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Aspectos estadısticos y matematicos de los problemas inversos 23/403

Ejemplo introductorio de ecologıa

1 %% Sc r i p t to f i t Lotka�Vo l t e r r a to data .2 % Data : Number o f p e l t s c o l l e c t e d by the Hudson Bay Company3 % c x � r = dy/y45 c l e a r a l l , c l f , c l c67 %% Loading data and p l o t t i n g8 import LV ( ’ l v d a t a . t x t ’ )9 % load l v d a t a . t x t

10 % g l o b a l data11 T = data ( : , 1 ) ;12 L = data ( : , 2 ) ;13 H = data ( : , 3 ) ;14 f i g u r e (1 )15 p l o t (T, L , ’�.o ’ ,T,H, ’�.o ’ , ’ L ineWidth ’ , 2)16 t i t l e ( ’Number o f p e l t s c o l l e c t e d by the Hudson Bay Company ’ )17 y l a b e l ( ’ Popu l a t i o n s ’ )18 x l a b e l ( ’ Year ’ )19 l egend ( ’ Lynx ’ , ’ Hare ’ )

J. Hector Morales Barcenas c� 2015



1 %% Trans f o rmat i on o f the Lotka�Vo l t e r r a System2 Y = ze r o s (1 , 19 ) ;3 X = z e r o s (1 , 19 ) ;4 f o r k=1:195 Y( k ) = (1/L( k+1) ) ⇤(L ( k+2)�L( k ) ) /2 ;6 X( k ) = H( k+1) ;7 end8 f i g u r e (2 )9 p l o t (X,Y, ’ o ’ )

10 t i t l e ( ’ Phase Space ’ )11 y l a b e l ( ’ Hares ’ )12 x l a b e l ( ’ Lynx ’ )




1 %% Trans f o rmat i on o f the Lotka�Vo l t e r r a System2 P = z e r o s (1 , 19 ) ;3 Q = ze r o s (1 , 19 ) ;4 f o r k=1:195 P( k ) = (1/H( k+1) ) ⇤(H( k+2)�H( k ) ) /2 ;6 Q( k ) = L( k+1) ;7 end8 f i g u r e (3 )9 p l o t (Q,P , ’ o ’ )

10 t i t l e ( ’ Phase Space ’ )11 x l a b e l ( ’ Hares ’ )12 y l a b e l ( ’ Lynx ’ )




1 p1 = p o l y f i t (X,Y, 1 ) ;2 f 1 = p o l y v a l ( p1 ,X) ;34 f i g u r e (4 )5 p l o t (X,Y, ’ o ’ )6 ho ld on7 p l o t (X, f1 , ’�r ’ , ’ L ineWidth ’ , 2 )8 ho ld o f f9

10 %% P o l y f i t 211 p2 = p o l y f i t (Q,P , 1 ) ;12 f 2 = p o l y v a l ( p2 ,Q) ;1314 f i g u r e (7 )15 p l o t (Q,P , ’ o ’ )16 ho ld on17 p l o t (Q, f2 , ’�r ’ , ’ L ineWidth ’ , 2 )18 ho ld o f f1920 [ t , y ] = ode45 ( @lv , [T(1 ) T( end ) ] , [H(1 ) L (1 ) ] ) ;21 f i g u r e (10)22 s ubp l o t ( 2 , 1 , 1 ) ;23 p l o t ( t , y ( : , 1 ) ,T,H, ’�.o ’ , ’ L ineWidth ’ , 2)24 s ubp l o t ( 2 , 1 , 2 )25 p l o t ( t , y ( : , 2 ) ,T, L , ’�.o ’ , ’ L ineWidth ’ , 2)




1900 1902 1904 1906 1908 1910 1912 1914 1916 1918 19200

10

20

30

40

50

60

70

80

1900 1902 1904 1906 1908 1910 1912 1914 1916 1918 19200

10

20

30

40

50

60

Figura 7: Regresion sobre los datos.



Codigo en Octave

1 % S c r i p t : Reg r e s i on Lotka�Vo l t e r r a en da tos .23 c l e a r a l l , c l o s e a l l , c l c45 % Load ing data and p l o t t i n g6 l oad l v d a t a . t x t7 T = l v d a t a ( : , 1 ) ;8 L = l v d a t a ( : , 2 ) ;9 H = l v d a t a ( : , 3 ) ;

1011 % Trans fo rmat i on o f the Lotka�Vo l t e r r a System12 Y = ze r o s (1 , 19 ) ;13 X = z e r o s (1 , 19 ) ;14 f o r k=1:1915 Y( k ) = (1/L( k+1) ) ⇤(L ( k+2)�L( k ) ) /2 ;16 X( k ) = H( k+1) ;17 end18 P = z e r o s (1 , 19 ) ;19 Q = ze r o s (1 , 19 ) ;20 f o r k=1:1921 P( k ) = (1/H( k+1) ) ⇤(H( k+2)�H( k ) ) /2 ;22 Q( k ) = L( k+1) ;23 end2425 % Aju s t e minimos cuadrados po l i n om io 1 e r grado26 p1 = p o l y f i t (X,Y, 1 ) ;27 f 1 = p o l y v a l ( p1 ,X) ;28 p2 = p o l y f i t (Q,P , 1 ) ;29 f 2 = p o l y v a l ( p2 ,Q) ;30



313233 % Ecuac i one s d i f e r e n c i a l e s3435 f u n c t i o n du = l o k v o l ( u )36 % LV : Conta i n s Lotka�Vo l t e r r a e qua t i o n s37 du = z e r o s ( 2 , 1 ) ;38 % Parametros ob t en i d o s de l a r e g r e s i o n39 a = 0 .473183 ;40 b = �0.023985;41 c = 0 .023419 ;42 r = �0.764554;43 du (1 ) = a⇤u (1 ) + b⇤u (1 )⇤u (2 ) ;44 du (2 ) = r⇤u (2 ) + c⇤u (1 )⇤u (2 ) ;45 end f un c t i o n4647 % Se compara l a t e nd en c i a de l o s da tos y l o que48 % a r r o j a l a s o l u c i o n numer ica de l a s49 % ecua c i o n e s d i f e r e n c i a l e s ( modelo matematico ) .5051 x0 = [H(1) ⇤( rand+eps ) L (1 ) ⇤(1.0� rand ) ] ;52 y = l s o d e (” l o k v o l ” , x0 , T) ;5354 % Desp l i e gu e g r a f i c o de l o s r e s u l t a d o s55 s ubp l o t ( 2 , 1 , 1 ) ;56 p l o t (T, y ( : , 1 ) ,T,H, ’�.o ’ , ’ L ineWidth ’ , 2)57 s ubp l o t ( 2 , 1 , 2 )58 p l o t (T, y ( : , 2 ) ,T, L , ’�.o ’ , ’ L ineWidth ’ , 2)




Figura 8: Regresion sobre los datos en Octave.




• Nuestro problema ahora consiste en ajustar un par de rectas a los datos, de tal forma quedeterminemos las pendientes b y c y las ordenadas al origen a y r.

• Estas constantes se conocen como parametros y son importantes por dos razones:

1. Representan biologicamente las tasas de nacimiento y muerte de las especies involucradas.

2. No son medibles directamente en un muestreo, se determinan indirectamente.

• La situacion es tal que el problema esta sobredeterminado, o bien, tambien se dice, malplanteado, ya que tenemos 2⇥21 parejas de datos (liebres y linces respectivamente vstiempo) y solo 2⇥2 parametros (2 en cada recta). Ver Tabla 1.

• En el lenguaje del algebra lineal tenemos el siguiente problema:

Ay = d,

donde la matriz A no es cuadrada, d es funcion del numero de individuos (liebres o linces)y y son los parametros (a, b) o (r, c).




• Como vamos a comparar nuestro modelo dinamico de Lotka-Volterra con datos observacio-nales, nos convendra discretizar el modelo de la siguiente forma:

H(x) :=1

x

dx

dt⇡

1

x

x(t + h) � x(t)

h,

lo que se conoce en analisis numerico como una aproximacion en diferencias finitas.

• De la misma forma tendremos:

L(y) :=1

y

dy

dt⇡

1

y

y(t + h) � y(t)

h.

• Recordemos que tenemos, a nuestra disposicion, los datos de las liebres {xk}k=1,...,21 y delos linces {yk}k=1,...,21 vs el tiempo discreto t1, . . . , t21.

• El valor del incremento h tambien lo podemos elegir a nuestra entera voluntad y

Hk :=xk+h � xk

hxk+1, Lk :=

yk+h � yk

hyk+1.




• Ahora podemos escribir el sistema Lotka-Volterra transformado de la siguiente forma(recordemos que en esta etapa solo queremos determinar los parametros del sistema linealde ecuaciones y no resolver el sistema de ecuaciones diferenciales):

0

BB@

H1

H2...

H21

1

CCA =

0

BB@

1 �y1

1 �y2... ...1 �y21

1

CCA

✓ab

◆.

• De la misma forma tendremos que

0

BB@

L1

L2...

L21

1

CCA =

0

BB@

1 �x1

1 �x2... ...1 �x21

1

CCA

✓cr

◆.

• El problema lineal, como hemos mencionado, esta sobredeterminado: tenemos mas ecuacio-nes que incognitas (parametros).



Introduccion a la regresion

• Llamamos regresion al problema de hallar una curva (superficie) parametrizada que ajustade forma aproximada un conjunto de datos.

• Cuando el modelo de regresion es lineal, respecto a los parametros ajustados, tenemosentonces un problema de regresion lineal, de otra forma, es un problema de regresion nolineal.

• El estudio de los problemas inversos o de estimacion de parametros es importanteporque contesta la pregunta de

¿que tan apropiado es un modelo matematico describiendo y explicando un fenomenonatural en relacion con datos experimentales (respuesta del sistema o fenomeno)?

• La formulacion, implementacion y analisis correctos de un problema inverso requiere deun marco teorico que comprenda a un modelo estadıstico tanto como a un modelomatematico.



Regresion lineal

Problema inverso lineal y discreto

• Vector de datos d, N observaciones y un vector de parametros x que deseamos determinar.

• Sistema lineal de ecuaciones Ax = d, con

A 2 RN⇥M, x 2 RN y d 2 RM.

• Puede ocurrir que rank(A) = N ; es decir, la matriz es de rango completo en sus columnasy, por lo tanto, d 2 rank(A) esta en este espacio, luego entonces

x = A�1d.

• Si no fuera el caso, es posible que halla una solucion aproximada, que denotaremos por x+.



Regresion lineal

• En este caso, la dimension del rango de A puede ser menor que N y, ademas, el vector dedatos d puede contener ruido y no estar en el rango de A.

• Una aproximacion puede consistir en hallar el conjunto de valores de x tales que minimiceen alguna medida el ajuste del modelo Ax y los datos d.

• Definimos al vector residuos r:

r(x) = d � Ax.

• Una forma de medir o cuantificar su magnitud es por medio de la norma L2

mınx

r(x) := mınx

kAx � dk2.



Regresion lineal

• Esto significa que en realidad el sistema es inconsistente y d no esta en el espacio columnade A.

• La construccion de la solucion aproximada x+ consiste en proyectar a d en el rango deR(A):

Ax+ = projR(A)

(d)



Regresion lineal

• Luego entonces, Ax � d debe ser perpendicular a R(A). En particular, cada columna deA es ortogonal a Ax � d. Ası:

AT (Ax+� d) = 0,

o bien,ATAx+ = ATd.

• De donde obtenemos las llamadas ECUACIONES NORMALES

x+ = (ATA)�1ATd.

• Y, por lo tanto,xL2 = x+.



Regresion lineal

El problema de regresion lineal en el plano

• Determinar dos parametros m1 y m2 de una lınea, y = m1 +m2x, que mejor ajuste a unconjunto de N > 2 datos.

• A partir del sistema de ecuaciones

Ax =

2

664

1 a1

1 a2... ...1 aN

3

775

m1

m2

�=

2

664

d1

d2...

dN

3

775 = d.

• Aplicamos las ecuaciones normales:

xL2 = (ATA)�1ATd =

0

BB@

1 · · · 1a1 · · · aN

�2

664

1 a1

1 a2... ...1 aN

3

775

1

CCA

�1

1 · · · 1a1 · · · aN

�2

664

d1

d2...

dN

3

775



Regresion lineal

• De donde se obtiene:

xL2 =

2

4N

PNi=1 ai

PNi=1 ai

PNi=1 a

2i

3

5

2

4PN

i=1 di

PNi=1 aidi

3

5

=1

NPN

i=1 a2i �

⇣PNi=1 ai

⌘2

2

4�

PNi=1 a

2i �

PNi=1 ai

PNi=1 ai �N

3

5

2

4PN

i=1 di

PNi=1 aidi

3

5

=

m1

m2

�



Formula del error

• Supongamos que tenemos un conjunto de datos i 2 [1, N ] dados como parejas (Xi, di)que siguen una tendencia lineal.

• Nuestro objetivo es determinar los parametros m1 y m2 del modelo

yM = m1 + m2x .

• Queremos minimizar el error de mınimos cuadrados (norma L2)

E2 =1

N

NX

i=1

(di � yM(Xi))2 =

1

N

NX

i=1

(di � m1 � m2Xi)2 > 0.



Formula del error

• Este error se puede escribir distribuyendo la suma

E2(m1,m2) =1

N

NX

i=1

d2i � 2m2

1

N

NX

i=1

Xidi + m22

1

N

NX

i=1

X2i � 2m1

1

N

NX

i=1

di

+2m1m21

N

NX

i=1

Xi + m21

=hd2i � 2m2hXdi + m2

2hX2i � 2m1hdi + 2m1m2hXi + m2

1

=hd2i � 2m2hXdi + (m1 � hdi + m2hXi)2 .

En donde hemos adoptamos la definicion de promedio hAi y fluctuacion hAi de unacantidad A:

hAi :=1

N

NX

i=1

A y hAi := A � hAi.



Formula del error: puntos crıticos

• La idea de optimizar este error (minimizarlo) implica hallar los puntos crıticos en donde E2

se anula:

@E2

@m2= � 2hXdi + 2m2hX

2i + 2hXi (m1 � hdi + m2hXi)

@E2

@m1=2 (m1hdi + m2hXi) .

m2 =hXdi

hX2i

m1 =hdi � m2hXi.



Formula del error

Finalmente, el modelo lineal dado los parametros m1 y m2:

yM = m1 + m2x = hdi +hXdi

hX2i(x � hXi)

El valor del error mınimo E2 se puede hallar evaluando los valores crıticos de a y b:

E2 = hd2i � 2

hXdi

X2hXdi +

hXdi

X2= hd2

i �hXdi

hX2i

que no es otra cosa que:

E2 = hd2i (1 � rXd) .



Formula del error: correlacion y linealidad

El coeficiente rXd se conoce como el coeficiente de correlacion de Pearson, y esta definidocomo

rXd :=hXdi

hd2ihX2i=

Cov(X, d)

�X�d,

en terminos de la covarianza entre datos y parametros, y la medida de dispersion llamadadesviacion estandar de cada una de estas variables.

Figura 9: Cuatro conjuntos de datos con la misma correlacion de 0.816

Esta grafica ilustra que dicho coeficiente esta definido especıficamente para relaciones linea-les.


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