3.3 Ejemplos resueltos de generadores de variables continuas .

 

EJEMPLO 1. Hallar el generador de variaciones aleatorias cuya función de densidad de probabilidad es:

Sea RND un número aleatorio uniforme en (0,1) dado, entonces:

al integrar se tiene:

es decir,

por lo que el generador, hallado por el método de la transformación inversa es:

 

Los valores generados de x correspondientes a los números aleatorios RND = 0.074, 0.262, 0.871; tendremos: x = -0.948, -0.780, 0.905; respectivamente.

 

EJEMPLO 2. Sea la siguiente f.d.p.

Sea RND dado, entonces:

Por lo que se tiene

despejando a x:

ahora integraremos sobre la segunda rama de la función:

Por tanto despejando x, obtenemos:

Podemos escribir el generador como:

los valores generados de X, correspondientes a los números aleatorios RND = 0.868, 0.617,

0.232; son: 1.824, 1.489 y 0.976.

 

EJEMPLO 3. Sea la función de densidad de probabilidad uniforme en (a, b), definida por:

y cuya gráfica es:

Sea RND dado:

Despejando x:

 

En particular supongamos que a = 10 y b = 20, el generador de variaciones aleatorias correspondiente es:

x = 10 + 10 RND; 0 <= RND <= 1

si los números aleatorios son RND = 0.716, 0.586, 0.313; entonces, x = 17.16, 15.86 y 13.13, respectivamente.

 

EJEMPLO 4. Sea la función de densidad de probabilidad exponencial negativa dada por:

La gráfica correspondiente es

integrando:

esta ecuación generalmente se reduce a:

ya que (1-RND) también será un valor aleatorio uniforme en (0,1).

Por ejemplo, si el parámetro ? = 15,

y si los números aleatorios son: RND = 0.953, 0.181, 0.409; los valores correspondientes de X son: 0.722, 25.638, 13.410.

 

EJEMPLO 6. La función de densidad de probabilidad triangular definida por:

y que tiene por gráfica:

Tiene por función acumulada a:

Supóngase el caso en que a = 200, b = 250 y c = 300; es decir:

 

o también

Sea RND un número aleatorio uniforme en (0,1), entonces:

Evaluando en los límites

 

integrando sobre la segunda rama de la función:

 

podemos resumir el generador dado por las ecuaciones (a) y (b) en:

Variables aleatorias discretas.

En este caso, la función acumulada de probabilidad se calcula mediante una sumatoria, en lugar de la integración de la función de distribución de probabilidad, como en el ejemplo de la simulación del lanzamiento del dado, visto en el capítulo 1.

 

EJEMPLO 5. Sea la función de distribución de probabilidad de Poisson, dada por

con ? = 1.5;

 

Primero evaluamos las funciones de distribución y de distribución acumulada:

x f(x) F(x)

0 0.223 0.223

1 0.335 0.558

2 0.251 0.804

3 0.125 0.934

4 0.047 0.981

5 0.014 0.995

6 0.005 1.000

 

A continuación generamos un número aleatorio uniforme RND, y si:

0.000 <= RND ? 0.223, entonces x = 00.224 <= RND <= 0.558, “ “ x = 10.559 <= RND <= 0.809, “ “ x = 20.810 <= RND <= 0.934, “ “ x = 30.935 <= RND <= 0.981, “ “ x = 40.982 <= RND <= 0.995, “ “ x = 50.996 <= RND <= 1.000, “ “ x = 6

lo que podemos abreviar en la siguiente tabla como:

INTERVALO RDN

VALOR GENERADO DE X

0.000 - 0.223 0

0.224 - 0.558 1

0.559 - 0.809 2

0.810 - 0.934 3

0.935 - 0.981 4

0.982 - 0.995 5

0.996 - 1.000 6 

La que recibe el nombre de función tabulada de transformada inversa. Si queremos generar o simular tres valores de la variable aleatoria X, dados los siguientes números aleatorios RND = 0.818, 0.510, 0.300; tendremos x = 3, 1, 1; respectivamente.