Ejercicio 2_1: Dibujar el diagrama Momento curvatura de la viga mostrada en la figura inferior. Utilice la curva tension-deformacion del hormigon comprimido propuesta por Todeschini, y la curva tension-deformacion elasto plastica perfecta para el acero traccionado.

Definicion del problema

Datos relevantes: geometria, cuantias de acero, propiedades mecanicas.Datos irrelevantes: No hay.Datos faltantes: Curvas tension-deformacion de los materiales. No se indican la cantidad de puntos mas alla de la fluencia a encontrarVariables a calcular: La capacidad de momento nominal (Mn) y su curvatura asociada ( ) para al menos 3 fases del hormigon.

Planificacion del problema

Paso 1: Calcular Mn y asociado al punto de primer agrietamiento, utilizando seccion transformada y teoria de flexion elastica.Paso 2: Calcular Mn y asociado al punto de primera fluencia, asumiendo en principio una distribucion lineal de tensiones en el hormigon comprimido (se debe comprobar) y despreciando la resistencia a traccion del hormigon.Paso 3: Calcular Mn y asociado a un punto mas alla de la fluencia, utilizando el metodo propuesto por Park y Paulay (se asumira igual a cm0.003).

Ejecucion del problema (unidades en kgf y cm)

Paso1: (punto primer agrietamiento)

bw 30 h 60 d 55 diam 2.5

As =3 diam

2

414.726

2f'c 250 2 fy 4200 2

Es 2100000 2 modulo de elasticidad del acero

Ec =15100 2

f'c 1 0.5

238751.963 2

modulo de elasticidad del hormigon

n =Es

Ec8.796

Se trabaja como seccion equivalente de hormigon en rango elasticoEl centroide corresponde al eje neutro y se utilizan ecuaciones de flexion de Navier.Debemos calcular centroides, inercias, deformaciones unitarias, tensiones, fuerzas, momentos, curvaturas.

Ag =bw h 18002 area de hormigon

As_equiv =(( n 1)) As 114.8022 area de acero equivalente,

transformado en hormigon

yg =

+Ag h

2As_equiv d

+Ag As_equiv31.499 eje neutro medido desde

arriba

Ig =++1

12bw h

3Ag

h

2yg

2

As_equiv d yg2

607449.2564

inercia de la seccion transformada de hormigon equivalente

fr =2 2

f'c 1 0.5

31.623 2

tension de rotura del hormigon en traccion (segun ACI)

ct =fr

Ec1.32 10

4 deformacion en fibra de hormigon mas traccionada (ley de Hooke)

c =ct yg

h yg1.46 10

4 deformacion en fibra de hormigon mas comprimida (semejanza de triangulos en diagrama de deformaciones)

tension en el hormigon comprimido (ley de Hooke)

s =c d yg

yg1.09 10

4 deformacion del acero traccionado (semejanza triangulos en diagrama de deformaciones)

fc =Ec c 34.949 2

fs =Es s 229.35 2 tension en el acero traccionado (ley de Hooke)

Cc =1

2fc yg bw 16512.743 fuerza de compresion en el

hormigon

Tc =1

2fr h yg bw As

fs

n13135.284 fuerza de traccion

en el hormigon

Ts =As fs 3377.46 fuerza de traccion en el acero

=+Tc Ts 16512.743 se comprueba el equilibrio de fuerzas horizontales Cc = Tc+Ts

Mcr = Ig fr

h yg673981.478 momento de agrietamiento,

con respecto al centroide, de la fibra de hormigon mas traccionada, utilizando ecuacion Navier

cr =Mcr

Ec Ig

4.65 106

1 curvatura de agrietamiento, sabiendo que para el rango elastico, Ec*Ig es la pendiente del diagrama momento-curvatura

Es conveniente representar graficamente el estado de deformaciones , tensiones y fuerzas en esta fase de primer agrietamiento, para comparar con otras fases posteriormente, y entender el concepto fisico del problema

Profundizacion: Revisar en que puntos del diagrama tension-deformacion estaria trabajando tanto el hormigon como el acero

Paso 2: (punto primera fluencia)

y =fy

Es0.002 deformacion de fluencia (ley de Hooke)

s =y 0.002 deformacion en el acero traccionado (justo fluencia)

fs =fy 4200 2 tension en el acero (justo la fluencia)

Se debe calcular la posicion del eje neutro (ahora se denomina k*d), a traves del equilibrio de fuerzas horizontales. Se asumira que la distribucion de tensiones de compresion en el hormigon aun es lineal y que las tensiones de traccion en el hormigon son despreciables (debido al agrietamiento). Se dejan las deformaciones y tensiones del hormigon en funcion de k

c ((k)) s k d

d k ddeformacion en el hormigon mas comprimido en funcion de k (semejanza de triangulos en diagrama de deformaciones unitarias)

fc ((k)) Ec c ((k)) tension en el hormigon mas comprimido en funcion de k (asumiendo comportamiento lineal, ley de Hooke)

Cc ((k)) 1

2fc ((k)) k d bw Fuerza en el hormigon comprimido en

funcion de k (asumiendo comportamiento lineal)

Ts =As fs 61850.105 Fuerza en el acero traccionado

Valo

res

de p

rueb

aRe

stric

cion

esSo

lver

k 0.5 valor para inicializar iteracion de la incognita

Cc ((k)) Ts ecuacion de equilibrio para despejar k

k ((k)) comando para encontrar k

=k 0.325 =k d 17.899 valor de k y del eje neutro (medido desde arriba)

c =c ((k)) 9.65 104 deformacion en hormigon

mas comprimido

fc =fc ((k)) 230.367 2 tension en el hormigon mas comprimido (ley de Hooke)

Nota: En esta fase se habia supuesto que el hormigon en compresion aun estaba en su rango lineal, por lo que era valida la ley de Hooke y se asumia una distribucion lineal de tensiones. Sin embargo, estos supuestos solo son validos cuando fc < 0.5*f 'cComo en este caso los supuestos pierden

validez=fc

f'c0.921

No obstante, se terminara este ejercicio suponiendo que los errores asociados no son tan grandes. Al final de este documento, se hara un recalculo de este punto del diagrama momento-curvatura

Cc =Cc ((k)) 61850.105 fuerza de compresion en el hormigon

=Ts 61850.105 fuerza de traccion en el acero

Nota: Observe que hay equilibrio de fuerzas horizontales, Cc=Ts

El momento de primera fluencia se puede calcular a traves de la ecuacion de equilibrio de momento, con respecto a cualquier punto.

My =Cc

d k d

3

3032737.341 momento de primera fluencia, c/r a posicion de enfierradura traccionada

y =y

d k d 5.39 10

5 1 curvatura de primera

fluencia (angulo de diagrama de deformaciones)

Resumiendo los resultados de manera grafica, se tiene:

Profundizacion: Revisar en que puntos del diagrama tension-deformacion estaria trabajando tanto el hormigon como el acero (recordar que este punto se recalculara al final)

P 3 ( t ll d l fl i 0 003)

Paso 3: (punto mas alla de la fluencia, para =0.003)cm

Se utiliza la curva tension-deformacion para el hormigon en compresion propuesta por Todeschini

Parametros de la curva

f''c =0.9 f'c 225 2 maxima tension de compresion (curva Todeschini)

deformacion en el hormigon comprimido, asociado a maxima tension de compresion (curva Todeschini)

0 =1.71 f'c

Ec0.002

c

fc c 2 f''c

c

0

+1c

0

2ecuacion de curva tension-deformacion hormigon comprimido (Todeschini)

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

0

20

240

0.002 0.0030 0.001 0.004

c

fc c

2

cm 0.003 deformacion en el hormigon mas comprimido, mas alla de la fluencia, a evaluar

parametro para fuerza resultante en el hormigon comprimido (Park-Paulay) =

d0

cm

fc c c

f''c cm0.798

parametro para posicion de fuerza resultante en hormigon comprimido (Park-Paulay)

=1

d0

cm

c fc c c

cm d0

cm

fc c c

0.426

((k)) fs

Cc ((k)) f''c k d bw fuerza en el hormigon comprimido en funcion de k (Park-Paulay)

s ((k)) cm (( d k d))

k ddeformacion en el acero traccionado en funcion de k (Park-Paulay)

fs ((k)) if

else

=s ((k)) 0.01137 deformacion en el acero traccionado

=fc cm 198.037 2

=fs ((k)) 4200 2 tension de traccion en el acero traccionado

tension de compresion en el hormigon en fibra mas comprimida

Cc =Cc ((k)) 61850.105 fuerza de compresion en el hormigon

Ts =As fs ((k)) 61850.105 fuerza de traccion en el acero

Mn =Cc (( d k d)) 3099130.83 momento resistente nominal de la seccion, c/r a la enfierradura en traccionult =

cm

k d 2.612 10

4 1

curvatura ultima de la seccion

Graficando el estado de deformaciones, tensiones y fuerzas en esta fase, se tiene:

Respuesta al problema: A continuacion se muestra el diagrama momento curvatura resumido de la viga

M =

0McrMyMn

07.429

33.4334.162

=

0cryult

0

4.647 104

5.391 103

2.612 102

1

7

10.5

14

17.5

21

24.5

28

31.5

0

3.5

35

110 1.510 210 2.5100 510 310

1

M (( ))

CALCULOS ADICIONALES DE PROFUNDIZACION

Caso 1: Calculo exacto de punto de primera fluencia

Como se menciono anteriormente, en el punto de primera fluencia se asumio que la distribucion de tensiones en el hormigon comprimido era lineal. Esto es valido para valores de fc < 0.5 f 'c, lo cual no se cumplio en el ejercicio.Una manera mas exacta de calcular este punto es utilizar la curva teorica de tension-deformacion en el hormigon, utilizando el metodo de Park-Paulay

s =y 0.002 deformacion en el acero traccionado

cm ((k)) s k d

(( d k d))deformacion en el hormigon mas comprimido en funcion de k (semejanza de triangulos)

((k))

d0

cm ((k))

fc c c

f''c cm ((k))parametro en funcion de k

((k)) 1

d0

cm ((k))

c fc c c

cm ((k)) d0

cm ((k))

fc c c

parametro en funcion de k

Cc ((k)) ((k)) f''c k d bw fuerza de compresion en el hormigon en funcion de k

Ts =As fy 61850.105 fuerza de traccion en el acero en funcion de k

Valo

res

de p

rueb

aRe

stric

cion

esSo

lver

k 0.1

Cc ((k)) Ts

k (( ))

=k 0.338 =k d 18.575profundidad del eje neutro (medida desde arriba)

cm =cm ((k)) 1.02 103 deformacion en fibra de

hormigon mas comprimida=fc cm 193.527 2 tension en fibra de hormigon

mas comprimida = ((k)) 0.493 parametro para estimar la fuerza

de compresion resultante = ((k)) 0.352 parametro para estimar la posicion

de la fuerza de compresion

Cc =Cc ((k)) 61850.105 fuerza de compresion en el hormigon

My =Cc

d k d

3

3018807.85 momento de primera fluencia

y =cm

k d 5.491 10

5 1 curvatura de fluencia

Como se puede observar, los resultados cambian levemente ya que : y son un poco mas grandes, mientras que k d cm fces mas pequeo. De esta forma, se obtienen valores de Mymas pequeos y de mas grandesy

Caso 2: Punto del diagrama momento-curvatura cuando la curva del hormigon en compresion pierde su linealidad

De manera aproximada se puede decir que el hormigon pierde su linealidad cuando . Esta condicion tambien se denomina fc 0.5 f'ctension admisible del hormigon en compresion

fc =0.5 f'c 125 2 tension de compresion en fibra mas comprimida

c =fc

Ec5.24 10

4 deformacion en fibra de hormigon mas comprimida (ley de Hooke)

s ((k)) c (( d k d))

k ddeformacion en el acero traccionado en funcion de k

fs ((k)) Es s ((k)) tension en el acero traccionado en funcion de k

Cc ((k)) 1

2fc k d bw fuerza de compresion en el hormigon

en funcion de k

Ts ((k)) As fs ((k)) fuerza de traccion en el acero en funcion de k

Valo

res

de p

rueb

aRe

stric

cion

esSo

lver

k 0.1

Cc ((k)) Ts ((k))

k (( ))

=k 0.325 =k d 17.899 profundidad del eje neutro (medido desde arriba)

s =s ((k)) 1.09 103 deformacion en acero traccionado

fs =fs ((k)) 2278.972 2 tension en acero traccionado

Cc =Cc ((k)) 33560.635 fuerza de compresion en hormigon

Ts =Ts ((k)) 33560.635 fuerza de traccion en acero

Madm =Cc

d k d

3

1645600.924 momento admisible de la seccion, para el cual ambos materiales estan en rango lineal y elastico

adm =c

k d 2.93 10

5 1

curvatura admisible

El diagrama momento curvatura de la viga, que toma en cuenta los 2 ultimos casos, tiene la siguiente forma:

M =

0McrMadmMyMn

07.429

18.1433.27734.162

=

0cradmyult

0

4.65 104

2.93 103

5.49 103

2.61 102

1

7

10.5

14

17.5

21

24.5

28

31.5

0

3.5

35

0.005 0.008 0.01 0.013 0.015 0.018 0.02 0.023 0.0250 0.003 0.028

1

M (( ))

Un parametro interesante de calcular es la ductilidad de curvatura, definida por :

=ult

y4.758

es conveniente que las vigas tengan ductilidades de curvatura lo mas grandes posibles, para evitar fallas fragiles

TAREA: REPETIR EL EJERCICIO PARA LAS SIGUIENTES VIGAS