Aritmética - 4to Sec.

Capítulo

3Numeración I

OBJETIVOS:

aConocer las diferentes bases de numeración.

aExpresar un número en su forma polinómica.

NUMERACIóN

SISTEMA DE NUMERACIóN DECIMAL

Es un conjunto de reglas que nos permiten nombrar y escribir cualquier número mediante la combinación de unas pocas palabras y signos (cifras).

Inventado por los hindúes y difundido luego por los árabes, razón por la cual se llama "sistema indoarábigo". Este sistema es el que actualmente utilizamos y usa diez símbolos:

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9llamados cifras (símbolos).

vALOR DE UNA CIFRA

Una cifra posee dos valores:

Es el valor de la cifra por sí sola.

Es el valor de la cifra por la posición en que se encuentra.

Sea el numeral 2548.

Cifra V.A. V.R. 2 2 2000 5 5 500 4 4 40 8 8 8

Consiste en descomponer un número como la suma de los valores relativos de sus cifras.

Descompón: 25482548= 2000 + 500 + 40 + 8 = 2x1000 + 5x100 + 4x10 + 8x1 = 2x103 + 5x102 + 4x101 + 8x100

1. vALOR ABSOLUTO

2. vALOR RELATIvO

Ejemplo:

DESCOMpOSICIóN pOLINóMICA DE UN NúMERO

Ejemplo:

En sus comienzos, el hombre numeraba las cosas con los dedos. Si quería decir 1, levantaba un dedo, si deseaba decir 2, levantaba dos dedos, y así sucesivamente. C o n l a s d o s m a n o s p o d í a contar hasta 10. Para señalar un número mayor hacía girar las manos: dos veces por 20, tres para 30, etc. Algunos pueblos utilizaban, además, los dedos de los pies como complemento.

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Para que exista el número, las cifras tienen que ser enteras y menores que 10.

Luego:

a – 2 > 0 ∧ 3a < 10 a > 2 a < 3,3

⇒ a = 3

Luego (a–2)a(3a) = 139

∴ 1 + 3 + 9 = 13

Resolución

1. Calcula "a+b" si el numeral (a+5)(b+4)(2b)(3a+1) es capicúa.

Si el numeral (a+5)(b+4)(2b)(3a+1) es capicúa, entonces:

(a+5) = (3a+1) ∧ b + 4 = 2b 4 = 2a 4 = b a = 2

a + b = 6

2. Descompón: (2a)(a)(a)

⇒ 2a . 102 + a . 101 + a . 100

⇒ 2a . 100 + a . 10 + a . 1 ⇒ 200 a + 10 a + a

211 a

3. Si el numeral de la forma: (a–2)a(3a) existe, halla la suma de sus cifras:

Resolución

Resolución

Luego : a + b = 13 a – b = 5 2a = 18

a = 9 ⇒ b = 4

5. ¿Cuántos números de 2 cifras son iguales a 4 veces la suma de sus cifras?

ab = 4(a+b), descomponiendo:

10 a + b = 4a + 4b 6a = 3b 2a = b

a = 1, 2, 3, 4 b = 2, 4, 6, 8 ab = {12, 24, 36, 48}

Existe 4 números ab que cumplen tal condición.

6. ¿Cuál es el número menor, cuyas cifras suman 31 si todas sus cifras son distintas? Indica la cifra de mayor orden.

1 6 7 8 9

orden

Mayor orden

7. La suma de un número de dos cifras y el que resulta de invertir el orden de sus cifras es igual a once veces la diferencia de estos números. Halla la suma de las cifras del número original.

ab + ba = 11(ab – ba)10a+b+10b+a=11(10a+b –10b–a) 11a + 11b = 11(9a – 9b) 11(a+b) = 99(a – b) a + b = 9a – 9b 10b = 8a 5b = 4a

a=5 ∧ b = 4

Resolución

Resolución

(+)

Resolución

4. Sea ab + ba = 143 y a – b = 5, calcula ab2.

ab + ba = 143, descomponiendo:

10a + b + 10b + a = 143 11a + 11b = 143 11(a + b) = 143 a + b = 13

Resolución

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

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Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

2) Dado el numeral capicúa:

a(b + 1)(7 – b)(8 – a)

halla "a + b".

1) Si los siguientes numerales están correctamente

escritos: 3a4(7) ; aa8(b) ; bb y 25(a)

además: 2c2c(7) = 1000

halla "a+b+c".

5) Si aba(5) = 2ba(7), halla a . b.

4) Calcula "a+b" si ab(9) = ba(7).

5) Calcula "x+y" si xyy(9) = yyx(6).

6) Calcula "m+n" si mn(5) = 14.

6) Calcula "a+b+c" si abc(3) = 15.

4) Si ab(7)=ba(4), halla "a+b". 1) Si los numerales están correctamente escritos,

halla m +n + p

n23(m) ; p21(n) ; n3m(6) ; 1211(p)

3) Si: a – b = 4 y ab + ba = 143 halla "a . b".

2) Un numeral capicúa es de la forma:

(a–1)(a3)(b+4)c, halla "a.b.c."

3) Si a–b = 2 y ab + ba = 132, halla "a.b".

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PROBLEMAS PARA CLASE N° 3

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

Halla "a" si 3a4(7) = 186.

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5

¿Cuántos numerales son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que son iguales a 6 veces la suma de sus cifras?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Si 3a7(9)=322, halla "a".

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

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Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Si a un numeral de tres cifras que empieza con la cifra 6 se le suprime esta cifra, el numeral resultante es 1/26 del numeral original. Halla el producto de las cifras del numeral.

a) 36 b) 60 c) 48 d) 72 e) 56

Si a un número de 3 cifras que empieza en 9 se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/21 del número original. Halla la suma de las cifras del numeral.

a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 30

Si se cumple lo siguiente: 546(n) = 42n(8), halla "n2 – n".

a) 72 b) 42 c) 90 d) 56 e) 30

Si se cumple que: 320(n) = 206(5), halla "n2 – n".

a) 20 b) 6 c) 12 d) 2 e) 30

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5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Si a un numeral de dos cifras significativas le restamos el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras se obtiene 72. Halla la suma de las cifras del número original.

a) 7 b) 3 c) 9 d) 10 e) 12

Calcula el producto de las cifras de un numeral capicúa de 3 cifras que es igual a 23 veces la suma de las cifras diferentes.

a) 36 b) 6 c) 12 d) 9 e) 10

¿Cuántos numerales de dos cifras significativas cumplen que al incrementarle el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras se obtiene 55?

a) 2 b) 5 c) 3 d) 6 e) 4

Un numeral de 3 cifras que empieza en la cifra 2 es igual a 22 veces la suma de sus cifras. Halla el producto de sus cifras.

a) 36 b) 39 c) 42 d) 48 e) 56

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Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Si se cumple: 373(n) = 251, halla "(n+1)(n–1)".

a) 35 b) 80 c) 63 d) 48 e) 24

La cifra de las decenas de un número de dos cifras es igual al doble de la cifra de las unidades. Cuan-do se invierte el orden de sus cifras, este número disminuye en 27. ¿Cuál es el número?

a) 39 b) 63 c) 93 d) 36 e) 33

Si se cumple abab=N . ab, halla la suma de cifras de "N".

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Si a un número de 3 cifras se le invierte la cifra de las unidades a las decenas, aumenta en 45. Si se invierte la cifra de las decenas y centenas disminuye en 270. Si se invierte las cifras de las unidades con las centenas, ¿qué ocurre?

a) Disminuye en 198b) Aumenta en 130c) Disminuye en 130d) Aumenta en 198e) Aumenta en 99