HKV TEXVictor Solano Mora

1Tema: Cálculo integral

Obtener una primitiva de la función

∫ (3x2+ 2x + 1)dx

Solución:

Al tratarse de una integral polinomial (el argumento es un polinomio), se puede separar la integral graciasa la propiedad de integrales que enuncia

∫ (f(x) + g(x))dx = ∫ (f(x))dx + ∫ (g(x))dx

Entonces, la integral original se puede reescribir como:

∫ (3x2)dx + ∫ (2x)dx + ∫ (1)dx

Ahora se procede a simplificar las integrales obtenidas, para ello se extrae el coeficiente, gracias a lapropiedad que enuncia:

∫ (k ⋅ f(x))dx = k ⋅ ∫ (f(x))dx

En este caso, el ejercicio equivale a:

3∫ (x2)dx + 2∫ (x)dx + ∫ (1)dx

Ahora se procede a integrar cada uno de los elementos siguiendo las integrales de una variable elevada auna constante, las cuales se escriben de esta manera:

∫ (xn)dx =

xn+1

n + 1 +C

La letra C corresponde a la constante de integración que aparece siempre que se integre una función yla integral sea indefinida (no trae los límites de integración). Aplicando la expresión en cada una de lasintegrales que se obtuvieron, el ejercicio se reduce a (tomando 1 como 1x0):

3 ⋅ ( x2+1

2 + 1 +C1) + 2 ⋅ ( x1+1

1 + 1 +C2) + (x0+1

0 + 1 +C3)

Esto se simplifica (al resolver las sumas y multiplicaciones) en:

3 ⋅ x3

3 + 3C1 + 2 ⋅ x2

2 + 2C2 +x1

1 +C3

Agrupando todas las constantes de integración en una sola (3C1 + 2C2 +C3 = C) y simplificando lasfracciones se obtiene:

x3+ x2+ x +C