HKV TEXVictor Solano Mora

1Tema: Cálculo integral

Obtener una primitiva de

∫ 1e2x + 4ex + 9dx

Solución:

Aplicando la propiedad de potencias que enuncia anm = (an)m, se transforma la integral en:

∫ 1(ex)2 + 4ex + 9

dx

Multiplicamos por ex en numerador y denominador (en el siguiente paso se verá el por qué):

∫ ex

ex ((ex)2 + 4ex + 9)dx

Haciendo una sustitución de ex por u, du = exdx

∫ 1u(u2 + 4u + 9)du

Aplicando fracciones parciales, donde un factor lineal es u y el otro factor cuadrático irreductible esu2 + 4u + 9, se tienen que encontrar las constantes A, B y C, tales que:

∫ 1u(u2 + 4u + 9)du = ∫ (A

u+ Bu +C

(u2 + 4u + 9))du

Para ello, vamos a sumar las fracciones del lado derecho y obtenemos:

∫ 1u(u2 + 4u + 9)du = ∫ (A +B)u2 + (4A +C)u + 9A

u(u2 + 4u + 9) du

De donde obtenemos que A +B = 0, 4A +C = 0 y A = 19 , entonces B = −19 y C = −49 , entonces la integral

queda:

∫ ( 19u+ −u − 4

9(u2 + 4u + 9))du

Separando las integrales se obtiene:

∫ 19u

du − ∫ u + 49(u2 + 4u + 9)du

Arreglando un poco para facilitar la integración:

19 ∫

1u

du − 118 ∫

2u + 8u2 + 4u + 9du