Ejemplo vol2

Nomenclature

III

EDUARDO WALTER VIEIRA CHAVES

Mecanica del Medio Continuo(Modelos Constitutivos)

´

Presentación

Este libro es la continuación natural del libro Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos (Vol.1). En este nuevo volumen Mecánica del Medio Continuo: Modelos Constitutivos se trata el planteamiento y desarrollo de varias ecuaciones constitutivas que se pueden encontrar en la literatura y que se desarrollan dentro del ámbito de la Hiperelásticidad, Plasticidad (en pequeñas y grandes deformaciones), Viscoelasticidad, Termoelasticidad, Termoplasticidad (Pequeñas y grandes deformaciones), Mecánica del Daño y Fluidos.

El libro está dirigido tanto a alumnos de doctorado como a investigadores, presentando un detalle minucioso a la hora de las demostraciones de las expresiones con la finalidad de proporcionar al lector las herramientas necesarias para la extensión de los modelos constitutivos aquí presentados, a otros modelos más complejos. En lo que respecta a la notación, el desarrollo de las expresiones y ecuaciones se presentan en notación tensorial e indicial.

Finalmente, querría expresar mi mayor gratitud a Inmaculada Gallego por su paciencia a la hora de la revisión del texto. También quisiera agradecer al Prof. Xavier Oliver, Prof. Sergio Oller, Guillaume Houzeaux y a Mariano Vázquez sus más que oportunos comentarios.

Eduardo W. V. Chaves

Ciudad Real, 03 de marzo de 2009.

Presentacion ´

Contenido

PRESENTACIÓN ................................................................................................................................................V CONTENIDO...................................................................................................................................................VII NOMENCLATURA ........................................................................................................................................XIII ABREVIATURAS...........................................................................................................................................XVII OPERADORES............................................................................................................................................XVIII UNIDADES ....................................................................................................................................................XIX INTRODUCCIÓN....................................................................................................................... 1

1 PRINCIPIOS CONSTITUTIVOS .................................................................................................................2 1.1 El Principio del Determinismo..........................................................................................................3 1.2 El Principio de la Acción Local .........................................................................................................3 1.3 El Principio de Equipresencia............................................................................................................3 1.4 El Principio de la Objetividad............................................................................................................3 1.5 El Principio de la Disipación..............................................................................................................4 2 CARACTERIZACIÓN DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS PARA UN MATERIAL SIMPLE .......4 3 CARACTERIZACIÓN DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS PARA UN MATERIAL

TERMOVISCOELÁSTICO......................................................................................................................11 4 ECUACIONES CONSTITUTIVAS CON VARIABLES INTERNAS..........................................................15 5 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO INICIAL (PVCI) Y LA MECÁNICA

COMPUTACIONAL................................................................................................................................17 6 CONTENIDO DEL LIBRO.......................................................................................................................19

APÉNDICE A. PROPIEDADES MECÁNICAS ............................................................................. 21

A.1 COMPORTAMIENTO DE LOS SÓLIDOS............................................................................................21 A.1.1 Efecto de la Temperatura .............................................................................................................25 A.1.2 Ensayos y Propiedades Mecánicas del Material ........................................................................25

A.1.2.1 Ensayo de Tracción Simple.................................................................................................25 A.1.2.2 Ensayo Brasileño...................................................................................................................30 A.1.2.3 Ensayo de Compresión Simple...........................................................................................30 A.1.2.4 Ensayo de Compresión Triaxial .........................................................................................32

A.2 COMPORTAMIENTO DE LOS FLUIDOS ...........................................................................................35 A.2.1 Viscosidad .......................................................................................................................................36 A.3 MATERIALES VISCOELÁSTICOS .......................................................................................................37

1 HIPERELASTICIDAD ............................................................................................................ 39

1.1 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................39 1.2 ECUACIÓN CONSTITUTIVA ...............................................................................................................40

1.2.1 Tensores Constitutivos Tangentes Elásticos .......................................................................44 1.2.1.1 Tensor Constitutivo Tangente Elástico en la Configuración Material.................44 1.2.1.2 Tensor Constitutivo Tangente Elástico en la Configuración Actual....................45 1.2.1.3 Tensor Constitutivo Tangente Elástico Instantáneo ..............................................47 1.2.1.4 Pseudo-Tensor Constitutivo Tangente Elástico......................................................48

Contenido

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: MODELOS CONSTITUTIVOS

VIII

1.3 MATERIAL HIPERELÁSTICO ISÓTROPO.......................................................................................... 51 1.3.1 Ecuación Constitutiva en Función de los Invariantes ....................................................... 51

1.3.1.1 Ecuación Constitutiva en Función de C y b ........................................................ 51 1.3.1.2 Ecuación Constitutiva en Función de E ............................................................... 54

1.3.2 Expansión en Serie del Potencial Elástico........................................................................... 54 1.3.3 Ecuación Constitutiva en Función de los Estiramientos Principales.............................. 55

1.4 ELASTICIDAD ...................................................................................................................................... 59 1.4.1 Linealización de las Ecuaciones Constitutivas.................................................................... 60 1.4.2 Elasticidad Lineal..................................................................................................................... 62

1.5 MATERIAL COMPRESIBLE ................................................................................................................. 62 1.5.1 Tensores de Tensiones ........................................................................................................... 64 1.5.2 Material Hiperelástico Compresible Isótropo..................................................................... 67

1.5.2.1 Material Hiperelástico Compresible Isótropo en Función de los Invariantes.... 70 1.6 MATERIAL INCOMPRESIBLE ............................................................................................................. 71

1.6.1 Interpretación Geométrica..................................................................................................... 73 1.6.2 Material Hiperelástico Incompresible Isótropo.................................................................. 74

1.6.2.1 Expansión en Serie del Potencial Elástico para Material Hiperelástico Incompresible Isótropo ................................................................................................. 75

1.7 EJEMPLOS DE MODELOS HIPERELÁSTICOS .................................................................................. 76 1.7.1 Modelo de Sólido Neo-Hookeano........................................................................................ 76 1.7.2 Modelo Tipo-Goma de Ogden ............................................................................................. 76

1.7.2.1 Modelo Tipo-Goma de Ogden Incompresible ....................................................... 76 1.7.2.2 Modelo de Hadamard.................................................................................................. 77

1.7.3 Modelo de Mooney-Rivlin ..................................................................................................... 78 1.7.3.1 Energía Libre de Helmholtz ....................................................................................... 78 1.7.3.2 Tensor de Tensiones.................................................................................................... 78

1.7.4 Modelo de Yeoh ...................................................................................................................... 79 1.7.4.1 Energía Libre de Helmholtz ....................................................................................... 79 1.7.4.2 Tensor de Tensiones.................................................................................................... 79

1.7.5 Modelo de Arruda-Boyce ....................................................................................................... 79 1.7.6 Modelo de Blatz-Ko................................................................................................................ 80 1.7.7 Modelo de Saint-Venant-Kirchhoff...................................................................................... 80

1.7.7.1 Energía Libre de Helmholtz ....................................................................................... 80 1.7.7.2 Tensor de Tensiones.................................................................................................... 81 1.7.7.3 Tensor Constitutivo Tangente Elástico .................................................................... 81

1.7.8 Modelo Neo-Hookeano Compresible.................................................................................. 82 1.7.8.1 Energía Libre de Helmholtz ....................................................................................... 82 1.7.8.2 Tensores de Tensiones ................................................................................................82 1.7.8.3 Tensor Constitutivo Tangente Elástico .................................................................... 83

1.7.9 Modelo de Gent....................................................................................................................... 85 1.7.10 Modelos Estadísticos .............................................................................................................. 86 1.7.11 Modelo de 8 Parámetros ........................................................................................................ 87 1.7.12 Modelo de Jamus-Green-Simpson........................................................................................ 88

1.7.12.1 Función Energía de Deformación de Jamus-Green-Simpson ............................ 88 1.7.12.2 Ejemplo Uniaxial ........................................................................................................ 88

1.8 HIPERELASTICIDAD ANISÓTROPA.................................................................................................. 90 1.8.1 Material Transversalmente Isótropo..................................................................................... 90

APÉNDICE B. DEMOSTRACIÓN DE LOS MODELOS DE 8 PARÁMETROS Y ESTADÍSTICO ....... 93

B.1 MODELOS ESTADÍSTICOS................................................................................................................. 93 B.1.1 Función de Energía......................................................................................................................... 93 B.1.2 Tensor de Tensión.......................................................................................................................... 94 B.1.3 Tensor Constitutivo Tangente ...................................................................................................... 95

B.1.3.1 Resumen del Modelo Estadístico ........................................................................................ 97 B.2 MODELOS DE 8 PARÁMETROS......................................................................................................... 99 B.2.1 Función de Energía......................................................................................................................... 99

CONTENIDO

IX

B.2.2 Tensor de Tensiones.......................................................................................................................99 B.2.3 Tensor Constitutivo Tangente ....................................................................................................100 B.2.4 Resumen del Modelo de 8 Parámetros ......................................................................................106

2 PLASTICIDAD......................................................................................................................109

2.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................109 2.2 COMPORTAMIENTO DE SÓLIDO CON DEFORMACIÓN PLÁSTICA...........................................111 2.3 SUPERFICIE DE FLUENCIA. CRITERIO DE FLUENCIA ................................................................112

2.3.1 Superficie de Fluencia para Materiales Anisótropos...........................................................112 2.3.1.1 Gradiente de la Superficie de Fluencia .....................................................................112

2.3.2 Superficie de Fluencia para Materiales Isótropos ...............................................................113 2.3.3 Criterio de Fluencia para Materiales Independientes de la Presión Hidrostática ..........116

2.3.3.1 Criterio de von Mises ..................................................................................................116 2.3.3.2 Criterio de Tresca.........................................................................................................121

2.3.4 Criterio de Fluencia para Materiales Sensibles a la Presión Hidrostática........................125 2.3.4.1 Criterio de Mohr-Coulomb ........................................................................................125 2.3.4.2 Criterio de Drucker-Prager.........................................................................................129 2.3.4.3 Criterio de Rankine......................................................................................................134

2.3.5 Superficie de Fluencia después de la Plastificación ............................................................137 2.4 MODELOS DE PLASTICIDAD EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES. CASO

UNIDIMENSIONAL..........................................................................................................................141 2.4.1 Plasticidad Independiente de la Tasa en 1D........................................................................141

2.4.1.1 Comportamiento Elastoplástico Perfecto................................................................141 2.4.1.2 Comportamiento Elastoplástico con Endurecimiento Isótropo..........................145 2.4.1.3 Comportamiento Elastoplástico con Endurecimiento Cinemático.....................151 2.4.1.4 Comportamiento Elastoplástico con Endurecimiento Isótropo y

Cinemático .....................................................................................................................154 2.5 PLASTICIDAD EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES (TEORÍA CLÁSICA DE PLASTICIDAD) .....155

2.5.1 Tensor de Deformación. Ley Constitutiva ..........................................................................156 2.5.2 Energía Libre de Helmholtz...................................................................................................156 2.5.3 Disipación de Energía. Evolución de las Variables Internas ............................................157 2.5.4 Tensor Constitutivo Tangente Elastoplástico .....................................................................159 2.5.5 Teoría Clásica de Flujo 2J ....................................................................................................164

2.5.5.1 Plasticidad Perfecta ......................................................................................................164 2.5.5.2 Plasticidad con Endurecimiento Cinemático e Isótropo.......................................166

2.6 TEORÍA DEL POTENCIAL PLÁSTICO..............................................................................................168 2.7 PLASTICIDAD EN DEFORMACIÓN FINITA....................................................................................172 2.8 PLASTICIDAD EN DEFORMACIÓN FINITA BASADA EN LA DESCOMPOSICIÓN

MULTIPLICATIVA DEL GRADIENTE DE DEFORMACIÓN........................................................173 2.8.1 Relaciones Cinemáticas ...........................................................................................................173

2.8.1.1 Tensores de Deformación ..........................................................................................174 2.8.1.2 Deformaciones de los Diferenciales de Área y de Volumen ................................180 2.8.1.3 Tensor Gradiente Espacial de Velocidad.................................................................182 2.8.1.4 Tasa de Oldroyd...........................................................................................................185 2.8.1.5 Tasa de Cotter-Rivlin...................................................................................................186

2.8.2 Tensores de Tensiones ............................................................................................................188 2.8.2.1 Tasa de Tensores de Tensiones .................................................................................190

2.8.3 Energía Libre de Helmholtz...................................................................................................190 2.8.3.1 Desacoplamiento de la Energía Libre de Helmholtz .............................................191 2.8.3.2 Principio de Objetividad para la Energía Libre de Helmholtz .............................191 2.8.3.3 Función Energía Libre Isótropa ................................................................................192 2.8.3.4 Tasa de la Energía Libre Isótropa .............................................................................192

2.8.4 Potencial Plástico y Criterio de Fluencia ..............................................................................195 2.8.5 Disipación. Ecuaciones Constitutivas...................................................................................195 2.8.6 Evolución de las Variables Internas......................................................................................196 2.8.7 Tensor Constitutivo.................................................................................................................198


X

2.8.7.1 Tensor Tangente Elastoplástico ................................................................................ 199 2.8.8 Modelo Hiperelastoplástico con Función de Fluencia de von Mises.............................. 202

2.8.8.1 Energía Libre de Helmholtz ...................................................................................... 202 2.8.8.2 Tensor de Tensiones ................................................................................................... 202 2.8.8.3 Formulación Considerando la Transformación pF como una

Transformación Isocórica ........................................................................................... 204 2.8.8.4 Tasa de la Energía Libre ............................................................................................. 205 2.8.8.5 Criterio de Fluencia. Evolución de las Variables Internas .................................... 206

3 TERMOELASTICIDAD. TERMOPLASTICIDAD......................................................................209

3.1 PROCESO REVERSIBLE..................................................................................................................... 209 3.1.1 Energía Interna Específica ................................................................................................... 210 3.1.2 Energía Libre de Helmholtz ................................................................................................ 210 3.1.3 Energía Libre de Gibbs ........................................................................................................ 212 3.1.4 Entalpía ................................................................................................................................... 212 3.1.5 Proceso Isotérmico e Isentrópico....................................................................................... 214 3.1.6 Calor Específico y Tensor Calor Latente........................................................................... 215

3.2 TERMOELASTICIDAD LINEAL ........................................................................................................ 218 3.2.1 Linealización de las Ecuaciones Constitutivas.................................................................. 218

3.2.1.1 Linealización del Primer Tensor de Tensiones de Piola-Kirchhoff ................... 219 3.2.1.2 Linealización del Flujo de Calor............................................................................... 221 3.2.1.3 Linealización de la Entropía ..................................................................................... 222 3.2.1.4 Linealización de la Energía Libre de Helmholtz ................................................... 222 3.2.1.5 Ecuaciones Constitutivas Linealizadas.................................................................... 223 3.2.1.6 Termoelasticidad Lineal en el Régimen de Pequeñas Deformaciones .............. 223 3.2.1.7 Termoelasticidad Lineal para Sólido Elástico, Lineal e Isótropo en el

Régimen de Pequeñas Deformaciones...................................................................... 225 3.3 PROBLEMA TERMO-MECÁNICO DESACOPLADO EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES.......... 228

3.3.1 Problema Puramente Térmico ............................................................................................ 230 3.3.1.1 Condiciones de Contorno e Iniciales ...................................................................... 231

3.3.2 Problema Puramente Mecánico .......................................................................................... 232 3.3.2.1 Ecuaciones de Gobierno........................................................................................... 233 3.3.2.2 Condiciones de Contorno e Iniciales ...................................................................... 233

3.4 TEORÍA CLÁSICA DE TERMOELASTICIDAD EN DEFORMACIÓN FINITA ............................... 234 3.4.1 Ecuación del Flujo de Calor Acoplado .............................................................................. 235 3.4.2 Energía Libre de Helmholtz ................................................................................................ 238

3.5 TERMOELASTICIDAD CON DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DEL GRADIENTE DE DEFORMACIÓN .............................................................................................................................. 240

3.5.1 Tensores de Deformación.................................................................................................... 241 3.5.2 Tensores de Tensiones ......................................................................................................... 242 3.5.3 Diferencial de Área y de Volumen...................................................................................... 243 3.5.4 Particularización a un Material Isótropo............................................................................ 245 3.5.5 Energía Libre de Helmholtz. Ecuaciones Constitutivas ................................................. 247

3.5.5.1 Ecuaciones Constitutivas de Tensión ..................................................................... 248 3.5.5.2 Ecuación Constitutiva de Entropía ......................................................................... 250

3.6 TERMOPLASTICIDAD EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES .......................................................... 253 3.6.1 Energía Libre de Helmholtz ................................................................................................ 253 3.6.2 Disipación de Energía........................................................................................................... 253

4 FLUIDOS.............................................................................................................................257

4.1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................ 257 4.2 FLUIDO EN REPOSO Y EN MOVIMIENTO .................................................................................... 258

4.2.1 Fluido en Reposo................................................................................................................... 258 4.2.2 Fluido en Movimiento .......................................................................................................... 259

4.3 FLUIDO VISCOSO Y NO VISCOSO.................................................................................................. 260 4.3.1 Fluido No Viscoso (Fluido Perfecto)................................................................................. 260

CONTENIDO

XI

4.3.2 Fluido Viscoso........................................................................................................................260 4.4 FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO ..................................................................................................261 4.5 CASOS PARTICULARES DE FLUIDOS ..............................................................................................262

4.5.1 Fluidos Incompresibles.........................................................................................................262 4.5.1 Representación de la Aceleración........................................................................................262 4.5.2 Fluido Irrotacional .................................................................................................................263 4.5.3 Flujo Estacionario..................................................................................................................264

4.6 FLUIDO NEWTONIANO ...................................................................................................................265 4.6.1 Condición de Stokes..............................................................................................................268

4.7 POTENCIA TENSIONAL. POTENCIA DISIPADA. POTENCIA RECUPERABLE ..........................269 4.8 ECUACIONES BÁSICAS DE LOS FLUIDOS NEWTONIANOS ........................................................270

4.8.1 Ecuación de Movimiento de Navier-Stokes-Duhem.......................................................272 4.8.1.1 Forma Alternativa de las Ecuaciones Básicas para Fluidos Newtonianos ........273 4.8.1.2 Ecuaciones Básicas para Fluidos Newtonianos Incompresibles.........................273

4.8.2 Ecuación de Movimiento de Navier-Stokes......................................................................274 4.8.3 Ecuación de Movimiento de Euler .....................................................................................274

4.8.3.1 Fluidos Perfectos e Incompresible...........................................................................275 4.9 ECUACIÓN DE BERNOULLI.............................................................................................................279

APÉNDICE C. VARIABLES ADIMENSIONALES ...................................................................... 283

C.1 VARIABLES ADIMENSIONALES ......................................................................................................283 5 VISCOELASTICIDAD........................................................................................................... 287

5.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................287 5.2 MODELOS REOLÓGICOS PARA LA VISCOELASTICIDAD ............................................................291 5.3 MODELOS VISCOELÁSTICOS...........................................................................................................292

5.3.1 Modelo de Maxwell ...............................................................................................................293 5.3.2 Modelo de Kelvin ..................................................................................................................295 5.3.3 Modelo de Burgers.................................................................................................................298

5.4 GENERALIZACIÓN DE LOS MODELOS DE MAXWELL Y KELVIN ............................................302 5.4.1 Generalización del Modelos de Maxwell en Serie ............................................................302 5.4.2 Generalización del Modelo de Kelvin en Paralelo ...........................................................303 5.4.3 Generalización del Modelo de Maxwell en Paralelo.........................................................304 5.4.4 Generalización del Modelo de Kelvin en Serie .................................................................305

5.5 FORMA DE OPERADOR DIFERENCIAL DE LA LEY CONSTITUTIVA ........................................306 5.6 REPRESENTACIÓN INTEGRAL DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS VISCOELÁSTICAS...308

5.6.1 Función de Fluencia Lenta ...................................................................................................308 5.6.2 Función de Relajación...........................................................................................................309 5.6.3 Principio de la Superposición de Boltzmann. Representación Integral ........................310 5.6.4 Relación entre la Función de Fluencia Lenta y la Función de Relajación.....................313

5.7 GENERALIZACIÓN DE LA REPRESENTACIÓN INTEGRAL A TRES DIMENSIONES................314 5.8 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO INICIAL. PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA .......317

6 MECÁNICA DEL DAÑO CONTINUO....................................................................................319

6.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................319 6.2 MODELO DE DAÑO ISÓTROPO EN DEFORMACIÓN INFINITESIMAL .....................................320

6.2.1 Descripción del Modelo de Daño Isótropo en Una Dimensión....................................320 6.2.1.1 Ecuación Constitutiva................................................................................................321

6.2.2 Modelo de Daño Isótropo en Tres Dimensiones.............................................................322 6.2.2.1 Energía Libre de Helmholtz......................................................................................323 6.2.2.2 Disipación de Energía Interna y Ley Constitutiva ................................................323 6.2.2.3 �Ingredientes� del Modelo de Daño .......................................................................327 6.2.2.4 Ley de Ablandamiento/Endurecimiento................................................................333

6.2.3 Tensor Constitutivo Tangente de Daño Isótropo............................................................335 6.2.4 Las Normas.............................................................................................................................338

6.2.4.1 Modelo Simétrico (Tracción�Compresión) � Modelo I.......................................338


XII

6.2.4.2 Modelo de Daño �Sólo Tracción� � Modelo II.................................................... 339 6.2.4.3 Modelo de Daño no Simétrico � Modelo III ........................................................ 340

6.3 DAÑO ISÓTROPO GENERALIZADO .............................................................................................. 342 6.3.1 Energía Libre de Helmholtz ................................................................................................ 343 6.3.2 Tensiones Efectivas Esférica y Desviadora....................................................................... 344 6.3.3 Consideraciones Termodinámicas ...................................................................................... 344 6.3.4 Tensor Constitutivo Tangente de Daño ............................................................................ 345

6.4 MODELO DE DAÑO-PLÁSTICO EN DEFORMACIÓN INFINITESIMAL ..................................... 348 6.4.1 Modelo de Daño-Plástico de Simó&Ju (1987) en Pequeñas Deformaciones.............. 349

6.4.1.1 Energía Libre de Helmholtz ..................................................................................... 349 6.4.1.2 Disipación de Energía. Ecuación Constitutiva. Consideraciones

Termodinámicas............................................................................................................ 349 6.4.1.3 Caracterización del Daño.......................................................................................... 350 6.4.1.4 Tensor Constitutivo Tangente de Daño................................................................. 351 6.4.1.5 Caracterización de la Respuesta Plástica. Tensor Constitutivo Tangente

Daño-Plástico................................................................................................................ 352 6.5 MODELO DE DAÑO-PLÁSTICO DEL TIPO TRACCIÓN�COMPRESIÓN.................................... 355

6.5.1 Energía Libre de Helmholtz ................................................................................................ 355 6.5.2 Caracterización del Daño ..................................................................................................... 357 6.5.3 Evolución de la Variable de Daño...................................................................................... 358 6.5.4 Evolución del Tensor de Deformación Plástica............................................................... 359 6.5.5 Disipación de Energía Interna............................................................................................. 360

6.6 DAÑO EN DEFORMACIÓN FINITA................................................................................................ 363 6.6.1 Modelo Unidimensional de Gurtin & Francis .................................................................. 363 6.6.2 Modelo de Daño Elástico en 3D Independiente de la Tasa........................................... 364 6.6.3 Variable de Daño. Evolución del Daño............................................................................. 365 6.6.4 Modelo de Daño-Plástico de Simó & Ju (1989) ............................................................... 365

6.6.4.1 Energía Libre de Helmholtz ..................................................................................... 365 6.6.4.2 Disipación de Energía. Ecuación Constitutiva. Consideraciones

Termodinámicas............................................................................................................ 366 6.6.4.3 Caracterización del Daño.......................................................................................... 368 6.6.4.4 Tensor Constitutivo Tangente de Daño................................................................. 368 6.6.4.5 Caracterización de la Respuesta Plástica. Tensor Constitutivo Tangente de

Elastoplástico Efectivo ................................................................................................ 369 6.6.4.6 Tensor Constitutivo Tangente Daño-Plástico....................................................... 370

6.6.5 Modelo de Daño-Plástico Ju(1989) .................................................................................... 371 6.6.5.1 Energía Libre de Helmholtz ..................................................................................... 371 6.6.5.2 Disipación de Energía. Ecuación Constitutiva. Consideraciones

Termodinámicas............................................................................................................ 371 6.6.5.3 Caracterización del Daño. Tensor Constitutivo Tangente de Daño.................. 373 6.6.5.4 Tensor Constitutivo Tangente de Daño................................................................. 373 6.6.5.5 Caracterización de la Respuesta Plástica. Tensor Constitutivo Tangente

Elastoplástico. ............................................................................................................... 374 6.6.5.6 Tensor Constitutivo Tangente de Daño-Plástico.................................................. 376

BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................379 ÍNDICE TEMÁTICO ...............................................................................................................387

Introducción

Matemáticamente el propósito de las ecuaciones constitutivas es establecer conexiones entre los campos cinemático, térmico y mecánico. Resumimos a continuación las ecuaciones obtenidas de las leyes fundamentales de la mecánica del medio continuo:

Ecuaciones Básicas de la Mecánica del Medio Continuo (Configuración Actual)

Ecuación de Continuidad (Principio de la conservación de la masa)

0)( =+ ⋅ vxr

r∇ρρDtD (1)

Ecuaciones de Movimiento (Principio de la conservación del momento lineal)

vx&r

rr ρρ =+⋅ bσ∇ (2)

Simetría del Tensor de Tensiones de Cauchy (Principio de la conservación del momento angular)

Tσσ = (3)

Ecuación de Energía (Principio de la conservación de la Energía)

ru ρρ +−= ⋅qDσr

& rx∇: (4)

Desigualdad de Entropía (Principio de la Irreversibilidad)

01 11),( 2 ≥−−+ ⋅ TT

uTT

t xx rr

&r

& ∇qDσ ρηρ : (5)

Ecuaciones Básicas de la Mecánica del Medio Continuo (Configuración de Referencia)

Ecuación de Continuidad 0)( =ρJDtD (6)

Ecuaciones de Movimiento ( ) VF

V

X

X

&rr

&rr

r

r

000

000

ρρ

ρρ

=+

=+

⋅⋅⋅

bS

bP

∇

∇ (7)

Introduccion ´


4

Figura 1: Movimiento de cuerpo rígido.

1.5 El Principio de la Disipación

Las ecuaciones constitutivas deben cumplir la desigualdad de entropía para todo proceso termodinámicamente admisible.

2 Caracterización de las Ecuaciones Constitutivas para un Material Simple

Para un material termoelástico simple, las variables de estado son: el gradiente de deformación ),( tXF

r, la temperatura T y el gradiente de temperatura TXr∇ . Asumimos

que ψ , η , 0qr

y P (configuración de referencia) son determinados por la historia de F , T y TXr∇ , y por sus valores actuales, por el Principio del Determinismo y por el Principio de la Acción Local. Estas cantidades vienen expresadas a través de un conjunto de Funcionales:

),,,(�)(

),,,(�)(

),,,()(

),,,()(

)()()(

)()()(00

)()()(

)()()(

�

�

τττ

τττ

τττ

τττ

=

=

=

=

TTt

TTt

TTt

TTt

X

X

X

X

FX

FX

FX

FX

r

r

r

r

r

rrr

r

r

∇

∇

∇

∇

PP

qq

ηη

ψψ

(11)

donde )(τ• representa la historia de • , hasta el tiempo actual t , siendo t≤τ . Además verificamos que ψ� , η� son funcionales de valor-escalar, q�

r es un funcional de valor-vector

y P� es un funcional de valor-tensor de segundo orden. Teniendo en cuenta el Principio de la Disipación, la desigualdad de Clausius-Duhem debe ser satisfecha para todo proceso termodinámico.

Para un sistema homogéneo los funcionales descritos en (11) serán independientes de Xr

:

σ

σ

B

*B

observador

Xxrrr ⋅+= )()(* tt Qc

INTRODUCCIÓN

5

),,(�)(

),,(�)(

),,()(

),,()(

)()()(

)()()(00

)()()(

)()()(

�

�

τττ

τττ

τττ

τττ

=

=

=

=

TTt

TTt

TTt

TTt

X

X

X

X

F

F

F

F

r

r

r

r

rr

∇

∇

∇

∇

PP

qq

ηη

ψψRespuesta de un material termoelástico simple homogéneo

(12)

NOTA: Las funciones con sombrero •� (funcionales) son distintas de las funciones que están a la izquierda de la igualdad, es decir, •� proporciona el valor actual de )(t• teniendo en cuenta toda la historia de los argumentos de •� . ■ Según el principio de objetividad las ecuaciones constitutivas deben ser invariantes bajo un movimiento de cuerpo rígido del material en un intervalo dado de tiempo. Luego, las ecuaciones constitutivas deben cumplir que:

),,(�)(

),,(�)(

),,()(

),,()(

*)()(*)(*

*)()(*)(*0

*0

*)()(*)(

*)()(*)(

�

�

τττ

τττ

τττ

τττ

=

=

=

=

TTt

TTt

TTt

TTt

X

X

X

X

F

F

F

F

r

r

r

r

rr

∇

∇

∇

∇

PP

qq

ηη

ψψ

(13)

donde *• representa el tensor bajo la ley de transformación entre los dos sistemas, ver Objetividad de Tensores -Vol.1. Consideremos la tasa de la energía libre de Helmholtz (11):

.: T

TT

T

TT

XX

FF

F

rr

&&& ∇∇

∇

⋅∂∂+

∂∂+

∂∂=⇒

=ψψψψ

ψψ ),,( (14)

La desigualdad de entropía, en la configuración de referencia, fue obtenida en el capítulo 4-Vol.1, como:

[ ] 0100 ≥−+− ⋅ T

TT XF r

r&& & ∇qP ηψρ: (15)

donde ψ es la energía libre de Helmholtz (por unidad de masa), η es la entropía específica (por unidad de masa), y P es el primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff. Reemplazando (14) en la desigualdad de entropía (15) obtenemos que:

01

01

0000

00

≥−∂∂−

+∂∂−

∂∂−⇒

≥−

+

∂∂+

∂∂+

∂∂−

⋅⋅

⋅⋅

TT

TT

TT

TT

TTT

TT

X

X

FF

FF

F

r

r

r&&

r&&&&

∇∇∇

∇∇∇

qP

qP

.

.

:

::

ψρηψρψρ

ηψψψρ (16)

Cuya desigualdad se debe cumplir para cualquier proceso termodinámico.

INTRODUCCIÓN

9

Podemos expresar las ecuaciones constitutivas en la configuración actual (deformada), teniendo en cuenta que el Primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff está relacionado

con el tensor de tensiones de Cauchy ( T

JF⋅= Pσ 1 ):

T

TTT

T

TTJJ

T

FFF

FFFF

FFF

FF

⋅

⋅⋅⋅

∂∂=⇒

∂∂=

∂∂=⇒

∂∂=

),(

),(),(11

),(

00

0

0

ψρ

ψρρρψρ

ψρ

σ

P

P

(34)

Además teniendo en cuenta que se cumple la relación TT JJ FF ⋅⋅ −− =⇔= 01

0 qqqqrrrr

. De esta manera expresamos las ecuaciones constitutivas en la configuración actual como:

),,(),,(

),(),(

),(),(

01

01

TTJTTJ

TTT

TT

T

T

X

X

FFFF

FF

FFF

F

r

r

r

rr

∇∇

qqq

σ

⋅⋅

⋅

−

−

==

∂∂−=

∂∂=

=

ψη

ψρ

ψψ

Ecuaciones constitutivas para un material termoelástico simple (Configuración actual)

(35)

Figura 2: Descomposición polar por la derecha.

Xr

xr

Xr

U

UR ⋅=F

configuración de referencia

configuración actual

0B

B

B

R

QR =T

),( TFψψ =

1−U

),( TUψψ =

),(

),(�� T

T

E

C

ψψ

ψψ

=

=

SEC,

σJ=τ

eb,

INTRODUCCIÓN

11

[ ][ ]T

T

T

TTJ

TTJ

TTJ

URQURQqQ

QQqQ

qq

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅

−

−

−

=

=

=

),,(

),,(

),,(

01

01

*****0

1*

X

X

X

FF

FF

r

r

r

r

r

rr

∇

∇

∇

(40)

Adoptando que TRQ = , y considerando la simetría del tensor TUU = , resulta:

[ ][ ]

FX

X

X

X

X

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−

−

−

−

−

=

=

=

=

=

),,(

),,(

),,(

),,(

),,(

01

01

01

01

01*

TTJ

TTJ

TTJ

TTJ

TTJ

T

TTTT

T

r

r

r

r

r

r

r

r

r

rr

∇

∇

∇

∇

∇

Uq

URUq

UUqR

URRURRqR

URQURQqQq

(41)

Luego, para cumplir el principio de la objetividad las ecuaciones constitutivas pueden ser expresadas como:

FCF

CC

FCCF

C

XX ⋅⋅

⋅⋅

−− ==∂

∂−=

∂∂=

=

),,(),,(

),(),(

),(2

),(

01

01 TTJTTJ

TTT

TT

T

rrrrr

∇∇ qUqq

σ

ψη

ψρ

ψψ


(42)

3 Caracterización de las Ecuaciones Constitutivas para un Material Termoviscoelástico

Consideremos un material, Romano et al. (2006), que tenga el siguiente comportamiento: ! Su estado de tensión depende de la deformación local (F ) y de la temperatura (T ); ! Fenómeno de disipación (fricción interna) surge cuando una parte del sistema está

en movimiento relativo de corte con otra parte del sistema. En este caso, la respuesta del material dependerá del gradiente espacial de la velocidad ( 1),( −⋅=≡ FFxvx &rr

r lt∇ ) y de la temperatura (T ).

Observemos ahora que los funcionales dependerán también de la historia de F& :

),,,(�)(

),,,(�)(

),,,()(

),,,()(

)()()()(

)()()()(00

)()()()(

)()()()(

�

�

ττττ

ττττ

ττττ

ττττ

=

=

=

=

TTt

TTt

TTt

TTt

X

X

X

X

FF

FF

FF

FF

r

r

r

r

&

&rr

&

&

∇

∇

∇

∇

PP

qq

ηη

ψψ

(43)

INTRODUCCIÓN

15

FEE

FEEF

EE

FEEF

E

X

X

⋅

⋅⋅

⋅⋅

=

=

∂∂−=

∂∂=

=

),,,(�

),,,(1

),(),(

),(),(

0

)()(

)(

�

TT

TTJ

TTT

TT

Tdd

Te

r

r

&

&

∇

∇

qq

Sσ

σ

ψη

ψρ

ψψ


(61)

con FFEC ⋅⋅== DT&&21 .

4 Ecuaciones Constitutivas con Variables Internas

Las ecuaciones constitutivas (11), escritas en términos de Funcionales de la historias de F , T y TXr∇ , son muy generales. Una alternativa eficaz al del Funcional basado en la historia es adoptar la denominada �termodinámica con variables internas�. Este método postula que el estado actual de un sólido inelástico deformado puede ser determinado por los valores actuales de F , T y TXr∇ y por un conjunto de variables internas iα . La historia de deformación está indirectamente incluida en la evolución de las variables internas. De esta forma, las ecuaciones constitutivas quedan definidas por:

),,,(

),,,(

),,,(

),,,(

00

i

i

i

i

TT

TT

TT

TT

α

α

α

α

X

X

X

X

F

F

F

F

r

r

r

r

rr

∇

∇

∇

∇

PP

qq

=

=

=

=

ηη

ψψ

(62)

donde iα , ni ,,2,1 L= , es un conjunto de n variables internas. Estas variables pueden ser escalares, vectores o tensores de orden superior. La consistencia de la teoría con variables internas junto, con la desigualdad de Clausius-Duhem, proporcionan condiciones que deben cumplir las ecuaciones constitutivas en los procesos que envuelven disipación de energía. Partiendo ya del principio de que la energía libre de Helmholtz no depende del gradiente de temperatura, la energía libre (62) viene expresada como:

),,( iT αFψψ = (63)

donde { }ni ααα ,,1 L= son las variables internas que se deben añadir para caracterizar el problema, éstas pueden ser escalares, vectores o tensores de orden superior. La presencia de variables internas obliga a incluir nuevas ecuaciones en el modelo. Estas ecuaciones adiciones, al igual que el resto de las que gobiernan el fenómeno, solo dependen del estado termodinámico del punto en cuestión, por lo tanto son de naturaleza local.


18

Figura 3: El modelo constitutivo dentro de la Mecánica Computacional.

Problema de Valor de Contorno Inicial

ESTRUCTURA

LABORATORIO

Propuesta de un MODELO

CONSTITUTIVO

PVCI

SOLUCIÓN NUMÉRICA

Datos de entrada

SI

NO

MECÁNICA COMPUTACIONAL

NO

Nueva propuesta de ensayo

Propuesta de ensayo

¿Simula de forma precisa los ensayos de laboratorio?

Posibilidad 1

Posibilidad 2

Sim

ulac

ión

num

érica

¿Simula el comportamiento real de

la estructura?

INTRODUCCIÓN

19

En el Apéndice A se hace una pequeña introducción al comportamiento de algunos materiales y los ensayos más representativos, así como los parámetros mecánicos que son obtenidos en cada ensayo.

6 Contenido del Libro

Este libro está dividido en seis capítulos. El capítulo 1 (HIPERELASTICIDAD) está dedicado a modelos Hiperelásticos donde hacemos un planteamiento puramente mecánico (sin considerar el efecto térmico ni el fenómeno de histéresis). Se hace un planteamiento general y a continuación particularizamos a modelos más sencillos. También en este capítulo plantearemos varios modelos hiperelásticos que podemos encontrar en la literatura tales como: Modelo de sólido Neo-Hookeano, Modelo tipo-goma de Ogden, Modelo de Hadarmard, Modelo de Mooney-Rivlin, Modelo de Yeoh, Modelo de Arruda-Boyce, Modelo de Blatz-Ko, Modelo de Saint-Venant-Kirchhoff, Modelo de Gent, Modelo Estadístico y el Modelo de 8 parámetros. En el capítulo 2 hablamos de modelos que intentan representar el fenómeno de PLASTICIDAD (sin considerar el fenómeno térmico). En este capítulo, se puede diferenciar dos partes claras: plasticidad en pequeñas deformaciones y plasticidad en grandes deformaciones, utilizando la descomposición multiplicativa del gradiente de deformación. El capítulo 3 está dedicado al estudio de fenómenos térmicos: TERMOELASTICIDAD Y TERMOPLASTICIDAD. En el capítulo 4 entramos en el dominio de los FLUIDOS, donde trataremos de describir las ecuaciones de gobierno de los fluidos Newtonianos. Una vez ya conocida la problemática de sólidos elásticos y de fluidos, en el capítulo 5 (VISCOELASTICIDAD) damos introducción a una nueva clase de material, que presenta las características de los sólidos y de los fluidos simultáneamente: los materiales viscoelásticos. En el capítulo 6 introducimos los modelos que están relacionados con la MECÁNICA DEL DAÑO CONTINUO.

A. Propiedades Mecánicas

A.1 Comportamiento de los Sólidos

En 1660, el investigador inglés Robert Hooke descubrió que para muchos materiales (sólidos) los desplazamientos eran proporcionales a la fuerza aplicada, estableciendo así la noción de elasticidad (lineal), pero no en el sentido de tensión-deformación. Dicha obra sólo fue publicada en 1678. Fue el suizo matemático Jacob Bernoulli quien observó que la manera adecuada de describir el cambio de longitud era proporcionando una fuerza por unidad de área (tensión), como una función del alargamiento por unidad de longitud (deformación), ver Figura A.1.

Figura A.1: Relación tensión-deformación.

Propiedades Mecanicas ´

A

Apendice ´

fuerza/momento tensión

deformación desplazamiento

Ley constitutiva σ

ε

APÉNDICE A: PROPIEDADES MECÁNICAS 37

Dependiendo de la relación constitutiva, los fluidos pueden ser clasificados como:

! Fluido Newtoniano Un fluido Newtoniano se caracteriza por presentar una relación lineal de la tensión tangencial viscosa con el tensor tasa de deformación. Como ejemplo de fluidos Newtonianos podemos citar: agua, aceite, que obedecen la ley de fluido Newtoniano incompresible.

! Fluido No-Newtoniano (Stokesianos) Un fluido No-Newtoniano se caracteriza por presentar una relación no lineal de la tensión tangencial viscosa con el tensor tasa de deformación. Como ejemplo de fluidos No-Newtonianos podemos citar: sangre, salsas.

A.3 Materiales Viscoelásticos

Dedicaremos el capítulo 5 al planteamiento de ecuaciones constitutivas de los materiales viscoelásticos. Para entender este comportamiento, podemos hacer un experimento muy sencillo. Por ejemplo, cogemos un chicle (usado) y los estiramos de tal forma que en una extremidad se concentre la mayor parte del chicle. Lo situamos en posición vertical de manera que la única fuerza del sistema sea la gravitatoria, ver Figura A.23. Vamos a observar que con el tiempo el chicle empezará a deformase, y sin haber añadido ninguna fuerza al sistema. Tras un cierto tiempo deformándose, cortamos la extremidad (quitamos la fuerza) y observamos que hay una parte de la deformación que se recupera instantáneamente, y además verificamos que con el tiempo que hay una parte de la deformación que se recupera lentamente. Es decir, estos materiales tienen la capacidad de almacenar energía mecánica como los sólidos elásticos y también tienen la capacidad de disipar energía según las leyes de fluidos debido a la viscosidad. Luego, a la hora del planteamiento de la ley constitutiva de estos materiales tenemos que tener en cuenta estos fenómenos simultáneamente.

Figura A.23: Comportamiento viscoelástico.

0t 1t 3t

4t 45 tt >>

Recuperación elástica instantánea

Recuperación lenta

1 Hiperelasticidad

1.1 Introducción

Nuestro objetivo en este capítulo es establecer las ecuaciones constitutivas para aquellos materiales que se comportan según la teoría de la hiperelasticidad, también denominada como Elasticidad de Green o Elasticidad no-lineal. Algunos materiales como son los elastómeros, polímeros, goma, materiales biológicos (arterias, músculos, piel), aparatos destinados al aislamiento de la base de estructuras, pueden estar sometidos a grandes deformaciones sin presentar deformación permanente (sin que haya disipación interna de energía), siendo así clasificados como materiales hiperelásticos. Entre los investigadores que han utilizado el modelo constitutivo hiperelástico para modelar materiales tipo goma podemos citar: Alexander (1968), Treloar (1975), Ogden (1984), Morman (1986), Holzapfel (2000). En los materiales hiperelásticos no se tiene en consideración las deformaciones pasadas y dichos materiales presentan un comportamiento sin histéresis. Físicamente, el material elástico (elasticidad lineal, hiperelasticidad) regresa a su estado inicial una vez que desaparece la carga, ver Figura 1.1. En otras palabras, el trabajo almacenado durante el proceso de carga es recuperado durante el proceso de descarga, es decir, no hay disipación de energía interna (proceso reversible). En este capítulo, restringiremos nuestro análisis a teorías puramente mecánicas, luego variables termodinámicas tales como temperatura o entropía serán despreciadas.

1

Hiperelasticidad


40

Figura 1.1: Curva tensión-deformación de materiales elásticos (carga-descarga).

1.2 Ecuación Constitutiva

Un material hiperelástico (o material elástico no-lineal o material elástico de Green) postula la existencia de una función de energía libre de Helmholtz Ψ definida por unidad de volumen de referencia. Para procesos reversibles Ψ se denomina energía potencial, o densidad de energía de deformación (función energía de deformación), o potencial elástico. Para materiales hiperelásticos la función energía de deformación Ψ es sólo dependiente del gradiente de deformación )(F , i.e., ),( tFΨΨ = .

En procesos puramente de deformación, donde no se involucran cambios debido a la entropía, temperatura, la disipación interna ( intD ) es igual a cero, caracterizando así un proceso reversible. Luego, la desigualdad de Clausius-Planck, ver capítulo 4 - Vol.1, para procesos reversibles recae en la siguiente expresión:

DσDσ :: =⇒=−= ΨΨ && 0intD (Configuración actual)

CC

FF&&

&&

&&

&&

::

::

SS

PP

210

21

0

=⇒=−=

=⇒=−=

ΨΨ

ΨΨintD (Configuración de referencia) (1.1)

donde σ es el tensor de tensiones de Cauchy, D es el tensor tasa de deformación, P es el primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff, S es el segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff, y C es el tensor derecho de deformación de Cauchy-Green. Recurriendo a las relaciones conjugadas obtenidas en el capítulo 4 - Vol.1:

{ ∫∫∫∫∫∫∫ ======VVVVVVV

dVdVdVdVdVdVJdV 21

000000

00000

FFCE &&&& ::::::: ττ

PPSSDDσDσρρ

(1.2)

Podemos resumir que la tasa de la energía de deformación puede ser expresada como:

44444 344444 21

&&&&

Tensional Potencia

DSSP :::: τ==== CEF21Ψ (1.3)

siendo, E el tensor de deformación de Green-Lagrange, y τ el tensor de tensiones de Kirchhoff.

I

σ

ε

carga

descarga

II

I - zona elástica lineal II - zona elástica no-lineal


42

Fijemos que la condición (1.9) debe cumplirse para cualquier proceso termodinámico. Luego, si efectuamos un proceso tal que 0>C& y a continuación efectuamos un proceso 0<C& , la única posibilidad para que siga siendo válida la condición (1.9) es cuando:

CC

CC

∂∂=⇒=

∂∂− )(20)(

21 ΨΨ SS (1.10)

Análogamente, podemos demostrar que:

EE

CC

∂∂=

∂∂= )()(2 ΨΨS (1.11)

Figura 1.2: Objetividad de la energía de deformación.

Teniendo en cuenta las relaciones entre los tensores de tensiones vistas en el capítulo 3 - Vol.1, podemos aun expresar las ecuaciones constitutivas como: ! Función del tensor de tensiones de Kirchhoff ( τ ):

T

T

T

FCCF

FEEF

FF

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

∂∂=

∂∂=

=

)(2

)(

Ψ

ΨSτ

(1.12)

B

Xr

xr

Xr

F , )(FΨ



0B B

FF ⋅=Q* )( F⋅QΨ

U )(UΨ

R

Q

UR ⋅=F

TRQ =

EC ,

)(

)(� E

C

Ψ

Ψ

)()()( UURQQ ΨΨΨ == ⋅⋅⋅F


50

Figura 1.3: Tensores constitutivos tangentes elásticos.

klijklij

klijklij

klijklij

D

D

D

A

L

L

=σ

=τ

=τ

Τ

�o

"

RELACIONES TASAS DE TENSIÓN - DEFORMACIÓN

Xr

xr

Configuración de referencia

Configuración actual

0B B

Tensor tangente elástico material

CCCC

EEEE

∂∂=

∂⊗∂∂=

∂∂=

∂⊗∂∂=

S

S

2

)(4

)(

2

2

Ψ

ΨtanC

F

E&& :tanC=S

Tensor tangente elástico espacial

)(41

2�

jkiljlikilkjikljijkl

ijklijklijkl

lqkptanmnpqimjnijkl

con

FFFF

δδδδ τ+τ+τ+τ=

+=

=

H

HLL

CL

Tensor tangente elástico instantáneo

ijkllqkptanmnpqjnimijkl J

FFFFJ

LCA 11 ==

klijklij F&& K=P

Pseudo-Tensor tangente elástico

ikljipkqtanpjlqijkl

klijijkl

FF

FF

δ

Ψ

S+=

∂∂∂=

CK

K )(2 F

TENSORES TANGENTES ELÁSTICOS

1 HIPERELASTICIDAD

63

( )

( ) ( )

( ) 132

131

34

34

31

32

31

31

31

31

−−

−−

−−−

−−

−=−=

−=∂∂

−=

∂

∂

=∂∂

CC

CC

CC

C

CCC

C

C

JIII

IIIIIIIII

III

IIIJ

T (1.136)

donde hemos utilizado que 1−− ==∂∂

CCC CCC IIIIII

III T . Adicionalmente obtenemos que:

TJ

J

JJ

JJ

J

P

I

I

32

132

132

32

32

32

32

31

31

)()(

)(~

−

−−

−−−

−−

−

=

⊗−=

⊗−=

∂∂⊗+

∂∂=

∂∂=

∂∂

CC

CC

CC

CC

CC

CC

−=

−=

∂∂+

∂∂

=

∂∂

=∂∂

−−

−−−

−−

−

132

132

32

32

32

32

3131

)()(

)(~

klijijkl

klijjlik

klij

kl

ij

kl

ij

kl

ij

CCJ

CCJJ

CJC

CC

J

CCJ

CC

I

δδ

(1.137)

Hemos definido así el tensor de cuarto orden P :

CCCC ⊗−=⇒⊗−= −− 11

31

31 IPIPT (1.138)

Llamamos P al tensor proyección con respecto a la configuración de referencia, Holzapfel (2000).

Figura 1.4: Descomposición multiplicativa del gradiente de deformación � parte isocórica y parte volumétrica.

B

Xr

xr

Xr

volF F~

volFFF ⋅= ~



0B B

dilatación pura

FFC ⋅= T

FFC ~~~ ⋅= T

TFFb ⋅=

132

Jvol =C

Tvolvolvol FFb ⋅=

1~ =F

1 HIPERELASTICIDAD

65

Figura 1.5: Descomposición multiplicativa del gradiente de deformación � parte isocórica y parte volumétrica.

Asumimos la descomposición aditiva de la energía de deformación en una parte isocórica y en una volumétrica:

)()~()(

)()~()(~~

volvol

volvol

CCC

FFF

ΨΨΨ

ΨΨΨ

+=

+= (1.143)

Haciendo la derivada temporal de la expresión de energía (1.143) obtenemos:

JdJ

Jd

tJ

dJJd

t

J

vol

vol

vol

&&

&&&

)(~~

)~(

)(~~

)~(

)()~()(

~

~~

ΨΨ

ΨΨ

ΨΨΨ

+∂

∂=

∂∂+

∂∂

∂∂=

+=

CCC

CCC

CC

:

: (1.144)

Teniendo en cuenta que CC

&& :∂∂= JJ y la relación 1

2−=

∂∂ CC

JJ , obtenemos que:

1σJJvol

∂∂= )(Ψ

B

Xr

xr

Xr

volF F~

volFFF ⋅= ~



0B B

dilatación pura

)()~()(~ volvol CCC ΨΨΨ +=

TJ −− ⋅⋅=∂

∂= FFCC

σS 1)(2 Ψ

volSSS +=~ con 1)( −

∂∂= C

JJJ

volvol ΨS , SS

~~ 32

:P−

= J

T

JF

CCF ⋅⋅

∂∂= )(2 Ψσ

)( volvol FΨ

)~()~(~FF ΨΨ ≡iso

CC~

)~(2~ ~

∂∂= ΨS

1σJJvol

∂∂= )(Ψ


90

5304203112011101 χ+χ+χ+χ+χ=σ ccccc (1.295)

1.8 Hiperelasticidad Anisótropa

Ciertos tejidos biológicos presentan fibras, perdiendo así su isotropía. Si estas fibras tienen una dirección preferente, que representamos por 0�a (configuración de referencia), el tejido viene caracterizado como un material transversalmente isótropo. Otros tejidos, como por ejemplo el tejido cardíaco, pueden presentar las fibras según dos direcciones preferentes, clasificándolos así como tejidos con dos familias de fibras, ver Figura 1.8.

Figura 1.8: Materiales con fibras.

1.8.1 Material Transversalmente Isótropo

Como quedó demostrado en el capítulo 1 - Vol.1, una función isótropa )(CΨΨ = puede ser escrita en función de sus invariantes principales ),,( CCC IIIIIIΨΨ = . Si ahora la función es una función de un vector 0�a y del tensor C , )�,( 0aCΨ , se puede demostrar que esta función se puede escribir en función de los siguientes invariantes:

),,,,(

)��,��,,,()�,()5()4(

02

0000

CCCCC

CCC CCC

IIIIIIII

IIIIII

Ψ

ΨΨ

=

= ⋅⋅⋅⋅ aaaaa (1.296)

donde )4(CI y )5(

CI son los pseudos invariantes de anisotropía. Además, considerando que la energía es independiente del sentido de 0�a , tenemos que )�,()�,( 00 aa −= CC ΨΨ , por ello podemos representar la energía de deformación por:

)��,( 00 aa ⊗= CΨΨ (1.297)

Podemos demostrar que la función anterior es objetiva:

)��,(

)��,()��,(

00

0000

aQaQQQ

QaaQQQaa

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⊗=

⊗=⊗T

TT

C

CC

Ψ

ΨΨ (1.298)

0�a 0�a

0�b

a) Una familia de fibras b) Dos familias de fibras

2 Plasticidad

2.1 Introducción

En un proceso de carga en régimen elástico, la estructuración atómica no se ve afectada, caracterizando así un proceso sin disipación de energía interna. Una vez retirada la carga el sólido vuelve a su estado inicial. En ciertas clases de materiales, si seguimos cargando el material, llegará un nivel de carga tal que la estructura atómica empieza a reestructurarse (dislocaciones a una escala atómica) luego, hay una disipación interna de energía (proceso irreversible). La mayor parte de la energía será utilizada para aumentar la temperatura (liberación de calor), como consecuencia hay un aumento en el desorden del sistema (aumento de la entropía). Un aumento de la temperatura implica también dilatación. A nivel macroscópico, en materiales dúctiles como los metales, esta reestructuración atómica viene caracterizada por una deformación permanente (deformación plástica). Es decir, si a continuación el material sufre una completa descarga se observa que el material recupera parte de la deformación total (a la deformación recuperable la denominamos deformación elástica), ver Figura 2.1, quedando con una deformación permanente, que la denominamos deformación plástica. Los modelos constitutivos que intentan representar este fenómeno se denominan �Modelos de Plasticidad� o �Modelos Elastoplásticos�. Puede resultar complejo formular un modelo constitutivo teniendo en cuenta todos los fenómenos posibles durante un proceso caracterizado por plasticidad. En general, un proceso que envuelve deformación plástica, viene caracterizado por grandes deformaciones, producción de calor, y por la pérdida de la isotropía del material en la zona plástica debido a las fibras plásticas que se forman en dicha zona. Pero, para ciertas clases de materiales el efecto de la temperatura puede ser despreciado, y también el proceso de deformación puede estar caracterizado por presentar deformaciones elásticas pequeñas frente a las plásticas, pudiendo así aplicar la teoría de pequeñas deformaciones caracterizada

2

Plasticidad


110

por un proceso isotérmico. Con estas simplificaciones se da lugar a la Teoría Clásica de Plasticidad. Y varios son los modelos de plasticidad desarrollados para modelar los materiales.

Figura 2.1: Ensayo de tracción simple - Comportamiento plástico. Muchos fueron los investigadores que impulsaron la teoría de plasticidad como podemos citar: Rankine(1851), Tresca(1864), von Mises(1913), Prandtl(1924), Reuss(1930), Prager(1945), Hill(1950), Drucker(1950), Koiter(1953), Ziegler(1959), Naghdi(1960), Mroz(1967), entre otros. Desde de un punto de vista de la cinemática la teoría de plasticidad ha sido desarrollada considerando:

! Plasticidad con Pequeñas Deformaciones (Deformación Infinitesimal):

" Sin efecto de la temperatura (Teoría Clásica de Plasticidad);

• Con efecto de la temperatura (Termoplasticidad en Pequeñas Deformaciones). ! Plasticidad con Grandes Deformaciones (Deformación Finita):

" Sin efecto de la temperatura (Plasticidad en Deformación Finita);

• Con efecto de la temperatura (Termoplasticidad en Deformación Finita).

eε

σ

ε

Yσ

pε

pε - deformación permanente

eε - deformación elástica

Yσ

Yσ

I II III

I - zona elástica

II - zona de plastificación

III - completa descarga

II I

2 PLASTICIDAD

111

En este capítulo vamos hacer el planteamiento de los modelos de plasticidad en el régimen de pequeñas y grandes deformaciones, ver Figura 2.2, sin tener en cuenta el efecto de la temperatura (proceso isotérmico). Antes de la formulación de modelos de plasticidad daremos una introducción a ciertos conceptos que serán importantes en el desarrollo del capítulo.

Figura 2.2: Visión general de la mecánica de sólidos.

2.2 Comportamiento de Sólido con Deformación Plástica

Un concepto importante en la teoría de plasticidad clásica independiente de la tasa es el concepto de superficie de fluencia, que define el estado tensional multiaxial en el umbral de deformación plástica. Si el estado tensional se encuentra dentro de la superficie de fluencia, el correspondiente cambio de deformación será puramente elástico. Deformación plástica sólo será posible cuando el estado tensional se encuentra en la superficie de fluencia. Analizaremos primeramente la superficie de fluencia inicial (criterio de fluencia) y a continuación como esta superficie evoluciona durante el proceso de plastificación.

Mecánica del Medio Continuo

Sólidos Fluidos Multifísicos

Grandes deformaciones (Deformación Finita)

Pequeñas deformaciones (Deformación infinitesimal)

Plasticidad Modelos Viscosos Hiperelasticidad Hiperplasticidad Modelos de Daño, ...

Elasticidad Lineal

Ley Constitutiva

Cinemática

Teoría de estructuras


146

Figura 2.35: Comportamiento elastoplástico con endurecimiento isótropo. El modelo reológico que representa el comportamiento elastoplástico con endurecimiento isótropo viene caracterizado por un muelle y un dispositivo de fricción en paralelo y un muelle en serie como se indica en la Figura 2.36. Figura 2.36: Modelo reológico del comportamiento elastoplástico con endurecimiento

isótropo.

*Yσ−

1 E

σ

Yσ

ε

1

2

4

5

3 6

1 E

)1(pε )1(eε

Yσ−

*Yσ

región elástica inicial

región elástica expandida

K

Yσ

σ σ E

pε eε


172

2.7 Plasticidad en Deformación Finita

Varias teorías han sido desarrolladas para el planteamiento de la teoría de plasticidad con grandes deformaciones. Entre ellas podemos citar: ! Basada en la descomposición multiplicativa del gradiente de deformación, propuesta

por Lee(1969) en el ámbito de la Mecánica de Sólidos:

),(),(),( ttt pe XFXFXFrrr

⋅=Descomposición Multiplicativa del gradiente de deformación

(2.236)

! Basada en la descomposición aditiva del tensor de deformación de Green-Lagrange, propuesta por Green & Naghdi(1965):

),(),(),( ttt pe XEXEXErrr

+=Descomposición aditiva del tensor de deformación de Green-Lagrange

(2.237)

! Basada en la descomposición aditiva del tensor tasa de deformación, propuesta por Nemat-Nasser(1982):

),(),(),( ttt pe xxxrrr

DDD += Descomposición aditiva del tensor tasa de deformación (2.238)

A continuación, haremos el planteamiento de plasticidad con deformación finita basada en la descomposición multiplicativa del gradiente de deformación en una parte elástica y una parte plástica, Lee (1969), Simo (1992), Simo&Hughes (1998).

2 PLASTICIDAD

173

2.8 Plasticidad en Deformación Finita Basada en la Descomposición Multiplicativa del Gradiente de Deformación

2.8.1 Relaciones Cinemáticas

La descomposición multiplicativa del gradiente de deformación viene dada por:

),(),(),( ttt pe XFXFXFrrr

⋅= Descomposición Multiplicativa (2.239)

donde eF es la parte elástica y pF es la parte plástica, ver Figura 2.45, luego se cumple que:

XFFXFxrrr

ddd pe ⋅⋅⋅ == (2.240)

Podemos observar que primero efectuamos la transformación relacionada con pF , resultando así XFX

rrdd p ⋅= (configuración intermedia, o configuración sin tensión). Y a

continuación efectuamos la transformación relacionada con eF , resultando así XFxrr

dd e ⋅= , ver Figura 2.45. De la descomposición multiplicativa podemos obtener las siguientes relaciones:

11111 −−−−− =⇒=⇒= ⋅⋅⋅ peeppe FFFFFFFFF (2.241)

A continuación vamos a establecer las variables cinemáticas en la configuración intermedia, B y las relaciones de éstas con las variables en la configuración actual y de referencia.

Figura 2.45: Descomposición multiplicativa del gradiente de deformación.

B

Xr

xr

Xr

pF eF

pe FFF ⋅=



0B B

configuración intermedia

Xr

d xrd

Xr

d

2 PLASTICIDAD

175

Figura 2.47: Tensores de deformación.

El tensor derecho de deformación de Cauchy-Green (configuración de referencia) viene definido por FFXC ⋅= Tt),(

r, y el tensor izquierdo de deformación de Cauchy-Green por

2),( V== ⋅ Tt FFxbr (configuración actual). Teniendo en cuenta la configuración de

referencia y la intermedia, debido a la transformación pF , ver Figura 2.45, podemos definir los siguientes tensores:

pTpp t FFXC ⋅=),(r

Parte plástica del tensor derecho de deformación de Cauchy-Green (Configuración de referencia)

(2.242)

y su forma inversa: Tppp t

−−− ⋅= FFXC11

),(r

(2.243)

Pudiendo definir la parte plástica del tensor de deformación de Green-Lagrange en la configuración de referencia como:

( )

−=−= ⋅ 11 pTppp t FFCXE

21

21),(

r Parte plástica del tensor de deformación de Green-Lagrange (Configuración de referencia)

(2.244)

Definimos también:

2),( pTppp t V== ⋅FFXb

rParte plástica del tensor izquierdo de deformación de Cauchy-Green (Configuración intermedia)

(2.245)

Observemos que ),( tp XCr

y ),( tp XEr

están definidos en la configuración de referencia

mientras que ),( tp Xbr

está en la configuración intermedia, ver Figura 2.48. El tensor de deformación de Almansi, definido en la configuración intermedia, viene dado por:

Xr

xr

F configuración de referencia configuración

actual

0B B

Conf. Actual Conf. Ref.

( )1

U

−=

==

==−−− ⋅

⋅

CXE

CFFXB

FFXC

21),(

),(

),(11

2

t

t

tT

T

r

r

r

( )

( )1

11

21

2121),(

),(

),(

−

−−−

−

−=

−=

==

===

⋅⋅

b

cxe

bFFxc

cFFxb

1

1

V

t

t

tT

T

r

r

r

1

111

1

−−

−−−

−

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

=

=

=

FEFe

FCFb

FCFb

T

FeFE

FbFC

FbFC

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

=

=

=−−−

−

T

111

1


180

Figura 2.48: Descomposición multiplicativa � tensores de deformación.

2.8.1.2 Deformaciones de los Diferenciales de Área y de Volumen

Teniendo en cuenta la definición del Jacobiano y la descomposición multiplicativa del gradiente de deformación, podemos obtener que:

pe

pe

pe

JJ

J

=

=

=

=

⋅)()(

)(

)(

FF

FF

F

detdet

det

det

(2.273)

( )peeTe

ee

eeTee

t

t

eEFeFE

CXE

FFXC

+==

−=

==

⋅⋅

⋅

1

U

21),(

),(2

r

r

−=

=

==

−

−−− ⋅⋅

1

11

2

21),(

),(

),(

pp

pTpp

pTppp

t

t

t

bXe

FFXb

FFXb

1

V

r

r

r

Conf. Inter.

Conf. Ref.

( )

ppe

peTppe

pp

Tppp

pTpp

t

t

t

EEE

FEFE

CXE

FFXC

FFXC

+=

=

−=

=

=

⋅⋅

⋅⋅

−−−

)_(

)_(

11

21),(

),(

),(

1r

r

r

B

Xr

Xr

pF eF

pe FFF ⋅=


0B


Conf. Actual Conf. Ref.

( )1

U

−=

==

==−−− ⋅

⋅

CXE

CFFXB

FFXC

21),(

),(

),(11

2

t

t

tT

T

r

r

r

( )1

11

2

21),(

),(

),(

−

−−−

−=

==

==

⋅⋅

bxe

bFFxc

FFxb

1

V

t

t

tT

T

r

r

r

Conf. Inter.

Conf. Actual

xr configuración actual

B

eep

epeep

ee

eee

FeFe

be

T

+=

=

−=

−−

−

⋅⋅)_(

1)_(

1

21 1

TpTeee FCFFFb ⋅⋅⋅ −==

1


204

Figura 2.54: Descomposición multiplicativa, y descomposición volumétrica e isocórica.

2.8.8.3 Formulación Considerando la Transformación pF como una Transformación Isocórica

Consideramos a continuación que la deformación plástica pF es puramente isocórica: eepp JJ ===⇒== )()(1)~()~( FFCF detdetdetdet (2.405)

Con esta simplificación la expresión de energía y de tensión quedan:

eepvol J=_

F

1~~ == ppJ F voleeJ F=

Xr

xr

Xr

pF eF

pvoleepe FFFFFF ⋅⋅⋅ == ~



0B

B

B


),( αΨΨ eb=

ee bb

⋅∂∂= Ψ2τ

Xr

B

131

evole J=F

eee J FF 31~ −

=

ppJ F= eeJ F=

1~~ == eeJ F

configuración intermedia volumétrica

elástica

eppvolee JJJ === ⋅⋅ FFFF ~

Xr

B

configuración intermedia volumétrica

plástica

peppeepvol JJJ FFF ~31

31

31_

==−

131

pvolp J=F

ppp J FF 31~ −

=

volpvolpJ F=

3 Termoelasticidad. Termoplasticidad

3.1 Proceso Reversible

Recordemos del capítulo 4-Vol.1 que la desigualdad de Clausius-Duhem puede ser expresada por:

01 11),( 2 ≥−−+ ⋅ TT

uTT

t xx rr

&r

& ∇qDσ ρηρ :Desigualdad de Clausius-Duhem (configuración actual)

(3.1)

0111

0111

0200

0200

≥−−+

≥−−+

⋅

⋅

TT

uTT

o

TT

uTT

X

X

F

E

r

r

r&&

r&&

&

&

∇

∇

qP

qS

ρηρ

ρηρ

:

:Desigualdad de Clausius-Duhem (configuración de referencia)

(3.2)

Fijemos que 0≤⋅ Txrr

∇q , ya que el sentido del vector flujo de calor (qr

) es siempre contrario al sentido del gradiente de temperatura ( Txr∇ ). Así, podemos formular la desigualdad de la conducción de calor:

0≥− ⋅ Txrr

∇q (configuración actual) Desigualdad de la conducción de calor

00 ≥− ⋅ TXrr

∇q (configuración de referencia) (3.3)

El conjunto de esta restricción (3.3), la desigualdad de Clausius-Duhem (3.1) y (3.2) da lugar a la Desigualdad de Clausius-Planck:

Desigualdad de Clausius-Planck 0),( 11),( ≥−+= tu

TTtint xx r

&r

& ρηρ Dσ :D (configuración actual) (3.4)

3

Termoelasticidad Termoplasticidad


214

Resumimos así todos los potenciales termodinámicos en la Tabla 3.1.

Tabla 3.1: Potenciales termodinámicos.

Energía interna específica

Energía libre de Helmholtz Energía libre de Gibbs Entalpía

),( ηEu ),( TEψ ),( TSG ),( ηSH

η

ρ

∂∂=

∂∂=

uT

uE0S

TT

T

∂∂−=

∂∂=

ψη

ψρ

),(

),( 0

E

EES

T∂∂−=

∂∂−=

G

G

η

ρS0E

η

ρ

∂∂=

∂∂−=

H

H

T

S0E

E:S0

1ρ

η ++= Tu G ηψ Tu −= η

ρψ

T−=

−=

H

G E:S0

1

ηρT

u

+=

−=

G

H E:S0

1

3.1.5 Proceso Isotérmico e Isentrópico

Un proceso isotérmico se caracteriza por presentar la temperatura constante durante un cambio en el sistema, es decir, 0=T& . Podemos encontrar una buena aproximación de un proceso isotérmico cuando el material es un buen conductor de calor (metales) y está sometido a un proceso cuasi-estático. Ya un proceso isentrópico se caracteriza por presentar la entropía constante ( 0=η& ) durante un cambio en el sistema. Podemos encontrar una buena aproximación de un proceso isentrópico cuando el medio es un mal conductor de calor y las cantidades (velocidad, tensión, deformación) varían rápidamente. Retomemos algunas de las expresiones obtenidas anteriormente:

∂

∂=

∂∂

=

⇒∂∂+

∂∂=

=

=

ctte

ctte

uT

u

uuuise

E

EE

EEE

EE

E

ηηη

ηρη

ηη

ηη

),(),(

),(),(

),(0S

&&& : (3.35)

y de la expresión de la tasa de la energía libre de Helmholtz:

∂∂−=

∂∂=

⇒∂∂+

∂∂=

=

=

ctte

ctteT

TTT

TTT

TT

E

EE

EEE

EE

E),(),(

),(),(),(

00

ψη

ψρψψψ

S&&& : (3.36)

Con eso tenemos dos formas de obtener el tensor de tensiones:

ctteTctte

TTu

ise==

∂∂=

∂

∂=

EEE

EEE ),(),(;

),(),( 000

ψρηρηη

SS (3.37)


228

3.3 Problema Termo-Mecánico Desacoplado en Pequeñas Deformaciones

Para ciertas estructuras (Sólidos) cuando la variación de la temperatura no es demasiada elevada de tal forma que las propiedades mecánicas no varíen con la temperatura, podemos tratar el problema termo-mecánico desacoplado. Es decir, podemos hacer el análisis puramente térmico sin tener en consideración la deformación y después efectuar el problema mecánico teniendo en consideración unas deformaciones iniciales debido al cambio de temperatura, ver Figura 3.1.

Figura 3.1: Problema termo-mecánico desacoplado.

Como visto anteriormente las ecuaciones de gobierno para un material termoelástico simple vienen dadas por:

Ecuaciones Básicas de la Mecánica del Medio Continuo (Configuración de Referencia)

Ecuación de continuidad 0)( =ρJDtD (3.126)

Ecuaciones del Movimiento ( ) ubS

ubP

&&r&rr

&&r&r&rr

r

r

0000

00000

ρρρ

ρρρρ

==+

===+

⋅⋅⋅

VF

VV

X

X

∇

∇ (3.127)

Simetría del segundo tensor de Piola-Kirchhoff

TSS = ó TT PP ⋅⋅ = FF (3.128)

444444444 3444444444 21

*qr

B σS uS

)(* xrrt

n�

)(xrrbρ

T∆

rρ

T

B σS uS

)(* xrrt

n�

)(xrrbρ

*qr

B

rρ

*T

Problema térmico Problema mecánico

+ T∆

t

t t


240

3.5 Termoelasticidad con Descomposición Multiplicativa del Gradiente de Deformación

Para tratar la termoelasticidad en deformación finita, en este apartado, utilizaremos la descomposición multiplicativa del gradiente de deformación en una parte elástica ( eF ) y en una parte térmica ( θF ), Lubarda (2004), ver Figura 3.5. Según Vujo�ević & Lubarda (2002), esta aproximación para el problema térmico fue primeramente introducida por Stojanović. La primera transformación es debido a θF , definiendo así una configuración intermedia θB , que viene caracterizada por la ausencia de tensión, y a continuación se efectúa una transformación debido a eF . De esta manera, el gradiente de deformación viene dado por:

θFFF ⋅= e (3.202)

Figura 3.5: Descomposición multiplicativa. Así, como se demostró en el capítulo de plasticidad, la descomposición multiplicativa del gradiente de deformación en una parte plástica y otra elástica, pe FFF ⋅= , no es única. De igual manera se puede demostrar que la descomposición multiplicativa del gradiente de deformación en una parte térmica y otra elástica tan poco es única.

OBS.: En este apartado utilizamos la variable θ para representar la temperatura. De esta forma evitamos confusión con la transpuesta TF .

Conf. Inter.

Xr

xr

Xr

θF eF

θFFF ⋅= e



0B

θB

B


0σ =

),( tXr

θ

Conf. Ref.

0σ =

Conf. Actual

σ

σ ),(

),(Jt

t=x

xr

r

τ )(0 X

rθ

σ - Tensor de Tensiones de Cauchy τ - Tensor de Tensiones de Kirchhoff

4 Fluidos

4.1 Introducción

En este capítulo, introduciremos una rama importante de la mecánica del medio continuo, la mecánica de fluidos que se destina al estudio de los fluidos en movimiento o en reposo. Los fluidos pueden ser clasificados en:

GasesLíquidos

Fluidos

Varias son las áreas de aplicación de fluidos, e.g., meteorología, oceanografía, aerodinámica, hidrodinámica, lubricación, ingeniería marítima, entre otras. Básicamente, podemos decir que los sólidos pueden resistir a una tensión tangencial mientras que los líquidos tienen muy poca resistencia a la tensión tangencial (fluido viscoso, ej. aceite) o ninguna resistencia (fluido no viscoso, ej. agua). Tanto los gases como los líquidos son materiales constituidos por moléculas (aglomeración de dos o más átomos) que colisionan unas con las otras. Para tratar un fluido con las hipótesis de la mecánica del medio continuo las propiedades como densidad, presión y velocidad deben ser tratadas como funciones continuas. El tratamiento de un sistema de moléculas como un medio continuo será válido cuando se compara el camino libre medio de las moléculas (Λ ) (distancia media antes de chocar con otras partículas) con la longitud

característica del sistema físico ( Cl ). Al cociente entre estas longitudes ClΛ se le denomina

número de Knudsen ( Kn ). Si este número es mucho menor que la unidad, el dominio puede ser tratado como medio continuo, caso contrario deberemos utilizar la Mecánica Estadística. Con esto podemos establecer que:

4

Fluidos

5 Viscoelasticidad

5.1 Introducción

Los materiales elásticos se caracterizan por poseer capacidad para almacenar energía mecánica sin que haya disipación de energía. Sin embargo, los fluidos viscosos Newtonianos en movimiento experimentan disipación de energía ya que no tienen capacidad para almacenarla. En este capítulo trataremos de un material que presenta simultáneamente características de sólido y de fluido. Es decir, estudiaremos un material que tendrá capacidad de almacenar energía mecánica según las leyes de sólidos elásticos y simultáneamente tendrá capacidad de disipar energía mecánica según las leyes de fluidos. A los materiales que presentan estos fenómenos los denominamos Materiales Viscoelásticos. Entre los investigadores de materiales viscoelásticos podemos encontrar en la literatura Findley et al. (1976), Christensen (1982) entre otros. En los materiales viscoelásticos la tensión y/o deformación en un punto material varía de forma significativa con el tiempo hasta cuando en el sistema impuesto inicialmente se mantiene constante. En laboratorio se puede observar dos fenómenos viscoelásticos:

! bajo una tensión constante se observa que la deformación es una función del tiempo )(tε=ε , lo que denominamos fenómeno de Fluencia;

! bajo una deformación constante la tensión es una función del tiempo )(tσ=σ , lo que denominamos fenómeno de Relajación.

Cuando cargamos una estructura, e.g. una columna de hormigón, se produce una deformación inicial (deformación elástica instantánea). Se ha comprobado que la deformación crece con el tiempo, es decir, la deformación es dependiente del tiempo )(tε , caracterizando así el fenómenos de fluencia, ver Figura 5.1. En otra palabras, en la ecuación constitutiva, la tensión será dependiente de la tasa de la deformación ε& . Otro ejemplo sería

5

Viscoelasticidad


298

Figura 5.16: Respuesta para dos pasos de carga � Modelo de Kelvin.

5.3.3 Modelo de Burgers

El modelo de Burgers (o modelo de cuatro elementos) está constituido por el modelo de Maxwell y de Kelvin dispuestos en serie, ver Figura 5.17. El modelo de Burgers es capaz de incluir tres modelos de respuestas viscoelástica básicos: una respuesta instantánea elástica debido al muelle 1E ; un flujo viscoso debido al amortiguador 1vη ; y finalmente una respuesta elástica retardada debido al modelo de Kelvin.

Figura 5.17: Modelo de Burgers.

)1(ε

)1(σ )1(σ

2E

2vη )2(σ )2(σ

σ σ 1E 1vη

)2(ε )3(ε

ε

1t

E

0σ

ε

t

0σ

σ

a) tensión

1t t

b) deformación

6 Mecánica del Daño Continuo

6.1 Introducción

El término Mecánica del Daño Continuo ha sido utilizado para modelos que se caracterizan por la pérdida de rigidez, es decir, reducción del módulo constitutivo secante. Los modelos de daño han sido utilizados para simular diversos materiales (frágiles, dúctiles) que básicamente se caracterizan por presentar una degradación irreversible del material. Físicamente, la degradación de las propiedades mecánicas del material viene caracterizada por el proceso de iniciación y crecimiento de microdefectos, tales como microporos y microfisuras. En el trabajo pionero de Kachanov (1958) se ha introducido el concepto de tensión efectiva, utilizando el daño continuo en el contexto de problemas relacionados con la fluencia en metales. Rabotnov (1963) ha dado significado físico, proponiendo la medición de la reducción del área de la sección a través de la variable de daño. La mecánica del daño continuo se ha tornado una herramienta importante y es una teoría consistente basada en procesos termodinámicos irreversibles (desigualdad de Clausius-Duhem). El formalismo termodinámico fue desarrollado por Lemaitre&Chaboche (1985). Entre las contribuciones importantes para la mecánica del daño podemos citar: Mazars (1986), Mazars&Pijaudier-Cabot (1985), Chaboche (1979), Simo&Ju (1987 a,b), Ju(1989), Oliver et al. (1990), Oller et al. (1990) entre otros. Los modelos de daño, desde de un punto de vista computacional, son muy atractivos por presentar algoritmos sencillos y muy satisfactorios para problemas de grandes dimensiones. Expondremos algunos modelos de daño básicos que sirven para estudiar el mecanismo del fallo y a partir de estos modelos podemos formular modelos más complejos para la caracterización de materiales específicos.

6Mecanica del Dano Continuo ~ ´


320

6.2 Modelo de Daño Isótropo en Deformación Infinitesimal

Los llamados Modelos de Daño Continuo han sido ampliamente aceptados para simular comportamientos de materiales que presentan degradación de las propiedades mecánicas debido a la presencia de pequeñas fisuras que se propagan durante el proceso de carga. Para caracterizar este fenómeno, inicialmente haremos el planteamiento del modelo en una dimensión (1D) y después extrapolaremos al caso tridimensional (3D). Con lo que respecta a la cinemática del movimiento, el estudio en este apartado se desarrollará en el régimen de pequeñas deformaciones, teniendo como base las notas de clases del Prof. Oliver, Universitat Politècnica de Catalunya.

6.2.1 Descripción del Modelo de Daño Isótropo en Una Dimensión

Supongamos que una probeta está sometido a tracción, Figura 6.1, cuya tensión aparente (σ ) actúa en una sección ( s ). Debido a la presencia de fallos, sólo será considerada la región no dañada, es decir, la sección efectiva s donde actúa la tensión efectiva σ .

Figura 6.1: Cuerpo de prueba sometido a tracción.

Luego, haciendo el equilibrio de fuerzas en el elemento de la Figura 6.1, se debe cumplir que:

σ=σ ss (6.1)

La expresión (6.1) también puede ser escrita sin que altere su validez como:

σ

−=

σ

−−=

+−σ=σ=σ

1

11

ss

sss

sss

ss

d

(6.2)

donde ds es la sección dañada o superficie dañada.

σ - tensión efectiva σ - tensión aparente

s

σ

σ

s


322

En una curva tensión-deformación representativa, ver Figura 6.2, durante la descarga ( )0=d& , el módulo secante de la curva es EdE dg )1( −= y tras la completa descarga del material, éste no presentará residuo de deformación, ver Figura 6.2.

Figura 6.2: Curva tensión � deformación.

Podemos resumir las características fundamentales del modelo de daño unidimensional:

( ) )10(; 1 ≤≤ε−=σ dEd

0=d si 0ε<ε (6.8)

Partiendo de la relación anterior podemos obtener la expresión de la energía en el sistema. Como sabemos la energía, para el caso uniaxial, viene dada por:

( ) ( ) e

e

dEd ΨΨ

Ψ

−=⇒εε−=εσ

=

1 211

21

321 (6.9)

6.2.2 Modelo de Daño Isótropo en Tres Dimensiones

La base de los modelos de daño consiste en definir una transformación entre el espacio físico (real) y un espacio ficticio (espacio efectivo) en el que el material está inalterado, ver Figura 6.3.

Figura 6.3: Espacio físico y efectivo.

Como se ha descrito anteriormente el modelo depende de la evolución de una única variable escalar, parámetro de daño o de degradación d . Esto significa que se supone un comportamiento mecánico de las microfisuras o microporos independiente de la

EdE dg )1( −= 1

σ

E

ε

Carga

Descarga / Carga

Límite elástico Yσ

0ε

Espacio Físico (Real) Espacio Efectivo

σ−=σ⇒

σ

)1(

d

efectivatensión

ε 1 ε

1

σ σ

σ

σ

6 MECÁNICA DEL DAÑO CONTINUO

327

6.2.2.3 �Ingredientes� del Modelo de Daño

El modelo constitutivo de daño queda totalmente determinado si se conoce el parámetro de daño td para cada instante de tiempo t del proceso de carga (carga, descarga o recarga), para lo cual definimos los siguientes elementos de la ecuación constitutiva:

! La norma del tensor de tensiones o de deformaciones; ! Superficie de daño y el criterio de daño. La superficie de daño define el límite

elástico y el criterio de daño establece cuando el material está en un proceso de daño o en un proceso elástico, y;

! Un conjunto de leyes de evolución para las variables internas.

Norma en el Espacio de Tensiones y de Deformaciones

La norma es una medida de distancia, luego un escalar. Como veremos más adelante, para mejor representación del material, se definirán otras normas de forma que puedan ser empleadas para distintos materiales. A continuación definimos una posible norma en el espacio de tensiones ( σt ) y en el espacio de deformaciones ( εt ), ésta última también conocida como deformación equivalente:

εσ

εσ εε ε σσ σ

t

tt

t )1(

2; 1

1

d

eeeee

−=⇓

=====−

−

44444444444444 344444444444444 21Ψ:::: CC CC

(6.31)

σt y εt son ecuaciones de superficies (elipsoides) que caracterizan el estado tensional actual en un punto. La demostración de (6.31) sigue a continuación:

( ) ( ) ( ) ( ) εσ

ε

σ

εσεε

εσεσεσσσ ttt

td

ddde

e

−=⇒

==

−=−=−==−

1111 21

:::

:::::

C

C (6.32)

Figura 6.5: Estado de tensión y de deformación en el espacio principal.

1σ

2σ

3σ

σt

b) Espacio de tensión

1ε

2ε

3ε

εt

a) Espacio de deformación

εσ tt )1( d−= 0),( =qσtF 0),( =rεtG


342

6.3 Daño Isótropo Generalizado

Observemos que el tensor constitutivo elástico eC puede ser escrito en función de los siguientes conjuntos de parámetros mecánicos ),( µλ , ),( νE , ),( Gκ :

444 3444 2143421

isocórica parteca volumétriparte

31 2

)1(

)21)(1(

2

⊗−+⊗κ=

ν+ν+⊗

ν−ν+ν=

+⊗λ=

11I11

I11

I11

µ

µEE

eC

(6.100)

donde )(E -módulo de Young, )(ν - coeficiente de Poisson, ),( µλ constantes de Lamé, )(κ -módulo volumétrico, y µ=G - módulo de elasticidad transversal.

Para el modelo de daño isótropo el tensor constitutivo degradado queda:

I11

I11

)1(

)21)(1(

)1()1(

)21)(1()1()1(

ν+ν+⊗

ν−ν+ν=

ν+−ν+⊗

ν−ν+−ν=−=

dgdg

edg

EE

EdEdd CC (6.101)

Observemos que para el modelo de daño isótropo, la variable de daño sólo afecta una de las propiedades mecánicas, el módulo de Young. Verificamos también que la misma variable de daño afecta de igual manera tanto la parte esférica como la desviadora:

⊗−−+⊗κ−=

−=

31 2)1( )1(

)1(

11I11 µdd

d edg CC (6.102)

Un modelo descrito por Carol et al. (1998) hace una generalización del modelo de daño isótropo considerando la degradación independiente de la parte esférica y de la parte desviadora del tensor constitutivo elástico, requiriendo así dos variables de daño independientes. A continuación se expone este modelo. El tensor constitutivo elástico, expresado en una parte esférica (volumétrica) y una desviadora, en notación indicial queda:

( )

−++κ= klijjkiljlikklij

eijkl δδδδδδµδδ

31

21 2C (6.103)

denotando por klijVijkl δδ

31=P y por ( ) V

ijkljkiljlikD

ijkl PP −+= δδδδ21 , reescribimos la relación

(6.103) como:

DVe

Dijkl

Vijkl

eijkl

PPC 23

23

µ

µ

+κ=

+κ= PPC (6.104)


348

6.4 Modelo de Daño-Plástico en Deformación Infinitesimal

La teoría clásica de daño ha sido modificada y extendida donde se incluye componentes de deformación plástica residual. Entre los investigadores en esta línea podemos citar: Bazant&Kim (1979), Dragon&Mróz (1979), Ortiz (1985), Simo&Ju (1987a,b), entre otros. A continuación expondremos el modelo de daño-plástico, considerando un proceso isotérmico, y en régimen de pequeñas deformaciones (deformación infinitesimal). Básicamente un modelo de daño-plástico viene caracterizado por presentar deformaciones residuales (deformaciones plásticas) y también la degradación del tensor constitutivo secante, ver Figura 6.13.

Figura 6.13: Curva tensión � deformación.

Varios modelos de daño-plástico han sido desarrollados. Citamos algunos que tienen como punto de partida la definición de la energía libre: ! Uno de los modelos, el modelo daño-plástico acoplado, considera la

descomposición aditiva de la energía en una parte elástica y una plástica, donde ambas energías son funciones de la variable de daño:

),(),( dd ppe αΨΨΨ += ε (6.133)

! El próximo modelo considera lo anterior más una energía de daño sólo en función

de la variable de daño:

)(),(),( ddppe dd αΨαΨΨΨ ++= ε (6.134)

! En este modelo se considera una descomposición de la energía en una parte elástica

función de ),( de εΨ y en una plástica sólo función de )( pp αΨ :

)(),( ppe d αΨΨΨ += ε (6.135)

1

σ

E

ε

Carga con degradación

Descarga / Carga elástica

Ed )1( −

Límite elástico Yσ

pε

1

6 MECÁNICA DEL DAÑO CONTINUO

363

6.6 Daño en Deformación Finita

Los modelos hiperelásticos clásicos vistos en el capítulo 1 no son capaces de simular el comportamiento de ciertos polímeros que vienen caracterizados por la pérdida de rigidez cuando estos materiales están sometidos a grandes desplazamientos. Este fenómeno de disipación se conoce como efecto Mullins, cuyo fenómeno fue estudiado por diversos investigadores, Bueche (1960), (1961), Mullins (1969), Souza Neto et al. (1998), entre otros. En un ensayo uniaxial cíclico, el efecto Mullins viene fenomenológicamente caracterizado por la degradación de las propiedades elásticas, ver Figura 6.14. Durante el inicio del proceso de carga [ ]10 − el camino recorrido es A , ver Figura 6.14, y la descarga se hace según el camino B y tras la completa descarga el material recupera totalmente su estado inicial. La segunda carga se efectuará según el camino B seguido por el camino C . Observemos que para modelos hiperelásticos clásicos la carga se efectuaría por el camino

CA − y la descarga se efectuaría por el mismo camino AC − .

Figura 6.14: Efecto Mullins.

6.6.1 Modelo Unidimensional de Gurtin & Francis

Gurtin & Francis(1981) propusieron una teoría simple unidimensional en la cual el estado actual de la variable de daño viene caracterizada por la deformación axil máxima, mε :

{ })()(0

stts

m ε=ε≤≤

max (6.220)

En este modelo Gurtin y Francis adoptaron una ecuación constitutiva expresando la tensión uniaxial, σ , como una función del estado de deformación actual y del daño como:

)( )( mgf εζ=σ (6.221)

donde )( mg ε es denominada de curva virgen y ζ es la deformación relativa:

ε )2(ε )1(ε

A

B

C

D

E σ

0

1

2

B

Barotrópico ........................................................... 261

C

Calor específico .................................... 216, 222, 238 Coeficiente de dilatancia viscosa .......................... 266 Coeficiente de estiramiento térmico ..................... 245 Coeficiente de expansión térmica ......................... 246 Coeficiente de viscosidad volumétrica.................. 267 Coeficiente tangencial viscoso.............................. 266 Condición de normalización ............................. 43, 54 Condición de Stokes ............................................. 268 Constantes de Lamé

adiabáticas ............................................... 215, 226 isotérmica ................................................ 215, 226

Criterio de daño .................................................... 328 Criterio de fluencia ............................................... 112 Criterio de máxima tensión de corte ..................... 121 Curva de fluencia.................................................. 115 Curva maestra de daño.......................................... 364 Curva virgen de daño............................................ 363

D

Daño continuo....................................................... 320 Daño isótropo ....................................................... 323 Daño-plástico........................................................ 348 Deformación equivalente...................................... 327 Deformación plástica equivalente......................... 166 Derivada de Lie..................................................... 185 Descomposición aditiva

del tensor de deformación de Green-Lagrange 172 del tensor tasa de deformación ........................ 172

Descomposición aditiva del tensor de deformación infinitesimal .......................................................... 156 Descomposición Multiplicativa

del gradiente de deformación................... 172, 240 Desigualdad

de Clausius-Planck .......................................... 209 de la conducción de calor ........................ 209, 221 de Clausius-Planck daño-plástico .................... 360

Desigualdad de Clausius-Planck Disipación

daño isótropo................................................... 323 daño-plástico ................................................... 349

Drucker-Prager ..................................................... 358

E

Ecuación de Navier-Stokes................................... 274 Ecuación de Bernoulli .......................................... 280 Ecuación de estado cinética .................................. 261 Ecuación de flujo de calor .................................... 231 Ecuación de Movimiento de Euler........................ 275 Ecuaciones Cinemáticas (o Geométricas)......233, 318 Ecuaciones Constitutivas ...............233, 269, 271, 318

de tensión (daño isótropo) ............................... 324 linealizadas.................................................61, 223 materiales hiperelásticos.................................... 43

Ecuaciones de movimiento ....................233, 272, 317 Efecto Mullins ...................................................... 363 Elasticidad de Green ............................................... 39 Elasticidad no-lineal ............................................... 39 Energía

interna específica............................................. 210 libre de Gibbs .................................................. 212 libre de Helmholtz........................................... 210 libre de Helmholtz daño isótropo .................... 323 libre de Helmholtz daño-plástico..................... 349

Entalpía................................................................. 212 Entropía ................................................................ 222 Espacio de tensión de Haigh-Westergaard............ 114 Estabilidad de Drucker ......................................... 170

F

Fluencia ................................................................ 287 Fluido incompresible ............................................ 262 Fluido perfecto...................................................... 260 Fluidos Newtonianos ............................................ 266 Flujo irrotacional .................................................. 263 Flujo no convectivo .............................................. 270 Fuerzas termodinámicas ....................................... 357 Fuerzas viscosas ................................................... 272 Función de Heaviside ........................................... 289

Indice Tematico ´ ´


388

Función de relajación............................................ 309 Función signo ....................................................... 144

H

Hiper-superficie de fluencia.................................. 112 Huber-von Mises .................................................. 164

I

Integrales de Stieltjes............................................ 312

J

Jacobiano elástico..................................................... 180, 243 plástico ............................................................ 180 tasa .................................................................... 73 térmico............................................................. 243

L

Ley de Fourier de conducción de calor......... 224, 235 Ley cinética de estado........................................... 261 Ley de Navier-Poisson.......................................... 266 Ley constitutiva

daño isótropo ................................................... 325 Ley de Ablandamiento/Endurecimiento ............... 333

M

Material reversible .................................................. 43 Mises-Huber ......................................................... 206 Modelo de daño isótropo ...................................... 335 Modelos hiperelásticos

con daño .......................................................... 363 Modelos reológicos................................142, 146, 291 Módulo

de ablandamiento/endurecimiento ................... 331 secante elástico dañado.................................... 321 constitutivo tangente elastoplástico ..149, 153, 154

Multiplicador plástico........................................... 143

N

Norma de Frobenius ............................................. 113 Número de Knudsen ............................................. 257 Número de Reynolds ............................................ 261

P

Parámetro de ablandamiento/endurecimiento ................... 333 de consistencia de daño ................................... 331 de daño ............................................................ 322

Paréntesis de Macauley................................. 339, 355 Plasticidad

con Endurecimiento isótropo........................... 145 con endurecimiento cinemático ....................... 139 con endurecimiento isótropo y cinemático ...... 140 perfecta .................................................... 137, 141

Potencia disipada...................................................270 Potencia recuperable..............................................269 Potencia tensional..................................................269 Potencial elástico.....................................................40 Potencial termodinámico ...............................211, 214 Presión hidrostática .........................................69, 258 Presión termodinámica ..........................................259 Principio de correspondencia.................................318 Principio de la superposición de Boltzmann..........310 Proceso isentrópico................................................214 Proceso isotérmico.................................................214

R

Regla de flujo ........................................................143 Relación de Nanson...............................................236 Relaciones de Duhamel-Neumann.........................223 Relajación..............................................................287

S

Sólido Neo-Hookeano .............................................78 Superficie de daño .................................................365 Superficie de fluencia ............................112, 113, 114

de Drucker-Prager ............................................131 de Mohr-Coulomb............................................127 de Rankine........................................................136 de von Mises ....................................................119

Superficie de von Mise ..........................................116

T

Tasa de Cotter-Rivlin................................................186 de Jaumann-Zaremba .........................................46 de Oldroyd............................................45, 46, 185 de tensiones de Truesdell ...................................47

Tensión media .......................................................259 Tensión efectiva ............................................319, 321 Tensiones efectivas

daño isótropo....................................................325 daño-plástico ....................................................349 desviadora ........................................................344 esféricas............................................................344

Tensor calor latente ..............................................216, 220 de conductividad térmica..................................221 de deformación de Almansi..............................174 de deformación de Cauchy ...............................174 de deformación de Green-Lagrange .................174 de expansión térmica................................213, 220 de tensiones térmicas........................................219 derecho de deformación de Cauchy-Green.......174 derecho de estiramiento....................................174 izquierdo de deformación de Cauchy-Green ....174 izquierdo de estiramiento .................................174

Tensor constitutivo elástico ...........................326, 342 adiabático .........................................................215 isotérmico.................................................215, 219

Tensor constitutivo secante ...................................326 Tensor constitutivo tangente

daño generalizado.............................................347 daño-plástico ....................................................354 de daño isótropo ...............................................337 de daño .............................................................336

ÍNDICE TEMÁTICO

389

elastoplástico efectivo ..................................... 354 elastoplástico ................................................... 159

Tensor de deformación plástica ............................ 359 Tensor de tensiones

de Biot ............................................................. 188 de Cauchy.................................................. 43, 188 de Kirchhoff ........................................ 42, 43, 188 de Mandel.................................................. 43, 188 de Piola-Kirchhoff ....................................... 43, 45 primer de Piola-Kirchhoff ............................... 188 segundo de Piola-Kirchhoff............................. 188

Tensor de tensiones de Kirchhoff ........................... 42 Tensor izquierdo de deformación de Cauchy-Green51 Tensor proyección .................................................. 63 Tiempo de relajación .................................... 294, 295 Transformación isocórica........................................ 62

V

Variable de daño ........................................... 321, 332 Vector de vorticidad.............................................. 263 Vector flujo plástico ............................................. 113

Ejemplo vol2

Entertainment & Humor

Transcript of Ejemplo vol2