HKV TEXVictor Solano Mora

1Tema: Ecuaciones trigonométricas

Obtener el conjunto solución de

2 ⋅ senx ⋅ cosx − cos2 x + sen2 x = 0

Solución:

Primero se factoriza un −1 en los términos que están al cuadrado y se agrupan con paréntesis de lasiguiente manera:

(2 ⋅ senx ⋅ cosx) − (cos2 x − sen2 x) = 0

Ahora se aplican las identidades de ángulo doble para el seno y el coseno, las cuales corresponden asen(2x) = 2 ⋅ senx ⋅ cosx y cos(2x) = cos2 x − sen2 x, entonces obtenemos:

sen(2x) − cos(2x) = 0

Lo anterior es equivalente a tener:

sen(2x) = cos(2x)Esta última ecuación se puede dividir por cos(2x) y obtenemos:

tan(2x) = 1

En este punto, se resuelve la ecuación en el intervalo [0,2π[, de donde se obtiene que:

2x = π4 ∨ 2x = 5π4

Las cuales son equivalentes a tener:

x = π8 ∨ x = 5π8

Finalmente, ampliamos el conjunto solución a todos los reales añdiendo el periodo de tan(2x) que esπ

2 ,de esta forma el conjunto solución queda:

S = {x ∈ R/x = π8 + kπ2 , con k ∈ Z}