7/26/2019 Ejercicio Numrico de Clculo de Variaciones

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MatemticasAvanzadas para Ingenieros

Ejemplo Numrico ClculodeVariaciones

Autor : Jean Franco Arandia Tarantino

Cdula : 20 - 70 - 3440

Ejemplo 1. Demostrar por el clculo de variaciones que la ruta ms corta entre dos puntos en el plano,A =

(-3,2)y B = (3,1), es una lnea recta que une ambos puntos.

Figura 1. Trayectoria entre dos puntos

El funcional se define como:

I(y) s(x)

Donde s(x)representa la trayectoria completa e I(y)es el funcional que se desea minimizar.Usando el teorema de Pitgoras se tiene:

s(x) x2 + y2

s(x) 1 + yx2 x

Como xtiende a cero, se puede decir que:

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yx

dy

dxy'

Sustituyendo:

I(y) x1

x2

1 + (y')2 x

Aplicando la ecuacin de Euler-Lagrange, sujeta a las condiciones frontera y-3 =2; y3 =1:fy -

d

dx

fy' 0

La funcin f(x, y, y')es:

f(x, y, y') 1 + (y')2

Encontrando los trminos de la ecuacin de Euler-Lagrange se tiene:

y' 1 + (y')2

y

1 + (y)2

fy' =

y

1 + (y)2

xf

y' = y

1 + (y)23/2 =0

Si se multiplica la expresin anterior por 1 + (y)23/2:

y=0Integrando:

0x=a

ax=ax +b

y[x] =ax +bLa expresin anterior representa la ecuacin de una lnea recta. Evaluando las condiciones de frontera:

Solve[-3 a +b2&&3 a +b1,{a, b}]

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a -16, b3

2

En definitiva:

y[x_]:= -16

x +32

y[-3]

2

y[3]

1

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