Ejercicio Dinamica

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EJERCICIOS 1. Un punto material se mueve a los largo del eje y con una aceleración a ( t)=5 sen wt m / s 2 siendo w=0.7 rad / s. En el instante inicial ( t=0) , el punto se halla 2 m por encima del origen moviéndose hacia abajo con una celeridad de 5 m / s. a. Determinar la velocidad y la posición del punto en función del tiempo. b. Representar gráficamente la posición, la velocidad y la aceleración. c. Determinar el desplazamiento δ del punto entre t=0 s y t=4 s. d. Determinar la distancia total recorrida por el punto entre t=0 s y t=4 s. SOLUCIÓN a. Como se da la aceleración en función del tiempo, la velocidad y la posición se obtendrán sin más que integrar las definiciones. Primeramente. dv dt =a ( t ) =5 sen( 0.7 t) Integrando se tiene: v ( t) =−55 0.7 [ cos ( 0.7 t) 1 ] Donde se ha tomado la constante de integración de manera que satisfaga la condición inicial v=−5 m / s cuando t=0. Integrando ahora. dy dt =v ( t ) =−55 0.7 [ cos ( 0.7 t ) 1 ] Se tiene: y ( t) =25 t5 0.7 [ sen ( 0.7 t ) 0.7 1 ]

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Movimiento Rectilineo Uniforme - Dinamica (Riley)

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EJERCICIOS

1. Un punto material se mueve a los largo del eje y con una aceleración a (t)=5 senwt m /s2 siendo w=0.7 rad /s. En el instante inicial (t=0), el punto se halla 2m por encima del origen moviéndose hacia abajo con una celeridad de 5m /s.

a. Determinar la velocidad y la posición del punto en función del tiempo.b. Representar gráficamente la posición, la velocidad y la aceleración.c. Determinar el desplazamiento δ del punto entre t=0 s y t=4 s.d. Determinar la distancia total recorrida por el punto entre t=0 s y t=4 s.

SOLUCIÓN

a. Como se da la aceleración en función del tiempo, la velocidad y la posición se obtendrán sin más que integrar las definiciones. Primeramente.

dvdt

=a (t )=5 sen (0.7 t)

Integrando se tiene:

v ( t )=−5− 50.7 [cos (0.7 t )−1 ]

Donde se ha tomado la constante de integración de manera que satisfaga la condición inicial v=−5m /s cuando t=0. Integrando ahora.

dydt

=v ( t )=−5− 50.7 [cos (0.7 t )−1 ]

Se tiene:

y ( t )=2−5 t− 50.7 [ sen (0.7 t )

0.7−1]

b. En la figura se han representado gráficamente la posición, velocidad y aceleración del punto. Obsérvese que la aceleración es positiva durante los primeros cuatro segundos y por tanto, la pendiente de la gráfica de la velocidad también será positiva durante dicho tiempo. Analógicamente, la velocidad es negativa la pendiente de la gráfica de la posición. Después del instante t=1.8s la velocidad es positiva así como también la pendiente de la gráfica de la posición. En el instante t=1.8s la velocidad en nula; v (t)=dy /d t=0 y la posición pasa por su valor mínimo.

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c. El desplazamiento del punto entre t=0 s y t=4 s no es mas que a diferencia de posición entre dichos instantes.

d. La distancia recorrida entre t=0 s y t=4 s es mayor que el desplazamiento ya que el punto se ha movido por debajo del origen y después por encima de él. El lugar donde el

punto interviene el sentido de su movimiento se halla determinando cuando dydt

=0

v (t )=−5− 50.7 [cos (0.7 t )−1 ]=0

Lo cual da t=1.809 s . Entonces

s=|y (1.809 )− y (0 )|+|y (4 )− y (1.890 )|

¿5.858+11.011=16.87m

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2. Un punto material que depende de un resorte se mueve con una aceleración proporcional a su posición y de signo contrario. Suponiendo que a ( x )=−4 x m /s2 y que la velocidad del punto es de 2m /s hacia arriba cuando pasa por el origen

a. Determinar la velocidad del punto en función de su posición.b. Si el punto se halla en el origen en el instante t=1m, determinar su posición, velocidad y

aceleración en función del tiempo.

SOLUCION

a. Como se da la aceleración en función de la posición, será necesario escribir la definición básica de la aceleración echando mano de la regla de la cadena

a ( x )=dvdt

=dvdxdxdt

=dvdxv

Entonces se podrá obtener la velocidad integrando esta relación

∫ vdv=∫ a ( x )dx=¿∫ (−4 x )dx ¿

Lo cual da

v2−v02

2=−2(x2−x0

2)

Utilizando las condiciones dadas de que v=v0=2ms cuando x=x0=0y reagrupando términos, se

tiene

v ( x )=2√1−x2

b. Se puede integrando ahora esta última expresión para obtener la posición en función del tiempo. La definición da

dxdt

=v ( x )=2√1−x2

Que se puede escribir en la forma

dx√1−x2

=2dt

Integrando esta ecuación se tiene

sen−1 x=2 t+c o x ( t )=sen (2 t−2 )

Page 4: Ejercicio Dinamica

Donde se ha tomado la constante de integración de manera que haya x=0 cuando t=1 s. Aplicando esta expresión en la fórmula que se ha dado para la aceleración se tiene

a ( t )=−4 x=−4 sen (2t−2 )

La ecuación de la velocidad en función del tiempo se puede obtener o bien sustituyendo en la ecuación a

a ( t )=−4 x=−4 sen (2t−2 )

La ecuación de la velocidad en función del tiempo se puede obtener o bien sustituyendo en la ecuación a

v ( x )=2√1−x2=2√1−sen2 (2 t−2 )=2cos (2 t−2 )

O bien por derivación directa de la posición

v (t )=dxdt

=2cos (2t−2 )

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