Departamento de Matemáticas Ejercicios Ejercicio nº 1.-

( ) =Halla la ecuación de la recta tangente a la curva que sea paralela a la recta f x x

.= +1 14

y x

Solución:

( ) 1'2

f xx

• =

1 1 1La pendiente de la recta es 44 42

m xx

• = ⇒ = ⇒ =

2,4Cuando ==• yx • La recta será:

( ) 1411

4124

412 +=−+=−+= xxxy

Ejercicio nº 2.- Averigua los puntos de tangente horizontal de la función:

( )2

3 2

+−

=x

xxf

Solución: Recta tangente horizontal, implica pendiente m=0; luego f´(x)=0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2

2

2

22

2

2

234

2342

2322'

+

−−−=

+

+−−−=

+

−−+−=•

xxx

xxxx

xxxxxf

( ) ⇒=++⇒=−−−⇒=• 0340340' 22 xxxxxf

( )

( )

−→−=

−→−=±−=

−±−=⇒

6,3 Punto 3

2,1 Punto 1

224

212164

x

xx

Ejercicio nº 3.- Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función:

( ) 123 2 +−= xxxf Solución:

( ) 26' −=• xxf • Estudiamos el signo de la derivada:

Fecha:

SOLUCIONES

Departamento de Matemáticas Ejercicios

3126026

31

6226026

31026

<⇒<⇒<−

>⇒>⇒>⇒>−

=⇒=−

xxx

xxxx

xx

.31 en mínimo un tieney ,

31 en crece ,

31, en decrece función La

=

∞+

∞−• x

Ejercicio nº 4.- Representa una función f(x), de la que sabemos lo siguiente: • La derivada no se anula en ningún punto. • La función es decreciente. • Corta a los ejes en (−1, 0) y en (0, −1)

( ) ( ) +∞=−∞=•+− →→

xflimxflimxx 22

;

• Tiene una asíntota horizontal en y = 1. Además:

Si , 1Si , 1

x yx y

→ − ∞ < → + ∞ >

Solución:

Ejercicio nº 5.- La siguiente gráfica corresponde a la función f (x):

Departamento de Matemáticas Ejercicios

a) ¿En qué puntos se anula la derivada? b) ¿Cuáles son sus asíntotas? c) Indica la posición de la curva respecto a sus asíntotas verticales. Solución:

( )( ) ( )3,0 en máximo unHay 30

00'a) −

−==

ff

b) Asíntotas verticales: x = −2, x = 2 Asíntota horizontal: y = −2

)c ( ) ( ) −∞=+∞=+− −→−→

xflimxflimxx 22

;

( ) ( ) +∞=−∞=

+− →→xflimxflim

xx 22;

Ejercicio nº 6.- Estudia y representa la siguiente función:

( ) xxxxf 44 23 +−= Solución:

( ) ( ) −∞=+−+∞=+−•−∞→+∞→

xxxlimxxxlimxx

44;44 2323

• Puntos de corte con los ejes:

( )

( )

→=

→=

=+−=+−→

0,2Punto 2

0,0Punto 0

0)44(44 eje el Con 223

x

x

xxxxxxX

( )Con el eje 0 0 Punto 0, 0Y x y→ = → = → • Puntos singulares:

( )

==

=±=

−±=⇒=+−=

32

642

648

648648

0483' 2

x

xxxxxf

Departamento de Matemáticas Ejercicios

( ) .

2732,

32 y 0,2 Puntos

• Gráfica:

Ejercicio nº 7.- Dada la función:

( )3

3−

=x

xxf

estudia dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos y represéntala gráficamente. Solución: • Dominio = R − {3} � Puntos de corte con los ejes:

( )00, Punto 00

330 eje el Con →=→=−

→=→ xx

xyX

( )00, Punto 00 eje el Con →=→=→ yxY • Asíntota vertical: x = 3

+∞=

−−∞=

− +− →→ 33;

33

33 xxlim

xxlim

xx Asíntota horizontal: y = 3

( )

( ) 3 con ,3

3 con ,3

<=

>=

−∞→

+∞→

yxflim

yxflim

x

x

• Puntos singulares:

( ) ( )

( ) ( ) ( )0

39

3393

3333'

222≠

−

−=

−

−−=

−

−−

xxxx

xxxxf

No tiene puntos singulares.

Departamento de Matemáticas Ejercicios • Gráfica:

Ejercicio nº 8.- Representa gráficamente la siguiente función, estudiando dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos . :

( )x

xxf 23 +=

Solución: • Dominio = R − {0} • Puntos de corte con los ejes:

→=+→=

+→=→ 02020 eje el Con 3

3

xx

xyX

( )0;3,1 Punto 3,123 −→−≈−=→ x

Con el eje Y → No corta el eje Y, pues x = 0 no está en el dominio. • Asíntota vertical: x = 0

( ) ( ) +∞=−∞=

+− →→xflimxflim

xx 00;

• Rama parabólica (pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador).

( ) ( ) +∞=+∞=

−∞→+∞→xflimxflim

xx;

• Puntos singulares: •

Departamento de Matemáticas Ejercicios

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )3,1 Punto 11010120'

12222323'

333

2

3

2

3

2

33

2

32

→==⇒=−⇒=−⇒=

−=

−=

−−=

+−⋅=

xxxxf

xx

xx

xxx

xxxxxf

• Gráfica:

Ejercicio nº 9.- Dada la función

( ) 2

2 12x

xxf +=

estudia dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos y represéntala gráficamente. Solución: • Dominio = R − {0} • Puntos de corte con los ejes:

. eje al corta No0120 eje el Con 2 XxyX →=+→=→ Con el eje Y → No corta al eje Y, pues x = 0 no pertenece al dominio. • Asíntota vertical: x = 0

( ) ( ) +∞=+∞=

+− →→xflimxflim

xx 00;

• Asíntota horizontal: x = 2

( )

( ) 2 con ,2

2 con ,2

>=

>=

−∞→

+∞→

yxflim

yxflim

x

x

• Puntos singulares:

Departamento de Matemáticas Ejercicios

( ) ( )( )

0222442124'344

33

22

22≠

−=

−=

−−=

⋅+−⋅=

xxx

xxxx

x

xxxxxf

No tiene puntos singulares. • Gráfica:

Ejercicio nº 10.- Estudia de la siguiente función dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos y represéntala gráficamente.

( )12

3

+=

xxxf

Solución: • Dominio = R • Puntos de corte con los ejes:

( )0,0 Punto 00

10 eje el Con

2

3

→=→=+

→=→ xx

xyX

( )0,0 Punto 00 eje el Con →=→=→ yxY • Asíntotas verticales: No tiene Asíntota oblicua:

oblicua asíntota es

11 22

3xy

xxx

xx

=⇒+

−+=

+ .

asíntota. la de debajo por está curva La0

1, Si

2⇒<

+−

+∞→x

xx

asíntota. la de encima por está curva La0

1, Si

2⇒>

+−

−∞→x

xx

• Puntos singulares:

Departamento de Matemáticas Ejercicios

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )0,0 Punto 0030'

1

3

1

3

1

233

1

213'

22

22

22

22

24

22

424

22

322

→=⇒=+⇒=

+

+=

+

+=

+

−+=

+

⋅−+⋅=

xxxxf

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxxxxf

• Gráfica:

Ejercicio nº 11.- Representa gráficamente la siguiente función, estudiando dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos :

( )4

241

xf xx

−=

−

Solución: • Dominio = R − {1, 1} • Puntos de corte con los ejes:

→±≈±=→=−→=→ 4,14040 eje el Con 44 xxyX ( ) ( )0;4,1 y 0;4,1Puntos −→ ( )4,0 Punto 40 eje el Con →=→=→ y x Y • Asíntotas verticales: x = −1, x = 1

( ) ( )

( ) ( ) −∞=+∞=

+∞=−∞=

+−

+−

→→

−→−→

xflimxflim

xflimxflim

xx

xx

11

11

;

;

Rama parabólica (pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del

denominador).

( ) ( ) +∞=+∞=

−∞→+∞→xflimxflim

xx;

Departamento de Matemáticas Ejercicios • Puntos singulares:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )22

24

22

35

22

535

22

423

1

422

1

842

1

8244

1

2414'

−

+−=

−

+−=

=−

+−−=

−

⋅−−−=

x

xxx

x

xxx

x

xxxx

x

xxxxxf

( )( )

−+==+−=→=+−

→=→=⇒=

21642

;042;042

4,0 Punto 0020'

2224 zzzzxxx

xxxf

(No tiene solución) • Gráfica:

Ejercicio nº 12.- Halla la ecuación de la recta de pendiente 7 que es tangente a la curva f(x) = 3x2 + x −1. Solución:

( )' 6 1f x x• = + La pendiente de la recta es 7 6 1 7 1m x x• = ⇒ + = ⇒ =

.y,x 31 Cuando ==• • La ecuación de la recta será:

( ) 47773173 −=−+=−+= xxxy Ejercicio nº 13.- Halla y representa gráficamente los máximos y mínimos de la función:

193 23 +−−= xxxy

Departamento de Matemáticas Ejercicios Solución:

( ) =+±

=⇒=−−=−−=•2

12420323963' 22 xxxxxy

( )( )

−→=

−→−=

±=

263 Punto 3

61 Punto 1242 ,x

,x

• Hallamos las ramas infinitas para saber si son máximos o mínimos:

( ) ( ) −∞=+−−+∞=+−−

−∞→+∞→193193 2323 xxxlimxxxlim

xx

− 1 3

− 26

6

Máximo en (−1, 6 ) y mínimo en (3, −26). Ejercicio nº 14.- Dada la función:

( )f x x x32 6 1= − + determina los tramos en los que la función crece y en los que decrece. Solución:

( ) 2' 6 6f x x• = − • Estudiamos el signo de la derivada:

6x2 − 6 = 0 → x = ± 1 6x2 − 6 > 0 → x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞) 6x2 − 6 < 0 → x ∈ (−1, 1)

La función es creciente en (−∞, −1) y (1, +∞) y decreciente en (−1, 1). Ejercicio nº15.-

:siguiente lo conocemos que la de(x), función una tegráficamen Representa f

( ) ( ).41, en y 41, en anula se derivada Su −−• • No corta a los ejes.

( ) ( ) +∞=−∞=•+− →→

xflimxflimxx 00

;

• Tiene una asíntota oblicua, que es y = 2x. Además:

Departamento de Matemáticas Ejercicios

Solución:

Ejercicio nº 16.- La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). A partir de ella, indica:

a) Máximos y mínimos. b) Puntos de corte con los ejes. c) Ramas infinitas. d) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Solución:

( )( ) ( )33, en mínimo unHay

3303a)

−−

−=−=−

f'f

( )( ) ( )30, en máximo unHay 30

00

==

f'f

( ) ( ) ( ) ( )b) 4, 0 , 2, 0 , 3, 0 y 0, 3 .− −

Departamento de Matemáticas Ejercicios

)c ( ) ( ) +∞=−∞=−∞→+∞→

xflimxflimxx

;

( ) ( ) ( )) Decrece en , 3 y en 0, ; crece en 3, 0 .d −∞ − + ∞ −

Ejercicio nº 17.- Representa gráficamente la siguiente función, estudiando dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos :

( ) xxxf 123 −= Solución:

( ) ( ) −∞=−+∞=−•−∞→+∞→

xxlimxxlimxx

12;12 33

• Puntos de corte con los ejes:

( )( )

( )( )

→=→=

−→−==−=−→

0,21 Punto 120,0 Punto 0

0,12 Punto 12 01212 eje el Con 23

xxx

xxxxX

Con el eje Y → x = 0 → y = 0 • Puntos singulares:

( )

( )( )

−→=

−→−=⇒=⇒=−=

162, Punto2

162, Punto240123' 22

x

xxxxf

• Gráfica:

Ejercicio nº 18.- Representa gráficamente la siguiente función, estudiando dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos :

( )13

−+

=xxxf

Departamento de Matemáticas Ejercicios Solución: • Dominio = R − {1} • Puntos de corte con los ejes:

( )03, Punto 3030

130 eje el Con −→−=⇒=+⇒=

−+

→=→ xxxxyX

( )3,0 Punto 3

130 eje el Con −→−=

−=→=→ yxY

• Asíntota vertical: x = 1

( ) ( ) +∞=−∞=

+− →→xflimxflim

xx 11;

Asíntota horizontal: y = 1

( )

( ) 1con,1

1con,1

<=

>=

−∞→

+∞→

yxflim

yxflim

x

x

• Puntos singulares:

( ) ( )

( ) ( ) ( )0

14

131

131'

222≠

−

−=

−

−−−=

−

+−−=

xxxx

xxxxf

No tiene puntos singulares. • Gráfica:

Ejercicio nº 19.- Representa gráficamente la siguiente función, estudiando dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos :

( )2

3

−=

xxxf

Solución:

Departamento de Matemáticas Ejercicios • Dominio = R − {2} • Puntos de corte con los ejes:

( )0,0 Punto 00

20 eje el Con

3

→=→=−

→=→ xxxyX

( )0,0 Punto 00 eje el Con →=→=→ yxY • Asíntota vertical: x = 2

( ) ( ) +∞=−∞=

+− →→xflimxflim

xx 22;

• Rama parabólica (pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el grado del denominador).

( ) ( ) +∞=+∞=

−∞→+∞→xflimxflim

xx;

• Puntos singulares

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )2

2

2

23

2

323

2

32

232

262

263

223'

−

−=

−

−=

−

−−=

−

−−=

xxx

xxx

xxxx

xxxxxf

( ) ( )( )

( )2

0 Punto 0, 0' 0 2 3 0

3 Punto 3, 27

xf x x x

x

= →= ⇒ − = ⇒ = →

• Gráfica:

Ejercicio nº 20.- Representa gráficamente la siguiente función, estudiando dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos :

Departamento de Matemáticas Ejercicios

( )4

22

2

−=

xxxf

Solución: • Dominio = R − {−2, 2} • Puntos de corte con los ejes:

( )0,0 Punto 0020

420 eje el Con 22

2

→=→=→=−

→=→ xxx

xyX

( )0,0 Punto 00 eje el Con →=→=→ yxY • Asíntotas verticales: x = −2, x = 2

( ) ( )

( ) ( ) +∞=−∞=

−∞=+∞=

+−

+−

→→

−→−→

xflimxflim

xflimxflim

xx

xx

22

22

;

;

Asíntota horizontal: y = 2

( )

( ) 2 con ,2

2 con ,2

>=

>=

−∞→

+∞→

yxflim

yxflim

x

x

• Puntos singulares:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )0,0 Punto 00160'

4

16

4

4164

4

2244'2222

33

22

22

→=⇒=−⇒=

−

−=

−

−−=

−

⋅−−=

xxxf

x

x

x

xxx

x

xxxxxf

• Gráfica:

Ejercicio nº 21.- Representa gráficamente la siguiente función, estudiando dominio, corte con los ejes, asíntotas , máximos y mínimos relativos :

Departamento de Matemáticas Ejercicios

( ) 2

4 1x

xxf +=

Solución: • Dominio = R − {0} • Puntos de corte con los ejes:

XxyX eje al corta no010 eje el Con 4 →=+→=→ Con el eje Y → No corta al eje Y, pues x = 0 no está en el dominio. • Asíntota vertical: x = 0

( ) ( ) +∞=+∞=

+− →→xflimxflim

xx 00;

Rama parabólica (pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador).

( ) ( ) +∞=+∞=

−∞→+∞→xfxf

xxlim;lim

• Puntos singulares:

( ) ( )( )

( ) ( )3

4

4

4

4

5

4

55

22

423 121222224214'x

xxxx

xxx

xxxx

x

xxxxxf −=

−=

−=

−−=

⋅+−⋅=

( ) ( ) ( ) ( )2,1y 2,1 Puntos1 11010120' 4444 −→±=±=⇒=⇒=−⇒=−⇒= xxxxxf

• Gráfica: