HKV TEXVictor Solano Mora

1Tema: TGM: Problema del día

Hallar las áreas del cuadrado ◻ABCD y del triágulo equilátero △A′B′C ′ que satisfacen:

AP = 2 = A′P ′, BP = 3 = B′P ′ y CP = 4 = C ′P ′

Siendo P y P ′ puntos interiores del cuadrado y del triángulo, respectivamente.

Primer solución:Sean n, x y y, la medida del lado del cuadrado, la abscisa yla ordenada del punto P , respectivamente. El problema estáenfocado en determinar el área del cuadrado, n2.

No obstante, debemos expresarla en términos númericos,para ello, se expresará primero en términos de n y expresarlacomo un número real.

Por el teorema de Pitágoras, se tienen las ecuaciones:

(a) x2 + y2 = 4(b) x2 + y2 − 2nx + n2 = 9(c) x2 + y2 − 2nx − 2ny + 2n2 = 16

Utilizando la ecuación (a) en las ecuaciones (b), y esta en (c), se reducen estas últimas a las ecuaciones:

n2 − 2nx = 5 ∧ n2 − 2ny = 7

De las cuales, se obtienen los valores de x y y en términos de n:

x =n2 − 5

2n∧ y =

n2 − 72n

Sustituyendo estos valores de x y y, en la ecuación (a), se obtiene la ecuación:

n4 − 20n2 + 37 = 0

Todas las soluciones de esta ecuación bicuadrática son:

n = −

√

10 − 3√

7 ∧ n = −

√

10 + 3√

7 ∧ n =

√

10 − 3√

7 ∧ n =

√

10 + 3√

7

Dado que se trabaja un enfoque euclidiano, las raíces negativas son desechadas como posibles distanciasy se obtienen las soluciones:

n =

√

10 − 3√

7 ∧ n =

√

10 + 3√

7

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2Ahora, haciendo énfasis en que la distancia debe satisfacer la desigualdad triangular, es decir, la diagonaldel cuadrado debe satisfacer:

d < 6 ⇔ n√

2 < 6 ⇔ n < 3√

2

No obstante, el interior de un cuadrado solo puede albergar una distancia máxima, para un segmento,igual a su diagonal; es decir, si alguna de las distancias de los vértices mencionados al punto P es mayora la diagonal, entonces dicha medida del lado debe desecharse, por ende, se realizan los cálculos:

n√

2 =√

10 − 3√

7 ⋅√

2 ≈ 2,0311 ⇒ no es mayor a las distancias a P .n√

2 =√

10 + 3√

7 ⋅√

2 ≈ 5, 9895 ⇒ sí es mayor a las distancias a P .

Se concluye que el único valor del lado del cuadrado corresponde a la solución√

10 + 3√

7 y cuya áreacorresponde a la expresión:

n2 = 10 + 3√

7 ≈ 17,9372

Segunda solución:Sean 2n, x y y, la medida del lado deltriángulo equilátero,la abscisa y la ordenada del punto P , respectivamente. Elproblema está enfocado en determinar el área del triánguloequilátero, n2 ⋅

√3.

No obstante, debemos expresarla en términos númericos,para ello, se expresará primero en términos de n y expresarlacomo un número real.

Por el teorema de Pitágoras, se tienen las ecuaciones:

(a) x2 + y2 = 4(b) x2 + y2 − 4nx + 4n2 = 9(c) x2 + y2 − 2nx − 2

√3ny + 4n2 = 16

Utilizando la ecuación (a) en las ecuaciones (b) y (c), se reducen estas últimas a las ecuaciones:

4n2 − 4nx = 5 ∧ 4n2 − 2nx − 2√

3ny = 12

De la primer ecuación se obtiene x en términos de n y la en la segunda se despeja y en términos de n y sesustituye el valor de x de la primer ecuación, de las cuales, se obtienen los valores de x y y en términosde n:

x =4n2 − 5

4n∧ y =

4n2 − 2n (4n2−5

4n ) − 12

2√

3n

Amplificando la segunda ecuación por 4n se simplifica en:

x =4n2 − 5

4n∧ y =

4n2 − 194√

3n

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3Ahora se sustituyen estos valores en la ecuación (a), se obtiene la ecuación:

(4n2 − 5

4n)

2

+ (4n2 − 194√

3n)

2

= 4

Distribuyendo el exponente y amplificando la ecuación por 48n2 se reduce a:

3(4n2 − 5)2 + (4n2 − 19)2 = 192n2

Desarrollando los binomios al cuadrado e igualando a 0 se obtiene la ecuación bicuadrática:

16n4 − 116n2 + 109 = 0

Todas las soluciones de esta ecuación bicuadrática son:

n = −

√

29 − 9√

58 ∧ n = −

√

29 + 9√

58 ∧ n =

√

29 − 9√

58 ∧ n =

√

29 + 9√

58

Dado que se trabaja un enfoque euclidiano, las raíces negativas son desechadas como posibles distanciasy se obtienen las soluciones:

n =

√

29 − 9√

58 ∧ n =

√

29 + 9√

58

En un triángulo equilátero, la mayor distancia posible es la altura de este, es decir, las medidas de lossegmentos formados desde P hasta cada uno de los vértices ha de ser menor a n

√3 entonces:

n√

3 =√

29 − 9√

58 ⋅

√3 ≈ 1,8243 ⇒ no es mayor a las distancias a P .

n√

3 =√

29 + 9√

58 ⋅

√3 ≈ 4,2920 ⇒ sí es mayor a las distancias a P .

Se concluye que el único valor del lado del triángulo equilátero corresponde a la solución

√29 + 9

√5

8 y

cuya área corresponde a la expresión:

n2 ⋅√

3 = 29 + 9√

58 ⋅

√3 ≈ 10,6357