Ejercicio resuelto: Aplicación del teorema fundamental del cálculo
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HKV TEXVictor Solano Mora
1Tema: Cálculo
Encuentra la función f tal que:
∫ f(x)dx =ln ∣ ln (x)∣
x+C
Solución:
Diferenciando respecto a x en cada lado de la igualdad se obtiene:
d ∫ f(x)dx
dx=
d ln ∣ ln (x)∣x +C
dx
Por el teorema fundamental del cálculo y la propiedad que la derivada de una suma es la suma de lasderivadas:
f(x) =d ln ∣ ln (x)∣
x
dx+
dC
dx
La derivada de una constante C es 0, y la derivada de un cociente se regi por la regladu(x)
v(x)
dx=
u′(x) ⋅ v(x) − u(x) ⋅ v′(x)
v2(x)
, se obtiene:
f(x) =d ln ∣ ln (x)∣
dx ⋅ x − ln ∣ ln (x)∣ ⋅ dxdx
x2
Separando la resta de fracciones y simplificando se obtiene:
f(x) =d ln ∣ ln (x)∣
dx
x−
ln ∣ ln (x)∣x2
Ahora solo hace falta calcular la derivada del numerador de la primer fracción para hallar el criterio de lafunción f buscada, para ello se debe aplicar la regla de la cadena y la derivada del logaritmo neperianoln(u)
dx=
1u⋅
du
dxy tomando u = ln(x) se obtiene:
d ln ∣ln (x)∣dx
=
1ln(x) ⋅
dln(x)dx
Ahora se debe hallar la derivada que apareció en el resultado anterior, entonces al calcularla se obtiene:
dln(x)dx
=
1x⋅
dx
dx
Entonces la función f corresponde a la expresión:
f(x) =
1x ln(x)
x−
ln ∣ ln (x)∣x2 =
1x2 ln(x) −
ln ∣ ln (x)∣x2