PRUEBAS DE HIPTESIS DE LAS VARIANCIAS DE DOS POBLACIONES NORMALESCuando se trata de comparar las variancias se utiliza la variable F=S1/S2, que como se sabe est relacionada con la distribucin F con (n1-1, n2-1) grados de libertad.Se recomienda colocar siempre en el numerador la variancia muestral asociada a la variancia poblacional mayor estos es,a. Si H1: 1 > 2 La estadstica de prueba se toma como F=S1/S2 . b. Si H1: 2 > 1 La estadstica de prueba se toma como F=S2/S1. c. Si H1: 1 2 La estadstica de prueba se toma de tal manera que la mayor de las variancias muestrales aparezca en el numerador. Las tablas de la distribucin F generalmente proporcionan los puntos de la cola superior de la distribucin F as que para encontrar: valor de la cola inferior, debe utilizarse ,

donde f es el valor tabulado de FEjemplo 1: Se compar la eficacia de dos tipos de aceites para evitar el desgaste en ciertas piezas sometidas a intenso trabajo. En trece piezas se utiliz el aceite 1 y en otras trece el aceite 2. Las variancias muestrales fueron S1 = 64, S2 = 16. Se desea verificar la hiptesis nula segn la cual las variancias de las dos poblaciones son iguales. ( = 0,05)H0: 1 = 2H1: 1 2 n1 = n2 = 13, = 0,05

Como el valor calculado de F =4 supera el valor tabulado de la cola superior de la distribucin, no puede concluirse, al nivel del 5% que las variancias sean iguales.Siguiendo el criterio de colocar en el numerador siempre la variancia mayor, es suficiente considerar el valor tabulado de la zona derecha de la distribucin F.

CONTRASTE DE HIPTESIS REFERENTE A DOS MEDIAS POBLACIONALES: MUESTRAS INDEPENDIENTES Los desvos de las poblaciones son conocidos Los supuestos que se deben cumplir son que las medias poblacionales 1 y 2 son normales, los desvos poblacionales y conocidos y las muestras, independientes, de tamao n1 y n2 respectivamente, estableciendo las siguientes hiptesis:H0 ) 1 - 2 = 0 1 = 2a ) H1 ) 1 2b) H1 ) 1 > 2c) H1 ) 1 < 2= 0,05En cualquiera de estos casos el test estadstico que se utiliza es

que se distribuye como una N ( 0,1).Si y son iguales, lo que equivale a decir que hay una sola variancia, la frmula anterior se puede reemplazar por la siguiente:

En el contraste a) valores grandes y pequeos de()y por lo tanto pequeos de Z son suficientes para confirmar H1. Por lo tanto para un ensayo bilateral con nivel de significacin , la hiptesis H0 se rechaza si :Z < Z > En el contraste b) slo valores grandes de () y de Z confirman la hiptesis H1. En un ensayo unilateral, rechazamos H0 cuando:Z > Z 1 - En el contraste c) valores pequeos de la diferencias de medias muestrales y por lo tanto valores pequeos de Z confirman H1 y rechazamos H0 cuando:Z < Z

Ejemplo 2: El porcentaje de calcio de dos muestras de soja se determin por dos mtodos de mineralizacin: (A) cenizas secas y (B) mineralizacin hmeda. Los datos obtenidos fueron:(A): 0,32 3,32 0,36 0,29 0,27 0,29 0,28(B): 0,35 0,35 0,34 0,36 0,31 0,28 0,28 Se sabe, por experiencias anteriores que 1 = 1 = 0,03. Se desea verificar si ambos mtodos producen los mismos resultados. ( = 0,05). H0 ) A = B A - B = 0H1 ) A B

Por ser un test bilateral, los valores crticos de la distribucin normal, para = 0,05 son 1,96 y 1,96. Como el valor de la estadstica calculada cae entre los valores crticos, no hay evidencias como para rechazar la hiptesis nula. Por lo tanto las medias de los dos mtodos de mineralizacin no difieren.

Los desvos de las poblaciones son desconocidos:a) Se suponen iguales (): Los supuestos que se deben cumplir son: datos extrados de dos muestras aleatorias independientes de tamao n1 y n2 respectivamente, cuyas poblaciones son normales con medias poblacionales 1 y 2. Las variancias poblacionales no se conocen y se supone que son iguales. Primero se debera docimar la igualdad de dichas varianzas, en particular si los tamaos de las muestras son distintos, a travs de la prueba de F de Snedecor. Si son estadsticamente iguales, aplicamos el siguiente test estadstico:

donde que se distribuye aproximadamente como una t de Student con n1 + n2 -2 grados de libertad. (tn1 + n2 - 2)[Vuelve a ndice]Ejemplo 3: Dieciocho plantas de una misma variedad de naranjos fueron tratadas con fertilizantes. A nueve de ellas se les aplico una cierta dosis de nitrgeno (N) y al resto una de nitrgeno y fsforo (NP). Se midi el rendimiento en Kg. por planta; los resultados obtenidos fueron:_ N: X = 28 kg S = 9_NP: X = 21 kg S = 7Interesa conocer si existen diferencias significativas entre los rendimientos de las plantas tratadas con los dos tipos de fertilizante. ( = 0,01). H0 ) N = NP N - NP = 0H1 ) N NPSuponiendo que las variancias poblacionales son iguales, de las cuales SN y SNP son estimaciones, se calcula la variancia amalgamada. Si el supuesto no fuera vlido debera verificarse primeramente la homogeneidad de variancia a travs del test F, en particular si las muestras de las poblaciones no son iguales.Donde

El valor tabulado de t, para 16 grados de libertad y nivel de significacin del 1% es igual a 2,921. Como el valor de la estadstica calculada supera al valor tabulado, se rechas H0 . Conclusin existen diferencias estadsticamente significativas entre los tratamientos, siendo superior el promedio por planta de naranjo, de aquellas que reciben el tratamiento NP.

b) se suponen distintos () Los supuestos son los mismos, pero el test estadstico es:

Estadstica que se distribuye aproximadamente como una t de Student con grados de libertad que se obtienen mediante la frmula de Satterwitte:

Grficamente podemos representar la zona de aceptacin y rechazo en la distribucin t

si t < -t t > t si t -t t tSe rechaza H0 Se rechaza H0 Se rechaza H0 CONTRASTE DE HIPTESIS REFERENTE A DOS MEDIAS POBLACIONALES: MUESTRAS APAREADAS Esta estrategia de la investigacin surge cuando cada observacin para un tratamiento est apareada con otra observacin para el otro tratamiento. Este par est compuesto por las mismas unidades experimentales observadas dos veces en distintos momentos de la investigacin, o por unidades semejantes.El procedimiento consiste en buscar pares de unidades experimentales con caractersticas similares y asignar aleatoriamente cada unidad del par a cada uno de los dos tratamientos en estudio. Por ejemplo parejas de gemelos pueden ser asignadas al azar para que reciban dos tratamientos, de tal manera que los miembros de una sola pareja, reciban tratamientos distintos. Pueden as mismo ensayarse dos raciones distintas en dos lotes de terneros formando pares de raza de la misma edad, sexo, etc. y ocurrir que al cabo de un tiempo , exista diferencia significativa o no, entre los promedios de ganancia de peso de ambos lotes, (se elimina la influencia diferencia de calidad entre los lotes).Tambin puede ocurrir que al estudiar en dos lotes de plantas homogneas de a pares, la aplicacin de herbicidas (uno en cada lote), para ciertas plagas (se obtenga diferencias de resistencia entre los lotes de plantas).La hiptesis planteada es: H0 ) H0) H0) H1 ) H1) > 0 H1) < 0 = 0,05Como se establece una hiptesis de un nico parmetro poblacional (se podra pensar en una sola muestra) , el nmero de grados de libertad es (n - 1) el test estadstico es:

donde

luego se compara el tc con tn -1 . Las reglas de decisin son:No se rechaza H0 cuando -t < t < t Rechazar H0 si t < -t t > t Ejemplo 4: La siguiente tabla muestra los niveles de colesterol en suero para 12 individuos , al principio del programa (ANTES) y al final del mismo (DESPUES).

INDIVIDUOANTES XIDESPUES YIdidi2

123456789101112201231221260228237226235210267284201 200236216233224216296195207247210209- 1+ 5- 5- 27- 4- 21- 30- 40- 33- 20- 74+ 81252562516441900160010894005176 64

TOTAL-24210.766

La pregunta que se plantea es: proporcionan los datos suficiente evidencia cmo para concluir que el programa es efectivo en la reduccin de los niveles de colesterol en suero?Aplicar un test de hiptesis para llegar a una decisin al respecto, utilizando un del 0,05.Las hiptesis planteadas son: H0) H1) < 0 = 0,05

t (11; 0,05) = - 1,7959 (valor de tabla)Se rechaza H0 ya que -3,02 es menor que -1,7959 Conclusin: Se rechaza la hiptesis nula, existen diferencias altamente significativas entre ANTES y DESPUES. El programa es efectivo.

PRUEBA DE HIPTESIS REFERENTE A DOS PROPORCIONES POBLACIONALESSean y las proporciones muestrales de dos grandes muestras de tamaos n1 y n2 extradas de poblaciones que tienen proporciones P1 y P2 respectivamente. Considrese la H0 de que no hay diferencias entre los parmetros poblacionales, es decir:H0 : P1 = P2, implica que (P1 P2) = 0H1: P1 P2 Una estimacin de la proporcin poblacional se puede obtener como:

La distribucin muestral de la diferencia de proporciones se distribuye aproximadamente normal con media y variancia dadas por: p1-p2 = 0 p1-p2 = pq(1/n1+1/n2) (los p de los subndice tienen sombrero)y Por lo tanto la estadstica de prueba esta dada por: N(0, 1)

Ejemplo 5: Sobre parcelas sembradas con dos variedades distintas de maz (A y B), se aplic un herbicida que result ser nocivo en el sentido que destruy gran parte de las plantas. De un total de 500 plantas de la primera variedad fueron destruidas 200 y de 570 plantas de la segunda variedad, murieron tambin 200. Se puede considerar que el herbicida es igualmente nocivo para las dos variedades?. ( = 0,05).H0 : PA = PB, implica que (PA PB) = 0 H1: PA PB

Por ser una prueba bilateral, los valores crticos de la distribucin normal son 1,96 y 1,96 ( =0,05), como el valor de Z = 1,l8 cae entre estos valores, no se rechaza la hiptesis nula.Conclusin: Se puede considerar que el herbicida es igualmente nocivo para las dos variedades.

TRABAJO PRCTICO

Muestras independientes

Ejercicio 1)Una Cooperativa Agrcola debe decidir cul de dos tipos de neumticos (A y B) va a comprar para sus camiones. Los neumticos se prueban bajo condiciones semejantes hasta que se desgastan. Se emplean 16 de cada marca. Si media(A) = 26 000 y media (B) = 23 500 y S(A) = S(B) = 340 km, existen diferencias significativas entre las medias al nivel de significacin del 5%?Ejercicio 2)Mediante dos procesos se fabrican alambres galvanizados lisos para alambrados rurales. Los tcnicos de la fbrica desean determinar si los dos procesos poseen diferentes efectos en la resistencia de la media de ruptura del alambre. Se someten varias muestras a los dos procesos dando los siguientes resultados: Proceso 1 = 9 4 10 7 9 10Proceso 2 = 14 9 13 12 13 8 10Suponiendo conocidas las varianzas V1 = 5,40 y V2 = 5,25 y considerando = 0,05, probar la hiptesis de que las medias de resistencia a la ruptura son iguales.Ejercicio 3)Se sabe que una mquina de empacar cereales disecados vierte el cereal seco en bolsas de 20 kg., con una desviacin estndar de 4 kg. Se llevan a cabo verificaciones constantes de los pesos netos de las bolsas para mantener el ajuste de la maquinaria que controla el peso. Dos muestras tomadas en dos das, presentan la siguiente informacin: Primer da Segundo dan1 = 30 n2 = 35Decime la H0 que no se verifica ningn cambio en el ajuste de la mquina entre los dos das.( = 0,05)

Ejercicio 4)En un ensayo de engorde de novillos se utilizaron dos raciones (A y B) en dos lotes de 10 animales cada uno. La variable respuesta fue ganancia de peso por animal por da. Por informacin previa se consider que las variancias poblacionales eran iguales, con un valor de 0,0064. La ganancia de peso diario y la suma de cuadrados.Lote A = Lote B = Se desea decimar al 5% la H0: Ejercicio 5)En un ensayo de engorde de cerdos se utilizaron dos tipos de alimentacin diferente, A y B en dos lotes de 8 cerdos. A los 30 das de iniciado el ensayo la ganancia en peso fue:Alimentacin AAlimentacin B

7,57,28,07,37,27,98,17,68,28,17,88,68,57,88,48,5

Determinar si se puede rechazar la H0: para un nivel de confianza del 95%.

Ejercicio 6)Se realiz un ensayo con novillos de raza Holstein, dndole a un grupo de animales vitamina A y al otro grupo no (control). La ganancia de peso (gr), se detalla a continuacinControlVitamina A

175132218151200219234149187123248206179206142311337262302195253199236216211176249214

Verifique la hiptesis que no existen diferencias en el peso promedio entre la vitamina A y el grupo control. Utilice un error de tipo I igual al 5%Ejercicio 7)De un cultivo de una variedad de guayule, se seleccionaron 27 plantas al azar. De estas 15 fueron atpicas y 12 aberrantes. Los porcentajes de caucho para estas plantas fueron: Atpicas: 6,21- 5,70- 6,04 - 4,47 - 5,22 - 4,45 - 4,84 - 5,88 - 5,82- 6,09- 5,59 - 6,06 - 5,59 - 6,74 - 5,55.Aberrantes: 4,28 - 7,71 - 6,48 - 7,71 - 7,37 - 7,20 - 7,06 - 6,40 - 8,93 - 5,91 - 5,51 - 6,36.Probar la hiptesis que la diferencia entre las medias de las poblaciones de los porcentajes de caucho, no son significativas ( = 0,05)Ejercicio 8)Los pesos en gramos de 10 machos y 10 hembras jvenes de faisanes de cuello anillado atrapados en enero en el Jardn Botnico de la Universidad de Wisconsin, fueron:MACHOS: 1293-1380-1614-1497-1340-1643-1466-1627-1383-1711HEMBRAS:1061-1065-1092-1017-1021-1138-1143-1094-1270-1028 Verifique la hiptesis de que la diferencia , con la alternativa de que la diferencia es mayor de 350 g.( = 0,01) Ejercicio 9)Los siguientes son porcentajes de grava fina en suelos superficialesBuen sueloSuelo pobre

5,93,86,518,318,216,17,67,60,41,13,26,54,14,7

Probar la hiptesis de que no hay diferencia significativa entre las medias poblacionales ( = 0,01)Muestras apareadas Ejercicio 10)Se buscaron 8 pares de pollos idnticos en cuanto a peso, raza y sexo. A un lote se le suministr por 15 das el alimento tradicional y al otro lote una racin especial. La ganancia de peso es la que se detalla:ParAlimento TradicionalAlimento Especial

123456781,751,431,721,581,621,721,751,801,801,521,801,591,711,781,751,81

Verificar si existen diferencias significativas entre ambas raciones con un = 0,05

Ejercicio 11)Para contrastar el efecto del uso de una nueva mquina sembradora, se realizaron 10 parcelas con una conocida y otras 10 con la nueva mquina. Las 20 parcelas se eligieron al azar, de a pares y en cada una del par, por sorteo se us cada una de las mquinas.ParcelaRendimiento / Parcela (kg)

Mquina especialMquina comn

123456789108,08,48,06,48,67,77,75,65,76,25,67,47,36,47,56,16,66,05,65,5

Verificar si existen diferencias entre los pares con un = 0,05Ejercicio 12)En un ensayo sobre hojas de tabaco se midi el nmero de lesiones provocadas artificialmente cuando se aplic cierta concentracin de un virus al primer preparado y otra concentracin del virus al segundo preparado.Lesiones sobre hoja

1er preparado2do preparado

91731187820101711181467175

Indicar si la diferencia entre el nmero de lesiones provocadas por las dos concentraciones del virus pueden o no ser debidas al azar. = 0,01Ejercicio 13)Se estudi el efecto de la exposicin de flores de alfalfa a diferentes condiciones ambientales. Se escogieron 10 plantas vigorosas con las flores expuestas libremente en la parte alta y flores escondidas, en lo posible en la base. Finalmente se determin el nmero de semillas producidas por cada dos vainas Los datos fueron:PLANTAFlores en la parte superiorFlores en la parte inferior

123456789104,05,25,74,24,83,94,13,04,66,84,43,74,72,84,24,33,53,73,11,9

Probar la hiptesis de que no hay diferencia significativa entre las medias poblacionales contra la alternativa de que las flores de la parte superior producen ms semilla.( = 0,05)Ejercicio 14)Supongamos que se lleva adelante una investigacin sobre la eficacia de una droga en la reduccin de un tumor. Para ello se tomaron 12 ratas a las cuales se les aplican clulas cancergenas que desarrollan el tumor en cuestin.Cuando el mismo llega a un cierto estadio se lo mide, luego se administra la droga a cada una de las ratas y al cabo de un cierto tiempo se lo vuelve a medir.Las mediciones antes y despus son:Dimetro del tumor

antesdespus

5,24,12,33,54,05,14,25,03,94,14,03,52,33,22,13,03,33,93,03,53,63,23,62,9

Probar la hiptesis que las diferencias del dimetro del tumor, antes y despus del tratamiento no son significativas. ( = 0,01).Diferencia de varianzasEjercicio 15)Se compara el nivel de colesterol en la sangre de pacientes seleccionados al azar y sometidos a dos dietas distintas, una baja en grasa y otra normal. Las varianzas y tamaos de muestras se dan a continuacin Baja grasa: n1=19Normal: n2=24Proporcionan estos datos suficiente evidencia que indique una diferencia en la variabilidad de las dos poblaciones de donde se obtuvieron las muestras = 0,05? Diferencia de proporcionesEjercicio 16)De una muestra de 450 votantes hombres, 105 se declararon simpatizantes del candidato A. De una muestra de 550 votantes mujeres 120 se declararon simpatizantes del mismo candidato. Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para considera que las proporciones de los simpatizantes hombres y mujeres son iguales? = 0,05Ejercicio 17)Se realiz una encuesta para determinar la diferencia que puede existir entre las proporciones de casados y solteros entre 20 y 30 aos que fuman. Se entrevistaron 200 personas de cada grupo y se encontraron 64 casados y 80 solteros que fuman. Contienen los datos suficiente evidencia que indica que existe una diferencia entre las dos proporciones de fumadores para las dos poblaciones? = 0,01