Ejercicios de Lógica II Darío Scattolini 200610052

19.1.1. cLarger(a,x).2. cLarger(cLarger(a,x),x).3. cLarger(cLarger(cLarger(a,x),x),x).4. cLarger(cLarger(cLarger(cLarger(a,x),x),x),x).

19.21. x Larger(a,x) Larger(a,cLarger(a,x)).2. x Larger(cLarger(a,x),x) Larger(cLarger(a,x), cLarger(cLarger(a,x),x)).3. x Larger(cLarger(cLarger(a,x),x),x) Larger(cLarger(cLarger(a,x),x), cLarger(cLarger(cLarger(a,x),x),x)).4. x Larger(cLarger(cLarger(cLarger(a,x),x),x),x)

Larger(cLarger(cLarger(cLarger(a,x),x),x), cLarger(cLarger(cLarger(cLarger(a,x),x),x),x)).

19.3Para demostrar que x(Cube(x)Small(x)) y yDodec(y) son consecuencias de primer orden

del conjunto de oraciones T hay que mostrar que si las oraciones del conjunto T son verdaderas, entonces estas dos oraciones también lo son. Asumamos, entonces, que las oraciones de T son verdaderas.

Sea M una estructura cualquiera tal que M╞T. Tenemos entonces que M╞Cube(a) y M╞Small(a), por lo cual a es un objeto del dominio de M que pertenece a la extensión del predicado Cube y a la del predicado Small. M╞x(Cube(x)Small(x))[g] si para algún objeto b del dominio de M, g[b/x] satisface Cube(x)Small(x). Dado que hay tal objeto (es decir, a, como hemos demostrado), entonces M╞x(Cube(x)Small(x))[g], por lo cual M╞x(Cube(x)Small(x)).

Tenemos entonces que M╞x(Cube(x)Small(x)) y M╞x(Cube(x)Small(x))yDodec(y). Pero si M╞x(Cube(x)Small(x))yDodec(y), entonces la asignación de variables vacía (gØ) satisface x(Cube(x)Small(x))yDodec(y). Pero entonces, por la definición de satisfacción, gØ o bien no satisface x(Cube(x)Small(x)) o bien satisface yDodec(y) (o ambas posibilidades a la vez). Pero como M╞x(Cube(x)Small(x), tenemos que gØ satisface x(Cube(x)Small(x)), de lo cual se sigue que satisface yDodec(y). Finalmente, M╞yDodec(y).

19.4Asígnese las letras proposicionales P, Q, R y S a las oraciones atómicas que aparecen en T de modo tal que P corresponda a Cube(a), Q a Small(a), R a xCube(x)Small(x) y S a yDodec(y). De este modo, T={P, Q, RS}. Asígnese además la letra proposicional T a la oración Dodec(cDodec(y)). Debemos mostrar que ni R, ni S, ni T son consecuencias tautológicas de T, es decir, que las oraciones de T pueden ser todas verdaderas a la vez que R, S y T son falsas. Demostraremos esto mediante una tabla de verdad (que ha sido recortada de modo que tengamos sólo las asignaciones de verdad relevantes):

En la tabla podemos ver, por ejemplo, que en la última fila del recorte citado las oraciones de T son todas verdaderas pero tanto R como S y como T son falsas. De este modo, estas tres oraciones no son consecuencias tautológicas de T.

19.5La teoría de Henkin para T contiene la siguiente oración de la forma H2:Cube(a)Small(a) x(Cube(x)Small(x))y la siguiente de la forma H1:yDodec(y)Dodec(cDodec(y))

Asignemos letras proposicionales a las oraciones de T y H como en el ejercicio anterior, de modo tal que:

Cube(a) PSmall(a) Qx(Cube(x)Small(x)) RyDodec(y) SDodec(cDodec(y)) T

Con el añadido de esas dos oraciones de la teoría de Henkin podemos mostrar que R, S y T son consecuencias tautológicas de P, Q, RS, (PQ)R y ST (es decir, de TH). Lo mostramos utilizando una tabla de verdad completa, en la que sólo una asignación de verdad (representada en la primera hilera) puede asignar VERDADERO a todas las oraciones de TH, y de la cual resulta que tanto R como S como T también son verdaderos.

19.7La teoría de Henkin contiene todas las oraciones con la forma de los axiomas testigo de Henkin. En consecuencia, contiene todos los axiomas testigos de Henkin con la siguiente forma: x(c=x)c=d, en donde c representa a cualquier constante del lenguaje LH y d a la constante testigo

correspondiente a la fbf c=x, la cual es distinta de c. Dado que c es cualquier constante de LH, entonces se verifica que para cada constante de LH podemos obtener una constante testigo diferente.

19.8Tomemos los dos siguientes axiomas (con la forma H5) de la teoría de Henkin:(R(c,d)c=c’)R(c’,d)(R(c’,d)d=d’)R(c’,d’)Mostraremos que la oración (R(c,d)c=c’d=d’)R(c’,d’) es una consecuencia tautológica de estos dos axiomas, y por tanto de H. Asignaremos letras proposicionales a las oraciones atómicas del siguiente modo:

R(c,d) Pc=c’ QR(c’,d) Rd=d’ SR(c’,d’) T

De este modo, tenemos que probar que si (PQ)R y (RS)T son verdaderas, entonces también lo es (PQS)T. Para ello usamos la siguiente tabla de verdad:

Podemos notar que sólo hay dos asignaciones de verdad que pueden hacer falsa a (PQS)T (representadas en la segunda y la sexta fila), ninguna de las cuales asigna verdadero a los dos axiomas de Henkin a la vez, por lo que (PQS)T es una consecuencia tautológica de esos axiomas.

19.9Supongamos que S es una consecuencia de primer orden de TH. Sea M una estructura en la que todas las oraciones de T son verdaderas. Por la proposición 3, M hace verdaderas a todas las oraciones de H. Por lo tanto, M hace verdadero a TH. Dado que S es una consecuencia de primer orden de TH, S es verdadero en M. Entonces si M hace verdadero a T, también hace verdadero a S, por lo que S es una consecuencia de primer orden de T.

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19.14 (Demostración realizada en la exposición de la prueba de completitud)

19.15 (Demostración realizada en la exposición de la prueba de completitud)

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19.19Las oraciones son las siguientes:x (Cube(x) Small(x))x Cube(x)x Cube(x) Cube(c)x (Dodec(x) Small(x)) (Dodec(d) Small(d))Small(c) x Small(x)¬(Cube(c) Small(c)) x ¬(Cube(x) Small(x))¬x (Cube(x) Small(x)) x ¬(Cube(x) Small(x))Dodec(d) ¬Small(d)

Los objetos del dominio de la estructura Mh serán las clases de equivalencias [c] y [d] con respecto a la relación ≡. Se interpreta a la constante c como designando la clase de equivalencia [c], y a la constante d como designando la clase de equivalencia [d]. Las extensiones de los predicados Cube, Small y Dodec son las clases de equivalencia cuyas constantes correspondientes, al ser argumentos de esos predicados, hacen que h asigne VERDADERO a las oraciones resultantes.Un mundo representado por esta estructura podría ser el siguiente:

19.20Utilizaremos una tabla de verdad para mostrar que si determinados axiomas de la teoría de Henkin son verdaderos, entonces las oraciones c=c, c=dd=c, y (c=dd=e)c=e son verdaderas, y por tanto consecuencias tautológica de H. Asignaremos letras proposicionales a las oraciones atómicas del siguiente modo:

c=c Pc=d Qd=c Rd=e Sc=e Te=c Ue=e V

Los axiomas de H que utilizaremos son: (H4) c=c P(H4) e=e V(H5) (c=cc=d)d=c (PQ)R(H5) (d=cd=e)e=c (RS)U(H5) (e=ee=c)c=e (VU)T

Sabemos que c=c [P] es verdadera si H es verdadera, ya que es uno de los axiomas de Henkin. Probemos entonces que también c=dd=c [QR] y (c=dd=e)c=e [(QS)T] son verdaderas. Para simplificar la tabla, dado que P y V son axiomas de H cuya verdad debemos asumir para nuestra prueba, eliminaremos de la tabla las hileras que asignan FALSO a estas oraciones atómicas:

Nótese que en todos los casos en los QR y (QS)T son falsos (los que están encerrados en un rectángulo) también al menos uno de los axiomas de Henkin es falso. Por lo tanto, cuando los

axiomas de Henkin son verdaderos, QR y (QS)T también son verdaderos, por lo que son consecuencias tautológicas de H.

19.211. 02. 03. 14. 45. 56. 07. 4

19.22 (Demostración realizada en la exposición de la prueba de completitud)

19.23 (Demostración realizada en la exposición de la prueba de completitud)