1x=1

3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

Si f ' ( x )>0es creciente .Si f ' ( x )<0es decreciente .

Del intervalo (−∞,−1) tomamos x=−2, por ejemplo.

f ' (−2 )=3·(−2)2−3=9>0Del intervalo (−1 ,1) tomamos x=0, por ejemplo.

f ' (0 )=3 ·(0)2−3=−3<0Del intervalo (1 , ∞) tomamos x=2, por ejemplo.

f ' (2 )=3 ·(2)2−3=9>0

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:Intervalo de crecimiento: (−∞,−1)∪(1 , ∞) Intervalo de decrecimiento: (−1 ,1)

Ejemplo 2: Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:

f ( x )= x3

( x−1 )2

Dominio( x−1 )2=0⟹ x=1⟹D=R−{1 }

Derivar la función

f ' ( x )= x3−3 x2

( x−1 )3

Igualar a cero la derivada primera

x3−3x2

( x−1 )3=0⟹ {x=0

x=3Formar intervalos abiertos y estudiarlos

La función es creciente en: (−∞ ,0 )∪(0 ,1)∪(3 , ∞) La función es decreciente en: (1 ,3)

6.5.3 EXTREMOS RELATIVOS O LOCALESSi f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

1. Si f ' ( a )=0.2. Si f ' ' (a ) ≠0.

6.5.3.1 MÁXIMOS LOCALESSi f y f ' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. Si f ' ( a )=0.2. Si f ' ' (a )<0.

6.5.3.2 MÍNIMOS LOCALESSi f y f ' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. Si f ' ( a )=0.2. Si f ' ' (a )>0.

6.5.3.3 CÁLCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Ejemplo: Estudiar los máximos y mínimos de la siguiente función: f ( x )=x3−3x+2. Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f ' ( x )=0f ' ( x )=3 x2−3

3 x2−3=0⟹3 x2=3⟹ x2=1⟹ {x=−1x=1

2. Realizamos la segunda derivada y calculamos el signo que toman en ella los ceros de la derivada primera y si:

Si f ' ' ( x )>0, tendremos un mínimo.

Si f ' ' ( x )<0, tendremos un máximo.

f ' ' ( x )=6 xf ' ' (−1 )=6 · (−1 )=−6<0⟹M á ximof ' ' (1 )=6 ·1=6>0⟹M í nimo

3. Calculamos la imagen (en la función original) de los extremos relativos.

f (−1 )=(−1 )3−3 · (−1 )+2=4Por tanto:

f (1 )=13−3 ·1+2=0 {M á ximo :(−1 ,4)M í nimo :(1 ,0)

6.5.4 CONCAVIDAD Y CONVEXIDADSi f y f ' son derivables en a:

{f ' ' ( a )>0⟹ f es c ó ncava en af ' ' ( a )<0⟹ f es convexaen a

Tomaremos siempre el criterio que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.

6.5.4.1 INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

Ejemplo 1: Estudiar los de concavidad y convexidad de la función: f ( x )=x3−3x+2.Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f ' ' ( x )=6 x6 x=0⟹ x=0

2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la segunda derivada y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

3. Tomamos un valor de cada intervalo y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

Si f ' ' (a )>0⟹ f es c ó ncava en aSi f ' ' (a )<0⟹ f es convexa en a

Del intervalo (−∞ ,0 ) tomamos x=−1, por ejemplo:

f ' ' (−1 )=6 · (−1 )=−6<0⟹Convex aDel intervalo (0 , ∞ ) tomamos x=1, por ejemplo:

f ' ' (1 )=6 · (1 )=6>0⟹C ó ncav a

4. Escribimos los intervalos.Concavidad :(0 , ∞)Convexidad :(−∞ ,0)

Ejemplo 2: Estudiar los de concavidad y convexidad de la

función: f ( x )= x3

( x−1 )2

Dominio:( x−1 )2=0⟹ x=1⟹D=R−{1 }Hallar la derivada primera:

f ' ( x )= x3−3 x2

( x−1 )3

Hallar la derivada segunda:

f ' ' (x )= 6 x

( x−1 )4

Igualamos la segunda derivada a cero:6 x

( x−1 )4=0⟹6 x=0⟹ x=0

Estudiamos los intervalos y lo que ocurre en ellos:x (−∞,0) (0 ,1) (1 , ∞)

f ' ' (x ) −¿ +¿ +¿∩ ∪ ∪

Escribimos los intervalos:C ó ncava :(0 ,1)∪(1 , ∞)Convexa :(−∞,0)

6.5.5 PUNTOS DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS)En los puntos de inflexión, la función no es cóncava ni convexa sino que hay un cambio de concavidad a convexidad o viceversa.Si f y f ' son derivables en a:

{a es un punto de inflexi ó n⟹ f ' ' (a )=0f ' ' ' (a)≠0

6.5.5.1 ESTUDIO DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN

Ejemplo: Calcular los puntos de inflexión de:

f ( x )=x3−3x+2.Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f ' ' ( x )=6 x6 x=0⟹ x=0

2. Realizamos la derivada tercera y calculamos el signo que toman en ella los ceros de la derivada segunda y si f ' ' ' (a)≠0 tendremos un punto de inflexión.

f ' ' ' ( x )=6≠0Tenemos un punto de inflexi ó n en x=0

3. Calculamos la imagen (en la función original) del punto de inflexión.

f (0 )=03−3 ·0+2=2Por tanto, el punto de inflexión es: (0 ,2 )