HKV TEXVictor Solano Mora

1Tema: Cálculo diferencial

Obtener la derivada por definición def(x) = e

√

x

Solución:

Dado que la deficinión de derivada equivale al límite lımh→0

f(x + h) − f(x)

h, entonces debemos calcular:

lımh→0

e√

x+h − e√

x

h

Es evidente que al evaluar el límite directamente se obtendrá una indeterminación, razón por la cual, nose agrega dicha evaluación en esta solución. Al factorizar e

√

x del numerador se obtiene (recuerden lapropiedad de potencias que enuncia am ÷ an = am−n):

lımh→0

e√

x (e√

x+h−√

x − 1)h

Como e√

x no depende de h se puede “sacar” del límite:

e√

x ⋅ lımh→0

e√

x+h−√

x − 1h

Haciendo el cambio de variable u =√

x + h, se tiene que cuando h→ 0⇔ u→√

x. Además, h = u2 − x,entonces se tiene:

e√

x ⋅ lımu→√

x

eu−√

x − 1u2 − x

factorizando√

x en el denominador y “sacándolo” del límite se obtiene:

e√

x

√x⋅ lım

u→√

x

eu−√

x − 1u2√

x−√

x

e√

x

√x⋅ lım

u→√

x

√x (eu−

√

x − 1)u2 − x

Restableciendo el cambio de variable se transforma en el límite:

e√

x

√x⋅ lım

h→0

√x (e

√

x+h−√

x − 1)h