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z(x, y ) D = {x ∈ [0, 2],y ∈ [0, 1]} z(x, y )= 2x 2 +1 0 ≤ x ≤ 1 2 − x 1 <x ≤ 2 z(x, y ) D y = x 2 + Cx C (x 0 ,y 0 ) y = x 2 + Cx y (x) S (x) S (x) x(t),y (t) x ′ =2x − 3y
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ANLISIS MATEMTICO DE FUNCIONES REALES DE
UNA Y VARIAS VARIABLES REALES
EJERCICIO DE AUTOEVALUACIN
TEMAS 6 A 11 - EJERCICIO 9
1. Dada la funin z(x, y) denida en el reintoD = {x [0, 2], y [0, 1]}del modo siguiente:
z(x, y) =
{2x2 + 1 0 x 1
2 x 1 < x 2
Se pide:
a) Representarla gramente y estudiar su ontinuidad.
b) Calular el volumen del slido limitado superiormente por la gr-
a de z(x, y) e inferiormente por el reinto D.
2. Dada la familia de funiones y = x2 + Cx, donde C es una onstantereal ualquiera, se pide:
a) Representar gramente diha familia de funiones.
b) Dado un punto ualquiera del plano (x0, y0), podemos asegurarque existe alguna urva de la familia que pase por l? Es nia
esta urva?
) Enontrar una EDO que tenga omo soluin esa familia de fun-
iones.
d) Resolver la EDO obtenida en el apartado (), obteniendo omo
soluin general la familia y = x2 + Cx.
3. Considera la funin
peridia y(x) queaparee en la gura.
Calula su serie de
Fourier S(x), analizala onvergenia de
S(x) y represen-ta gramente su
espetro disreto.
4. Calular las dos funiones x(t), y(t) que verian las ondiiones si-guientes:
x = 2x 3y
-
y = y 2x
x(0) = 8, y(0) = 3
-
RESPUESTAS
1. z(x, y) =
{2x2 + 1 0 x 1
2 x 1 < x 2
V =
2
1
1
0
(2x) dy dx+
1
0
1
0
(2x2+1) dy dx =
=
2
1
(2x) dx+
1
0
(2x2+1) dx =13
6u
3
2.
b) y0 = x2
0+Cx0 C =y0 x
20
x0si x0 6= 0
Existe una nia urva
salvo que x0 = 0
)
{y = x2 + Cx
y = 2x + C C = y 2x y = x2 + x(y 2x)
y + x2 = xy
d) y 1
xy = x lineal de primer orden
y = e
dx
x
(C +
x e
dx
x dx
)= x(C + x)
3. y(x) impar an = 0 n N
bn =2
pi
pi
0
x sennx dx ==
[u = x du = dx
dv = sen nx dx v = cosnx
n
]=
=2
pi
(x cosnx
n
x=pix=0
+1
n
pi
0
cosnx dx
)=2
ncospin =
2
n(1)n+1
-
S(x) = 2n=1
(1)n+1 sennx
n
Si x 6= (2k + 1)pi : y(x) es ontinua S(x) = y(x)
Si xk = (2k + 1)pi : S(xk) =y(x+
k) y(x
k)
2=
pi pi
2= 0
ESPECTRO: Cn =a2n
+ b2n
=2
nn 1
4. L (x) = X; L (y) = Y
sX 8 = 2X 3YsY 3 = Y 2X
}
(s 2)X + 3Y = 82X + (s 1)Y = 3
}
X =3
s 4+
5
s + 1 x(t) = 3 e4t + 5 et
Y =2
s 4+
5
s + 1 y(t) = 2 e4t + 5 et
