Ejercicio. Calcular la constante de propagación y los campos de los modos guiados por una lámina...
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Fibras ópticas En primer lugar, realizo la elección de ejes de modo que el eje X, cuando X=0 nos encontremos en la superficie inferior de la lámina dieléctrica, es decir en la interfase conductor-dieléctrico y cuando X=2a nos encontremos en la superficie superior de la lámina dieléctrica. Divido el dibujo anterior en las tres superficies y llamo: Medio I : conductor perfecto, con índice de refracción n 1 Medio II : lámina dieléctrica, con índice de refracción n 2 Medio III : medio dieléctrico que rodea a la lámina, con índice de refracción n 3 Ejercicio nº 2. 1/22
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Fibras ópticas
En primer lugar, realizo la elección de ejes de modo que el eje X, cuando X=0 nos encontremos en la superficie inferior de la lámina dieléctrica, es decir en la interfase conductor-dieléctrico y cuando X=2a nos encontremos en la superficie superior de la lámina dieléctrica.
Divido el dibujo anterior en las tres superficies y llamo:
Medio I : conductor perfecto, con índice de refracción n1
Medio II : lámina dieléctrica, con índice de refracción n2
Medio III : medio dieléctrico que rodea a la lámina, con índice de refracción n3
La propagación de la onda se realiza en la dirección del eje Z.
Estudio de los modos.Esta guía no va a soportar modos TEM porque se necesitan dos conductores a
diferente potencial.Por simetría tampoco va a soportar los modos híbridos, por ser plana, las
componentes no se mezclan.Únicamente tendremos modos TM y TE que son los que estudiaré:
Ejercicio nº 2. 1/14
Fibras ópticas
De forma general, para una onda que se propaga por el eje Z, los campos vienen dados por:
Campo eléctrico:
con componentes transversales
Campo magnético:
con componentes transversales
Queremos conocer las constantes de propagación (β) de los modos.
Como el problema tiene simetría de traslación, obtengo los campos para ez, hz y después obtengo el resto.
Tendré que resolver:
[1]
[2]
El laplaciano de las componentes transversales se escribe como:
En este problema en particular, conforme me muevo en el eje Y, los campos
serán los mismos, no varían, por tanto , en cambio en X si que depende de cual
sea mi posición, por tanto las ecuaciones [1] y [2] se simplifican en:
[3]
[4]
Tengo que resolver las ecuaciones [3] y [4] para los campos y de cada medio, las ecuaciones serían:
(Los subíndices I, II, III se refieren al medio I, medio II y medio III respectivamente)
Ejercicio nº 2. 2/14
Fibras ópticas
Medio I
[5.1]
[5.2]
llamo
en nuestro caso el medio I es un conductor perfecto, los campos en su interior son nulos, por tanto y .
Medio II
[6.1]
[6.2]
llamo
Medio III
[7.1]
[7.2]
llamo
Dependiendo de si γ y Г son positivas o negativas, las soluciones para ez y
serán exponenciales reales o complejas.
Al resolver las ecuaciones de onda [5.1] a la [7.2] y razonando qué soluciones son válidas para que las ondas queden guiadas en la lámina dieléctrica y por el contrario se atenúen según se alejan de esta, se obtiene la ecuación para e z y hz en cada medio. Se toman los resultados ya razonados en clase.
Medio IEste medio por tratarse de un conductor perfecto, los campos en su interior van a
ser nulos, por tanto y
Ejercicio nº 2. 3/14
Fibras ópticas
Medio II En este medio queremos que la onda se propague, por tanto la solución debe
contener exponenciales complejas (sen y cos) para ello se debe cumplir que:
La solución general sería del tipo:
[8.1]
[8.2]
Medio IIIEn este medio queremos que la onda se atenúe conforme se aleja de la lámina,
por tanto la solución debe contener una exponencial real negativa, de modo que conforme x aumente, la onda se atenúe, por tanto la condición válida para ese caso es que:
La solución general sería del tipo:
Para que esta onda se haga 0 para el término que debe sobrevivir es el segundo que es una exponencial real decreciente, por tanto C1 = C2 = 0 y queda:
[9.1]
[9.2]
Una vez conocidos y podemos obtener el resto de componentes ( , , ,) a partir de las expresiones:
[10]
[11]
Ejercicio nº 2. 4/14
Fibras ópticas
Condiciones de contorno
Las condiciones de contorno para medios lineales, isótropos, homogéneos y no dispersivos en una interfase son:
En nuestro caso tenemos dos interfases; del medio I (conductor) al medio II (dieléctrico) y del medio II (dieléctrico) al medio III (dieléctrico):
Interfase conductor - dieléctrico
En caso de que el medio 1 sea un conductor perfecto, las ecuaciones se simplifican a:
Interfase dieléctrico - dieléctrico
En caso de que ambos medios sean dieléctricos; , las ecuaciones se simplifican a:
Ejercicio nº 2. 5/14
Fibras ópticas
Modos TM
Implica hz = 0
Con lo que las expresiones [10] y [11] se simplifican quedando:
[12]
[13]
pero como se ha comentado anteriormente, los campos no varían con el eje Y, por tanto el operador siendo , se puede escribir como
y las ecuaciones [12] y [13] quedan:
[14]
[15]
Medio I Medio II Medio III
A partir de ez obtengo ex y hy para cada medio.
Medio II
Medio III
Ejercicio nº 2. 6/14
Fibras ópticas
Aplico ahora las condiciones de contorno que me permitirán obtener la solución al problema.
Por la condición de contorno las componentes del campo eléctrico tangenciales a la interfase son continuas, particularizando a este problema las componentes tangenciales son ey y ez .
También utilizaré la condición de contorno en la interfase entre dieléctricos.
Entre el medio I (conductor) y el medio II (dieléctrico) (en X=0)
Campo eléctrico
y sustituyendo x = 0
Ejercicio nº 2. 7/14
Fibras ópticas
Entre el medio II (dieléctrico) y el medio III (dieléctrico) (en X=2a)
Campo eléctrico
igualo ezII = ezIII
utilizando la relación obtenida antes
usando la relación la expresión anterior queda:
[16]
Campo magnético
De la ecuación [15] aplicada a los medios II y III obtengo hyII y hyIII
Ejercicio nº 2. 8/14
Fibras ópticas
igualando las expresiones de hyII y hyIII y aplicando que
usando la relación la expresión anterior queda:
[17]
divido la ecuación [16] entre la [17]
Simplificando:
Ejercicio nº 2. 9/14
Fibras ópticas
puesto en términos de los índices de refración, sabiendo que :
[18]
La ecuación [18] es la ecuación para los modos TM, representando gráficamente cada miembro de la ecuación, es decir, por un lado la función:
y por otro
obtendré a partir de los puntos de corte entre ambas funciones, la incógnita que busco, que es el factor de propagación .
Ejercicio nº 2. 10/14
Fibras ópticas
Modos TE
Implica ez = 0
Con lo que las expresiones [10] y [11] se simplifican quedando:
[19]
[20]
pero como se ha comentado anteriormente, los campos no varían con el eje y, el
operador se puede escribir como y las ecuaciones [19] y [20]
quedan:
Medio I Medio II Medio III
A partir de hz obtengo ey y hx para cada medio.
Medio II
Medio III
Ejercicio nº 2. 11/14
Fibras ópticas
Aplico ahora las condiciones de contorno que me permitirán obtener la solución al problema.
Por la condición de contorno las componentes del campo eléctrico tangenciales a la interfase son continuas, particularizando a este problema la única componente tangencial que tengo para este modo TE es ey .
También utilizaré la condición de contorno en la interfase entre dieléctricos.
Entre el medio I (conductor) y el medio II (dieléctrico) (en X=0)
Campo eléctrico
y sustituyendo x = 0
como esta expresión se debería cumplir para
cualquier valor de , entonces la única solución es que:
Ejercicio nº 2. 12/14
Fibras ópticas
Entre el medio II (dieléctrico) y el medio III (dieléctrico) (en X=2a)
Campo eléctrico
igualo eyIII = eyII
utilizando la relación obtenida antes
usando la relación la expresión anterior queda:
[21]
Campo magnético
igualando las expresiones de hzII y hzIII y aplicando que
Ejercicio nº 2. 13/14
Fibras ópticas
usando la relación obtengo
[22]
si ahora divido la ecuación [21] entre la [22]
simplificando
[23]
La ecuación [23] es la ecuación para los modos TE, representando gráficamente cada miembro de la ecuación, es decir, por un lado la función:
y por otro
obtendré a partir de los puntos de corte entre ambas funciones, la incógnita que busco, que es el factor de propagación .
Ejercicio nº 2. 14/14
