7/23/2019 Ejer Cici Os Numeric o 05

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Ejercicios de Análisis Numérico. Solución numérica de

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.Curso 2014-2015. Cálculo Numérico y Estadística. Grado en Química. Universidad de Alcalá.

Contents

1. Para cada uno de los siguientes problemas

(a)

  x = 2tx(0) = 0

  (b)

  x = x2

x(0) = 0  (c)

  x = 10xx(0) = 1

resuélvelos por el Método de Euler en  x  = 1 y calcula el error global con  h  = 0.1.

2.  Reduce los siguientes problema de valores iniciales de ecuaciones de segundo orden a ecuaciones deprimer orden:

a. 

tx + x = 4t

x(1) = 2, x(1) = 3

b.   x = xx

x(0) = 1, x(0) = 1

c.   x = (x)2

x(1) = 0, x(1) = 1

3. Resuelve por el Método de Euler las ecuaciones anteriores tomando h  = 0.2.

4.   Resuelve por el Método de Runge-Kutta de segundo orden las ecuaciones anteriores para el mismo valorde h.

5. Dado el siguiente problema de valor inicial  x = −x + t + 1x(0) = 1

a. Encuentra la solución exacta.

b. Aproxima  x(5) usando el método de Euler con h  = 0.2, h = 0.1 y  h  = 0.05

6.  Aplica el Método de Runge-Kutta de cuarto orden con el valor de  h   correspondiente para aproximar lassoluciones de los siguientes problemas de valor inicial:

(a)

  x = −5x + 5t2 + 2t,   0 ≤ t ≤ 1x(0) = 1/3, h = 0.2

  (b)

  x = 1 +  x

t  +

xt

2

,   1 ≤ t ≤ 3

x(1) = 0, h = 0.2

7.  Supongamos una reacción química en la que una molécula de una sustancia  A  se combina con unamolécula de una sustancia  B  para formar una molécula de una sustancia  C . Sea  x(t)  el nímero demoléculas de la sustancia C  formadas en el tiempo t y  α  y  β  las cantidades de moléculas de las sustanciasA  y  B  al comenzar la reacción  (t = 0). Suponiendo que la velocidad a la que se produce la reacción esproporcional al producto de las cantidades sobrantes de  A  y  B , escribe un problema de valores inicialesque describa el proceso.

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8.  En agua muy fría el grosor de la capa de hielo en un estanque crece a una velocidad inversamenteproporcional a este grosor. Si inicialmente la capa de hielo es de  5  cm y cuatro horas más tarde es  7.5cm ¿Qué grosor tendrá a las  10  horas? (Plantea un problema de valores iniciales y resuélvelo por elMétodo de Runge-Kutta)

9.   Usa el Método de Euler y también el Método de Runge-Kutta de cuarto orden para aproximar lasolución de cada uno de los siguientes problemas de valor inicial:

a.   y =y

t

2+y

t

,   1 ≤ t ≤ 1.2, y(1) = 1  con  h  = 0.1.

b.   y = sin(t) + e−t,   0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 0  con  h  = 0.5.

c.   y = 1

t(y2 + y),   1 ≤ t ≤ 3, y(1) = −2  con  h  = 0.5.

d.   y = −ty + 4t

y ,   0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1  con  h  = 0.25.

10.  En un circuito con voltaje impreso  E , y con una resistencia  R, una inductancia  L, una capacitancia C en paralelo, la corriente  i  satisface una ecuación diferencial

didt  = C d

2E 

dt2   +   1R dE 

dt   +   1L .

Suponga que C  = 0.3 faradios,  R  = 1.4 ohmios,  L  = 1.7  henries, y que el voltaje está dado por

E (t) =  e−0.06πt sin(2t− π).

Si i(0) = 0, encuentre la corriente  i  para los valores t  = 0.1 j, j  = 0, 1,..., 100 usando el Método de Euler.

11.  Dos moléculas de dicromato de potasio sólido (K 2Cr2O7), dos moléculas de agua (H 2O) y tres moléculasde azufre sólido (S ) se combinan mediante una reacción química irreversible para dar tres moléculasde dióxido de azufre gaseoso (SO2), cuatro moléculas de hidróxido de potasio sólido (KOH ) y dosmoléculas de óxido crómico sólido (Cr2O3). La reacción se puede representar simbólicamente mediantela ecuación estequiométrica:

2K 2Cr2O7 + 2H 2O + 3S  −→ 4KOH  + 2Cr2O3 + 3SO2.

Si se tienen n1 moléculas de K 2Cr2O7, n2 moléculas de H 2O y n3 moléculas de S , presentes originalmente,la ecuación diferencial siguiente describe la cantidad  x(t) de  K OH  en el tiempo  t:

dx

dt  = k

n1 −

 x

2

2 n2 −

 x

2

2 n3 −

 3x

4

3

donde  k  es la constante de la velocidad de reacción. Si  k  = 6.22× 10−19, n1  =  n2  = 1000, y  n3  = 1500,¿Cuántas unidades de hidróxido de potasio se formarán después de dos segundos?. Use el Método deRunge-Kutta de cuarto orden con  h  = 0.1.

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