EJERCICIO PROGRAMACIÓN FRACCIONAL

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El autor no se hace responsable del uso que se pueda dar al contenido. Las opiniones expresadas aquí son puramente subjetivas y buscan contribuir al proceso

explicativo únicamente.

Sobre el autor:

Camilo Bernal.

Estudiante de ingeniería industrial en Bogotá, Colombia. Gran interés por el software libre y la ingeniería. Enero de 2012.

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EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA PROGRAMACIÓN FRACCIONAL

TEMÁTICA ESCOGIDA: TASA DE RENTABILIDAD DE UNA INVERSIÓN A CORTO PLAZO.

Se tienen 3 opciones de inversión de capital que retornarán intereses al cabo de 6 meses. Los datos correspondientes a cada invesión se presentan en la tabla siguiente.

Se dispone de 1000 millones de pesos y no se permite invertir más de 500 millones en un único paquete. Hacer una recomendación sobre la elección en los paquetes de inversiones que maximiza la tasa de rentabilidad.

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Tabla 1: Datos iniciales

Fuente: Autor

Paquete 1 100 10 0,2Paquete 2 80 16 0,3Paquete 3 120 18 0,25

TIPO DE INVERSIÓN

INVERSIÓN INICIAL EN $MILLONES

RETORNO A 6 MESES EN

$MILLONES

PROBABILIDAD DE PERDERLO

TODO

SOLUCIÓN

a.) Modelo General

Max Z=I T XK T X

(1)

s.a :A X =RIX ⩾0

Donde :

I T : Retorno en interesesK T :Capital invertidoA : Insumos de la inversiónX : Paquetes adquiridosRI : Restricción a la inversión

Al realizar la transformación utilizando el teorema de Charnes y Cooper se obtiene lo siguiente:

t= 1

K T X (2)

Y =t X

4

Al sustituir (2) en (1):

Max Z=I T Y (3)s.a :A Y −RI t=0K T Y =1Y ⩾0t⩾0

Donde :

I : Retorno en interesesK :Capital invertidoA : Insumos de la inversión

X →Yt

: Paquetes adquiridos

RI : Restricción a la inversión

b.) Modelo Particular

Max Z=

∑i

I i X i

∑i

K i X i

(4)

s.a :

∑i

aij X i=RI j

Donde :

I i : Retornoen intereses asociadosal paquete iK i :Capital invertido encada paquete ia ij : Insumosde la inversiónX i : Paquetestipo i adquiridosRI j : j−ésimarestricción a la inversión

5

Aplicando el teorema de Charnes y Cooper:

t= 1

∑i

K i X i

(5)

Y i=t X i

Substituyendo (5) en (4):

Max Z=∑i

Y i I i (6)

s.a :

∑i

{ aij Y i−RI j t i}=0

∑i

K i Y i=1

Y i⩾0t i⩾0

Donde :

I i : Retornoen intereses asociadosal paquete iK i :Capital invertido encada paquete ia ij : Insumosde la inversión asociada al paquete i en la restr. j

X i →Y i

t i

: Paquetes tipoi adquiridos

RI j : j−ésimarestricción a la inversión

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c.) Modelo específico

Este modelo se puede construir con los datos proporcionados inicialmente. Se puede añadir el retorno esperado, al descontar la probabilidad de perderlo todo:

El modelo específico viene dado por:

Max Z=8 X 1+11.2 X 2+13.5 X 3

100 X 1+80 X 2+120 X 3

(7)

s.a :

K 1 X 1+K 2 X 2+K 3 X 3⩽1000K 1 X 1⩽500K 2 X 2⩽500K 3 X 3⩽500X i∈ℕ ∀ i=1,2 ,3

Donde :

I i : Retorno en intereses asociados al paqueteiK i :Capital invertido encada paquete iX i : Paquetes tipo i adquiridos

7

Paquete 1 100 10 0,2 8Paquete 2 80 16 0,3 11,2Paquete 3 120 18 0,25 13,5

TIPO DE INVERSIÓN

INVERSIÓN INICIAL EN $MILLONES

RETORNO A 6 MESES EN

$MILLONES

PROBABILIDAD DE PERDERLO

TODORETORNO ESPERADO

Aplicando el teorema de Charnes y Cooper:

t= 1100 X 1+80 X 2+120 X 3

(8)

Y 1=t X 1, Y 2=t X 2, Y 3=t X 3

Substituyendo (8) en (7):

Max Z*=8Y 1+11.2Y 2+13.5 Y 3 (9)

s.a :

100 Y 1+80Y 2+120 Y 3−1000 t⩽1000100 Y 1−500 t⩽080Y 2−500 t⩽0120 Y 3−500 t⩽0100 Y 1+80Y 2+120 Y 3=1Y i , t⩾0 ∀i=1,2,3

Al resolver (9) se obtiene lo siguiente:

status: OPTIMAL

Objective: Z = 0.14 (MAXimum)

No. Column name St Activity Lower bound Upper bound Marginal

1 Y1 NL 0 0 6

2 Y2 B 0.0125 0

8

3 Y3 NL 0 0 3.3

4 t B 0.002 0

LO CUAL INDICA QUE ES NECESARIO COMPRAR 7.5 PAQUETES TIPO 1 PARA ALCANZAR LA TASA DE DE RENTABILIDAD ÓPTIMA DE 14%.

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