Ejemplos de Transformada de Laplace

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECÁNICA Y ELÉCTRICA. UNIDAD CULHUACÁN. Transformada de Laplace por integral Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca Serie de ejemplos y problemas propuestos

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por integral

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL.

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECÁNICA Y

ELÉCTRICA.

UNIDAD CULHUACÁN.

Transformada de Laplace por integral

Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca

Serie de ejemplos y problemas propuestos

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Transformada de Laplace por integral

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Ejemplos de transformada de Laplace

ℒ������ = �� ��������

1. ���� = 1 ℒ�1� = �� �1����

� = − 1� �� �−���� = − 1�

�� ��� ���

= − 1� lim�→���� ��� = − 1� lim�→����� − ������ = − 1� lim�→����� − 1� = − 1� �−1�

ℒ�1� = 1� � > 0

2. ���� = � ℒ��� = �� ������

� = ��� ���

� = � � = �� �! = �� �� ! = − 1� �� = "� #− 1� �� $%�

� − −��

1� �� �� = − 1� lim�→����� ��� + 1� �� ���

� = − 1� lim�→��'��� − �0������� + 1� ℒ�1� = − 1� lim�→��'��� − 0� + #1�$ #1�$ = − 1� �0� + 1�(

ℒ��� = 1�( � > 0

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3. ���� = �( ℒ��(� = �� ��(����

� = �(�� ���

� = �( � = 2��� �! = �� �� ! = − 1� �� = "�( #− 1� �� $%�

� − −��

1� �� �2���� = − 1� lim�→���(�� ��� + 2� ��� ���

� = − 1� lim�→��'(��� − �0�(������ + 2� ℒ��� = − 1� lim�→��'(��� − 0� + #2�$ # 1�($ = − 1� �0� + 2�*

ℒ��(� = 2�* � > 0

4. ���� = �* ℒ��*� = �� ��*����

� = �*�� ���

� = �* � = 3�(�� �! = �� �� ! = − 1� �� = "�* #− 1� �� $%�

� − −��

1� �� �3�(��� = − 1� lim�→���*�� ��� + 3� �(�� ���

� = − 1� lim�→��'*��� − �0�*������ + 1� ℒ��(� = − 1� lim�→��'*��� − 0� + #3�$ # 2�*$ = − 1� �0� + 6�-

ℒ��� = 6�- � > 0 Entonces se puede definir que ℒ��.� = .!

�012 � > 0

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5. ���� = 3 ℒ�3 � = �� �3 ����

� = �� 43 �� =�

� ����3� �� = − 1� − 5�

� 6����3� 7��

= − 1� − 5 lim�→�6����3� 7�� = − 1� − 5 lim�→������3�� − ����3�����

= − 1� − 5 lim�→������3�� − 1� = − 1� − 5 �−1�

ℒ�3 � = 1� − 5 � > 5

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6. ���� = �85� ℒ��85�� = �� �85����

� = �� � = −��� �� �! = �85��� ! = − 15 9:�5� = "�� #− 15 9:�5�$%�

� − −��

15 9:�5��−��� ��� = − 15 lim�→���� 9:�5���� − �5 �� 9:�5����

� = = − 15 lim�→� ;���9:�5' − �����9:�5�:�< − �5 �� 9:�5����

= − 15 �−1� − �5 �� 9:�5��� = 15 − �5 �� 9:�5��

= �� � = −��� �� �! = 9:���� ! = 15 �85�

�� �85����� = 15 − �5 = lim�→� >�� �85�5 ?

�� + �5 �� �85����

� @

�� �85����� = 15 − �5 > lim�→� A����85'5 − ������85�0�5 B + �5 �� �85����

� ?

�� �85����� = 15 − �5 >�5 �� �85����

� ? = 15 − �(5( �� �85����

�� �85����� + �(

5( �� �85����� = 15

�( + 5(5( �� �85����

� = 15 �� �85����� = 15 �( + 5(5(

C

ℒ��85�� = 5�( + 5(

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7. ���� = �8ℎ5� ℒ��8ℎ5�� = �� ��8ℎ5�����

senhat = 3 − �3 2

ℒ��8ℎ5�� = �� A3 − �3 2 B ���

� = 12 �3 �� − �3 �� ��� dt

= 12 A �� 43 �� − �� �3 ���

��

� B = 12 A ����3� �� −�� ���43� �� −�

� B= 12 A− 1� − 5 6����3� 7�

�+ 1� + 5 6����3� 7��B

= 12 #− 1� − 5 lim�→�6����3� 7�� + 1� + 5 lim�→�6���43� 7�

�$

= 12 "− 1� − 5 lim�→������3�� − ����3����� + 1� + 5 lim�→�����43�� − ���43�����% = 12 "− 1� − 5 lim�→������3�� − 1� + 1� + 5 lim�→�����43�� − 1�% = 12 "− 1� − 5 �−1� + 1� + 5 �−1�%

= 12 # 1� − 5 − 1� + 5$ = 12 "� + 5 − �� − 5��( − 5( % = 12 # 25�( − 5($

ℒ��8ℎ5�� = 5�( − 5(

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8. ���� = �*�(

ℒ��*�( � = �� ��*�( �����

= �*��� �( ��� =�� �*���4(� ���

= � *, � = 3�(�� , �! = ���4(� ��, ! = − 1� + 2 ���4(� = "� * #− 1� + 2 ���4(� $%�

� − #− 1� + 2 ���4(� $ 3�(����

= − 1� + 2 lim�→�6� *����4(� �7�� + 3� + 2 �(���4(�� ���

� =

= − 1� + 2 lim�→�6� *����4(� �7�� + 3� + 2 �(���4(�� ���

� =

= − 1� + 2 lim�→� M' *����4(��� − ;0 *����4(���<N + 3� + 2 �(���4(�� ���� =

= 3� + 2 �(���4(�� ����

= � (, � = 2��� , �! = ���4(� ��, ! = − 1� + 2 ���4(�

= 3� + 2 O"� ( #− 1� + 2 ���4(� $%�� − #− 1� + 2 ���4(� $ 2����

� P = 3� + 2 O− 1� + 2 lim�→�6� *����4(� �7�

� + 2� + 2 ����4(�� ���� =P

= 3� + 2 O− 1� + 2 lim�→� M' (����4(��� − ;0 (����4(���<N + 2� + 2 ����4(�� ���� P =

= 3� + 2 > 2� + 2 ����4(�� ���� ? = 6�� + 2�( ����4(�� ���

= �, � = �� , �! = ���4(� ��, ! = − 1� + 2 ���4(�

= 6�� + 2�( O"� #− 1� + 2 ���4(� $%�� − #− 1� + 2 ���4(� $ ���

� P = 6�� + 2�( O− 1� + 2 lim�→�6�����4(� �7�

� + 1� + 2 ���4(�� ���� =P

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= 6�� + 2�( O− 1� + 2 lim�→� M'����4(��� − ;0����4(���<N + 1� + 2 ���4(�� ���� P =

= 6�� + 2�( > 1� + 2 ����4(�� ���� ? = 6�� + 2�* ���4(�� ���

= 6�� + 2�* > ���4(� ���� ? = 6�� + 2�* "− 1� + 2 6���4(� 7�

�% = 6�� + 2�* "− 1� + 2 lim�→�6���4(� 7�

�% = 6�� + 2�* "− 1� + 2 lim�→�����4(�� − ���4(�����% = 6�� + 2�* "− 1� + 2 lim�→�����4(�� − 1�% = 6�� + 2�* "− 1� + 2 �−1�%

ℒ��*�( � = 6�� + 2�-

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9. ���� = 3 �8Q�

ℒ�3 �8ℎ5�� = �� �3 �8Q������

= �� 43 �8Q�����

= �(��3) �8Q�����

= �(��3) � = −(� − 5)�� ���! = �8Q���! = −1Q 9:�Q�

= "−1Q �(��3) 9:�Q�%�

� − −1Q 9:�Q��−(� − 5)�(��3) ����

= −1Q lim�→�6�(��3) 9:�Q�7�

� − � − 5Q �(��3) 9:�Q����

= −1Q lim�→�6�(��3)�9:�Q' − �(��3)(�)9:�Q(0)7 − � − 5

Q �(��3) 9:�Q�����

= −1Q (−1) −

� − 5Q �(��3) 9:�Q����

�= 1Q −

� − 5Q �(��3) 9:�Q����

= �(��3) � = −(� − 5)�� ���! = 9:�Q���! = 1Q �8Q�

= 1Q −

� − 5Q O"1Q �(��3) �8Q�%R

� − −;� − 5Q < �(��3) �8Q��

�P

= 1Q −

� − 5Q O1Q lim�→�6�(��3) �8Q�7R

� + ;� − 5Q < �(��3) �8Q��

�P

= 1Q −

� − 5Q O1Q lim�→�6�(��3)��8Q' − �(��3)(�)�8Q(0)7 + ;� − 5

Q < �(��3) �8Q���

P

= 1Q −

� − 5Q O1Q (0) + ;� − 5

Q < �(��3) �8Q���

P

�(��3) �8Q�����

= 1Q −

(� − 5)(Q( �(��3) �8Q����

−(�−5)��8Q� + (� − 5)2Q2 −(�−5)��8Q���∞

0= 1Q

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>�� − 5�( + Q(Q( ? ����3� �8Q����

�= 1Q

−(�−5)��8Q���∞0

=1Q(� − 5)2 + Q2Q2

ℒ�3 �8ℎ5�� = Q(� − 5)( + Q(

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10. ���� = 3 �8ℎQ� ℒ�3 �8ℎQ�� = �� �3 �8ℎQ�����

senhbt = U − �U 2

ℒ�3 �8ℎQ�� = ����3� AU − �U 2 B ���

� = 12 ������3�4U� − �����3��U� ��� dt

= 12 A �����3��U� �� − �����3�4U� ���

��

� B= 12 A− 1�� − 5� − Q 6�����3��U� 7�

�+ 1�� − 5� + Q 6�����3�4U� 7��B

= 12 #− 1�� − 5� − Q lim�→�6�����3��U� 7�� + 1�� − 5� + Q lim�→�6�����3�4U� 7�

�$

= 12 "− 1�� − 5� − Q lim�→�������3��U�� − �����3��U�����+ 1�� − 5� + Q lim�→�������3�4U�� − �����3�4U�����%

= 12 "− 1� − 5 lim�→�������3��U�� − 1� + 1� + 5 lim�→�������3�4U�� − 1�%= 12 "− 1�� − 5� − Q �−1� + 1�� − 5� + Q �−1�%

= 12 # 1�� − 5� − Q − 1�� − 5� + Q$ = 12 >�� − 5� + Q − ��� − 5� − Q��� − 5�2 − Q( ? = 12 # 2Q�� − 5�2 − Q($

ℒ�3 �8ℎQ�� = Q�� − 5�2 − Q(

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Ejemplos propuestos para solución:

1. ���� = 3

2. ���� = 3�-

3. ���� = -

4. ���� = 9:�5�

5. ���� = 9:�ℎ5�

6. ���� = �(-

7. ���� = 3 9:�Q�

8. ���� = 3 9:�ℎQ�