Ejercicio 3La compaa de petrleo Sunco Oil desea enviar la mxima cantidad posible de petrleo por hora a travs de tubera especial, desde el nodo origen O hasta el nodo terminal t. La siguiente figura muestra en cada arco el nmero mximo de millones de barriles por hora que pueden ser enviados a travs de la tubera. Esta cantidad vara de un arco a otro, ya que las tuberas (representadas por los arcos) tienen diferente grosor. Determine la mxima cantidad de petrleo por hora que Sunco oil puede enviar, aplicando el algoritmo del problema del flujo mximo paso a paso.

[0, 2][0, 7][0, 7][0, 3][0, 3][0, 1][0, 2][0, 6]4t321O

1. Asigne flujo O- 1- 3- t222Flujo= 2[+2, 2][+3, 1][+6, O][, -][0, 2][0, 7][0, 7][0, 3][0, 3][0, 1][0, 2][0, 6]4t321O

2. Asigne flujo O-2-4-tFlujo= 4[+2, 4][, -][2, 2][0, 7][0, 7][0, 3][2, 3][0, 1][0, 2][2, 6]4t321O

2

2

2

[+2, O][+2, 2]

3. Asigne flujo O-1-2-4-tFlujo= 5[+1, 4][, -][2, 2][2, 7][2, 7][0, 3][2, 3][0, 1][2, 2][2, 6]4t321O

[+4, O]

3

1

3

3

[+1, 2]

[+1, 1]

4. Asigne flujo O-1-3-2-4-tFlujo= 6[+1, 4][, -][2, 2][3, 7][3, 7][0, 3][2, 3][1, 1][2, 2]4t321O

3[+1, 1][+3, O]

[3, 6]4

1

4

4

[+1, 3][+1, 2]

SOLUCIN PTIMA Flujo mximo= 6 millones de litro por hora

5. Investigue en que consiste el problema del flujo de costo mnimo. Escriba brevemente el modelo general de programacin lineal que describe este problema. El problema del flujo de costo mnimo tiene una posicin medular entre los modelos de optimizacin de redes; primero, abarca una clase amplia de aplicaciones y segundo, su solucin es muy eficiente. Toma en cuenta un flujo en una red con capacidades limitadas en sus arcos. Considera un costo (o distancia) para el flujo a travs de un arco. Puede manejar varios orgenes (nodo fuente) y varios destinos (nodos demanda) para el flujo, de nuevo con costos asociados.La razn por la que el problema de flujo de costo mnimo se puede resolver de modo tan eficiente es que se puede formular como un problema de programacin lnea y es posible resolverlo con una versin simplificada del mtodo smplex llamada mtodo smplex de redes.A continuacin se describe el problema del flujo de costo mnimo.1. La red es una red dirigida y conexa.2. Al menos uno de los nodos es un nodo fuente. 3. Al menos uno de los nodos es un nodo de demanda. 4. El resto de los nodos son nodos de trasbordo. 5. Se permite el flujo a travs de un arco slo en la direccin indicada por la flecha, donde la cantidad mxima de flujo est dada por la capacidad del arco 6. La red tiene suficientes arcos con suficiente capacidad para permitir que todos los flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos de demanda. 7. El costo del flujo a travs del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde se conoce el costo por unidad. 8. El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a travs de la red para satisfacer la demanda dada. (Un objetivo alternativo es maximizar la ganancia total del envo.)

Para la formulacin del modelo considere una red conexa dirigida en la que los n nodos incluyen al menos un nodo origen y al menos un nodo destino. Las variables de decisin son: xij= flujo a travs del arco ij, y la informacin dada incluye cij=costo por unidad de lujo a travs del arco ij, uij= capacidad del arco ij, bj= flujo neto generado en el nodo i.El valor de bi depende de la naturaleza del nodo i, en donde bi>0, si i es un nodo fuente, bi>0, si i es un nodo de demanda, bi=0, si i es un nodo de trasbordo.

El objetivo es minimizar el costo total de mandar los recursos disponibles a travs de la red para satisfacer la demanda dada. Usando la convencin de que las sumas se toman slo sobre arcos existentes, la formulacin de programacin lineal de este problema es:

Minimizar

Sujeta a para cada nodo i,

y para cada arco ij.

La primera suma en las restricciones de los nodos representa el flujo total que sale del nodo i mientras que la segunda representa el flujo total que entra al nodo i; as, la diferencia es el flujo neto generado en este nodo. No se garantiza que el problema posea soluciones factibles; esto depende en parte de qu arcos estn presentes en la red y de sus capacidades. Propiedades de soluciones factibles: una condicin necesario para que un problema de flujo de costo mnimo tenga soluciones factibles es que

Es decir, el flujo total generado en los nodos origen es igual al flujo total absorbido por los nodos de destino. Si los valores de bi que se dan en alguna aplicacin violan esta condicin, la interpretacin ms comn es que los recursos o las demandas (lo que tenga el exceso) representan en realidad cotas superiores y no cantidades exactas. Cuando esta situacin se presente, se aumenta un destino ficticio para recibir los recursos que sobraban o bien se aumenta un origen ficticio para mandar el exceso de demanda. El paso anlogo en este caso es que debe agregarse un nodo de demanda ficticio para absorber el exceso de recursos (se agregan arcos con cij=0 desde todos los nodos origen hasta este nodo), o bien debe agregarse un nodo origen ficticio para generar u flujo equivalente al exceso de demanda (se agregan arcos con cij=0 de este nodo a todos los nodos de demanda).