HKV TEXVictor Solano Mora

1Tema: Cálculo integral

Obtener una primitiva de la función

∫ ex3dx

Solución:

Dado que no se puede realizar mediante las técnicas habituales de integración, realizamos el cambio de

la expresión eu por∞

∑

n=0

un

n! , además, consideramos u = x3, de donde la integral que obtenemos es:

∫ ex3dx = ∫

∞

∑

n=0

un

n! dx = ∫∞

∑

n=0

(x3)

n

n! dx = ∫∞

∑

n=0

x3n

n! dx

Dado que una sumatoria está compuesta de sumas (valga la redundancia), se puede separar la integral deuna suma en la suma de integrales, de manera que se obtiene:

∫

∞

∑

n=0

x3n

n! dx =∞

∑

n=0∫

x3n

n! dx

Ahora, como la integral se debe hacer respecto a la variable x, se puede extraer de la integral la constante1n! , dejando la integral como:

∞

∑

n=0∫

x3n

n! dx =∞

∑

n=0

1n! ⋅ ∫ x3ndx

La integral restante equivale a las integrales de la forma ∫ xmdx =xm+1

m + 1 +C, entonces integrando laexpresión se obtiene:

∞

∑

n=0

1n! ⋅ ∫ x3ndx =

∞

∑

n=0

1n! ⋅ (

x3n+1

3n + 1 +C)

Aplicando la propiedad distributiva se obtiene:

∞

∑

n=0

1n! ⋅ (

x3n+1

3n + 1 +C) =∞

∑

n=0(

x3n+1

n!(3n + 1) +C

n!)

Resolviendo la suma de fracciones heterogéneas:

∞

∑

n=0(

x3n+1

n!(3n + 1) +C

n!) =∞

∑

n=0(

x3n+1+C(3n + 1)

n!(3n + 1) )

∫ ex3dx =

∞

∑

n=0(

x3n+1+C(3n + 1)

n!(3n + 1) )