ANÁLISIS Y DISEÑO DE

CIMENTACIONES SUPERFICIALES

DISEÑO DE ZAPATAS CORRIDAS

SIN CONTRATRABES QUE

SOPORTAN DOS O MAS

COLUMNAS

EJEMPLO Nº 1

Diseñe una zapata combinada de concreto reforzado, misma que no tiene limitaciones de lindero; sometida a las cargas indicadas, valores resultantes del análisis estructural del sistema resistente de la edificación, bajo la combinación de una acción permanente (CM) más una acción variable (CVmáxima). Las propiedades mecánicas de los materiales que la constituyen son las siguientes.

c1 c1

PP

I. DATOS

Las dimensiones de la columna son: c1= 30 cm, c2=30cm.

Propiedades mecánicas de los materiales de la zapata.

f’c = 200 kg/cm2

fy = 4200 kg/cm2

PP

L

490 cmL1 L2

Df

h

c1

c2

Capacidad de carga del suelo de sustentación.

qd = 11 ton/m2

Peso específico del suelo que gravita sobre la cimentación.

s=1300 kg/m3

Profundidad de desplante de la cimentación.

Df =1.3 m.

Cargas axiales a la que estará sometida en condiciones de servicio, derivada de la combinación de una acción permanente más una acción variable con su valor máximo (CM+CVmáx). P = 70.00 ton

II. Cálculo de constantes.

III. Elementos mecánicos últimos o de diseño.

Pu= FC P = 1.4 * 70 ton = 98 ton

IV. Predimensionamiento de la zapata.

Peralte total de la zapata. Se propone un peralte h= 50 cm.Reacción neta del suelo (capacidad de carga neta del suelo).qn= qd – {s (Df-h) + c h} = 11 - {1.3 (1.3-0.50) +2.4 (0.50)} = 8.76 ton/m2

Cálculo del ancho de la zapata.Proponemos inicialmente L=4.90 m.+0.30 m.=5.20 m.

MATERIALESCONSTANTES EN FUNCIÓN DEL

PORCENTAJE MÁXIMO DE ACERO

f'c

(kg/cm2)

f*c (kg/c

m2)

f''c (kg/c

m2)

fy (kg/c

m2)

pmáx = 0.9 pb

pmín pb 0.9 pb q

Ku (kg/c

m2)

Ru

(kg/cm2)

200 160 136 4200 0,0024 0,01520,0137 0.4235

40.8621

2979,5294

Dimensiones prácticas de la cimentación.

V. Revisión de la presión actuante sobre el terreno (Presiones de Contacto).Se debe cumplir que: qn qa

La zapata es simétrica en forma y carga, por lo tanto la resultante de las cargas se localiza en su centroide. Esto es: x = 3.05 m.Por lo tanto, en este caso particular, la presión actuante es:

Se aceptan las dimensiones propuestas de la zapata.

VI. Revisión del Peralte Propuesto por Flexión.

P P

275

610 cm

60 490 cm

60 cm

Ss

hj

VII.

ZAPATAS CORRIDAS CON CONTRATRABE

El procedimiento sugerido para el análisis y diseño de este tipo de cimentaciones es el siguiente.

I. DATOS GENERALES.

Materiales.

610

60 490 60

f´c

fy

Elementos Mecánicos que transmiten las columnas a la cimentación.

Dimensiones de las secciones transversales de columnas.

Distancias entre columnas.

Tomar de los resultados del análisis estructural realizado a la estructura resistente del edificio o construcción de que se trate, los elementos mecánicos para cada columna (fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante). Esto para cada una de las combinaciones de acciones que a criterio del Ingeniero Estructural actuarán sobre el sistema estructural en condiciones de servicio, conforme lo establecen los Reglamentos de Construcciones, estas son:

Características del suelo de desplante.

Capacidad de carga (qa).Profundidad de desplante (Df).Peso volumétrico del suelo (s).

II. CÁLCULO DE CONSTANTES

f*c= 0.8 f’c f” c = 0.85 f*c

pbalanceado=f ' '

c

f y

⋅4800f y+6000

pmáximo =⇒0 .75 pb

⇒ pb ¿ ¿

pmínimo=0.7√ f c

'

f y

q=pmáx

f y

f c´´

Caso 1: Una acción permanente más una acción variable con su valor máximo: Carga muerta + carga viva máxima

Caso 2: Una acción permanente más una acción variable con su valor instantáneo más una acción accidental: Carga muerta + carga viva instantánea + carga accidental (sismo)

Ku=FR f c´´ q(1−0. 5q )

Ru=FR f y(1−0 .5 q )

III. DIMENSIONAMIENTO PRELIMINAR DE LA ZAPATA.

1. Establecer las limitaciones que señala el reglamento de construcciones que se aplicará.

2. Proponer o suponer un peralte total (h) de la zapata.

3. Calcular la reacción (o capacidad de carga) neta del suelo.

qan= qa – {s (Df - h) + c h}4. Se determinan los elementos mecánicos últimos o de diseño para cada caso de

carga con que se analizará la zapata, con la finalidad de conocer el caso que regirá el diseño.

Fuerza axial última o de diseño: Pu = FC * PMomento flector último o de diseño: Mu = FC * M

5. Cálculo de la Fuerza Resultante (PR) y su posición (x) a lo largo de la longitud L de la zapata.

Aplicando las condiciones de la Estática, PR y su posición se obtienen con las expresiones siguientes.

PR=Pu1+Pu2+. . .+Pun=∑ P u i

x̄=∑ Pui∗x i

M R

6. Cálculo de la longitud modificada, L, de la zapata.

Esto se hace siempre y cuando el centro de gravedad de las cargas (fuerzas axiales y momentos en las columnas) no se localice en el centroide de la zapata. Cuando se presenta este caso, se modifica la longitud L de la zapata de tal forma que cumpla la condición de que el punto de aplicación de la Fuerza Resultante de la cargas se ubique en el centroide de la zapata. Esto con la finalidad de que la distribución de esfuerzos sea constante a lo largo de la zapata.

7. Se calcula el ancho “B” de la zapata.

Az=BL=PR

q an

∴B=PR

L q an

8. Cálculo de la presión actuante sobre el terreno de sustentación.

qu=PRAz

debiendose cumplir que : qu≤ q an

IV. REVISIÓN DEL PERALTE PROPUESTO DE LA ZAPATA.

1. REVISIÓN POR FLEXIÓN EN LA DIRECCIÓN LONGITUDINAL

2. REVISIÓN POR FLEXIÓN EN LA DIRECCIÓN TRANSVERSAL (la zapata se analiza como viga ancha).

3. REVISIÓN POR CORTANTE

3.1 POR PUNZONAMIENTO (o penetración).

Esta revisión se efectúa para cada columna que se encuentra dentro de la zapata, cuidando la posición que guarda en la cimentación, debido a que la sección critica de una columna de lindero es distinta a la de una central. Esta característica distingue tres posibles posiciones de columnas dentro de la zapata y consecuentemente distintas dimensiones de las secciones críticas, como se observa a continuación.

3.2 POR TENSIÓN DIAGONAL (la zapata se analiza como viga ancha).

V. ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE LA CONTRATRABE.VI. CANTIDAD Y DISTRIBUCIÓN DEL ACERO DE REFUERZO DE LA

LOSA DE LA ZAPATA1. ACERO DE REFUERZO POR FLEXIÓN.2. ACERO DE REFUERZO POR CAMBIOS VOLUMÉTRICOS

VII. CANTIDAD Y DISTRIBUCIÓN DEL ACERO DE REFUERZO LONGITUDINAL Y TRANSVERSAL DE LA CONTRATRABE

VIII.

ZAPATAS CORRIDAS CON CONTRATRABES

EJEMPLO Nº 1

Diseñe una zapata combinada de concreto reforzado, misma que no tiene limitaciones de lindero; sometida a las cargas indicadas, valores resultantes del análisis estructural del sistema resistente de la edificación, bajo la combinación de una acción permanente (CM) más una acción variable (CVmáxima). Las propiedades mecánicas de los materiales que la constituyen son las siguientes.

I. Datos.

Las dimensiones de la columna son: c1= 40 cm, c2 = 40 cm.

Propiedades mecánicas de los materiales de la zapata.

f’c = 200 kg/cm2

fy = 4200 kg/cm2

Capacidad de carga del suelo de sustentación.

h

h

D

P4P3P2P1

4321 4 5 4

B

L=13.4

qa = 10 ton/m2

Peso específico del suelo que gravita sobre la cimentación.

s=1400 kg/m3

Profundidad de desplante de la cimentación.

Df =1.2 m.

Cargas axiales a la que estará sometida en condiciones de servicio, derivada de la combinación de una acción permanente más una acción variable con su valor máximo (CM + CVmáxima).

P1 = 20.00 tonP2 = 40.00 tonP3 = 30.00 tonP4 = 18.00 ton

II. Cálculo de constantes.

f*c= 0.8 f’c = 160 kg/cm2

f” c = 0.85 f*c = 136 kg/cm2

pbalanceado=f ' '

c

f y

⋅4800f y+6000

=1364200

⋅48004200+6000

=0 .0152

pmáximo=pb=0 . 0152

pmínimo=0.7√ f c

'

f y

=0 .0023

q=pmáx

f y

f c´´=0 . 4694

Ku=FR f c´´ q(1−0. 5q )=43.97

Ru=FR f y(1−0 .5 q )=2892. 834

III. Elementos mecánicos últimos o de diseño.

Pu= FC P = 1.4 * Pi Pu1 = 28.00 ton

Pu2 = 56.00 ton

Pu3 = 42.00 tonPu4 = 25.20 ton

IV. Predimensionamiento de la zapata.

Peralte total de la zapata. Se propone un peralte h= 50 cm.

Reacción neta del suelo (capacidad de carga neta del suelo).

qan=

Cálculo del largo y ancho de la zapata.

Dimensiones prácticas de la cimentación.

V. Revisión de la presión actuante sobre el terreno (Presiones de Contacto).Se debe cumplir que: qan qu

VI. Revisión del Peralte Propuesto por Flexión.

Ss

hj

VII.

ii

VIII. Predimensionamiento de la zapata.

q a= P u 1

A z∴ A z=P u 1

q a=126 ton

21 ton/m2=6 .00m2

Proponemos L= 3.5 m.

A z=L⋅B∴B= A z

L=6 . 00 m2

3 .5 m=1.71 m

Elegimos una sección practica de: L= 3.50 m. y B= 1.70 m.

Revisión de la presión de contacto para verificar que no se presenten tensiones en el suelo de sustentación.

q= N

A±6 M

BL2

q máx=901. 7×3,5

÷ 6×20

1 . 7×3 . 52=20 . 88 ton /m2<q a⇔

no hay tensiones

q min=90

1. 7×3,5− 6×20

1 .7×3 .52=9 . 37 ton /m2<q a⇔

no hay tensiones

Con base a estos resultados, las dimensiones propuestas quedan como las definitivas.

IX. Calculo de la longitud reducida de la zapata (L’).

Debido a la presencia de momento flexionante, será necesario modificar la longitud L de la zapata.

L´=L−2 e=3 .5 m−2(0 .22 m)=3 .06 m

e= Mu 2

Pu 2=22 ton−m

99ton=0. 22 m

X. Cálculo de la presión de diseño.

Presión de diseño debido al caso 1 de carga:

q u 1= Pu 1

BL ´=126

1.7×3.06=21.18 ton /m2

Presión de diseño debido al caso 2 de carga:

q u 2= Pu 2

BL´=99

1.7×3 .06=19.03 ton/m2

XI. Calculo del peralte de la zapata.

El peralte efectivo de la zapata, d, lo calcularemos con los elementos mecánicos resultantes de las dos combinaciones de carga, caso 1 y caso 2. Tomaremos como el peralte efectivo definitivo el que presente el valor mayor.

A. Calculo del peralte efectivo con los elementos mecánicos derivados de la combinación de carga del caso 1.

P u 1 =126 ton M u 1 =0 .00 ton−m q u=21 .18 ton /m2

Obtención del peralte efectivo analizando la zapata como losa.

d2 ( q u

v c+4 )+d [P c ( q u

2 v c+1)]=q u

v cAn z

An z=A z−A columna=B⋅L−c 1⋅c 2=(1.7×3.5 )−(0 .4×0 .6 )=5 . 95m2−0.24m2=5 .71m2

v c=0 . 8√ f∗c=0 . 8√160=10 .12 kg/cm2=101. 2 ton /m2

P c=2 (c 1+c 2)=2 (0. 40+0 .60 )=2 m

Sustituyendo valores en la ecuación cuadrática y resolviéndola obtenemos:

4 .21 d2+2 .21 d−1 .96=0 d = 0.47m = 47 cm

Obtención del peralte efectivo analizando la zapata como viga ancha.

d= q u ( L−c2 )

2 (v c+q u)

v c=0 . 4√ f ∗c=0 . 4√160=5 . 06 kg/cm2=50. 6 ton /m2

d=

21. 18 (3. 5−0 .60 )2 (50 .6+21. 18 )

=0 .43 m=43 cm

En este primer calculo rige el peralte efectivo d = 47 cm., siempre y cuando el porcentaje de acero de refuerzo de la zapata sea, p ≥ 0.01, en caso contrario se recalculara un nuevo peralte efectivo. Este procedimiento se realiza a continuación.

Diseño de la zapata por flexión.

Calculo del área de acero requerida por flexión.

F=A s⋅d−A s2⋅G

M u=q u 1 ¿ l2

2=21 .18×1 . 452

2=22. 26 ton−m

F= Mu

F R⋅f y=2226000 kg−cm

0 . 9×4200=588 .89 cm 3

G=0 . 5 f y

f ' 'c⋅b

=0 .5×4200136×100

=0 .154 cm−1

Sustituyendo valores en la ecuación cuadrática y resolviéndola obtenemos el acero de refuerzo requerido por flexión:

0 .154 A s2−47 A s+¿588. 89=0 ¿ As = 13.09 cm2/m Revisión del peralte efectivo en función del porcentaje de acero requerido

por flexión.

p= Asb⋅d

=13 .09 cm2

100 cm×47 cm=0 .002785

Observamos que p < 0.01, por lo que calcularemos un nuevo peralte efectivo con el p= 0.0028

d= q u ( L−c2 )

2 (v c+q u)

v c=F R (0 .2+30 p )√ f ∗c¿=0 .8 [ 0.2+30 (0 .0028 ) ]√160=2 .87 kg /cm

2=28 .7 ton/m2 ¿

d=21. 18 (3. 5−0 .60 )

2 (28 .7+21. 18 )=0 .62m=62 cm

El peralte efectivo modificado es de 62 cm., para el caso 2 de carga.

B. Calculo del peralte con los elementos mecánicos derivados de la combinación de carga del caso 2.

P u 1 =99 ton M u 1 =22 ton−m q u=19 .03 ton /m2

Obtención del peralte efectivo analizando la zapata como losa.

d2 ( q u

v c+4 )+d [P c ( q u

2 v c+1)]=q u

v cAn z

An z=A z−A columna=B⋅L−c 1⋅c 2=(1.7×3.5 )−(0 .4×0 .6 )=5 . 95m2−0.24m2=5 .71m2

v c=0 . 8√ f∗c=0 . 8√160=10 .12 kg/cm2=101. 2 ton /m2

P c=2 (c 1+c 2)=2 (0. 40+0 .60 )=2 m

Sustituyendo valores en la ecuación cuadrática y resolviéndola obtenemos:

4 .19 d2+2 . 19 d−1 .07=0 d = 0.31 m = 31 cm

Obtención del peralte efectivo analizando la zapata como viga ancha.

d= q u ( L−c2 )

2 (v c+q u)

v c=0 . 4√ f ∗c=0 . 4√160=5 . 06 kg/cm2=50. 6 ton /m2

d=

19. 03 (3 .5−0 .60 )2 (50. 6+19 , 03 )

=0 .40 m=40 cm

Conclusión: Puede observarse en los cálculos realizados que domina el caso 1 de carga, por lo cual el peralte efectivo definitivo de la zapata es d=62 cm.

XII. Revisión de la zapata con respecto al esfuerzo cortante de diseño, debido a que esta sometida a esfuerzos combinados (fuerza axial y momento flector).

Esta revisión se efectuará considerando únicamente los elementos mecánicos del caso 2 de carga, omitiéndose el caso 1 de carga porque no presenta momentos flectores.

Cuando en la zapata actúa momento flexionante, los reglamentos proponen que se revise el esfuerzo cortante de diseño, suponiendo que una fracción del momento se transmite por excentricidad de la fuerza cortante total, con respecto al centroide de la sección critica.

El esfuerzo cortante resistente de la zapata vale.

v c=0 .8√ f∗c

El esfuerzo cortante máximo de diseño es el siguiente

v AB= VA c

+ αM u C AB

J c

Debiéndose cumplir que: vc ≥ vAB

Para nuestro caso tenemos los valores siguientes de los esfuerzos indicados.

v c=0 . 8√160=10.12 kg /cm2=101 .2 ton /m2

c 1+d=60+62=122 cm

c 2+d=40+62=102 cm

α=1− 1

1+0 . 67√ (c 1+d )c 2+d

=1− 1

1+0 .67 √122102

=0 .4229

c AB= c 1+d2

=122 cm2

=61 cm

J c=d (c1+d )

6

3

+(c1+d ) d

6

3

+d (c1+d )2 (c2+d )

2

J c=62×1223

6+122×623

6+62×1222×102

2=70. 673×106

Ac=2 d [(c1+d )+(c2+d )+2 d ]=124 (122+102+124 )=43152 cm2

V u=P u2−[(c1+d )⋅b⋅qu

2]=99−(1 .22×1. 00×19 . 03 )=75 .78 ton

Este resultado indica que se acepta el peralte efectivo de 62 cm.

XIII. Cálculo del acero de refuerzo de la zapata.

1. Refuerzo paralelo al lado largo de la zapata.

F=A s⋅d−A s2⋅GM u=q u 1 ¿ l2

2=21 .18×1 . 452

2=22. 26 ton−m

F= Mu

F R⋅f y=2226000 kg−cm

0 . 9×4200=588 .89 cm 3

G=0 . 5 f y

f ' 'c⋅b

=0 .5×4200136×100

=0 .154 cm−1

d=62 cm

Sustituyendo valores en la ecuación cuadrática y resolviéndola obtenemos el acero de refuerzo requerido por flexión:

0 .154 A s2−62 A s+¿588. 89=0 ¿ As = 9.73 cm2/m < Asmin

Asmin = p mín Ac = p mín bd= 0.0023 (100cm X 62cm) = 14.26 cm2/m

Asmin > As rige entonces el Asmín

M u2 =22 ton−m

v AB=7578043152

+0. 4229(22×105 )61

70 .673×106=2. 56

kgcm2

<vc

Astotal = Asmín x B = 14.26 cm2/m x 1.7m = 24.24 cm2

Seleccionamos varilla del Nº 6, esto es as = 2.85 cm2

N var illas= As total

a s=24 .24

2 . 85=8.51≃9 var illas

S= L

Nº var illas=170 cm

9=18 . 89 cm≃19 var illas

Ld = 50.78 cm.

2. Refuerzo perpendicular al lado largo de la zapata.

Astotal = Asmín x L = 14.26 cm2/m x 3.5m = 49.91 cm2

Para la franja central la cantidad de acero requerida es:

As c=2 As total

( LB

+1)=2×49. 91

( 3 .51 .7

+1)=32 .63 cm2

Para las franjas extremas la cantidad de acero requerida es:

As e= As total−As c

2=49 . 91−32 .63

2=8 .64 cm2

Separación del acero de refuerzo:

Seleccionamos varilla del Nº 6, esto es as = 2.85 cm2

Para la franja central es:

N var illas=N c= As c

a s=32 . 63

2.85=11. 45≃12 var illas

S c= B

N c=170 cm

12=14 .17 cm≃15 var illas

Para las franjas extremas es:

N var illas=N e= As e

a s=8 .64

2 .85=3 .03≃3 var illas

S e=

( L−B2 )

N c=90 cm

3=30 cm

XIV. Revisión por Aplastamiento.